bài tập lớn môn giải tích 2 tìm giá cực trị và giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của f x y trên hình tròn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2... Lý do chọn đề tài Các bài toán cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất là mộ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

I NỘI DUNG ĐỀ TÀI 4

Tìm giá cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của f x y( , ) trên hình tròn

Viết một code (tùy chọn ứng dụng/ phần mềm) cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của một hàm đa thức f x y( , ) trên hình trong tâm I a b( ), và bán kính R

(cho phép người dùng nhập f x y( , ) và a b R, , ) Vẽ phần mặt cong có hình chiếu

là hình tròn nói trên, đánh dấu các điểm cao nhất và thấp nhất, điểm cực trị, điểm yên ngựa

II Danh sách thành viên

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn Trường đại học Bách Khoa- ĐHQG

Hồ Chí Minh đã đưa môn Giải Tích 2 vào chương trình giảng dạy

Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến giảng viên hướng dẫn -

cô Đoàn Thị Thanh Xuân đã giảng dạy, mang đến cho chúng em những kiến thức quý báu trong học kì vừa qua Trong suốt thời gian tham gia lớp học của cô, chúng em thấy bản thân mình tư duy hơn, càng học thêm nhiều kiến thức mới Đây chắc chắn là những tri thức quý báu và là hành trang cần thiết cho hình trình của chúng em sau này Dưới sự chỉ dẫn của giảng viên hướng dẫn cùng với kiến thức tích lũy được trong quá trình tìm hiểu và học tập chúng em xin trình bày code tìm cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm f x y( , ) trên hình tròn Qua việc thực hiện bài báo cáo này nhóm chúng em đã học thêm về cách làm việc nhóm hiệu quả và tiếp thu được nhiều kiến thức bổ ích

Tuy nhiên, do vốn kiến thức của chúng em còn hạn nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc rằng bài tập lớn Giải Tích 2 này có một vài thiếu sót Kính mong cô xem xét và góp ý để bài tập lớn của nhóm chúng em hoàn thiện hơn

Cuối cùng, nhóm L01_04 xin trân trọng cảm ơn cô đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm

Sau đây là nội dung tìm hiểu bài tập lớn của nhóm!

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA THẦY/CÔ

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 7

I Cực trị tự do 7

II Cực trị có điều kiện 9

III Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất 11

CHƯƠNG 3 THUẬT TOÁN 13

CHƯƠNG 4 CODE MATLAB 14

CHƯƠNG 5 VÍ DỤ 18

CHƯƠNG 6 KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

1 Mục đích của báo cáo

- Báo cáo kết quả đề tài cho giáo viên

- Ghi chép lại quá trình giải quyết vấn đề của cả nhóm

2 Lý do chọn đề tài

Các bài toán cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất là một phần rất quan trọng của đại số, hình học và giải tích toán học Các bài toán cực trị có vị trí đặc biệt trong toán học, nhất là trong chương trình phổ thông Tuy nhiên đây là một dạng toán khó

và có nhiều cách giải, hơn nữa, trong chương trình giảng dạy ở bậc phổ thông các phương pháp tìm cực trị và tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất, nhất là các bài toán tìm cực trị và tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trong đại số và hình học chưa được trình bày một cách tường minh, trong khi đó học sinh trung học còn hiểu mơ

hồ về cực trị và còn lúng túng khi giải các bài toán liên quan đến cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

Xuất phát từ các lí do trên và dưới sự phân công, hướng dẫn tận tình của cô Đoàn Thị Thanh Xuân nhóm em quyết định lựa chọn đề tài “Tìm giá cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của f x y( , ) trên hình tròn” cho bài tập lớn của nhóm chúng em lần

này

3 Phương pháp thực hiện đề tài

- Sử dụng phương pháp tìm kiếm và nghiên cứu tài liệu để tìm ra các bài toán mong muốn

- Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tập, phân tích, tổng hợp tư liệu và tiếp cận

hệ thống

- Giải quyết bài toán bằng Matlab

- Viết báo cáo bằng word, tạo slide thuyết trình Powerpoit

4 Các kĩ năng cần thiết trong quá trình giải quyết bài tập

- Kĩ năng tìm hiểu kiến thức và giải quyết bài toán

- Kĩ năng kàm việc nhóm, quản lí nhóm

- Kĩ năng viết báo cáo và xử lí nội dung

- Kĩ năng lập trình cơ bản, giải quyết bài toán bằng công cụ lập trình

• Trong bài báo cáo này với đề tài được giao là “Tìm giá cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của f x y( , ) trên hình tròn” Mục tiêu của nhóm là hoàn thành giải quyết đề tài được giao và ứng dụng được các thuật toán của Matlab để hoàn thành bài toán một cách ngắn gọn và chính xác nhất có thể

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

0 0

, 0, 0

x y

Định lý trên cho thấy: nếu f có cực trị tại (x y0 , 0) thì (x y0 , 0) là điểm dừng của f Tuy nhiên, giống như trường hợp hàm một biến, điều ngược lại không đúng

d f x y =Adx + Bdxdy Cdy+ là dạng toàn phương xác định âm

3 Nếu   0 thì điểm thì điểm P(x y0 , 0) KHÔNG là điểm cực trị của hàm số

0 0

, 0, 0

x y

• Nếu  = 0 thì ta không thể kết luận, phải xét bắt định nghĩa

( , ) ( ,i i

f f x y f x y

II Cực trị có điều kiện

1 Định nghĩa cực trị có điều kiện

Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại có điều kiện tại điểm (x0, y0) với điều kiện  (x, y) =

0, nếu như f (x, y)  f (x0, y0), với mọi (x, y) thỏa  (x, y) = 0, nằm trong lân cận của (x0, y0) Giá trị f (x0, y0) được gọi là giá trị cực đại có điều kiện Nếu như f (x, y) > f (x0,

y0), với mọi (x, y) thỏa  (x, y) = 0, nằm trong lân cận của (x0, y0) thì f đạt cực tiểu có điều kiện tại (x0, y0) và giá trị f (x0, y0) được gọi là giá trị cực tiểu có điều kiện Hàm ( )

,

f x y lúc này được gọi là hàm mục tiêu, còn điều kiện  (x, y) = 0 được gọi là điều

kiện ràng buộc

2 Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện

Hình 1: Cực trị của z = f (x, y) thỏa điều kiện φ (x, y) = 0

Giả sử chúng ta cần tìm cực trị của hàm z= f x y , ( ) thỏa điều kiện ( )x y, = 0 Điều này có

nghĩa là chúng ta tìm cực trị của hàm f khi điểm (x, y) nằm trên đường cong ( )x y, = 0 Trên

hình 1, cho chúng ta thấy một số đường đẳng trị f x y , ( )=k Như vậy, để tìm cực đại (cực tiểu)

của hàm f x y , ( ) thỏa điều kiện ( )x y, = 0 chúng ta tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của k sao cho

đường đẳng trị f x y( ) , =k cắt đường cong ( )x y, = 0 Điều này xảy ra khi đường đẳng trị

( )

f x y =k và đường cong  (x, y) = 0 có cùng tiếp tuyến, vì nếu ngược lại giá trị k có thể tăng

lên (hoặc giảm xuống) nữa Điều này có nghĩa là đường vuông góc với đường đẳng trị

( )

,

f x y =k và đường cong ( )x y, = 0 tại điểm cực trị (x y0 , 0) phải cùng phương với nhau

Do đó, ∇ f (x0, y0) = −λ.∇ (x0, y0), λ ∈

⇒ ( ) ( )

'

0 0 0 0 '

3 Điều kiện đủ để hàm số z f x y= ( , ) có cực trị có điều kiện

Định lý: Cho hàm số z = f (x, y) có cực trị có điều kiện với điều kiện  (x, y) = 0 tại

điểm P (x y0 , 0) Lập hàm Lagrange L x y( , , , ) ( )=f x y +( )x y, Khi đó:

1 Nếu d 2 L(x y0 , , 0 0)> 0 thì P(x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện

2 Nếu d 2 L(x y0 , , 0 0) < 0 thì P(x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện

3 Nếu d 2 L(x y0 , , 0 0)không xác định dấu thì P(x0, y0) không là điểm cực trị

4 Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện

Các bước khảo sát cực trị của z , =f x y( ) với điều kiện ( )x y,

1 Lập hàm Lagrange L x y( , , , ) ( )= f x y +( )x y, = 0 Tìm điểm dừng của L x y( , , )

d 2 L(xi , yi , λi) = L”xx (x i , yi , λi )dx2 + 2L”xy (x i , yi , λi )dxdy + L”yy (xi , yi , λi )dy2

*Dựa vào điều kiện đủ ta kết luận

• Nếu d 2 L(xi , yi , λi ) > 0 thì P(x i , yi) là điểm cực tiểu có điều kiện

• Nếu d 2 L(xi , yi , λi ) < 0 thì P(x i , yi) là điểm cực đại có điều kiện

• Nếu d 2 L(xi , yi , λi ) không xác định dấu thì P(x i , yi) không là điểm cực trị

Chú ý.

• Để khảo sát d 2 L(xi , yi , λi) đôi khi ta cần sử dụng điều kiện

 (x, y) = 0 ⇒ d (x, y) = 0 ⇒ d (x i , yi) = 0 ⇔ ’x (xi , yi )dx + ’y (xi , yi )dy = 0

Từ đây ta rút ra biểu thức dx theo dy hoặc dy theo dx Thay vào biểu thức

d2 L(xi , yi , λi ) ta được 1 hàm theo dx2 hoặc dy2

• Trong bài toán cực trị có điều kiện luôn có dx2 + dy2 > 0, có nghĩa là dx, dy không

đồng thời bằng 0

• d2L(xi , yi , λi ) = L” xx (x i , yi , λi )dx2+L” yy (x i , yi , λi )dy2+L” λλ (x i , yi , λi )dλ2

+2L” xy (x i , yi , λi )dxdy + 2L” λx (x i , yi , λi )dλdx + 2L” λy (x i , yi , λi )dλdy

Vì L” λλ (x i , yi , λi) = 0 và

2L” λx (x i , yi , λi )dλdx + 2L” λy (x i , yi , λi )dλdy = 2(’x (x i , yi )dx + ’y (xi , yi )dy)dλ = 0 nên

d2L(xi , yi , λi ) = L” xx (x i , yi , λi )dx2 + 2L” xy (x i , yi , λi )dxdy + L” yy (x i , yi , λi )dy2

III Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Để tìm GTLN, GTNN của hàm f x y ,( ) trên miền D ta thực hiện các bước sau:

• Tìm điểm dừng của bài toán cực trị tự do trong D (loại những điểm không thuộc miền trong của D) Tính giá trị của hàm f x y ,( ) tại những điểm này

• Tìm điểm dừng của bài toán cực trị có điều kiện của hàm f x y ,( ) trên biên của miền

D Tính giá trị của hàm f x y ,( ) tại những điểm cực trị này

• So sánh giá trị của hàm f tại những điểm cực trị tự do và cực trị có điều kiện để xác định GTLN, GTNN

CHƯƠNG 3 THUẬT TOÁN

CHƯƠNG 4 CODE MATLAB

a = input('Nhập tọa độ x của tâm i: ');

b = input('Nhập tọa độ y của tâm i: ');

R = input('Nhập bán kính R của hình tròn: ');

% Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm f(x,y) trong hình tròn

[x_max, y_max, x_min, y_min, x_yngua, y_yngua ] = find_extremas(f, a, b, R);

% Hàm tìm các điểm cực đại, cực tiểu, yên ngựa trong hình tròn

function [x_max,y_max,x_min,y_min,x_yngua,y_yngua] = find_extremas(f, a, b, R) syms x y;

% Tính đạo hàm theo x và theo y của hàm f(x,y)

df_dx = diff(f, x);

df_dy = diff(f, y);

% Tìm nghiệm của đạo hàm theo x và theo y

[x_sol, y_sol] = solve(df_dx == 0, df_dy == 0);

% Tính đạo hàm cấp 2 theo x và y

df2_dxdy = diff(diff(f, x), y);

% Tính định thức của ma trận hessian

hessian_det = df2_dx2 * df2_dy2 - df2_dxdy^2;

% Nếu định thức là dương thì là cực tiểu, âm thì là cực đại

result = and(subs(hessian_det, {x, y}, {x_solu, y_solu}) > 0, subs( df2_dx2, {x,y}, {x_solu, y_solu}) > 0);

if result

x_min = [x_min, double(x_solu)];

y_min = [y_min, double(y_solu)];

x_max = [x_max, double(x_solu)];

y_max = [y_max, double(y_solu)];

eq3 = diff(L, lambda) == 0;

solutions = solve([eq1, eq2, eq3], [x, y, lambda]);

extreme_points = [double(solutions.x), double(solutions.y)];

fprintf('Các điểm cực trị trên biên D và giá trị hàm f tương ứng:\n');

for i = 1:size(extreme_points, 1)

z = double(subs(f, {x, y}, {extreme_points(i, 1), extreme_points(i, 2)})); fprintf('(%f, %f, %f)\n', extreme_points(i, 1), extreme_points(i, 2), z); end

x_start = -R + a;

x_end = R + a;

y_start = -R + b;

y_end = R + b;

% Khởi tạo ma trận để lưu giá trị của hàm số f(x, y)

step = 0.1; % Bước nhảy

x_values = x_start:step:x_end;

y_values = y_start:step:y_end;

[f_values_x, f_values_y] = meshgrid(x_values, y_values);

f_values = double(subs(f, {x, y}, {f_values_x, f_values_y}));

% Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trong mảng f_values

min_value = min(f_values(:));

max_value = max(f_values(:));

% In kết quả

fprintf('Giá trị nhỏ nhất của f tại điểm trong khoảng: %f\n', min_value);

fprintf('Giá trị lớn nhất của f tại điểm trong khoảng: %f\n', max_value);

% Giá trị lớn nhất

uoh = f - max_value;

[x_ln, y_ln] = solve(uoh == 0, x, y);

disp(' tọa độ điểm giá trị lớn nhất:');

[x_nn, y_nn] = solve(kkk == 0, x, y);

disp('tọa độ điểm giá trị nhỏ nhất:');

x_nnk = double(x_nn);

y_nnk = double(y_nn);

disp([x_nnk, y_nnk]);

% Vẽ hình tròn tâm i(a,b) bán kính R

theta = linspace(0, 2*pi, 100);

x_circle = R * cos(theta) + a; % Tọa độ x của các điểm trên hình tròn

y_circle = R * sin(theta) + b; % Tọa độ y của các điểm trên hình tròn

z_circle = zeros(size(x_circle)); % Tọa độ z của các điểm trên mặt phẳng Oxy

% Vẽ hình tròn trên đồ thị 3D

plot3(x_circle, y_circle, z_circle, 'k-', 'LineWidth', 2); % Vẽ đường nối các điểm trên hình tròn

% Vẽ đồ thị mặt cong f(x,y) với hình chiếu giới hạn bởi hình tròn tâm i(a,b) bán kính R

ezsurf(f, [a-R a+R b-R b+R]);

eq3 = diff(L, lambda) == 0;

solutions = solve([eq1, eq2, eq3], [x, y, lambda]);

extreme_points = [double(solutions.x), double(solutions.y)];

for i = 1:size(extreme_points, 1)

scatter3(extreme_points(i, 1), extreme_points(i, 2), subs(f, {x, y},

{extreme_points(i, 1), extreme_points(i, 2)}), 100, 'y', 'filled', 'Marker', 'pentagram');

scatter3(x_lnk, y_lnk, max_value, 100, 'm', 'filled', 'Marker', '^');

scatter3(x_nnk, y_nnk, min_value, 100, 'c', 'filled', 'Marker', '^');

title('Đồ thị mặt cong f(x,y) với hình chiếu giới hạn bởi hình tròn');

legend('f(x,y)', 'cdcdk', 'ctcdk', 'Cực đại', 'Cực tiểu', 'Điểm yên ngựa', 'gtln', 'gtnn'); view(3);

x y

Giá trị nhỏ nhất của f tại điểm trong khoảng: -2.413810

Giá trị lớn nhất của f tại điểm trong khoảng: 5.249798

Hình ảnh mặt cong

x y

x y

Do đó hàm số đạt cực đại tại điểm 1 2;1 2;1 2

Không có cực trị nào trong miền xác định D

Các điểm cực trị trên biên D và giá trị hàm f tương ứng:

(1.707107, 1.707107, -4.828427)

(0.292893, 0.292893, 0.828427)

x y

=



 =

Suy ra Mo (0,0 ) là điểm dừng và z M( )o = 3

Xét trên biên của miền D : 2 ( )2

Nhập tọa độ y của tâm i:

Giá trị nhỏ nhất của f tại điểm trong khoảng: -21.00000

Giá trị lớn nhất của f tại điểm trong khoảng: 111.000000

x y

Hai phương trình trên cho ta nghiệm x=6, y= −8, không thỏa bất đẳng thức tức là trong D không có điểm dừng

Tìm điểm dừng trên biên D tức là tìm điểm dừng có điều kiện

bằng cách giải hệ pt: phương pháp Lagrange

Ta được 2 điểm dừng trên biên 1 3, 4 , M (− ) M2 3, 4 ( − )

Ta tính giá trị của f tại 2 điểm dừng trên và so sánh ta được

Không có cực trị nào trong miền xác định D

Các điểm cực trị trên biên D và giá trị hàm f tương ứng:

(3.000000, -4.000000, 25.000000)

(-3.000000, 4.000000, 225.000000)

Giá trị nhỏ nhất của f tại điểm trong khoảng: 10.000000

Giá trị lớn nhất của f tại điểm trong khoảng: 290.000000

Đề tài đã trình bày được:

• Khái niệm về cực trị (tự do), cực trị (có điều kiện) và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

• Các định lý về điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm có cực trị

• Phương pháp tìm giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange (đối với hàm nhiều biến) để :

- Khảo sát cực trị địa phương của hàm hai biến

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trên một miền D xác định

- Dùng phương pháp nhân từ Lagrange để tìm cực trị đối với hàm nhiều biển

- Giải các bài toán tìm cực trị dạng phân thức đại số

- Giải các bài toán tim cực trị trong lượng giác

- Giải các bài toán tim cực trị khác thường gặp trong đại số, giải tích

- Giải các bài toán tìm cực trị khác thường gặp trong hình học

Trong quá trình thực hiện đề tài chúng em nhận thấy rằng giải toán bằng Matlab có một số ưu và nhược điểm như sau:

• Ưu điểm:

- Tính toán dễ dàng, tiện lợi, cho kết quả chính xác như cách tính phổ thông

- Giúp hiểu thêm về ứng dụng Matlab trong các bài toán kỹ thuật

- Tiết kiệm thao tác và thời gian tính toán so với các cách tính phổ thông

• Nhược điểm:

- Thiết kế đoạn code mất nhiều thời gian, công sức

- Còn mô phỏng trong phạm vi chủ đề được chỉ định, chưa sáng tạo sang các chủ đề tính toán kĩ thuật khác

Bài tập lớn này đã giúp chúng em:

- Ôn lại về một số kiến thức cực trị, giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trên hình tròn

- Biết được các thao tác để giải bài toán trên Matlab

- Học được thêm một số kiến thức về viết code