Luận văn thạc sĩ Đại số và lý thuyết số: Đa diện Newton của đa thức Schur và đa thức Grothendieck đối xứng

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong đề án "Đa diện ton của đa thức Schur và đa thức Grothendieck đối xứng" là trung New-thực và không trùng lặp với đề tài khác.. M

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG THỊ THU THẢO

ĐA DIỆN NEWTON CỦA ĐA THỨC

SCHUR VÀ ĐA THỨC GROTHENDIECK ĐỐI XỨNG

Người hướng dẫn 1: TS NGUYỄN THỊ NGỌC GIAONgười hướng dẫn 2: TS NGUYỄN BIN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong đề án "Đa diện ton của đa thức Schur và đa thức Grothendieck đối xứng" là trung

New-thực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng các

kết quả nêu trong đề án, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảmbảo tính trung thực, chính xác Những tài liệu tham khảo được sử dụng

trong đề án đã được tôi trích dẫn và nêu rõ trong mục Tài liệu tham khảo

Bình Định, tháng 10 năm 2023

Học viên thực hiện

Đặng Thị Thu Thảo

LỜI CẢM ƠN

Kính gửi Ban giám hiệu, giảng viên hướng dẫn, thầy, cô giáo của khoa

Toán và thống kê trường Đại học Quy Nhơn và các bạn học viên lớp caohọc chuyên ngành Đại số và lý thuyết số K24

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu của

trường đã cung cấp cho chúng tôi một môi trường học tập tuyệt vời Sự

quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi từ phía lãnh đạo nhà trường đã giúptôi có được một môi trường học tập, nghiên cứu và tìm tòi hiệu quả

Tôi cũng muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô TS Nguyễn Thị Ngọc

Giao – giảng viên hướng dẫn 1, thầy TS Nguyễn Bin - giảng viên hướngdẫn 2 đã nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành đề án này Bằng

sự am hiểu, kiến thức chuyên sâu và kinh nghiệm của thầy, cô đã giúp tôi

hiểu tường tận hơn về đề tài mà mình thực hiện để tôi hoàn thành đề ánmột cách đầy đủ nhất có thể

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả quý thầy, cô đã truyền

đạt những tri thức quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập Cảm ơn

các bạn học đã cùng nhau trao đổi kinh nghiệm học tập

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Đa thức đối xứng 2

1.2 Vành các đa thức đối xứng 3

1.3 Bảng Young 3

1.4 Đa diện Newton 8

2 Đa thức Schur 15 2.1 Định nghĩa và một số tính chất 15

2.2 Một số đa thức Schur đặc biệt 16

2.3 Một số đồng nhất thức của đa thức Schur 19

2.3.1 Công thức Pieri 19

2.3.2 Công thức Jacobi-Trudi 21

2.4 Đa diện Newton của đa thức Schur 22

2.4.1 Đa thức Schur có SNP 22

2.4.2 Đa diện Newton của đa thức Schur có IDP 23

3 Đa thức Grothendieck đối xứng 26 3.1 Định nghĩa và một số tính chất 27

3.2 Phân tích Schur của đa thức Grothendieck đối xứng 27

3.3 Đa diện Newton của đa thức Grothendieck đối xứng 30

3.3.1 Đa thức Grothendieck đối xứng có SNP 30

3.3.2 Đa thức Grothendieck đối xứng mở rộng 37

3.3.3 Đa thức Grothendieck đối xứng mở rộng có SNP 38

3.3.4 Đa thức Grothendieck đối xứng mở rộng và IDP 41

Mở đầu

Các lưới đa diện là một trong những đối tượng chính xuất hiện trong nhiều

lĩnh vực toán học như Hình học Đại số, Hình học Nhiệt đới, chúng đặc biệt

quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng về lập trình số nguyên và nhiềulĩnh vực khác Hơn nữa, nhiều vấn đề trong lý thuyết Ehrhart có thể được

lưới đa diện là bao lồi trong Rn của hữu hạn điểm trong Zn

Mối liên hệ giữa các lưới đa diện và các đa thức là thông qua các đadiện Newton, trong đó đa diện Newton của một đa thức là bao lồi của các

vectơ lũy thừa của nó Nhiều tính chất thú vị của đa thức có liên quan

chặt chẽ với hình học của các đa diện Newton của chúng Trong đề tài này,chúng tôi sẽ tập trung vào các đa thức có đa diện Newton bão hòa (SNP)

và các đa diện Newton của chúng có tính chất phân tách nguyên (IDP).Trong đó, hai lớp đa thức mà chúng tôi quan tâm là đa thức Schur và một

tương tự K-lý thuyết của đa thức Schur, đó là đa thức Grothendieck đối

xứng Hai lớp đa thức này, có thể nói, đóng vai trò trung tâm trong lýthuyết đa thức đối xứng

Chúng tôi thực hiện đề tài này với mong muốn học tập và mở rộng

thêm những hiểu biết trong hướng nghiên cứu này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Giống như đã nêu ra trong tiêu đề, chương này tôi sẽ hệ thống hóa các kiến

thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày các nội dung chính về sau Vì khuôn

khổ có hạn, tôi sẽ chỉ tập trung vào những khái niệm quan trọng và được

sử dụng thường xuyên nhất của đề tài, những kết quả bổ trợ khác sẽ được

dẫn ra khi cần thiết từ các tài liệu có liên quan Các tài liệu tham khảo

chính được sử dụng ở đây là [IGM98], [KGHT23], [Man98], [BGH+21]

vị Một đa thức nbiến P (x1, x2 , xn) ∈ A[x1, x2, , xn] được gọi là đathức đối xứng nếu với mọi hoán vị σ ∈ Sn, trong đó Sn là hoán vị của

n phần tử 1 n, ta có

P (xσ(1), xσ(2), , xσ(n)) = P (x1, x2, , xn)

Ví dụ 1.1.2 a) x3− 2xy + y3, x4y + xy4, x3+ y3+ z3− 2x2y2− 2y2z2−2x2z2, (x + y)(y + z)(z + x), xyz là các đa thức đối xứng

b) x − y, x4y2− y4x2, (x − y)(x − z)(y − z) là các đa thức không đối xứng.

Định nghĩa 1.2.1 (Vành đa thức đối xứng) Vành đa thức đối xứng

n biến là vành con của vành đa thức Z[x1, x2, , xn], là tập hợp các đathức đối xứng n biến với hệ số nguyên, cùng với hai phép toán (phép cộng

(+) và phép nhân (.) đa thức thông thường), có cấu trúc một vành Ta kíhiệu vành đa thức đối xứng này là

Z[x1, x2, , xn]Sn

Nhiều lớp đa thức đối xứng có vai trò đặc biệt quan trọng trong các

lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số tổ hợp, Lý thuyết số, Lýthuyết Ehrhart v.v Trong đó, hai lớp đa thức mà chúng tôi quan tâm là

đa thức Schur (xem Chương 2) và một tương tự K-lý thuyết của đa thức

Schur, đó là đa thức Grothendieck đối xứng (xem Chương 3) Có nhiềucách khác nhau để định nghĩa các lớp đa thức trên, trong đó chúng tôi đặc

biệt quan tâm đến cách định nghĩa thông qua bảng Young Phần tiếp theo

tập trung nêu lại một số kiến thức cần biết về bảng Young (được thamkhảo từ [KGHT23], [Man98], [BGH+21])

phân hoạch của r, được kí hiệu bởi λ ⊢ r, là một dãy (hữu hạn hoặc vôhạn) giảm yếu λ = (λ1 ≥ λ2 ≥ ) của những số nguyên không âm, sao

cho X

i=1

λi = r Số nguyên dương r được gọi là kích cỡ của phân hoạch λ,

và được kí hiệu bởi |λ| Các số nguyên không âm λ1, λ2 , λm được gọi

là các phần của một phân hoạch Độ dài của λ là số phần khác 0, kí hiệu

l(λ)

Để thuận tiện, chúng ta xem các phân hoạch sau là như nhau

λ = (λ1, , λm) = (λ1, , λm, 0, 0, ),

và khi đó λ được gọi là có tối đa m phần

Ví dụ 1.3.2 Một phân hoạch của5là (2, 2, 1) = (2, 2, 1, 0, 0) Phân hoạchnày có độ dài l(λ) = 3 và có kích cỡ |λ| = 2 + 2 + 1 = 5

Định nghĩa 1.3.3 (Biểu đồ Young) Cho λ = (λ1, λ2, , λm) là phân

cùng bên trái của mỗi hàng nằm trên cùng một cột và số lượng hộp từ

hàng trên cùng đến hàng dưới cùng theo thứ tự tương ứng là λ1, , λm

Y (4, 2, 2) =

Định nghĩa 1.3.5 (Phân hoạch liên hợp) Cho λ = (λ1, λ2, , λm) là

hiệu λ∗ được biểu diễn bởi một biểu đồ Young Y (λ∗)− có được bằng cách

tiên

Ví dụ 1.3.6 Biểu đồ Young của phân hoạch liên hợp Y (λ∗) của phânhoạch trong Ví dụ 1.3.4 là

Y (3, 3, 1, 1) =

Định nghĩa 1.3.7 (Thứ tự ưu tiên) Cho hai phân hoạchµ = (µ1, µ2, )

và λ = (λ1, λ2, ) có cùng kích cỡ n, ta nói µ ưu tiên hơn λ và viết µλ,nếu

Chú ý 1.3.9 Thứ tự ưu tiên không là một quan hệ thứ tự toàn phần

Quan hệ thứ tự ưu tiên chỉ được dùng để so sánh hai phân hoạch có cùng

kích cỡ

đồ bao gồm các hộp có trong µ và không có trong λ

Ví dụ 1.3.12 Cho hai phân hoạch µ = (5, 4, 4, 2) và λ = (4, 2, 1) Khi

đó, skew shape µ/λ là

Định nghĩa 1.3.13 (Dải ngang) Dải ngang là một skew shape với nhiều

nhất một hộp trong mỗi cột

Ví dụ 1.3.14 Skew shape (10, 9, 6, 4, 1)/(9, 7, 4, 1, 0) là một dải ngang

Định nghĩa 1.3.15 (Dải dọc) Dải dọc là một skew shape với tối đa một

hộp trong mỗi hàng

Ví dụ 1.3.16 Skew shape (5, 5, 4, 4, 2, 1, 1)/(4, 4, 3, 3, 1, 0, 0) là một dảidọc

Định nghĩa 1.3.17 (Bảng Young nửa chuẩn tắc) Một bảng Young nửa

chuẩn tắc, kí hiệu SSY T, của phân hoạch λ ∈ Zm≥0 là một cách điền vào

biểu đồ Young Y (λ) theo quy tắc: mỗi ô ứng với một số thuộc tập hợpđược sắp thứ tự {1 < < m}, sao cho các số trên cùng một cột thì tăngngặt từ trên xuống dưới, và các số trên cùng một hàng thì tăng yếu từ trái

1 12

1 22

1 32

1 13

1 23

1 33

2 23

2 33

Định nghĩa 1.3.20 (Bảng Young tập giá trị) Cho phân hoạch λ ∈Zm≥0,

con thuộc tập hợp được sắp thứ tự {1 < < m}, sao cho các số trêncùng một cột thì tăng ngặt từ trên xuống dưới, và các số trên cùng một

hàng thì tăng yếu từ trái sang phải

Tập hợp tất cả các bảng Young tập giá trị của phân hoạch λ được kíhiệu là SV Y T (λ).

Ví dụ 1.3.21 Một bảng Young tập giá trị của λ = (4, 2, 1) là

U = 1 1, 22, 3 3

2 33

Định nghĩa 1.3.22 (Trọng của bảng Young) Trọng của một bảng

Young T là một bộ các số nguyên w(T ) = (w1(T ), w2(T ), ), trong đó

wi(T ) là số lần i xuất hiện trong bảng Young T

Để thuận tiện, ta viết

có

trọng là w(T ) = (1,3,3),

tương ứng với đơn thức x1x32x33

2 33

có trọng

là w(T ) = (2,3,4),

tương ứng với đơn thức x21x32x43

Mối quan hệ giữa các lưới đa diện và các đa thức là thông qua các đa diện

Newton (Tài liệu tham khảo chính trong phần này là [KGHT23])

Định nghĩa 1.4.1 (Lưới đa diện) Một đa diện P ⊆ Rm là bao lồi

Conv(v1, , vk) của hữu hạn các điểm v1, v2, , vk ∈ Rm Một điểm

v ∈ P được gọi là điểm nguyên nếu v ∈ Zm Tập đỉnh của P là tập V

nhỏ nhất trong Rm sao choP = Conv(V ) Ta nói rằng P là lưới đa diệnnếu V là tập con của Zm

(1, 3, 0) (0, 3, 1)

(0, 2, 2)

(2, 1, 1) (0, 1, 3)

(1, 1, 2) (1, 2, 1)

(IDP) nếu, với bất kỳ số nguyên dương t và p ∈ tP ∩Zm, luôn có t điểm

(6, 6) (4, 5)

Minh họa cho lưới đa diện P và 2P trong R2

Ví dụ 1.4.6 Cho P là một lưới đa diện trong R2, là bao lồi của 2 đỉnh

(1, 3) và (3, 1) thì có đúng 3 điểm nguyên trong P Nói cách khác,

P ∩Z2 = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

Với bất kì số nguyên t,

tP ∩ Z2 = {(i, 4t − i)|i = t 3t và i ∈ Z}

Hơn nữa, số đỉnh của (tP ∩Z2) là 2t + 1 Ví dụ, P, 2P và 3P được minhhọa bởi Hình 1.1

Hình 1.1: Minh họa của các đa diện P, 2P và 3P trong R2.

∀t ∈ Z+, ∀i = t 3t và i ∈Z, ∃(a, b, c) ∈ Z3≥0 sao cho hệ sau

(1.4.1)

có nghiệm Thật vậy, người ta có thể kiểm tra rằng hệ phương trình tuyến

tính (1.4.1) có vô số nghiệm, đó là (2t − i + c, i − t − 2c, c), với số nguyên

Sau đây là minh họa cho trường hợp lưới đa điện không có IDP.

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 2, 1) thì trong Q có đúng 4 điểm Nói cáchkhác,

Q ∩Z3 = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 2, 1)}

Quan sát thấy rằng

2Q ∩Z3 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 1),

(1, 2, 2), (2, 0, 0), (2, 2, 1), (2, 4, 2)}

Hình 1.2: Minh họa cho tường hợp Q không có IDP.

Tuy nhiên, tồn tại điểm (1, 1, 1) ∈ 2Q ∩Z3 nhưng không có hai điểm nàotrong Q ∩Z3 có tổng bằng (1, 1, 1) Vì vậy Q không có IDP

Supp(f ) = {α ∈ Zm≥0|cα ̸= 0}.Định nghĩa 1.4.9 (Đa diện Newton) Đa diện Newton của một đa thức

f là bao lồi giá của f, tức là

N ewt(f ) = Conv(Supp(f ))

Ví dụ 1.4.10 Cho đa thức f (x, y) = x2 + xy + y ∈ Z[x, y] Khi đó, đa

O 0.5 1.0 1.5 2.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Khái niệm sau đây được giới thiệu bởi Monical, Tokcan và Young trong

[MTY19]

Newton bão hòa (SNP) nếu

Ví dụ 1.4.13 Một ví dụ về đa thức không có tính SNP là

f (x, y) = x2 + xy + y + 2 ∈ Z[x, y]

vì tồn tại (1, 0) ∈ N ewt(f ) ∩Zm, nhưng (1, 0) /∈ Supp(f )

Chương 2

Đa thức Schur

Trong chương này ta sẽ đề cập đến một trong những nội dung trọng

tâm của đề án Các tài liệu tham khảo được sử dụng trong phần này

là từ [BGH+21], [Man98]

2.1 Định nghĩa và một số tính chất

phần, khi đó đa thức Schur ứng với phân hoạchλ, kí hiệu làsλ(x1, , xm)

và được định nghĩa như sau

được điền thuộc tập hợp {1, , m}

Young nửa chuẩn tắc ta có một đơn thức Khi đó, đa thức Schur sλ là

s(2,1,0)(x1, x2, x3) = x21x2 + x1x22 + x21x3 + x1x23 + x22x3 + x2x23 + 2x1x2x3

Ví dụ 2.1.3 Xét phân hoạchλ = (3, 1, 0) Đa thức Schurs(3,1,0)(x1, x2, x3)

là đa thức f trong Ví dụ 1.4.12

Ví dụ 2.1.4 Xét phân hoạch λ = (3, 2, 1) và số biến tương ứng là m = 3

Khi đó đa thức Schur của λ = (3, 2, 1) là

s(3,2,1)(x1, x2, x3) = x31x22x3+x21x32x3+x31x2x23+2x21x22x23+x1x32x23+x21x2x33+x1x22x33

Chú ý 2.1.5 Tập hợp tất cả các đa thức Schur tạo thành một cơ sở của

vành đa thức đối xứng, tức là, một đa thức đối xứng bất kỳ luôn có thể được

biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính của các đa thức Schur

2.2 Một số đa thức Schur đặc biệt

Đa thức đối xứng sơ cấp và đa thức đối xứng thuần nhất đầy đủ là các đa

thức Schur đặc biệt Tài liệu tham khảo chính trong phần này là [Man98]

Định nghĩa 2.2.1 (Đa thức đối xứng sơ cấp)

ek(x1, x2, , xn) = X

1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n

xi1xi2 xik = s(1k )(x1, x2, , xn),

trong đó (1k) = (1, , 1) là phân hoạch có trọng k mà mỗi phần khác

của n

Với trường hợp n = 1:

Định nghĩa 2.2.4 (Đa thức đối xứng thuần nhất đầy đủ).

hk(x1, x2, , xn) = X

1≤i 1 ≤i 2 ≤···≤i k ≤n

xi1xi2 xik = s(k)(x1, x2, , xn),

trong đó (k) = (k, 0, , 0)

hợp đầu tiên của n

Có một mối liên hệ cơ bản giữa các đa thức đối xứng cơ bản và các đathức đối xứng thuần nhất đầy đủ:

k

X

i=0

(−1)iei(x1, x2, , xn)hk−i(x1, x2, , xn) = 0,

đúng cho tất cả k > 0, và bất kỳ số lượng biến của n

2.3 Một số đồng nhất thức của đa thức Schur

Trước tiên chúng ta sẽ tìm hiểu về tích của đa thức Schur với đa thức đốixứng cơ bản hoặc đa thức đối xứng thuần nhất đầy đủ - chính là Công thức

Pieri (xem Phần 2.3.1) Sau đó, chúng ta có thể thấy các đa thức Schur

một cách tổng quát, thông qua việc chúng được biểu diễn dưới dạng cácđịnh thức của các đa thức đối xứng sơ cấp hoặc đa thức đối xứng thuần

nhất đầy đủ - chính là Công thức Jacobi-Trudi (xem Phần 2.3.2)

2.3.1 Công thức Pieri

λ ⊗ 1k) là tập hợp các phân hoạch thu được bằng cách thêm k hộp vào λ,nhiều nhất trên mỗi cột một hộp (tương ứng, nhiều nhất trên mỗi hàngmột hộp)

Định lý 2.3.1 (Công thức Pieri) Với kí hiệu trước, ta có

Công thức đầu tiên được suy ra từ khai triển

aλ+α+σ ̸= 0 khi và chỉ khi λ + α là một phân hoạch

Tương tự, chúng ta có được công thức thứ hai

nhau, các ô được thêm vào có màu xám, xem Hình 2.1

Hình 2.1: Minh họa cho đa thức s(3,2)h3.

2.3.2 Công thức Jacobi-Trudi

Chúng ta đã biết cách phân tách các đa thức đối xứng sơ cấp hoặc đa thức

đối xứng thuần nhất đầy đủ thành các đa thức Schur Ngược lại, để biểudiễn các đa thức Schur dưới dạng các đa thức đối xứng sơ cấp hoặc đa

thức đối xứng thuần nhất đầy đủ, ta có công thức sau

khi đó

sλ = det(hλi−i+j)1≤i,j≤n và sλ ∗ = det(eλi−i+j)1≤i,j≤n

Trước hết ta thấy rằng, nếu chúng ta hạn chế thứ tự của các định thức

này theo độ dài l của λ Điều này dẫn đến một cảm ứng trên l Ví dụ, đốivới công thức đầu tiên, chúng ta thu được bằng cách khai triển định thức

dọc theo cột cuối cùng tổng xen kẽ

l

X

i=1

(−1)l−is(λ1, ,λi−1,λ(i+1)−1, ,λl−1)× hλi+l−1

Sử dụng công thức Pieri, chúng ta có thể viết số hạng thứ i của tổng nàydưới dạng

λj ≤ µj ≤ λj−1 với j < i và λj+1 − 1 ≤ µj ≤ λj − 1 Sau khi dừnglại, chúng ta có được công thức đầu tiên Công thức thứ hai, chứng minh

tương tự

2.4 Đa diện Newton của đa thức Schur

2.4.1 Đa thức Schur có SNP

Năm 1952, trong [Rado52], Rado đã chứng minh rằng

Định lý 2.4.1 Cho phân hoạch λ = (λ1, λ2, , λm) Đa diện Newton

N ewt(sλ(x))của đa thức Schur ứng với phân hoạch λ là một đa diện đều,

kí hiệu Pλ, đó là phần bao lồi của Sm−hoán vị của (λ1, , λm) ∈ Rm

Hệ quả 2.4.2 Đa diện Newton của đa thức Schur có tính SNP

Ví dụ 2.4.3 Đa diện Newton của s(3,2,1)(x1, x2, x3) trong Ví dụ 2.1.4 làhình lục giác đều với các đỉnh như trong hình sau

(3, 2, 1)

(3, 1, 2)(2, 1, 3)