skkn cấp tỉnh rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cực trị trong không gian oxyz cho học sinh lớp 12

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Từ thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợpsẽ tạo được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thứcmột cách chủ động và đạt được mục đích học tâp Lựa chọn phương pháp giảngdạy phù hợp với một nội dung kiến thức là yếu tố quan trọng trong việc kiến tạokiến thức cho học sinh Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việcgiảng dạy, tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của họcsinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vậndụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất

Trong đề thi TN THPT những năm qua, các bài toán về đường thẳng và mặt

phẳng trong không gian Oxyz luôn chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó

khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh gặp nhiềukhó khăn khi học các nội dung về chủ đề “Đường thẳng và mặt phẳng trong

không gian Oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị” đặc biệt là các bài toán ở mức độ

vận dụng và vận dụng cao, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu,rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toánmột cách nhanh nhất

Trong quá trình nghiên cứu, tôi thấy có một số tài liệu viết về phương trìnhmặt phẳng và đường thẳng thỏa mãn yếu tố cực trị, tuy nhiên chưa có đề tài nàoquan tâm nghiên cứu việc phân dạng và hướng dẫn học sinh những cách tiếp cậnnhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳngcó chứa yếu tố cực trị Vấn đề mà tôi trình bày còn khá mới mẻ và chưa được tìmhiểu cụ thể

Xuất phát từ những lý do trên, và kinh nghiệm bản thân trong các nămgiảng dạy, để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhấttrong việc lập phương trình mặt phẳng và đường thẳng thỏa mãn các yếu tố cực

trị, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: ““Rèn luyện kỹ năng viết phươngtrình mặt phẳng và phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cực trị

trong không gian Oxyz cho học sinh lớp 12”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đề tài nhằm cung cấp thêm cho học sinh phương pháp tiếp cận nhanh nhất,hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về phương trình mặt phẳng, đường thẳng

trong không gian Oxyz có chứa yếu tố cực trị Từ đó từng bước tháo gỡ những

vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng caochất lượng dạy và học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về phương pháp giải các bài toán viết phương trình mặt

phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12

trung học phổ thông Từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập về viết phương

trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học

sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để xây dựng đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Giáo viên cung cấp chohọc sinh các kiến thức hình học cần thiết cho từng dạng bài tập, chỉ ra những điểmlưu ý, nhấn mạnh những ưu điểm, chỉ ra các sai lầm hay mắc phải của học sinh.

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Các kỹ năng, kỹthuật sử dụng tính chất hình học giải một số bài toán số phức đã được triển khaithực hiện với nhiều đối tượng học sinh (Giỏi, khá, trung bình, yếu - kém), nhiềuhình thức giảng dạy (Trực tiếp, trực tuyến, từ xa) Tiếp nhận các phản hồi từ họcsinh, từ đó điều chỉnh, hoàn thiện phương pháp giảng dạy phù hợp.

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Để đánh giá sự hiệu quả của đề tài,phương pháp thống kê, xử lý số liệu cũng được bản thân sử dụng hiệu quả nhằmso sánh kết quả của triển khai đề tài giữa các lớp, giữa các năm và giữa lớp cótriển khai đề tài và lớp không triển khai đề tài.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Chương trình giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trung môn học, đặc điểm đối tượng họcsinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khảnăng hợp tác, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đếntình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.

Kiến thức vận dụng:

2.1.1 Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm và tính chất

a) Định nghĩa và tính chất:

Véc tơ u( ; ; )x y z  u xi y j zk   Điểm M ( ; ; )x y z  OM xi y j zk 

Điểm Ax y zA; A; A; B x y zB; B; B;C x y zC; C; C thì:  BA; BA; BA

 '; '; ';  ; ; 

u v   x x y y z z   ku kx ky kz

;

x x

z z

    

 

u cùng phương với

c) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ:

Trong không gian Oxyz cho ux y z v; ; ; x y z'; ;''

- Tích vô hướng của hai véc tơCho hai vectơ u v,

Nếu u  0 hoặc v  0 thì quy ước u v  . 0.

Biểu thức tọa độ: u v x x .  . 'y y. 'z z. '; u v u v .  0 x x. 'y y. 'z z. ' 0Độ dài vectơ:

  

- Tích có hướng của hai véc tơ

Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ và được tính như sau:

a) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:

- Vectơ n  0 có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) được gọi là véc tơ pháp tuyếncủa mặt phẳng ( )

- Nếu u v, 

là hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặtphẳng ( ) thì u v,   n

 

là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )- Nếu ba điểm A B C, , không thẳng hàng thì AB AC,   n

              

là một véc tơ pháp tuyếncủa mặt phẳng (ABC)

- Mặt phẳng( ) đi qua điểm M0( ; ; )x y z000 và có một véc tơ pháp tuyến

n A B C có phương trình: A x x(0)B y y(0)C z z(0) 0

- Chú ý: Trong không gian Oxyz phương trình:

Ax By Cz D A B C  là phương trình mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là: nA B C; ; 

b) Các cách viết phương trình mặt phẳng:

Cách 1: Mặt phẳng () qua điểm M0( ; ; )x y z000 và có một vectơ pháp tuyến

n A B C có phương trình là: A x x(0)B y y(0)C z z(0) 0

Cách 2: Mặt phẳng qua điểm M0( ; ; )x y z000 và có hai vectơ không cùng phương

2.1.3 Phương trình đường thẳng

a) Véc tơ chỉ phương cuả đường thẳng

- Vectơ u  0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng  được gọi là vec tơchỉ phương của đường thẳng .

- Đường thẳng  đi qua điểm M0( ; ; )x y z000 và có vec tơ chỉ phương ua b c; ; 

,khi đó

+) Phương trình tham số của  là:

x xat

yybt t Rzzct

  

 , t gọi là tham số.

+) Phương trình chính tắc của  là:

Cách 1: Đường thẳng d qua M0( ; ; )x y z000 và có vec tơ chỉ phương ua b c; ; 

- Phương trình tham số là: { x=x0+at¿ { y=y0+bt¿¿¿¿

(t là tham số)- Nếu abc  0 thì d có phương trình chính tắc là:

x−x0a =

y− y0b =

Cách 2: Từ giả thiết tìm hai điểm phân biệt A, B mà đường thẳng d đi qua.

Cách 3: Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng Nếu đường thẳng d thuộc hai

mặt phẳng phân biệt ( );( ) có vectơ pháp tuyến là n n 1,2 và có phương trình lần lượt là:

Ax By Cz D A B C  A x B y C z D A B C 

thì d gồm các điểm M x y z( ; ; )thỏa mãn hệ phương trình: {Ax+By+Cz+D=0¿¿¿¿

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: u    [ ;n n12]

2.1.5 Góc trong không gian

a) Góc giữa hai đường thẳng:

Nếu đường thẳng  có vec tơ chỉ phương u ( ; ; )a b c

và đường thẳng ' có vec tơchỉ phương u' ( ; ; ) a b c' ' ' thì:

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Đường thẳng  có vec tơ chỉ phương u( ; ; )a b c

và mặt phẳng ( ) có vec tơpháp tuyến n( ; ; )A B C thì:

 

c) Góc giữa hai mặt phẳng:

Nếu mặt phẳng ( ) có vec tơ pháp tuyến n( ; ; )A B C

và mặt phẳng ( ) có vec tơpháp tuyến n'A B C'; ;''

2.1.6 Một số bất đẳng thức cơ bản

Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ trong không gian, tacần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra Khi đó ta cần khaithác được các đại lượng không đổi như độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ điểmđến đường thẳng, mặt phẳng,… Áp dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản saocho phù hợp với bài toán.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên có đặc thù chuyên môn cao đòi hỏihọc sinh phải có năng lực tư duy lôgic và sáng tạo Đối với học sinh có học lực

khá, giỏi việc rèn luyện kỹ năng làm bài trắc nghiệm là rất cần thiết để học sinh cóthể nắm vững và làm tốt các bài toán ở hai mức độ vận dụng và vận dụng cao.Trong chương trình hình học lớp 12 kiến thức về chương III: “Phương pháp tọa độtrong không gian” là một nội dung rất quan trọng Tuy nhiên các câu hỏi trắcnghiệm trong sách giáo khoa chưa nhiều đặc biệt về phương trình mặt phẳng, đườngthẳng thỏa mãn yếu tố cực trị Các em đã quen với cách học truyền thống là trìnhbày bài tự luận nên khi làm các câu hỏi trắc nghiệm đa số thường lúng túng, hạnchế trong cách tư duy và tiếp cận bài toán Qua thực tiễn giảng dạy, nhiều học sinhlớp 12 còn lúng túng khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọađộ Nhiều em giải bài toán nào thì biết bài toán đó, chưa có kỹ năng vận dụng,phát huy kiến thức đã học, và trong nhiều trường hợp chưa biết cách phát biểu bàitoán dưới dạng khác… Khi gặp các dạng toán này học sinh không biết nên xoaysở thế nào để tìm ra cách giải, dẫn đến học sinh chán nản, không muốn tự mìnhtìm tòi và suy luận ra cách giải Vì vậy khi làm bài tập trắc nghiệm khách quanmất nhiều thời gian do đó kết quả thi không cao.

Để giúp học sinh lớp 12 nói chung và học sinh Trường THPT Hậu Lộc I nóiriêng, tôi đã khắc sâu các kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian và kỹnăng giải nhanh một số bài toán Hình học giải tích trong không gian có yếu tố cựctrị thông qua các bài toán viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không

gian Oxyz bằng câu hỏi trắc nghiệm.

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã giúp học sinh nhận dạngbài toán và phương pháp giải các dạng toán theo hệ thống bài tập được sắp xếptheo một trình tự logic.

Giáo viên chia nhỏ nhóm học sinh có mức học lực ngang nhau từ 15 đến 20học sinh để giảng dạy và giao bài tập Nhóm học khá giỏi thì định hướng, gợi mởđể học sinh tìm ra phương pháp giải toán Nhóm có học lực yếu hơn thì giảng giảikỹ hơn, lấy ví dụ vận dụng để học sinh hiểu bài từ đó làm được các bài toán tươngtự.

Giảng dạy nhiệt tình không nóng vội, ôn hòa khi hướng dẫn học sinh học tạilớp và hướng dẫn học ở nhà.

Giáo viên quy định cụ thể công việc học sinh phải thực hiện: Phương pháphọc tập là phải hợp tác tích cực với giáo viên, sắp xếp thời gian học hợp lý vàhoàn thành tốt các bài tập giáo viên giao về nhà Đặc biệt giáo viên tận tình hướngdẫn học sinh đến khi các em hiểu và làm được thì mới sang dạng tiếp theo

2.3.1 Phần I: Viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn yếu tố cực trị trongkhông gian Oxyz

Bài Toán 1: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A cho trước và cách M

cho trước một khoảng lớn nhất.

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi MA, theo các bước:Bước 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( )

Bước 2: Ta có d M( , ( )) MH MA (không đổi) Vậy d M( , ( )) lớn

nhất là MA khi H A hay ( ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với MA.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz Phương trình mặt phẳng

( ) : ax by cz  5  0 đi qua điểm A1;0; 2  và cách điểm M2;1;1 một

khoảng lớn nhất Khi đó a b c  nhỏ nhất bằng ?

Lời giải:

Ta có MA    ( 1; 1; 3)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( )

Ta có d M( ;( )) MH MA 11 Vậyd M( ;( )) lớn nhất là 11 khi H A hay

( ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA.

Mặt phẳng ( ) qua A1;0; 2  và có một véctơ pháp tuyến n (1;1;3)

có phươngtrình là: x y 3z 5 0 khi đó a b c  5

Bài Toán 2: Viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng d và cách M cho

Bước 1: Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là hình chiếu vuông

góc của M trên ( )

Bước 2: Ta có d M( ;( )) MH MN (không đổi) Vậy d M( ;( )) lớn nhất

là MN khi H Nhay ( ) là mặt phẳng qua N và vuông góc với MN.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua N và vuông góc với MN.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M2;5;3 và đường thẳng

Gọi ( ) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ M đến

( ) lớn nhất Khi đó ( ) đi qua điểm nào?

d M  MH MN  Vậy d M ( ;( )) lớn nhất là 3 2 khi H N hay ( )

là mặt phẳng qua N và vuông góc với MN.

Mặt phẳng ( ) qua N(3;1; 4)và có một véctơ pháp tuyến n  (1; 4;1)

có phươngtrình là: x 4y z  3 0

Bài Toán 3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua M, song với d và cách d một

khoảng lớn nhất.

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d theo các

Bước 1: Tìm N là hình chiếu vuông góc của M trên d, gọi H là hình chiếu

vuông góc của N trên ( ) Ta có d d( ;( )) d N( ;( )) NH MN (không đổi)

Bước 2: Vậy d d( ;( )) lớn nhất là MN khi H M hay ( ) là mặt phẳng qua

M và vuông góc với MN

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với MN.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 1; 4) và đườngthẳng

 Biết mặt phẳng ( )P có phương trình : x ay bz c 0 là

mặt phẳng đi qua M và cách d một khoảng lớn nhất Tính T   a b c

d d  d N  NH MN  Vậy d d( ;( )) lớn nhất là 6 khi H M

hay ( ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với MN.

Mặt phẳng( ) qua N2; 3;3  có một véctơ pháp tuyến n   (1; 2; 1)

có phươngtrình là:

Hướng dẫn:

Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.

Bước 1: Gọi  ( ) ( );Q  P A d ( )Plấy điểm B trên d khác A.

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên ( )P, M là hình chiếuvuông góc của H trên 

Bước 3: Ta có:

(không đổi) Vậy góc giữa ( )Q và ( )Plà góc BMH nhỏ nhất khi tan BMH nhỏ nhất khi M A hay ( )Q là mặt phẳng cómột VTPT là nu u; d n uP; d;ud

n nP Q

  

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz Cho đường thẳng

Lấy hai điểm trên d là: A(1; 2;0); (0; 1; 2) B 

Giả sử mặt phẳng ( )Qchứa d có một VTPT là: n( ; ; )A B C Vì mặt phẳng ( )Q qua

Bài Toán 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với

đường thẳng d’ (d’ không song song với d) một góc lớn nhất

Hướng dẫn:

theo các bước.

thẳng d

Bước 3: Ta góc giữa d’ và ( )P là góc BAHˆ : 

(không

đổi) Vậy góc giữa d’ và (P) là góc BAH lớn nhất khi sin BAH lớn nhất khi

H M hay ( )Plà mặt phẳng qua M vuông góc với BM.

Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng.

 

B