Khóa luận tốt nghiệp Sư phạm Vật lý: Biên soạn hệ thống lý thuyết và bài tập phần đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến cho giáo trình giải tích 2

Ở học kì 1, năm nhất của bậc đại học, học sinh tiếp tục học về giải tích hàm một biến một cách chuyên sâu hơn, biết được nhiều ứng dụng của toán học trong vật lý.. Đề tiếp tục đến mục ti

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

NGUYÊN VĂN DŨNG

BIEN SOẠN HE THONG LY THUYET VÀ BAI TAP PHAN DAO HAM VA VI PHAN

CUA HAM NHIEU BIEN CHO

GIAO TRINH GIAI TICH 2

Chuyén nganh: Su pham Vat ly

TP Hồ Chi Minh, năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

BIEN SOẠN HE THONG LÝ THUYÉT VÀ BÀI TAP PHAN ĐẠO HAM VÀ VI PHAN

CUA HAM NHIEU BIEN CHO

GIAO TRINH GIAI TICH 2

Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng

Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Lê Anh

TP Hồ Chí Minh, năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Từ những ngày đầu thực hiện đến khi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp, đó là cả

một quá trình cố gắng học tập và trưởng thành lên từng ngày của bản thân em Tuy nhiên trên thực tế không có sự thành công nào mà không gan liền với sự hỗ trợ, giúp

đỡ, dù ít hay nhiều, dù gián tiếp hay trực tiếp của người khác Vì vậy, xin cho phép

em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến:

— Quý thầy cô giảng viên khoa Vật Lý trường Dai học Sư phạm Thành phó Hồ

Chí Minh đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm, sự nhiệt huyết VỚI nghề cho

em trong suốt quá trình học tập tại trường.

— Thầy ThS Nguyễn Lê Anh, giảng viên đã trực tiếp hướng dẫn, hỗ trợ, đìu dat

em thực hiện khóa luận tốt nghiệp Thay - với kinh nghiệm, sự nhiệt huyết cùng lòng

yêu nghề của mình - đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ và động viên những lúc

em khó khăn; tạo điều kiện thuận lợi cho em được nghiên cứu và phát triển Hơn bao

giờ hết, em cảm nhận được sự quan tâm, dạy dỗ ân cần và tận tâm từ thầy.

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn của mình đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

này.

Thành pho Hô Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Văn Dũng

DANH MỤC BANG BIEU

Bảng 2.1 Các dang bài tập va kĩ thuật giải tương ứng trong S1 và S2

Bảng 2.2 Số lượng bài tập trong S1 và S2 ¿- +©5222+2222E2xczkerkerkrrxees

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 2.1 Giá trị chỉ số nhiệt [§] -¿- ¿2 2©S522E2E2EE2E£EE2EEEEeEEzEerxerrrrrrrerees 8

Hình 2.2 Mối liên hệ giữa số gia Ay và vi phân dy [§] -5-555255¿ 13 Hình 2.3 Mối liên hệ giữa số gia Az và vi phân dz [§] .: 5 - 18 Hình 2.4 Sơ đồ cây [§] - 5c E21 E21 1 2121211 21211111211101211111 211111 1e 25

Hình 2.5 Đường cong ø(x y) A Os i) cer 50

Hình 2.6 Biéu đồ nhiệt độ các Bang ở Hoa Kỳ [8] -. -¿ ¿©5¿55¿55z 55c: 30

Hình 2.7 Vector đơn vi z¿ [] - - - - c 52 1111112111111 1 1111118111111 1 11822 x£, 31

Hình 2.8 Mặt cong S cắt mặt phang thắng đứng theo hướng vector z2 [8] 32 Hình 2.9 Đồ thị của hàm số f có cực trị [8] -c +cxccrkcrrkrerrrrerrerree 40

Hình 2.10 Đồ thị hàm số ƒ (x, y)= x” — yŸ [§] -cccccccrecsrrsrrree 42

Hình 2.11 Déc núi có hình yên ngựa [8] - - 22 2 2E £+£zE+Ee£zEererxzee 43

Hình 2.12 Các dạng tập hợp [8] - - c2 1311323331151 errrrer 46

Hình 2.13 Đường đồng mức của ƒ (x,y) và § (x, y) =K [8] - -.cces 49

Hinh 2.14 Giao tuyén C và các vector gradient tai P [8] - «<< ++<<<<+2 53 Hình 2.15 Mặt phẳng tiếp tuyến với S tại P và vector gradient tại P [§] 57 Hình 2.16 Đường tiếp tuyến 7, và 7; với mặt cong tại P [§] -. - 59

Hình 2.17 D6 thị hàm số z=2x” + y” và mặt phẳng tiếp tuyến (1,1,3) [8] 61

Hình 2.18 Đường đồng mức hàm số z= 2#” + y” [§| -cz+2ccce+cre 61

Hình 3.1 Ý nghĩa đạo hàm riêng 2- 2 252 £2S£+E£2EE2E2EZEzEerxerxerxees 74

Hình 3.2 Hình tam giác - - c1 3120111211 11111 11111111 111101111 1k ng vn re 75

Hình 3.3 Mặt phăng tiếp tuyến gồm hai đường thang tiếp tuyến 7, và 7, 88

Hình 3.4 Đồ thị hàm số z = 2jx” + 3y” +9 và mặt pang tuyến tuyến tại điểm (2,1,4)

Hình 3.8 Sơ đồ mạch điện cơ bản - ¿SE 3E #E‡E‡E£E+ESESESEEEEEEEEkrerererrrs 103 Hình 3.9 Sơ đồ cây - 5c 1n TT 1 T2 121 11210111111 211 0121 1112111 0e 115

Hình 3.10 Sơ d6 cây 5-2-5 1 21 E21 1212112111121121112112121121 112 1e rrre 118

Hình 3.11 Sơ đồ cây - 5c S2 1 1E 121212121211 21111111011111 11101111 re 119 Hình 3.12 Sơ đồ Cay .ceccceccccscsssscscssescssescscsssscscsscscsvsscsssvsscsvssecsvssssesvsesscsveneaeaes 120 Hình 3.13 Sơ đồ cây 51s 221 3 22121 212101121112111111 1111211101211 re 121 Hình 3.14 Sơ đồ cây 1-52 SE 1 1 1215121121011 21112111111 1111 2111111101 re 123 Hình 3.15 Mặt phẳng tiếp tuyến tại P [§] ¿- ¿522522522 2Eczxrrxerxerxrred 135

Hình 3.16 Vector đơn vị =i + bj 5:22 2t t2 2EtEEEtrrtrrrrrrrrrrrrrree 136

Hình 3.17 Vector gradient và đường đồng mức - ¿+ 2s s+s+zszzzx+ 151 Hình 3.18 Đồ thị hàm sỐ z =cos xy -2-2-5252252 2222222 zEcrkrrkrrrrred 160

Hình 3.19 Đồ thị hàm số ƒ (x,y) = xŸ + y°—2x— 2y +3 ii 160 Hình 3.20 Đồ thị hàm số ƒ (x,y) =9— x” — yŸ àciteHeeeeeg 160

Hình 3.21 Đồ thị hàm số ƒ (x,y) = xŸ — yŸ ccc2ccsrieritrrirrrirrrrrirrrrrre 161 Hình 3.22 Đồ thi hàm số f (x,y) =3x7 +6xy+7y”—2x+4y c.c 162

Hình 3.23 Đồ thị hàm số z= ƒ (x, y)= 6x” —2xÌ +3y” + ÕXy cv 163

Hình 3.24 Đồ thị hàm số ƒ (x, y) ¬ POXV AY cece ccssesesssseesssssesseseesseees 166 Hình 3.25 Đồ thi hàm số z =2x° + yŸ + 3y” —5x7 veeccccccesscssssessessesesseseesesseseeseseees 166 Hình 3.26 Đồ thị hàm 86 z = xy + x— y ceececccscsssssessessesseesesseasessesuestesteseeseeseeseess 167 Hình 3.27 Ung dụng khớp ham c.ccccccccccsccscscsscsescssesesesesscsescsescsesessesesceseseaes 170 Hình 3.28 Miền xác định Doi ceccccscccccscssessessssessesessessssecsesscsessssussesssseeseseeseeseaeess 174 Hình 3.29 Khoảng cách từ gốc tọa đô -¿-¿- 5c St2tE S222 EE2EeErrkrrrree 183 Hình 3.30 Khoảng cách từ gốc tọa độ -¿-:- 5c tt 2x2 E2 EErrkrrrree 186 Hình 3.31 Các đường đồng mức -¿- - + 2 SE E#EEEEEEEEEEEEEEEErkerrrkrkrree 187 Hình 3.32 Giao tuyến giữa g (x.y,z)=0 và h(x,y,z)=Ú 194

1.2 Câu hỏi nghiên CUU - œ2 << << 9 99.9 01.9 0.000 68 1 ø 5

1.3 Nội dung trong Đề cương chỉ tiết học phần Giải tích 2 6 1.4 Cấu trúc nội dung s-s- << 5£ ss£ S2 Es£s£SEs£S£EsEseseEseseseeses 6

Chương2 PHAN TÍCH VA SO SÁNH PHAN ĐẠO HAM VA VI PHAN

CUA HAM NHIÊU BIEN W ccccccscscscsssssscsssesesesssssscsececcessssssesesesecesscscsesecececscssaceess 8

2.1 PhAn l¥ thuyét c.ccccccssssssssssssssssessssssesessssessssssessssssesssessessssssesessesessees 8

2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Dao ham va Vi phân của hàm nhiều biến 8

2.1.2 Định nghĩa và tính chất Đạo hàm riêng và Vi phân của hàm nhiều

ĐiẾNn << S44 1704010714078 0794 7040711020101 091E 13

2.1.3 Các phương pháp tính đạo hàm riêng phân - 21

2.1.4 Ung dụng của đạo hàm riêng - 5-5 <5 se s=sesessesesesse 30 2.2 PHAN DAL AP 8n 62 2.3 MOt Vai 0{( 00: 0118 64

Chương 3 VIET MAU PHAN ĐẠO HAM VÀ VI PHAN CUA HAM NHIÊU

BIEN 0M - Ô 67

3.1 Đạo hàm FENG G5 G5 5 9 9 9 0 000098608 68

3.1.1 Dao hàm riêng cấp một 2 s- << s 2 s£s£ss£s£sessesesessesesesse 71

3.1.1.1 Định ng hĩa <5 5 5 5< 5 9 9 00.0094 04.00888098 06 71

3.1.1.2 Một số kí hiệu của đạo hàm riêng 5-5 < ss< << =ses 71 3.1.1.3 Quy tắc tìm đạo hàm riêng e 5 ° 5s ss ssessssesesseses 72 3.1.1.4 Ý nghĩa đạo hàm riêng cấp một . 5-2 s<sese<sess 74 3.1.2 Đạo hàm riêng cấp một của hàm số nhiều hơn hai biến 76

3.1.3 Đạo hàm CAP CAO -ss- s©s< se se 93s EsEESESESESSEsEEsExrsrsrsersrsse 77

3.1.3.1 Định nghia o- G5 << 5S 9 HH 0 00008 00806 78

3.1.3.2 Định lý Clairaut - - <5 << < 9x 9 H0 190 89088606 81

3.1.4 Bài ập on HH TH II 000000009084 84

3.2 Khả Vi và Vi phiâ¡n - 5< 5< 4 4 9H 100100300908 87

3.2.1 Mặt phẳng tiếp tuyến và phép tính gần đúng tuyến tính 88

3.2.1.1 Mặt phẳng tiếp tuyến 5 ° se se sessvsesssssesessesersese 88

3.2.1.2 Phép tính tuyến tính gần đúng s- < 5s se sessseses 92

3.2.2 KIA VỈ G1 Ọ ỌHỌ Ọọ T TT 00.00000004 08 96

3.2.2.1 Định nợ hĩa do << G 5s 9 0 0 0040000004996 97

3.2.2.2 Điều kiện đủ khả vi . 5< sss se ssssxseserseesrssesessese 98

3.2.2.3 Hệ quả của hàm Kha Vi - - <5 < 5< 99 9.5 8968 59 99

3.2.3 Vi phâNn 4 << cọ HH ọ I0 00010009604 99

3.2.3.1 Vi phân cấp miột s- << 5£ 2s S2 3s 93s EeEseSeEsesesseses 99 3.2.3.2 Vi phân cấp CaO s- 5c scscscsvsvssEseksrsersessrsersrssrsrrsrssree 104 3.2.4 Hàm ba biến hoặc nhiều hơn ba biến .- 2-5-5 s5 ss se 106

3.2.5 Bài (ẬP co cọ n0 0009 809090 108

3.3 Quy tắc dây chuyền 5° << sesssexseseEsesersersrssrsrssrssrs 113

3.3.1 Quy tắc dây chuyền (Dao hàm riêng của hàm hợp) 114

3.3.1.1 Dao hàm riêng của hàm hợp hai biến 5 - 5-5 114 3.3.1.2 Đạo hàm riêng hàm hợp tổng quát . -sss s2 119 3.3.2 Đạo hàm của hàm Ấn 5 ° < s5 s2 SsEs£SeEs£seEEsesessesesee 121

3.3.2.1 Dao hàm của hàm An một biến 2-5- << s2 <sese<s 121 3.3.2.2 Đạo hàm riêng của hàm An nhiều biến . 123 3.3.2.3 Đạo hàm riêng của hệ hàm ẫn - 5-5 ° sses<esesese 128

3.3.3 Bài ẬD co co HH cọ cọ 0 00.0000 001000 8091884 132

3.4 Dao hàm có hướng và Vector gradient s< «<< « s«ssess 135

3.4.1 Đạo hàm theo hướng <5 5 << s s9 90 0 00980606 136

3.4.2.4 Ý nghĩa hình học của vector gradien( -ss°s¿ 150

3.4.3 Đối với hàm ba biến - «<< sxserksertseerkserkseorssre 152

3.4.4 Bài (Ập on cọ cọ cọ TH HT 0 0000080 155

3.5 CUC TRI CUA HAM SO NHIÊU BIÉN -5 °-5 158

3.5.1 Cực trị của hàm hai biến: 2 5-5 5s << ssessesesessesesssse 159

3.5.1.1 Định nghĩa cực trị địa phương của hàm hai biến 159 3.5.1.2 Điều kiện cần để có cực tF] - s- << ses<sesesesseseseesesese 161 3.5.1.3 Điều kiện đủ để có Cực tri -sss< ssesssesesssseseseesesese 163 3.5.2 Cực trị tuyệt đối và cực trị tuyệt đối ở vùng đóng hoặc bị chặn 173 3.5.3 Cực trị của hàm ba biẾn - 5 << 5s ssess£seseseesesessesesssse 176

ôn cà 7a ẽẽ.ẽ.ẽ 179

3.6 Phương pháp nhân tử ÏaBØr2n G5 5555555 955655 9% 182

3.6.1 Nhân tử Lagrange với một ràng ĐuỘC < s5 «5s ««sss «se 182

3.6.1.1 Phương pháp nhân tử Lagrange — Điều kiện cần của cực trị có b8 011212 185 3.6.1.2 Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện - ssc-s<s 185

3.6.2 Nhân tử Lagrange với hai ràng DUGC - <5 55s ssss< se 192

3.6.3 Bai mẽ 196

KET LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ 2-2-5 5£ 5£ s£Ss£Ss£ss£ssessessessesersers 199

TÀI LIEU THAM KHẢO - 5° 5< << +s£s££Ss£EsEseseexserserseesserse 200

PHAN MO DAU

1 Ly do chon dé tai

Roger Bacon từng dành những lời có cánh cho toán hoc: “Nếu chúng ta muốn

đo tới tính xác thực hiển nhiên và chân lý vô điều kiện trong các khoa học khác, cần phải lấy căn cứ của mọi tri thức từ toán học.” Thật vậy, từ thời cổ đại, toán học đã bắt đầu hình thành ở nhiều nơi trên thế giới tiêu biểu là ở Hy Lạp cé đại Ngày nay,

khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học trở nên quan trọng hơn nữa và trở

thành một trong những công cụ không thê thiếu đề giải quyết các van đề thực tiện Ở thời cô đại, Pythagoras đã nghĩ ra định lý Pythagoras về liên hệ các cạnh của tam giác vuông để giúp ta tìm ra được các cạnh của một tòa tháp Tương tự vậy, Newton đã suy nghĩ ra phép vi phân và tích phân giúp ta có thé đưa ra định nghĩa chính xác các

khái niệm như vận tốc, gia téc, Ở thời nay, toán học giúp chúng ta tìm ra số liệu và

cách tối ưu dé giải quyết vấn dé, giúp chúng ta xử lý các van dé của vật lý, hóa học,

sinh học,

Ở cấp độ trung học, học sinh tiếp cận giải tích của hàm một biến một cách tổng quát và chỉ tập trung ở mặt toán học, do đó, ta chưa hiểu được nó thật sự Ở học kì 1, năm nhất của bậc đại học, học sinh tiếp tục học về giải tích hàm một biến một cách

chuyên sâu hơn, biết được nhiều ứng dụng của toán học trong vật lý Tuy nhiên, các

vấn đề sau này giải quyết không phải lúc nào cũng chỉ có một biến số mà đa số là nhiều yếu tố, nhiều biến số chi phối Do đó, học sinh cần tìm hiểu về hàm nhiều biến

số và những ứng dụng của hàm nhiều biến sé.

Có thé khang định giải tích là môn học với những ứng dung chi phối hầu như các toàn bộ các ngành khoa học — kĩ thuật và kể cả kinh tế Tất cả các ngành học về khoa học tự nhiên đều gắn liền với giải tích Vì thế, giải tích là môn bắt buộc đối với

các ngành khoa học tự nhiên Do vậy, ở nước ta nói riêng, nguồn tài liệu tham khảo

về bộ môn giải tích ngày càng nhiều, các giáo trình ra đời với nhiều mục đích khác

nhau, nhưng đa số các tài liệu này chỉ tập trung cung cấp các công thức toán học, các

phương pháp tính toán, các bài tập thuần toán học mà chưa có nhiều ứng dụng đến

thực tiễn nói chung và các bài tập vật lý nói riêng.

Các giáo trình giải tích nước ngoài có nhiều ứng dụng của giải tích vào trong rất nhiều lĩnh vực và đặc biệt có khá nhiều ứng dụng vào trong vật lý Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy rằng sinh viên khoa vật lý ít quan tâm đến các tài liệu nước ngoài, hạn chế trong việc trao dồi ngoại ngữ trong quá trình học ở bậc đại học — chỉ 10 tin chỉ chiếm 7,4% chương trình học ở Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí

Minh.

Đồng thời tiếp ni dé tai nghiên cứu của sinh viên Bùi Quốc Long - sinh viênkhoa vật lý khóa 37 Trường Dai học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh — đã thực

hiện luận văn [6] dé nghiên cứu các giáo trình Giải tích hiện tại ảnh hướng đến việc

day va học của giảng viên cũng như sinh viên khoa vật lý — Trường Dai học Sư phạm

Thành Phó Hỗ Chí Minh Trong đó, luận văn [6] đã phân tích giữa các giáo trình giải

tích ở các trường đại học có ngành vật lý, như là [3] so sánh với giáo trình nước ngoài

[8] dé thấy điểm mạnh vả điểm yếu Từ đó, chúng tôi đưa ra cau trúc dé viết mẫuphần Đạo hàm của hàm một biến trong luận văn [6] dé minh họa

Đề tiếp tục đến mục tiêu hoàn thiện một giáo trình giải tích bằng tiếng Việt với

ngôn ngữ dé hiểu và có các ví dụ về ứng dụng Vật lý cụ thé nhằm tạo thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Vật lý — trường Đại học Sư Pham Thanh Phố H6 Chí

Minh nói riêng, chúng tôi quyết định thực hiện luận văn này dựa trên cấu trúc đã có

ở [5,6] dé phân tích và so sánh phần Dao ham và Vi phân của hàm nhiều biến giữacác giáo trình trong nước [3] và [7] với giáo trình nước ngoài [8] và cuỗi cùng là viết

mẫu phan Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến dựa trên những phân tích và so

sinh đó Đồng thời, chúng tôi cũng đưa thêm các bai tập ứng dụng vat lý cụ thê tham khảo từ các tài liệu vật lý [1,2], [4].

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm hoàn thiện ý tưởng một giáo trình Giải tích bằng tiếng Việt có thể

dùng lam tải liệu tham khảo cho sinh viên vật lý — Trường Đại học Sư phạm Thanh

phố Hồ Chí Minh Trong luận văn này, chúng tôi chú trọng đến khái niệm Đạo hàm

và Vi phân của ham nhiều biến số: định nghĩa và ứng dụng của nó.

Các kết quả cân đạt được trong luận văn này:

— Phân tích và so sánh khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến số

giữa các giáo trình [3] [7] với [8] dé rút ra những điểm mạnh và điểm yếu củachúng.

— Cấu trúc lại dé viết phan Dao hàm va Vi phân của hàm nhiều biến số dựa trên

4 Giả thiết khoa học

Nếu luận văn này được hoàn thiện sẽ hỗ trợ cho sinh viên năm nhất khi học vềgiải tích hàm nhiều biến một cách đầy đủ hơn, đồng thời thấy được ứng dụng cụ thể

của toán học trong vật lý, đặc biệt là ở khía cạnh giải tích.

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các giáo trình được sử dụng tại khoa vật lý của một số trường đại

học có đảo tạo ngành vật lý.

—_ Phân tích và so sánh các giáo trình trên với giáo trình nước ngoài [8] Từ đó,

rút ra kết luận dé đi đến việc viết phần Dao ham và Vi phân của ham số nhiềubiến số

6 Giới hạn nghiên cứu

Chúng tôi chỉ nêu ra sự khác nhau của các khái niệm Đạo ham va Vi phân của

hàm nhiều biển số của các giáo trình trong vào ngoai nước Đồng thời phân tích kiến

thức của phần Đạo hàm va Vi phân của hàm nhiều biến số trong các giáo trình trên

vả tiên hành viết mẫu chương Dao ham và Vi phân của hàm nhiều biến số theo mẫu

đã có trong [5,6].

Trong luận văn này, chúng tôi không viết về Hàm nhiều biến và Giới hạn và Khai triên Taylor của ham nhiều biến.

7 Những đóng góp mới của đề tài

Trong luận văn nay, chúng tôi viết được phần Dao hàm va Vi phân của hàm

nhiều biến số với ngôn ngữ gan gũi va dé hiểu thông qua những ví dụ và giải thích cụ

thê.

Chúng tôi chú ý đến nội dung, màu sắc, cách trình bày cùng với hình ảnh làm

cho nội dung thêm sinh động hơn Những thay đôi sẽ được dé cập ở chương 3 của

luận văn — Viết mẫu phần Đạo hàm và Vị phân của hàm nhiều biến.

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm 3 chương:

4 Chương 1: Những van đề nghiên cứu trọng tâm

Nhằm mục đích tìm hiểu van đề nghiên cứu một cách có hệ thống, logic và

hiệu qua, chúng tôi sẽ đặt ra một số câu hỏi vả trả lời các câu hỏi nảy sau khi phântích phần Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến trong Chương 3 của luận văn

s* Chương 2: Phân tích và so sánh phần Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến.

Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp phân tích vả so sánh lý thuyết cùng với

phương pháp phân loại hệ thong hóa lý thuyết đẻ tìm hiểu sâu sắc vé phan Dao hàm

và Vi phân của hàm nhiều biến được trình bày trong các giáo trình Từ đó, chúng tôi

phân loại và so sánh chúng đẻ tìm ra các kết luận nhằm trả lời các câu hỏi trong

Chương | của luận văn.

s* Chương 3: Viết mẫu phan Dao hàm và Vi phân của hàm nhiều biến.

Ở chương này, chúng tôi sử dụng các kết quả phân tích và so sánh ở Chương

2 dé tông hợp các kiến thức vừa phân tích được và đồng thời kết hợp hài hòa giữa ưu

điểm va nhược điểm giữa các giáo trình trong và ngoài nước đẻ tiến hanh viết phanDao ham và Vi phân của ham nhiều biến sao cho phù hợp với sinh viên Vật lý nhưng

vẫn thỏa mãn các yêu câu về kỹ thuật tính toán.

Chương 1 NHỮNG VAN ĐÈ NGHIÊN CỨU

TRỌNG TÂM

1.1 Giáo trình phân tích

Đề thay rõ điểm giống nhau và tương đồng cũng như là điểm khác nhau giữa

các giáo trình trong nước ở một số trường Đại học có đào tạo ngành Vật lý và giáo

trình nước ngoài, chúng tôi chọn các giáo trình sau đề tiến hành phân tích:

— [3] Đỗ Công Khanh (2012), Toán cao cap — Giải tích hàm nhiều biến, phương

trình vi phân, Nhà xuất bản Dai Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chi Minh(TP.HCM) Đây là giáo trình sử dụng ở trường Đại học Sư phạm Thành Phố

Hồ Chí Minh, Dai học Khoa học Tự Nhiên TP.HCM, Đại học Bách khoa

TP.HCM và Đại học Sài Gòn.

— [7] Nguyễn Đình Trí (2006), Toán học cao cap Tap 3, Nha xuất bản Giáo

dục Đây là giáo trình được sử dung ở trường Dai học Sư phạm Thành Phố Hỗ

Chí Minh.

Chúng tôi gọi hai giáo trình [3] và [7] là giáo trình S1.

— [8] James Stewart, Calculus, Canada.

Chúng tôi gọi giáo trình [8] là giáo trình S2.

Chúng tôi chọn S1 và S2 dé so sánh vì SI được sử dụng rộng rãi và phô biến,đây cũng là giáo trình giải tích 2 chính của rất nhiều trường đã đẻ cập ở trên Còn S2

là một giáo trình nồi tiếng ở Mỹ và các nước Châu Âu

1.2 Câu hỏi nghiên cứu

Đề phân tích hiệu quả và có logic, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi sau mà câu trả lời của nó sẽ làm rõ vẫn đề mà chúng tôi nghiên cứu.

Chúng tôi đưa ra năm câu hỏi (CH), cụ thê lả:

CHI: Khái niệm Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được SI và S2 tiếp

cận như thé nao? S1 và S2 có những ví dụ dé đi đến định nghĩa Dao ham va Vi phân của hàm nhiều biến hay không?

CH2: Khái niệm Dao ham va Vi phân của ham nhiéu bién được định nghĩa nhưthế nào? Việc định nghĩa như vậy tác động như thế nào đến việc tiếp thu kiến này?

CH3: Các phương pháp tính Đạo hàm và Vi phan của ham nhiều biến được S]

và S2 trình bày theo hình thức nào?

Hình thức 1: Thông báo kiến thức mới rồi đưa ra bài tập ví dụ.

Hình thức 2: Đưa ra tình hudng có van dé rồi xây dựng kiến thức giải quyết.

CH4: Ứng dụng của Đạo hàm và Vi phân của hàm nhiều biến được S1 và S2

trình bày như thé nào? Hệ thống bài tập được xây dựng như thé nào, có dé cập đến

các bài tập vật lý hay không?

CHS: Cách trình bày vẻ nội dung, hình ảnh, màu sắc được chú trong hay không?Việc trình bảy như vậy tác động như thé nao?

1.3 Nội dung trong Đề cương chi tiết học phần Giải tích 2

Chúng tôi đã dựa theo đề cương chỉ tiết học phần Giải tích 2 của khoa vật lý

Trường Đại học Sư phạm Thành Phố H6 Chi Minh dé phân tích Với thời lượng 15

tiết, nội dung chỉ tiết của Đạo hàm và Vi phân của ham nhiều biến như sau:

Chương 1: Hàm nhiều biến

1.1 Đạo hàm riêng.

1.2 Kha vi và vi phân, ứng dụng tính gan đúng

1.3 Đạo ham, vi phan của hàm hợp.

1.4 Dao hàm riêng và vi phân của hàm ẩn.

1.5 Đạo hàm có hướng theo hướng Gradient.

1.6 Cực trị tự do.

1.7 Cực trị có điều kiện

1.4 Cau trúc nội dung

Trong phan nay, chúng tôi dé cập đến cau trúc chương Đạo ham va Vi phân của

hàm nhiều biến Dựa trên cấu trúc đã xây dựng ở luận văn [5,6] để làm nên tảng và

có chỉnh sửa dé phù hợp hơn Cấu trúc chương Đạo ham va Vi phân của ham nhiều

biến gồm

Phan mở đầu: chúng tôi nêu lên ý tưởng, đặt van đề hoặc nhắc lại các kiến thức

đã học đề dẫn dắt sinh viên tiếp cận với nội dung kiến thức tốt hơn, kích thích tư duy

của người học.

Trình bày kiến thức: các kién thức sẽ được trình bày cụ thê, chỉ tiết Trước khi

đưa ra định nghĩa, chúng tôi sẽ trình bày phần dẫn dắt và giải quyết một vài trường

hợp cụ thé Bên cạnh đó, các ví đụ phải bao quát, giải chỉ tiết và giải thích được định

nghĩa cũng như tính chất và các ví dụ liên quan đến kiến thức vật lý Ngoài ra, chúng

tôi kèm thêm một vai lưu ý ở các kiến thức hay ví dụ giúp sinh viên không hiểu sai

kiến thức và tránh được những lỗi thường gặp Từ đó, sinh viên sẽ giải các bài tập một cách dé dang hơn.

Bảng tóm tắt: chúng tôi trình bày lại các nội dung kiến thức một cách cô dong,

dé nhớ đề sinh viên có thê tra cứu lại khi cần thiết

Hệ thong bài tập-chúng tôi trình bày hệ thống bài tập tự giải Trong đó, các bài

tập về toán học vẫn chiếm đa số tập trung ở những bai tập đầu tiên và bỗ sung thêm các bài toán vật lý cụ thê Các bài toán vật lý chỉ dừng lại ở mức độ vừa phải và đảm

bảo được yêu cau vẻ kiến thức toán học tương ứng

Chương 2 PHAN TÍCH VA SO SÁNH PHAN

DAO HAM VA VI PHAN CUA HAM NHIEU BIEN

2.1 Phan ly thuyét

Cách tiệp cận khái niệm Dao hàm

riêng cấp một

Không có phan nao nói về cách

Cách tiep cận khái niệm Dao

hàm riêng cấp một

Một ngày nóng, độ âm cao làm tiếp cận khái niệm đạo hàm riêng cấp | chúng ta cảm thấy nhiệt độ cao hơn nhiệt

một của hàm nhiều biến độ thực, nơi có không khí khô chúng ta

cảm nhận nhiệt độ thập hơn chỉ số củanhiệt kế The National Weather Service

đã nghĩ ra chỉ số nhiệt (còn gọi là chỉ số

nhiệt độ - độ âm) dé miêu tả ảnh hưởng

của nhiệt độ và độ âm Chỉ số nhiệt J là

nhiệt độ cảm nhận được lúc nhiệt độ

thực là 7 va độ âm tương đối là / Do

đó, 7 là hàm số theo 7 và H và có thé

viết J = ƒ(T.H) Hình 2.1 biểu diễn giá

trị của J được trích từ bảng hoàn chỉnh

từ The National Weather Service.

Nếu chúng ta tập trung vào cột màu

xanh, tương ứng với độ âm tương đối là

H = 70%, chúng ta xét chỉ số nhiệt như

hàm số của một biến 7 với giá trị cỗ

Khi đó ø(T}) miêu tả chỉ số nhiệt 7 tăng

như thé nào khi nhiệt độ thực tăng lúc độ

âm tương đôi là 70% Dao hàm của g

lúc 7 =96"E là tốc độ thay đôi của / đối với T lúc 7 =96"F:

Có nghĩa là, khi nhiệt độ là 96°F và độ

âm tương đối là 70% thì nhiệt độ biểukiến (chỉ số nhiệt) tăng 3,75°F với mỗi

độ tăng của nhiệt độ thực.

Bây giờ chúng ta hãy quan sát hàng

màu xanh, tương ứng với nhiệt độ côđịnh 7 =96°F Những số trong hàng là

sẽ tăng như thé nào khi độ âm tương đối

tang lúc nhiệt độ thực là 7 = 96”F? Đạo

hàm của hàm số khi #7 = 70% là tốc độthay đổi của J đối với H lúc H =70%

G'(70)= lim G(70+k)—G(70)

0 h

tim £96 70+8)- $06.70)

Bang cách lay h=5 va -5, chúng tatính xap xi G'(70) bằng cách sử dụng

Nó nói lên rằng, lúc nhiệt độ là 96°F và

độ âm tương đối là 70% chỉ số nhiệttăng khoảng 0,9°F cho mỗi phan tram

mà độ âm tương đối tăng

Trong trường hợp tong quát, nếu

ƒ là hàm số của hai biến x và y, giả sử

chúng ta chỉ xét biến x trong khi giữ y

cô định, y=?, trong đó b là hang số

Khi đó chúng ta thật ra đang xét hàm số của một biến x, tên tương tự g(x)= f(x.4) Nếu ø có đạo hàm tại

a, khi đó chúng ta gọi nó là đạo hàm

riêng của f đối với x tại (a,b) và kí

BÌr, (a.b) = Iim2 (4+ ®.b)~ f(a.b),kod h

Một cách tương tự, đạo hàm riêng của

f đôi với y tại (a,b) được kí hiệu bằngf,(a,b} là thu được bằng cách giữ x

cô định (x = a) và tìm đạo hàm thườngtại b của hàm số G(y)= ƒ (4a y):

Bf, (a:b) min 2+9)=/ A¬0 h 06),

Với kí hiệu này cho đạo hàm riêng,

chúng ta có thé viết tốc độ thay đối của

chi số nhiệt / đối với nhiệt độ thực 7

và độ âm tương đối lúc 7 =96°F và

H =70% như sau:

f(96,70)~3,75, ƒ„(96,70)~0,9.

Nếu chúng ta giả sử điểm (a,b) biến đồi

trong phương trình 2 và 3, f, và f, trở

thành hàm số của hai biến

Cách tiếp cận Kha vi và Vi phân

Không có phan nào nói về cách tiếp cận

Khả vi và Vi phân của ham nhiều biến.

Đối với Kha vi và Vi phân, S2 đã

lập luận bằng cách nhắc lại các kiến thức

và ý tưởng có trong hàm một biến đề liên

hệ với các kiến thức nay đối với ham

nhiều biến.

Một trong những ý tưởng quan

trọng trong giải tích hàm một biến là

chúng ta phóng to một điểm trên đồ thị

của hàm số có thể phân biệt được, đồ thị

trở nên không thé phân biệt được từ tiếptuyến của nó và chúng ta có thé xấp xi

hàm số bằng một hảm tuyến tính Ở đây, chúng ta phát triển ý tưởng tương tự trong không gian ba chiều Chúng ta có thê phóng to một điểm trên bề mặt la đồ thị của hàm số có thể phân biệt được của

hai biến, bề mặt của chúng sẽ trông như

mặt phẳng (mặt phăng tiếp tuyến) và chúng ta có thé xap xi hàm số bằng hàm

số tuyến tính của hai biến Chúng tađồng thời mở rộng ý tưởng vi phân ham

số của hai hay nhiều hơn hai biến

Đối với hàm số một biến khả ví,

£= ƒ(x,y), chúng ta xác định vi phân

dx là biến độc lập, đó là, dy có thé làbat kì số thực nào Vi phân của y được

Định nghĩa Đạo hàm riêng

Chúng ta định nghĩa đạo hàm riêng của

hàm f(x,y) theo biến x tại điểm

(%).¥o) như là đạo ham thưởng của

(3 W,) tại x = xạ.

Đạo hàm riêng theo biến x của hàm

z= f (x,y) tại điểm (x,, y,) là giới hạn

Hình 2.2 thé hiện mỗi liên hệ giữa số gia

Ay và vi phân dy: Ay thé hiện sự thayđôi độ cao của đường cong y= ƒ (x) và

dy thé hiện sự thay đôi của độ cao của

đường tiếp tuyến lúc x thay đôi một

lượng dx = Av.

Dinh nghia Dao ham riéng

Ham hai biếnNếu f là hàm số của hai biến, đạo hàmriêng của nó hàm số ƒ, và f, được xácđịnh bằng

f (my) = tim Sey),how h

Có nhiều kí hiệu thay thế cho đạo hàm

riêng Ví dụ, thay thế /, chúng ta có thẻ

ghi f, hoặc D,f (dé chỉ ra đạo hàm đối

; F ra] ê

với biên thứ nhat) hoặc LÃ Nhưng EiOx Ox

ở day không thé được giải thích là tỉ lệ

vi phân.

Kí hiệu của đạo hàm riêng:

Tương tự ta có dao ham riêng theo y

= lim for dot AY)— F(a Yo),

dyd Ay

Chú ý: đối với ham một biến ta đã biết,

nếu hàm có đạo hàm thì nó liên tục (tại

điểm khảo sát) Đối với hàm nhiều biến,

việc tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm

bảo sự liên tục của hàm số.

Ham số nhiều hon hai biến

Đạo hàm riêng cũng có thẻ được xác

định cho hàm ba hay nhiều hơn ba biến

Ví dụ, nêu ¢ là hàm số của ba biến x,

y và z, khi ay đạo hàm riêng với biến

x được xác định la

f(x»,z)

= tim tR»z)-fŒ y.z)

iw h

vả nó được tìm bằng cách đối với y và

z như là hang số và lay dao ham

f(xy,z) đối với biến x Nếu

w= ƒ(x.y.z), khiấy f, -# có thé

ox

được giải thích là ti lệ thay đổi của w

đôi với x khi y và z được giữ cố định,nhưng chúng ta không thẻ giải thích hìnhhọc bởi vi đồ thị của / nam trong không

gian bốn chiêu.

Trong trường hợp tông quát, nếu ư

là hảm so cla n bién,

w= ƒ(x,.x; x„), đạo ham riêng với

biến X; là

Đạo hàm riêng cấp caoĐạo ham riêng cap hai la đạo ham riêng

của đạo hàm riêng cấp một Giả sử xét

ham hai biến z= ƒ (x, y, ta có các đạo

hàm cấp hai sau:

Ví dụ: f(xy

Tuy vậy, néu các đạo ham hỗn hợp

liên tục thì chúng bằng nhau điều đó thê

hiện trong định ly Schwarz sau day.

Định lý (về đạo hàm hỗn hợp) Nếu hàm

f(xy) và các đạo hàm ƒƑ, fi fi",

fy

(xạ xạ} và liên tục tai (x.y, ) thì

if; (xạ ¥o) = fi (xu, Xa)

Hoàn toàn tương tự ta có các đạo hàm

xác định trong miền mở G chứa

những hàm số hai biển, nên chúng ta có

thé xét dao hàm riêng (ƒ,) (/,),

(/.) ` (, ) ma chúng được gọi là dao

hàm riêng cấp hai của f Nếu

z=ƒ (x, y), chúng ta sử dung các kí

hiệu sau:

al

là chúng ta lay đạo hàm với biến š sau

đó với biến y , ngược lại trong việc tính

fi thì theo thứ tự đảo ngược.

Vi dụ: Tim đạo hàm riêng cấp hai của

f(xy)=x`+a°y`-yŸ.

Dinh tý Clairaut

Of o( ef 8ƒ afes

a a 27 «a Pe eee A 2

Oxéy" Oy | Oxdy |} Axey y| ax

Hon nữa, nếu chúng liên tục thì lấy

đạo hàm hỗn hợp không phụ thuộc vào

thứ tự các biển.

_ Định nghĩa Hàm khả vi và vi phân _

Cho (x„ y„) là điểm trong của

miền xác định D, của ham số f(x,y)

cho các số gia Ax, Ay sao cho

(x,+Axy,+Ay)<D, Số gia toàn

phần của f(x,y) tại điểm (xạ vụ} là đại

lượng sau

AF (Yo) =F (% FAX yu+Ay)— f(y 9)

Ham f(x,y) được gọi là kha vitại điểm (x,,¥,) nếu số gia toản phan

Af (x„ vạ„} có thé biểu diễn được ở dang

Af (x.y) ) = AAv + BAy + a@Ax + BAy ,

ở đây A,B là các hang số, a, 8 > 0 khi

Ax, Ay >0.

D mà chứa điểm (a,b) Nếu hàm số

Ff, và f,, liên tục trên D , khi đó

Định nghĩa Hàm khả vi và vi phân

Khả vi

Chúng ta đã chứng minh rằng f khả vi

tại @ , khi đó

i] Ay = f (a+ Ax)— f(a).

Bay giờ chúng ta xét một ham số của haibiến, z= f(x,y), và giả sử x thay đôi

từ a đến a+Av và y thay đôi từ b đến

b+Ay Khi đó số gia tương ứng của :

là

id Az = ƒ(a+Ax,b+Ay)

Do đó, số gia Az biểu hiện sự thay đôi

trong giá trị f lúc (x,y) thay đôi từ

(a,b) đến (œ+Ax.b+Ay) Bằng sự

tương tự với (Š) chúng ta xác định sự khả

vi của một hàm số hai biển như sau.

Cho hàm z= f(x,y), hàm ƒ khả vi tại

(a,b) nếu Az có thé biêu diễn được ở

dạng

Khi ay đại lượng AAv+ BAy được

gọi là vi phân của ham f (x,y) và được

kí hiệu df (xạ xạ).

Biéu thức vô cùng bé œAx + BAy có thé

biểu diễn ở dang khác nhau nhờ khoảng

cách p= Jar +Ay” như sau

aan psy =| a+ pp = op

Pp Pp

(#0),

Ay Ay

Vậy biéu thức ở định nghĩa có thé được

viết như sau

AF (Xu ¥)) = AAx + BAy +0(p),

0() là VCB cấp cao hơn p(= #9)

Điều kiện cần khả vi

Định lý: Nếu hàm số ƒ (x,y) khả vi tai

(Xs ¥) thi nó liên tục tại diém đó.

Định lý: Nếu ƒ (x,y) kha vi tại (x y,

thì nó có các đạo hàm riêng tại ( xụ vụ}

và chúng tương ứng bằng A, B trong

biéu thức của định nghĩa.

Điều kiện đủ khả vi

Định lý: Cho f (x, y) xac dinh trong

miền mở chứa điểm (x„.y„} và các đạo

17

Az

= f, (a,b) Av+ f, (a,b) Ay + e,Av+ ,Ay

ở đây, z,.£; > 0 khi (Ax, Ay) > (0,0).

Định nghĩa trên nói rằng ham số khả vi

là một trong những hàm tuyến tính hóa

là xấp xi tốt lúc (x,y) gần (a,b) Nói

cách khác, mặt phăng tiếp tuyến gầnđúng đô thị của £ gần tiếp điểm

Đôi khi khó khăn sử dụng định nghĩa trên dé kiểm tra chính xác sự khả vi của

một hàm số, nhưng định lý sau đây sẽcung cấp điều kiện đủ cho sự khả vi

Định lý: Nếu đạo hàm riêng f, và ƒ,tồn tai gan (a,b) và là liên tục tại (a,b)thì ƒ là khả vi tai (a,b)

Vi phân Đối với vi phân của hàm hai biến,

z= f(x,y), chúng ta xác định vi phân

dx va dy là những biến độc lập, đó là,chúng có thê nhận bat kì giá trị nào Khi

đó vi phân dz, còn được gọi là vi phân

toàn phần, được xác định bằng

c= f,(x.y)dx+ f(x.y)@y

= 2a + Say.

ox éy

Nếu chúng ta lay dv=Ayv=x-a va

dy = Ay = y—b trong phương trình trên,

vi phân của z là

đz = ƒ,(x.yÌ(x—a)+ f,(x.y)(x—P).

Nên trong kí hiệu của vi phân, gần đúng

tuyến tính có thé được viet

f(x.y)= f(a,b)+đ:.

hàm riêng f’, ƒ7 liên tục tai (x, y,) thì | Hình 2.3 là không gian ba chiêu bản sao

hàm f(x,y) khả vi tại (a) của Bink 2.3 va giải auch hinh học Mã

của vi phân dz và sô gia Az: dz thê hiện

sự thay đổi độ cao của mặt phăng tiếptuyến trong khi Az thê hiện sự thay đôi

độ cao của bẻ mặt z = ƒ (x,y) lúc (x,y)thay đổi từ (a,b) đến (a + Ax,b+ Ay),

Các tính chất của vi phân

Bay giờ giả sử f(x,y) và g(x,y)

thỏa mãn điều kiện khả vi, rõ rang khi ay

Vi phân cấp cao

Ban thân df (x, y) cũng là một hàm số của các biến x, y:

đf(x.y)= f/(x.y)dx+ f (x.y)4y.

và nêu df (x, y) có dao ham liên tục

(chỉ cần ham số f (x, y) có các đạo ham

riêng cấp hai liên tục), thì có thể về vi

phân của nó d(df(x,y)) ta gọi là vi

phân cấp hai của f(x,y) va ký hiệu

ad? f(x,y) Vậy

os E= Oxéy oy" oF ae OL tripe CL ay

Các công thức vi phân trên có thé viết

dưới dang sau

ê é

df =| —dx+—dy

Ox

19

Sau khi bình phương theo các quy tắc

thông thường thì £ được viết vào tử số

= AAv+ BAy + CAz + @Ax+ PAy + pz,

với a, B,y > 0 khi Áx,Ay,Az 30,

Vi phân hàm nhiều hơn hai biến

Khả vi, vi phân có thê được xác định theo cách tương tự cho hàm số nhiều hơn

hai biến Hàm số khả vi được xác địnhnhư biêu thức của hàm số khả vi của hàmhai biến

Nếu w= ƒ (x,y,z), khi đó số gia của w

là

Aw

= f(X+Avy+Ay,z+Az)— ƒ(x.v.£).

Vi phân dw được xác định với các số

hạng của vi phân dx, dy và dz của biến

độc lập

ow ow ow

dw = —dx +—dy + —dz

ox ; Oz

Không có phần nào trình bày phương

pháp tính đạo hàm riêng của hàm nhiều

Ngoài ra, khi / thay đổi trong

khoảng (£,.f;} thi (x,y} luôn thuộc D

Khi ay z=/[x(£).y(2)| là ham hợp

biến /, xác định trong khoảng ((,.f;}.

Định lý: Nêu z= f (x,y) khả vi trong

Tinh đạo hàm riêng phi

Đạo hàm riêng đối với x là đạo hàm

thường của hàm số g của một hàm số

một biến khi ta giữ cỗ định y Do đó,chúng ta quy tắc sau

1 Đề tìm f,, coi như y là hang số vàlấy đạo hàm đối với biển x

2 Dé tìm f,, coi như y là hằng số vàlấy đạo hàm đối với biến y

Quy tắc dây chuyền (Quy tắc đạo

hàm riêng của hàm hợp)

Nhắc lại Quy tắc dây chuyền của hàm sốmột biến đưa ra quy tắc đề lấy đạo hàmcủa hàm hợp: Nếu y=f(x) và

vi thì w là hàm khả vi gián tiếp của r

và

dy _ dy dx

dt dxdt"

Đối với hàm số nhiều biến, Quy tắc day

chuyền có vải phiên bản, mỗi phiên bảnđưa ra quy tắc lây đạo ham của ham hợp.Phiên bản dau tiên giải quyết trường hợp

z= ƒ(x,y) và lần lượt mỗi biến x và

y la ham số một biến của biển f, nghĩa

là z là hàm số của f một cách gián tiếp,

z= f(&(r).h(r)) và theo Quy tắc đạo

ham của hàm hợp đưa ra công thức dé

Chứng mình

Ta chứng minh công thức trên tại một

điểm bat kì t, €((,.!; ) Cho x, = x(£,)

„ Yo = Y(t) Cho %y một số gia Ar thì

Nps Yq sẽ có các số gia Ax, Ay và khi ay

zy =f (xu Yq) cũng có một số gia Az.

Vì hàm z= f(x,y) khả vi tại (xạ yạ)

Cho At—>0, ta có vine U,

Hon nữa khi ấy

Chứng minh: Sự thay đôi của At trong

t dẫn đến sự thay đôi của Av trong x

và Ay trong y Do đó, dẫn đến sự thayđôi của Az trong z và theo định nghĩa

là các hàm của hàm hai biến

x=x(w.v) y=y(u,) Cho các hàm

x, y, z khả vi tại các điểm tương ứng.

Như vậy z là hàm hợp của ham hai biến

u v và vì quá trình lay đạo hàm riêng ta

luôn cổ định một biến, cho nên thực chat

ta lại quay về trường hợp đã xét Vậy ta

Bởi vì chúng ta thường viết = thay thé=

cho a „ chúng ta có thê viet lai Quy tac

0.2 L/s.

Bây giờ, chúng ta xem xét trường

hợp trong đó z= f(x,y) nhưng lần

lượt x và y là hàm số hai biến s và 1:

x=g(s.) y=h(s,t) Lúc này, z là

hàm số của š và một cách gián tiếp và

Trường hợp 2 của Quy tắc đạo

hàm của ham hợp gồm ba loại biến số:

s và r là biến độc lập, x và y là biến

trung gian và z là biến phụ thuộc.Chúng ta chú ý rằng định lý 3 có một sốhạng biến trung gian và lần lượt từng sốhạng giống như vào một thứ nguyên quy

Hình 2.4 Sơ đồ cây : đến biến trung

Bây giờ chúng ta xét trường hợp

tông quát trong đó biên phụ thuộc u là

ham số của n biến gián tiếp 3;1;s X,lan lượt chúng là hàm số của m biến độc

lập f,.f; f,„ Chú ý rằng có n số hạng

mà đối với mỗi biến gián tiếp Chứng

minh tương tự trong Trường hợp |.

Quy tắc day chuyên (Tổng quát): Gia sử

u là hàm khả vi của œ biến X,;Ä;, ,

xe(%,—£.x„+£), tồn tại duy nhất một

thiết rằng với mọi

giá trị ÿ sao cho (x, y)e D và

F (x, y) =0 Nhu vay ta xác định ham

SỐ y= y(x) xác định trong khoảng

Ví du: Viết Quy tắc đây chuyền cho

trường hợp trong đó w= ƒ(x, y,z,f} và

Ví dụ: Nếu f (x, y) có đạo ham

riêng cấp hai liên tục và x=r? +57 và

Quy tắc đạo ham của hàm hợp có thé

được dùng để miêu tả hoàn thiện hơn

"

qua trinh dao ham cua ham an đã được giới thiệu trước đó Chúng ta giả sử răng

phương trình có dang F(x,y)=0 xác

định y hoàn toàn như một hàm số khả

vi của x do đó, y=f(x), trong đó

F(x, f(x))=0 với mọi x trong miễn

xác định của f Nếu F là khả vi, chúng

ta có thé áp dụng Trường hợp 1 của Quy

ox’ lê `

AFL» >

ey #0,thì phương trình F(x, y)=0, xác định

trong một lân cận U (x, - ổ,x„ + ở} của

Xạ, một hàm số y=y(x) sao cho

yạ„= y(x,) và F(x.y(x))=0 trong lân

cận đó của xX¿ Hơn nữa, hàm số

y= y(x) kha vi liên tục (tức đạo ham

Định lý đạo ham của ham ân được chứng minh trong giải tích nâng cao, đưa ra

những điều kiện dưới đây là những giả

định hợp lý: # xác định trên hình tròn

chứa (a,b), trong đó Ƒ(a,b)=0,

F,(a,b)#0 F, và F, liên tục trên hình

tròn, phương trình F(x, y)=0 xác định

y là hảm số theo x gần điểm (a,b) va

vi phân của hàm số này được xác định bởi Phương trình 6.

Dua ví du

Vi dụ: Tìm y’ nêu Y+ vì =6Jy.

Ham ẩn nhiều biến

Bây giờ giả thiết rằng z là được

coi như ẩn hoàn toàn như hàm số

£= ƒ(x,y} bởi phương trình của dang

xy’ +2x 'y+3x' -y—1=0.

Ham ẩn nhiều biến

Từ phương trình F(x,y,z)=0 có the

xác định một ham ân z=z(x.y} với

điều kiện sau

Định lý: Cho hàm F (x,y,z) thỏa điều

kiện

1) Xác định liên tục trong hình cầu mở

B(M,«) tâm tại Äf (x„, yụ.z„} bán kính

¬ y): NI: (x-x,) Tran y <6}

của điềm (x› xạ), một hàm hai biến

phương trình (+, y,z)}=Ũ như sau:

Lan nữa, một phiên bản của định lý của

hàm an đặt điều kiện dưới mà giải định

Ro va hàm số nay kha vi, với đạo ham riêng

ALF, = 0) : phần như phương trình 7.

có nghiệm x=%,, V=ÿyụ,, “HU.

w=,, ngoài ra trong lân cận điểm

P,(Xạ.Wạ.wa„vạ}) của các hàm F và G

có các đạo hàm riêng cấp một liên tục và

định lý Jacobi khác 0 tại Py

v=v(x,y) có đạo hàm riêng liên tục và

thỏa điều kiện:

th =1 HD; vụ ) ` Vy = v(x, *ạ ) :

Dé tìm các vi phân du, dv cũng

như các dao ham riêng, ta lay vi phan

toàn phan của các ham F, G, rồi giải

Hãy tính du, dv, d°u, d’v.

Dao ham có hướng

Như đã biết, đạo hàm riêng

ƒƑ(%y.Ya) và / (3y xạ) đặc trưng cho

tốc độ thay đổi của hàm số f(x,y) theo

hướng trục Ox và Oy Dé đo lường tốc

độ thay đối của hàm số f(x,y) theo

một hướng khác, chúng ta cần đến khái

niệm tông quát hơn đạo hàm riêng — đó

là đạo hàm theo hướng.

Định nghĩa: Cho =u +u,j là một

vector đơn vị Đạo hàm của hàm số

f (x, y) theo hướng # tại (Xa lạ) được

nhiệt độ T (x,y) cho Bang California và

Nevada lúc 15:00 một ngày nao đó trong

tháng Mười Đường đồng mức, hoặcđường đăng nhiệt — là đường tập hợp nỗicác địa điểm nhiệt độ giống nhau Đạo