Tài liệu tham khảo: Một số ứng dụng của đa thức

Để phục vụ công việc giảng dạy môn Đại số ở phổ thông được tốt hơn, TLTK ‘Một số ứng dụng của đa thức’ sẽ giúp các sinh viên khoa Toán có cái nhìn sâu rộng hơn về ứng dụng các tính chất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Vành đa thức một ẩn 2

1.2 Phép chia đa thức 4

1.3 Nghiệm của đa thức 9

1.4 Đa thức bất khả quy 11

1.5 Bài tập tham khảo chương 1 17

Chương 2 Ứng dụng thuật toán Euclid để giải bài toán trục căn thức 18

2.1 Ước chung lớn nhất của hai đa thức 18

2.2 Thuật toán euclid 20

2.3 Ứng dụng giải bài toán trục căn thức 25

2.4 Bài tập tham khảo Chương 2 35

Chương 3 Ứng dụng tính chất của đa thức để giải một số bài toán về phương trình hàm ……… …37

3.1 Các ví dụ ứng dụng tính chất của đa thức để giải môt số bài toán về phương trình hàm……… …37

3.2 Bài tập tham khảo Chương 3……… … 47

Tài liệu tham khảo ……… …50

Để phục vụ công việc giảng dạy môn Đại số ở phổ thông được tốt hơn, TLTK

‘Một số ứng dụng của đa thức’ sẽ giúp các sinh viên khoa Toán có cái nhìn sâu rộng hơn về ứng dụng các tính chất của đa thức và các vấn đề khác của Đại số khi học trên Đại học chiếu xuống chương trình phổ thông Phục vụ trực tiếp công việc giảng dạy sau này của các em khi giảng dạy môn toán ở trường phổ thông

Xây dựng một số chủ đề ứng dụng các tính chất của đa thức trong giải toán: Như ứng dụng của ước chung lớn nhất của hai đa thức để giải một số lớp bài toán trục căn thức khó ở chương trình phổ thông Hay sử dụng tính chất của đa thức để giải các phương trình hàm

Dẫn dắt sinh viên thấy được tầm quan trọng của Đại số cao cấp và ứng dụng khi chiếu xuống chương trình phổ thông Sinh viên biết cách vận dụng các kiến thức học trên Đại học để giải quyết các vấn đề khi đi dạy và biết cách sáng tạo ra các bài toán theo các chuyên đề cho học sinh rèn luyện tư duy toán học

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Định nghĩa 1.1 : Vành P được gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A hay

vắn tắt là vành đa thức của ẩn x trên A ( kí hiệu là A[ ] x )

Các phần tử của A x [ ] gọi là các đa thức của ẩn xlấy hệ tử trong A

Giả sử deg( ( ))f x >deg( ( ))g x tức là n>m,ta có:

a là hệ tử cao nhất của f x( )+g x( ).Vậy deg( ( )f x +g x( ))=n

TH2: deg( ( ))f x =deg( ( ))g x tức là n=m,ta có:

Nếu an = −bn thì (an +bn)=0.Khi đódeg( ( )f x +g x( ))<n

Nếu an ≠ −bn thì (an +bn)≠0.Khi đódeg( ( )f x +g x( ))=n

Vậy deg( ( )f x +g x( ))≤max(deg(f(x),deg(g(x)) ∎

Định lý 1.1.2 Nếu A là một miền nguyên, f x( ) và g x( ) là hai đa thức khác 0 của vành A x [ ] ,thì f x g x ≠( ) ( ) 0 và:

deg( ( ) ( ))f x g x =deg( ( ))f x +deg( ( ))g x

deg( ( ) ( )f x g x =m+n=deg( ( ))f x +deg( ( ))g x ∎

Hệ quả : Nếu A là miền nguyên thì A x [ ] cũng là miền nguyên

Mặt khác theo giả thiết và định lý 1.1.1 ta có

Nếu deg( ( ))f x1 ≥deg( ( ))g x Đặt f x1( ) c x0 c x1 − c xt 1 ct

Và deg(f x2( ))<deg( ( ))f x1 <deg( ( ))f x

Nếu deg(f x2( ))<deg( ( ))g x thì những đa thức phải tìm là

1( )

f x ở bước trước Ta tiếp tục thực hiện quá trình này và nhận được dãy đa thức

1

( ), ( ),

f x f x với deg( ( ))f x >deg( ( ))f x1 >

Nhưng vì bậc của những đa thức là những số nguyên không âm, nên quá trình trên

không thể kéo dài vô hạn Nghĩa là đến một thời điểm ta nhận được đa thức

( )

k

f x sao cho

deg(f xk( ))<deg( ( ))g x Khi đó những đa thức phải tìm là:

Đa thức q x( )và r x( )trong bài toán trên được gọi tương ứng là thương và số dư

trong phép chia f x( )cho g x( )

Ngoài ra, nếu ta chia đa thức f x( )cho đa thức g x( ) thì người ta gọi đa thức f x( )

là đa thức bị chia và đa thức g x( ) là đa thức ước số Tìm thương và số đư trong phép chia hai đa thức ta suy ra từ cách làm của định lý trên

Ví dụ 1 Để cụ thể hóa ta xét ví dụ sau

f x = x + x −x + x− cho đa thức g x( )=x2+x+1 Giải

Ta kí hiệu f x( ) chia hết cho g x( ) bằng f x g x( )⋮ ( )

Nếu f x g x( )⋮ ( ) thìdeg( ( ))f x ≥deg( ( ))g x

Phép chia đa thức có những tính chất hiển nhiên sau:

1) Với mọi đa thức f x( ) và với mọi số α ≠0 ,α f x g x( )⋮ ( ) (q x( )=α )

deg( ( ))f x =deg( ( ))g x +deg( ( ))q x (**)

Từ(*) và (**) suy ra deg( ( ))q x =0 ( hay có thể nói q x( ) là một hằng số khác 0

Với n =1 ta có

(x +1)+x =(2x+1)(x +x+1) (⋮ x +x+1) (Đúng với n =1) Giả sử khẳng định đúng với n −1

Xác định đa thức thương như sau

1.3.3 Nghiệm bội, nghiệm đơn, nghiệm kép

Giả sử A là một trường, c∈A f x, ( )∈A x[ ] và m là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1, clà nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu f x( ) chia hết cho

( )m

x−c và f x( ) không chia hết cho ( )m 1

x−c + Nếu m =1 thì c là nghiệm đơn

Nếu m =2 thì c là nghiệm kép

Chú ý: Ta coi một đa thức có nghiệm bội cấp m như một đa thức có m

nghiệm trùng với nhau

1.4 Đa thức bất khả quy

1.4.1 Phần tử khả nghịch

Giả sửA là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1 Các ước của đơn vị

gọi là phần tử khả nghịch, chúng lập thành một nhóm nhân U mà 1 là phần tử đơn

vị

Tính chất của đa thức bất khả quy :

1) Nếu f x( ) bất khả quy thì với mọi g x( )∈A x[ ], xảy ra một trong hai khả năng sau:

Đa thức bất khả quy trên trường ℚ

Đối với trường số thực và số phức, để xét xem một đa thức có bất khả quy hay không rất đơn giản Ta sẽ xét các đa thức trên trường số hữu tỷ ℚ

Trong ℚ [x] với ℚ là trường số hữu tỷ

Vậy f x( ) bất khả quy khi f x( ) vô nghiệm hữu tỷ

Đối với các đa thức bậc lớn hơn ba thì để xét đa thức có bất khả quy hay

không sẽ phức tạp hơn Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn Aidenstainơ (cho các đa

thức với hệ số nguyên) để giải quyết vấn đề này Trước hết, để chuẩn bị cho việc chứng minh tiêu chuẩn Aidenstainơ, ta có khái niệm đa thức nguyên bản và hai bổ

Cho p là một số nguyên tố tùy ý

Ta sẽ chứng minh rằng p không chia hết cho các hệ số của đa thức tích

( ) ( )

f x g x Vì f x( )vàg x( ) là đa thức nguyên bản nên p không chia hết cho các

hệ số của f x( ) và g x( ) Giả sử p chia hết cho a0, ,ar 1,b0, ,bs 1

= + + + + > Với f x( ) là một đa thức với hệ

số nguyên, điều kiện để f x( ) là bất khả quy trong vành ℚ [ ] x khi và chỉ khi ∃ một

số nguyên tố p sao cho:

0 1 1

2 0

Giả sử f x( ) có những ước thực sự trong ℚ [ ] x

Theo bổ đề 1.4.3.2, f x( ) có thể viết dưới dạng: f x( )=g x h x( ) ( )

Vậy giả sử bk là hệ số đầu tiên của g x( ) không chia hết chop

Ta xét

( )

f y

⇒ bất khả quy trong ℚ [ ] x theo tiêu chuẩn Aidenstainơ⇒ f x( ) bất khả quy trong ℚ [ ] x

1.5 Một số bài tập tham khảo chương 1

Bài 1.Tìm đa thức có hệ số nguyên, không âm nhỏ hơn 9 thỏa mãn

3 2

x x +bx+c= Bài 5 Chứng minh đa thức n 5 n 1 3

x + x − + (n<1 ) bất khả quy trên Z x [ ] Bài 6 Chứng minh rằng nếu đa thứcP x( ) thỏa mãnP x( )= p(2−x) thì P x( ) có thể biểu diễn như đa thức của(x −1)2

Bài 7 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số tự nhiên m sao cho

Để có thể nghiên cứu và hiểu sâu cũng như áp dụng thuật toán euclid trước hết ta

sẽ tìm hiểu về ước chung lớn nhất, thông qua đó thuật toán euclid sẽ được đề cập một cách rõ ràng và dễ hiểu hơn

2.1 Ước chung lớn nhất của hai đa thức

thì từ định nghĩa suy ra h x ah x1( )⋮ 2( ) (với a là một số bất kì) Vậy nếu hai đa thức

có ước chung lớn nhất thì nó được xác định sự sai khác một hằng số

Chứng minh: T suy ra tử định nghĩa ước chung lớn nhất

Định lý 2.1.2 Cho những đa thức f x( ) và g x( ) có ước chung lớn nhất là

( ) ( ( ), ( ))

h x = f x g x và là số dư trong phép chia f x( )cho g x( ) Khi đó,

những đa thức g x( ) và r( )x có ước chung lớn nhất và :

Cho f x ≠( ) 0 và g x( )≠0 là những đa thức khác không Và

deg( ( ))f x ≥deg( ( ))g x , ta chia f x( ) cho g x( )

2.2 Thuật toán Euclid

Cách chứng minh định lý 1.1.3 cho ta cách tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức bằng cách thực hiện hữu hạn bước phép chia giữa thương và số dư Sơ đồ thực hiện quá trình này gọi là thuật toán Euclid

Ước chung lớn nhất của f x( ) và g x( ) có thể tìm tho thuật toán Euclid

4 3 2

2 1

Hệ số trước bậc cao nhất của g x( ) bằng 1 và hệ số trước bậc cao nhất của r1( )x

bằng -2, để thuận tiện tính toán ta chia 2 ( )g x cho−r1( )x

0 ( )

xx

r x

++

+ +

Khi d=( , )n m là ước chung lớn nhất của n m, thì tồn tai số nguyênp q, sao cho

d= pn+qm Giả sử p>0,q>0.Đặt ϕ( )x là ước chung của n n

x +a

2.3 Ứng dụng thuật toán euclid để giải bài toán trục căn thức

Trục căn thức một đa thức f x ( ) 1

A

= thực chất là tìm một biểu thứcB liên hợp của

A sao choAB=d d( ∈ ℚ) Đối với những đa thức cơ bản ta có thể dễ dàng trục căn thức bằng những hằng đẳng thức đã học

Vậy trục căn thức biểu thức A ta được A =( 2+1)

Ví dụ 2 Trục căn thức biểu thức sau :

( 2 1)− là 3 2 3

( 2 + 2 1)+

Ta sẽ có

a −b = a−b a +ab+b vớia= 7,b=1,ta tìm được biểu thức liên hợp của 3

Ta sử dụng các hằng đẳng thức khác tương tự như đối với hai hằng đẳng thức

trên.Ta có thể dùng lược đồ hoócne để giải bài toán trục căn thức như các ví dụ

Biểu thức liên hợp của ( 2 1)− là ( 4 + 2 +1)

Biểu thức liên hợp của 3

A = − + Ta sẽ tìm biểu thức liên hợp B củaA bằng cách tìm biểu

thức liên hợp của hai đa thức 3

( 3 1)− và 3

(3 3 1)+ Dựa vào cách làm ở các ví dụ trước, ta có:

Biểu thức liên hợp của 3

( 3 1)− là 3 3

( 9 + 3 1)+ Biểu thức liên hợp của 3

Vấn đề cơ bản của một bài toán trục căn thức là phải tìm được đa thức liên hợp

B củaA sao choAB=d d( ∈ ℚ) Nhưng không phải lúc nào ta cũng dễ dàng tìm được B như những bài toán trên Đó là những bài toán màA không thể dễ dàng tìm

biểu thức liên hợp thông qua hằng đẳng thức hay dựa vào lược đồ hoócne Chẳng hạn như:

Để minh họa rõ ràng hơn cho phương pháp này,ta có ví dụ sau

Ví dụ 6 Trục căn thức biểu thức sau

Vì f x( ) là đa thức bậc hai vô nghiệm trên ℚ [ ] x nên f x( ) bất khả quy trên ℚ [ ] x

13 1

13 91 92

x x

x x x

x x x

2

2 2 2

( ) [ ( ) ( )( 1)]( 2) [1 ( 1)( 2)] ( ) ( 2) ( ) [1 ( 2 2)] ( ) ( 2) ( ) [1 ( 3 2)] ( ) ( 2) ( ) ( +3 -1) ( )+( -2)g( )

2.4 Một số bài tập tham khảo chương 2

Bài 1 Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức sau

f x( )=6x+x2 +3x+5 ,g x( )=4x+1 và 6 5 4

h x =x + x + x + Bài 3 Trục căn thức các biểu thức sau

Chương 3: Ứng dụng tính chất của đa thức để giải một số bài toán về

x − ta có na0 +a1=a1 Suy ra a0 =0, điều này vô lý

Vậy chỉ đa thức bậc không thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 2 Hãy tìm tất cả các đa thức P x( ) thỏa mãn

Ngược lại ta kiểm tra thấy đa thức trên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 Chứng minh rằng nếu đa thức P x( ) thỏa mãn P x( )=P(2−x) thì đa thức P x( ) có thể biểu diễn như là đa thức của (x −1)2

Ta kí hiệu T y( ) là đa thức thỏa mãn: T y( )=P(1+ y)

Như vậy bậc của đa thức ( ) ( ) ( )

1 1

k

l k

a

+

= +

Giải sử P x( ) là đa thức thỏa mãn điều kiện P x ( )2 = P x ( )2 Và P x( ) là đa thức

P x =x n = thỏa mãn điều kiện bài ra

Ví dụ 7 Hãy tìm đa thức P x( ) thỏa mãn điều kiện

( 2 ) ( ( ) )2

P x − x = P x−

Giải

Điều kiện của bài toán tương đương

Kiểm tra lại thấy thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 8 Hãy tìm tất cả các đa thức P x( ) thỏa mãn điều kiện

= = + với mọi số tự nhiên n, dễ thấy P b( )n =bn

Mặt khác từ định nghĩa ta thấy dãy này là dãy tăng, tập hợp

{ b n =n 0,1, 2, } chứa vô hạn các số khác nhau

Sử dụng nguyên lý so sánh hệ số ta có P x( )=x

TH2 P( )0 ≠0 Khi đó đẳng thức

- Nếu H( )0 ≠0, ta tiếp tục tiến hành phương pháp giống P x( )

Và ta sẽ nhận được đa thức h x1( ) có bậc thấp hơn đa thức H y( )

Quá trình này tiếp tục sau hữu hạn bước, đến thời điểm sẽ dẫn tới đa thức

Kiểm tra thấy các đa thức trong dãy thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 9 Cho a≠0, ,b c là các số bất kì và n≥1 là một số tự nhiên Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đa thức P x( ) bậc n thỏa mãn điều kiện sau

+

Ở đây ϕ ϕ1, 2, ,ϕn là các đa thức Vì a0 ≠0, nên từ hệ này suy ra

0, 1, 2, , n

a a a a xác định là duy nhất Nên đa thức P x( ) nếu tồn tại là duy nhất

Ví dụ 10 Tìm tất các đa thức P x( ) thỏa mãn điều kiện

Thử lại thấy đa thức P x( )= x2 +c thỏa mãn yêu cầu bài ra

Ví dụ 11 Tìm tất cả các đa thức P x( ) thỏa mãn điều kiện P( )0 =0 và

Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n +

∈ ℤ , mỗi đa thức cần tìm P x( ) thỏa mãn

( ) ( )1

P n =nP

Với n=0,n=1 hiển nhiên đẳng thức đúng Giả sử đẳng thức đúng với n−1 và n

với mọi n∈ ℕ Khi đó

P n( +1)=2P n( )−P n( −1) (= n+1) ( )P 1

Nghĩa là đẳng thức đúng với n+1

Vì đa thức P x( )−P( )1 x có vô số nghiệm x = 0,1, 2, nên nó không phải là đa thức

Vậy đa thức cần tìm có dạng: P x( )= ax

Ví dụ 12 Tìm tất cả các đa thức P x( ) với hệ số thức thỏa mãn điều kiện sau

P x( )2 +x(3P x( )+P(−x) )=(P x( ) )2 +2x2 (1) với mọi số thực x

Giải

Thay x bằng −x ta được

P x( )2 −x(3P(−x)+P x( ) )=(P(−x) )2 +2x2 (2) Trừ (1) cho (2) ta được

4 x P x ( ( ) + P ( − x ) ) = ( P ( − x ) )2 + 2 x2

⇔ ( P x ( ) + P ( − x ) ) ( P x ( ) − P ( − x ) − 4 x ) = 0 (3)

Do (3) đúng với mọi x thuộc ℝ nên ta có hai khả năng xảy ra

là đa thức bậc nhất với hệ số hữu tỉ

Bài 2 Chứng minh rằng nếu đa thức với những hệ số nguyên

Bài 11 Tìm tất cả các đa thức P x( )∈ ℝ[ ]x thỏa mãn điều kiện

P P x ( ( ) ) = ( P x ( ) )m, m > 1 và m là số nguyên cho trước

P x ( + P x ( ) ) = P x ( ) + P P x ( ( ) )

Bài 13 Tìm tất cả các đa thức P x( )∈ ℝ[ ]x thỏa mãn điều kiện

2P x( )=P x( +1)+P x( −1)

Tài liệu tham khảo

1 Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số Đại cương, NXB giáo dục – 2007

2 Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục 2002

3 Lê Hoành Phò, Chuyên khảo về đa thức, NXB ĐHQG Tp Hồ Chí Minh,

2003

4 Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB giáo dục – 2005

5 Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan, Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số và số học, NXB Đại học sư phạm – 2007

6 Dương Quốc Việt, Đàm Văn Nhỉ, Đại số sơ cấp, NXB Đại học sư phạm –

2007

7 Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết số và đa thức, NXB Đại học sư

phạm – 2012