Một số công thức và luật nhân cho đa thức schur

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Tân MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ LUẬT NHÂN CHO ĐA THỨC SCHUR LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Tân MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ LUẬT NHÂN CHO ĐA THỨC SCHUR Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG TUẤN HIỆP Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn khoa học TS Đặng Tuấn Hiệp Các số liệu, kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Học viên thực luận Lê Văn Tân Lời cảm ơn Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Đặng Tuấn Hiệp, người hướng dẫn tận tình cho tơi suốt q trình thực luận văn Kế tiếp, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn q Thầy Cơ Khoa Tốn - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho nhiều kiến thức quý báu suốt q trình học, tơi xin cảm ơn q Thầy Cơ Phịng Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới quý Thầy Cô hội đồng bảo vệ luận văn dành thời gian đọc luận văn cho ý kiến phản biện bổ ích giúp luận văn hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình tơi, bạn bè tôi, người quan tâm, động viên, giúp đỡ thời gian qua Tp.HCM, ngày 20 tháng 09 năm 2016 Lê Văn Tân Bảng kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa kí hiệu Sn Nhóm hoán vị bậc n  (σ ) Dấu hoán vị σ = λ (λ1 , λ2 ,…, λn ) Phân hoạch λ với thành phần λ1 , λ2 ,…, λn |λ | Trọng lượng phân hoạch λ λ* Phân hoạch liên hợp phân hoạch λ sλ Đa thức Schur phân hoạch λ λ (T ) Dạng bảng Young T µ (T ) Trọng lượng bảng Young T Pm Vành plactic m(T ) Từ bảng Young T det (aij )1≤i , j ≤ n Định thức ma trận (aij )1≤i , j ≤ n MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng kí hiệu LỜI NÓI ĐẦU Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm đối xứng 1.2 Vành đa thức biến 1.3 Vành đa thức nhiều biến 1.4 Đa thức đối xứng 1.5 Đa thức Schur Chương CÁC CÔNG THỨC PIERI, JACOBI-TRUDI, VÀ GIAMBELLI 15 2.1 Công thức Pieri 15 2.2 Công thức Jacobi- Trudi 23 2.3 Công thức Giambelli 25 Chương LUẬT NHÂN LITTLEWOOD-RICHARDSON 30 3.1 Phép tương ứng Knuth 30 3.2 Vành plactic 33 3.3 Thuật toán jeu de taquin 35 3.4 Hệ số Littlewood-Richardson 38 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 LỜI NÓI ĐẦU Trong toán học, đa thức Schur, đặt theo tên nhà tốn học Issai Schur, đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn, đại số tổ hợp, hình học đại số, vật lý toán Các đa thức Schur định nghĩa dạng đặc biệt đa thức đối xứng Chúng tổng quát đa thức đối xứng đa thức đối xứng đầy đủ Do đó, đa thức Schur với đa thức Schur với đa thức đối xứng đa thức đối xứng đầy đủ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, điều thể qua công thức luật nhân thú vị Hiện việc tìm hiểu, nghiên cứu công thức luật nhân vấn đề thiết thực nhận quan tâm nhiều người làm toán Đề tài luận văn nhằm tìm hiểu, tiếp cận lý thuyết trình bày cách hệ thống, chi tiết số công thức luật nhân cho đa thức Schur Cụ thể công thức Pieri, công thức Jacobi-Trudi, công thức Giambelli luật nhân Littlewood-Richardson Đồng thời luận văn đưa thuật tốn tương ứng với cơng thức luật nhân, minh họa ví dụ cụ thể Ngoài lời cam đoan, lời cảm ơn, bảng ký hiệu, lời mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương sau: • Chương 1: Chương trình bày số kết mang tính chất chuẩn bị, làm sở cho chương sau Mở đầu số khái niệm nhóm hốn vị, vành đa thức biến, vành đa thức nhiều biến Những kiến thức giúp hiểu rõ định nghĩa, số tính chất, định nghĩa liên quan đa thức đối xứng đa thức Schur, hai đối tượng nghiên cứu luận văn • Chương 2: Trình bày chi tiết công thức Pieri, công thức biểu diễn tích đa thức Schur đa thức đối xứng đa thức đối xứng đầy đủ dạng tổ hợp tuyến tính đa thức Schur khác Tiếp theo, chúng tơi trình bày cơng thức Jacobi-Trudi, công thức biểu diễn đa thức Schur dạng định thức ma trận mà phần tử đa thức đối xứng đa thức đối xứng đầy đủ Sau đó, chúng tơi trình bày công thức dạng định thức cho đa thức Schur, cơng thức Giambelli Trong chương này, chúng tơi đưa thuật tốn cho cơng thức Pieri, cơng thức Giambelli, minh họa ví dụ cụ thể • Chương 3: Chương với chương hai nội dung luận văn Mở đầu trình bày phép tương ứng Knuth, vành plactic, thuật tốn jeu de taquin Sau đó, dựa vào sở lý thuyết này, chúng tơi trình bày luật nhân Littlewood-Richardson Đây luật nhân hai đa thức Schur phát biểu lần Littlewood Richardson vào năm 1934 Luật nhân Littlewood-Richardson cho phép biểu diễn tích hai đa thức Schur dạng tổ hợp tuyến tính đa thức Schur khác Đây xem dạng tổng quát công thức Pieri Cuối chương chúng tơi đưa thuật tốn tương ứng với luật nhân minh họa ví dụ cụ thể, đồng thời mơ tả việc tính tốn hệ số Littlewood-Richardson phần mềm SAGE Mặc dù cố gắng nhiều luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy Cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Mục đích chương cung cấp kết giúp dễ dàng việc tiếp cận lý thuyết chương sau Trong chương này, cần quan tâm đến khái niệm đa thức đối xứng, đa thức đối xứng bản, đa thức đối xứng đầy đủ, khái niệm phân hoạch, khái niệm bảng Young, đặc biệt hai định nghĩa đa thức Schur 1.1 Nhóm đối xứng 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X ≠ ∅ gồm n phần tử (ta đồng X với {1, 2, , n} ) Khi tập hợp S n gồm tất cấc song ánh từ X vào X nhóm với phép hợp nối ánh xạ Ta gọi Sn nhóm đối xứng bậc n Nhóm đối xứng Sn nhóm hữu hạn có cấp n ! , có phần tử trung hịa ánh xạ đồng Id X phần tử nghịch đảo σ ∈ S n ánh xạ ngược σ −1 Định nghĩa 1.1.2 Mỗi phần tử σ ∈ S n gọi phép hoán vị hay phép bậc n biểu diễn ma trận × n :     σ (1) σ ( )   , σ (n)  n dòng thứ nhất, phần tử tập X xếp theo thứ tự (thường 1, 2, , n ), dòng thứ hai gồm ảnh phần tử tương ứng dòng qua song ánh σ Ví dụ 1.1.1 Trong nhóm đối xứng S6 , phép hoán vị σ xác định σ (1) = 2, = σ ( ) 5,= σ ( 3) 4,= σ ( ) 1,= σ ( ) 3,= σ ( ) mô tả sau: 1     6 Định nghĩa 1.1.3 Một nghịch = hoán vị σ σ (1)σ ( n ) ∈ S n cặp (σ ( i ) , σ ( j ) ) với i < j σ ( i ) > σ ( j ) , tức số lớn đứng trước số nhỏ Ký số hoán vị σ , ký hiệu ∈ (σ ) , định nghĩa +1 ∈ (s ) =  −1 số nghịch s chẵn số nghịch s lẻ Một hốn vị σ ∈ S n gọi chẵn ∈ (σ ) = 1, gọi lẻ ∈ (σ ) = −1 Ví dụ 1.1.2 Hốn vị = σ ( 312 ) ∈ S3 có hai nghịch ( 31) ( 32 ) Do ∈ (σ ) = Từ suy σ hoán vị chẵn 1.2 Vành đa thức biến Giả sử R vành giao hoán có đơn vị Gọi A tập hợp tất dãy ( a0 , a1 ,, an ,) , ∈ R, ∀i ∈  tất trừ số hữu hạn chúng khác Như A phận lũy thừa Descartes R  Ta định nghĩa phép cộng phép nhân A sau: Giả sử f = ( a0 , a1 , , an ,) g = ( b0 , b1 , , bn ,) phần tử tùy ý A Khi ( a0 + b0 , a1 + b1 ,, an + bn ,) , fg = ( c0 , c1 , , cn ,) , f +g= = ck = a b ,k ∑ i+ j= k i j 0,1, 2, Dễ dàng kiểm tra lại A với hai phép toán lập thành vành giao hốn, có đơn vị (1,0,0,) , phần tử không vành ( 0,0,0,) Ta ký hiệu phần tử đơn vị A phần tử không A Đặt x = ( 0,1,0,0,) Dễ thấy 33 Theo cách xây dựng, dòng P( A) có p, dịng Q( A) có q, vị trí thứ k Nếu l = 1, A không chứa cầu đánh số với số nguyên k + 1, dịng P( A) có độ dài k , dòng P ( B ) có cách bỏ cuối Ta có điều tương tự Q( A) Q( B) Hơn nữa, ∂A =∂B, phần cịn lại dịng bảng đồng với Do vậy, ( P( A), Q( A)) suy từ ( P( B), Q( B)) cách thêm ô vào bên phải dòng Nếu l ≥ 2, dòng P( B) có p2 vị trí thứ k , dòng P ( A) có p1 vị trí phần tử khác đồng với Vì vậy, vị trí thứ (k − 1) xuất số nguyên nhỏ p1 , từ suy dịng P( A) có cách thêm p1 vào dòng P( B), sau ta đẩy p2 Do cầu cực trị ∂A có lực lượng (q1 , p2 ), nên lặp lại biện luận để kết thúc chứng minh mệnh đề, bước chèn cuối tương ứng với trường hợp  Sơ đồ A → A ∂ giao hốn với chuyển vị, đó, P( At ) = Q( A) Q( At ) = P ( A) Điều thú vị dạng phép tương ứng Knuth tạo kết rõ ràng M.-P.Schützenberger sau: Hệ 3.1.3 Nếu phép tương ứng Knuth liên kết đến ma trận A cặp ( P, Q) bảng Young nửa chuẩn tắc, liên kết đến ma trận chuyển vị At cặp (Q, P) bảng Young nửa chuẩn tắc 3.2 Vành plactic Định nghĩa 3.2.1 (Vành plactic) Vành plactic Pm vành đa thức không giao hoán theo m biến x1 ,…, xm với hệ số nguyên, tùy thuộc vào quan hệ Knuth xi xk x j  xk xi x j xi ≤ x j < xk , x j xk xi  x j xi xk xi < x j ≤ xk 34 Bây giờ, T bảng Young, liên kết đến phần tử vành plactic sau: Định nghĩa 3.2.2 (Từ bảng) Cho T bảng Young Khi từ m(T ) bảng T phần tử vành plactic có cách đọc phần tử bảng T từ lên từ trái qua phải Hình 3.4: Từ m(T ) bảng T Hai từ gọi tương đương Knuth chúng đại diện cho phần tử vành plactic, hay nói cách khác từ thu từ từ quan hệ Knuth Mệnh đề 3.2.3 Mỗi lớp tương đương Knuth chứa từ bảng Chứng minh Sự tồn hệ việc ta biến đổi từ thành bảng cách chèn liên tiếp chữ nó, tiến trình liên quan đến tương đương Knuth Để chứng minh tính ta cần định nghĩa hai bổ đề sau: Định nghĩa 3.2.4 Cho m từ Khi ta gọi lk (m) tổng độ dài lớn k dãy giảm yếu, rời lấy từ m Bổ đề 3.2.5 Những số nguyên phụ thuộc vào lớp tương đương Knuth m Chứng minh Dễ dàng kiểm tra số nguyên bất biến phép biến đổi Knuth Giả sử m = axzyb n = azxyb , a b từ xyz chữ cho x ≤ y < z Nếu ta có k dãy tăng n , chúng dãy tăng m , lk (m) ≥ lk (n) Chiều ngược lại đúng, khơng dãy dãy tăng m có dạng a ' xzb a ' trích từ a b ' trích từ b Khi ta có 35 thể thay a ' xyb ', thay y z xuất dãy khác Vì lk (n) ≥ lk (m)  Bổ đề 3.2.6 Nếu m từ bảng T với dạng λ , lk (m) = ll + + k Chứng minh Ta thấy dãy tăng yếu trích từ m tương ứng với dãy ô bảng T có số cột tăng nghiêm ngặt Bởi vậy, với k dãy ta lấy tối đa k cột, từ suy lk (m) ≤ ll +  + k Dấu đẳng thức có dãy cho k dòng  Phần cuối chứng minh mệnh đề Xét từ m tương đương với từ bảng T Theo hai bổ đề trên, dạng T xác định m Ta kết luận theo quy nạp sau: Lấy m ' từ thu cách xóa khỏi m chữ lớn nó, gọi l , vị trí xa bên phải Lấy T ' bảng phát sinh từ T tiến trình Khi m ' tương đương với từ T ' Vì vậy, theo giả thiết quy nạp dạng T ' xác định Vì ta biết dạng T ' ô cần thêm vào để thu dạng T , nên ta cần phải đặt số nguyên l vị trí T xác định  Từ mệnh đề ta suy vành plactic có tập hợp bảng sở số nguyên Hơn nữa, vành plactic, tích tính tốn dễ dàng Chúng tơi sử dụng phép tương ứng bảng phần tử vành plactic để tính tích hai bảng Trong mục tiếp theo, chúng tơi mơ tả thuật tốn xác định tích đưa jeu de taquin 3.3 Thuật toán jeu de taquin Định nghĩa 3.3.1 (Bảng skew) Cho λ µ hai phân hoạch cho λ chứa µ Phần bù λ / µ biểu đồ µ λ gọi phân hoạch skew Một bảng Young nửa chuẩn tắc với dạng λ / µ gọi bảng skew Thuật toán jeu de taquin cho phép biến đổi bảng skew thành bảng thơng thường Nó định nghĩa sau: 36 Chọn góc đỉnh bảng skew, gọi x (tương ứng với y ) số ô bên (tương ứng bên phải) góc Nếu x ≤ y, ta đẩy x vào vị trí góc Ngược lại ta đẩy y vào vị trí góc Lặp lại trình khơng cịn góc đỉnh trái cuối thu bảng nửa chuẩn tắc Hình 3.5: Jeu de taquin Ví dụ 3.3.1 Xét bảng skew Thuật toán jeu de taquin cho ta Mệnh đề 3.3.2 Thuật tốn jeu de taquin tương thích với tương đương Knuth 37 Chứng minh Mệnh đề hiểu theo nghĩa ta liên kết từ đến bảng skew giống liên kết từ đến bảng chuẩn, lớp tương đương khơng thay đổi theo thuật toán jeu de taquin Điều dễ thấy ta đẩy ô bên phải, từ khơng thay đổi Nếu ta đẩy lên trên, ta thu hẹp đến hai dịng bảng liên quan đến phép tốn Khi dễ dàng kiểm tra bảng nhận cách hiệu chỉnh từ liên kết đến hai dòng ban đầu giống hệt phép hiệu chỉnh từ liên kết đến hai dòng  Mệnh đề chứng tỏ bảng thu từ bảng skew thuật toán jeu de taquin khơng phụ thuộc vào cách chọn góc đỉnh bước làm Như đề cập trên, thuật toán jeu de taquin cho phép tính tốn tích hai bảng Young Bây tích hai bảng Young T1 T2 cách xây dựng bảng skew T1,2 sau Tiếp theo áp dụng thuật toán jeu de taquin cho T1,2 ta nhận bảng tích T1 T2 Ví dụ 3.3.2 Tính tích hai bảng Young Để tính tích ta xây dựng bảng skew T1,2 sau: 38 Bỏ qua bước bản, thuật toán jeu de taquin cho ta Bảng cuối tích cần tìm 3.4 Luật Littlewood-Richardson Đây hệ số phát sinh khai triển tích hai đa thức Schur Chúng số tự nhiên mà luật Littlewood-Richardson mô tả đếm bảng skew Chúng ta có mệnh đề quan trọng sau: Mệnh đề 3.4.1 Cho U ,V0 hai bảng Young nửa chuẩn tắc với dạng µ ν Khi tồn tương ứng − cặp (T , S ) bảng với dạng (λ , µ ) tích V0 mặt, bảng skew U với dạng ν / λ phép hiệu chỉnh U mặt khác Chứng minh Lấy T S hai bảng với dạng λ µ lấy tích V0 Gọi s u0 dãy liên kết với cặp ( S ,U ) bảng có dạng theo phép tương Knuth: dãy thứ hai dãy tăng, dãy thứ xếp theo dạng 39 tương thích Nếu chèn s vào bảng T , đặt chữ tương ứng với u0 vào ô tạo ra, nhận bảng skew U với dạng ν / λ Ta chứng minh phép hiệu chỉnh U U Thật vậy, xét bảng phụ T0 với dạng λ ghi số với số nguyên âm Nếu phép tương ứng Knuth liên kết dãy t t0 đến cặp (T , T0 ), dãy t0u0 ts xếp cách phù hợp, nghịch đảo phép tương ứng Knuth liên kết đến chúng cặp (T S = V0 ,V ) bảng Bảng cuối này, với dạng ν , chồng lên bảng âm T0 bảng skew U Theo hệ 3.1.3, phép tương ứng Knuth cho ta liên kết (U , S ) ~ ( x, y ) (V , TU ) ~ ( x′, y′), x có cách t theo dạng tăng y có cách t0 theo dạng tương thích, x ' có cách ts theo dạng tăng y ' có cách t0u0 theo dạng tương thích Nhưng đó, t0 gồm số ngun âm nên thành phần u0 xếp dạng y y ' Do đó, y từ có cách bỏ | λ | chữ nhỏ y ' Vì y ' tương đương với m(V ), nên y tương đương với từ có cách bỏ | λ | chữ nhỏ m(V ), ta gọi chữ m(U ) Ngược lại, giả sử bảng V với dạng ν chồng lên bảng âm T0 bảng skew U Phép tương ứng Knuth liên kết đến cặp (V0 ,V ) dãy mà ta viết (ts, t0u0 ), t t0 có chiều dài | λ |, s u0 có chiều dài | µ | Khi đó, dãy (t , t0 ) ( s, u0 ) liên kết cặp (T , T0 ) (U ,U ) bảng, với TS = V0 Vì phép tương ứng định nghĩa nghịch đảo phép tương ứng  Mệnh đề lực lượng tập hợp liên quan phụ thuộc vào phân hoạch λ , µ ,ν , khơng phụ thuộc vào cách chọn bảng, ta ký hiệu lực lượng cνλµ Hơn nữa, mệnh đề cho phép xác định hệ số Little wood-Richardson cách chọn bảng U đơn giản Nếu cνλµ khác khơng, | ν=| | λ | + | µ | ν chứa λ µ Hơn nữa, có ν ν số quan hệ đối xứng sau: c= c= cνλ = cνµ λ λµ µλ µ * * * * * * 40 Hệ 3.4.2 Trong vành plactic, tích đa thức Schur phân tích tổng đa thức Schur Định nghĩa 3.4.3 (Từ Yamanouchi) Một từ x1 x2  xr gọi từ Yamanouchi với s (1 ≤ s ≤ r ) với i ∈ * , từ xs  xr chứa tối thiểu nhiều phần tử i phần tử i + Hình 3.6: Một bảng skew với từ Yamanouchi Định lý 3.4.4 (Luật nhân Littlewood-Richardson) Hệ số cνλµ sν tích sλ sµ số bảng skew với dạng ν / µ trọng lượng λ , từ bảng skew Yamanouchi Chứng minh Xem [3, tr.32]  Thuật tốn 3.4.1 (Tìm tích hai đa thức Schur theo luật Little wood-Richardson) µ ( µ1 , µ ,…, µ n ) Input: Cho phân hoạch = λ (λ1 , λ2 ,…, λn ) = Output: s sà = cà s ã Bước Đặt = s : 0,= cνλµ : • Bước  Xây dựng phân hoạch ν cách thêm λ ô vào biểu đồ Young phân hoạch µ  Từ phân hoạch ν đánh số cho ô thêm vào biểu đồ Young µ cho bảng skew thu có dạng ν / µ , trọng lượng λ , từ Yamanouchi  Với bảng skew thu tăng hệ số cνλµ thêm đơn vị cνλµ =: cνλµ + 41  Xut s =: s + cà s ã Bc Lặp lại bước không xây dựng phân hoạch ν Dừng thuật tốn Ví dụ 3.4.1 Giả sử n = Khi đó, áp dụng thuật tốn 3.4.1 để tìm tích s(2,1) s(2,1) xây dựng phân hoạch ν cách thêm ô vào biểu đồ Young phân hoạch µ = ( 2,1) đánh số cho ô cho bảng skew thu có dạng ν / µ , trọng lượng λ = ( 2,1) , từ Yamanouchi hình 3.7 Hình 3.7: s(2,1) s(2,1) = s(4,2) + s(4,1,1) + s(3,3) + 2s(3,2,1) + s(3,1,1,1) + s(2,2,2) + s(2,2,1,1) Các trường hợp cụ thể sau: • Trường hợp  Thêm vào dịng Khi ν = µ1 + =  Thêm cịn lại vào dịng Khi ν = µ2 + 1= Từ ta có ν = (4, 2)  Vì ta thu bảng skew nên hệ số cνλµ = Do s := s + cνλµ sν = sν = s(4,2) • Trường hợp  Thêm vào dịng Khi ν = µ1 + =  Thêm cịn lại vào dịng Khi = ν 1,= ν Từ ta có ν = (4,1,1)  Vì ta thu bảng skew nên hệ số cνλµ = Do s :=s + sν =s(4,2) + s(4,1,1) • Trường hợp 42  Thêm vào dịng1 Khi ν = µ1 + =  Thêm cịn lại vào dịng Khi ν = µ2 + = Từ ta có ν = (3,3)  Vì ta thu bảng skew nên hệ số cνλµ = Do s :=s + sν =s(4,2) + s(4,1,1) + s(3,3) • Trường hợp  Thêm vào dịng Khi ν = µ1 + =  Thêm vào dịng Khi ν = µ2 + 1=  Thêm cịn lại vào dịng Khi ν = Từ ta có ν = (3, 2,1)  Vì ta thu hai bảng skew nên hệ số cνλµ = Do s :=+ s sν = s(4,2) + s(4,1,1) + s(3,3) + s(3,2,1) • Trường hợp  Thêm vào dịng Khi ν = µ1 + =  Thêm vào dịng Khi = ν 1,= ν  Thêm cịn lại vào dịng Khi ν = Từ ta có ν = (3,1,1,1)  Vì ta thu bảng skew nên hệ số cνλµ = Do s :=s + sν =s(4,2) + s(4,1,1) + s(3,3) + 2s(3,2,1) + s(3,1,1,1) • Trường hợp  Vì µ2 < µ1 nên ta bắt đầu thêm vào µ2 Khi ν = µ1 = 2,ν = µ2 + =  Thêm cịn lại vào dịng Khi ν = Từ ta có ν = (2, 2, 2)  Vì ta thu bảng skew nên hệ số cνλµ = Do s :=s + sν =s(4,2) + s(4,1,1) + s(3,3) + 2s(3,2,1) + s(3,1,1,1) + s(2,2,2) 43 • Trường hợp  Vì µ2 < µ1 nên ta bắt đầu thêm vào µ2 Khi ν = µ1 = 2,ν = µ2 + =  Thêm cịn lại vào dịng Khi ν =  Thêm cịn lại vào dịng Khi ν = Từ ta có ν = (2, 2,1,1)  Vì ta thu bảng skew nên hệ số cνλµ = Do s :=s + sν =s(4,2) + s(4,1,1) + s(3,3) + s(3,2,1) + s(3,1,1,1) + s(2,2,2) + s(2,2,1,1) Vậy tích cần tìm s(2,1) s(2,1) = s(4,2) + s(4,1,1) + s(3,3) + s(3,2,1) + s(3,1,1,1) + s(2,2,2) + s(2,2,1,1) Thuật toán 3.4.1 thực phần mềm toán học SAGE Để tính tốn hệ số Littlewood-Richardson phần mềm SAGE, làm sau: sage: import sage.libs.lrcalc.lrcalc as lrcalc Sau đó, tính tốn hệ số Littlewood-Richardson sau: sage: lrcalc([3,2,1],[2,1],[2,1]) (3,2,1) Điều có nghĩa c(2,1),(2,1) = Tính tốn tích hai đa thức Schur thực cách liệt kê tất hệ số Littlewood-Richardson khác không với phân hoạch tương ứng với Ví dụ 3.4.2 Để tính tích s(2,1) s(2,1) Ví dụ 3.4.1 ta thực sau: sage: lrcalc.mult ([2,1], [2,1]) {[2, 2, 1, 1]: 1, [2, 2, 2]: 1, [3, 1, 1, 1]: 1, [3, 2, 1]: 2, 44 [3, 3]: 1, [4, 1, 1]: 1, [4, 2]: 1} Điều có nghĩa s(2,1) s(2,1) = s(2,2,1,1) + s(2,2,2) + s(3,1,1,1) + s(3,2,1) + s(3,3) + s(4,1,1) + s(4,2) Nhận xét 3.4.5 Chúng ta có nhận xét sau: 1) Công thức Pieri trường hợp đặc biệt luật Littlewood-Richardson hai phân hoạch λ , µ có thành phần Khi sµ s p = ∑ ν ∈µ ⊗ p sν , s p đa thức Schur phân λ có thành phần p ≠ 0, phân hoạch ν có cách thêm p vào biểu đồ Young phân hoạch µ , cột thêm tối đa 2) Luật nhân Littlewood-Richardson khơng hồn tồn đối xứng theo λ µ Điều thể cụ thể hình 3.8 xác định tích s(2,2) s(2,1) cách áp dụng luật Littlewood-Richardson theo hai cách Hình 3.8: s(2,2) s(2,1) =s(4,3) + s(4,2,1) + s(3,3,1) + s(3,2,2) + s(3,2,1,1) + s(2,2,2,1) 45 KẾT LUẬN Những kết mà luận văn thực được: • Trong chương 1:  Trình bày cách hệ thống khái niệm kết phục vụ cho chương sau  Trình bày chi tiết hai định nghĩa đa thức Schur cho ví dụ minh họa • Trong chương 2:  Phát biểu chứng minh lại công thức Pieri, Jacobi-Trudi, Giambelli  Đưa thuật toán tương ứng với cơng thức Pieri Giambelli Đồng thời, trình bày nhiều ví dụ minh họa cho cơng thức Jacobi-Trudi • Trong chương 3:  Trình bày chi tiết luật nhân Littlewood-Richardson  Đưa thuật toán cho luật nhân minh họa ví dụ cụ thể Đồng thời, việc thực luận văn thạc sĩ với đề tài “Một số công thức luật nhân cho đa thức Schur” giúp thân hiểu sâu kiến thức học chương trình đại học, cao học làm quen với hướng nghiên cứu đại số máy tính, đại số tính tốn Quan tâm chúng tơi • Cài đặt chương trình cho số thuật tốn đưa luận văn phần mềm Mapple, C++, • Tiếp nối kiến thức có luận văn này, thời gian tới chúng tơi tìm hiểu đa thức Schubert với nhiều tính chất thú vị có liên quan đến đa thức Schur • Luận văn trình bày hệ số Littlewood-Richardson, hệ số phát sinh biểu diễn tích hai đa thức Schur dạng tổ hợp tuyến tính đa thức Schur khác Trong thời gian tới, tìm hiểu hệ số khác 46 phát sinh biểu diễn đa thức Schur tổ hợp tuyến tính đa thức đối xứng đơn, hệ số Kostka Đồng thời tìm hiểu cách tiếp cận hình học hai hệ số 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh Tiếng Anh Clélia Pech (2013), LTTC Intensive Course: Schubert calculus on Grassmannians, King’s College London, London Laurent Manivel (2001), Symmetric functions, Schurbert polynomials and Degeneracy Loci, American Mathematical Society, Providence William Fulton (1997), Young tableaux, with applications to representation theory and geometry, Cambridge University Press, Cambridge ... định thức tử đa thức đan dấu, chia hết cho định thức Vandermode mẫu Như định nghĩa đa thức Schur Jacobi định nghĩa tốt Hơn nữa, định thức tử số định thức mẫu số 11 đa thức đan dấu nên thương đa thức. .. 2.2 Công thức Jacobi-Trudi Ta biết đa thức đối xứng đa thức đối xứng đầy đủ viết đa thức Schur Ngược lại, đa thức Schur biểu diễn dạng định thức ma trận mà phần tử đa thức đối xứng đa thức đối... Schur định nghĩa dạng đặc biệt đa thức đối xứng Chúng tổng quát đa thức đối xứng đa thức đối xứng đầy đủ Do đó, đa thức Schur với đa thức Schur với đa thức đối xứng đa thức đối xứng đầy đủ có mối