Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Dao động tử phi điều hòa và dao động tử mang điện trong điện trường

Mục dich việc trình bày chương | và I1 là để sử dung kết quả cũng như điều kiện áp dung của lý thuyết nhiều loạn vào việc giải các bai toán trong chương LV và V, Chương III trình bày một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HCM

KHOA VAT LY

calle

LUAN VAN TOT NGHIEP

NIÊN KHÓA: 1997-2001

LUAN VAN 222 NGRIEP 2122: NGUYEN NGOC EA

^

LOI NOI DAU

TY khi món cơ học lương uf ra đời, đã góp phan thúc đẩy nén khoa học val

lý phát triển manh mẽ, nhất là trong lãnh vực vật lý chất ran Từ đầu thể kỷ 20, khoa học đã tích lũy được nhiều kiến thức quan trọng vẻ vật rắn Chúng có thể là

những chất kết tinh hay chất vô định hình, có thể dẫn điện, dẫn nhiệt, truyền ánh

sáng, truyền âm thanh với mức đô khác nhau Tuy nhiên vật lý cổ điển không giải thích căn kế được bất kỳ chất nào về vật rấn, vì tất cả những tính chất đó đều

có liên quan tới cấu trúc vi mô của vật rắn Mà vật lý cổ điển chỉ nghiên cứu những vat vĩ mỏ Nhờ cơ học lượng tử xuất hiền mà người ta đã giải quyết được

những khó khan trên và đã đạt được những thành tựu quan trong Chẳng hạn, khi xét dao đồng mang tinh thể, ta có thể tim được năng lượng dao đông, thé năng, mắt độ và huỷ hạt trong hiện tượng siêu dẫn, các dải tin quang học Bằng các phương pháp cơ bản của cơ học lượng tử như : phương pháp lượng tử hoá lần thứ

hai, phương pháp biến phân : các gắn đúng Hartree, Feck, phương pháp nhiều

loạn, phương pháp hàm Green.

Nhưng thực tÊ xem xét chúng ta sẽ tim được những dé thị đi léch đường

biểu diễn của đao động tử điều hòa lý tưởng Nguyên nhân chính do chúng ta đã

bỏ qua những đại lượng nhỏ khi khai triển thể năng của dao động tử Hơn nữa những dao đồng uf lại là những hat mang điện (các electron và các ion), nên khi có

điện từ trường ngoài xuất hiện thì những dao động tử còn chịu tác dụng của lực

điện từ trường, tương ứng với một thế nhiểu loạn Những ảnh hưởng này tuy nhỏ,

nhưng rất quan trọng trong khoa học và kỹ thuật khi nghiên cứu vật rắn Chính vì vậy mà khi nghiên cứu về một vật rắn người ta phải kể đến những ảnh hưởng này.

Từ đó xuất hiện nhiều bài toán mới.

Có mốt xố bài toán đã được hấu hết các sách vẻ cơ hoe lượng tử giải một

cách chỉ tiết và day đủ như “Bài toán về sự tách vạch quay phổ trong điện trường (Hiệu ting Stark)", “Bài toán vé sự tách vach quay phổ trong từ trường (hiệu ứng

ZeemannTM Những cũng có một số bài toán tuy cũng có môt số sách dé cập đến

nhưyn cũng chưa được chỉ tiết và đẩy đủ như “Dao đông tử phí điều hoà và daođông tử mang điện trong điện trường” Vì vậy, đây cũng chính là dé tài mà tác giả

chon để nghiên cứu, tim hiểu và viết thành quyển luận van này.

Nội dung của quyển luận văn được chia làm 05 chương và phan lớn các ký

hiệu ở đây được viết theo ký hiệu Dirde.

I ve wer 1

LUAN VAN 707 NGRIEP SUTH: NGUYEN ?22đ CA

Chương | và II dành để trình bày vẻ lý thuyết nhiều loạn Nét đặc trung của

hai chương này là đã tính toán chat chế và có hệ thống các số hạng bổ chính của

các ham sông và năng lượng Mục dich việc trình bày chương | và I1 là để sử dung kết quả cũng như điều kiện áp dung của lý thuyết nhiều loạn vào việc giải các bai

toán trong chương LV và V,

Chương III trình bày một cách chỉ tiết đầy đủ có hệ thông và dao đóng tử

điều hoà Mục đích việc trình bày chương này cũng là để sử dụng các kết quả vào việc giải các bài toán trong chương IV và V.

Chương IV và V là phan nội dung chính của tập luận văn này Noi dung của

chương IV là dựa vào lý thuyết nhiều loạn dừng và dao dong tử điều hoà để xác

định các mức năng lương hàm sóng và một độ xác suất của một dao động tử phi diéu hoà vớ Hamilyonicu có dạng từ đơn giản đến phức tạp, Còn chương V dưa

vào lý thuyết nhiều loạn phụ thuộc thời gian và dao đông tử diéu hoà để xác định

xác suất dời chuyển lượng tử của một dao dong tử mang điện trong một điện

trường.

Vì khả nang và điều kiện thời gian còn hạn hẹp nên chắc chấn quyển luận

van này côn nhiều hạn chế Tác giả rất mong được sự chỉ bảo và góp ý chân thành của quý thay cô, các ban sinh viên trong khoa vật lý và tất cá các ban đọc khác để

quyển luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Nhân đây tác giả xin tỏ lòng cám ơn chân thành đến tất cả các thấy cô trong

khoa vật lý và nhất là PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp người đã tận tình giúp đỡ, chỉ

bảo và khuyến khích tác giả trong suốt quá trình học tập cũng như để hoàn thành

quyển luận văn này.

Tp Hồ Chí Minh, Ngày 20Thang OS Năm 2001,

Người viết luận văn

SV NGUYEN NGỌC BA

t rang 2

LUAN VAN 707 NGRIEP S122: NGUYEN NGOC EA

CHƯƠNG t: PHƯƠNG PHAP LY THUYẾT NHIÊU LOAN

1.1 CÔNG THUC TONG QUAT CUA LY THUYẾT NHIÊU LOAN:

Chúng ta chi có thể giải chính xác bài toán tim hàm riêng và trị riêng

của toán tử trong một số trường hợp rất đơn giản Cu thể là với một mô hình

lý tường đối với thế năng như mô hình “hố thế” “dao động tử điều hòa”,

“quang tử”, “nguyên tử hydro” hoặc “các ion tương tự hydro”,,, Con đối với

các hệ lượng tử thực thì ta phải áp dung phương pháp tinh gan đúng Một

trong các phương pháp tinh gan đúng đó là phương pháp lý thuyết nhiễu

loạn, Nội dung cơ ban của nó là xác định gan đúng ham riêng và trị riêng của

toán tử Hamiltonien của hệ nhiều loạn qua các nghiệm của bài toán không

nhiều loạn Nghĩa là bài toán nhiều loạn đưa đến việc xác định các số hạng

bổ chính của năng ling EO” và hàm sóng wv!" trong bài toán không có nhiều

loạn.

Gia sử Hamiltonicn của hệ có dạng:

H-H,+Ý (1.1)

H: toán tử Hamiltonien khi không có nhiều loạn,

Ÿ: toán tử nhiều loạn ( Ÿ = AW)

Đồng thời, chúng ta đã biết những giá trị riêng e„ và các hàm riêng (?)

của toán tử AL, nghĩa là bài toán

ñ./(n) = e,|n) (1.2)

đã được giải | cách chính xác.

Bài toán của chúng ta là tìm những giá trị riêng E, của toán tử Ava

những hàm riêng của nó như ta đã biết, bài toán này đưa vẻ việc giải phương

E = BY" + AB + VES +1 )E(”+3 (1.4!

Thay (1.11, (1,21, (124) và (1,5) vào (1.3) ta được:

(H ‘ ^W|| We ) thw) ) ' X|w, ) +h wi")

|-t rans 3

LUAN VAN 227 1422£P _ #24: NGUYEN NGOC EA

- (E $ XE ro E- $ NE + \w, ) * Aw, ) th w ) ‘ Aw b )

(1.6)

Đồng nhất 2 vế những xố hạng đồng bac 2 ở phương trình (1,6) ta thu

được hẻ:

Bac 0: (E - H.)w, ) Bậc |: (EY -H,)}w)')

Với những dữ liệu đã đưa ra chúng ta sẽ tìm những số hiệu bổ chính của

In) và £„ khi chịu tác dụng của toán tử nhiều loạn

12 NHIÊU LOẠN

Gia sử ứng với 1 trị riêng của phương trình không nhiều loan (1.2) chỉ có

| hàm riêng |2), nghĩa là nếu: n # n° thie, # £,

LUAN UAN “22“2 2!222ÉĐ 9122: NGUYEN 42đ EA

Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: (w,Iw2)=I

Để thuận tiện hơn, ta chọn điều kiện chuẩn hóa cho hàm riêng:

Ham sóng (ự, `) được biểu diễn dưới dạng:

\u,)= 3a, in) (1.12)

Thay v27) bởi (1,17) và nhân 2 vế về bên trái với hàm (m|, sau đó lấy

tích phân trén toàn miền biến thiên ta được:

(mie; H.)n)a,' + E,'ým 9+ Ez'(m|w") = (mW w'")

Hay (6, -e,, ja’ +E) (m|ư, )+ EL ô„„ = (miWi ww! ) (1.18)

Tướng 5

LUAN VAN 222 NGAIEP ˆ SUTH: NGUYEN NGOC 84

yi) ~~% [BẨm|MInÄnM|n) Đen aS all a

“¡“s ee mon E„ Ke, -E„

1.2.4 Phép gần đúng bậc 3:

Hàm sóng w,”) được biểu diễn dưới dạng:

wh”) = 2 In) (1.22)

Hệ (1.7) cho ta:

Thay ly! N bởi (1.23) và nhân 2 vế về bên trái với hàm (mi, sau đó lấy

tích phân trên toàn miễn biến thiên ta được:

>-(mÍE:' -Ñ,)n3a”' + E"(m|w°") + E”) v2) + EL (m) v2 = = (mjWlw,`)

LUAN VAN 707 NGRIEP SUTH: NGUYEN NGOE EA

Hàm sóng (2) được biểu diễn dưới dạng:

wi’) = Ya! in’) (1,26)

He (1.7) cho ta:

(ES -H, Jue) ES wl!) + BS we + +E |e’) = why!)

Thay (v2) bởi (1.26) và nhân 2 vế về bên trái với hàm (ml sau đó lấy

tích phần trên loàn miễn biến thiên ta được:

(mn - ñ,]n9a?' + Ben] yi?) + Bem] tt 4 HEE (ml yi) =

Hay (c, ~«,, Jai’ +E, (mw; "S+ EP (mi ys)! "là +E 5 =( )(1.27)

Khi m = n: ye " (1.38)

Thay biểu thức của yy") vào (1.28) ta sẽ nhận được biểu thức của EY

Ww te ts sa, el = | Dod ** = EU tụ tKhi m z n: a’ = iWin \-E Ive sx Saint os aes

(1.29)

Thế các biểu thức all’, al aE BO E" "và wi "vào (1.29)

ta nhận được biểu thức cia al!’

Ti biểu thức clay’ thế vào (1.26), ta nhận được biểu thức của lw’).

Diy chính là điểu kiện để áp dụng lý thuyết nhiều loạn Khi điều kiên

này được thỏa màn thì những xố hạng bổ chính trong hệ (1.30) là nhỏ và

Trang 7

LUAN VAN 707 NGATEP 2122: NGUYEN NGOE EA

những giá trị riêng BE, của toán tử Hcũng như những ham xố riêng yw, của nó

sẻ gắn bằng những giá trị riêng và hàm xố riêng của toán tử HỘ,

L3 NHIỆU LOAN ĐỪNG KHI CÓ SUY BIẾN:

Bây giữ ta xét trường hợp khí toán tử không nhiều loạnH có các trịriêng suy biến Khi đó các tính toán như (1.2) không còn đúng nữa Ung với |

giá trị E =E.= 6, sẻ có nhiều hàm riêng khác nhau 2ˆ, won 2ˆ, lúc đócác công thức có chứa mẫu số là (6, - &) sẽ không được ứng dụng nữa vi (6,

- E„) bi triệt tiêu, Vì vậy lý thuyết nhiều loạn phải được xem xét lại sao chophù hợp với trường hợp: có suy biến Nhưng phương pháp đơn giản nhất vandựa vào công thức tổng quát (1.7) ở (1.1), chỉ cần biến đổi 1 chút, Cụ thể là

khi có suy biến các hàm riêng của toán tử ít nhất có 2 chỉ số (n, r9 Do đótrong các biếu thức khai triển ta chỉ cần thay chỉ số n thành (n, r)

Khi chưa có nhiều loạn:

Hn.r) -e,|n.r) (1.32)

r: 1.23, 3, [: ƒ bội suy biến của mức ning lượng g„.

Lúc này hệ (1.7) sẻ được viết lại sao cho phù hợp với sự suy biến nang

lượng.

1.3.1 Phe : O:

Ese, (giống như trường hợp không suy biến).

Ở đây ta không thể đồng nhất hàm riêng trong gắn đúng bậc không,

Nhưng ta có thể nói rằng các hàm riêng suy biến của toán tử A sé tạo thành

tổ hợp tuyến tính Tùy thuộc vào sự suy biến của mức năng lượng ø„ các hàm

riệng trong gan đúng bậc không sẽ được dat dưới dang:

LUAN VAN 222 NGAIEP 2122: NGUYEN NGOC EA

Thay |wo)valy) )bang các biểu thức (1,33) và (1.34) nhân 2 vế về hên trái với (ms) sau đó lấy tích phần trên toàn miền biến thiên ta được:

®`(m.sÍ:, -H }n.r)C, +DE, (m.sn.r)C, -2_(m swine

(ce, -€,)C2’ +E“C' = (SIM n.r)C"' (1.35)

Khi m = n = n': dạy Oued =D Án sWin,r)(

Hay X [(a,sW|n,r}- BY ee =0 (1.36)

(1.36) là hệ phương trình bậc nhất đối với Co) Để cho hệ (1.36) có

nghiệm khác không thì định thức của nó phải bằng không nghĩa là:

\(n.sWin,r) - BS <0 (1,37)

Phương trình (1,37) gọi là phường trình thế kỷ Day là phương trình bậc [

đốt vGiE! và nói chung có F nghiệm thực khác nhau Những nghiệm này

chính là các dai lượng bố chính bậc 1 cho các trị riêng CEL ST van E.') Lan

lượt dat các nghiệm này vào hệ các phương trình (1.360và giải hệ này ta se

tim được các hệ sốC wong gan đúng bậc không và kết hợp với biểu thức(1.33) ta xác định được các hàm riêng của gần đúng bac không

Vì các phần tử ma trận(n,sIW|n,r) là nhỏ nên các nghiệm tìm được trong

(1.37) có giá trị gắn nhau Do đó khi có nhiều loạn thì mức ning lượng suy

biến e„ bị tách ra thành nhiều mức gắn nhau Nên nói chung mức nang lượng suy biến đấu tiên sẽ không suy biến nữa, như người ta nói nhiễu đã "làm

mất" suy biến Sự mất suy biến có thể là hoàn toàn nếu các nghiệm của

(1.37) là không trùng nhau Cũng có khi | số các nghiệm của (1.37) (không

phải là tất cả) trùng nhau, ta nói suy biến bị khử | phan trong trường hợp suy

biến bị khử | phan, Sau khi có nhiễu, suy biến vẫn còn nhưng có bội suy biến nhỏ hơn so với lúc đầu và sẽ được khử tiếp ở phần hiệu chỉnh cấp 2,

LUAN VAN 222 NGRIEP #122: NGUYEN NGOC EA

Ham sóng jw!) được biểu diễn dưới dạng:

|w+;)= SCL Ine) (1.39)

Hệ (1.7) viết cho vei g Đà có suy biến trong gan đúng bậc 2 là:

Thay |ự‡;).|lw,2).|w ‘Nile các biểu thức (1.33) (1.34) và (1.39) nhân 2

vế về bên trái với (m.s| sau đó lấy tích phân trên toàn miễn biến thiên ta

được:

Limsfe, -H,}n.r)C¿; + Ey 2 (malnrz, +E SY (msi Cy

= ®(m.4WIn'.rK;,

Hay {e; —e CE + By" + EPCS = ¥ (m.sjWim.r)C Mộ (1.40)

Khi m = n: Hệ (1.40) cho ta:

Khai triển (1.41) ta sẽ được hệ f phương trình muốn cho hệ này có

nghiệm khác không thì định thức của nó phải khác không nghĩa là:

benh co ĐH) Kate Wier) | E26, „| =0 (1.42)

n'? Eạ =Đy

Đây là phương trình bậc f đối vAiE và nói chung có f nghiệm thực khác

nhau, Những nghiệm này chính là các đại lượng bố chính phải tim của gan

đúng bậc 2 cho các trị riêng (E,”.E,' Ey’) Lần lượt đặt các nghiệm này

vào (1.38) và (1.41) và giải hệ này ta sẽ tim được các hệ sOC! trong gần

đúng bac | và kết hợp với biểu thức (1.34) ta xác định được các hàm sóng

trong gần đúng bắc 1

Cũng như phan hiệu chỉnh bậc | các nghiệm (E,'.E;` EL’) có các

gid trị rất gắn nhau Vì vậy (khi có nhiều loạn) sự mất suy biến cũng có thể

Trang 10

LUAN URN TOP NGRIEP S172: NGUYEN NGOC 84

là hoàn toàn hay hộ phan và nếu cần suy biến thì nó sẽ bị mất ở phần hiệu

Đối với trường hợp có suy biến, đều kiện để áp dụng được phương pháp

lý thuyết nhiều loạn là:

Am, sWn', r’)

—€

<<] (n=n' #m)

m

Từ kết qua vừa tinh được trong trường hợp phổ gián đoạn Ta có thé trực

tiếp suy rong ra cho trường hợp toán tử H,có phổ liên tục Để làm được điều

này, ta chỉ cin thay vào các tổng trong phổ gián đoạn các tích phân tương

ứng trong phổ liên tục Nhưng cũng phải xét xem những nhiễu loạn như thế

nào cho nó không phá vỡ tính liên tục phổ của toán tửH, tức là toán

tử Hcũng có phổ liên tục, thì toàn hộ tác dụng của nhiều loạn sẽ làm thay đổi

dạng của các hàm sóng riêng ứng với mức năng lượng E Đồng thời bài toán

nhiều loạn đưa vé việc tìm các hàm sóng |w,) khi nhiễu loạn Vlà nhỏ.

những hàm sóng này có thể khác rất ít với hàm sóng |lự,) Tuy nhiên cũng có

thể có các trường hợp khác, đó là trường hợp nhiễu loạn Ÿ làm cho phổ liên

tục có những chỗ hị gián đoạn Khi đó hài toán nhiều loạn trở nên phức tạp

hơn rất nhiều: ta Không phải chỉ xác định những ham sóng mà còn phải xác

định cả vị trí và độ lớn của chỗ gián đoạn ở trong phổ năng lượng E ban đầu

là | phổ liên tục Vì vậy việc lý giải bài toán này không được tác giả trình

hày trong cuốn luận van này.

1 rang H

LUAN VAN 707 NGRIEP S122: NGUYEN NGOC EA

CHƯƠNG 1:DOI CHUYỂN DUGI TÁC DUNG

CUA MOT NHIEU LOAN

2.1 NHIÊU LOAN PHU THUỘC THỜI GIAN:

Trong phan này chúng ta chuyển sang nghiên cứu các nhiều loạn phụ

thuộc tường minh vào thời gian Nhiéu loạn này chủ yếu là | sóng điện từtrong khi có xảy ra tưởng tác với những nguyên tử hay phân tử, Trong phin

này nói chung không thỂ nói về các lượng bổ chính cho trị riêng năng lượng

vì khi Hamiltanien phụ thuộc tường minh vào thời gian (đó là toán tử bị nhiều

loạnH =H, +VŸ, nang lượng nói chung không bảo toàn và do đó không có

các trường hợp dòng Nhiệm vụ ở đây là tính gắn đúng các ham sóng của các trạng thái dừng của hệ không nhiều loan Bây giờ ta sẽ tim nghiêm gan đúng

của phương trình nhiều loạn:

Nghiệm của phương trình (2.1) được tìm dưới dạng khai triển theo các

hàm riêng của toán tử H1,:

|ụ(Ð) = Ya (t}o,())= Ea (ine ° (2.3)

Thay biểu thức (2.3) vào phương trình (2.1) và chú ý (2.2), ta được:

TC XD, ret =¥2, (4)V,, |nye «td (2.4)

Nhân 2 vế phương trình (2.4) vé bên trái với hàm (mleTM*va lấy tích

phân trên toàn miền biến thiên ta thu được:

.„ đa,(t) “ “3 ave

- = = aD

ik = >(mlVtjnk a„(0 (2.5)

Với: oL = gọi là tần số dời chuyển lượng tử Phương trình (2.5) là

1 hệ phương trình vị phân tương đương với phương trình (2.1) Ta không thể

giải chính xác (2.5) mà chỉ có thể giải tần đúng.

ia rene 1 2

LUAN URN 22” NGATEP SUTH: NGUYEN ?t22đ EA

Nếu toán tử nhiều loạnV, nhỏ và thời gian tác dung của toán tử không

lớn lắm thì ta có thể xem trong khoảng thời gian đó các hệ số khai triển a„(U)

biến đổi không nhiều lắm so với các giá trị ban đầu của chúng, Khi đó ta cóthể giải (3.5) bằng phương pháp gắn đúng liên tiếp

Ta viết toán tử nhiều loạn dưới dạng:

V=AW,, (2<<l) (2.6)

Tim a,,(1) dưới dang chuỗi:

a(t) =al'(t) + Adal) (ty + al (tps (2.7)

Mang 2 biểu thức (3,6) va (2,7) vào phương trình (2.5) và đồng nhất

những hệ xố của 2F trong 2 vế của phương trình, Ta nhận được:

- Nếu p=0:

jn dam () _ 9 (2.8)

- Nếu p #0:

Phương trình (2.8) có thể cho phép ta xác dinhal’'(t), cứ như thế lần lần

ta có thé tính được các hệ sốa”'(t)nếu biếta'* (1)

2.1.1 É i » 0:

Phương trình (2.8) cho ta: all’'(t) = const

Chon các diéu kiện ban đầu bằng cách sau:

(2,10) thỏa mãn với mọi % nên khai triển (2.7) cho ta:

a(t =0)=8,, $ a'{t=0)=0 nếu p > Ï (2.11)

Như vậy phương trình (2.8) cho với điều kiện ban đầu al!\(1=0)=8,, :

a„ ()=ô„ đối với t >0.

Đây là nghiệm bậc không của chuỗi (2.7)

2.1.2 Phép gắn đúng bậc nhất:

Phương trình (2.9) được viết với p = I:

Trang 13

LUAN URN 2/2 NGAIEP SUTH: UGUYEN NGOC BA

7 d= a = = 2bne Oey ~'{m|W, | n)

© oui e'(m|W,, Jk) (2.12)

t

Giải phương trình (2,12) ta sé tim được nghiệm gan đúng bậc nhất:

a'.'(U= 1 fee! (miW, lk)dt, (2.13)

the :

Ở đây ta chon a‘!'(0) = Ovi ta chỉ quan tâm tới xác suất dời chuyển giữa 2

trang thái dừng khác nhau (m = k).

được a„(U gan đúng tới bậc tùy ý,

Tuy nhiên đối với nhiều bài toán của vật lý nguyên tử và vật lý hạt nhânchỉ cần gidi hạn Wi nghiệm gan đúng bậc nhất đối với nhiễu loạn bậc nhất,

2.2 XÁC SUẤT ĐỜI EN LUGNG TU:

Dưới tác dung của nhiễu loạn hệ lượng tử có thé dời chuyển từ trạng

thái dừng ban dau với năng lượng & đến những trang thái dừng khác Nhưng

trong quá trình tác dụng của nhiều loạn (0 < t< +) tất cả các hệ số a„(t) nói

chung có thể khác không nên ta không thể nói là hệ só chuyển đến một

trạng thái dừng xác định nào cả Ta chỉ có thể nói là tại thời điểm t > 0 nào

đó nếu tiến hành do năng lượng của hệ thì sẽ nhận được giá trị năng lượng tụ,

với xúc suất bằng |a„(U |° Nếu xác suất đó bằng không thì dời chuyển ø„ >

£„ không thể thực hiện được Vậy la„(U |? đặc trưng cho xác suất dời chuyển

lượng tử từ trang thái ban đầu e đến trạng thái cuối ø„„ trong khoảng thời gian

từ O đến x,

Ký hiệu xác suất dời chuyển từ trạng thái k > m là P,y ta có:

1 rang 14

LUAN 1Á2t 2/7 NGRIEP 2122 NGUYEN ?!22đ EA

Poult = la„(Ðψ (2.16)

Như đã nói ta chỉ giới han trong phép gan đúng bậc nhất tức là:

Puu(tÌ = at = pr@nMibeea (2.17)

Trong phan này ta sẽ tính xác suất dời chuyển của | số quá trình tương

ứng với những toán tử nhiều loạn có dạng sau:

= const khi O<t<r

2.2 Đời chuyển dưới tác dung của nhiễu loạn không đổi:

Vì phần tử ma trận(m'W|k)không phụ thuộc vào thời gian nên tích phân

= 2z (mIWIk)Ï a" -IYe"*" -1)

Km] (6050 9 +isine t~IKcosm,, t-isine „ t~1)

Nếu muốn tìm xác suất dời chuyển lượng tử từ trạng thái m đến tất cả

trạng thái khác thì ta lấy tổng với mọi giá trị của k:

P(t) = > P„(t)

1 rang 15

LUAN VAN 22” NGRIEP #122: NGUYEN 42đ GA

sin Tức, t,}.

c2 J

Pot) = 4i(m|Wik) + = (2.19)

e,, ~&,)

(2.19) được xử dung cho phổ năng lượng gián đoạn.

‘Trén thực tế hầu như trong tất ca các hệ lượng tử, các trạng thái

cuối đều có phổ liên tục Do đó để tính xác xuất đời chuyển toàn phan từ

trạng thái đầu m đến tất củ các trạng thái cuối k ta cần lấy tích phân

Như vậy xác suất dời chuyển Ui lệ với thời gian tác dung của nhiều loạn

t, Do đó ta có thể định Lên xác suất dời chuyển trong | đơn vị thời gian:

P(r) = “2 - “ (m|WIkjŸ (2.24)

t

3.32 Đời chuyển dưới tác dụng của nhiễu loạn tuần hoàn:

Trường hợp quan trong khi xét nhiều loạn phụ thuộc thời gian là nhiều

loạn tuần hoàn, toán tử nhiều loạn được viết dưới dạng:

V,.=FeTM+FeTM =V, (2.25)

Đối vời xác suất đời chuyển sang các trạng thái của phổ liên tục, xảy ra

dưới ảnh hưởng của nhiều loạn tuần hoàn ta được kết quả khác loại với kết

quả của phan 1 Giả xử tại thời điểm đấu t = 0, hệ ở trang thái dừng thứ m

của phổ gián đoạn, Ta giả thiết rằng tan xố @ của nhiều loạn tuần hoàn thỏa

LUAN VAN 707 NGRIEP SUTH: NGUYEN NGOC 84

là những trang thái có @¿¡ = @ nhỏ, sé dong vai tO cơ bán, Chính vì thể khi

xét xác suất dời chuyện sang trạng thái liên tục dưới tác dung của nhiều loan

tuần hoàn, ta chỉ cần xét số hạng đều tiên trong (2.25) là đủ (với tần số oy

-© xấp xi bằng không), Dat số hang này vào (2.13) ta được (chỉ giới hạn trong

gin đúng bắc 1):

a„„(t)“ 2 J miFikje'"* “dt

enn wit Ï

al!’ (t) = -(m|Fk)“—tị Now =o)

Từ đấy ta tim được hình phương modul của a’! (1);

fa (9| = 7 Ám|FIkjÏ ð(e„ ~e, - ho):

Vậy xác suất dời chuyển lượng tử từ trạng thái lượng tử m đến trạng thái

AP, (x) - ri |(m|FIk)ÏÌð(e„ -e, - Aw de, - e, ) (2,29)

Công thức (2.29) chỉ khác không đối với những chuyển dời sang các

trạng thái có năng lương e„ = £, +ho Nếu các mức năng lượng của phổ liên tục không suy biến thì toàn “khoảng” của các trạng thái d(z„ - &) quy vẻ |

trạng thái với năng lướng 6 = 6, +ho và xác suất chuyền đời sang trang thái

LUAN VAN 707 NGRIEP SUTH: NGUYEN 122đ 8A

CHƯƠNG Ut DAO ĐỘNG TU DIEU HOA

3.1 GAN DUNG LA DIEU HOA:

3.1.1 Đao động tử điều hòa trong vat lý:

Ví dụ cổ điển nhất của dao động tử diéu hòa | chiếu là dao động của

mot hạt khối lưỡng m di chuyển doe theo | trục Ox, xung quanh vị trí cân

bằng có định ma ta có thể chọn ham gốc tọa độ Hạt này chịu tác dung của |

thế năng có dạng:

bare’

(x)= kx (3,1)

Rất nhiều hệ vật lý có thể xem như những dao động tử điều hòa trong

phép gan đúng bậc nhất, Chang han, trường hợp của những nguyên tử haynhững ion của | tỉnh thể có thể dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó,

Những dao động của những nguyên tử của phân tử 2 nguyên tử tạo thành | ví

dụ của dao động tử điều hòa | chiều.

Daw dong tử điều hòa đóng | vai trò quan trọng trong su mô tả của | tậphyp các ion nằm trong cùng | trạng thái lượng tử, Mat khác ta chứng minh

rằng trường điện từ là dang tương đương với | tập hợp nhữngdao động tửđiều hòa độc lập Đây là cơ sở của lý thuyết lượng tử của trường, Vì vậy mẫu

dav động tử điều hòa rất quan trọng trong cơ học lượng tử.

*,Những dao động nhỏ:

Một cách tống quát ta xét | thế năng U(x) biểu diễn | cực tiểu tại | điểm mà ta sử dụng làm gốc tọa đô Khai triển U(x) theo chuỗi Taylor xung

quanh điểm x = 0 đến bậc 2, cho ta:

U(x) = U(0 = (st) +(x) = U(0)+ >| =

Fix) =-U = -kx (3.3)

dx

Vì U(x) có 1 cực tiểu tại x = O, hệ số k >0 Bởi vậy x và F(x) có dấu

ngược nhau va lực luôn hướng vẻ vị trí cân bằng Điều này tương ứng với | vị

trí cân bằng cố định,

t rang 18

LUAN VAN 707 NGRIEP SUTH: NGUYEN NGOC EA

Khi những đó dịch chuyển xung quanh điểm cần bằng là đủ nhỏ, ta có

thể bỏ qua những thừa số bậc cao hơn 2 trong khai triển (3.2) Thể nang U(x

= 0) có thể xem như bằng không tại điểm can bằng Vì vậy ta nhận được |

thế nang tương ứng với thế năng của | dao động tử điều hòa cho hởi (3.1).

3.1.2 Phương trình SchrVdinger:

Phương trình Schrvdinger của những trang thái dừng của | dao dong tử

điều hòa 1 chiều được viết trong biểu diễn - x:

Nổi vế” Le? lyn) Ewix) (3.4)

Bài toán bao gồm xác định những trị riêng và hàm riêng củaH Từ việc

xét tổng quát, ta có thể dự đoán | số tính chất của những nghiệm:

- Phần tử dao động tổn tại xung quanh điểm cân bằng của nó, ta có những trạng thái liên kết và kết quả là có | phổ gián đoạn của trị riêng.

Những trị riêng nay thì không suy biến vì hệ chỉ có | bậc tự do.

- Thế năng thì đương tai mọi điểm ở đó tìm thấy hat, những trị riêng chỉ

có thể dương hay bằng không.

- Thế năng là hàm chắn: U(-x) = U(x), những hàm sóng có | biểu thức

động hình sin nhân được trong cơ học cổ điển,

Mat khác ta đưa vào những toán tử sau:

ˆ ‘mo ‘ ~ P A H

Q \ h NINH ho

TwU-VIEM

LUAN VAN 22” NGRIEP SUTH: NGUYEN NGOC EA

Với những khái niệm này, phương trình Schrvdinger Hjy)= By) được

viel:

H v) =3(P 9 Oo y= = lv) (3.8)

Vi fo có thứ nguyên của năng lượng ta nhận được | phướng trình

không thứ nguyên Việc tìm phổ củaH đưa đến xác định 2 toán tử mới làm

cho dé dàng việc tim kiếm này:

75 (0 iP); Â' = (0 -ip) (3.9)

Chú ý rang A không phải là toán tử hermite vi nó khác với toán tử liễn

hợp A* Tính tích A.A‘ ta nhận được chú ý tới |9 P| =i:

AA =7(P°+Q')s ›|Ê.ö] A, - ; G.10)

Ta dau N=AA , toán tử này là hermite vì tà có: Ñ =(Á Á'} =A AEN

Phương trình (3.10) cho ta:

fh <n! (3.11)

2

HamiltanienH, thì đồng nhất vớiN với sự bỏ qua 1 hằng số cộng Do đó,những vecto riêng củaH chính là vecto riêng củaN và trị riêng của nó sẽnhân được từ trị riêng củaN trong khi thêm '/, Vì vậy chúng ta sẽ tim phố vàvccto riêng của Ñ,

3.2.2 Vectơ riêng của N :

Bởi vì phổ của H thì gián đoạn, nên ta kí hiệu n là những trị riêng của

N và dat (n) là những vcctơ riêng trực giao và chuẩn hoá Như vay, ta có:

Nin) = nin) (3.12)

Để xác định những trị riêng n, đấu tiên ta sẽ nghiên cứu tác dụng của

toán tử A lên một vectơ riêng của Ñ Để làm điều này, tính giao hoán tử

LUAN YAN 707 NGRIEP SUTH: NGUYEN NGOC EA

n= (An\Ajn) = (Ainj >0 (3.16)

*) Tae dung của A lên những vectd riêng của N:

Theo (3,14) ta có:

[N AJn} = NA|n}~ AN|n) = —Ain) (3.17)

Vi in) là veets riêng của N, phương trình (3,17) cho ta:

NAIn) -(n ĐA n) (3,18)

Hệ thức (3,18) chứng minh rằng Aln) là vcctd riêng của Ñ ứng với trị

riêng (n-1) Ta dat (n-1) là veetd riêng của N ứng với trị riêng (n-1) Bởi vì

những trị riêng của H, vì vậy của Ñ, thì không suy biến nên veets Alm) thì tỉ

Bởi vi những vects trạng thái được xác định bỏ qua một thừa xố pha, ta

có thể chọn thừa số này sao cho œ là thực, từ đó:

An) = vn|n - I} (3.22)

Khi đó những vectở riêng liên tiếp của N có thể nhận được trong khi

đặt nhiều lần toán tử A lên một vectơ In) Ở mỗi lần dat A, trị riÊng tương

ứng giảm một đơn vị,

#) Tác dụng của A lên những vectơ riêng của Ñ:

Theo (3.14) ta có:

|Ñ.A Jn) = ÑẢ - |n) - Á' Ñ|n) = Â' |a) (3.23)

Vi (n) là veetd riêng của Ñ, phương trình (3,23) cho ta:

NA‘|n)=(n+1)A [n) (3.24)

Hệ thức (3.24) chứng minh rằng An) là vecus riêng của N và môi tính

toán tướng tự với tính toán được thực hiện đối với tác dụng của A cho chúng

la:

1 rene 21

LUAN VAN 707 NGAIEP = SUTH: NGUYEN NGOC EA

A |n)=Vn+I|n +1) (3.25)với một sự lựa chọn đồng nhất về pha

Những tác dụng liên tiếp của A’ lên một veetd riêng củaN cho phép nhận được một loạt vectd riêng của Ñ tương ứng với những trị riêng tñng một

đơn vị ở mỗi lần dat A’,

3.2.3 Phổ của những tri riêng:

Hệ thức (3.16): ÑAjn) = (n - I)A|n} được thỏa mân nếu A\n) là mot

vectd riêng của Ñ và bằng không khi Aln) = 0, với 0 là vectd không

Thừa số chuẩn hoá của Ảin) là vn nếu vectơ |n) được chuẩn hoá; nếu

vectd Ä|n) là veetơ không, thì thừa số chuẩn hoá của nó bằng không và ta có: n=), Giá trị này là giá trị cực tiểu vì theo (3.16):

neo (3.26)

Veets riêng của Ñ tương ứng với trị riêng 0, được kí hiệu l0) và ta có:

A|0) = 6/0) = 0 (3.27)

Tác dụng liên tiếp Av lên vectd |0) ta nhận được tất cả những vcctd

riêng |n) của toán tử Ñ Vì những trị riêng tăng một đơn vị từ 0 ở mỗi lần đặt

của A’, Vì vậy những trị riêng của Ñ là những số nguyên liên tiếp:

n = (),1,2,3

#) Trị riêng của Hamiltonien:

Vì ñ,=Ñ+1⁄3, nên những vevis riêng của Ñ bằng những vectơị riêng

của H, và những trị riêng của A, thì bằng n+1⁄2 Mặt khác, A =foH,, nên trị riêng của A, nghĩa là những mức năng lượng của dao động tử điều hoà được

cho hởi:

E, =#o(n+l/2); n=0,1,2,3 (3.29)

Số n goi là số năng lượng của dao động tử điều hod, Nhu da dự đoán, ta

nhận được một phổ gián đoạn và những mức năng lượng thì dương Mức thấp

nhất hay mức cơ bản bằng:

E,-=®a/2 (3.30)

3.2.4 luán tử sinh và toán tử hủy:

‘Ta có thể đưa ra một sự giải thích vật lý của những todn tử A và AY

trong khi nghiên cứu kết quả tác dụng của những toán tử này trên những mức

năng lượng của dao động ut,

Tre ney 22

LUAN VAN 707 UGAIEP S172: NGUYEN UGOC EA

Tác dung của A lên một trạng thái (n) có năng lượng 1:, làm chuyền

lên trang thái (ñ +1) có nang lượng EL Ta có thé nói rằng toán tử A đã tạo

ra một lung năng lượng ho =l,-E, Từ đó ma A có tên goi là toán tử

xinh.

Toán tử A thì ngược lại nó luân chuyển hệ từ một trang thái BE, đếnmột trạng thái Eva nó phá huỷ một lượng nang lượng ho Vì vậy A được

gọi là toán tử huy,

Những toán tử này đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong lí thuyết

trường lượng tử chúng cho phép mô tả sự sinh hay huỷ của những phần tử

điểu mà ta quan sát bằng cách thực nghiệm đổi với những hệ lượng tử thay

đổi.

động tử điều hoà Vì vậy Hamiltonien H là một toán tử có thể quan sát được

và như thế phổ của Hthì không suy biến

Chúng ta đã thấy rằng những sự dat liên tiếp của A’ lên một vectơ riêng

của N cho phép nhận được một loạt những vectd riêng tương ứng với nhữngtrị riêng, những trị riêng này tăng một đơn vị ở mỗi lần dat

Hệ thức (3.25) cho ta:

A'in-Ð)= ýa|n) (3.31)

Vì vậy ta có thể nhận được tất cả những vcctở (n) từ trạng thái cơ bản

|0) trong khi lap lại nhiều lan (3.31):

In): 7n (À ]in) (3.32)

sae Ma trận của

những toán tử;

Ta hãy tính những phan tử ma trận của những toán tử được sử dụng ở

trên trên cơ sở [Ín)}, Hệ thức (3.31) nhân được trong khi giả sử rằng những

vecld |n) được chuẩn hoá Khi đó ta nhận được những phan tử ma trận của

(p'A |n)= vn + pins l) = vn +lỗ,., (3.33)

Tương tự, hệ thức (3.32) cho tú: 5

H rang 23

LUAN VAN 222 NGRIEP SUIA: NGUYEN NGOC 84

(p\Aln) - vn{pín - l) = Ýn +lỗ,„ (3.34)

Những toán ut X và P_ nhận được từ những định nghĩa (3,9) của những

toán tử A và A Ta nhận được:

X=v~—=(ÃA+A =ij——|A’ -A (3.35)(26 ) a SANG )

Những phan tử ma trăn của X và P nhận được ngay lập tức từ (3.33) và

(3.341:

n+lỗ,„ +/nõ, „.) (3.36)

(p|P.{n) =i [nk +184 — vnỗ, „ (3.37)

Những ma trận biểu điển X và ð, đều là hermite hởi vì hai toán tử này

là hai toán tự hermite,

3.4 HÀM SÓNG:

3.4.1 Trạng thúi cơ bản:

Để xác định chính xác những trạng thái riêng của dao động tử điều hoà,

chúng ta hãy dat trong biểu diễn x nghĩa là tìm những hàm sóng wy, của hệ,

Vectd của trạng thái cơ bản |0) thỏa man phương trình (3.27) có nghĩa

là:

Al0)=0 (3.39)

Chú ý đến biểu thức của A, phương trình (3.38) được viết:

{,;—X \ 2a X'=E,J9)+ P.Jj0)=0 (3.39)

Đặt y, là hàm sóng của trạng thái cơ bản, với w„(x) = (x|0)|, Trong biểu

diễn —x, phương trình (3.39) được viết:

c9 v2 đu, =0 (3.40)

h đx

Đây là một phương trình vi phân mà ta có thể đặt dưới dạng + =axdx,

khi đó ta nhận được nghiệm:

LUAN VAN 707 NGRIEP SOUTH: NGUYEN 142đ BA

Vì w, tx) thì hỗ qua hệ số pha, nến ta có thể chon một giá tri thực đối với

Để xác định những hàm sóng của trạng thái riêng của dao động tử ta sử

dụng hiến Q được định nghĩa bởi (3.7), cho phép ta nhận được những biểu

thức đơn giản hơn so với x, Phương trình (3.40) được viết:

*) Mật đô xác suất tìm thấy hạt:

Ham riêng (3.43) cho biểu thức của xác xuất có mat của phan tử dao

động trong trạng thái cơ bản của nó:

cxp(-Q') (3.51)

1 rang 25

LUAN URN 222 NGRIEP S122 NGUYEN NGOC EA

= if : `

Ww Oxy =(=) exnl — } (3.52)

Biểu thức này được biểu diễn bởi một đường cong Gauss Xác suất có

mặt cực đại ở tại vị trí cân bằng của nó; x = 0,

Khi ta xét nhiều trạng thái w (x) tương ứng với những mức năng lượngngày càng cao thì biên độ của những dao động tăng Khi đó ta kết luận rằng

những mức cao nhất có thể đạt được của xác suất có mặt ở xung quanh vị trí

cực tiểu của sự dao động

Trang 26

LUAN VAN 22122282 — S272 NGUYEN ?!2/ EA

CHƯƠNG tv: DAO ĐỘNG TU PHI DIEU HOA

Dao dong tử diéu hoà chỉ là sự lí tưởng hoá của một hệ lượng tử, Đối với

một hệ lượng tử thực thế năng của hệ không chỉ dừng lại ở thừa số bậc hai

trong khai triển (3,2) mà ta cần phải kể đến các thừa số bậc cao hơn:

hối NI ĐỀU.” 31 ME) alan’),

5!(dxJ 6!t(dx") THK”

=U,,,+ +ax"+Bx* +yx* +5x° +ÀxÌ +

Ta chon U,, „=0 tại điểm cân bằng Ta nhân được một biểu thức thế

năng:

U = 2X t0 + XP *yX + BN" 4 ART ti (4.1)

không tương ứng với thế năng của một dao động tử điều hoa cho bởi

(3.1) Khi đó dao động bị lệch khỏi đường cong đặc trưng cho dao động tử

điều hoà một dao động như thế gọi là dao động tử phi điều hoà.

Trong phan này chúng ta tính những mức năng lượng và hàm sóng của

dao động tử phi điều hoà và có kể đến những xố hiệu chính nhỏ (ø,J.y,.À ).

ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp! ý thuyết nhiễu loạn: áp dụng các kết

quả của chương |, và dựa vào những kết quả đã biết của dao động tử điều

hoà ở chương HI.

Ta xem những số hiệu chính trong (4.1) là nhiều loạn Ÿ Khi đó thế

nhiễu loạn có dạng:

V = ax’ +x" +yx` +5x" +Àx” + (4.2)

Những mức lượng tử của hệ thống không nhiều loạn (a =B= 7 =õ=%<0)

là những mức của dao động tử điều hoà Ta kí hiệu những trị riêng hàm

riêng của dao động tử điều hoà là:

E, =6, = hala +) (4.3)

wi (x)) \yi(x)) = (VR 2°-ni) ° exp) 2) 4.)

Trang 27

42442! VAN ?2“? NGRIEP 2122: NGUYEN 142đ BA

Trong trường hợp ta dang xét, mỗi mức năng lượng ©, chỉ ứng với mộitrang thái w,(x) trường hợp không suy biến > Những yếu tố ma trận của

năng lượng nhiều loạn là: (nịV m).

Đồng thời ta sử dụng các công thức tính gắn đúng của chương 1b

* Khi chưa có nhiều loan (a =0), ta có hệ nghiệm (4.3)

* Khi có nhiều loạn Hamiltonien được viết dưới dạng:

H=H,+V

trong đó V=V, =ax' (thế nhiều loạn )

Muốn xác định được các mức năng lượng và ham sóng ta phải tìm các

lượng bổ chính trong hệ (1) Bài toán đưa về tính các phan tử ma trận

(n|Ÿ,|m).V,

Ta co:

{na|Ÿ,(m) = a{n|x*|m) (4.5)

Để tinh phan tử ma trận (4.5) ta nhớ lại hệ thức (3.35) trong hiểu diễn

—x và nhân hai vế về bên phải của (3.35) với |m) (chú ý tới tác dung của

A và A’ lên |m)) ta được:

xim) A (Vm +lÍm + l)+ Vm|m - 1)) (4.6)

\2 ~meé›

Nhân cả hai về của (4.6) về bên phải với x ta được:

Trang 28