Phân hoạch
Trong phần nay chúng tôi nhắc lại một vài kiến thức cơ bản liên quan đến phân hoạch. Định nghĩa 1.1.1 Một phân hoạch với tối đa m phần là một dãy các số nguyên không âm được sắp theo thứ tự giảm dần λ = (λ 1 , , λ m ) (tức là λ 1 ≥ ã ã ã ≥ λ m ) Kớch cỡ của phõn hoạch λ được định nghĩa bởi
Cho n là một số nguyên dương Khi đó một phân hoạch λ có kích cỡ n (gọi tắc λ là một phân hoạch của n), được ký hiệu bởi λ ⊢ n. Để thuận tiện, chúng ta xem các phân hoạch sau là như nhau λ = (λ 1 , , λ m ) = (λ 1 , , λ m ,0,0, )
Ví dụ 1.1 Một phân hoạch có cỡ 5 là (3,1,1) = (3,1,1,0,0). Định nghĩa 1.1.2 Một phân hoạch với tối đa m phần λ = (λ 1 , , λ m ) được gọi là một phân hoạch ngặt nếu các phần tử của chúng là một dãy giảm thực sự cỏc số nguyờn khụng õm, tức là λ 1 > ã ã ã > λ m
Ví dụ 1.2 Một vài phân hoạch ngặt cỡ 5 là
Bảng Young và quan hệ thứ tự trên bảng Young
Biểu đồ Young và bảng Young
Định nghĩa 1.2.1 Cho một phân hoạch λ = (λ 1 , , λ m ) Một biểu đồYoung Y λ ứng với phân hoạch λ là một họ các hộp, sao cho các hộp ngoài cùng bên trái của mỗi hàng nằm trên cùng một cột và số lượng hộp từ hàng trên cùng đến hàng dưới cùng theo thứ tự tương ứng là λ 1 , , λ m
Ví dụ 1.3 Cho phân hoạch λ = (3,1) (đây là một phân hoạch của 4, viết là λ ⊢ 4) Khi đó, biểu đồ Young ứng với phân hoạch λ là
Ví dụ 1.4 Cho phân hoạch λ = (7,5,4,3) (đây là một phân hoạch của
19, i.e λ ⊢ 19) Khi đó, biểu đồ Young ứng với phân hoạch λ là
Y (7,5,4,3) = Định nghĩa 1.2.2 Phân hoạch đối ngẫu của một phân hoạch λ được ký hiệu là λ˜, trong đó biểu đồ Young Y ˜ λ thu được bằng cách lật đối xứng biểu đồ Young Y λ qua đường chéo chính.
Ví dụ 1.5 Phân hoạch đối ngẫu của phân hoạch λ = (7,5,4,3) là λ˜ (4,4,4,3,2,1,1), ứng với biểu đồ Young sau đây
Tiếp theo chúng ta sẽ định nghĩa một số cách điền các số tự nhiên vào các ô của biểu đồ Young Cách điền này có thể là điền tùy ý các số vào các ô mà không theo một quy tắc nào, trường hợp này ta gọi là một bảng điền (xem Ví dụ 1.6 - (a)); Nếu cách điền yêu cầu các số điền vào chỉ được xuất hiện duy nhất một lần, trường hợp này ta gọi là một bảng đánh số (xem Ví dụ 1.6 - (b)) Ngoài ra, ngoài ra một số cách điền tuân theo một số quy tắc đặc biệt như bảng nửa chuẩn tắc hay bảng chuẩn tắc, tương ứng với hai cách điền này ta có bảng Young nửa chuẩn tắc hay bảng Young chuẩn tắc (xem Ví dụ 1.6 - (c), (d)) Cụ thể, Định nghĩa 1.2.3 Một bảng Young nửa chuẩn tắc (gọi tắc là bảng Young), ký hiệu là SSY T, của phân hoạch λ là một cách điền vào biểu đồ Young Y λ theo quy tắc mỗi ô ứng với một số thuộc tập hợp được sắp thứ tự {1 < ã ã ã < m}, sao cho
• các số trên cùng một cột thì tăng ngặt từ trên xuống dưới, và
• các số trên cùng một hàng thì tăng yếu từ trái sang phải.
Tập hợp tất cả các bảng Young nửa chuẩn tắc của phân hoạch λ được ký hiệu là SSY T(λ). Định nghĩa 1.2.4 Một bảng Young chuẩn tắc, ký hiệu là SY T, của phân hoạch λ với tối đa m phần, là một cách điền vào biểu đồ Young
Y λ theo quy tắc mỗi ô ứng với một số thuộc tập hợp được sắp thứ tự {1< ã ã ã < m}, sao cho
• các số trên cùng một cột thì tăng ngặt từ trên xuống dưới, và
• các số trên cùng một hàng thì tăng ngặt từ trái sang phải.
Tập hợp tất cả các bảng Young chuẩn tắc của phân hoạch λ được ký hiệu là SY T(λ).
Ví dụ 1.6 Một số cách điền vào phân hoạch λ = (3,3,2,1), như sau:
4 9 5 (a) bảng điền (b) bảng đánh số (c) bảng nửa chuẩn tắc (d) bảng chuẩn tắc
Ví dụ 1.7 Tập tất cả 8 bảng Young nửa chuẩn tắc của phân hoạch λ = (2,1,0) với tập số {1,2,3} là:
Một số quan hệ thứ tự trên bảng Young
• Thứ tự từ điển - Lexicographic ordering.
Trong các bộ từ điển, các phân hoạch được liệt kê theo thứ tự được gọi là thứ tự từ điển. Định nghĩa 1.2.5 Cho hai phõn hoạch λ = (λ 1 , λ 2 , , λ m ) và à (à 1 , à 2 , , à n ) Phõn hoạch λ được gọi là đứng trước phõn hoạch à theo thứ tự từ điểnnếu tồn tại chỉ số i đầu tiờn,1 ≤ i ≤ min{m, n}, à i ̸= λ i sao cho ∀j < i : λ j = à j , λ i < à i thỡ ta núi λ đứng trước à Ký hiệu λ ≤ à.
Ghi chú 1.2.6 Nếu j ≤m thì ta nói λ j là ký tự rỗng, tương tự nếu j ≤n thỡ coi à j là ký tự rỗng, ký tự rỗng đứng trước mọi ký tự khỏc.
Vớ dụ 1.8 Hóy xem xột hai phõn hoạch λ = (2,1) và à = (2,2) để kiểm tra xem phõn hoạch λ cú đứng trước phõn hoạch à theo thứ tự từ điển hay không.
Phõn hoạch λ cú cỏc thành phần là λ 1 = 2 và λ 2 = 1 Phõn hoạch à cú cỏc thành phần là à 1 = 2, à 2 = 2.
Chỳng ta sẽ so sỏnh từng thành phần của λ và à theo thứ tự từ điển:
Tại j = 1: λ 1 = à 1 = 2 Vỡ λ 1 bằng à 1 , chỳng ta tiếp tục kiểm tra cỏc thành phần tiếp theo Tại j = 2: λ 2 = 1 và à 2 = 2 Ở đõy, λ 2 đứng trước à 2 trong thứ tự từ điển, vỡ 1 đứng trước 2.
Chỳng ta đó kiểm tra tất cả cỏc thành phần của λ và à và thấy rằng tại chỉ số j < i = 2, tất cả cỏc thành phần λ j đều bằng à j và λ i đứng trước à i trong thứ tự từ điển Vỡ vậy, theo định nghĩa, phõn hoạch λ đứng trước phõn hoạch à theo thứ tự từ điển.
Xuất phát từ thứ tự từ điển của phân hoạch, ta có thể định nghĩa một quan hệ thứ tự từ điển tương tự, sử dụng để so sánh các bảng Young với nhau Cụ thể : Định nghĩa 1.2.7 Cho hai bảng Young T và T ′ Thứ tự từ điển có thể được sử dụng để định nghĩa một thứ tự với mỗi cách đánh số của n ô với các phần tử riêng biệt trong tập hợp {1, , n} Chúng ta nói rằng T ′ < T nếu một trong hai điều sau xảy ra:
(1) phân hoạch của bảng Young T lớn hơn phân hoạch của bảng Young
T ′ theo thứ tự từ điển;
(2) ngược lại, tức làT vàT ′ có cùng phân hoạch, thì bằng cách liệt kê các phần tử trong mỗi phân hoạch theo quy tắc liệt kê từ dưới lên trên theo mỗi cột, bắt đầu từ cột bên trái và di chuyển sang cột phải, phần tử lớn nhất xuất hiện ở các ô khác nhau trong hai cách đánh số xảy ra trong T sớm hơn hơn trong T ′
Ví dụ 1.9 Ví dụ cho (1): Cho T và T’ là 2 bảng Young tương ứng của λ = (2,2) và à = (2,1) Ta cú
Ta thấy phân hoạch của T lớn hơn phân hoạch của T’ nên T ′ < T.
Ví dụ cho (2): Cho T và T’ là 2 bảng Young tương ứng của λ = (2,2) và à= (2,2) Ta cú
Ta thấy T có số 4 nên T ′ < T.
Ví dụ cho (3): Cho T và T’ là 2 bảng Young tương ứng của λ = (2,2) và à= (2,2) Ta cú
Ta thấy số 3 xuất hiện sớm hơn trong T nên T < T ′
Ví dụ 1.10 Chúng ta có thể sử dụng thứ tự từ điển để sắp xếp tất cả các bảng Young chuẩn tắc của phân hoạch λ = (3,2) với các số điền vào thuộc tập hợp {1, ,5}, cụ thể
(1) (2) (3) (4) (5) Ở bảng (1) và (2), số 5 ở cùng vị trí, nên ta so sánh vị trí của số 4 Ta thấy số 4 ở bảng (1) xuất hiện sớm hơn (cột 1) số 4 ở bảng (2) (cột 3). Nên (1) > (2) Tương tự khi ta so sánh các cặp bảng còn lại.
• Thứ tự ưu tiên - Dominance ordering. Định nghĩa 1.2.8 Cho λ = (λ 1 , , λ k ) và à = (à 1 , , à l ) là hai phõn hoạch của số nguyờn n (tức là λ ⊢ n và à ⊢ n) Ta núi rằng λ ưu tiờn hơn à, ký hiệu là àλ, nếu điều kiện sau được thỏa món: à 1 +à 2 + +à i ⩽ λ 1 + λ 2 + +λ i (1.1) với mọi i trong đoạn [1,max{k, l}] Thứ tự này được gọi là thứ tự ưu tiên.
Tương tự, chỳng ta núi rằng λ ưu tiờn mạnh hơn à, ký hiệu là àλ, nếu điều kiện sau được thỏa mãn: à 1 +à 2 + +à i < λ 1 + λ 2 + + λ i (1.2) với mọi i trong đoạn [1,max{k, l}] Thứ tự này được gọi là thứ tự ưu tiên mạnh.
Vớ dụ 1.11 Xột n = 5, ta lấy 2 phõn hoạch λ = (3,1,1) và à = (3,2). Tại i = 1, λ 1 = à 1 = 3.
Chú ý Thứ tự ưu tiên không là một quan hệ thứ tự toàn phần Quan hệ thứ tự ưu tiên chỉ được dùng để so sánh hai phân hoạch có cùng kích cỡ.
Ghi chỳ 1.2.9 Lưu ý rằng điều kiện àλ (λ ưu tiờn hơn à) đồng nghĩa với à ≤ λ (à được sắp xếp nhỏ hơn hoặc bằng λ) Tuy nhiờn, sự tương quan này không thể được đảo ngược.
• Mối liên hệ giữa Thứ tự từ điển ≤ và Thứ tự ưu tiên Nếu àλ (λ ưu tiờn hơn à), thỡ à ≤ λ (à được sắp xếp nhỏ hơn hoặc bằng λ) Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng.
Biểu đồ Young nâng, bảng Young nâng nửa chuẩn tắc 10
Phần này nhắc lại một số định nghĩa liên quan đến biểu đồ Young nâng và bảng Young nâng nửa chuẩn tắc. Định nghĩa 1.2.10 Cho λ = (λ 1 > ã ã ã > λ m > 0) là một phõn hoạch ngặt Một biểu đồ Young nâng ShY λ ứng với phân hoạch λ là một họ các hộp với λ i hộp ở hàng thứ i và được dịch chuyển sang trái m−i+ 1 hộp.
Ví dụ 1.13 Cho phân hoạch ngặt λ = (5,3,2,1) (với độ dài là m = 4). Khi đó, biểu đồ Young nâng ứng với phân hoạch λ là
ShY (5,3,2,1) Tiếp theo chúng ta sẽ định nghĩa một cách điền các số nguyên dương và các số nguyên dương có dấu, với thứ tự được quy ước là 1 ′ < 1< 2 ′ 0 và w p là sự xuất hiện bên trái nhất của giá trị lớn nhất này, thì w p = i Đặc biệt, điều này khiến cho việc định nghĩa f i trở nên hợp lí.
Ví dụ 2.6 Thực hiện tương tự như các ví dụ trên, ta có thể thiết lập tất cả các toán tử dưới của các bảng Young nửa chuẩn tắc của phân hoạch λ = (3,1) và các số điền vào thuộc tập hợp {1,2,3} Cuối cùng ta thu được một đồ thị tinh thể tương ứng, được minh họa trong Hình 5.
Hình 5 Kết quả sau đây được tìm thấy trong hai tài liệu [KN94, Lit95]. Định lý 2.1.4 Các toán tử dưới {f i }1 ≤ i γ 2 > ã ã ã > γ m ), do đó γ 1 là phần tử lớn nhất trong phân hoạch γ.
Ví dụ 2.7 Xét phân hoạch ngặt γ = (3,1), ta có γ 1 = 3 và γ 2 = 1, độ dài của γ là l(γ) = 2.
Ta tính được: wt(2 ′ ) = (0,1,0) wt(2 ′ 1) = (1,1,0) wt(2 ′ 12) = (1,2,0) wt(2 ′ 122) = (1,3,0).
Chú ý Các ô có giá trị i ′ , i phải tạo thành một ribbon (hay một dải), tức là không chứa khối 2×2 (i.e không có hai ô liên tiếp theo chiều dọc và chiều ngang chứa các mục i, i ′ ). Định nghĩa 2.2.3 Cho T là bảng Young nửa chuẩn tắc Các toán tử dưới (hay lowering operators), được ký hiệu là f i , trên T được định nghĩa như sau:
(2) Gọiplà chỉ số nhỏ nhất sao chom i (w(T), p) = m i (w(t)), khi đó f i (T) sẽ thay số hạng trong T tương ứng với w p bởi i+ 1. Định nghĩa 2.2.4 Cho T là bảng Young nâng nửa chuẩn tắc Các toán tử dưới (hay shifted lowering operators), được ký hiệu là f i ′ , trên T được định nghĩa như sau:
• Gọi p là chỉ số nhỏ nhất sao cho m i (w(T), p) = m i (w(T)) Gọi x là số hạng của T tương ứng với vị trí w p , gọi y là số hạng phía nam của x, gọi z là số hạng phía đông của x, tức là x z y
(a) Nếu x = i và z = (i+ 1) ′ , thì f i ′ thay x thành (i+ 1) ′ và thay z bởi i+ 1;
(b) Nếu x = i và z = i, thì f i ′ thay thay z bởi i+ 1;
(c) Ngược lại, nếu x = i và y không tồn tại hoặc y > i + 1, thì f i ′ thay x thành i+ 1;
(d) Ngược lại, nếu x = i và ô phía nam nhất trong (i+ 1)-ribbon chứa y có dấu phẩy, thì f i ′ sẽ xóa dấu phẩy đó và thay x thành (i+ 1) ′ ;
(e) Ngược lại, nếu x= i, thì f i ′ thay x thành (i+ 1) ′
Minh họa cho các Trường hợp 1(a), 1(b), 1(c), 1(d), 1(e) nêu trên, xem Ví dụ 2.8.
(a) Nếu x = i ′ và y = i, thì f i ′ thay x thành i và thay y thành (i+ 1) ′ ;
(b) Ngược lại, nếu x = i ′ và z không tồn tại hoặc z > i+ 1, thì f i ′ thay x thành (i+ 1) ′ ;
(c) Ngược lại, nếu x = i ′ , thì f i ′ thay x thành y và thay số i đầu tiên ở hướng bắc nhất dọc theo i − ribbon chứa x mà không theo sau bởi i hoặc (i+ 1) ′ bằng số (i+ 1) ′
Minh họa cho các Trường hợp 2(a), 2(b) và 2(c) nêu trên, xem chi tiết trong Ví dụ 2.9.
Ví dụ 2.8 Minh họa cho Trường hợp 1 Giả sử x= i = 1.
Ví dụ 2.9 Minh họa cho Trường hợp 2 Giả sử x= i ′ = 1 ′
1 1 1 2 ′ y Để hiểu hơn về Định nghĩa 2.2.4, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 2.10 Xét bảng nâng nửa chuẩn tắc sau:
Lại có: w(T) = (1121) ⇒ w(T) = 4 ⇒1 ≤ r ≤ w(T) = 4 Suy ra, wt(1) = (1,0,0) wt(11) = (2,0,0) wt(112) = (2,1,0) wt(1121) = (3,1,0).
Sau đây ta sẽ tìm ảnh của bảng nâng nửa chuẩn tắc T qua các toán tử f j ′ với 1≤ j ≤ n−1 = 3−1 = 2 Cụ thể, j=1 Ta có: w 1 (w(T)) def = max 4 r=1 m 1 (w(T), r) m 1 (w(T),1) = wt(1) 1 −wt(1) 2 = 1−0 = 1 m 1 (w(T),2) = wt(11) 1 −wt(11) 2 = 2−0 = 2 m 1 (w(T),3) = wt(112) 1 −wt(112) 2 = 2−1 = 1 m 1 (w(T),4) = wt(1121) 1 −wt(1121) 2 = 3−1 = 2
⇒ chọn chỉ số nhỏ nhất p = 2 vì m 1 (w(T),2) = m 1 (w(T)) = 2. Khi đó f 1 ′ thay số hạng phía đông của số ở vị trí p = 2 trong w(T) là
2 j=2 Ta có: w 2 (w(T)) def = max 4 r=1 m 2 (w(T), r) m 2 (w(T),1) = wt(1) 2 −wt(1) 3 = 0−0 = 0 m 2 (w(T),2) = wt(11) 2 −wt(11) 3 = 0−0 = 0 m 2 (w(T),3) = wt(112) 2 −wt(112) 3 = 1−0 = 1 m 2 (w(T),4) = wt(1121) 2 −wt(1121) 3 = 1−0 = 1
⇒ chọn chỉ số nhỏ nhất p = 3 vì m 2 (w(T),3) = m 2 (w(T)) = 1. Khi đó f 2 ′ thay số ở vị trí p= 3 trong w(T) là 2 thành số 3.
Ví dụ 2.11 Ta lấy n = 3, λ = (3,1) suy ra độ dài của λ là l(λ) = 2. Xét bảng nâng nửa chuẩn tắc sau:
2 Với bộ số điền vào T là 1 ′ < 1 < 2 ′ < 2< 3 ′ < 3
Lại có: w(T) = (2 ′ 122) ⇒ w(T) = 4 ⇒1 ≤ r ≤ w(T) = 4 Suy ra, wt(2 ′ ) = (0,1,0) wt(2 ′ 1) = (1,1,0) wt(2 ′ 12) = (1,2,0) wt(2 ′ 122) = (1,3,0).
Sau đây ta sẽ tìm ảnh của bảng nâng nửa chuẩn tắc T qua các toán tử f j ′ với 1≤ j ≤ n−1 = 3−1 = 2 Cụ thể, j=1 Ta có: w 1 (w(T)) def = max 4 r=1 m 1 (w(T), r) m 1 (w(T),1) = wt(2 ′ ) 1 −wt(2 ′ ) 2 = 0−1 = −1 m 1 (w(T),2) = wt(2 ′ 1) 1 −wt(2 ′ 1) 2 = 1−1 = 0 m 1 (w(T),3) = wt(2 ′ 12) 1 −wt(2 ′ 12) 2 = 1−2 = −1 m 1 (w(T),4) = wt(2 ′ 122) 1 −wt(2 ′ 122) 2 = 1−3 = −2
Khi đó f 1 ′ ≡ 0. j=2 Ta có: w 2 (w(T)) def = max 4 r=1 m 2 (w(T), r) m 2 (w(T),1) = wt(2 ′ ) 2 −wt(2 ′ ) 3 = 1−0 = 1 m 2 (w(T),2) = wt(2 ′ 1) 2 −wt(2 ′ 1) 3 = 1−0 = 1 m 2 (w(T),3) = wt(2 ′ 12) 2 −wt(2 ′ 12) 3 = 2−0 = 2 m 2 (w(T),4) = wt(2 ′ 122) 2 −wt(2 ′ 122) 3 = 3−0 = 3
Nên ta chọn chỉ số nhỏ nhất p = 4 vì m 2 (w(T),4) = m 2 (w(T)) = 3. Khi đó f 2 ′ thay số ở vị trí p= 4 trong w(T) là 2 thành số 3.
Ví dụ 2.12 Ta xét một bảng nửa chuẩn tắc khác Ta lấy n= 3,λ = (3,1) suy ra độ dài của λ là l(λ) = 2.
Xét bảng nâng nửa chuẩn tắc sau:
3 Với bộ số điền vào T là 1 ′ < 1 < 2 ′ < 2< 3 ′ < 3
Lại có: w(T) = (2 ′ 113) ⇒ w(T) = 4 ⇒1 ≤r ≤ w(T) = 4 Suy ra, wt(2 ′ ) = (0,1,0) wt(2 ′ 1) = (1,1,0) wt(2 ′ 11) = (2,1,0) wt(2 ′ 113) = (2,1,1).
Sau đây ta sẽ tìm ảnh của bảng nâng nửa chuẩn tắc T qua các toán tử f j ′ với 1≤ j ≤ n−1 = 3−1 = 2 Cụ thể, j=1 Ta có: w 1 (w(T)) def = max 4 r=1 m 1 (w(T), r) m 1 (w(T),1) = wt(2 ′ ) 1 −wt(2 ′ ) 2 = 0−1 = −1 m 1 (w(T),2) = wt(2 ′ 1) 1 −wt(2 ′ 1) 2 = 1−1 = 0 m 1 (w(T),3) = wt(2 ′ 11) 1 −wt(2 ′ 11) 2 = 2−1 = 1 m 1 (w(T),4) = wt(2 ′ 113) 1 −wt(2 ′ 113) 2 = 2−1 = 1
Nên ta chọn chỉ số nhỏ nhất p = 3 vì m 1 (w(T),3) = m 2 (w(T)) = 1.
Khi đó f 1 ′ thay số ở vị trí p = 3 trong w(T) là 1 thành số 2 ′ và thay số ở vị trí phía đông w 1 = 2 ′ thành 2.
3 j=2 Ta có: w 2 (w(T)) def = max 4 r=1 m 2 (w(T), r) m 2 (w(T),1) = wt(2 ′ ) 2 −wt(2 ′ ) 3 = 1−0 = 1 m 2 (w(T),2) = wt(2 ′ 1) 2 −wt(2 ′ 1) 3 = 1−0 = 1 m 2 (w(T),3) = wt(2 ′ 11) 2 −wt(2 ′ 11) 3 = 1−0 = 1 m 2 (w(T),4) = wt(2 ′ 113) 2 −wt(2 ′ 113) 3 = 1−1 = 0
Nên ta chọn chỉ số nhỏ nhất p = 1 vì m 2 (w(T),1) = m 2 (w(T)) = 1. Khi đó f 2 ′ thay số ở vị trí p= 1 trong w(T) là 2 ′ thành số 3 ′
Ví dụ 2.13 Ta xét một bảng nửa chuẩn tắc khác Ta lấy n= 3,λ = (3,1) suy ra độ dài của λ là l(λ) = 2.
Xét bảng nâng nửa chuẩn tắc sau:
2 Với bộ số điền vào T là 1 ′ < 1 < 2 ′ < 2< 3 ′ < 3
Lại có: w(T) = (3 ′ 112) ⇒ w(T) = 4 ⇒1 ≤r ≤ w(T) = 4 Suy ra, wt(3 ′ ) = (0,0,1) wt(3 ′ 1) = (1,0,1) wt(3 ′ 11) = (2,0,1) wt(3 ′ 112) = (2,1,1).
Sau đây ta sẽ tìm ảnh của bảng nâng nửa chuẩn tắc T qua các toán tử f j ′ với 1≤ j ≤ n−1 = 3−1 = 2 Cụ thể, j=1 Ta có: w 1 (w(T)) def = max 4 r=1 m 1 (w(T), r) m 1 (w(T),1) = wt(3 ′ ) 1 −wt(3 ′ ) 2 = 0−0 = 0 m 1 (w(T),2) = wt(3 ′ 1) 1 −wt(3 ′ 1) 2 = 1−0 = 1 m 1 (w(T),3) = wt(3 ′ 11) 1 −wt(3 ′ 11) 2 = 2−0 = 2 m 1 (w(T),4) = wt(3 ′ 112) 1 −wt(3 ′ 112) 2 = 2−1 = 1
Nên ta chọn chỉ số nhỏ nhất p = 3 vì m 1 (w(T),3) = m 2 (w(T)) = 2.
Khi đó f 1 ′ thay số ở vị trí p= 3 trong w(T) là 1 thành số 2 ′
2 j=2 Ta có: w 2 (w(T)) def = max 4 r=1 m 2 (w(T), r) m 2 (w(T),1) = wt(3 ′ ) 2 −wt(3 ′ ) 3 = 0−1 = −1 m 2 (w(T),2) = wt(3 ′ 1) 2 −wt(3 ′ 1) 3 = 0−1 = −1 m 2 (w(T),3) = wt(3 ′ 11) 2 −wt(3 ′ 11) 3 = 0−1 = −1 m 2 (w(T),4) = wt(3 ′ 112) 2 −wt(3 ′ 112) 3 = 1−1 = 0
Ví dụ 2.14 Ta xét một bảng nửa chuẩn tắc khác Ta lấy n= 3,λ = (3,1) suy ra độ dài của λ là l(λ) = 2.
Xét bảng nâng nửa chuẩn tắc sau:
2 Với bộ số điền vào T là 1 ′ < 1 < 2 ′ < 2< 3 ′ < 3
Lại có: w(T) = (2 ′ 3 ′ 12) ⇒ w(T) = 4 ⇒ 1 ≤ r ≤ w(T) = 4 Suy ra, wt(2 ′ ) = (0,1,0) wt(2 ′ 3 ′ ) = (0,1,1) wt(2 ′ 3 ′ 1) = (1,1,1) wt(2 ′ 3 ′ 12) = (1,2,1).
Sau đây ta sẽ tìm ảnh của bảng nâng nửa chuẩn tắc T qua các toán tử f j ′ với 1≤ j ≤ n−1 = 3−1 = 2 Cụ thể, j=1 Ta có: w 1 (w(T)) def = max 4 r=1 m 1 (w(T), r) m 1 (w(T),1) = wt(2 ′ ) 1 −wt(2 ′ ) 2 = 0−1 = −1 m 1 (w(T),2) = wt(2 ′ 3 ′ ) 1 −wt(2 ′ 3 ′ ) 2 = 0−1 =−1 m 1 (w(T),3) = wt(2 ′ 3 ′ 1) 1 −wt(2 ′ 3 ′ 1) 2 = 1−1 = 0 m 1 (w(T),4) = wt(2 ′ 3 ′ 12) 1 −wt(2 ′ 3 ′ 12) 2 = 1−2 = 0
Khi đó f 1 ′ ≡ 0. j=2 Ta có: w 2 (w(T)) def = max 4 r=1 m 2 (w(T), r) m 2 (w(T),1) = wt(2 ′ ) 2 −wt(2 ′ ) 3 = 1−0 = 1 m 2 (w(T),2) = wt(2 ′ 3 ′ ) 2 −wt(2 ′ 3 ′ ) 3 = 1−1 = 0 m 2 (w(T),3) = wt(2 ′ 3 ′ 1) 2 −wt(2 ′ 3 ′ 1) 3 = 1−1 = 0 m 2 (w(T),4) = wt(2 ′ 3 ′ 12) 2 −wt(2 ′ 3 ′ 12) 3 = 2−1 = 1
Nên ta chọn chỉ số nhỏ nhất p = 1 vì m 1 (w(T),1) = m 2 (w(T)) = 1.
Khi đó f 2 ′ thay số ở vị trí p = 1 trong w(T) là 2 ′ thành số 2 ′ và thay số ở vị trí p = 4 là 2 thành 3.
Ví dụ 2.15 Thực hiện tương tự như các ví dụ trên, ta có thể thiết lập tất cả các toán tử dưới của các bảng Young nâng nửa chuẩn tắc của phân hoạch λ = (3,1) với các số điền vào thuộc tập hợp {1 ′ < 1< 2 ′ < 2 < 3 ′ < 3}.Cuối cùng ta thu được một đồ thị tinh thể tương ứng, được minh họa trong Hình 6.
Hình 6 Kết quả sau đây được trích dẫn từ tài liệu [AO20]. Định lý 2.2.5 Các toán tử dưới f i ′ 1
≤ i