Phân dạng bài tập, cách giải, ví dụ minh họa trong phạm vi kiến thức chương 1 giải bài tập chương 1 trình bày một số Ứng dụng trong kinh tế liên quan kiến thức chương 1 cách giải bài toán cực trị tự do, cực trị có Điều kiện của

Ngoài cách xét tính ĐLTT, PTTT theo định nghĩa, trong nhiều trường hợp, ta có thểnhận biết được ngay tính ĐLTT, PTTT của một hệ vector nhờ các dấu hiệu sau, một vài dấuhiệu này có thể là

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

BÀI THẢO LUẬN HỌC PHẦN: TOÁN ĐẠI CƯƠNG

Đề tài: Phân dạng bài tập, cách giải, ví dụ minh họa trong phạm vi kiến thức chương 1 Giải bài tập chương 1 Trình bày một số ứng dụng trong kinh tế liên quan kiến thức chương 1 Cách giải bài toán cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm

hai biến và ứng dụng trong kinh tế.

Giáo viên hướng dẫn: Vũ Thị Thu Hương

Lớp học phần: 232_AMAT1011_03

- Chỉnh sửa nội dung.

4 Nguyễn Tiến Đạt - Làm powerpoint.- Thuyết trình

5 Nguyễn Minh Đức - Thuyết trình.- Làm chương 4

Nhóm trưởng

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

***

BIÊN BẢN HỌP NHÓM 2

( Lần 1 )

1 Thời gian họp: 22h15 ngày 22/02/2024

2 Hình thức: Họp online trên Google Meet

3 Nội dung buổi họp:

- Bầu chọn thư ký

- Phân chia công việc thảo luận nhóm

4 Chất lượng buổi họp:

- Thành viên tham gia: Đủ (10/10)

- Nhóm thảo luận tích cực, sôi nổi

Nhóm trưởng

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

***

BIÊN BẢN HỌP NHÓM 2

( Lần 2 )

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

***

BIÊN BẢN HỌP NHÓM 2

( Lần 3 )

- Thống nhất nội dung word

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 11 LỜI MỞ ĐẦU 12 NỘI DUNG 13 CHƯƠNG 1: Phân dạng bài tập, cách giải, ví dụ minh họa trong phạm vi kiến thức chương 1: 13 CHƯƠNG 2: Giải bài tập chương 1: 32 CHƯƠNG 3: Một số ứng dụng trong kinh tế liên quan kiến thức chương 1: 51 CHƯƠNG 4: Cách giải bài toán cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm hai biến và ứng dụng trong kinh tế 52 CHƯƠNG 5: Cách giải bài toán cực trị có điều kiện của hàm hai biến và ứng dụng trong kinh tế: 54 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

Kiến thức vốn là bầu trời rộng lớn không có điểm dừng, cùng với đó sự tiếp nhậnkiến thức của mỗi người đều có những hạn chế nhất định Thật vậy, trong quá trình hoànthành bài thảo luận này, chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Nhóm 02 chúng

em mong được nhận sự thông cảm, góp ý và bổ sung để bài thảo luận này được hoàn thiệnhơn

Chúng em xin chân thành cảm ơn thầy!

LỜI MỞ ĐẦU

Phát triển kinh tế là mục tiêu của tất cả các nước trên thế giới Để thực hiện được mục tiêu trên thì đòi hỏi các nước cần có sự kết hợp giữa việc phát triển của nhiều các ngành nghề khác nhau Trong đó toán học là một yếu tố có ứng dụng rất cao Việc vận dụng hiệu quả các mô hình kinh tế vào trong nền kinh tế đòi hỏi các nước cần có một cơ

sở toán học vững chắc

Trong bài thảo luận này, nhóm 02 sẽ đi sâu để phân dạng bài tập trong phạm vi kiếnthức chương 1 môn Toán đại cương Từ đó đưa ra cách giải và ví dụ minh họa cho từng dạngbài rồi vận dụng lý thuyết đó để giải bài tập chương 1 Sau đó, nhóm em sẽ trình bày một sốứng dụng trong kinh tế liên quan kiến thức chương 1 và cuối cùng nêu ra cách giải bài toáncực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm hai biến và ứng dụng trong kinh tế

NỘI DUNGCHƯƠNG 1: Phân dạng bài tập, cách giải, ví dụ minh họa trong phạm vi kiến thức chương 1:

- Phép nhân ma trận với một số tích của ma trận A với một số α

α.A = α.(aij) mxn = (α.aij) mxn

I.2 Các phương pháp tính định thức.

I.2.1 Đối với định thức cấp 2: Lấy tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ.

Ví dụ 2: Cho A = (a 11 a 12

a 21 a 22)  det(A) = a11.a12 – a12.a21 = const

I.2.2 Đối với định thức cấp cao (n ≥ 3):

o Định thức cấp 3

Cách 1: Dùng công thức Scrame: Viết thêm hai dòng hoặc cột dưới hoặc kế định

thức đã cho Khi đó:

a Tích các phần tử theo đường chéo chính ta lấy dấu cộng (+)

b Tích các phần tử theo đường chéo phụ ta lấy dấu trừ (-)

+ Const nếu các phần tử của định thức là số thực

+ Biểu thức nếu các phần tử của định thức có chứa ẩn các số

+ Số phức nếu các phần tử của định thức thuộc R thuộc C

o Đối với định thức cấp cao (cấp n): Dùng phương pháp khai triển theo dòng hoặccột

Các phương pháp ứng dụng để tính định thức cấp cao có thể có:

- Chọn ưu tiên cho những dòng hoặc cột có nhiều số 0 và số 1 để tiến hành khai triển giúp ta giảm bớt các bước trung gian

- Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa dòng hoặc cột của định thức xuất hiện nhiều số 0 và số 1 trước khi chọn để khai triển.

I.2.3 Chú ý:

o Nếu ma trận có dạng chéo tam giác → giá trị định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

- Phép biến đổi gauss thứ 1: Nếu đổi dòng → đổi dấu

- Phép biến đổi gauss thứ 2: Nếu nhân 1 dòng với k ≠ 0 → định thức tăng k lần

- Phép biến đổi gauss thứ 3: Lấy 1 dòng trừ k lần dòng khác → định thức không đổi

I.3 Hạng của ma trận.

I.3.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức.

Bước 1: Tìm một định thức con cấp k ≠ 0 của A Giả sử định thức con cấp k ≠ 0 là Dk.Bước 2: Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức Dk Xảy ra 3 khảnăng:

o Không có một định thức con cấp k 1 nào của A, xảy ra  k = min{m, n}

→ Khi đó r(A) = k = min{m, n} Thuật toán kết thúc

o Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dk đều bằng 0

→ Khi đó r(A) = k Thuật toán kết thúc

o Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 chứa định thức con Dk khác 0

→ Khi đó lặp lại bước 2 với Dk+1 thay cho Dk Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ratrường hợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc

Kiểm tra các định thức cấp 4 bao quanh định thức D123123 có

I.3.2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss).

Ba phép biến đổi sau gọi là phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận:

o Đổi chỗ 2 dòng cho nhau

I.4.1 Các tính chất của ma trận nghịch đảo.

o Ma trận vuông A khả nghịch thì A-1 xác định duy nhất

o Ma trận vuông A khả nghịch thì (A-1)-1= A

o Nếu hai ma trận vuông A,B cùng cỡ và cùng khả nghịch thì (A.B)-1 = B-1.A-1

o E-1= E với E là ma trận đơn vị cấp tùy ý

I.4.2 Cách tính ma trận nghịch đảo:

Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng:Bước 1: Tính định thức của ma trận A

o Nếu det(A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo A-1

Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A’ của A

Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau:

A*= (Aij’)nm với A’ = Aij’ là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A’.Bước 4: Tính ma trận A-1= detA1 A*

II.1.1 Khái niệm và các phép toán trên vector.

1 Vector n chiều.

Định nghĩa 1: Một bộ n số thực xi (i = 1J n ) xếp thành một dòng, có tính đến thứ tự:

X = (x1, x2, , n) gọi là vector n chiều

Số thực x i (i = 1J n)được gọi là thành phần thứ i của vector X

Các vector cũng có thể được sắp xếp theo cột, khi đó ta nói rõ là “ vector cột”

Nhận xét : - Mỗi vector dòng n chiều là một ma trận cỡ 1 x n

- Mỗi vector cột n chiều là một ma trận cỡ n x 1

→ Vector là trường hợp riêng của ma trận Ngược lại, ma trận nói chung không phải làvector Tuy nhiên, một ma trận cỡ m x n có thể trở thành một vector m.n chiều nếu ta quy định một luật về thứ tự giữa các phần tử của ma trận đó

 Vector –X = ( -x1, -x2, , -xn) gọi là vector đối của X = (x1, x2, , xn)

2 Các phép toán trên các vector n chiều.

Các phép toán:

o Phép cộng

Cho hai vector n chiều X = (x1, x2, , n), Y = (y1, y2, , yn) Tổng của hai vector X và

Y là một vector n chiều, được kí hiệu và xác định như sau:

X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn)

o Phép trừ

X –Y = X + ( Y) = (x1 - y1, x2 - y2, , xn - yn)

o Phép nhân vector với một số thực

Tích của vector n chiều X = (x1, x2, , n) với một số thực là một vector n chiều, kí

hiệu , được xác định như sau :

Các tính chất cơ bản của hai phép toán.

Với X, Y, Z là các vector cùng số chiều và là các số thực, ta có:

Định nghĩa 3: Cho hai vector n chiều X = (x1, x2, , n), Y = (y1, y2, , yn) Số thực có kí

hiệu và độ lớn, xác định như sau được gọi là tích vô hướng của X và Y

<X ; Y> := x1 +x2y2+ +xn yn

II.1.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.

1 Các khái niệm:

1.1.Tổ hợp tuyến tính của các vector

Định nghĩa 4: Cho m vector n chiều X1, X2, , Xm Một tổng có dạng:

X =k1X1+ k2X2 + Km Xm (ki € R; i = 1, 2, , m) được gọi là tổ hợp tuyến tính của m vector

đã cho

Trong trường hợp này, ta nói X được biểu diễn tuyến tính qua m vector trên

Đặc biệt, X =kY hoặc Y= hX thì ta nói X và Y tỉ lệ với nhau

1.2.Tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

Cho một hệ m vector n chiều {X1, X2, , Xm}

Định nghĩa 5: Hệ m vector n chiều {X1, X2, , Xm} được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu

tồn tại m số thực k1, k2, , km với ít nhất một số khác 0 sao cho:

k1X1+ k2X2 +kmXm =0 (1)Nếu hệ thức (1) chỉ thỏa mãn khi k1= k2 = = km =0 thì hệ m vector đó được gọi là độc lậptuyến tính

2 Dấu hiệu nhận biết.

Đầu tiên, ta nêu khái niệm “hệ con”: từ hệ m vector ta lấy ra r vector (r ≤ m), khi đó tagọi hệ r vector là một hệ con của hệ m vector trên

Ngoài cách xét tính ĐLTT, PTTT theo định nghĩa, trong nhiều trường hợp, ta có thểnhận biết được ngay tính ĐLTT, PTTT của một hệ vector nhờ các dấu hiệu sau, một vài dấuhiệu này có thể là hệ quả của nhau, ta sử dụng chúng tùy theo sự thuận tiện

 Hệ chỉ gồm hai vector là ĐLTT  hai vector đó không tỷ lệ

 Hệ chứa vector không là hệ PTTT

 Một hệ vector chứa hai vector tỷ lệ là hệ PTTT

 Một hệ vector PTTT  một vector của hệ là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại

 Một hệ vector chứa một hệ con PTTT là hệ PTTT

 Một hệ vector ĐLTT thì mọi hệ con của nó cũng ĐLTT

 Hệ có số vector lớn hơn số chiều của vector (m > n là hệ PTTT)

Ví dụ 8: Cho các vecto 3 chiều:

1 Cơ sở và hạng của hệ vector.

Định nghĩa 6: Cho hệ m vector n chiều Một hệ con gồm r vector được gọi là một hệ con

ĐLTT cực đại nếu hệ con đó là ĐLTT và không thể bổ sung thêm vào hệ con đó từ số cácvector còn lại để được một hệ con ĐLTT có số vector nhiều hơn

Định nghĩa 7: Mỗi hệ con ĐLTT cực đại của một hệ vector được gọi là một cơ sở của hệ

vector đó

Định nghĩa 8: Mỗi hệ vector có thể có nhiều cơ sở khác nhau, nhưng số lượng các vector

trong cơ sở ấy đều bằng nhau Hạng của hệ vector là số lượng các vector trong một cơ sởcủa hệ ấy

Kí hiệu hạng của hệ: r{X1; X2; ; Xm}

Ví dụ 9: Tìm các cơ sở của hệ ba vector sau: X1 = (1, 1, 3); X2 = (2, 4, 1); X3 = ( 2, 2, 6)

Ta thấy: X3 = -2.X1 Hệ {X1, X2, X3} là phụ thuộc tuyến tính

 Hệ con {X1, X2} là ĐLTT (hai vecto không tỷ lệ) và hơn nữa là ĐLTT cực đại  Đó

là 1 cơ sở của hệ {X1, X2, X3} Tương tự, hệ {X2, X3} cũng là 1 cơ sở

 Hệ {X1, X3} không phải là cơ sở vì hệ con này PTTT Các hệ con {X1}, {X2}, {X3} cũng không phải là cơ sở (ĐLTT nhưng chưa cực đại)

2 Các phép biến đổi sơ cấp đối với một hệ vector.

Định nghĩa 9: Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên hệ vector:

Ta dễ thấy kết quả sau:

Định lý 2: Ba phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của hệ vector.

Hệ quả 2.1: Hạng của hệ vector không đổi khi thêm vào hệ (hoặc bớt đi một vector mới

là tổ hợp tuyến tính của các vector của hệ đó

3 Liên hệ giữa hạng của hệ vector và hạng của ma trận.

Định lý 3: Hạng của một ma trận cỡ m x n đúng bằng hạng của hệ m vector dòng và bằng

hạng của hệ n vector cột

Ngược lại, ta có:

Hệ quả 3.1: Hạng của một hệ m vector n chiều đúng bằng hạng của ma trận cỡ m x n

(hoặc cỡ n x m), tạo thành bằng cách sắp xếp liên tiếp các vector đó theo dòng (hoặc theocột)

Như vậy, việc tìm hạng của một hệ vector được đưa về việc tìm hạng của một ma trận.(tìm cơ sở và đếm số vector của cơ sở đó)

4 Liên hệ giữa hạng của hệ vector và sự độc lập tuyến tính.

Ta công nhận các kết quả sau:

Định lý 4: Hệ vector là ĐLTT  hạng của hệ đúng bằng số vector của hệ

Hệ quả 4.1: Hệ vector là PTTT  hạng của hệ nhỏ hơn số vector của hệ

Hệ quả 4.2: Hệ có số vector bằng số chiều là ĐLTT  ma trận tạo thành từ các tọa độ

có định thức khác 0

5 Tìm cơ sở bằng biến đổi sơ cấp.

Cho hệ m vector n chiều {X1, X2, , Xm} Giả sử r{X1, X2, , Xm} = r Khi đó ta cóthể tìm các cơ sở của hệ vector trên bằng cách như sau:

Bước 1: Xếp các vector theo cột và biến đổi theo dòng (hoặc xếp theo dòng thì biến đổi sơcấp theo cột)

Bước 2: Đưa ma trận về dạng đặc biệt (dạng tam giác/dạng hình thang)

Bước 3: Mỗi định thức con cấp r khác 0 sẽ tương ứng với một cơ sở gồm các vector cột(hoặc dòng của định thức con đó)

Cách tìm cơ sở như vậy dễ dàng hơn nhiều so với cách dùng định nghĩa

Chú ý: Như vậy, việc dùng ba phép biến đổi sơ cấp để tìm cơ sở của một hệ vector là

“nghiêm ngặt” hơn so với việc tìm hạng

II.1.4 Không gian vector.

Định nghĩa 10: Hệ gồm tất cả các vector n chiều, trong đó xác định phép cộng vector và

phép nhân vector với một số, được gọi là không gian vector n chiều, ký hiệu R

Chú ý:

- Không gian R n có các tính chất đặc trưng, trong đó quan trọng nhất là tính “tuyến tính”, được phát biểu như sau : ∀ a,B ∈ R , n ế u x , y ∈ R n thì α.x +βy ∈ R n Vì thế, người ta gọi “không gian vector n chiều” là “không gian tuyến tính n chiều”

1 Cơ sở của không gian R n

Mệnh đề 1: Mỗi cơ sở của không gian R n có đúng n vector ĐLTT và ngược lại, mỗi hệ nvector ĐLTT là một cơ sở của không gian R n nào đó

Các kết quả sau là tương tự như đối với hệ có m (hữu hạn) vector:

- Cơ sở đơn giản nhất của không gian R n có thể coi là hệ các vector đơn vị {e1,e2, ,en} Ta gọi đó là cơ sở đơn vị của không gian R n

-Giả sử {p1, p2, , pn} là một cơ sở của không gian R n

Khi đó mỗi vector X R n có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

X= k1.p1+ k2.p2 + +knpn

Bộ các số (k1, k2, , kn) gọi là tọa độ của vector X trong cơ sở trên của không gian R n

Lưu ý rằng, nếu {p1, p2, , pn} không phải là một cơ sở của không gian Rn thì bộ (k1, k2,

…kn) trong biểu diễn trên không phải là tọa độ của vector X

- Tọa độ của các vector thay đổi tùy theo cơ sở dùng để biểu diễn tuyến tính vector đó

2 Phép đổi cơ sở.

Trong R n có vô số các cơ sở Giữa các cơ sở đó có mối liên hệ tuyến tính với nhau, theonghĩa: Nếu cho trước hai cơ sở E ={e1, e2, , en} và F ={f1, f2, , fn} thì bao giờ cũng tồntại một ma trận không suy biến S= (sij)nxn sao cho F= S’E, tức là:

Vậy ta có:

{ y1+2 y2=5

3 y1+4 y2=6 {y1=−4

y1=92

Tọa độ của X trong cơ sở mới là (-4;92 ), nghĩa là

X = y1f1+ y2f2 = -4f1+92f2

3 Không gian tuyến tính sinh bởi một hệ vector.

Định nghĩa 11: Cho m hệ vector X1, X2, , Xm có cùng số chiều (không cần biết bằng

bao nhiêu) Giả sử r { X1, X2, , Xm} = r, khi đó tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của chúng:

L : = {k1X1+ k2X2 + +kmXm | k1, k2, , km∈R}

tạo thành một không gian vector r chiều Ta nói không gian L của R nnày là không gianvector sinh bởi hệ m vector { X1, X2, , Xm}

Mỗi cơ sở của hệ {X1, X2, , Xm} cũng là một cơ sở của không gian của R n

- Trường hợp đặc biệt: Giả sử {X1, X2, ,Xm} là m vector độc lập tuyến tính, khi đó

(k1X1 + k2X2 + kmXm | k1,k2, , km∈R )

là một không gian vector m chiều sinh bởi hệ m vector {X1, X2, , Xm} Hệ m vector trên là một trong các cơ sở của không gian R mnày

4 Biểu diễn tuyến tính.

Giả sử có m vector biểu diễn tuyến tính qua n vector khác:

Vậy, hệ {X1, X2, X3, X4} là phụ thuộc tuyến tính (hạng nhỏ hơn số vectơ)

II.2 Các dạng bài tập cơ bản.

DẠNG 1: Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.

 Phương pháp: Hệ m vector n chiều {X1, X2, , Xm} được gọi là phụ thuộc tuyếntính nếu tồn tại m số thực k1, k2, , km với ít nhất một số khác 0 sao cho:

k1X1+ k2X2 + kmXm = 0 (1)Nếu (1) chỉ thỏa mãn khi k1 = k2 = = km = 0 thì hệ được gọi là độc lập tuyến tính

Để xét tính ĐLTT, PTTT của hệ vector X1, X2, Xm, ta làm như sau:

Xét hệ thức: k1X1 + k2X2 + + kmXm = 0 → một hệ phương trình thuần nhất

 Lập ma trận hệ số của hệ phương trình thuần nhất nhận X1, X2, , Xm làm các cột

 Biến đổi ma trận

o Nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác → hệ vector là ĐLTT

o Nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang → hệ vector là PTTT

Lấy k3 ≠ 0 → Ta có bộ nghiệm k2, k3 ≠ 0.

→ Hệ { x1, x2, x3 } là phụ thuộc tuyến tính

DẠNG 2: Tìm hạng và cơ sở của vecto

Cho hệ m vector n chiều {X1, X2, , Xm}, giả sử r{X1, X2, , Xm} r Khi đó ta

có thể tìm các cơ sở của hệ vector trên bằng cách như sau:

 Bước 1: Xếp các vector theo cột và biến đổi theo dòng (hoặc xếp theo dòng thìbiến đổi (sơ cấp theo cột)

 Bước 2: Đưa ma trận về dạng đặc biệt (dạng tam giác/dạng hình thang

 Bước 3: Mỗi định thức con cấp r khác 0 sẽ tương ứng với một cơ sở gồm cácvector cột (hoặc dòng của định thức con đó)

DẠNG 1: Giải hệ phương trình tuyến tính.

1 Phương pháp biến đổi sơ cấp.

Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát:

(1)

A và Ā lần lượt là các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng, khi đó:

 Nếu r(A) < r(Ā )thì hệ (1) vô nghiệm

 Nếu r(A) = r(A— )= r = n thì hệ (1 )có nghiệm duy nhất

 Nếu r(A) = r(A) = r < n thì hệ (1) có vô số nghiệm

Phương pháp giải bằng 3 phép biến đổi Gauss.

 Nếu đổi chỗ 2 phương trình → hệ không thay đổi nghiệm tức là đổi chỗ 2dòng trong ma trận hệ số Ā

 Nhân phương trình với số k ≠ 0 → hệ phương trình không thay đổi nghiệm,tức là nhân 1 dòng của ma trận Ā mở rộng với số k≠ 0

 Lấy một phương trình cộng hoặc trừ k lần phương trình khác → hệ phươngtrình không thay đổi tức lấy 1 dòng cộng hoặc trừ k lần dòng khác tạo ra 1 matrận cho kết quả như ban đầu

Chú ý :

 Khi r = n → hệ hình thang trở thành hệ tam giác → chuyển các số hạng cóchứa X R+1, , Xn sang vế phải ta được hệ tam giác → tính kết quả từ dưới lên

 Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện 1 dòng mà bên trái bằng 0 còn bên phải

là số khác 0 thì ta có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm và không cầnlàm gì tiếp

Ví dụ 15: Giải hệ phương trình tuyến tính:

¿Giải

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:

Khi A khả nghịch → tồn tại ma trận nghịch đảo của A: A.X = B (*

Bước 1: Nhân vào bên trái (*) A−1 A.X =A−1.B  X= A−1.B

 Nếu r(Ā) = r(A) = c → hệ có nghiệm.

 Nếu r(Ā) = r(A) < c → hệ có vô số nghiệm

 Nếu r(Ā) ≠ r(A) → hệ vô nghiệm

Trường hợp đặc biệt: Bài toán biện luận số nghiệm của hệ theo tham số m.

-Phương pháp:

Hệ quả:

 Hệ thuần nhất luôn có nghiệm

 Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường  r(A) < n

 Hệ thuần nhất với m = n thì có nghiệm không tâm thường  |A| = 0

 Hệ thuần nhất với m < n luôn có nghiệm không tầm thường

 Hệ Cramer có nghiệm duy nhất x i= D i

CHƯƠNG 2: Giải bài tập chương 1:

→ A2 = ( 123

−101

2−11) ( 123

−1012−11) = ( 5−18

{H3↔ H4

C1↔C4 = | 2−133

3−3 250−3−51

0 0 0 0 |H1.3+H2.(−2)=|2

000

−13

−30

35

−50

3

−11

{H3 (−6)+H4

H3 (−13)+H2

=|1

000

50

−10

42

−11

720

x +3 a x a a

x +3 a a x a

x +3 a a a

1

a−x

00

10

a −x

0

100

10041002999

10021

11