(Luận văn) biên soạn hệ thống lý thuyết và bài tập phần đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến cho giáo trình giải tích 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ NGUYỄN VĂN DŨNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP lu an n va p ie gh tn to BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH oa nl w d Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ TP Hồ Chí Minh, năm 2019 an Lu n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ lu BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH an n va p ie gh tn to nl w d oa Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng nf va an lu Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Lê Anh z at nh oi lm ul z m co l gm @ TP Hồ Chí Minh, năm 2019 an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Từ ngày đầu thực đến hồn thành khóa luận tốt nghiệp, trình cố gắng học tập trưởng thành lên ngày thân em Tuy nhiên thực tế khơng có thành cơng mà không gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ, dù hay nhiều, dù gián tiếp hay trực tiếp người khác Vì vậy, xin cho phép em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến: − Quý thầy cô giảng viên khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm, nhiệt huyết với nghề cho em suốt trình học tập trường − Thầy ThS Nguyễn Lê Anh, giảng viên trực tiếp hướng dẫn, hỗ trợ, dìu dắt lu em thực khóa luận tốt nghiệp Thầy - với kinh nghiệm, nhiệt huyết lịng u nghề - tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ động viên lúc an n va tn to em khó khăn; tạo điều kiện thuận lợi cho em nghiên cứu phát triển Hơn hết, em cảm nhận quan tâm, dạy dỗ ân cần tận tâm từ thầy Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè sát cánh, p ie gh giúp đỡ, động viên em suốt trình học tập hồn thành khóa luận tốt nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019 d oa nl w Sinh viên lu nf va an Nguyễn Văn Dũng z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1 Các dạng tập kĩ thuật giải tương ứng S1 S2 63 Bảng 2.2 Số lượng tập S1 S2 63 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 2.1 Giá trị số nhiệt [8] Hình 2.2 Mối liên hệ số gia y vi phân dy [8] 13 Hình 2.3 Mối liên hệ số gia z vi phân dz [8] 18 Hình 2.4 Sơ đồ [8] 25 Hình 2.5 Đường cong  ( x, y ) = [3] 50 Hình 2.6 Biểu đồ nhiệt độ Bang Hoa Kỳ [8] 30 Hình 2.7 Vector đơn vị u [8] 31 Hình 2.8 Mặt cong S cắt mặt phẳng thẳng đứng theo hướng vector u [8] 32 lu Hình 2.9 Đồ thị hàm số f có cực trị [8] 40 an 2 Hình 2.10 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x − y [8] 42 va n Hình 2.11 Dốc núi có hình n ngựa [8] 43 tn to Hình 2.12 Các dạng tập hợp [8] 46 p ie gh Hình 2.13 Đường đồng mức f ( x, y ) g ( x, y ) = k [8] 49 Hình 2.14 Giao tuyến C vector gradient P [8] 53 nl w Hình 2.15 Mặt phẳng tiếp tuyến với S P vector gradient P [8] 57 d oa Hình 2.16 Đường tiếp tuyến T1 T2 với mặt cong P [8] 59 nf va an lu Hình 2.17 Đồ thị hàm số z = x2 + y mặt phẳng tiếp tuyến (1,1,3) [8] 61 Hình 2.18 Đường đồng mức hàm số z = 2x + y [8] 61 2 lm ul Hình 3.1 Ý nghĩa đạo hàm riêng 74 z at nh oi Hình 3.2 Hình tam giác 75 Hình 3.3 Mặt phẳng tiếp tuyến gồm hai đường thẳng tiếp tuyến T1 T2 88 z Hình 3.4 Đồ thị hàm số z = x + y + mặt pẳng tuyến tuyến điểm ( 2,1, ) @ gm 91 co l Hình 3.5 Đồ thị hàm số z = x2 + xy + y mặt phẳng tiếp tuyến điểm (1,0,1) m 91 an Lu Hình 3.6 Đồ thi hàm số 96 Hình 3.7 Đồ thị thể mối liên hệ dy y 99 n va ac th si Hình 3.8 Sơ đồ mạch điện 103 Hình 3.9 Sơ đồ 115 Hình 3.10 Sơ đồ 118 Hình 3.11 Sơ đồ 119 Hình 3.12 Sơ đồ 120 Hình 3.13 Sơ đồ 121 Hình 3.14 Sơ đồ 123 Hình 3.15 Mặt phẳng tiếp tuyến P [8] 135 Hình 3.16 Vector đơn vị u = + bj 136 Hình 3.17 Vector gradient đường đồng mức 151 lu Hình 3.18 Đồ thị hàm số z = cos xy 160 an n va Hình 3.19 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x + y − x − y + 160 tn to Hình 3.20 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = − x − y 160 ie gh Hình 3.21 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x − y 161 p Hình 3.22 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = 3x + xy + y − x + y 162 oa nl w Hình 3.23 Đồ thị hàm số z = f ( x, y ) = x − x + y + xy 163 d Hình 3.24 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x + xy + y 166 lu nf va an Hình 3.25 Đồ thị hàm số z = x5 + y3 + y − 5x2 166 Hình 3.26 Đồ thị hàm số z = xy + x − y 167 lm ul Hình 3.27 Ứng dụng khớp hàm 170 z at nh oi Hình 3.28 Miền xác định D 174 Hình 3.29 Khoảng cách từ gốc tọa đô 183 Hình 3.30 Khoảng cách từ gốc tọa độ 186 z @ Hình 3.31 Các đường đồng mức 187 m co l gm Hình 3.32 Giao tuyến g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = 194 an Lu n va ac th si MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Khách thể đối tượng nghiên cứu Giải thiết khoa học Giới hạn nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM lu an n va Giáo trình phân tích 1.2 Câu hỏi nghiên cứu 1.3 Nội dung Đề cương chi tiết học phần Giải tích gh tn to 1.1 Cấu trúc nội dung p ie 1.4 PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN w Chương Phần lý thuyết d 2.1 oa nl CỦA HÀM NHIỀU BIẾN lu nf va an 2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến 2.1.2 Định nghĩa tính chất Đạo hàm riêng Vi phân hàm nhiều lm ul biến 13 z at nh oi 2.1.3 Các phương pháp tính đạo hàm riêng phân 21 2.1.4 Ứng dụng đạo hàm riêng 30 z gm @ 2.2 Phần tập 62 2.3 Một vài kết luận 64 l VIẾT MẪU PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 67 3.1 Đạo hàm riêng 68 m co Chương an Lu n va ac th si 3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 71 3.1.1.1 Định nghĩa 71 3.1.1.2 Một số kí hiệu đạo hàm riêng 71 3.1.1.3 Quy tắc tìm đạo hàm riêng 72 3.1.1.4 Ý nghĩa đạo hàm riêng cấp 74 3.1.2 Đạo hàm riêng cấp hàm số nhiều hai biến 76 3.1.3 Đạo hàm cấp cao 77 3.1.3.1 Định nghĩa 78 lu 3.1.3.2 Định lý Clairaut 81 an 3.1.4 Bài tập 84 n va Khả vi vi phân 87 3.2.1 Mặt phẳng tiếp tuyến phép tính gần tuyến tính 88 3.2.1.1 Mặt phẳng tiếp tuyến 88 p ie gh tn to 3.2 nl w 3.2.1.2 Phép tính tuyến tính gần 92 d oa 3.2.2 Khả vi 96 an lu 3.2.2.1 Định nghĩa 97 nf va 3.2.2.2 Điều kiện đủ khả vi 98 lm ul 3.2.2.3 Hệ hàm khả vi 99 z at nh oi 3.2.3 Vi phân 99 3.2.3.1 Vi phân cấp 99 z 3.2.3.2 Vi phân cấp cao 104 @ l gm 3.2.4 Hàm ba biến nhiều ba biến 106 3.2.5 Bài tập 108 co Quy tắc dây chuyền 113 m 3.3 an Lu 3.3.1 Quy tắc dây chuyền (Đạo hàm riêng hàm hợp) 114 n va ac th si 3.3.1.1 Đạo hàm riêng hàm hợp hai biến 114 3.3.1.2 Đạo hàm riêng hàm hợp tổng quát 119 3.3.2 Đạo hàm hàm ẩn 121 3.3.2.1 Đạo hàm hàm ẩn biến 121 3.3.2.2 Đạo hàm riêng hàm ẩn nhiều biến 123 3.3.2.3 Đạo hàm riêng hệ hàm ẩn 128 3.3.3 Bài tập 132 Đạo hàm có hướng vector gradient 135 3.4 lu 3.4.1 Đạo hàm theo hướng 136 an 3.4.1.1 Định nghĩa 137 va n 3.4.1.2 Định lý 139 3.4.2.1 Định nghĩa 143 p ie gh tn to 3.4.2 Vector Gradient 143 nl w 3.4.2.2 Tính chất 145 d oa 3.4.2.3 Ứng dụng Gradient 146 an lu 3.4.2.4 Ý nghĩa hình học vector gradient 150 nf va 3.4.3 Đối với hàm ba biến 152 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 158 z at nh oi 3.5 lm ul 3.4.4 Bài tập 155 3.5.1 Cực trị hàm hai biến 159 z 3.5.1.1 Định nghĩa cực trị địa phương hàm hai biến 159 @ gm 3.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị 161 co l 3.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị 163 m 3.5.2 Cực trị tuyệt đối cực trị tuyệt đối vùng đóng bị chặn 173 an Lu 3.5.3 Cực trị hàm ba biến 176 n va ac th si 3.5.4 Bài tập 179 Phương pháp nhân tử lagrange 182 3.6 3.6.1 Nhân tử Lagrange với ràng buộc 182 3.6.1.1 Phương pháp nhân tử Lagrange – Điều kiện cần cực trị có điều kiện 185 3.6.1.2 Điều kiện đủ cực trị có điều kiện 185 3.6.2 Nhân tử Lagrange với hai ràng buộc 192 3.6.3 Bài tập 196 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 199 lu an TÀI LIỆU THAM KHẢO 200 n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 186 f ( x, y , z ) cực trị hàm số với ràng buộc g ( x, y, z ) = Do đó, theo phần 5, đưa điều kiện đủ cực trị có điều kiện trình bày bảng Điều kiện đủ để có cực trị Giả sử ( x0 , y0 , z0 ) điểm tới hạn f ( x, y, z ) với ràng buộc g ( x, y, z ) = Khi ( x0 , y0 , z0 ) điểm tới hạn L ( x, y, z ) khơng có điều kiện Trường hợp 1: Nếu d L ( x0 , y0 , z0 )  ( x0 , y0 , z0 ) cực tiểu địa phương L ( x, y, z ) lu an Trường hợp 2: Nếu d L ( x0 , y0 , z0 )  ( x0 , y0 , z0 ) n va cực đại địa phương L ( x, y, z ) tn to Trường hợp 3: Nếu d L ( x0 , y0 , z0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) gh cực đại hay cực tiểu địa phương p ie L ( x, y , z ) Tìm cực trị có điều kiện d oa nl w Ví dụ 1: nf va an lu Giải lại toán đầu đầu phần Tìm khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến bề mặt S : x2 − z + x + z − = GIẢI z at nh oi lm ul Khoảng cách từ điểm A ( x, y, z ) đến gốc tọa độ d = x2 + y + z , Để thu khoảng cách ngắn nhất, ta xét hàm số z f ( x, y , z ) = x + y + z , gm g ( x, y, z ) = x − z + x + z − m Hàm số Lagrange co l Hình 3.30 Khoảng cách từ gốc tọa độ @ với ràng buộc an Lu n va ac th si 187 8  L ( x, y , z ) = x + y + z +   x − z + x + z −  9  = x (1 +  ) + y + z (1 −  ) + x + z −  Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z  thỏa phương trình  Lx ( x, y, z ) =   Ly ( x, y , z ) =   Lz ( x, y, z ) =  g x, y , z = )  ( lu 2 x (1 +  ) +  =  2 y =  2 z (1 −  ) +  =   x2 − z + x + z −  an n va ie gh tn to −   x = (  + 1)  y =   − z = 1−  ( )  =0  x − z + x + z − =  p Thế x , y z g ( x, y, z ) = , thu nl w phương trình d oa 2 2   − − − − =0 2 (  + 1) (1 −  ) (  + 1) (1 −  ) nf va an lu   − 2 +  + =   = −     −1,519 z at nh oi lm ul Trường hợp 1:  = − z 1 1 d L  ,0,  = dx + 2dy + 3dz  , 2 6 l gm @ Hình 3.31 Các đường đồng mức 1 nên x = , y = , z = m co 10 1 1 nên điểm  ,0,  cực tiểu địa phương d = 2 6 z  0,302 an Lu Trường hợp 2:   −1,519 nên x  −1, 46 , y = , n va ac th si 188 d L ( −1, 46;0;0,302 ) nên điểm −1,038dx + 2dy − 5,038dz , ( −1, 46;0;0,302 ) cực trị địa phương 1 1 Vậy điểm  ,0,  nằm S : x − z + x + y − = 2 6 điểm gần gốc tọa độ khoảng cách nhỏ d = 10 Tìm cực trị có điều kiện Ví dụ 2: Tìm cực trị lu f ( x, y ) = x + y + xy , an với ràng buộc x2 + y = va n GIẢI Ta có ràng buộc to gh tn g ( x, y ) = x + y − = ie Hàm Lagrange p L ( x, y, z ) = x + y + xy +  ( x + y − ) oa nl w = x (1 +  ) + y (1 +  ) + xy − 2 d Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z 2 x (1 +  ) + y =  x −  x (1 +  )(1 +  ) =    x + y (1 +  ) =   y = −2 x (1 +  )   2 x + y − = x + y − = nf va an lu  thỏa phương trình z at nh oi lm ul Do ( 0,0 ) không thỏa ràng buộc g ( x, y ) = nên x − x (1 +  )(1 +  ) = z  −4 − 8 − = @ m co Trường hợp 1:  = −1 l gm  = −1   = −3 an Lu Ta có x = − y , vào ràng buộc ta n va ac th si 189 x = − y  2 x + y − = x = − y   x = 1 , x =  x = −1  v   y = −1 y =1 , nên ta có điểm (1, −1) ( −1,1) điểm tới hạn f ( x, y ) với ràng buộc g ( x, y ) = Bên cạnh đó, dg (1, −1) = 2dx − 2dy =  dx = dy dx2 + dy  nên lu d L (1, −1) = d ( −1,1) = dx + 2dxdy + dy an va = 4dy  , n nên điểm (1, −1) ( −1,1) cực tiểu địa phương, to gh tn giá trị cực tiểu fCT (1, −1) = fCT ( −1,1) = ie Trường hợp 2:  = −3 p Ta có x = y , vào ràng buộc ta d oa nl w x = y  2 x + y − = x = y   x = 1 nf va an lu , lm ul x =  x = −1  v  y =1  y = −1 , z at nh oi nên ta có điểm (1,1) ( −1, −1) điểm tới hạn f ( x, y ) với ràng buộc g ( x, y ) = Bên cạnh z dg (1,1) = 2dx + 2dy =  dx = −dy dx2 + dy  nên gm @ ( −1, −1) = −dx + 2dxdy − dy l d L (1,1) = d co = −4dy  , m nên điểm (1,1) ( −1, −1) cực đại địa phương, giá an Lu trị cực tiểu fCĐ (1,1) = fCĐ (1,1) = n va ac th si 190 Vậy f ( x, y ) với ràng buộc g ( x, y ) = có giá trị lớn (1,1) ( −1, −1) giá trị nhỏ (1, −1) ( −1,1) Tìm cực trị nhiệt độ Ví dụ 3: ( x, y, z ) Nhiệt độ Celsius điểm mặt cầu x2 + y + z = có dạng T ( x, y ) = 200 xyz , tìm nhiệt độ cao thấp mặt cầu này.[10] GIẢI Ta có ràng buộc lu g ( x, y , z ) = x + y + z − = an va Hàm Lagrange n L ( x, y, z ) = 200 xyz +  ( x2 + y + z − 3) tn to gh Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z p ie  thỏa phương trình sau d oa nl w nf va an lu  Lx ( x, y, z ) =  2 x + 200 yz =   2 y + 200 xz =  Ly ( x, y , z ) =     Lz ( x, y, z ) =  2 z + 200 xy = 2  g x, y , z =  x + y + z − = )  ( Nhận xét: x = , y = , z = nghiệm lm ul phương trình khơng thỏa g ( x, y, z ) = Với xyz  , ta dễ dàng nhận thấy z at nh oi x= y=z Thế x = y = z vào g ( x, y, z ) = ta z x = y = z x = y = z  x = y = z = −1    2  x = 1 x = y = z = x + y + z − = gm @ m với ràng buộc g ( x, y, z ) = co l nên điểm (1,1,1) ( −1, −1, −1) điểm tới hạn T an Lu Trường hợp 1: Điểm (1,1,1)  = −100 n va Ta có: dg (1,1,1) = 2dx + 2dy + 2dz = , nên ta thu ac th si 191 d L (1,1,1) = −200 ( dx + dy + dz − 2dx − 2dy − 2dz ) = −200 ( dx + dy + dz )  0, nên điểm (1,1,1) cực đại T với ràng buộc g ( x, y, z ) = giá trị cực đại TCÐ = 200 13 = 200 Trường hợp 2: Điểm ( −1, −1, −1)  = 100 Ta có dg ( −1, −1, −1) = −2dx − 2dy − 2dz = , nên ta thu d L (1,1,1) = 200 ( dx + dy + dz − 2dx − 2dy − 2dz ) = 200 ( dx + dy + dz )  0, lu nên điểm ( −1, −1, −1) cực tiểu T với ràng buộc an n va g ( x, y , z ) = giá trị đại cực TCT = 200  ( −1) = −200 tn to Tìm cực trị có điều kiện ie gh Ví dụ 4: p Cho ba có tự nhiên x , y , z khác với w x + y + z = 12 d oa nl Hỏi f ( x, y , z ) = x yz lớn bao nhiêu? g ( x, y, z ) = x + y + z − 12 = nf va an lu GIẢI Ta có ràng buộc L ( x, y, z ) = x yz −  ( x + y + z − 12 ) z at nh oi lm ul Hàm Lagrange Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z  thỏa phương trình sau z m co l gm @ an Lu n va ac th si 192  3x yz +  =  x3 z +  =    x yz +  = x + y + z − =   = − x z  = −3456  x = x = 3y    z = y y =  x + y + z − 12 =  z = Nên điểm ( 6, 2, ) điểm tới hạn f ( x, y, z ) với ràng buộc g ( x, y, z ) = Vì chất vấn đề phải có giá lu trị lớn nên ( 6, 2, ) điểm cực đại f ( x, y, z ) an với ràng buộc g ( x, y, z ) = Giá trị lớn va n 63   42 = 6912 gh tn to 3.6.2 Nhân tử Lagrange với hai ràng buộc ie Bây giờ, vấn đề đặt cho tìm giá trị lớn nhất, p giá trị nhỏ f ( x, y, z ) không với ràng g ( x, y , z ) = nl w buộc mà đến hai ràng buộc d oa h ( x, y, z ) = Chúng sẽ tìm hiểu tiếp tục phương Giả sử, muốn tìm giá trị cực đại cực tiểu nf va an lu pháp tìm cực trị f ( x, y, z ) với hai ràng buộc lm ul hàm số f ( x, y, z ) với hai ràng buộc g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = z at nh oi Gọi C đường cong giao điểm hai ràng buộc g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = Ta giả sử điểm z A ( x0 , y0 , z0 ) nằm C điểm cực trị f ( x, y, z ) @ gm Chúng ta chứng minh f ( x0 , y0 , z0 ) vng góc co l với vector tiếp tuyến r  ( t0 ) theo đường cong C Bên m cạnh đó, g ( x0 , y0 , z0 ) h ( x0 , y0 , z0 ) đồng thời an Lu vng góc với vector tiếp tuyến r  ( t0 ) theo đường cong n va ac th si 193 C Điều chứng ba vector gradient f ( x0 , y0 , z0 ) , g ( x0 , y0 , z0 ) , h ( x0 , y0 , z0 ) nằm mặt phẳng Và g ( x0 , y0 , z0 ) h ( x0 , y0 , z0 ) khác không chúng không song song với nhau, biểu diễn f ( x0 , y0 , z0 ) theo hai vector lại A ( x0 , y0 , z0 ) f ( x0 , y0 , z0 ) = −g ( x0 , y0 , z0 ) − h ( x0 , y0 , z0 ) , với   nhân tử Lagrange Bằng cách lập luận mục 6.1, có lu phương pháp nhân tử Lagrange cho cực trị hàm số với hai ràng buộc tương tự trình bày 6.1 Lúc đó, giá trị x , y , z ,   thỏa an va n  Lx ( x, y, z ) =  L ( x, y, z ) =  L y ( x, y , z ) =    g ( x, y, z ) =   Lz ( x, y, z ) =    h ( x, y , z ) =  g ( x, y , z ) =  h ( x, y , z ) =  p ie gh tn to nl w oa với hàm Lagrange lúc d L ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) +  g ( x, y, z ) +  h ( x, y, z ) Tìm cực trị có ràng buộc nf va an lu Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số lm ul f ( x, y, z ) = x + y + z , GIẢI z at nh oi với hai ràng buộc x + y = x + z = Ta có ràng buộc sau z g ( x, y, z ) = x + y − = h ( x, y, z ) = x + z − = , gm @ Hàm Lagrange co l L ( x, y, z ) = x + y + z +  ( x + y − 1) +  ( x + z − 2) m Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z an Lu ,   thỏa phương trình sau n va ac th si 194 lu 2 x + +  =  = −1   1 +  = 2 x =    2 z + = 2 z + = x + y −1 = x + y =    x + z − =  x + z =   x =  = −1   y =1 x =    x + y =  z =    = −1  = −  2z    x2 + z =  = 2   an ( Nên 0,1, va n f ( x, y , z ) ) ( 0,1, − ) điểm tới hạn g ( x, y , z ) = với hai ràng buộc to tn h ( x, y, z ) = gh ( ( ) ) p ie Giá trị f 0,1, = + f 0,1, − = − với hai ràng buộc g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = có giá trị cực đại oa nl w ( ) f ( 0,1, − ) = − f 0,1, = + d có giá trị cực tiểu nf va an lu Tìm giá trị cực tiểu lm ul Ví dụ 7: f ( x, y , z ) Vì vậy, hàm số Tìm khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến đường cong GIẢI z at nh oi giao tuyến x + z = x + y + z = Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm A ( x, y, z ) z gm @ d = x2 + y + z , l với điểm A ( x, y, z ) nằm giao tuyến hai mặt cong h ( x, y, z ) = x + y + z − = an Lu Hình 3.32 Giao tuyến g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = m co g ( x, y , z ) = x + z − = n va ac th si 195 Để tìm khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến điểm A ( x, y, z ) xét hàm số sau f ( x, y , z ) = x + y + z Xét hàm số Lagrange L ( x, y, z ) = x2 + y + z +  ( x2 + z − 2) +  ( x + y + z − 4) Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z , ,   thỏa phương trình sau lu 2 x (  + 1) +  =  2 y + 2 =  2 z (  + 1) +  =  2 x + z − =  x + y + z − =  x = z = −  (  + 1)   y = −  2 x + z = x + y + z =  an n va p ie gh tn to d oa nl w x = z =  x = z = −1 y =1 y =    v    = −1   = −3  = −3  = nf va an lu Nên (1, 2,1) ( −1,6, −1) điểm tới hạn d= f (1,1,1) = 12 + 12 + 12 = , z at nh oi lm ul L ( x, y, z ) Khi có giá trị d d= f ( −1,3, −1) = ( −1) + 32 + ( −1) = 11 Vậy khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến giao tuyến z gm @ hai mặt cong x + z = x + y + z = Phương pháp nhân tử Lagrange an Lu Tóm tắt m điểm cực trị hay khơng co l Lưu ý: Có tồn khơng cần kiểm tra vi phân cấp hai để đưa nhận xét điểm tới hạn phải n va ac th si 196 Giả sử f ( x, y, z ) g ( x, y, z ) khả vi g ( x, y, z )  bề mặt g ( x, y, z ) = , Trường hợp 1: Để tìm cực trị hàm số f ( x, y, z ) bị ràng buộc g ( x, y, z ) = − Bước 1: Xác định hàm Largange L ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) +  g ( x, y, z ) − Bước 2: Tìm giá trị x , y , z  thỏa phương trình sau lu  Lx ( x, y, z ) =   Ly ( x, y , z ) =   Lz ( x, y, z ) =  g x, y , z = )  ( an n va − Bước 3: Kiểm tra vi phân cấp hai d L ( x, y , z ) với g x dx + g y dy + g z dz = tn to Lưu ý: Với hàm số hai biến độc lập, điều kiện tương tự khơng có biến z Trường hợp 2: p ie gh Để tìm cực trị hàm số f ( x, y, z ) bị ràng buộc g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = L ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) +  g ( x, y, z ) +  h ( x, y, z ) oa nl w − Bước 1: Xác định hàm Lagrange d − Bước 2: Tìm giá trị x , y , z ,  ,  thỏa phương trình sau nf va an lu 3.6.3 Bài tập z at nh oi lm ul L ( x, y, z ) =   g ( x, y , z ) =   h ( x, y , z ) = Bài 1: Tìm cực trị hàm số với ràng buộc với x2 + y = z a) f ( x, y ) = x + y , với x2 + y = c) f ( x, y ) = x − y + y , với x3 + y3 = d) f ( x, y , z ) = x + y + z , với x + co l gm @ b) f ( x, y ) = x3 + y , an Lu e) f ( x, y, z ) = x + y + z − xz , với x + m 3 z 17 y +z + = 12 n va y + z2 − z = ac th si 197 f) f ( x, y, z ) = xyz , với với xy + yz + zy = 12 g) f ( x, y, z ) = x + y + z , với x2 + y + z = h) f ( x, y, z ) = xy , với x2 + y = 10 Bài 2: Tìm cực trị hàm số với hai ràng buộc a) f ( x, y , z ) = x + y + z , với x2 + y = , x − y + z = b) f ( x, y, z ) = xyz , với x + y + z = , x + y + z = c) f ( x, y, z ) = xz + yz , với xy = , y + z = d) f ( x, y, z ) = x + y + z , với y + z = , x + y = Bài 3: Tìm khoảng cách nhỏ từ gốc tọa độ đến bề mặt x2 − y = z lu Bài 4: Tìm điểm gần với góc tọa độ nằm đường giao tuyến x + an y2 =z n va x − y + z = trị lớn f ( x, y , z ) = xy z bao nhiêu? gh tn to Bài 5: Cho ba số tự nhiên khác lớn khơng, ta có tổng ba số 12 Hỏi giá p ie Bài 6: Cho ba số tự nhiên khác không, dùng phương pháp nhân tử Lagrange chứng minh bất đẳng thức Cauchy oa nl w x+ y+z  xyz (Gợi ý: xyz = a  ) d Bài 7: Một học sinh có bìa cứng với diện tích bìa 16 m Học sinh dự định cắt bìa thành năm hình chữ nhật để ghép lại thành hình hộp chữ nhật hở nắp Hỏi học sinh muốn hình hộp chữ nhật tích lớn chiều dài x , chiều rộng y chiều cao z hình hộp bao nhiêu? nf va an lu lm ul z at nh oi Bài 8: Cho hai số tự nhiên x y khác không với x + y = c ( c  ) Tìm giá trị lớn hàm số f ( x, y ) = ax + by , z với a b số nguyên dương khác Từ suy bất đẳng thức + b )( x + y )  ( ax + by ) l gm @ (a Bài 9: Một tàu thăm dị vũ trụ có hình dạng ellipsoid m co x2 + y + z = 16 , nhiệt độ điểm ( x, y, z ) bề mặt tàu thăm dò an Lu vào bầu khí Trái Đất bề mặt bắt đầu nóng lên Sau giờ, n va ac th si 198 T ( x, y, z ) = x + yz − 16 z + 600 Tìm điểm nóng bề mặt tàu thăm dị [10] Bài 10: Diện tích hình tam giác có cạnh x , y z tích theo cơng thức Heron p ( p − x )( p − y )( p − z ) , đó, p chu vi hình tam giác, biết chu vi hình tam giác a Tìm S= độ dài ba cạnh tam giác để diện tích chúng lớn cho biết tam giác tam giác gì? Bài 11: Một người muốn xây hồ cá hình hộp chữ nhật kính cường lực, mặt hồ để hở Thể tích hồ m3 lu a) Tính kích thước cạnh hồ cá cho tổng diện tích mặt kính an n va nhỏ b) Chi phí thấp để người mua kính cường lượng để làm hồ cá bao p ie gh tn to nhiêu Biết m kính cường lực có giá 400000 VNĐ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 199 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Từ kết so sánh, phân tích kết hợp với kết thu đối chiếu với mục đích đặt ra, giải vấn đề lý luận thực tiễn sau: − So sánh phân tích phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến giáo trình Giải tích nước [3] [7] với giáo trình giải tích ngồi nước [8] để nhận thấy ưu điểm nhược điểm giáo trình Giải tích Từ đó, chúng tơi làm rõ ưu điểm nhược điểm tác động đến trình học Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến − Dựa so sánh, viết phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến phù hợp với sinh viên khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm lu Thành Phố Hồ Chí Minh Do thời gian có hạn, chưa viết khái niệm hàm nhiều biến an n va p ie gh tn to giới hạn hàm nhiều biến Bên cạnh đó, dự định tiếp tục so sánh phân tích phần Tích phân bội để hồn thiện dần giáo trình Giải tích dành riêng cho khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 200 TÀI LIỆU THAM KHẢO Việt Nam [1] Lưu Duyên Bình (2010), Giáo trình Vật lý đại cương, NXB Giáo Dục [2] Đỗ Xuân Hội (2009), Vật lý thống kê Nhiệt động lực thống kê, NXB Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh [3] Đỗ Cơng Khanh (2010), Tốn cao cấp – Giải tích hàm nhiều biến, phương trình vi phân, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [4] Đặng Thế Khơi (2009), Sách giáo khoa Vật lý 10, 11,12, NXB Giáo Dục [5] Bùi Quốc Long (2016), Xây dựng lý thuyết hệ thống tập Tích phân cho giáo trình Giải tích 1, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ lu an n va tn to Chí Minh [6] Bùi Quốc Long (2015), Cấu trúc lại phần Đạo hàm – Tích phân viết mẫu phần Đạo hàm cho giáo trình Giải tích 1, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh [7] Nguyễn Đình Trí (2006), Tốn học cao cấp – Tập 3, NXB Giáo dục gh Tiếng Anh p ie [8] Jame Stewart, “Partial Derivatives”, Calculus, Canada [9] Ron Larson and Bruce Edward, “Functions of Several Variables”, Calculus, Hoa Kì nl w oa [10] Thomas and Finney, “Multivariable Functions and Partial Derivatives”, d Calculus, Hoa Kỳ nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si