L3. NGHIỆM GẦN DŨNG CUA PHUONG TRÌNH TREN TRƯỜNG SỐ THUC 12
II.2.2 Phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm dương
Giả sử ta cần tim nghiệm của đa thức P„(z) = (4a.đa~y...®¡, độ) (aq > 0).
(II.33) d(P)=-aDP, b(P) =
Phương pháp thứ nhất
Gọi & là bậc lớn nhất của các hệ số âm của „(z), A là giá trị lớn nhất của các giá
trị tuyệt đối của các hệ số 4m của đa thức. Như vậy, thì nghiệm đương lớn@nhất của P„(z) không vượt quá số
(II.34) a(P) =1+ V2
Thật vậy, ta có
(11.35) Pal) 3 Oa — Al 424-1 400.4241) = aga" — A(Z =),Ls
Với xr > 1, ta có
el ght
Ont -A( == ) > ane” — A—
tk a — 3 —1
(II.36) say one (== 1) - A)
gt =ẹ
> TC[((z~ 1)" ~ 4).
Vậy P„(z) > 0 nếu a„(z — 1)*“* — A> 0, tức là nếu
(1.37) r>1+ f=.an
Do dé, các giá trị z thỏa man bất đẳng thức (11.37) thì không thé là nghiệm của phương trình. Vì vậy, nếu z là nghiệm dương của phương trình thì
..* A z<l+ l=.
an
Ghi chú 11.1. Qua chứng minh trên, ta thấy cách đánh giá a(P) bằng (11.34) không that sát, đặc biệt khi |aa| khá bé so với A. Do đó, a(P) thường quá lớn; muốn có
đánh giá tốt hơn, ta có thể phân tích P„ thành tổng của vài đa thức P = ÿˆ,„„ P(9 U hữu hạn); sau đó, tinh af PM) rồi lấy a(P) = max, a(P(). Trong khi phân tích,
ta cố giảm 4/a„ và giảm k.
11.2. MIEN CHUA NGHIEM 28
Ví dy 1.2.1. Với P(r) = x* — 242° + 69077 — 42102 + 1354, ta có n = 4,k =3,A=
4210,a„ = 1, và do đó, a(P) = 1 + 4210 = 4211.
Tuy nhiên, nếu dat P(z) = P(r) + PO (xr)
(11.38) P(Ì(z) = x! ~ 2475 ~ 24x? — 24x
(11.39) PO) (x) = 714z? — 4186z + 1354,
thi ta có a(P()) = 25, a( P!)) = 350/51 < 7; do đó, ta có thể lấy a(P) = 25.
Ghi chú II.2. Ngoài ra, để tìm miền chứa nghiệm của đa thức, có thể vận dụng phương pháp Newton: Nếu tại x = e > 0, đa thức P(x) và các dạo hàm của nó đều không lớn bằng c, thì mọi nghiệm dương của P„(+) đều không lớn bằng c. Điều này dé nhận thấy nếu khai triển P,(2) thành chuối Taylor tại z = e.
Ví dụ 11.2.2. Xét lại ví dụ trước, ta đã tính được a(P) = 25. Lập bảng Horner mở
rong (xem phần phụ lục chương II) của đa thức này khi z = 10, thì ta thấy các số ở góc bảng đều dương. Do đó, ta có (10), P“(10)...., đều dương. Vậy ta có thể lấy
a(P) = 10.
1 -24 690 —4210 1354 1 -l4 550 1290 14254
1 =4 510 6390 (II.40) i 6 8U
+1 16
Phương pháp thứ hai
Xét đây đa thức
(II.41)
fa =@Qn, fa-io=Zfatea-l fs-+ =Tfn-i dn-2v...v fo = TỈ: + dạ = Pr.
Ta có
(1.42) f(z)= (x = e)(fa(e)z"”?~“t“+ fa-s(e)z"”3“t +... + fa~@~)(€)) + đe).
Các số ƒa(€). f„-¡(c)... fa(c) nhân được bằng cách lập bảng Horner cho ?„(z)
tại r =e.
Phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm thực dương dựa vào hai tính chất
của các da thức Sins TT see Sai
Đầu tiên, nếu đối với các số thực dương c, các số ƒn-z(€), ƒa-zÍc),.... file) không âm, và fo(c) > 0, thi ta có thể chọn c làm giới hạn trên các nghiệm thực dương. Thật váy, từ (11.42), ta có khi ¡ = 0 thì
(11.43) folz)= Palz)>0 nếur>c.
Vi vậy, không thể có các nghiệm thực của phương trình P„(z) = 0 lớn hơn c.
Thứ hai, nếu e > 0 mà các số ƒ„..2(€). fa~-aÍc)... fac) (k < n) không âm, thì khi đó, đối với cf > e, ta có fn), /a-a(e'),..., Sa(@) là dương. Từ (11.42), khi
+z =c, ta có:
(44) file’) = (c — e)(/a(e)c””?“' + fale)" +... + Satins (©) + Site):
12. MIEN CHUA NGHIEM 29
là số dương khi ¿ = n ~ 1.n = 2,.... k vì đ >ec và fa(c) =a, > 0.
Từ hai chú ý trên đây, ta có phương pháp tìm giới hạn trên của các nghiệm thực
dương như sau:
Bất đầu, ta chọn các số e, thường là số nguyên ƒ„-¡í(c) là số dương hoặc 0. Số này dé dàng xác định được và /„_; là da thức bậc nhất. Nếu các số
fFa_a(c), fa-a(c),.... fale) không âm, khi đó, trong trường hợp ƒo(c) > 0, ta có thể chọn c là giới hạn trên của các nghiệm thực của P„(r). Nếu fo(c) = 0, thì một
nghiệm đã được xác dinh và các nghiệm khác sẽ nhỏ hơn c.
Nhưng giả sử rằng ƒ„+„¡(c) là số âm, trong khi đó, các số ƒ„(c), fa-z(€),.... fee) đều là các số không âm. Khi đó, ta có thế lap lại phương pháp tính dối với c, = e+ 1
sao cho ƒ¿,¡(e;) > 0. Khi đó, các số ƒn~x(€), ƒa-2(ei). - - - „ foler) là số dương. Bây
gid, nếu files). f2(£\)... ƒa(e) là các số không âm, và /fa(c¡) > 0, thì cy có thể
được chọn làm giới hạn trên của nghiệm thực dương. Trong trường hợp ngược lại, thi quá trình được lặp lại một lần nữa với cách chọn số nguyên cạ = c¡ + l,....
Khi các hệ số âm của phương trình có giá trị tuyệt đối lớn, thì ta có thể lấy giá
trị e = 10, 100, 1000...., để rút ngắn quá trình tính.
Vi dụ II.2.3. Tìm giới hạn trên của các nghiệm thực dương của phương trình #%(r) =
2r3 ~ 7z! ~ ãr + 6z? + 3r = 10 = 0.
Ta có fs = 2, fy = ?r =7. DE f(x) là số dương, ta chọn z = e = 4. Khi đó, ta lập bang Homer của Ps(x) tại x = 4 để tìm các giá trị /s(e), fale), ---. fole):
2 -7 -5 6 3 -I0 (11,45) — n=
Vì số thứ 3 là số âm, nên ta tiếp tục chon e; = 5, và lập bang:
2-7 -5 6 3. =1
0.46) T211 10 56 283 1405
Vay c= 5 là giá trị giới hạn trên của các nghiệm thực dương của P(x) = 0.
Vớ dy 11.2.4. Tỡm giới hạn trờn của cỏc nghiệm thực dương của phương trỡnh fằ(z) =
(1, =7, =1, —1000, 10, =50).
Vì Py(x) có các hệ số âm có giá trị tuyệt đối lớn, nên ta sẽ bắt đầu phép thử với số c= 10:
1 =7 -=1WW -1099 10 -50 (II.47) Tz TT 3D n
Vĩ f(10) = —70 < 0 nên ta thực hiện phép thử khác, chẳng hạn, với ¢ = 20:
1 =7 =Il00 =1000 10 ~ủ0
0.48) r=20 | 1 13 160 2200 44610 880150
Vậy ¢ = 20 chắc chấn là giới hạn trên của các nghiệm dương. Nhung số này có
thé chưa sát, ta có thể kiếm tra bằng các số nhỏ hơn, như 19, 18, 17,.... Theo cách này, ta có thể tìm được 17 là giới hạn trên nhỏ nhất của các nghiệm dương.
11.2. MIEN CHUA NGHIEM 30
1.2.3 Giới hạn modun của nghiệm
Xét phương trình P„(z) = (a„,da—¡.- -.. a;,a9). Gọi
(II.49) B = max{ |aa — 1|. 8a ~2|. .... lal}.
Khi đó, modun các nghiệm (thực và phức) của f„(z) không lớn hơn số
(II.50) R=1+ cs
That vậy, ta có
|P(z)| = la„#" + (aa-yz"~! +--s+ ayz! + ae)
(II.51)
> fanz”) — |an-z"~Ì +--+ ayz + aol.
Mat khác, ta có
lanasa + aa.sz®2 +:-- + dọ|
< laằ_||z|*”! + |an..l|r|*~2 + - - - + lao!
(II.52) < B(|r|*~! + |z|*“? + - : - + 1) - pit" -1
jrj-1
Với trị > 1, ta có
|rl~1 _ _|zl"
(1.53) < D
lrị—1 ` k|—1
do đó,
(II.54) Jan"! + a„_2#"*2 + +s + aạ| < HT
Với |z| > 1 thì bất đẳng thức sau đây luôn đúng:
(II.55) janx” | > lan"! + aq az"? + +--+ ag).
Khi đó,
(I.56) bel < ls.lz^ = kesllz|°. : kị—1— =
Suy ra
(11.57) IS =2.laa|
Vậy nếu các z thỏa (II.57), thì bất đẳng thức (II.56) đúng, hay |P„(z)| > 0. Do đó,
không có nghiệm nào của phương trình #+„(z) = 0 có modun lớn hơn R.
1.3, SỐ NGHIEM VÀ TÁCH NGHIEM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 31
11.3 Số nghiệm va tách nghiệm của phương trình da thức
Trước tiên, ta nhắc lại một vài kết quả đơn giản về số nghiệm của phương trình đa
thức
Định lý 11.3.1. Nếu một da thức f(x) với hệ số thực có các giá trị f(a), f(b) trái dấu, thì da thức đó có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; Ù).
Hệ quả
1. Một phương trình đa thức bậc lẻ f(r) = a2n+iz?"†Ì + aạnz?* + --- + aọ = Ú có
ít nhất một nghiệm thực.
Thật vậy,
e Nếu ag = 0: z = 0 là nghiệm của phương trình.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử œ¿„„¡ > 0, Khi đó, với e > 0 đủ lớn f(c) là số dương và f(—c) là số âm.
© Nếu ag > 0: phương trình có một nghiệm âm vì f(—c) < 0 < /(0).
e Nếu ao < 0; phương trình có một nghiệm dương vì f(c) > 0 > /(0).
2. Một phương trình đa thức bậc chắn f(z) = az„z?" +azn_z?"*~Ì + - - -+ao = 0 với
đ2„ VA ao trái dấu thì phương trình có ít nhất một nghiệm thực âm và một nghiệm
thực dương.
Thật vậy, giả sử aa, > 0. Với c đủ lớn, ƒ(e) và ƒ(—e) là số dương. Trong khi đó, ƒ(0) = ao < 0. Do đó, phương trình có ít nhất một nghiệm âm thuộc (—c,0) và ít nhất một nghiệm dương thuộc (0. c).
3. Một đa thức với hệ số thực không có nghiệm trong đoạn [a, ðj thì dấu của đa thức đó không đổi với mọi giá trị x thuộc {a, bÌ.
Thật vậy, nếu x < y;z, y € [a, 6] sao cho f(x) f(y) < 0.
Đa thức có ít nhất một nghiệm thực thuộc {z,y); nghiệm đó hiển nhiên thuộc
{a,b| (điều này trải với giả thiết
Ngoài ra, f(r) va f(y) không thể bằng 0 vì đa thức ƒ không có nghiệm thực thuộc Ía, 4}.
4. Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (a, ð)(nghiệm bội k tính là k nghiệm) là lẻ hoặc chấn tùy thuộc f(a), f(b) cùng dấu hoặc trái dấu. Gọi œn,a¿,...,a; là các nghiệm bội phân biệt của f(x), nằm giữa a và b, va ky, ke, ..., &; là tương ứng
bậc của các nghiệm bội đó. Khi đó, f(x) = @(#)(z — ay)*'(z — ag)" --- (# — ay)",
trong đó, v(x) không có nghiệm thực thuộc (a, 5).
Ta thay z = ð và z =a vào f(x) và lập tỷ số
f(b) _ pla) (b—ay)TM(6— 29)" ---(b— ay)"
a-a; a— dạ a-—a;/ ` Theo Hệ quả 3, ta có ¿2(b)/¿{a) là số dương. Mặt khác,
(II.59) TT Fa — “ga (=3)"
1.3, SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM QUA PHUONG TRÌNH ĐA THUC 32
là các số Am. Do đó, ƒ(b)/ƒ(a) có dấu của (—1)*?*2+- +,
Vậy kị + k¿ạ +: -- + hy là số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong (a,b)
(nghiệm bội cấp k được tính là & nghiém) là số lẻ nếu f(a) và f(b) trái dấu,
và là số chin nếu ƒ{a) và ƒ(ð) cùng dấu.
Chú ý:Xét dãy hữu hạn phần tử a,, ...,@1, đo.
Sau khi bổ các phần tử bằng 0 của dãy {a„} ta được dãy hữu han phần tử khác 0:
bạy,....6ị, bạ, Ta gọi số lần đổi dấu của day {an} là số lần b,.b,¿¡ < 0 khi 0 < ¡ < m
1.3.1 Dinh lý Rolle
Bổ đề 11.3.2. Giả sử c là một nghiệm thực của phương trình da thức ƒ(z) = 0 thì tỷ số ƒ*(r)/ƒ(z) dối dấu từ âm sang dương khi x tăng qua c.
Chứng minh. Goi +.z2,.... En là các nghiệm của đa thức
(11.60) ƒ(r) = ax+" + Gy—y2"* aye’ + a9.0
Ta có phân tích
(II.61) f(r) = an(# — #\)(# — #2)---(# — tn):
Thay x bởi x + h (h € R) vào biểu thức trên, ta được
ƒ(r + h) = ay(z +h = #\)(£ + h — #a) - + : (# + h — #a)
(II.62) = qn(Z — #1)(Z — Za) - + (£ — Tn)
ô(tig G+) (ttre)
Tich
(11.63) (+z—)(+z—g)--(+z=)
có thể phân tích theo chiều tăng của lũy thừa của h và hai số hạng đầu tiên của
phân tích này là
(II.64) 1+ h( bà 1 oe ).
#-1y 1-22 #~—*n
Do đó,
(11.65) ƒ(z+h) = ƒ(z) + h{ JO IO TD )r-% 7T—#%2‡ #—1n
Mặt khác, theo công thức khai triển Taylor, ta có
(II.66) ƒ(z +h) = f(x) + hƒƑ'(z) + :-:
S sánh hai biếu thức trên, ta suy ra
(11.67) fiz)= f(x) + ƒ(z) 3... S(z) :
#—#y T12 z—#ụ