Tìm một cơ sở và số chiều của L.. 1 điểm Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận hệ số mở rộng về ma tr n b c thang... a.1.5 điểm Tính định thức của ma trận A bằng cách dùng
Trang 1TRƯỜNG ĐẠ I H ỌC LAO ĐỘ NG – XÃ HỘI (CSII)
BÁO CÁO H T H C PH N Ế Ọ Ầ
TOÁN CAO C ẤP 1
Mã s sinh viên ố : 2153404040692
Mã h c ph n ọ ầ : TCC11122L
TP H Chí Minh, tháng 1 ồ 2 năm 2021
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC LAO ĐỘNG – XÃ H I (CSII) Ộ
KHOA: GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG
1 Bài ti u lu n này bao gể ậ ồm NĂM (5) câu hỏi
2 T t c các gi i thích v ấ ả ả ề cách có được câu trả lời phải được trình bày chi ti t ế
3 Sinh viên ch có th g i bài làm c a mình M T L N trong m t t p pdf ỉ ể ử ủ Ộ Ầ ộ ệ DUY NHẤT
4 Bài u lutiể ận phải được gửi trước ngày tháng 25 12 năm 2021, sau ngày 25
6 Sinh viên ph i in bài làm cả ủa mình và đưa cho giảng viên một b n c ng sau ả ứ khi quay tr lở ại trường
Lưu ý: Những bài gi ng nhau s b ố ẽ ị trừ điểm như sau:
• Giống nhau t 10 - 30% v i bài khác: tr 20% t ng s ừ ớ ừ ổ ố điểm
• Giống nhau t 31 - 50% v i bài khác: tr 40% từ ớ ừ ổng s ố điểm
Trang 3NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA GIẢNG VIÊN
Sinh viên: Phạ m Cao M n Nhi ẫ
Mã s sinh viên : 2153404040692 ố
-Hình th c: (0.5 ứ điểm)
-Nội dung: (9.5 điểm)
Tổng
điểm
Cán bộ chấm thi 1
(Kí và ghi rõ họ tên)
Cán b ộ chấ m thi 2
(Kí và ghi rõ h tên) ọ
Trang 4
CÂU H I THI KỎ ẾT THÚC H C PH N Ọ Ầ
Lưu ý: K là s ố cuố ủ i c a mã s sinh viên ố
CÂU 1: (1 điểm) Cho các ma tr n: ậ
K K
K
K
Tính: A + 3B - 2CT
CÂU 2: (2 điểm) Cho ma tr n ậ
A
K
a.(1.5 điểm) Tính định thức của ma trận A bằng cách dùng định nghĩa khai triển theo dòng 4
b (0.5 điểm) Đặt A = (c ) Tìm ph n t c -1 ij ầ ử 23
CÂU 3: (2.5 điểm) Cho các vectơ:
X X X X
Gọi A là ma tr n có các cậ ột lần lượt là các vec tơ X1, X , X , X 2 3 4
a (1 điểm) Giải và bi n lu n theo m h ng c a ma tr n A ệ ậ ạ ủ ậ
b (1 điểm) Giải phương trình AX = 05x1 khi m = 11
c (0.5 điểm) Khi m =11, đặt L là không gian con nghiệm của phương trình AX =
0 Tìm một cơ sở và số chiều của L
CÂU 4: (3 điểm) Cho h ệ phương trình:
x x x x x K
x x x x x K
x x x x x K
x x x x x K
x x x x
x x x x mx K
a (1 điểm) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận hệ số mở rộng
về ma tr n b c thang ậ ậ
Trang 5b (0.5 điểm) Biện lu n theo m s nghiậ ố ệm của hệ phương trình.
c (1.5 điểm) Giả ệ phương trình khi m =i h 1
CÂU 5: (1 điểm)
a (0.5 điểm) Cho A = P-1BP Tính AK+4
b (0.5 điểm) Tính A5 bi ết
1
BÀI LÀM
CÂU 1: (1 điểm) Tính: A + 3B - 2C T
Để thực hiện các phép tính toán ma trận theo yêu cầu đề bài, cần các bước sau: Với K=2, ta được
A = (2 16 0 3 53 −8 −2)0 C =
(
32⁄ 1
1 2
0 −3
−32⁄ 1
4 −1)
Khi nhân một số v i ma tr n, ta áp d ng công th ớ ậ ụ ức:
(A)ij = (A)ij, i,j , điều ki n ệ ℝ
Phép chuy n v c a ma tr n: cho A ể ị ủ ậ mxn , ta gọi B nxm là chuy n v c a A n u: ể ị ủ ế
[B] = [A] , i,j, ký hi u B = A ij ji ệ T
3B = ( 3 3 −6 6 −3 −6 9−9 12 0) CT = (32⁄1 2 1 0 −32⁄−3 1 −1)4
- 2CT = (−3 −2 −2 −4 0 3 −86 −2 2 )
Vậy A + 3B - 2CT = ( 2 2 −2 2 0 2 10 2 0)
CÂU 2:
Với K=2, ta được A = (
1 0
1 1 −1 0 1 −1
2 −3
−2 −1 3 −2 −1 2
)
Trang 6a.(1.5 điểm) Tính định thức của ma trận A bằng cách dùng định nghĩa khai triển theo dòng 4
Phần phụ đại số:
Giả sử A = (aij) n, v i m i i,j ph n t ớ ỗ ầ ử:
Được gọi là phần phụ i số của aij đạ
Giả sử A = (aij) n, khi đó ta có:
a) det(A) = ∑ 𝑎𝑛
𝑗=1 ij ijc , p
b) det(A) = ∑ 𝑎𝑛
𝑖=1 iqciq, q
Công th c a) g i là công th c khai triứ ọ ứ ển định th c theo dòng p và công th c b) g i là ứ ứ ọ công thức khai triển định thức theo cột q
Gắn với yêu cầu đề bài, áp dụng công th c khai triứ ển định thức:
det(A) = a41.A41 + a42.A42 + a43.A43 + a44.A44
det(A) = (-2).(−1)4+1.|1 0 −11 0
−3 3 −1−2| + (-1).(−1)
4+2.|1 11 −1 0
2 3 −1−2| + (-1).(−1)4+3.1 1|1 0 0
2 −3−1−2| + 2.(−1)
4+41 1.|1 0 −1
2 −3 13| = 2.(−1) ( )−1 1+2−3 −2|.| 1 −1 + (-1).[ 1 (−1)
1+1 |1 −13 −2|
+(−1 (−1)) 1+22 −2| |1 −1] +
1 (−1)1+1 | 1 −1−3 −2| + 2.[ 1 (−1)
1+1 | 1 1−3 3|
+(−1 (−1)) 1+3 |1 1] = 2.[1 −2( ) − ( )−1 (−3)] + (-1).+[1 −2 − 2 (−1){ [(( )−1) ( −1) − 1.0]} + ] [1 (−2) − ( )−3 (−1)] + 2.{+(−1) [ ( )[1.3 − (−3) 1]1 −3 − 2.1]}
= (-10) + (-1) + (-5) + 22 = 6
Vậy khi tính định th c c a ma tr n A bứ ủ ậ ằng cách dùng định nghĩa khai triển theo dòng 4
ta được det(A) = 6
b (0.5 điểm) Đặt A = (c ) Tìm ph n t c -1
ij ầ ử 23
Ta có det(A) ≠ 0 nên ma trận A khả nghịch
Aij = (-1) Mi+j
ij
Trang 7Công thức: A = -1 1
Phần t c = ử 23 1
= 16 (−1)3+2 |1 11 −1 0
−2 −1−12| = 16 (-1).[1 −1( )1+1 | 1 −1−1 2 | + (−1) (−1)1+2 | 1 −1
= 1
6 (-1).[1.2 − −1( ) ( )−1 + 1.2 − −2 (−1)( ) ]
= −16
CÂU 3:
Với K=2, ta có ma tr n A = ậ
(
1 2
5 6 3 47 8
9 10
13 14
−1 −2
𝑚 10
15 2
−3 −4 )
a (1 điểm) Giải và bi n lu n theo m h ng c a ma tr n A ệ ậ ạ ủ ậ
A =
(
1 2
5 6 7 83 4
9 10
13 14
−1 −2
𝑚 10
15 2
−3 −4 )
→ (
1 2
5 6 3 47 8
−1 −2
13 14
9 10
−3 −4
15 2
𝑚 10)
𝑑 3 →𝑑 +𝑑 3 1
→
(
1 2
0 −4 −8 −12 3 4
0 0
0 −12
0 −8
0 0
−24 −50
𝑚 − 27 26− )
→ (
1 2
0 −4 −8 −12 3 4
0 −8
0 −12
0 0
𝑚 − 27 −26
−24 −50
0 0 )
𝑑2→
−1
4 𝑑 2
→
(
1 2
0 1 3 4 2 3
0 −8
0 −12
0 0
𝑚 − 27 −26
−24 −50
𝑑 4 →𝑑 4 +12 𝑑 2
→
(
1 2
0 1 3 4 2 3
0 0
0 0
0 0
𝑚 − 11 −2
0 −14
Trường hợp 1: Khi m - 11 = 0 m = 11 thì ma tr ận A có dạng
Trang 8→
(
1 2
0 1 3 4 2 3
0 0
0 0
0 0
0 −2
0 −14
0 0 )
→ (
1 2
0 1 3 4 2 3
0 0
0 0
0 0
0 −2
0 0
0 0 ) Vậy khi đó, hạng của ma trận A là 3, r(A) = 3
Trường hợp 2: Khi m – 11 ≠ 0 m ≠ 11 thì ma trận A có dạng
→
(
1 2
0 1 3 4 2 3
0 0
0 0
0 0
𝑚 − 11 −2
0 −14
Vậy khi dó, h ng c a ma tr n A là 4, r(A) = 4 ạ ủ ậ
b (1 điểm) Giải phương trình AX = 05x1 khi m = 11
Gọi X5x1 là ma tr n nghi m g m các n: ậ ệ ồ ẩ X =
(
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5)
Dựa vào k t quế ả ở câu a, khi m = 11 ta được ma tr n A và hậ ệ phương trình tuyến tính thuần nh t ấ liên kế ớt v i nó có dạng
A =
(
1 2
0 1 3 4 2 3
0 0
0 0
0 0
0 −2
0 0
0 0)
, Ā = (
1 2
0 1
0 0
3 4
2 3
0 −2
0 0
0 0 0 00 0
|
0 0 0 0 0) Nhận th y, r(A) = r( ) = 3 < 4 n, nên h ấ Ā ẩ ệ phương trình có vô số nghiệm gồm 3 ẩn chính
và 1 n t do ẩ ự Đặt 𝑥1= 𝑎 n t do, có: là ẩ ự
AX = 05x1
(
1 2
0 1 3 4 2 3
0 0
0 0
0 0
0 −2
0 0
0 0)(
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5)
= (
0 0 0 0 0)
{𝑥1𝑥 + 2𝑥+ 2𝑥2 2+ 3𝑥3+ 3𝑥3+ 4𝑥4= 04= 0
−2𝑥4= 0 {
𝑎 + 2𝑥2+ 3𝑥3+ 4𝑥4= 0
𝑥 + 2𝑥2 3+ 3𝑥4= 0
𝑥4= 0
Trang 9 {2𝑥𝑥 + 2𝑥22+ 3𝑥33= 0= −𝑎
𝑥4= 0 {
2𝑥2+ 3𝑥3= −𝑎
𝑥 = −2𝑥2 3
𝑥4= 0 {
−4𝑥3+ 3𝑥3= −𝑎
𝑥 = −2𝑥2 3
𝑥4= 0
{
𝑥1= 𝑎
𝑥 = −2𝑎2
𝑥 = 𝑎3
𝑥4= 0
c (0.5 điểm) Khi m =11, đặt L là không gian con nghiệm của phương trình AX =
0 Tìm một cơ sở và số chiều của L
Có L là không gian con nghi m cệ ủa phương trình AX = 0 ự, d a vào k t quế ả ở câu b, ta được L = {𝑋 = 𝑎, −2𝑎, 𝑎, 0( ) ℝ4}
(1) X L => X = (𝑎, −2𝑎, 𝑎, 0) = 𝑎(1, −2,1,0 = 𝑎) P1
Vậy X L đều có th bi u di n tuyể ể ễ ến tính được qua P1
(2) Có {P1} độc lập tuy n tế ính
Từ (1) và (2) => không gian con nghi m L cệ ủa phương trình AX = 0 có P1 là cơ sở và dim L = 1
CÂU 4:
a (1 điểm) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận hệ số mở r ng ộ
về ma tr n b c thang ậ ậ
Với K = 2, ta có ma tr n h s mậ ệ ố ở rộng sau:
Ā =
(
1 1 −1
2 3 1
4 7 3
1 −2
−6 1 −14 2
1 3 1
5 7 1
−3 1 2
−4 1 −11 0
2 𝑚
|
|
−3 2 4 2 1
2 )
𝑑 4 →𝑑 −𝑑 4 1
→
(
1 1 −1
0 1 3
0 3 7
1 −2
−8 5 −18 10
0 2 2
0 2 6
0 4 −1
−5 3 −16 10
5 𝑚 − 6
|
|
−3 8 16 5 16
−7)
→
(
1 1 −1
0 1 3
0 0 −2
1 −2
−8 5
6 −5
0 0 −4
0 0 0
0 0 −13
11 −7
0 0
37 𝑚 −26
|
|
−3 8
−8
−11 0
−39)
Trang 10
𝑑 3 →−12𝑑 3
𝑑 5 ↔𝑑 6
→
(
1 1 −1
0 1 3
0 0 1
1 −2
−8 5 −3 5 2⁄
0 0 −4
0 0 −13
0 0 0
11 −7
37 𝑚 −26
0 0
|
|
−3 8 4
−11
−39
0 )
𝑑 5 →𝑑 5 +13 𝑑 3
→
(
1 1 −1
0 1 3
0 0 1
1 −2
−8 5 −3 5 2⁄
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−1 3 −2 𝑚 + 132⁄
0 0
|
|
−3 8 4 5 13
0 )
𝑑→5→𝑑 −2𝑑5 4
(
1 1 −1
0 1 3
0 0 1
1 −2
−8 5 −3 5 2⁄
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−1 3
0 𝑚 + 1 2⁄
0 0
|
|
−3 8 4 5 3
0 )
b (0.5 điểm) Biện luận theo m số nghi m của hệ phương trình ệ
Trường hợp 1: 𝑚 +12= 0 => 𝑚 =−12 , ta có:
Ā =
(
1 1 −1
0 1 3
0 0 1
1 −2 −8 5 −3 5 2⁄
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−1 3
0 0
0 0
|
|
−3 8 4 5 3
0 ) Nhận thấy r(A) ≠ r(Ā) (4≠5) nên hệ phương trình vô nghiệm
Trường h p 2: ợ 𝑚 +12≠ 0 => 𝑚 ≠−12 , ta có:
Ā =
(
1 1 −1
0 1 3
0 0 1
1 −2
−8 5 −3 5 2⁄
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−1 3
0 𝑚 + 1 2⁄
0 0
|
|
−3 8 4 5 3
0 ) Nhận th y r(A) = r( ) = sấ Ā ố ẩn = 5 nên h ệ phương trình có nghiệm duy nh ất
Trang 11Vậy khi 𝑚 =−12, h ệ phương trình vô nghiệm và khi 𝑚 ≠−12, h ệ phương trình có nghiệm duy nh ất
c (1.5 điểm) Giải hệ phương trình khi m = 1
Khi m = 1 thì ma tr n m r ng có d ng ậ ở ộ ạ
Ā =
(
1 1 −1
0 1 3
0 0 1
1 −2
−8 5 −3 5 2⁄
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−1 3
0 3 2 ⁄
0 0
|
|
−3 8 4 5 3
0 )
Và có hệ phương trình tương đương
{
𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3+ 𝑥 − 2𝑥4 5= −3
𝑥 + 3𝑥 − 8𝑥 + 5𝑥 = 82 3 4 5
𝑥 − 3𝑥3 4+25𝑥5= 4
−𝑥 + 3𝑥 = 54 5
3
{
𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3+ 𝑥 − 2𝑥4 5= −3
𝑥 + 3𝑥 − 8𝑥 + 5𝑥 = 82 3 4 5
𝑥 − 3𝑥3 4+52𝑥5= 4
−𝑥 + 3𝑥 = 54 5
𝑥 = 25
{
𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3+ 𝑥4− 2𝑥5= −3
𝑥 + 3𝑥 − 8𝑥2 3 4+ 5𝑥5= 8
𝑥 − 3𝑥3 4+52𝑥5= 4
𝑥 = 14
𝑥 = 25
{
𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3+ 𝑥 − 2𝑥4 5= −3
𝑥 + 3𝑥 − 8𝑥 + 5𝑥 = 82 3 4 5
𝑥 = 23
𝑥 = 14
𝑥5= 2
{
𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3+ 𝑥 − 2𝑥4 5= −3
𝑥 = 02
𝑥 = 23
𝑥 = 14
𝑥5= 2
{
𝑥1= 2
𝑥 = 02
𝑥 = 23
𝑥 = 14
𝑥 = 25
a (0.5 điểm) Cho A = P-1BP Tính A2+4
A = P-1BP
Trang 12Khi :A = A.A = (P BP).(P BP) = P B.P P B.P = P B.B.P = P B.P Khi: A3 = A A = (P2 -1.B2.P).( P-1BP = ) P B P.P-1 2 -1B.P = P B-1 3.P
Vậy rút ra kết luận An= P B-1 n.P
Nên A6= P B-1 6.P
b (0.5 điểm) Tính A5
Tính P-1
det(P) = (-3).1.1 + 4.0.3 + (-1).(-1).(-3) (-1).1.3 (-3).0.(-30 4.(-1).1 = 1 – – –
Ta có det(P) ≠ 0 nên ma trận P khả nghịch
Phần t cử 11 = 1
Phần t cử 12 = det (𝑃)1 A21 = 1 −1( )2+1−3 1 | | 4 −1 -1 =
Tương tự như trên, ta có được các phần tử c13, ,c33.
Suy ra P -1= (1 0 11 −1 1
0 3 1)
Tính A
Phép nhân hai ma tr ận:
Định nghĩa: Dòng nhân cột
Cho A = (𝑎 𝑎 … 𝑎1 2 𝑛)1𝑥𝑛 , B = (
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
)
𝑛𝑥1
=> AB = 𝑎 𝑏1 1+ 𝑎2𝑏2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛
Theo đề bài, có:
A = P-1BP
= (1 0 11 −1 1
0 3 1) (
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1) (
−3 4 −1
−1 1 0
3 −3 1) = (1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 − 11 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 − 1
0 + 0 + 0 0 − 3 + 0 0 + 0 − 1) (
−3 4 −1
−1 1 0
3 −3 1) = (1 0 −11 1 −1
0 −3 −1) (
−3 4 −1
−1 1 0
3 −3 1) = (−3 + 0 − 3 4 + 0 + 3 −1 + 0 − 1−3 − 1 − 3 4 + 1 + 3 −1 + 0 − 1
0 + 3 − 3 0 − 3 + 3 0 + 0 − 1)
Trang 13= (−6 7 −2−7 8 −2
0 0 −1)
Tính A5
Có A = A.A = 2 (−6 7 −2−7 8 −2
0 0 −1) (
−7 8 −2
−6 7 −2
0 0 −1) = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1) = I (ma trận đơn vị)
Mà A4 = A A 2 2= I = (0 1 01 0 0
0 0 1) Dựa theo kết quả đã tính ở trên, có A = (−6 7 −2−7 8 −2
0 0 −1) và A =
2= A4 I = (1 0 00 1 0
0 0 1)
Ta lại có A5 = A A, v y suy ra A 4 ậ 5= (−6 7 −2−7 8 −2
0 0 −1)