Tìm hiểu một số mệnh Đề về hình tròn trong “cơ sở hình học phẳng về hình tròn” của euclid

Hình học phát triển độc lập trong một số nền văn hóa cổ đại như một phần của kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, số đo góc, diện tích, thể tích, với một phần các yếu tố của kho

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM

Sinh viên thực hiện : Lê Viết Quý — 21ST2

Phan Văn Hảo — 21ST2

Nguyễn Thị Cẩm Ly — 21ST2

Lê Thúy Nga — 21ST2

Võ Hoàng Long — 21ST1 Đặng Thị Duyên — 2IST1

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

Đà Nẵng, thang 5 năm 2024

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM

Sinh viên thực hiện : Lê Viết Quý — 21ST2

Phan Văn Hảo - 21ST2

Nguyễn Thị Cẩm Ly — 21ST2

Lê Thúy Nga - 21ST2

Võ Hoàng Long — 21ST1 Đặng Thị Duyên — 2IST1

Trần Tấn Tài - 2IST1

Nguyễn Tịnh Hiến — 21ST1

Lớp học phần : 21-0101 (Sư phạm Toán K2021) Giảng viên hướng dẫn : ThS Phan Quang Nhw Anh

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

Đà Nẵng, thang 5 năm 2024 BANG DANH GIA CỦA NHÓM 5

Mệnh dé 12 + lam Tiéu luận 98%

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

DANH MUC VIET TA

T

1 Vai nét vé tac gid, tac Pham ccc ccc cscccsesseesessessessesessesessesesiesesesevsnseeseseses 2

pin (ỲĂỲẰĂ'ỲỶŸ'ỶỶÝ HH 2

5 0.0 oi an s5 2

2 Khái quát về hình tròn, đường trÒN: - 22-2 12E2182111121211211 1112112 1 1e rrteg 4

DAL Lich 4 2.2 Sự xác định đường tròn c1 2c 2112111211211 121 1121111111111 11115 011112111121 ke 4

3 Các mệnh đề về hình tròn trong “Cơ sở hình học phẳng về hình tròn” của Euclid

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

DANH MUC VIET TAT

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

LOI NOI DAU

Hinh học là một phân nhánh của toán học liên quan đến hình dạng, kích thước, vị

trí tương đối của các hình khối và các tính chất của không gian Hình học phát triển

độc lập trong một số nền văn hóa cổ đại như một phần của kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, số đo góc, diện tích, thể tích, với một phần các yếu tố của khoa học Toán học đến từ phương Tây Đến thế kỉ thứ III TCN, hình học đã được Euclid hệ thống hóa đưới dạng một hình thức tiên đề mang tên ông - Hình học Euclid đã trở thành chuẩn mực cho nhiều thế kỉ sau đó

Trong hình học phẳng, với các tính chất riêng có của đường tròn (hình tròn), Euclid đã sử dụng nó trong rất nhiều bài toán về dựng hình trong Quyền 1 như đựng một hình tam giác, dựng đoạn thắng, dựng góc vuông, góc thắng, dựng hình vuông từ những dữ kiện hình học cho trước Và đặc biệt hơn thế, Euclid đã khám phá, khai thác các tính chất quan trọng nhất của đường tròn trong rất nhiều Mệnh đề ở Quyên 3 Nhóm 5 vi thế rất hân hạnh được tiếp xúc, nghiền ngẫm và giới thiệu lại mười hai mệnh đề đầu tiên trong Quyên 3 với đề tài: “Tìm hiểu một số mệnh đề về hình tròn trong Cơ sở hình học phắng về hình tròn của Eucliđ” trong bải Tiểu luận cuối kì

Và bên cạnh đó, “Cơ sở hình học” là một môn học tương đối trừu tượng và mở rộng Đề có thê hiểu đầy đủ và sâu rộng về môn học này không thê thiếu sự chỉ day va

hướng dẫn nhiệt tình của giảng viên Qua đây, Nhóm 5 xin gửi lời cảm ơn chân thành

đến Th§ Phan Quang Như Anh, thông qua sự hướng dẫn tận tình của cô, tạo cơ hội cho Nhóm 5 được tiếp cận với những nội dung kiến thức vô cùng hữu ích và thực hiện bài tiểu luận của môn học này Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của cô

để nội dung của bải tiểu luận có thể thêm hoàn thiện và đầy đủ

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

Euclid được mệnh danh là "Cha đẻ của Hình học", và là tác p1ả của một trong những tác phâm toán học quan trọng nhất trong lich su “Co so hinh hoc” (Elements) được biên soạn vào khoảng năm 320 TCN tác phẩm danh tiếng lừng lẫy của Euclide

Ông nỗi tiếng VỚI tác phâm "Cơ sở", một bộ sách giáo trình về toán học và hình học đã được sử dụng rộng rãi cho đến thế kỷ 19 Bộ sách này bao gồm 13 quyên, mô tả các nguyên lý căn bản của toán học, bao gồm số học, hình học và đại số

Educlid còn được cho là tác giả của nhiều công trình khác trong thiên văn học, quang học, lý thuyết ân nhạc; cũng như là trong toán học, nhiều tác phẩm trong số đó không còn hiện hữu nữa, hoặc chỉ còn lại những mãnh vỡ nhưng các định lí và bé dé của ông vẫn được sử dụng trong toán học hiện đại, và tác phẩm của ông vẫn được coi

là một trong những công trình quan trọng nhất trong lịch sử toán học Ông vẫn được tôn vinh như một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, và tác phâm của ông vẫn có ảnh hưởng lớn đến ngày nay

1.2 Tác phẩm “Cơ sở”

Cho dén nay, Co so hinh hoc (Elements) cua Euclide la tac pham toan hoc kinh điểm trứ danh nhất, và cũng chiếm lĩnh vị trí đặc biệt khi là quyền sách giao khoa về toán học cô nhất được sử dụng liên tục

Co sé hinh hoc (Elements) bao gồm 13 Quyên (tức Chương) với tông cộng 465 mệnh đề

Cơ sở hình học (#/emewzs) không chỉ là “Kinh thánh của hình học” mà còn là

“Kinh thánh” thứ bai xét về số lần xuất bản Kê từ lần ấn loát đầu tiên năm 1482, Elements đã có hơn một nghìn lần xuất bản, “Trên hai thiên niên ky, công trinh này đã new tri trong moi giang day vé hinh hoc”

N6i dung co ban cua tac pham (Quyén 3) néi tiếng đó: Nghiên cứu hình tròn và các tính chất của chúng, và bao gồm các định lý về đường tiếp tuyến và góc nội tiếp

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

Ngoài ra trong quyền này còn có các định lí nói về phương tích của một điểm đối với một đường tròn

* Nhắc lại các định nghĩa ở quyên 1 về hình tròn:

14 Hình là cái được tạo thành bởi một hoặc nhiều biên

15 Hình tròn là một hình phẳng được tạo thành bởi một đường đơn [được gọi là chu vi] sao cho moi doan thang tỏa ra [dén chu vi] tte mot diém trong số các điểm năm bên trong hình tròn là bằng nhau

16 Và điểm đó được gol la tam cua hinh tron

17 Còn đường kính của hình tròn là một đoạn thăng bắt kì được kẻ Xuyên qua tâm và bị chu vi của hình tròn ngắt đứt Mỗi đoạn thang nhu thé déu cat doi hinh tron

18 Một nửa hình tròn là hình được giới hạn bởi đường kính và một phần đường chu vi bị cắt ra bởi đường kính này Tâm của nửa hình tròn cùng chính là tâm của hình tròn

* Tóm tắt nội dune quyền 3 về mười hai Mệnh đề đầu tiên:

Mệnh đề I nói về việc xác định tâm của hình tròn, và chứng minh một đường tròn chỉ có duy nhất một tâm

Mệnh đề 2 chứng minh các dây cung của một đường tròn đều năm bên trong đường tròn đó (nghĩa là dây cung bị chứa bởi hình tròn do)

Mệnh đề 3 nói về các tính chất liên hệ giữa đường kính và dây cung

Mệnh đề 4 nói về sự tương giao của hai dây cung không phải là đường kính

Mệnh đề 5, mệnh để 6 nêu lên sự không đồng nhất tâm của hai đường tròn cắt nhau và tiếp xúc nhau

Mệnh đề 7, mệnh đề 8 nêu ra tương quan so sánh về độ dài của các đoạn thắng

nối từ một điểm bất kì không phải là tâm (nằm trong vả ngoài hình tròn) đến đường

chu vi thông qua mức độ xa gần với đoạn qua tâm

Mệnh đề 9 nêu ra một cách khác trong việc xác định tâm qua việc vẽ được nhiều

hơn hai đoạn thăng bằng nhau từ một điểm tùy ý trong hình tròn đến đường chu vi

Mệnh đề 10 chứng minh hai đường tròn cắt nhau tại tối đa hai điểm

Mệnh đề 11, mệnh đề 12 nói về đường nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc nhau (nội tiếp nhau và ngoại tiếp nhau) sẽ đi qua điểm tiếp xúc đó

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

2 Khái quát về hình tròn, đường tròn:

2.1 Lịch sử

Từ Circle (C) có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp (kirkos/kuklos), nghĩa là “vòng” hay

“nhẫn”

Đường tròn đã được biết đến từ trước khi lịch sử ghi nhận được Những hình tròn

tự nhiên hắn đã được quan sát, ví dụ như Mặt Trăng, Mặt Trời Đường tròn là nền tảng để phát triển bánh xe, mà cùng với các phát minh tương tự như bánh răng, là thành phan quan trong trong may móc hiện đại Trong toán học, việc nghiên cứu đường tròn đã dẫn đến sự phát triển của hình học, thiên văn học và vi tích phân Khoa học sơ khai, đặc biệt là hình học, thiên văn học và chiêm tính học, thường

được nhiều học giả thời trung cô kết nối với thánh thần, và nhiều người tin rằng có gì

đó “thiêng liêng” và “hoàn hảo” ở hình tròn

Một số dấu mốc trong lịch sử đường tròn:

se Năm 1700 trước Công nguyên- Bản giấy cói Rhind đưa ra phương pháp đề tính

diện tích hình tròn Kết quả tương đương với 256/81 (3.16049 ) như một giá trị xấp xỉ cua 7

¢ Nam 300 trude Cong nguyén — Quyén 1, Quyén 3 cua bé sach Co sé ca Euclid đưa ra định nghĩa và bàn về những tính chất của đường tròn

® Trong Bức thư thứ bảy của Plato có một định nghĩa chi tiết và giải thích về đường tròn Plato viết về một đường tròn hoàn hảo, và sự khác biệt của nó với bất kì hình vẽ, giải thích hay định nghĩa nào khác

® Năm 1880 — Lindemann chứng minh được z là số siêu việt, giải quyết trọn vẹn bài toán cầu phương hình tròn sau hơn một thiên niên kỷ

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

3 Các mệnh đề về hình tròn trong “Cơ sở hình học phẳng về hình tròn” của Euclid

3.1 Các định nghĩa

1 Các hình tròn bằng nhau là các hình tròn mà đường kính của chúng lả bằng

nhau hay khoảng cách từ tâm đến đường chu vi là bằng nhau (tức là các bán kính của chúng là bằng nhau)

2 Một đường thẳng được gọi là tiếp xúc với một hình tròn là một đường thẳng bất kỳ gặp đường tròn và được kéo dài mà không cắt hình tròn đó

3 Các hình tròn được gọi là tiếp xúc nhau là các hình tròn bất kỳ gặp nhau mà

không cắt nhau

4 Trong một hình tròn các đường thắng được gọi là cách đều tâm khi mà các đoạn thắng vuông góc kẻ từ tâm đến các đường thắng đó là bằng nhau

5 Và đường thắng đó được gọi là cách xa tâm hơn khi mà đường vuông góc vẽ

từ tâm là dài hơn

6 Một hình viên phân là hình tạo bởi một đoạn thang và một phần đường chu vi của hình tròn [hay cung tron]

7 Và góc của một hình viên phân là góc kẹp giữa đoạn thăng đó và đường chu vi của hình tròn

§ Và góc nội tiếp một hình viên phân là góc kẹp giữa hai đoạn thắng cắt nhau

khi lấy một điểm bắt kì nằm trên đoạn chu vi hình tròn của hình viên phân rồi nối các

đoạn thang từ điểm đó đến các đầu mút của đoạn thang la canh day cua hinh vién phan

9 Và khi các đoạn thăng tạo góc cắt một phần chu vi (cung tròn) của hình tròn thì góc đó được gọi là góc chắn (cung)

10 Một hình quạt tròn là hình tạo bởi các đoạn thang bao quanh một góc va phần chu vi chắn bởi góc đó khi mà góc đó, khi mà góc đó được dựng từ tâm

11 Các viên phân đồng đạng là những hình viên phân nhận các góc viên phân bàng nhau, hay có góc viên phân bằng nhau

3.2 Các Định đề:

1 Cùng quy ước rằng có thê vẽ một đoạn thắng nối hai điểm bất kì

2 Và có thê kéo đài liên tục một đoạn thang thành đường thang

3 Có thể vẽ một hình tròn với tâm và bán kính bắt kì

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

4 Tất cả các góc vuông đều bằng nhau

5 Nêu một đường thẳng (gốc) cắt hai đường thắng khác tạo thành các góc trong

về cùng một phía với nó có tổng nhỏ hơn hai góc vuông thì hai đường thắng khi được kéo đài ra vô hạn sẽ cắt nhau ở phía của đường thăng gốc mà tông hai góc trong nhỏ hơn hai vuông (chứ không cắt ở phía bên kia)

3.3 Các Tiên đề

1 Những thứ cùng bằng với một thức thì bằng nhau

2 Nếu cùng thêm những thứ bằng nhau vào những thứ bằng nhau (vào hai về của một bất đăng thức) thì những tông thể sẽ bằng nhau (bất đẳng thức không đổi dấu)

3 Nếu cùng bớt những thứ bằng nhau ra khỏi những thứ bằng nhau (ra khỏi hai

về của một bất đẳng thức) thì phần còn lại sẽ bằng nhau (bất đắng thức không đổi dấu)

4 Các thứ trùng nhau thì bằng nhau

5 Một tổng thể thi lớn hơn bộ phận lẻ của nó

3.4 Một số mệnh đề về hình tròn trong “CƠ sở hình học phẳng về hình tròn” của Euclid

Mệnh đề 1 7: zâm của một hình tròn cho trước

Kiến thức cần dùng:

[MĐ.1.8] Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, và hai cạnh đáy cũng bằng nhau, thì các góc xen giữa các cặp cạnh tương ứng bằng nhau là bằng nhau

[MĐ.1.10] Chia đôi một đoạn thắng cho trước

[ĐN.1.10] Khi một đường thắng đứng trên một đường thắng khác tạo thành hai góc kể bằng nhau, mỗi góc kể đó là một góc vuông, và đường thắng đang xét được gọi

là vuông sóc với đường mà nó đứng trên

[MĐ.1.11] Từ một điểm cho trước nằm trên một đường thắng cho trước, hãy dựng một đoạn thằng vuông góc với đường thắng cho trước này

Chứng minh

Cho trước một hình tròn, hãy tìm tâm của hình tròn cho trước Vẽ đoạn thang AB bat

ki cắt qua hình tròn cho trước chia đôi AB tại điểm D theo [MĐ.1.10] Từ điểm D, vẽ đoạn DC vuông góc với AB [MĐ.1.11] Kéo đài CD đến E Và chia đôi CE tại F

[MD.1.10]

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

E

Có thê phát biểu rằng ( điểm ) F la tam cua hinh tròn Gia sử G 1a tâm của hình

tròn và G không thuộc CE Nỗi G với A, G với D và G với B

Vì vậy ( điểm ) G không phải là tâm của hình tròn

Tương tự, có thê chứng minh rằng không có điểm nào khác là tâm của hình tron, trừ điểm F

Vậy, điểm F là tâm của hình tròn

Hệ quả: Từ kết quả này, rõ ràng rằng nếu bất cứ đoạn thẳng nào trong hình tròn vừa chia đôi vừa vuông góc một đoạn thắng khác thì tâm của hình tròn nằm trên đoạn

thứ nhất

Mệnh đề 2 Chọn hai điểm bất kỳ trên đường chu vì của một hình tròn thì đoạn thăng nói hai điểm sẽ nằm bên trong hình tròn

Kiến thức cần dùng:

[MĐ 3.1] Tìm tâm của một hình tròn cho trước

[MD 1.5] Với các tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau, và nếu hai cạnh bằng nhau được kéo dài sẽ tạo ra hai góc phía dưới cạnh đáy cũng bằng nhau

[MD 1.19] Trong tam giác bat kì, góc lớn hơn bị chắn bởi cạnh lớn hơn

Chứng minh

Cho hình tròn ABC, và chọn ngẫu nhiên hai điểm A và B nằm trên đường chu vi

của nó Có thê phát biểu rằng đoạn thăng nối A với B sẽ nằm bên trong hinh tròn

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh

Nếu không thì giả sử nó nằm bên ngoài hình tròn như AEB Xác định được tâm

của hình tròn ABC [MĐ 3.1] gọi là điểm D Nối D với A, D với B và nối D,F,E thắng

hàng

Do đó, vì DA =DB nên ĐAE=DBE[MĐ 1.5] Vì A DAE, cạnh AEB duoc kéo dai,

suy ra DEB> DAE [MD 1.16] Va DAE = DBE [MD 1.5] Vay DEB > DBE Và góc lớn hơn chắn bởi cạnh lớn hơn [MĐ 1.19] Suy ra, DB > DE Va DB= DF Suy ra, DF dai

hơn DE, đoạn ngắn lớn hơn đoạn dải (không thể) Suy ra, đoạn nối A với B không nam ngoài hình tròn Nên tương tự, chứng minh rằng không có đường thẳng nào có thê nằm trên chính đường chu vi hình tròn Do đó sẽ nằm bên trong hình tron (dpem)

Mệnh đề 3 7rong một hình tròn, nếu một đường thang bat kỳ đi qua tâm cắt đi đoạn thăng bắt kỳ không đi qua tâm, thì cũng cắt nó theo một góc vuông Ngược lại nếu cắt tại một góc vuông thì cũng cắt đôi nó

Kiến thức cần dùng:

[MĐ 3.1] Tìm tâm của một hình tròn cho trước

[MD 1.5] Với các tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau, và nếu hai cạnh bằng nhau được kéo dài sẽ tạo ra hai góc phía dưới cạnh đáy cũng bằng nhau

[MĐ I.8] Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai cạnh đáy cũng bằng nhau, thì các góc xen giữa các cặp cạnh tương ứng bằng nhau là bằng nhau

[MĐI.26] Nếu hai cạnh có hai cặp góc tương ứng bằng nhau và một cạnh tương ứng bằng nhau mà cạnh này là một cạnh của hai sóc đang xét hoặc cạnh nằm chắn một trong hai góc nảy thì các cạnh còn lại của tam giác sẽ tương ứng bằng nhau, góc còn lại cũng tương ứng bằng nhau

Cơ sở hình học GVHD: ThS Phan Quang Nhu Anh [DN 1.10] Khi một đường thăng đứng trên một đường thắng khác tạo thành hai

góc kề bằng nhau, mỗi góc đó là một góc vuông, và đường thăng đang xét được gọi là vuông øóc với đường mà nó đứng trên

Chứng minh

Cho hình tròn ABC và cho đường thắng CD bat ky qua tâm cắt đôi đoạn thắng

AB bắt kỳ không qua tâm tại điểm F CD cũng cắt AB theo góc vuông

Xác định tâm của hình tròn ABC [MĐ 3.1], gọi điểm E và nối E với A, E với B

Vì AF=FB, FE cạnh chung nên hai cạnh tam giác AFE bằng hai cạnh tam giác

BFE Va cạnh day EA bang canh day EB Suy ra, AFE = BFE [MD 1.8] và AFE= BFE=90° [ÐN 1.10] Suy ra AFE và BFE là góc vuông Suy ra đường thẳng đi

qua tâm CD cắt đôi đoạn thắng không đi qua tâm AB, cũng cắt AB theo một góc vuông

Giả sử, CD cắt AB theo một góc vuông nó cũng cắt đôi AB Nghĩa là AF=FB Vi EA=EB nên g6c EAF =EBF [MD I.5] Và góc vuông AFE= góc vuông BFE Suy ra, EAF

va EFB là hai tam giác có hai góc bằng nhau, EF cạnh chung chắn một trong các góc bằng nhau Suy ra, các cạnh còn lại tương ứng bằng nhau [MĐ 1.26] Suy ra, AF =EB

Mệnh đề 4 7rong một hình tròn, nếu hai đoạn thăng không qua tâm cắt nhau thì chứng không chia nhau làm đôi

Kiến thức cần dùng:

[MĐ.3.1] Tìm tâm của một hình tròn cho trước

[MĐ.3.3] Trong một hình tròn, nếu một đường thắng bất kỳ đi qua tâm cắt đôi đoạn thắng bất kỳ không đi qua tâm, thì cũng cắt nó theo một góc vuông Ngước lại nếu cắt tại một góc vuông thì cũng cắt đôi nó

Chứng minh