13, SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM CUA PHUONG TRÌNH ĐA THỨC 33
1.3. SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM QUA PHUONG TRÌNH ĐA THUC 35
1.3.2 Định lý Gua
Xét phương trình có dạng
(II.83) F(x) = rƒ'(z) + aƒ(z).
trong đó, a là một số thực bất kỳ 4m hoặc dương.
Dat bị < bạ < --- <b, là các nghiệm dương phân biệt của ƒ(z) = 0.
Gọi ở, đ¿,.... đ, là bậc của các nghiệm bội trên.
Đặt r là là số nghiệm dương của f(x), thì ta có
(II.84) r=ổ:+(a+-::+ổ,.
Nếu ỉ, > 1, thỡ cỏc 4 là nghiệm bội bậc 3, - 1 của F(x) = 0. Thật vậy, vỡ
(II.85) f(z)=(z—b)®*ƒœ). f(z) = (z~— b)*~}ƒa(z),
nên F(x) = (z - b)#~'|zƒa(r) + a(z — bi) fi(z)]. Nhưng với fa(z) = zƒa(r) +
a(x — ð,)ƒ/¡(z). ta có ƒfa(b,) = b,ƒa(b,) # 0 (b, không là nghiệm của fo(r)). Vay, b,
là nghiệm bội bậc đ, - 1 của F(z).
Do đó, số nghiệm dương của F(z) là
(11.86) (ổi ~ 1) + (đa = VW +::- + (8, = 1) = r = 4.
Ngoài ra, F(x) có it nhất một nghiệm trong mỗi khoảng (6), 62); (ba, ba); ~~ ; (ð„¿—¡, by).
Thật vậy, lấy một số dương ô nhỏ tựy ý. Khi đú, theo Bố đề II.3.2, ta cú ƒ'(z)/ƒ(z) tiến đến +oo nếu x = 6 +, và tiến đến —oo nếu z = b¿ — ô. Suy ra
FO +O) ao „ (Mai =1.
ƒ(b + ©) ƒ(b,+ì — ©
mà f(b +6) và ƒ(b,„; — â cựng dấu nờn F(b, + ô) và F(b,¿Ă — â) trỏi dấu.
Khi đó, F(z) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (b;, b; + )
Tóm lại, ta có
Định lý 11.3.4 (Gua). Phương trình F(z) = +ƒf(z) + œƒ(z) = 0 có r ~ s nghiệm,
trong đó, có ít nhất là s — 1 nghiệm phân biệt. Nếu đa thức f(x) có r nghiệm dương thì F(x) có ít nhất là r - 1 nghiệm dương.
(II.B7)
11.3.3 Định lý Descartes
Định lý 11.3.5 (Descartes). Cho da thức fn = (a„...a,ae). Số nghiệm dương
của phương trình ƒ„(z) = 0 bằng số lân đối dấu của day các hệ số a„,...,®¡, an
hay kém số ấy một số chan.
Chứng minh. Gọi V là số lần đổi dấu của day các hệ số của f,, và r là số nghiệm
dương của f,, (nghiệm bội k được tinh là & nghiệm).
Trường hợp V = 0 thì định lý hiển nhiên đúng.
Nếu các hệ số khác không cùng dấu thì ƒ„ không có nghiệm dương; khi đó, Giả sử định lý đúng với V = 1 lần đổi dấu. Ta chứng minh định lý dang trong
trường hợp V lần đối dấu.
Gọi aq, a9 (a < ỉ) là hai hệ số trỏi dấu.
Số lần đối dấu V bao gồm ba phần:
#1, SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM QUA PHUONG TRÌNH ĐA THUC 36
e Số lăn đổi dấu +; của day a„,4„_;....,qa.
e Số lần đổi dấu của dây aa,...a.
e Số lần đối dấu + của day aa... a.
Do đó, V = tr. + uạ +1,
Bay giờ, ta xét phương trình mới F(x) = z/f(z)— Af(x) = 0. F(z) có các hệ số
là
(II.88) (n — À)a„, (n = 1 = À)4„—1...€,... , —Àdạ.
Ta chọn À sao cho
(II.89) n=§8=-A<0<n-a-iX,
hay n = 8 < A <n — œ (có thé chọn được A, vì ở > a). Khi đó, các thừa số
®@n—=À,n~—= Ì—=À,....n = 3-— À là số âm,
en-a-An-a—1-A,...,n—(n—A) = ~À là các số dương.
Suy ra ta tính được số lần đối dấu trong các dãy (n— À)a+. (n — 1 — À)a„_¡,....(n —
8~ À)aa và (n = a = À)dạ,..., —Aag lần lượt là wy và v2.
Nhưng day hệ số (n — ỉ = À)aa,..., (n =a = À)a„ khụng đối dấu, vỡ cỏc số hạng
ở hai đầu mút cùng dấu.
Vi vậy, số lần đổi dấu của các hệ số của F(x) = x f'(x)—Af(x) là tị +uạ = V~—1.
Ap dung Định lý Gua, ta có số nghiệm dương của phương trình F(x) = 0 không
nhỏ hơn r — 1.
Do ta đã giả sử Định lý Descartes đúng trong trường hợp V ~ 1 lần đối dấu, nên
ta có r— 1 < V— 1, swy ra r < V,
Bây giờ, ta chứng minh rằng V — r là số chắn. Trong day a„,...,4¡, ao, ta gọi v là vị trí nhỏ nhất sao cho day hệ số a„,..., a„ không có một hệ số nào bằng 0,
Khi đó, nếu V là một số chắn, thì a„ và a, cùng dấu; và nếu V là một số lẻ, thi
đ„ và ay trái dấu.
Nếu x là số dương rất nhỏ, thì f(z) = a„#" + --- + ayz"**" cùng dấu với a„; và nếu z là số dương rất lớn, thì f(x) cùng dấu với aq.
Vì vậy, nếu a„,a„ cùng dấu, thì số nghiệm dương V là số chấn; nếu a„,a„ trái dấu, thì số nghiệm dương V là số lẻ.
Nói cách khác, V và r cùng chắn hoặc cùng lẻ; cho nên V ~ r luôn là một số chắn. n
Định lý Descartes cho phép ta xác định chính xác số nghiệm dương trong hai trường hợp v = 0 và wv = 1. Trong trường hợp u > 1, quy tắc dấu của Descartes cho
phép ta xác định được số nghiệm thực dương hay nghiệm thực âm tối da.
Ví dy 11.3.3. Cho phương trình
(II.90) fix) =z!+z? =zr - 3 = 0.
Khi đó,
(II.91) /=(1.0.1,-1,=3} có một lần đổi dấu, (II.92) Df = (1,0/1,1,—-3) có một lần đối dấu.
Vậy f(z) có một nghiệm thực âm, một nghiệm thực dương, và hai nghiệm phức,
II 3, SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM CỦA PHUONG TRÌNH ĐA THUC 37
Ví dy II.3.4. Xét phương trình
(II.93) f(z) = z8 — 25 + 2z? ~ 3z — 1 = 0.
Ta có
(II.94) DO f(x) = r5 + x3 + 2r? + 3z — 1 =0.
Đa thức f(r) có ba lần đối dấu; do đó, f(x) có một hoặc ba nghiệm dương.
Đa thức đối Dj(x) có một lần đổi dấu; do đó, ƒ(z) có một nghiệm âm.
Vậy, /(z) có tối đa bốn nghiệm thực và có ít nhất là hai nghiệm phức.
Để có thể tìm chính xác số nghiệm thực và phức của f(r), ta có thể tiến hành
như sau:
Nhân f(x) với (x + 1). Lúc đó, ta không làm biến đối số nghiệm dương của
f(x); trong khi đó,
(II.95) (2 + 1)? f(r) = zÊ + 22" + rổ — zŸ — 5z? — 6z — I
chỉ có một lần đổi dấu.
Vậy f(x) chỉ có một nghiệm dương, một nghiệm âm và bốn nghiệm phức.
11.3.4 Phuong pháp tách nghiệm hoàn toàn
Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách tìm nghiệm của phương trình không
có nghiệm bội.
Định lý 11.3.6 (Vincent), Cho a,b,c...., là một day số nguyên dương bất kỳ. Ta biến đổi một phương trình không có nghiệm bội bởi một chuỗi các phép thế liên
tiếp
(II.96) z=a+~-, =b+-. Xi...1 1
ỳ z t
Sau một số phép thế liên tiếp dộc lập với cách chọn a,b,c,..., ta được một phương trình mới không có nhiều hơn một lan đổi dấu của các hệ số.
Trên cơ sở Định lý 11.3.6, để tìm chính xác số nghiệm dương của một phương trình, ta chú ý rằng các nghiệm này có thể lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1, ngoại trừ
trường hợp 1 là nghiệm.
Với các nghiệm dương lớn hơn 1, ta có thể viết dưới dạng x = 1 + y với y > 0;
và các nghiệm dương nhỏ hơn 1 có thé viết dưới dạng x = (1 + y)~Ì với y > 0.
Bây giờ, ta biến đổi phương trình P(x) = 0 ban đầu bởi các phép thế + = 1 + y
và x = (1+y)~! (y > 0). Ta được hai phương trình mới, được ký hiệu là P()(y) = 0 và P(-!)(u) = 0. Nếu các đa thức P({y) và P(-!)(w) không có quá một lần đổi dấu của các hệ số, thì vấn đề của chúng ta được giải quyết. Nếu P)(y) có các hệ số không đổi dấu, thi P(r) không có nghiệm > 1; và nếu P#)(y) có một lần đổi dấu của các hệ số, thì P(x) nghiệm > 1; Nhận xét tương tự đối với P(~)(y).
Nếu một trong hai đa thức PŒ(y) và P")(y) có nhiều hơn một lần đổi dấu của các hệ số, thì ta tiếp tục biến đổi chúng bằng phép thế y = 1 + z và y = (I + z)”',
Nếu một trong hai đa thức mới nhận được có đa thức với nhiều hơn một lần đổi
dấu của các hệ số, thì ta tiếp tục biến đổi như trên, bằng các phép thế tương tự
II 3, SỐ NGHIỆM VÀ TÁCH NGHIEM CUA PHUONG TRÌNH ĐA THUC 38
như trên, cho đến khi ta có được phương trình có ít hơn một lần đổi dấu của các hệ số. Các phép biển đổi này sẽ diễn ra sau một số bước hữu hạn.
Đối với phép biến đổi dạng r = y+ l,y = 1 + z,... theo sau là một phép biến đổi dạng v = 1 + wTM! thì tương đương với hai phép biến đổi sau: đầu tiên là phép
biến đối có dạng r = a + 1/y, trong đó, a là một số nguyên dương (a là tống số các phép thế có dạng z = 1 + y,y= 1+ z,...) theo sau là phép biến đổi có dạng
y=lì+z.
Như vậy, mọi phương trình đã được biến đổi nhận được từ phép đổi phương
trình ban đầu được thực hiện qua chuỗi các phép thế có dạng
l 1 1
(1.97) reat—-, pobt-, ..., tu=l+-, s63.i] z v uw
hoặc chudi các phép thé
(II.98) oem. yarn bees ware: Nhắcy 2 v w
trong đó, a,6,...,¢ là các số nguyên dương.
Chuỗi các phép thế sau không khác chuỗi các phép thế đầu vì số lần đối dấu của các hệ số không thay đối bởi phép thế x = 1/y.
Áp dụng Định lý II.3.6, các phép thế
1 1 1 (1.99) rem, yrat-, ... uUu=l+~-
y 2 u
sau một số bước sẽ biến đổi phương trình ban đầu không có nghiệm bội dẫn đến một phương trình có không quá một lần đổi dấu của các hệ số, và thêm vào một
phép thế u = 1/u không làm thay đổi số fan đổi dấu của các hệ số.
Vậy, thuật toán mô tả phía trên sẽ dẫn tới một phương trình có không quá một lần đối dấu của các hệ số.
Ghi chú. Số lần thực hiện các biến đối sẽ rất lớn nếu phương trình ban đầu có các nghiệm rất gần nhau. Để tìm các nghiệm lớn (> 10), thì ta có thể rút ngắn số các biến đổi bằng cách dùng các phép thế dạng:
(II.100) z=l10(1+yw), z=10(1+p)*},
hoặc
(II.101) r=100(1+y), z= 100(1+y)*!.
Ví dy 11.3.5. Tach các nghiệm của phương trình
(II.102) P(r) = z = Tz + ù = 0.
Trước hết, ta xét số nghiệm dương của phương trình.
Ta có I không là nghiệm dương của P(x), nên các nghiệm dương có thể lớn hơn hay nhỏ hơn 1.
Các nghiệm dương lớn hơn 1 thì có dạng z = ! + y, và các nghiệm dương nhỏ