Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Một số vấn đề về nghiệm phương trình

Mục tiêu của đề tài là xem xét, tống hợp và nghiên cứu một số vấn đề về các phương pháp, thuật toán tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình đại số, đồng thời xây dựng một số chương

KHÓA: 1997 2001.

Thành phố Hồ Chí Minh

6/2001

Xin cảm ơn tất cá những người đã động viên tính thần, đã giúp đỡ công sức vật

chất cho việc nghiên cứu đề tài được hoàn thành

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2001

Phạm Viết Thành

Lời giới thiệu

Phương trình là một trong những vấn đề quan trọng của toán học, hiện diện trong

nhiều ngành toán học, nhiều vấn đề của toán học có thể quy về giải một phương

trình Tuy nhiên, việc tìm nghiệm của phương trình không phải lúc nào cũng có

thể làm được Vì vậy, việc nghiên cứu tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình là nhưcầu cần thiết Hơn nữa, cùng với sự phát triển của máy tính đã hổ trợ cho việc tính

toán ngày càng thuận tiện.

Trong khuôn khổ một luận văn tốt nghiệp nên chúng tôi chỉ khảo sát một số vấn

đề trong khả năng cho phép dé tạo bước tiến về sau và giúp ích trong việc day họctoán học tính toán ở phổ thông

Mục tiêu của đề tài là xem xét, tống hợp và nghiên cứu một số vấn đề về các

phương pháp, thuật toán tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình đại số, đồng

thời xây dựng một số chương trình máy tính dé tìm nghiệm xấp xi của phương trình,

hệ phương trình trong một số trường hợp

Nội dung của luận văn gồm bốn chương:

Chương I: Nghiệm xấp xỉ của phương trình

Trong chương này, chúng tôi dành cho việc tìm hiểu một số phương pháp dùng

để xác định một nghiệm gần đúng của phương trình và sai số tương ứng Định

lý quan trọng trong này là nguyên lý ánh xạ co, một kết quả dùng để

rút ra nhiều thuật toán, g hạn phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương phápNewton tống quát để xấp xỉ nghiệm cho các phương trình trong không gian

mêtric Đặc biệt là các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ trên đoạn [a,b] củaphương trình trên trường số thực.

Chương II: Nghiệm của phương trình đa thức.

Chương này trình bày một số phương pháp tổng quát để giải (tìm nghiệm hoặc

nghiệm gần đúng) phương trình đa thức bậc n.

Chương II: Nghiệm của hệ phương trình

Bằng cách ấp dụng các kết quả đạt được của phương pháp xấp xi liên tiếp

và phương pháp Newton tống quát nêu trong chương |, chúng tôi xây dựng

các phương pháp lập giải hệ phương trình tuyến tính và hệ phương trình phituyến

Trong chương này đối với các phương pháp giải dúng hệ phương trình tuyến

tính như phương pháp Gauss, Jordan, Cholesky, , chúng tôi chỉ nêu lên thuật

toán nhằm lập chương trình máy tính cho các phương pháp này.

Mục lục

Lời cám ơn i Lời giới thiệu ii

Mục lục i

1 + xấp xỉ của phương trình 1

i” 0600 011956005/01/191 616262211006 5:6:001/6:/42 va: 6 1

1.1.1 Phuong trình - Nghiệm của phương trình 1

1.1.2 Nghiệm gần đúng của phương trình |

1.2 Một số phương pháp tống quất tim nghiệm xấp xỉ của phương trình 1 12.3 NggyênlýánhxạCŒOG.‹ -.‹ c-.:c.c.:::: 1 1.2.2 Phương pháp xấp xi liên tiếp - 4

1.2.3 Phương pháp Newton tống quái 4

1.3 Nghiệm gần đúng của phương trình trên trường số thựcC 8

1.3.1 Phươngphápchađôi 8

1.3.2: Phương phá lip don 52058 cccc c2 ccc cv 10 3.3: Phưng pPHÁáP.GÊY CUNG và và vé {c( 2Ÿ cẰ visiwreenere es 13 1.3.4 Phương pháp Newton - 16

L( NhậnXỐ( ee 2((ci((( 2/2006 Ÿcyccc( vo 0e bas 19 1.4.1 Đánh giá và so sánh các phương pháp 19

1.4.2 Sa đồ tống quát tìm nghiệm phương trìnhh 20

II Nghiệm của phương trình đa thức 21 1.1 Đa thức và phương trình đa thức, 21

hÀm 0 / › a 6 ẽn n 21 II.!.2 Nghiệm của phương trình đa thức 21

1.1.3 Nghiệm bội của phương trình đa thức 24

1.1.4 Sơ đồ tống quát tìm nghiệm thực của phương trình đathức 26

BLD: Min GIAN vas «an nen 66126 bác sac 26 lI.2.1 Miền chứa nghiệm - 26

II.2.2 Phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm dương 27

II.2.3 Giới hạn mođun của nghiệm 30

lI.3 Số nghiệm và tách nghiệm của phương trình đathứcC 31

HỘI NV NO: sen ce{scv in ee i ee 32 WSS Đăn |ÿlbcaorc¿ cac eo 2 Ÿcaa62X2a x2 35 LSS Đnh/(|0DRSOAVARISCGS(/( (017/1 (( HERAT RT ¿ 35 11.3.4 Phương pháp tách nghiệm hoàn loàn 37 BUSES: SO PSR ow Ỷẽ nh 6 cv cố 4I

1.4 Phương pháp giải phương trình đa thức bậcn 47

II4.! Sơ đồ xấp xi nghiệm của phương trình đa thức bậcn 47

11.4.2 Phương pháp Lôbasepxki: 47

II.5 Nghiệm của phương trình bậc ba, bac bốn 53

11.5.1 Giải phương trình bậc ba trên trường số phức 53

1.5.2 Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức 56

Ill Nghiệm của hệ phương trình 58 III.! Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 58

III.1.1 Phương pháp Gauss 60

1.1.2 Phương pháp phần tửtội 63

LTA PM pháp MUÀN: cess ý: ¿v02 c7: 63 1.1.4 Phương pháp Choleky 64

11.2 Nghiệm gần đúng của hệ phương trình tuyến tính 65

IIL221 Ehunagpháplặpddn.:“:`:.-::7:::‹⁄::2::: 65

I2 - Phê pháp ,HGDD|lvi66/10404 462/070 044020( OBL 67 2:3 Phản pháp Seidel 56-65-00 cccccz+ oes 3< 69 lII.3 Giải hệ phương trình phi tuyến 71

1.3.1 Phương pháp lap đơn - 71

NE3.2: Phương pháp Newton 655 6 6G i a in ei ee hie 72 IV Phụ lục 75 aM DL Mate Tin Rabie are Browse estat (6/61 G0104/6 306 ie aie aren 75 IV.2 Phụ lục chugngil, ea ee GERAIS ME MC Bt OT AIRC 81 V2.) That tấn Homers: 6: có vẽ ow eaves we Ee (ốc :¿ 81 IV.3 Phụ lục chương Wh -.- 102

Kết luận 120 Tài liệu tham khảo 121

Chương |

Nghiệm xấp xỉ của phương trình

1.1 Tổng quát

1.1.1 Phương trình - Nghiệm của phương trình

Phương trình một ẩn là một biếu thức hình thức lập từ hai hàm ƒ, g: X — Y

I.1.2 Nghiệm gần đúng của phương trình

Khi giải một phương trình là ta tìm nghiệm (nghiệm đúng) của phương trình, Nhưng

trong thực tế không phải lúc nào ta cũng có thể xác định được chính xác nghiệmcủa phương trình Oo đó, ta có thể lấy bất kỳ một giá trị nào đó trong miền xác

định của phương trình là xấp xỉ ban đầu Từ đó, bằng một phương pháp tìm nghiệm

nào đó ta tìm được một dãy các giá trị đần về nghiệm của phương trình, đồng thời

ta đánh giá sai số giữa các giá trị xấp xỉ này và nghiệm của phương trình Nếu độ

sai số của giá trị xấp xi và nghiệm của phương trình khá nhỏ thì ta lấy giá trị xấp

xỉ đó làm nghiệm gần đúng của phương trình

I.2 Một số phương pháp tổng quát tìm nghiệm xấp xi của

L2 MOT SỐ PHUONG PHÁP TỐNG QUAT TÌM NGHIỆM XẤP Xf CUA PHƯƠNG TRINH ?

Định lý I.2.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho ánh xạ co ƒ với hằng số co a € (0,1)

trên B Khi đó,

(i) Trong E tổn tại duy nhất phần từ +* sao cho f(x") = r* Phần từ r* được

gọi là diểm bất động của ƒ

fii) Bất kỳ rq € E, đặt ray, = ƒ(ru) (n = 0,1,2 ) Khi đó, day {z„} hội tụ

PA(Zn.Tnsp) < f(Zay#a+i) + PlSn41,2n42) + - - - + P(Tn—pot, ®n+p)

(I7) <(a*+a*?!+.-‹ + a"**P*!) (ro, ƒ(zo))

khi n — 00 Vậy day {(z„} hội tụ.

Do E là không gian métric đầy đủ, nên tồn tại z* € E là giới hạn của dãy (za)}.

Ta chứng minh f(x") = z* Thật vay,

p(x, ƒ(r*)) < plz" an) + ø(za ƒ(z*))

1.9) < ð(z”.#n) + ø(ƒ(z»-+), ƒ(z°))

< plz" tp) + ap(Za-¡, 2°).

Vi {xa} hội tụ đến 2°, nên từ (1.9), ta có ø(z*, /(z*)) < 0 Do đó, ƒ(z°) = 2°.

Giả sử có r°, w* € E sao cho r* = ƒ(r*).w* = f(y") Khi đó,

(I.10) Ø{z°.w°) = p( f(z"), ƒ(y°)) < aj(z° w").

Via < 1, nên từ (1.10), ta có ø(z°, /*) = Ú, suy ra z* = y°.

1.2 MỘT SỐ PHUONG PHÁP TONG QUAT TÌM NGHIỆM XẤP XI CUA PHUONG TRINH 4

Bay giờ, trong (1.7), cho p tiến ra +00, ta thu được

Nhận xét I.1 Việc lập dãy xấp xỉ {z„} hội tụ về điểm bất động z* có thế xuất phát

tỪ ro € E bất kỳ Việc chọn phần tử zo ảnh hưởng đến sự hội tụ nhanh hay chậm

về r* của day {z„}

Nhận xét 1.2 Có thế xây ra trường hợp ánh xạ f mà (1.2) không thỏa mãn trong

toàn E mà chỉ thỏa man trong lần cận đóng S = {z € £: ø(z.T) < 6} của một

điểm 7 € £ Để phát biểu nguyên ly ánh xạ co cho S, ta chỉ cần điều kiện

(I.14) p(Z /(£)) < (1 — a)é.

Thật vậy, với mọi z, € S, ta đều có (1.2); kết hợp với (1.14), ta có với mọi rạ € 8,

0(ƒ(zo),#) < p(ƒ(zo), ƒ(#)) + a(ƒ(#).)

< ap(zo,F) + (1 — a)ô

< ab + (1 ~ œ)ô

<a

Điều này chứng tổ ƒ(zo) thuộc S và f là ánh xạ tS vào S

Cuối cùng, vì 9 đóng trong E và £ đầy đủ, ta có S là không gian métric đầy

đủ Áp dụng Định lý I.2.1 cho 8, ta có

Định lý 1.2.2 Giả sử ƒ là ánh xạ co với hệ số có a € (0,1) trong tập hợp đóng

S={r€E: 0(z.Y) < 5} và giả sử

(I,16) p(# ƒ(#)) < (1 = ø)é.

Khi đó,

(i) Trong S tồn tại duy nhất phần từ z* sao cho f(x*) = z*

(i) Với xq € 8, ta đặt tay) = ƒ(£a) (n = 0.1,2, ) thì day {z„} hội tụ về z*

1,2 MỘT SỐ PHUONG PHAP TONG QUAT TÌM NGHIỆM XẤP XỈ QUA PHRUONG TRÌNH 4

1.2.2 Phuong pháp xấp xỉ liên tiếp

Xét phương trình :

(1.17) r= v(r)

với g: Ð ¬ E(DC EB), E là không gian đầy du.

Giả sử S C D Phương pháp xấp xi liên tiếp để xác định nghiệm gần đúng của

phương trình (1.17) là xuất phát từ một phần tử tùy ý zo € S, các phần tử gần đúng

tiếp theo rị,z¿ ,z„ được xác định theo công thức;

Định lý 1.2.3 Cho ¿ là một ánh xa khả vi liên tục từ X vào X (X là không gian

Banach) Nếu lle|| < 1 thi

a) phương trình (I.20) cỏ nghiệm duy nhất +" € X.

cì Tốc dé hội tụ dược xác dinh bởi bất ding thức:

(I.21) SC) — F(z" = lle(z) = ely) < Mellie - z'

Ap dụng nguyên lý ánh xạ co ta có điều phải chứng minh n

1.2.3 Phương pháp Newton tổng quát

1.2, MOT SỐ PHUONG PHÁP TONG QUAT TÌM NGHIEM XẤP XỈ CUA PHUONG TRINH 5

Giả sit ƒ khá vi trong một hình cầu S(r9,r) tim zo, bán kính r > 0 Lấy zø làmnghiém gần đúng ban đầu, ta có

(1.23) ƒ(ra) = f(t") = ƒ(ra) = f'(z0)(20 - z)

trong dé x* là nghiệm của phương trình (1,22).

Giả sử tồn tại ( /“(ro)) ˆˆ, ta có nghiệm của phương trình ƒ*(ze)(zo - z) = ƒ(zo)

là

(1.24) ry = 29 ~ (ƒ'(ze)} “` ƒ(za)

z¡ được xem như nghiệm gần đúng tiếp theo của z* Lập lại quá trình đó, ta được

dãy các nghiệm gần dúng liên tiếp

(1.25) #a+i = In — (/(a))”`fŒa)

Phương pháp nêu trên gọi là phương pháp Newton,

Ta nhận thấy mỗi bước tìm nghiệm gần đúng theo công thức (I.25) ta phải tinh

(/'(z„)) "` Để đơn giản, thông thường ta áp dụng công thức Newton cải tiến sau:

(1.26) Tn+‡ = #n — (ƒ'(za))”`ƒ(ra)

Định lý 1.2.4 (Sự hội tụ của phương pháp Newton cải tiến) Giả sử ánh xạ f kha

vi trong hình cầu S(za,r) và dạo hàm ƒ* thỏa man điều kiện Lispchitz trong hình

cầu dó, nghĩa là có L > 0 sao cho:

(I.27) L/“(z) - f(w)l| < Liz - vÏ, Yz.w€ S(ro,r)

Giả sử tồn tại (ƒ“(ze)) ` và Fe = |I(/'(zo)) “Ws no = II(//(zo)) "Sao Nếu

JF(z) —zoll < lI(/(za)) ` - |Í/'(za)(+ — x0) — Sx) + ƒ(zo)]

< Tollƒf(zo)(z — x0) + ƒ(zo) — f(z) +

L2 MỘT SỐ PHUUNG PHÁP TỐNG QUAT TÌM NGHIỆM XAP Xi CUA PHUONG TRINH 6

Từ đồng nhất thức

!

(32) f0)~/e)—ffŒJŒ—ze)= [ [fEa+tâz) ~ f(x)

trong đó, Ax = z — zọ, và từ điều kiên Lispchitz đối với f’, ta có

(1.33) f(x) — ƒ(re) — ƒ'(ze)(z - zo)|Ì < siz ~ zull

Do đó,

(I.34) IF(z) ~ ral] < Posie ~ zo! + m

Đặt ro = ton với my = (1 = V1 — 2ho)/họ là nghiệm bé nhất của phương trình

ma foto = 1 — vĩ — Bho < 1, nên F(z) là ánh xạ co trên hình cầu S(zo,r) Vậy

tồn tại điểm bất động duy nhất z* của F trong hình cầu S Ta có

(1.39) x* = F(x") = 2* = (f'(x0)) f(z")

suy ra ƒ(z") = 0 và day (1.26) hội tụ về z°

Tử (I.38), ta có ước lượng sài số sau;

(I.38)

Lá

(I.40) jan — #“|| < r= gizn ~ roll

trong đồ, q = hạte = 1 VT= 2E n

Dinh lý 1.2.5 (Sự hội ty của phương pháp Newton) Cùng với những ký hiệu trên

và điều kiện dối với ánh xạ ƒ nêu trong dinh lý trước Khi đó, nếu

(1.41) | 1 — V1 — 2ho họ = To <5 va -—_ ee

thi day xấp xi (1.25) hội tụ về nghiệm duy nhất z* € S(zg,r) của phương trinh

(I.22).

L2 MOT SỐ PHƯƠNG PHÁP TONG QUAT TÌM NGHIÊM XAP Xi CUA PHƯƠNG: TRINH 7

Chứng minh Lập cac dãy số

(1.43) hess —Tra sẻ Troi = Nnei

(1.44) |[ral<Fa: |Zaz/(7a)|l <i hạ < 5

trong đó,

(1,45) T(za) = (fan) 7's Stata) C Stat) Fa~1)

Ñ(z„,r„) là hình cầu cầu đóng tâm z„ bán kính r„

Chứng minh được tiến hành theo quy nạp

Giả sử (1.44) và (I.45) đã đúng với n = m Vi

L3 NGHIÊM GẦN ĐỨNG QUA PHƯƠNG TRINH TREN TRƯỜNG SỐ THUC 8

(1.54) ett = Em) Lint = Tne 20 VN loa ” — hed <3

Các bất đẳng thức (1.44) đã được chứng minh, Để kiểm tra (1.45), ta chỉ cần chúý: từ fle — z¿+¡|| < rey, ta suy ra bất đẳng thức:

llz ~ tell < Wa — taal + Wena — Tall S rear +m

Từ cách chứng minh định lý ta có ước lượng sau; lz, — #*l| < rạ (n > 1).

1.3 Nghiệm gần đúng của phương trình trên trường số thực

I.3.1 Phương pháp chia đôi

Xét phương trình f(x) = 0 Cơ sở của phương pháp này là định lý sau:

Định lý 1.3.1 (Định lý giá trị trung gian) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a.ð] vàƒ(a)ƒ(b) < 0, thì tổn tại ít nhất một giá trị € thuộc khoảng (a,b) sao cho ƒ(£) = 0

Nhận xét 1.3 Nếu f'(x) không đổi dấu, tức là ƒf{(z) > 0 hoặc ƒ'{z) < 0 với mọi

x € fa, b}, thì € là nghiệm duy nhất trong ía, 5).

Ghi chú 1.4 Trong phương trình đa thức bậc n

(1.58) auz” + dye! + ‹ aye! + ap = 0, a, #0

có không qua n nghiệm thực; do đó, nếu ta tìm được n + 1 điểm đổi dấu thi tách

nghiệm xong.

L3 NGHIỆM GẦN DUNG CUA PHUONG TRÌNH TREN TRƯỜNG SO THỰC 9

Giả sử f(x) liên tục trên đoạn fa, b] và f(a) f(b) < 0 thì f(z) = 0 có nghiệm £ ở

trong đoạn Ía.b| Ta gọi [a, ở là khoảng phân ly nghiệm

Ta tìm cách thu nhó dan khoảng phân li nghiệm bằng cách chia đôi liên tiếp

các khoảng phân li nghiệm da tìm ra.

Ta chia đôi đoạn la,A bởi điểm chia e = (a + b)/2

Nếu f(c) = 0 thì £

Nếu f(c) # 0 thì ta kiến {a,c} hoặc Íc,b| mà giá trị hàm ƒ ở hai đầu trái dấu;

ta ký hiệu đoạn được chọn là (a,b;| Đoạn Ía¡,b;| nằm trong {a, 6) và chỉ dài bằng

một nửa [a, 8}, tức là

1.59) bị — ai = 20 - a).

Tiếp tục chia đôi |ay,bị] và làm như trên, ta sẽ được khoảng phan |i nghiệm thu

nhỏ mới, ky hiệu là faa, be}, nó nằm trong Ía,b;Ì (do đó, nằm trong [a,b|), và chỉdài bằng nửa đoạn [ay by):

1 1 ‘

(1.60) bạ — dạ = zh -—a)= mlb —a).

Lap lại việc làm trên, kết quả là hoặc ta nhận được nghiệm đúng của là trung

điểm của một đoạn nào đó, hoặc là ta được một dãy (vô hạn) các đoạn thẳng lồngnhau, thất dan và chứa nghiệm €:

(1.61) [a, 6} D [ay.ða] 2 - 2 [aaba] D -,

B3:Tính ước lượng sai số e = ở = aNếu e < « thì quá trình dừng, nếu không quá trình quay lại B1

1.3 NGHIEM GẦN ĐỨNG QUA PHUONG TRÌNH TREN TRƯỜNG SỐ THỰC 10

Cho phương trình f(z) = 0, trong đó ƒ là hàm khả vi Giả sử phương trình này có

một nghiệm £ trong đoạn |a,ð| Trong một số trường hợp để tính gần dang nghiệm

này ta cô thế xét phương trình tương đương:

(1.68) r= (x),

trong đó, y{z) là hàm liên tục trên đoạn fa, b] Từ một giá trị nào đó zọ € |a,ð], gọi

là giá trị lập đầu tiên, ta lập day z¿, z2, zn, bằng công thức

(1.67)

(1.69) Tee1 = ý(Tk), k =0,1,2,

Nếu z„ —+ £ khi n — eo thi do f liên tục ta có:

(1.70) €= lim t= pits #(#a~i) - of lim za~¡) = #().

Vậy € là nghiệm của phương trình x = (z), và do đó là nghiệm của phương trình ƒ(z) = 0 đã cho.

Vậy nếu dãy (1.69) hội tụ, thì với n đỏ lớn, ta có thể chon 2, làm giá trị gần

Chứng minh Nếu với moi z € |a,b]:|/(z)| < ạ < 1 thì g(z) là một ánh xạ co vi

với mọi z, y € Ía,b]:

(I.71) le(z) — p(w) < le'()llz - vl < 4|z - 9l.

trong đó, 7 € fr, y/.

Vậy áp dụng nguyên lý ánh xạ co ta có điều phải chứng minh n

L3 NGHIỆM GẦN ĐỨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH TREN TRƯỜNG SỐ THUC WW

Ghi chú \.5 Giả sử trong khoảng (a,b) (a < £ < 6} có điều kiện |£'(z)| <q< 1 Vi

(I.72) Tey ~ € = ý(Zr) = £(€) = # (f)(#x — €),

trong đó F ở giữa ry và £, nên trong trường hợp mà (z) không đổi dấu trên (a,b),

ta có

1 Nếu ¿'(z) dương, thì (z¿, —£) cùng dấu với (24 — €), tức là day z„ tiến đến £

tử một phía Trong trường hợp này, chỉ cần zo € Ía,b} Khi đó, ta có z„ € Ía, b|

với mọi n € Ñ.

Ghi chú 1.5 làm chính xác thêm điều kiện thứ hai trong Định lý 1.3.2 trongtrường hợp y’(x) không đổi dấu trên (a, ð)

Đánh giá sai số của phương pháp lap đơn

Nếu các điều kiện của Định lý 1.3.2 thỏa man thì theo nguyên lý ánh xạ co ta có

công thức ước lượng sai số:

L3 NGHIỆM GẦN DŨNG CUA PHUONG TRÌNH TREN TRƯỜNG SỐ THUC 12

Ta có thể chọn n là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn

1 tí] = q)

1.76) —Ìn F

ing" fz: — zal

Ghi chú |,7 Công thức (1.73) cho ta ước lượng hậu nghiệm (a-posteriori estimate):

Nếu sai số giữa hai nghiệm gần đúng liên tiếp là

1.77) |#a — tus < —

thi |z„ — | < +.

Đưa phương trình về dạng giải được bằng phương pháp lặp đơn

Trong thực tế, muốn giải được phương trình f(z) = 0 bằng phương pháp lap đơn,

ta đưa phương trình này về dạng (1.68):

(I.78) z=v(z),

sao cho ở một lân cận [a, bj nào đó của nghiệm đương xét các điều kiện trong Định

lý 1.3.2 được đảm bảo với ¢ càng bé càng tốt (g càng nhỏ thi day lặp (1.69) hội tụ

càng nhanh) Nói chung, việc làm ấy có thể thực hiện bằng nhiều cách, phụ thuộc

vào biếu thức cụ thế của f(r) Nhưng ta có thế đưa f(x) về một trong các dạng

tương đương sau:

2 ø là hàm khả vi, |/(z)| < co với mọi z € fa, 5)

3 G là hàm khả vi, Ø(y) # 0 khi y # 0,

Vay ta có thể cho ¿(z) là vế phải của một trong những biểu thức ở trên, và ta sẽ

chọn 7, (x), G(x) sao cho các điều kiện của Định lý 1.3.2 được thỏa man Chẳng

hạn khi ƒ/(€) # 0, ta có thé lấy

]

(1.82) p(x) - “Fiz

và khi đó, @(z) = z — ƒ(z)/ƒ(z), va

a—y_ “Œ)ƒ()~ Fe) F(z) _ fla) fF")

(1.83) g(z}=1 Xung Tư ate

L3 NGHIÊM GẦN ĐỨNG CUA PHƯƠNG TRINH TREN TRƯỜNG SỐ THUC 13

(iii) z = ¿a(z) = YT000 — =.

Ta lần lượt xét sự hội tụ của nghiệm gần đúng trong từng trường hợp:

(i) ey (a) = =33zŸ; suy ra

1.3.3 Phương pháp dây cung

Trong mục này và mục kế tiếp, ta luôn giả thiết các điều kiện sau thỏa man

1 Phương trình f(x) = 0 có nghiệm € duy nhất trên fa, d}.

2 fix) và các đạo hàm ƒ*(z), ƒ*(+) đều liên tục trên [a, b}

3 #(r), f(x) đều khác 0, không đổi dấu và cùng dấu trên fa, b]

Với các giả thiết đó, đường biểu diễn của f(x) trên fa, b} là một cưng đơn, luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm, luôn luôn lồi (ƒ” < 0) hoặc luôn luôn lõm (f” > 0).

Giao điểm của cung này với trục hoành là điểm (£, 0)

1.3, NGHIEM GAN ĐỨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH TREN TRƯỜNG SỐ THUC 14

Điều kiện Fourier

Điểm x € |a,b được gọi là điểm Fourier nếu ƒ*(z) ƒ“(z) > 0.

Phương pháp dây cung

Tìm trên [a, bj một điểm X nào đó thỏa man điều kiện Fourier, và tính f(X) (nếu

tiện có thể lấy X là ø hoặc 6) Trên mặt phẳng zOy gọi điểm M(X, ƒ(X)) Sau

đó, lấy giá trị lập đầu tiền xo là một điểm trên {a,b}, sao cho ƒ(zo) khác dấu vớiƒ(X) Tinh ƒ(za) và goi điểm (ro, ƒ(za)) là No

Trên mặt phẳng zOy, đường biếu diễn ham f(x) trong đoạn (X, x9] là một cung MNo nào đó mà ta chưa biết Ta thay gần đúng cung đó bằng đoạn thẳng (dâycung) A/Ao đã biết, và lấy giao điểm của đoạn này với trục hoành (giao điểm này

sẽ thay thế cho điểm £) Vì vậy, ta đặt (z;.0) là giao điểm của dây cung M No với

trục hoành Nói chung, phép lặp tiến hành theo kiểu (r¿„;,0) là giao điểm của

day cung MN với trục hoành, trong đó, Ng là điểm (xx, ƒ(r:)).

L3 NGHIỆM GẦN DŨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH TREN TRƯỜNG SỐ THUC 15

Vì f(€) = 0 nên với X khá gần €, ta có

(1.92) HX) + (= XO = F(X - O70.

Thay vào vế phải của (1.90), ta được:

(1.93) v(x) = 5 Tx)"

Với X khá gần £, thì z'(z) khá bé Hơn nữa, vì X thỏa man điều kiện Fourier nên

#/(z) dương Do tính liên tục của #'(z), có một lân cận của điểm x = £, trong dé

#{z)<q<1.

Theo Định lý 1.3.2, nếu x, thưộc lân cận của £ thì phép lặp (1.88) hội tụ về £ từ

một phía.

Ghi chú I.8 Trong khi áp dụng phương pháp, không làm mất tính tống quát, ta có

thể giả sử hàm f(x) có đạo hàm f"(x) > 0 (nếu không, ta xét phương trình g(x) = 0

với g =—ƒ).

Giả sử ƒ' < 0 Khi đó, điểm z = a là điểm Fourier và fla) > f(é) = 0 vàƒ"{a) > 0 Chon xấp xi ban đầu zạ = b Lúc này, công thức (I.88) có dạng

f(r

(1.94) Thos = Th — Wea — a),

Tương tự, nếu ƒ”(z) > 0, f(z) > 0 thi 6 là điểm Fourier, Xấp xi ban đầu z =a

và ta có phép lap

ƒ(z›

(1.95) Tee) = 2 —~ oe ~ b).

Đánh giá sai số của phương pháp dây cung

Ta có thể đánh giá sai số của phương pháp dây cung theo hai cách sau:

1 Giả sử |ƒ'(z)| > m > 0 với mọi z € [a,b Ta có

|fŒk)| = (fen) — OL = Í//(&)(zx—€)| - (&(z,©))

L3, NGHIỆM GẦN ĐỨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH TREN TRƯỜNG SỐ THUC l6

Như vậy,

(1.100) (€ — #n+| * #n‡.| — #n)/'(&) re /'Œn)s+i —#n)›

hay

"`

(.101) l£ — #a+nl fen) la+t — nl:

Vì f(z) không đổi dấu nên |ƒ'(f„) — ƒ'(€„)| < Af — m; suy ra

(1.102) lza+¡ — 1S x —lZn+i — Tal:

Tóm tat thuật toán

(1.103) 0 = f(£) = f(z0 +h) = ƒ(ze) + Af’ (re) + 5r/ tro) đ.s¿i

Nếu xo khá gần £ thì h khá bé, cho nên, bỏ qua các số hạng bậc > A? ở vế phảicủa (1.103), ta được giá trị gần đúng họ của h là

L3 NGHIỆM GẦN ĐỨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC 17

Nói chung, phép lặp Newton tiến hành theo dạng

ƒ(zx)

ƒ(zx)

Về mat hình học, (z¿.„¡,0) là giao điểm của đường tiếp tuyến từ điểm (z+, f(z")

của đường cong biểu diễn ham f(z) trên (a,b) Vì vậy, phương pháp Newton còn

gọi là phương pháp tiếp tuyến

(1.106) Tk+1 = Tạ —

Trong trường hợp /'(z) > 0, ƒ”(z) > 0 với mọi + € [a,b] quá trình lặp Newton

điển ra như hình vẽ trên Trong hình vẽ này, ta nhận thấy day nghiệm lặp là một

day đơn điệu hội ty bị chặn bởi £.

Ta nhận thấy phương pháp Newton là phương pháp lặp đơn z = ¿(z) với

Đánh giá sai số của phương pháp Newton

Giả sử |ƒ“(z)| < My và |ƒ'(z)| > Me với mọi x € [a,b], Mat khác, ta có

(1.108) f(zn4i) = f(a+i) — ƒ(€) = F' (En+1)(Zn+1 —

€)-Suy ra

(1.109) RE le ae

Mat khác, từ công thức (1.106) và khai triển Taylor, ta có

(se) ® flea) + Len) (mss ~ 20) + Langs = za)?

(1.110)

£"(En)

L3, NGHIÊM GẦN ĐỨNG CUA PHƯƠNG TRÌNH TREN TRƯỜNG SỐ THUC 18

(1.112) |za+¡ — €| < YAM — ral’.

Từ công thức (1.112), ta suy ta +„„; rất gần € vì |z„¿¡ — £| = Ollenas — za|Ê).

Khác phương pháp lặp đơn có bậc hội tụ là 1 (|z„;¡ - §| = Ollensi — zal)),

phương pháp Newton có bậc hội tụ là 2 Phương pháp Newton hội tụ nhanh hơn.

Ghi chú I.9 Khi tính họ ở (1.104), ta đã bỏ qua số hạng bậc > h? ở vế phải của (1.103) Nếu ta giữ lại số hạng bậc h3, thì được

Se

(1.113) No = Fiza) + bof") 2

Thay gần đúng họ ở mẫu số bằng vế phải của (1.103), ta được

~2ƒ(zo) f‘(z0)

one hà 37270) — fro)" a0)

Nếu cứ làm nhự vậy cho các bước lặp tiếp theo, thi các giá trị hạ (& = 1,3, )

cùng sẽ lấy tương tự như vế phải của (1.114) (chi thay zo bằng z¿) Ta viết gọn và

Trong khi áp dụng phương pháp Newton, nếu việc tính f(x) không gập khó khăn,

ta có thé thay công thức lặp (1.106) bằng công thức chính xác hon:

L4 NHÂN XÉT 19

1.4 Nhận xét

1.4.1 Đánh giá và so sánh các phương pháp

Phương pháp chia đôi

Uu điểm của phương pháp chia đôi là thuật toán rất đơn giản, do đó dễ lập trình

trên máy tính.

Mat khác, vì phương pháp chia đôi sử dụng rất ít thông tin về hàm ƒ, nên tốc

độ hội tụ khá chậm.

Phương pháp lap đơn

Phương pháp lap đơn có nhiều ưu điểm đặc sắc như sau:

(i) Nghiệm gần đóng ban đầu z không nhất thiết gần nghiệm đúng, miễn là các

điều kiện hội ty trong Định lý 1.3.2 được bảo đảm

(ii) Phép lập đơn có khả nang tự sửa sai: nếu một z„ nào đó bị tính sai, thì chẳng

qua ta coi giá trị sai ấy như một giá trị ban đầu zo mới; nếu các điều kiện

trong Định lý 1.3.2 được bảo đảm, thì quá trình lặp tiếp theo hội tụ.

(iii) Ta có được ngay ước lượng sai số (tìm n hoặc no) theo (I.73), hoặc (I.74))

(iv) Dễ lập trình trên máy tính.

Nhược điểm của phương pháp lặp là khi hệ số ạ gần 1, phép lặp hội tụ rất

chậm Hơn nữa, việc đưa phương trình f(z) = 0 về dạng giải được không dể.

Phương pháp dây cung

Phương pháp dây cung là một trong những phương pháp được sử dụng rộng rai để

tính gần đúng nghiệm thực của phương trình đại số và siêu việt.

Uu điểm của phương pháp dây cung là khi biết z„ đế tính z„„¡, ta chỉ phải tính một giá trị của hàm f tại điểm z„ (trừ trường hợp n = 0 ta phải tính hai giá trị của

hàm /).

Nhược diém của phương pháp dây cung là tốc độ hội tụ chậm.

Phương pháp Newton

Uu điểm của phương pháp Newton là tốc độ hội tụ nhanh

Nhược điểm của phương pháp là biết r„, đế tính z„;; ta phải tính một giá trịcủa hàm f và một giá trị của đạo hàm ƒ'

Những đánh giá sai số của phương pháp dây cung và Newton thường quá trội

so với thực tế Do đó, trong tính toán, để đánh giá sai số của nghiệm gần đúng,

nhận được bằng phương pháp dây cung hay Newton, người ta thường tìm cách thu

hẹp đến mức tối đa khoảng chứa nghiệm Làm như vậy ta sẽ nhận được đánh giá

tốt hơn, đồng thời khối lượng tính toán nhỏ hơn

L4 NHÂN XÉT 20

1.4.2 Sơ đồ tổng quát tìm nghiệm phương trình

Giả sử xét phương trình:

(1.118) f(r) = 0,

trong đó f: D + R(D C R) Ở dây, ta chỉ tim các nghiệm thực của phương trình

còn trường hợp nghiệm phức chỉ xét riêng cho phương trình đa thức sẽ được trình

bày ở chương sau,

e Trước hết, ta căn cứ vào các tính chất của hàm fir) mà xét phương trình

(1.118) có bao nhiêu nghiệm (giả sử là k nghiệm).

e Tiếp đó, ta xác định & đoạn rời nhau đôi một trong R sao cho mỗi đoạn chỉ

chứa duy nhất một nghiệm của phương trình (I.118) (độ dài mỗi đoạn nên lấy

đủ nhỏ)(gọi là tách nghiệm).

Trong thực hành, để thực hiện hai bước trên, người ta thường dung phương

pháp đồ thị: vẽ đường biểu diễn hàm ƒ; các hoành độ giao điểm của ƒ với

trục hoành là nghiệm của phương trình, Do biểu diễn hàm ƒ trên đồ thị, nên

ta không thể xác định được chính xác giá trị các nghiệm, nhưng ta có thểxắc định được số nghiệm và các khoảng chứa nghiệm Ngoài ra, trong trườnghợp đa thức, ta có nhiều phương pháp khác có thế xác định được chính xác

số nghiệm và các khoảng chứa nghiệm.

e Sau khi xác định số nghiệm và tìm được các khoảng chứa nghiệm, ta tiến

hành điều chỉnh gần nghiệm đúng với sai số cho phép bằng các phương pháp

tìm nghiệm xấp xi của phương trình.

Để ước lượng sai số, ngoài các công thức trong mục I.3 ta còn có định lý sau:

Định lý 1.4.1 Giả sử € nghiệm đúng và F là nghiệm gắn đúng của phương trình

f(x) = 0 cùng ở trong đoạn (a,b); đồng thời,

Chương II

Nghiệm của phương trình đa thức

11.1 Ba thức và phương trình đa thức

11.1.1 Đa thức một biến số

Một biếu thức đại số có dạng tổng quát sau:

(II.1) Pa(+) = ag” + aye"! + + + ayz + a9,

trong đó, Gn, @n—1, -, an, là các số thực cho trước, n € N và z là kí hiệu hình

thức, thì biểu thức đó được gọi là đa thức Trong chương này ta chí xét trường hợp

x lấy giá trị số.

Nếu a„ # 0 thì ta gọi đa thức là đa thức bậc n một biến số z, nếu P(x) = a0

thì ta gọi đa thức này là đa thức bậc 0.

Nếu không cần nhấn mạnh biến z, thì đôi khi ta viết đa thức trên dưới dạngPa(£) = (Ans @n—1) «++ s1, 6)

11.1.2 Nghiệm của phương trình đa thức

Cho P(z) là một đa thức hệ số thực và bậc > 1 Xét phương trình đa thức:

(II.2) P(z) = 0,

trong đó, z là ẩn số.

Ta quy ước gọi nghiệm đa thức P(x) là nghiệm của phương trình đa thức P(x) =

0.

Nếu e là một nghiệm của phương trình „(z) = 0 thì khi đó P„(z) chia hết cho

z~—c, nghĩa là ta có P(r) = (+ =c)Qa-;Íz), trong đó Q„_¡(z) là đa thức bậc r: — 1.

Thật vậy, ta có f-(r) = (+ = e)Qa-)(z) + #{c), suy ra P-(z) = Ric) Vic là

nghiệm của phương trình, nên Pa(e) = 0 Do đó, R(c) = 0 hay n(z) chia hết cho

#~cC.

Định lý cơ bản của đại số

Dinh lý II.1.1 (Định lý cơ bản của đại số) Một da thức bậc n (n > 1) trên trườngcác số phức có ít nhất một nghiệm (nghiệm thực hoặc phức)

(II.4) Pa(r) = (1 — €¡)Qa-i(#),

trong đó Q„_;(z) là đa thức bậc n - | với hệ số bậc ø — 1 là a„

Từ đó, Q„_¡(z) cũng có một nghiệm thực hoặc phức cạ; ta có

(II.5) Qa-¿(z) = (z — €2)Qn-2(2),

trong đó, Q„_z(z) là đa thức bậc n — 2 với hệ số bậc n = 2 là a„

Tiếp tục phân tích Q„_z.Q„-_ , Qa(z), cuối cùng ta được

(II.6) Qu(z) = ag (x — ca).

Do đó, ta có

(1.7) Pn(z) = aa(Z — ei)(Z = ca) : + ' (# = en).

Giả sử trong số các nghiệm e¡,ea, c„ Có

ky, số bằng a,

(II.8) sướng

khi đó, ta có

(II.9) Pa (x) = an(z — œ)#1{z — ag)® - (x — a)®,

trong đó, n = ky + kạ + - + hy, và oy,oy, d¿ lần lượt là các nghiệm bội

By Kenan es

Vậy ta có kết quả quan trọng sau: Trén trường số phức, da thức P„(z) có

n nghiệm (mỗi nghiệm bội k dược kể là k nghiệm) Ký hiệu các nghiệm ấy là:

Tt,fạ ,#+ với |x| > |za| 3 - :- > |ra|.

Ký hiệu tập hợp nghiệm của phương trình f(z) = 0 là 8 ƒ Như vay, tập nghiệm

của P„(z) được ký hiệu là @ P„.

Vì (= Py) = 0 P„, nên ta có thé luôn giả thiết rằng a, > 0.

Công thức Viet

Xét da thức bac n

(H,10) P(x) = Gynt” + an y2""' + -+ayz' +09 (a, #0)

có nghiệm

Công thức {II.!2) được gọi là công thức Viet.

Đa thức dối - Đa thức đảo

Cho đa thức Pa(x) = (dn,@„—, đị, a0), với OP, =

{Zt.7¿,.-.vTa}-Đa thức đối,

Ta gọi da thức đối (hay đa thức dối cấp 0) của P„(z) là đa thức

(II.13) DO P(x) = (an, —Gn—1, -, (—1)*2e).

Vì

T9) P, (+) = anz” — an_y2TM"! + + (—1)"ag

= (—1) (đo + @i(=#) +++: + aa(=z)")

nên 0D P„ = ~ 0 Py = {—#\, —#2 —#n}.

Ta gọi đa thức đối cấp 1 của P(x) là đa thức

(II.15) DpU)P„(z) = DOP, (2) x D9) P„(z)).

Nói chung, phép lấy đa thức đối cấp s (s = 2.3, ,) của đa thức #a(z) được

định nghĩa như sau:

(II.17) DMP, = D (Die x D (D'*-YP,)).

(1.16)

Dùng phép đổi biến = = z?, thi DP, (x) trở thành đa thức II )(z) mà:

(II.18) ents) =(—z†,-zŸ` —z2 }.

ÚC VÀ BH, :

Đa thức đối được dùng trong việc tìm nghiệm của phương trình đa thức bằng phương

pháp Lobasepxki,

Ba thức đảo:

Ta gọi đa thức đảo của +„(z), ký hiệu £P„(z) là đa thức

(II.19) CFa(#z) = (aạ,0\, „ đa).

Khi đó, tập hợp nghiệm của đa thức đảo CP, là

vi

€Pa(z) = aor” + apr?! + + + ay

Nếu có thuật toán tìm nghiệm với modun lớn nhất, thì áp dụng thuật toán này cho

đa thức đảo ta tìm được nghiệm có mudun nhỏ nhất của đa thức ban đầu.

11.1.3 Nghiệm bội của phương trình đa thức

Trong trường hợp có k € {1,2, nw} sao cho P,(x) chia hết cho (x — e)* nhưng

không chia hết cho (z — c)**", thì

(II.22) Pa(z) = (z — e)*Q(z),

trong đó Q(c) # 0.

Lúc đó, ta gọi c là nghiệm bội & của phương trình P(x) = 0 Nếu k = 1, ta gọi

c là nghiệm đơn.

Điều kiện để c là nghiệm bội k

Ta có khai triển Taylor của Pa(z) tại z =c là

Vi vậy, nếu P, (2) không chia hết cho (x - e)**! thi P@(c) # 0.

Vậy, diều kiện dé nghiệm c là nghiệm bội & là:

(II.26) P„(e) = P2(c) = P(e) es = P““=9(e) =0 và Pic) #0

Ví dụ 11.1.1 Phương trình P(x) = 2" — nx + n — 1, n > 1 có một nghiệm c = 1.

Hỏi nghiệm e = 1 có phải là nghiệm bội không ?

Ta có P'(z) = nz"~Ì — n, P*“(z) = n{n — 1)z"~?

Do đó, P(1) = P*(1) = 0, P"(1) #0 Vậy e = 1 là một nghiệm kép Đa thức

P(x) chia hết cho (x — 1)? nhưng không chia hết cho (x — 1)Ÿ.

4 ' ;

Tìm nghiệm bội

Gọi

a;,0%,.-P(r) =0.

.„a, là những nghiệm bội phân biệt cấp ky ke , #, của phương trình

Nghiệm bội cấp & của P(x) = 0 là nghiệm bội cấp & — 1 của phương trình

P'tz) =0, Do đó, P(z) và P’(x) chia hết cho

D(x) = (x ~ ai)#*~Ì{z — aa)*#~Ì (x = a)!

Đặt X, là tích của những đa thức cấp 1 tương ứng với nghiệm bội cấp 7, trong đó,

nếu P(x) không có nghiệm bội cấp k, thì X„ là hang số.

Khi đó, P(x) = AX, XZX} -, trong đó A là hang số.

Do đó, D = X;X‡Xỷ: là ước chung lớn nhất của P và ?”.

Tương tự, ta có

Dị =

X;X‡X3 -Dạ =

X4X2X2 -Diy, = cơnal.

là ước chung lớn nhất của D va D’,

là ước chung lớn nhất của Ð; và Di,

Ta được một dãy đa thức với ước chung lớn nhất D, Dị Do, ,

Din—1-Khi đó, đa thức P(x) không có nghiệm bội cấp lớn hơn m Dat

(II.28) f= Xi, Be Xap b= Xe, Sm = Xn.

Lúc đó, nghiệm đơn của X;, X¿, X„ lần lượt là nghiệm bội cấp 1,2, m của

phương trình P(x) = 0 Nếu X, là hang số thì phương trình P(r) = 0 không cónghiệm bội cấp k

Ví dy 11.1.2 Tìm nghiệm bội của phương trình (z) = z*~z1~=2r}+2z?++~ 1 = 0.

Ta có ước chung lớn nhất của P và P' là Diz) = z3 - z?- z +1 Ta có

D(r) = 3z? = 2r ~ 1

(nhan 3) 1 -1 -1 1 | 3 -2 -1

3-3 -3 3 1 -1 3-2 -1

(nhãn 3) -Ì -2 3

(11,29) ig ck 5

-3 2 1

(chia =8) -8 8

11.2 MIEN CHUA NGHIEM 26

Vậy Dy = r ~ 1 và Dy = 1; suy ra phương trình không có nghiệm bội cấp lớn hơn

11.1.4 Sơ đồ tống quát tìm nghiệm thực của phương trình đa thức

Xét phương trình đa thức bậc n0; a„z” + a„_¡z”~Ì + + + a¡z + aạ =0

e Tính số nghiệm thực của phương trình.

e Xác định miền chứa nghiệm

e Tach nghiệm tức là tìm trong miền chứa nghiệm những khoảng đủ nhỏ mà

mỗi khoảng chỉ chứa một nghiệm

e Bước sau cùng, bằng các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ trong các khoảng

phân li nghiệm ta tìm được nghiệm gần đúng của phương trình như các phương

pháp lap, phương pháp chia đôi, Ngoài ra, đối với phương trình đa thức ta

còn có các phương pháp và thuật toán giải đặc biệt khác như phương pháp

Lébasepxki,

11.2 Mién chứa nghiệm

II.2.1 Miền chứa nghiệm

Trong các thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình đa thức, trước tiên, ta giải

quyết vấn đề làm sao tìm được một tập hợp gọi la miền mà các nghiệm của phương

trình đều nằm trong đó.

11.2, MIỄN CHUA NGHIỆM 27

Ví dụ:Ta xác định các số a(P), ð(P), c(P), d(P} sao cho mọi nghiệm dương của

phương trình P = 0 không ở ngoài khoảng (b(P),a(P)), và mọi nghiệm âm không

ở ngoài khoảng (d(?P),e(P))

Thực tế, chỉ cần xác định d(P), a(P) là đủ Tuy nhiên, có thể chỉ cần phương

pháp xác định một chặn trên a(P) của các nghiệm dương, rồi cũng bằng phương

pháp này, ta có thế tính b(P), e(P) d(P) vì

1 -l1

ace’ °PÌ“rrppôp:

II.2.2 Phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm dương

Giả sử ta cần tim nghiệm của đa thức P„(z) = (4a.đa~y ®¡, độ) (aq > 0)

(II.33) d(P)=-aDP, b(P) =

Phương pháp thứ nhất

Gọi & là bậc lớn nhất của các hệ số âm của „(z), A là giá trị lớn nhất của các giátrị tuyệt đối của các hệ số 4m của đa thức Như vậy, thì nghiệm đương lớn@nhất của P„(z) không vượt quá số

Do dé, các giá trị z thỏa man bất đẳng thức (11.37) thì không thé là nghiệm của

phương trình Vì vậy, nếu z là nghiệm dương của phương trình thì

* A

z<l+ l=.

an

Ghi chú 11.1 Qua chứng minh trên, ta thấy cách đánh giá a(P) bằng (11.34) không

that sát, đặc biệt khi |aa| khá bé so với A Do đó, a(P) thường quá lớn; muốn có

đánh giá tốt hơn, ta có thể phân tích P„ thành tổng của vài đa thức P = ÿˆ,„„ P(9

U hữu hạn); sau đó, tinh af PM) rồi lấy a(P) = max, a(P() Trong khi phân tích,

ta cố giảm 4/a„ và giảm k

11.2 MIEN CHUA NGHIEM 28

thi ta có a(P()) = 25, a( P!)) = 350/51 < 7; do đó, ta có thể lấy a(P) = 25.

Ghi chú II.2 Ngoài ra, để tìm miền chứa nghiệm của đa thức, có thể vận dụngphương pháp Newton: Nếu tại x = e > 0, đa thức P(x) và các dạo hàm của nó

đều không lớn bằng c, thì mọi nghiệm dương của P„(+) đều không lớn bằng c Điều

này dé nhận thấy nếu khai triển P,(2) thành chuối Taylor tại z = e

Ví dụ 11.2.2 Xét lại ví dụ trước, ta đã tính được a(P) = 25 Lập bảng Horner mở

rong (xem phần phụ lục chương II) của đa thức này khi z = 10, thì ta thấy các số ở

góc bảng đều dương Do đó, ta có (10), P“(10) , đều dương Vậy ta có thể lấy

(1.42) f(z)= (x = e)(fa(e)z"”?~“t“+ fa-s(e)z"”3“t + + fa~@~)(€)) + đe).

Các số ƒa(€) f„-¡(c) fa(c) nhân được bằng cách lập bảng Horner cho ?„(z)

tại r =e.

Phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm thực dương dựa vào hai tính chấtcủa các da thức Sins TT see Sai

Đầu tiên, nếu đối với các số thực dương c, các số ƒn-z(€), ƒa-zÍc), file)

không âm, và fo(c) > 0, thi ta có thể chọn c làm giới hạn trên các nghiệm thực

dương Thật váy, từ (11.42), ta có khi ¡ = 0 thì

(11.43) folz)= Palz)>0 nếur>c

Vi vậy, không thể có các nghiệm thực của phương trình P„(z) = 0 lớn hơn c

Thứ hai, nếu e > 0 mà các số ƒ„ 2(€) fa~-aÍc) fac) (k < n) không âm, thì

khi đó, đối với cf > e, ta có fn), /a-a(e'), , Sa(@) là dương Từ (11.42), khi

+z =c, ta có:

(44) file’) = (c — e)(/a(e)c””?“' + fale)" + + Satins (©) + Site):

12 MIEN CHUA NGHIEM 29

là số dương khi ¿ = n ~ 1.n = 2, k vì đ >ec và fa(c) =a, > 0.

Từ hai chú ý trên đây, ta có phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm thực

dương như sau:

Bất đầu, ta chọn các số e, thường là số nguyên ƒ„-¡í(c) là số dương hoặc

0 Số này dé dàng xác định được và /„_; là da thức bậc nhất Nếu các số fFa_a(c), fa-a(c), fale) không âm, khi đó, trong trường hợp ƒo(c) > 0, ta có thể chọn c là giới hạn trên của các nghiệm thực của P„(r) Nếu fo(c) = 0, thì một

nghiệm đã được xác dinh và các nghiệm khác sẽ nhỏ hơn c.

Nhưng giả sử rằng ƒ„+„¡(c) là số âm, trong khi đó, các số ƒ„(c), fa-z(€), fee) đều là các số không âm Khi đó, ta có thế lap lại phương pháp tính dối với c, = e+ 1

sao cho ƒ¿,¡(e;) > 0 Khi đó, các số ƒn~x(€), ƒa-2(ei) - - - „ foler) là số dương Bây

gid, nếu files) f2(£\) ƒa(e) là các số không âm, và /fa(c¡) > 0, thì cy có thể

được chọn làm giới hạn trên của nghiệm thực dương Trong trường hợp ngược lại,thi quá trình được lặp lại một lần nữa với cách chọn số nguyên cạ = c¡ + l,

Khi các hệ số âm của phương trình có giá trị tuyệt đối lớn, thì ta có thể lấy giá

trị e = 10, 100, 1000 , để rút ngắn quá trình tính.

Vi dụ II.2.3 Tìm giới hạn trên của các nghiệm thực dương của phương trình #%(r) =2r3 ~ 7z! ~ ãr + 6z? + 3r = 10 = 0.

Ta có fs = 2, fy = ?r =7 DE f(x) là số dương, ta chọn z = e = 4 Khi đó, ta lập bang Homer của Ps(x) tại x = 4 để tìm các giá trị /s(e), fale), - fole):

Vay c= 5 là giá trị giới hạn trên của các nghiệm thực dương của P(x) = 0.

Ví dy 11.2.4 Tìm giới hạn trên của các nghiệm thực dương của phương trình f»(z) =

Vậy ¢ = 20 chắc chấn là giới hạn trên của các nghiệm dương Nhung số này có

thé chưa sát, ta có thể kiếm tra bằng các số nhỏ hơn, như 19, 18, 17, Theo cách

này, ta có thể tìm được 17 là giới hạn trên nhỏ nhất của các nghiệm dương

11.2 MIEN CHUA NGHIEM 30

1.2.3 Giới hạn modun của nghiệm

Xét phương trình P„(z) = (a„,da—¡.- - a;,a9) Gọi

Khi đó, modun các nghiệm (thực và phức) của f„(z) không lớn hơn số

(II.54) Jan"! + a„_2#"*2 + +s + aạ| < HT

Với |z| > 1 thì bất đẳng thức sau đây luôn đúng:

(II.55) janx” | > lan"! + aq az"? + + + ag).

Khi đó,

(I.56) bel < ls.lz^ = kesllz|° : kị—1— =

Suy ra

Vậy nếu các z thỏa (II.57), thì bất đẳng thức (II.56) đúng, hay |P„(z)| > 0 Do đó,

không có nghiệm nào của phương trình #+„(z) = 0 có modun lớn hơn R.

1.3, SỐ NGHIEM VÀ TÁCH NGHIEM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 31

11.3 Số nghiệm va tách nghiệm của phương trình da thức

Trước tiên, ta nhắc lại một vài kết quả đơn giản về số nghiệm của phương trình đa

e Nếu ag = 0: z = 0 là nghiệm của phương trình.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử œ¿„„¡ > 0, Khi đó, với e > 0 đủ lớn f(c)

là số dương và f(—c) là số âm

© Nếu ag > 0: phương trình có một nghiệm âm vì f(—c) < 0 < /(0).

e Nếu ao < 0; phương trình có một nghiệm dương vì f(c) > 0 > /(0).

2 Một phương trình đa thức bậc chắn f(z) = az„z?" +azn_z?"*~Ì + - - -+ao = 0 với

đ2„ VA ao trái dấu thì phương trình có ít nhất một nghiệm thực âm và một nghiệm

thực dương.

Thật vậy, giả sử aa, > 0 Với c đủ lớn, ƒ(e) và ƒ(—e) là số dương Trong khi đó,ƒ(0) = ao < 0 Do đó, phương trình có ít nhất một nghiệm âm thuộc (—c,0) và ítnhất một nghiệm dương thuộc (0 c)

3 Một đa thức với hệ số thực không có nghiệm trong đoạn [a, ðj thì dấu của đa thức

đó không đổi với mọi giá trị x thuộc {a, bÌ

Thật vậy, nếu x < y;z, y € [a, 6] sao cho f(x) f(y) < 0.

Đa thức có ít nhất một nghiệm thực thuộc {z,y); nghiệm đó hiển nhiên thuộc

{a,b| (điều này trải với giả thiết

Ngoài ra, f(r) va f(y) không thể bằng 0 vì đa thức ƒ không có nghiệm thực

thuộc Ía, 4}.

4 Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (a, ð)(nghiệm bội k tính là k nghiệm)

là lẻ hoặc chấn tùy thuộc f(a), f(b) cùng dấu hoặc trái dấu Gọi œn,a¿, ,a; là

các nghiệm bội phân biệt của f(x), nằm giữa a và b, va ky, ke, , &; là tương ứng

bậc của các nghiệm bội đó Khi đó, f(x) = @(#)(z — ay)*'(z — ag)" - (# — ay)",trong đó, v(x) không có nghiệm thực thuộc (a, 5).

Ta thay z = ð và z =a vào f(x) và lập tỷ số

f(b) _ pla) (b—ay)TM(6— 29)" -(b— ay)"

a-a; a— dạ a-—a;/ ` Theo Hệ quả 3, ta có ¿2(b)/¿{a) là số dương Mặt khác,

(II.59) TT Fa — “ga (=3)"

1.3, SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM QUA PHUONG TRÌNH ĐA THUC 32

là các số Am Do đó, ƒ(b)/ƒ(a) có dấu của (—1)*?*2+- +,

Vậy kị + k¿ạ +: + hy là số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong (a,b)

(nghiệm bội cấp k được tính là & nghiém) là số lẻ nếu f(a) và f(b) trái dấu,

và là số chin nếu ƒ{a) và ƒ(ð) cùng dấu

Chú ý:Xét dãy hữu hạn phần tử a,, ,@1, đo

Sau khi bổ các phần tử bằng 0 của dãy {a„} ta được dãy hữu han phần tử khác 0:bạy, 6ị, bạ, Ta gọi số lần đổi dấu của day {an} là số lần b,.b,¿¡ < 0 khi 0 < ¡ < m

1.3.1 Dinh lý Rolle

Bổ đề 11.3.2 Giả sử c là một nghiệm thực của phương trình da thức ƒ(z) = 0 thì

tỷ số ƒ*(r)/ƒ(z) dối dấu từ âm sang dương khi x tăng qua c.

Chứng minh Goi +.z2, En là các nghiệm của đa thức

(11.60) ƒ(r) = ax+" + Gy—y2"* aye’ + a9.0

Ta có phân tích

(II.61) f(r) = an(# — #\)(# — #2) -(# — tn):

Thay x bởi x + h (h € R) vào biểu thức trên, ta được

ƒ(r + h) = ay(z +h = #\)(£ + h — #a) - + : (# + h — #a)

13, SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM CUA PHUONG TRÌNH ĐA THỨC 33

hay

s(x) 1 1 l

fir) “T-a += ait ee

(1.68)

Các nghiệm zr;,z; ,z„ không cần phân biệt Gọi a;,œ¿, -,a¿ là các

nghiệm phân biệt trong số các nghiệm đó, va k;,kạ, ,k¿ lần lượt là bậc bội

của các nghiệm ø\, 0x, - - - ,ằ¿ Khi đó,

f'(x) ky ky ke

f(x) “3-71 he r—2% peers z=—2)

Ta có f(x) = (x — ay)" g(x), trong đó, a(x) không có nghiệm ay, và có nghiệm

aạ, ox, - ,a¿ là nghiệm bội bậc ke, kạ, kị Ap dụng tương tự như trên cho g(r),

Thay 2 = a; — 6,2 = a; +€ với « > 0 vào (II.71), ta được

mạ ƒ(@A=9„ h,gín-J- fimt+d bh, gate , fia-) ” g(œ — €) ` f(a +6) € gíœm +€).

(0.73) 2 ae ae£ £

trong khi đó,

uy Heard ,/@U ate) đám, : ga) gi)’ = f(a +6) gle)

Vì g(œi)/g(a¡) hữu hạn, nên ta có

ƒ(m_—s) — _ ƒ(m+€e) —_

(II.75) Nea) SG, [2E +00.

Bố đề da được chứng minh lm)

Định lý 11.3.3 (Rolle) Giữa hai nghiệm thực liên tiếp a,6 của phương trình f(x) =

0 có ít nhất một nghiệm hay một số lẻ nghiệm của phương trình ƒ'(z) = 0 (ƒ(z)là

Suy ta ƒf(a +) và f"(b = «) trái dấu nhau Lúc đó, ƒ'{z) có ít nhất một nghiệmthuộc (a;ð), hoặc một số lẽ nghiệm (tính nghiệm bội bậc & là & nghiệm) Oo

0.3 SỐ NGHIEM VÀ TÁCH NGHIỆM CUA PHUONG TRÌNH ĐA THỨC 34

Hệ quả 11.3.1 Œ/ữa hai nghiệm đơn liên tiếp c và d của phương trình f'(x) = 0

có tối đa một nghiệm của ƒ(z) = 0

Chứng minh Già sử có hai nghiệm a và 3 của f(x) ở giữa c và d, sao choc <a <

3< d Khi đó, theo Định lý II.3.3, ƒ'(z) có ít nhất một nghiệm ở giữa a và J; do

đó c,d không thể là hai nghiệm liên tiếp của /*(z)

Tương tự, nếu u là nghiệm nhỏ nhất của ƒ7(z) và v là nghiệm lớn nhất của f(z),thi trong mỗi khoảng (—oo, «) và (v, +00) chí có thể chứa một nghiệm của f(z)

Ta có f(x) không có nghiệm trong khoảng (c,d) nếu fic) f(d) > 0 và chỉ có một

nghiệm nếu ƒ(e)ƒ(đ) < 0

Tương tự, trong mỗi khoảng (—oo, u) và (0, +00) không có nghiệm hoặc chỉ có một nghiệm nếu dấu của đa thức f(x) tai các đầu mút của mỗi khoảng cùng hoặc

trái dấu O

Dưa vào hệ quả trên, ta có phương pháp tach các nghiệm don của đa thức f(x)

khi biết nghiệm của đa thức ƒ'(z):

Gọi e¡, ca, ,cy là các nghiệm phân biệt của /f(z), sao cho cy < œ3 < : < cy,

Xét các dấu của các giá trị sau

(II.77) £(—00), fer) ƒ(ca), - - ƒ(e«), ƒ(+).

Khi đó, số nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 bằng số lần đổi dấu của dây

(11.77), Hơn nữa, ta xác định được khoảng chứa các nghiệm đó.

Ví dy 11.3.1 Tach các nghiệm của phương trình

có ba lần đổi dấu Suy ra ƒ(z) có ba nghiệm đơn; các nghiệm đó lần lượt thuộc

vào các khoảng (—se, —1), (—1, 1), (1, +00).

Ví dy II.3.2 Ta áp dụng những điều đã trình bày ở trên để tìm số nghiệm thực của phương trình

(II.80) fir) = +! — 4az + b = 0.

Ta có ƒ'(z) = 4(z3 — a), ƒ*(z) có duy nhất một nghiệm thực là Ya Tại z = Ya,

ta có f(a) = —3aÿ4 + b,

Nếu b = Ya, hay & = 27a* , thì f(r) có nghiệm bội là Ya

Nếu & > 27a3, thì ta có bảng sau

1.3 SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM QUA PHUONG TRÌNH ĐA THUC 35

1.3.2 Định lý Gua

Xét phương trình có dạng

(II.83) F(x) = rƒ'(z) + aƒ(z).

trong đó, a là một số thực bất kỳ 4m hoặc dương.

Dat bị < bạ < - <b, là các nghiệm dương phân biệt của ƒ(z) = 0

Gọi ở, đ¿, đ, là bậc của các nghiệm bội trên.

Đặt r là là số nghiệm dương của f(x), thì ta có

(II.84) r=ổ:+(a+-::+ổ,.

Nếu Ø, > 1, thì các 4 là nghiệm bội bậc 3, - 1 của F(x) = 0 Thật vậy, vì

(II.85) f(z)=(z—b)®*ƒœ) f(z) = (z~— b)*~}ƒa(z),

nên F(x) = (z - b)#~'|zƒa(r) + a(z — bi) fi(z)] Nhưng với fa(z) = zƒa(r) +

a(x — ð,)ƒ/¡(z) ta có ƒfa(b,) = b,ƒa(b,) # 0 (b, không là nghiệm của fo(r)) Vay, b,

là nghiệm bội bậc đ, - 1 của F(z).

Do đó, số nghiệm dương của F(z) là

(11.86) (ổi ~ 1) + (đa = VW +::- + (8, = 1) = r = 4.

Ngoài ra, F(x) có it nhất một nghiệm trong mỗi khoảng (6), 62); (ba, ba); ~~ ; (ð„¿—¡, by)

Thật vậy, lấy một số dương « nhỏ tùy ý Khi đó, theo Bố đề II.3.2, ta có ƒ'(z)/ƒ(z)

tiến đến +oo nếu x = 6 +, và tiến đến —oo nếu z = b¿ — « Suy ra

FO +O) ao „ (Mai =1.

ƒ(b + ©) ƒ(b,+ì — ©

mà f(b +6) và ƒ(b,„; — © cùng dấu nên F(b, + «) và F(b,¿¡ — ©) trái dấu

Khi đó, F(z) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (b;, b; + )

Tóm lại, ta có

Định lý 11.3.4 (Gua) Phương trình F(z) = +ƒf(z) + œƒ(z) = 0 có r ~ s nghiệm,

trong đó, có ít nhất là s — 1 nghiệm phân biệt Nếu đa thức f(x) có r nghiệm dương thì F(x) có ít nhất là r - 1 nghiệm dương.

(II.B7)

11.3.3 Định lý Descartes

Định lý 11.3.5 (Descartes) Cho da thức fn = (a„ a,ae) Số nghiệm dương

của phương trình ƒ„(z) = 0 bằng số lân đối dấu của day các hệ số a„, ,®¡, an

hay kém số ấy một số chan

Chứng minh Gọi V là số lần đổi dấu của day các hệ số của f,, và r là số nghiệm

dương của f,, (nghiệm bội k được tinh là & nghiệm).

Trường hợp V = 0 thì định lý hiển nhiên đúng.

Nếu các hệ số khác không cùng dấu thì ƒ„ không có nghiệm dương; khi đó,

Giả sử định lý đúng với V = 1 lần đổi dấu Ta chứng minh định lý dang trong

trường hợp V lần đối dấu

Gọi aq, a9 (a < Ø) là hai hệ số trái dấu.

Số lần đối dấu V bao gồm ba phần: