skkn cấp tỉnh rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cực trị trong không gian oxyz cho học sinh lớp 12

Trong đề thi TN THPT những năm qua, các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz luôn chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh.. Xuất

Trang 1

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Từ thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ tạo được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt được mục đích học tâp Lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức là yếu tố quan trọng trong việc kiến tạo kiến thức cho học sinh Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy, tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất

Trong đề thi TN THPT những năm qua, các bài toán về đường thẳng và mặt

phẳng trong không gian Oxyz luôn chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó

khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề “Đường thẳng và mặt phẳng trong

không gian Oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị” đặc biệt là các bài toán ở mức độ

vận dụng và vận dụng cao, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất

Trong quá trình nghiên cứu, tôi thấy có một số tài liệu viết về phương trình mặt phẳng và đường thẳng thỏa mãn yếu tố cực trị, tuy nhiên chưa có đề tài nào quan tâm nghiên cứu việc phân dạng và hướng dẫn học sinh những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng có chứa yếu tố cực trị Vấn đề mà tôi trình bày còn khá mới mẻ và chưa được tìm hiểu cụ thể

Xuất phát từ những lý do trên, và kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy, để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc lập phương trình mặt phẳng và đường thẳng thỏa mãn các yếu tố cực

trị, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: ““Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cực trị

trong không gian Oxyz cho học sinh lớp 12”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đề tài nhằm cung cấp thêm cho học sinh phương pháp tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về phương trình mặt phẳng, đường thẳng

trong không gian Oxyz có chứa yếu tố cực trị Từ đó từng bước tháo gỡ những

vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về phương pháp giải các bài toán viết phương trình mặt

phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12

trung học phổ thông Từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập về viết phương

trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học

sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi

Trang 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để xây dựng đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Giáo viên cung cấp cho học sinh các kiến thức hình học cần thiết cho từng dạng bài tập, chỉ ra những điểm lưu ý, nhấn mạnh những ưu điểm, chỉ ra các sai lầm hay mắc phải của học sinh

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Các kỹ năng, kỹ thuật sử dụng tính chất hình học giải một số bài toán số phức đã được triển khai thực hiện với nhiều đối tượng học sinh (Giỏi, khá, trung bình, yếu - kém), nhiều hình thức giảng dạy (Trực tiếp, trực tuyến, từ xa) Tiếp nhận các phản hồi từ học sinh, từ đó điều chỉnh, hoàn thiện phương pháp giảng dạy phù hợp

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Để đánh giá sự hiệu quả của đề tài, phương pháp thống kê, xử lý số liệu cũng được bản thân sử dụng hiệu quả nhằm

so sánh kết quả của triển khai đề tài giữa các lớp, giữa các năm và giữa lớp có triển khai đề tài và lớp không triển khai đề tài

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Chương trình giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trung môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

Kiến thức vận dụng:

2.1.1 Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm và tính chất

a) Định nghĩa và tính chất:

Véc tơ u( ; ; )x y z  u xi y j zk   

Điểm M ( ; ; )x y z  OM xi y j zk 

Vectơ 0 (0;0;0)



Điểm Ax y z A; A; A; B x y z B; B; B;C x y z C; C; C

thì:

 B A; B A; B A

AB  x  x y  y z  z

ABAB  x  x  y  y  z  z

Tọa độ trung điểm I của AB: 2 ; 2 ; 2

Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:

b) Các phép toán: Cho ux y z v; ; ; x y z'; ;' '

Trang 3

 '; '; ';  ; ; 

u v   x x y y z z   ku kx ky kz

;

' ' '

x x

z z

 



   

 



 

u cùng phương với

'

' ' ' '

0

x kx

z kz

 







c) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ:

Trong không gian Oxyz cho ux y z v; ; ; x y z'; ;' '

- Tích vô hướng của hai véc tơ

Cho hai vectơ u v,

 

khác vectơ 0 Tích vô hướng của hai vectơ , u v  là một số:

 

.cos ,

u v u v  u v 

Nếu u  0 hoặc v  0 thì quy ước u v  . 0

Biểu thức tọa độ: u v x x .  . 'y y. 'z z. '; u v u v .  0 x x. 'y y. 'z z. ' 0

Độ dài vectơ:

u  x y z

Góc giữa hai vectơ u v,

  khác vectơ 0:

  2 2 ' 2 ' '2 ''2 '2

cos ,

u v

u v u v x x y y z z

 

   

- Tích có hướng của hai véc tơ

Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ và được tính như sau:

' ' ' ' ' '

y z z x x y

 

Tính chất: u v,  u u v;  ,  v

2.1.2 Phương trình mặt phẳng

a) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:

- Vectơ n  0 có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )

- Nếu u v,

 

là hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì u v,   n

  

là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )

- Nếu ba điểm A B C, , không thẳng hàng thì AB AC,   n

  

là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Trang 4

- Mặt phẳng( ) đi qua điểm M0 ( ; ; )x y z0 0 0 và có một véc tơ pháp tuyến

n A B C có phương trình: A x x(  0 ) B y y(  0 ) C z z(  0 ) 0 

- Chú ý: Trong không gian Oxyz phương trình:

Ax By Cz D    A B C  là phương trình mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là: nA B C; ; 

b) Các cách viết phương trình mặt phẳng:

Cách 1: Mặt phẳng () qua điểm M0 ( ; ; )x y z0 0 0 và có một vectơ pháp tuyến

n A B C có phương trình là: A x x(  0 ) B y y(  0 ) C z z(  0 ) 0 

Cách 2: Mặt phẳng qua điểm M0 ( ; ; )x y z0 0 0 và có hai vectơ không cùng phương

1 , 2

u u

 

có giá song song hoặc( ) chứa trong ( ) thì ( ) có vectơ pháp tuyến là



n=[  u1; u2]

Cách 3: Phương trình tổng quát: Ax By Cz D   0 (A2B2C2 0)thường dùng khi trong giả thiết có khoảng cách, góc

Cách 4: Mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A a( ;0;0); (0; ;0); (0;0; ); ( ; ;B b C c a b c 0) thì ( )  có phương trình:

x

a+

y

b+

z

c=1

2.1.3 Phương trình đường thẳng

a) Véc tơ chỉ phương cuả đường thẳng

- Vectơ u  0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng  được gọi là vec tơ chỉ phương của đường thẳng 

- Đường thẳng  đi qua điểm M0 ( ; ; )x y z0 0 0 và có vec tơ chỉ phương ua b c; ; 



, khi đó

+) Phương trình tham số của  là:

0 0 0

;( )

x x at

y y bt t R

z z ct

 







  

 , t gọi là tham số.

+) Phương trình chính tắc của  là:

x x y y z z

abc

b) Các cách viết phương trình đường thẳng

Cách 1: Đường thẳng d qua M0 ( ; ; )x y z0 0 0 và có vec tơ chỉ phương ua b c; ; 

- Phương trình tham số là: { x=x 0 + at ¿ { y=y 0 + bt ¿¿¿¿

(t là tham số)

- Nếu abc  0 thì d có phương trình chính tắc là:

x−x0

a =

y− y0

b =

z−z0 c

Cách 2: Từ giả thiết tìm hai điểm phân biệt A, B mà đường thẳng d đi qua.

Trang 5

Cách 3: Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng Nếu đường thẳng d thuộc hai

mặt phẳng phân biệt ( );( )  có vectơ pháp tuyến là n n 1 , 2 và có phương trình lần lượt là:

Ax By Cz D    A B C  A x B y C z D    A B C 

thì d gồm các điểm M x y z( ; ; )thỏa mãn hệ phương trình: { Ax+By+Cz+D=0 ¿¿¿¿

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: u    [ ;n n1 2]

2.1.4 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho điểm M0 ( ; ; )x y z0 0 0 và mp( ) : Ax By Cz D    0 (A2 B2 C2  0) thì:

 

0 ; Ax 2By 2Cz 2 D

d M

A B C

 

2.1.5 Góc trong không gian

a) Góc giữa hai đường thẳng:

Nếu đường thẳng  có vec tơ chỉ phương u ( ; ; )a b c



và đường thẳng ' có vec tơ chỉ phương u' ( ; ; ) a b c' ' ' thì:

2 2 2 '2 '2 '2 '

.

u u



b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Đường thẳng  có vec tơ chỉ phương u( ; ; )a b c



và mặt phẳng ( ) có vec tơ pháp tuyến n( ; ; )A B C thì:

 

.

u n Aa Bb Cc

u n

u n A B C a b c

 

c) Góc giữa hai mặt phẳng:

Nếu mặt phẳng ( ) có vec tơ pháp tuyến n( ; ; )A B C



và mặt phẳng ( ) có vec tơ pháp tuyến n' A B C' ; ; ' '

thì:

   

'

.

n n



2.1.6 Một số bất đẳng thức cơ bản

Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ trong không gian, ta cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra Khi đó ta cần khai thác được các đại lượng không đổi như độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng,… Áp dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản sao cho phù hợp với bài toán

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên có đặc thù chuyên môn cao đòi hỏi học sinh phải có năng lực tư duy lôgic và sáng tạo Đối với học sinh có học lực

Trang 6

khá, giỏi việc rèn luyện kỹ năng làm bài trắc nghiệm là rất cần thiết để học sinh có thể nắm vững và làm tốt các bài toán ở hai mức độ vận dụng và vận dụng cao Trong chương trình hình học lớp 12 kiến thức về chương III: “Phương pháp tọa độ trong không gian” là một nội dung rất quan trọng Tuy nhiên các câu hỏi trắc nghiệm trong sách giáo khoa chưa nhiều đặc biệt về phương trình mặt phẳng, đường thẳng thỏa mãn yếu tố cực trị Các em đã quen với cách học truyền thống là trình bày bài tự luận nên khi làm các câu hỏi trắc nghiệm đa số thường lúng túng, hạn chế trong cách tư duy và tiếp cận bài toán Qua thực tiễn giảng dạy, nhiều học sinh lớp 12 còn lúng túng khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Nhiều em giải bài toán nào thì biết bài toán đó, chưa có kỹ năng vận dụng, phát huy kiến thức đã học, và trong nhiều trường hợp chưa biết cách phát biểu bài toán dưới dạng khác… Khi gặp các dạng toán này học sinh không biết nên xoay

sở thế nào để tìm ra cách giải, dẫn đến học sinh chán nản, không muốn tự mình tìm tòi và suy luận ra cách giải Vì vậy khi làm bài tập trắc nghiệm khách quan mất nhiều thời gian do đó kết quả thi không cao

Để giúp học sinh lớp 12 nói chung và học sinh Trường THPT Hậu Lộc I nói riêng, tôi đã khắc sâu các kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian và kỹ năng giải nhanh một số bài toán Hình học giải tích trong không gian có yếu tố cực trị thông qua các bài toán viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không

gian Oxyz bằng câu hỏi trắc nghiệm.

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã giúp học sinh nhận dạng bài toán và phương pháp giải các dạng toán theo hệ thống bài tập được sắp xếp theo một trình tự logic

Giáo viên chia nhỏ nhóm học sinh có mức học lực ngang nhau từ 15 đến 20 học sinh để giảng dạy và giao bài tập Nhóm học khá giỏi thì định hướng, gợi mở

để học sinh tìm ra phương pháp giải toán Nhóm có học lực yếu hơn thì giảng giải

kỹ hơn, lấy ví dụ vận dụng để học sinh hiểu bài từ đó làm được các bài toán tương tự

Giảng dạy nhiệt tình không nóng vội, ôn hòa khi hướng dẫn học sinh học tại lớp và hướng dẫn học ở nhà

Giáo viên quy định cụ thể công việc học sinh phải thực hiện: Phương pháp học tập là phải hợp tác tích cực với giáo viên, sắp xếp thời gian học hợp lý và hoàn thành tốt các bài tập giáo viên giao về nhà Đặc biệt giáo viên tận tình hướng dẫn học sinh đến khi các em hiểu và làm được thì mới sang dạng tiếp theo

2.3.1 Phần I: Viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn yếu tố cực trị trong không gian Oxyz

Bài Toán 1: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm A cho trước và cách M

cho trước một khoảng lớn nhất.

Trang 7

H A

α

M

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi MA, theo các bước:

Bước 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( )

Bước 2: Ta có d M( , ( )) MH MA (không đổi) Vậy d M( , ( )) lớn

nhất là MA khi H A hay ( ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với MA.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz Phương trình mặt phẳng

( ) : ax by cz  5  0 đi qua điểm A1;0; 2   và cách điểm M2;1;1 một

khoảng lớn nhất Khi đó a b c  nhỏ nhất bằng ?

Lời giải:

Ta có MA    ( 1; 1; 3)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( )

Ta có d M( ;( )) MH MA 11 Vậyd M( ;( )) lớn nhất là 11 khi H A hay

( ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA.

Mặt phẳng ( ) qua A1;0; 2  và có một véctơ pháp tuyến n (1;1;3)



có phương trình là: x y 3z 5 0 khi đó a b c  5

Bài Toán 2: Viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng d và cách M cho

trước một khoảng lớn nhất.

d

M

H

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo các

bước:

Trang 8

Bước 1: Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là hình chiếu vuông

góc của M trên ( )

Bước 2: Ta có d M( ;( )) MH MN (không đổi) Vậy d M( ;( )) lớn nhất

là MN khi H Nhay ( ) là mặt phẳng qua N và vuông góc với MN.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua N và vuông góc với MN.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M2;5;3 và đường thẳng

:

d    

Gọi ( ) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ M đến

( ) lớn nhất Khi đó ( ) đi qua điểm nào?

Lời giải:

Gọi N a(2 1; ;2a a2)d ta có: MN (2a 1;a 5;2a 1)

N là hình chiếu vuông góc của M trên d khi MN u d (2;1;2)

2(2a 1)  a 5 2(2  a 1) 0   9a 9 0   a 1

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) Ta có

d M  MH MN  Vậy d M ( ;( )) lớn nhất là 3 2 khi H N hay ( )

là mặt phẳng qua N và vuông góc với MN.

Mặt phẳng ( ) qua N(3;1; 4)và có một véctơ pháp tuyến n  (1; 4;1)



có phương trình là: x 4y z  3 0

Bài Toán 3: Viết phương trình mặt phẳng () đi qua M, song với d và cách d một

khoảng lớn nhất.

α

d

M

N

H

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d theo các

bước:

Bước 1: Tìm N là hình chiếu vuông góc của M trên d, gọi H là hình chiếu

vuông góc của N trên ( ) Ta có d d( ;( )) d N( ;( )) NH MN (không đổi)

Bước 2: Vậy d d( ;( )) lớn nhất là MN khi H M hay ( ) là mặt phẳng qua

M và vuông góc với MN

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với MN.

Trang 9

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 1; 4) và đường thẳng

:

d    

 Biết mặt phẳng ( )P có phương trình : x ay bz c   0 là

mặt phẳng đi qua M và cách d một khoảng lớn nhất Tính T   a b c

A T 6 B T 3 C T 8 D T 5

Lời giải:

Gọi N a( 1; a 2; 3 )a d  MN ( ;a a 1;3a 4)

N là hình chiếu vuông góc của M trên d khi MN                            u d (1; 1;3)  a a  1 3(3a 4) 0  a1 N2; 3;3  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) Ta có

d d  d N  NH MN  Vậy d d( ;( )) lớn nhất là 6 khi H M

hay ( ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với MN.

Mặt phẳng( ) qua N2; 3;3   có một véctơ pháp tuyến n   (1; 2; 1)



có phương trình là:

x y z  

Bài Toán 4: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt

phẳng (P) một góc nhỏ nhất.

H A

B

d

Hướng dẫn:

Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.

Bước 1: Gọi  ( ) ( );Q  P A d ( )P lấy điểm B trên d khác A.

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên ( )P , M là hình chiếu vuông góc của H trên 

Bước 3: Ta có:

 tanBMH BH BH

HM HA

(không đổi) Vậy góc giữa ( )Q và ( )P là góc BMH nhỏ nhất khi tan BMH nhỏ nhất khi M A hay ( )Q là mặt phẳng có một VTPT là nu u; d n u P; d;u d



        

Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng:

cos(( ),( ))

P Q

n n

P Q



 

Trang 10

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz Cho đường thẳng

:

d    

 Gọi ( )Q là

mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng ( Oxy một góc nhỏ nhất.) Khi đó mặt phẳng ( )Q đi qua điểm nào?

A (1; 1;1) B (1;1; 1) C ( 1;1; 1)  D ( 1; 1;0) 

Lời giải:

Lấy hai điểm trên d là: A(1; 2;0); (0; 1; 2) B 

Giả sử mặt phẳng ( )Q chứa d có một VTPT là: n( ; ; )A B C Vì mặt phẳng ( )Q qua

(1; 2;0)

A  nên ( ) :Q Ax By Cz A   2B0 mặt khác ( )Q qua B(0; 1;2) nên

2

A B  C  n(B2 ; ; )C B C

Gọi  là góc giữa (Q) và (Oxy), khi đó:

cos

 

 

 

Khi đó  nhỏ nhất khi cos

lớn nhất

2

( ) 2 4 5

    nhỏ nhất

1

    ta chọn B1;C  1 A 1 ( ) :Q x y z   3 0

Bài Toán 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với

đường thẳng d’ (d’ không song song với d) một góc lớn nhất

Hướng dẫn:

theo các bước.

thẳng d

Bước 3: Ta góc giữa d’ và ( )P là góc BAHˆ :

 sinBAH BH BM

AB AB

 

(không

đổi) Vậy góc giữa d’ và (P) là góc BAH lớn nhất khi sin BAH lớn nhất khi

H M hay ( )P là mặt phẳng qua M vuông góc với BM.

Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng.

' '

'

d P

u n

 

d'

d

H A

B

Tiêu đề	Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cực trị trong không gian Oxyz cho học sinh lớp 12
Tác giả	Nguyễn Văn A
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	658,69 KB