Ngoài cách xét tính ĐLTT, PTTT theo định nghĩa, trong nhiều trường hợp, ta có thểnhận biết được ngay tính ĐLTT, PTTT của một hệ vector nhờ các dấu hiệu sau, một vài dấuhiệu này có thể là
Phân dạng bài tập, cách giải, ví dụ minh họa trong phạm vi kiến thức chương 1
I Ma trận và định thức:
I.1 Các phép toán về ma trận.
- Hai ma trận bằng nhau:
Hai ma trận cùng cấp A = (aij) mxn , B = (bij) mxn.
Ma trận được gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.
- Phép cộng, trừ hai ma trận.
Cho hai ma trận cùng cỡ A = (aij) mxn , B = (bij) mxn Tổng của A và B là ma trận được xác định như sau:
- Phép nhân ma trận với một số tích của ma trận A với một số α. α.A = α.(aij) mxn = (α.aij) mxn
- Phép nhân hai ma trận.
Cho A là ma trận cỡ m x p: A = (aij) mxp và B = (bij) pxn Tích của A và B là một ma trận cỡ m x n Kí hiệu: A.B = C = (cij) mxn.
+ Phép nhân hai ma trận A.B chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của ma trận B.
+ A.B B.A Nếu A.B = B.A = In → A là ma trận nghịch đảo của B và ngược lại.
Giải bài tập chương 1
I Ma trận và định thức:
I.1 Các phép toán về ma trận.
- Hai ma trận bằng nhau:
Hai ma trận cùng cấp A = (aij) mxn , B = (bij) mxn.
Ma trận được gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.
- Phép cộng, trừ hai ma trận.
Cho hai ma trận cùng cỡ A = (aij) mxn , B = (bij) mxn Tổng của A và B là ma trận được xác định như sau:
- Phép nhân ma trận với một số tích của ma trận A với một số α. α.A = α.(aij) mxn = (α.aij) mxn
- Phép nhân hai ma trận.
Cho A là ma trận cỡ m x p: A = (aij) mxp và B = (bij) pxn Tích của A và B là một ma trận cỡ m x n Kí hiệu: A.B = C = (cij) mxn.
+ Phép nhân hai ma trận A.B chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của ma trận B.
+ A.B B.A Nếu A.B = B.A = In → A là ma trận nghịch đảo của B và ngược lại.
I.2 Các phương pháp tính định thức.
I.2.1 Đối với định thức cấp 2: Lấy tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ.
Ví dụ 2: Cho A = ( a a 11 21 a a 12 22 ) det(A) = a11.a12 – a12.a21 = const
I.2.2 Đối với định thức cấp cao (n ≥ 3): o Định thức cấp 3.
Cách 1: Sử dụng công thức Scrame bằng cách viết thêm hai dòng hoặc cột dưới hoặc kế bên định thức đã cho Để tính giá trị, ta thực hiện tích các phần tử theo đường chéo chính với dấu cộng (+) và tích các phần tử theo đường chéo phụ với dấu trừ (-).
Ví dụ 3: Cho A là ma trận vuông cấp 3: A =( b c a 21 31 11 a b c 12 22 32 a b c 13 23 33 )
Cách 2: Dùng phương pháp triển khai theo dòng (hoặc cột).
+ Const nếu các phần tử của định thức là số thực.
+ Biểu thức nếu các phần tử của định thức có chứa ẩn các số.
+ Số phức nếu các phần tử của định thức thuộc R thuộc C. o Đối với định thức cấp cao (cấp n): Dùng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột.
Các phương pháp ứng dụng để tính định thức cấp cao có thể có:
- Chọn ưu tiên cho những dòng hoặc cột có nhiều số 0 và số 1 để tiến hành khai triển giúp ta giảm bớt các bước trung gian.
- Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa dòng hoặc cột của định thức xuất hiện nhiều số 0 và số 1 trước khi chọn để khai triển.
I.2.3 Chú ý: o Nếu ma trận có dạng chéo tam giác → giá trị định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
- Phép biến đổi gauss thứ 1: Nếu đổi dòng → đổi dấu.
- Phép biến đổi gauss thứ 2: Nếu nhân 1 dòng với k ≠ 0 → định thức tăng k lần.
- Phép biến đổi gauss thứ 3: Lấy 1 dòng trừ k lần dòng khác → định thức không đổi.
I.3.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức.
Để xác định định thức con cấp k ≠ 0 của ma trận A, bước đầu tiên là tìm một định thức con Dk Tiếp theo, cần xem xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A mà chứa Dk Trong quá trình này, có ba khả năng xảy ra, trong đó một khả năng là không tồn tại định thức con cấp k + 1 nào của A, điều này xảy ra khi k = min{m, n}.
→ Khi đó r(A) = k = min{m, n} Thuật toán kết thúc. o Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dk đều bằng 0.
→ Khi đó r(A) = k Thuật toán kết thúc. o Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 chứa định thức con Dk khác 0.
→ Khi đó lặp lại bước 2 với Dk+1 thay cho Dk Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ra trường hợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc.
Kiểm tra các định thức cấp 4 bao quanh định thức D 123 123 có
I.3.2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss).
Phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận bao gồm ba loại chính: Đổi chỗ hai dòng cho nhau, nhân một dòng với một số khác không, và nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác Những phép biến đổi này là công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến ma trận.
Ma trận vuông A khả nghịch có tính chất là A -1 xác định duy nhất Nếu A khả nghịch, thì ma trận nghịch đảo của nó là (A -1 ) -1 = A Đối với hai ma trận vuông A và B cùng cỡ và cùng khả nghịch, tính chất nghịch đảo của tích được biểu diễn là (A.B) -1 = B -1 A -1 Cuối cùng, ma trận đơn vị E có tính chất E -1 = E.
I.4.2 Cách tính ma trận nghịch đảo:
Nếu định thức của ma trận A khác 0, ma trận A được coi là khả nghịch và có ma trận nghịch đảo A -1 Để xác định tính khả nghịch của ma trận A, trước tiên cần tính định thức của nó Nếu det(A) = 0, ma trận A không có ma trận nghịch đảo Ngược lại, nếu det(A) ≠ 0, ta có thể tiếp tục để tính ma trận nghịch đảo A -1.
Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A’ của A.
Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau:
A * = (Aij’)nm với A’ = Aij’ là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A’. Bước 4: Tính ma trận A -1 = detA 1 A *
Ví dụ 6: Tìm ma trận nghịch đảo của A = ( 12 3 5 )
II Vecto và không gian vecto
II.1.1 Khái niệm và các phép toán trên vector.
1 Vector n chiều. Định nghĩa 1: Một bộ n số thực xi (i = 1 J n ) xếp thành một dòng, có tính đến thứ tự:
Số thực x i (i = 1 J n)được gọi là thành phần thứ i của vector X.
Các vector cũng có thể được sắp xếp theo cột, khi đó ta nói rõ là “ vector cột”
Nhận xét : - Mỗi vector dòng n chiều là một ma trận cỡ 1 x n.
- Mỗi vector cột n chiều là một ma trận cỡ n x 1.
Vector là một trường hợp đặc biệt của ma trận, trong khi ma trận không nhất thiết phải là vector Tuy nhiên, một ma trận kích thước m x n có thể được coi như một vector m.n chiều nếu có quy định rõ ràng về thứ tự của các phần tử trong ma trận.
Hai vector n chiều được gọi là bằng nhau nếu các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau:
Vector n chiều có mọi thành phần đều bằng không: 0n = (0, 0, , 0) gọi là vector không, ký hiệu là 0n hay đơn giản là 0.
Vector –X = ( -x1, -x2, , -xn) gọi là vector đối của X = (x1, x2, , xn).
2 Các phép toán trên các vector n chiều.
Các phép toán: o Phép cộng.
Cho hai vector n chiều X = (x1, x2, , n), Y = (y1, y2, , yn) Tổng của hai vector X và
Y là một vector n chiều, được kí hiệu và xác định như sau:
X –Y = X + ( Y) = (x1 - y1, x2 - y2, , xn - yn) o Phép nhân vector với một số thực.
Tích của vector n chiều X = (x1, x2, , n) với một số thực là một vector n chiều, kí hiệu , được xác định như sau : αX = (αx1, αx2, , αxn)
Các tính chất cơ bản của hai phép toán.
Với X, Y, Z là các vector cùng số chiều và là các số thực, ta có:
Các phép toán đã nêu chỉ là sự nhắc lại kiến thức từ chương ma trận Định nghĩa về phép nhân vô hướng được áp dụng cho các vector n chiều X = (x1, x2, , xn) và Y = (y1, y2, , yn) Tích vô hướng của hai vector này là một số thực được ký hiệu và xác định dựa trên các thành phần của chúng.
II.1.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.
1.1.Tổ hợp tuyến tính của các vector. Định nghĩa 4: Cho m vector n chiều X1, X2, , Xm Một tổng có dạng:
X =k1X1+ k2X2 + Km Xm (ki € R; i = 1, 2, , m) được gọi là tổ hợp tuyến tính của m vector đã cho.
Trong trường hợp này, ta nói X được biểu diễn tuyến tính qua m vector trên Đặc biệt, X =kY hoặc Y= hX thì ta nói X và Y tỉ lệ với nhau.
1.2.Tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.
Hệ m vector n chiều {X1, X2, , Xm} được coi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực k1, k2, , km, với ít nhất một số khác 0, sao cho k1X1 + k2X2 + + kmXm = 0 Ngược lại, nếu phương trình này chỉ thỏa mãn khi k1 = k2 = = km = 0, thì hệ m vector đó được gọi là độc lập tuyến tính.
Hệ con là khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính, được định nghĩa là một tập hợp r vector (r ≤ m) được chọn ra từ một hệ m vector Khi đó, hệ r vector này được gọi là hệ con của hệ m vector ban đầu.
Ngoài việc xác định tính ĐLTT và PTTT theo định nghĩa, có nhiều dấu hiệu giúp nhận biết ngay tính chất này của một hệ vector Một số dấu hiệu có thể là hệ quả của nhau, và chúng ta có thể sử dụng chúng tùy theo sự thuận tiện trong từng trường hợp.
Hệ chỉ gồm một vector là ĐLTT vector đó khác 0.
Hệ chỉ gồm hai vector là ĐLTT hai vector đó không tỷ lệ.
Hệ chứa vector không là hệ PTTT.
Một hệ vector chứa hai vector tỷ lệ là hệ PTTT.
Một hệ vector PTTT một vector của hệ là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.
Một hệ vector chứa một hệ con PTTT là hệ PTTT.
Một hệ vector ĐLTT thì mọi hệ con của nó cũng ĐLTT.
Hệ có số vector lớn hơn số chiều của vector (m > n là hệ PTTT).
Ví dụ 8: Cho các vecto 3 chiều:
Hệ {X1, X2} là ĐLTT (vì X1, X2 không tỷ lệ)
II.1.3 Hạng và cơ sở của vector.
Xét hệ m vector n chiều: {X1, X2, , Xm}; Xi € R n (i =1; 2; ; m)
Hệ vector n chiều có thể được định nghĩa qua các khái niệm cơ sở và hạng Một hệ con gồm r vector được gọi là hệ con ĐLTT cực đại nếu nó là ĐLTT và không thể bổ sung thêm vector từ hệ còn lại để tạo thành một hệ con ĐLTT lớn hơn Mỗi hệ con ĐLTT cực đại được xem là một cơ sở của hệ vector đó Mặc dù một hệ vector có thể có nhiều cơ sở khác nhau, nhưng số lượng vector trong mỗi cơ sở luôn bằng nhau Hạng của hệ vector chính là số lượng vector trong một cơ sở của hệ ấy.
Kí hiệu hạng của hệ: r{X1; X2; ; Xm}.
Ví dụ 9: Tìm các cơ sở của hệ ba vector sau: X1 = (1, 1, 3); X2 = (2, 4, 1); X3 = ( 2, 2, 6)
Ta thấy: X3 = -2.X1 Hệ {X1, X2, X3} là phụ thuộc tuyến tính.
Hệ con {X1, X2} là ĐLTT (hai vecto không tỷ lệ) và hơn nữa là ĐLTT cực đại Đó là 1 cơ sở của hệ {X1, X2, X3} Tương tự, hệ {X2, X3} cũng là 1 cơ sở.
Hệ {X1, X3} không phải là cơ sở vì hệ con này PTTT Các hệ con {X1}, {X2}, {X3} c ũng không phải là cơ sở (ĐLTT nhưng chưa cực đại).
Ba phép biến đổi sơ cấp đối với một hệ vector bao gồm: phép hoán vị hai vector, phép nhân một vector với một số khác không, và phép cộng hai vector Những phép biến đổi này giữ nguyên tính chất của hệ vector và là cơ sở để thực hiện các phép biến đổi phức tạp hơn trong đại số tuyến tính.
Đổi chỗ hai vector của hệ.
Nhân một vector với một số khác không.
Nhân vector nào đó của hệ với một số bất kì rồi cộng vào một vector khác trong hệ.
Ta dễ thấy kết quả sau: Định lý 2: Ba phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của hệ vector.
Hệ quả 2.1: Hạng của hệ vector không đổi khi thêm vào hệ (hoặc bớt đi một vector mới là tổ hợp tuyến tính của các vector của hệ đó.
Hạng của một ma trận kích thước m x n tương đương với hạng của hệ m vector dòng và cũng bằng hạng của hệ n vector cột Điều này được thể hiện qua Định lý 3, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa hạng của hệ vector và hạng của ma trận.
Hệ quả 3.1: Hạng của một hệ m vector n chiều đúng bằng hạng của ma trận cỡ m x n
(hoặc cỡ n x m), tạo thành bằng cách sắp xếp liên tiếp các vector đó theo dòng (hoặc theo cột)
Việc xác định hạng của một hệ vector có thể được chuyển đổi thành bài toán tìm hạng của một ma trận Điều này bao gồm việc xác định cơ sở và đếm số lượng vector trong cơ sở đó.
4 Liên hệ giữa hạng của hệ vector và sự độc lập tuyến tính.
Ta công nhận các kết quả sau: Định lý 4: Hệ vector là ĐLTT hạng của hệ đúng bằng số vector của hệ.
Hệ quả 4.1: Hệ vector là PTTT hạng của hệ nhỏ hơn số vector của hệ.
Hệ quả 4.2: Hệ có số vector bằng số chiều là ĐLTT ma trận tạo thành từ các tọa độ có định thức khác 0.
5 Tìm cơ sở bằng biến đổi sơ cấp.
Cho hệ m vector n chiều {X1, X2, , Xm} Giả sử r{X1, X2, , Xm} = r Khi đó ta có thể tìm các cơ sở của hệ vector trên bằng cách như sau:
Bước 1: Xếp các vector theo cột và biến đổi theo dòng (hoặc xếp theo dòng thì biến đổi sơ cấp theo cột).
Bước 2: Đưa ma trận về dạng đặc biệt (dạng tam giác/dạng hình thang).
Bước 3: Mỗi định thức con cấp r khác 0 sẽ tương ứng với một cơ sở gồm các vector cột (hoặc dòng của định thức con đó).
Cách tìm cơ sở như vậy dễ dàng hơn nhiều so với cách dùng định nghĩa.
Chú ý: Như vậy, việc dùng ba phép biến đổi sơ cấp để tìm cơ sở của một hệ vector là
“nghiêm ngặt” hơn so với việc tìm hạng.
Không gian vector n chiều, ký hiệu là R, được định nghĩa là hệ gồm tất cả các vector n chiều, trong đó có phép cộng vector và phép nhân vector với một số.
Một số ứng dụng trong kinh tế liên quan kiến thức chương 1
Đại số tuyến tính đóng vai trò quan trọng trong kinh tế, giúp tối ưu hóa danh mục đầu tư và quản lý rủi ro Sự linh hoạt của nó cho phép giải quyết các vấn đề thực tiễn và hỗ trợ nhiều ngành công nghiệp Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế là cách mô hình hóa và giải quyết vấn đề kinh tế, đặc biệt là trong mô hình cân bằng thị trường, nơi các biến như giá cả, số lượng sản phẩm cung cầu, thu nhập và các yếu tố khác được xem là các ẩn số trong hệ phương trình.
Hệ phương trình tuyến tính đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả và phân tích hoạt động của thị trường hàng hóa và dịch vụ, từ đó giúp đưa ra quyết định kinh tế hiệu quả Nó cũng được sử dụng để mô hình hóa các hệ thống vật lý trong kinh tế, chẳng hạn như trong các quá trình sản xuất, vận chuyển và lưu thông hàng hóa, giúp theo dõi luồng dòng chảy và cân bằng môi trường Bên cạnh đó, hệ phương trình tuyến tính hỗ trợ trong các bài toán tối ưu hóa, cho phép phân bổ tài nguyên hiệu quả nhằm tối đa hóa lợi nhuận hoặc tối thiểu hóa chi phí Hơn nữa, nó có khả năng dự đoán tác động của các yếu tố kinh tế đến hệ thống kinh tế, như GDP hay tỷ lệ thất nghiệp, giúp nhà quản lý xây dựng chính sách phù hợp Trong quy hoạch tài chính, hệ phương trình tuyến tính giúp phân bổ nguồn lực tài chính cho các dự án đầu tư một cách hiệu quả Cuối cùng, trong ngành công nghiệp, nó được sử dụng để mô hình hóa hệ thống sản xuất, hỗ trợ doanh nghiệp trong việc xác định quy mô sản xuất, mức đầu tư và lợi nhuận, đồng thời tối ưu hóa quy trình sản xuất.
Cách giải bài toán cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm hai biến và ứng dụng
và ứng dụng trong kinh tế
Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm z = f(x;y) trên D
B1 : Tìm điểm dừng là nghiệm của hpt:
B3: Khảo sát từng điểm dừng:
{ f ' ' xx ( x Δ< n ; y 0 n ) > 0 M ( x n ; y n ) là điểm cực tiểu
{ f ' ' xx ( x Δ KL: Bài toán không có cực trị.
TH2: Hệ phương trình có nghiệm (x 0 , y 0, λ 0 ) Mỗi nghiệm của một hệ gọi là một điểm dừng của hàm Lagrange.
B3: Kiểm tra điều kiện đủ
Tính g’ x , g’ y , L’’ xx , L’’ xy = L’’ yx , L’’ yy
Tại mỗi điểm dừng ở B2 ta dùng định thức Hessian để tính:
Khi đó: - Nếu | H | > 0 thì M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm cực đại của bài toán cực trị có điều kiện và fcđ = f(x 0 , y 0 ) với điều kiện g(x, y) = 0
- Nếu | H | < 0 thì M0(x 0 , y 0 ) là điểm cực tiểu của bài toán cực trị có điều kiện và fct f(x 0 , y 0 ) với điều kiện g(x, y) = 0
Hệ phương trình ba ẩn để xác định các điểm dừng của hàm Lagrange thường là một hệ phi tuyến, và có thể được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó phương pháp thế là một lựa chọn phổ biến Cần lưu ý rằng các phương trình liên quan đến x và y thường có tính đối xứng.
Chúng ta không xem xét trường hợp |H| = 0 trong điều kiện đủ Trong một số tình huống, có thể xác định cực trị tại điểm dừng, tuy nhiên điều này đòi hỏi phải áp dụng các kỹ thuật khác.
- Giả sử (x 0 , y 0, λ 0 ) là một điểm dừng của hàm Lagrange Nếu tại (x 0 , y 0 ) hàm
Nếu hàm số F(x, y) có cực trị tự do, thì tại điểm đó, hàm số sẽ đạt cực trị có điều kiện Do đó, trong nhiều trường hợp, việc sử dụng hệ quả để khảo sát cực trị có điều kiện tại điểm dừng của hàm Lagrange sẽ đơn giản hơn.
Hàm H(d x , d y ) = L’ ’ xx(x 0 , y 0, λ 0 )d 2 x + 2 L’ ’ xy(x 0 , y 0, λ 0 )dxdy + L’ ’ yy(x 0 , y 0, λ 0 ) cho biết điều kiện cực đại hoặc cực tiểu của hàm số tại điểm (x 0 , y 0) Cụ thể, nếu hàm này xác định âm, hàm số đạt cực đại có điều kiện tại (x 0 , y 0); ngược lại, nếu xác định dương, hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại (x 0 , y 0).
II Ứng dụng của bài toán cực trị có điều kiện của hàm hai biến trong kinh tế
1 Xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để số lượng sản phẩm sản xuất ra là lớn nhất.
Để tối đa hóa sản lượng sản phẩm tại nhà máy A với ngân sách 900 triệu đồng, cần phân chia số tiền giữa lao động và trang thiết bị Công thức sản lượng được xác định là Q(x, y) = 60x^3 + 1y^(2/3), trong đó x triệu đồng dành cho lao động và y triệu đồng dành cho trang thiết bị Việc phân bổ hợp lý giữa hai yếu tố này sẽ giúp đạt được số lượng sản phẩm tối đa.
Từ đề bài, ta có bài toán: Tìm (x, y) để hàm số Q(x, y) = 60 x 1 3 y 2 3 đạt cực đại với điều kiện x + y = 900; x, y > 0.
Lập hàm Lagrange: L(x, y, λ) = 60 x 1 3 y 2 3 – λ(x + y – 900) Đặt g(x, y) = x + y – 900 Điểm nghi ngờ của hàm là nghiệm của hệ phương trình:
Xét ĐK đủ để tính bằng định thức Hessian thấy H > 0 nên hàm số đạt cực đại và cực đại tại điểm (300; 600).
Vậy nên chia 300 triệu đồng cho lao động và 600 triệu đồng cho trang thiết bị thì lượng sản phẩm sản xuất ra là lớn nhất.
2 Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo.
Giải sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa trong điều kiện cạnh tranh hoản hảo với mức giá P1, P2, , Pn
Hàm chi phí C = C(Q1, Q2, , Qn) Qn: mức sản lượng thứ n mà doanh nghiệp sản xuất
Tìm các mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại.
Trong môi trường cạnh tranh hoàn hảo, doanh nghiệp sản xuất hai mặt hàng với giá P1 = 60 và P2 Hàm chi phí được xác định là C = Q1^2 + Q1Q2 + Q2^2 Để tối đa hóa lợi nhuận, doanh nghiệp cần xác định các mức sản lượng Q1 và Q2 phù hợp.
Lợi nhuận π = R – C = 60Q1 + 75Q2 −¿ Q1 2 −¿Q1Q2 −¿ Q2 2 Điểm dừng là nghiệm của hệ:
Xét các đạo hàm riêng cấp 2
Kiểm tra lại điểm dừng ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm (15; 30).
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 15 đơn vị hàng thứ nhất và 30 đơn vị hàng thứ hai.
3 Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong trường hợp độc quyền.
Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu của các hàm trên là QDi = Di(P1, P2, , Pn)
QDi: Lượng cầu hàng hóa
Pn: Giá bán của n loại hàng hóa
Qn: Sản lượng của n loại hàng hóa
Ví dụ: Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh hai loại hàng, biết hàm cầu của 2 loại hàng hóa đó như sau:
Tìm các mức sản lượng từng loại hàng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạ cực đại.
Bài làm Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng
Lúc này, bài toán trở thành tìm Q1, Q2 để hàm π đạt cực đại. Điểm dừng là nghiệm của hệ:
Xét các đạo hàm riêng cấp 2
Kiểm tra lại điểm dừng thấy hàm số đạt cực đại tại điểm (8; 22 3 )
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 8 đơn vị hàng thứ nhất và 22 3 đơn vị hàng thứ hai.
4 Tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng độc quyền nhưng bán trên nhiều thị trường
Ví dụ: Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh 1 loại hàng hóa trên 3 thị trường tách biệt với các hàm cầu
Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để lợi nhuận cực đại.
Bài làm Để doanh nghiệp bán hết hàng thì:
3 Q2 2−¿ 2Q1Q2−¿ 20 Lúc này, bài toán trở thành tìm Q1, Q2 để hàm π đạt cực đại Điểm dừng là nghiệm của hệ
Xét các đạo hàm riêng cấp 2
Kiểm tra tại điểm dừng ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm (50; 60)
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất 50 đơn vị hàng hóa thứ nhất và 60 đơn vị hàng hóa thứ hai.