Bài nhóm xác suất thống kê

_Chú ý: Ta sử dụng qui tắc cộng khi hành động H được thực hiện bởi hành động H hoặc 1 hành động H hoặc … nói cách khác là các hành động thành phần không xảy ra cùng lúc.. _Chú ý: Ta sử

Bài nhóm

GVHD: Nguyễn Như Lân

Lớp học phần: D17

 Nhóm 3:

 Nguyễn Thái Gia Khải (21) (Phần 1)

 Giang Ngọc Sơn (52) (Phần 3)

 Nguyễn Hoàng Anh Thư (58) (Phần 2)

 Câu hỏi

Phần 1:

1 Trình bày các công thức giải tích tổng hợp, có

ví dụ minh họa

2 Tính xác suất và định nghĩa, có ví dụ minh họa

3 Tính xác xuất bằng công thức cộng, công thức

nhân, công thức xác xuất đầy đủ, công thức

Bayes, có ví dụ minh họa

Phần 2: Sử dụng một phần mềm để giải quyết bài toán thống kê.

Phần 3:

1 Nêu ý nghĩa giá trị kì vọng, có ví dụ minh họa

2 Sử dụng giá trị kì vọng cho việc gì, có ví dụ minh họa

3 Nêu ý nghĩa phương sai và ứng dụng của phương sai



 Phần I:

1 Các công thức giải tích tổ hợp :

1.1.Các qui tắc:

1.1.1 Qui tắc cộng:

Môn: Lý thuyếết xác suấết và thôếng

kế toán

_Nếu có cách thực hiện hành động H, hoặc có cách khác thực hiện hành động H thì m n

ta sẽ có m+n cách thực hiện hành động H

_Chú ý: Ta sử dụng qui tắc cộng khi hành động H được thực hiện bởi hành động H hoặc 1 hành động H hoặc … nói cách khác là các hành động thành phần không xảy ra cùng lúc 2 (Nói dễ hiểu hơn là các phương pháp thực hiện hành động H dù chọn phương pháp nào đi chăng nữa thì cũng hoàn thành hành động H)

_Ví dụ: Các nhóm I, II lần lược có 3, 4 học viên Cần chọn 2 học viên cùng một nhóm

Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

 Giải:

Phương án thứ nhất: Chọn 2 học viên nhóm I có n = 3 (cách).1

Phương án thứ hai: Chọn 2 học viên nhóm II có n = 6 (cách).2

Do đó, số cách chọn 2 học viên cùng nhóm là n = n + n = 3+6 = 9 (cách).1 2

1.1.2 Qui tắc nhân:

_Nếu các thực hiện hành động H gồm nhiều bước liên tiếp: ở bước 1 có m cách, ở bước 1

2 có m cách, …, ở bước n có m cách thì tất cả sẽ có m m … m cách thực hiện 2 n 1 x 2 x x n hành động H

_Chú ý: Ta sử dụng quy tắc nhân khi hành động H được thực hiện đồng thời bởi các hành động H , H , … nói cách khác là các hành động thành phần xảy ra cùng lúc (Nói cách 1 2 khác là muốn thực hiện xong hành động H dù có chọn phương pháp nào thì cũng phải hoàn thành tất cả các giai đoạn để hoàn thành hành động H)

_Ví dụ: Để đi từ thành phố A đến thành phố C phải qua thành phố B một trong bốn cách

để đi từ A đến B là: đường bộ, đường sắt, đường không và đường thủy Có một trong hai cách để đi từ B đến C là: đường bộ, đường sắt Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?

 Giải:

_Để đi từ A đến C ta phải thực hiện liên tiếp một dãy 2 hành động:

Đ ườ ng b ộ

Đ ườ ng sắắt

Đ ườ ng b ộ

C

Đ ườ ng th y ủ

Đ ườ ng hàng không Đ ườ ng sắắt

+Hành động thứ nhất: Để đi từ A đến B có n = 4 (cách)1

+Hành động thứ hai: Để đi từ B đến C có n = 2 (cách)2

_Vậy theo quy tắc nhân, số cách đi từ A tới C là n = n n = 4 2 = 8 (cách)1 x 2 x

1.2 Hoán vị:

1.2.1 Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử của tập A là một nhóm có thứ tự đủ n phần tử đã cho

Ví dụ: Số cách xếp chỗ ngồi cho 4 người vào 1 bàn là: 4! = 24 (do những người này có

thể đổi chổ cho nhau)

1.2.2 Định lý: Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = 1 2 3 … n = n!x x x x

*Chú ý: Ở đây ta chỉ quan tâm đến số các hoán vị có thể được lập từ tập nào đó 1.3 Chỉnh hợp:

1.3.1 Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A (0 k n) là ≤ ≤

một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho

*Chú ý: Khi thực hiện đổi chỗ cho nhau ví dụ AB -> BA là xuất hiện trường hợp mới nhưng vẫn thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta sử dụng chỉnh hợp

Ví dụ: Số có 2 chữ số khác nhau được lập từ tập các số: 1, 2, 3.

 Ta có các số: 12, 13, 21, 23, 31, 32 (Vì đổi chỗ các số cho nhau tao ra số mới nhưng vẫn thỏa mãn yêu cầu đề bài nên ta sử dụng chỉnh hợp)

1.3.2 Định lý: Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A là:

Ví dụ: Mỗi lớp trong học kỳ I phải học 12 môn khác nhau, mỗi ngày học 3 môn Hỏi có

bao nhiêu cách sắp xếp thời khóa biểu trong ngày?

 Giải:

Xếp 3 môn khác nhau trong số 12 môn là một sắp xếp có thứ tự Như vậy, số cách xếp là:

= = 1320

1.4 Tổ hợp:

1.4.1 Định nghĩa: Khi lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập gồm n phần tử (k n), sao ≤

cho hai các lấy ra k phần tử được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất 1 phần tử khác nhau (nghĩa là không phân biệt về thứ tự của các phần tử) thì: số cách lấy ra k phần

tử từ n phần tử như trên được gọi là tổ hợp chập k của n, kí hiệu là:

*Chú ý: Kho ta thực hiện đổi chổ hai viên bi màu đỏ và xanh trong cùng một lần lấy là như nhau không tạo ra kết quả mới (Không mang tính thứ tự) thì ta sử dụng tổ hợp

Ví dụ: Bốc 2 viên bị bất kì từ một thùng chứa 5 bi gồm 3 xanh và 2 đỏ Số cách bóc được

2 bi khác màu là:

 Trường hợp xảy ra là 1 đỏ & 1 xanh hoặc 1 xanh & 1 đỏ là như nhau nên= 3 2 =6x (cách)

1.4.2 Định lý: Số các tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A là:

Ví dụ: Mỗi đề thi gồm có 5 câu hỏi khác nhau chọn từ ngân hàng 50 câu hỏi đã cho Hỏi

có thể thành lập được bao nhiêu đề thi khác nhau?

 Giải:

Mỗi đề thi sẽ chọn 5 câu từ 50 câu đã cho trong ngân hàng câu hỏi Do chọn không kể thứ tự, không trùng nhau nên số cách chọn là tổ hợp chập 5 của 50

Ta có:

2 Tính xác suất bằng định nghĩa:

2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất:

_Một phép thử ngẫu nhiên là một phép thử mà ở đó ta chưa biết kết quả nhưng lại biết

được hết các khả năng có thể xảy ra của phép thử Tất cả các khả năng của phép thử đó được gọi là không gian mẫu Không gian mẫu được ký hiệu là Ω

_Một biến cố của phép thử ngẫu nhiên là một tập con của không gian mẫu.

+Tập con rỗng của Ω gọi là biến cố không thể

 Ví dụ: Biến cố xuất hiện mặt 0 chấm khi tung một viên xúc xắc.

+Tập con Ω của Ω gọi là A biến cố chắc chắn

 Ví dụ: Biến cố xuất hiện mặt hình khi tung một đồng xu.

+Hai biến cố không có phần chung nhau gọi là hai biến cố xung khắc

 Ví dụ: Xét phép chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp Gọi A là biến cố “sinh viên được chọn là nam” và B là biến cố “sinh viên được chọn là nữ” thì A và B là hai biến cố xung khắc

+Hai biến cố xung khắc và hợp với nhau bằng Ω gọi là 2 biến cố đối nhau

 Ví dụ: Gọi biến cố A: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu,

thì biến cố đối khí hiệu sẽ là “ Không lần nào xuất hiện mặt sấp”

2.2 Công thức tính xác suất cổ điển:

_Xác suất của biến cố A theo định nghĩa cổ điển đặc trưng cho khả năng xảy ra của biến

cố đó thấp hay cao Công thức tính xác suất là:

_Trong đó n(A) là số phần tử của biến cố A n(Ω) là số phần tử không gian mẫu

_Ví dụ: Gieo ngẫu nhiên 1 con súc sắc cân đối và đồng chất Xác suất để mặt có số chấm

chẵn xuất hiện là bao nhiêu?

 Giải:

_Không gian mẫu là Ω={1;2;3;4;5;6}

_Số phần tử không gian mẫu là n(Ω)=6

_Gọi A là biến cố mặt có số chấm chẵn xuất hiện

->A={2;4;6} nên số phần tử của A là n(A)=3

_Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là P(A)==

3 Các công thức tính xác suất:

_Như vậy theo định nghĩa bên trên, cách tính xác suất là tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của biến cố sau đó lập tỉ số

_Ngoài ra chúng ta cũng có thể tính thông qua một số công thức sau:

3.1 Công thức đếm số phần tử của 2 tập hợp: Nếu A và B là hai biến cố không xung

khắc thì:

Ví dụ: Trong lớp 12A1 có 33 bạn học sinh Trong đó có 12 bạn học lực giỏi môn Toán, 15

bạn học lực giỏi môn Văn, 21 bạn học lực giỏi ít nhất một trong hai môn Toán, Văn Chọn ngẫu nhiên từ lớp 1 bạn để tham dự đại hội Đoàn trường Xác suất để bạn học sinh được chọn giỏi cả 2 môn Toán và Văn là bao nhiêu?

P(A) =

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

12

33

Giải:

_Không gian mẫu n(Ω)= 33

_Áp dụng công thức trên ta có số học sinh giỏi cả Toán và Văn là: 12+15-21=6 _Vậy xác suất cần tìm là: =

3.2 Tính xác suất thông qua biến cố đối: “Trong một số bài toán mà xuất hiện các từ như ít nhất, hơn… thì ta có thể suy nghĩ đến việc tìm xác suất thông qua biến cố đối”

Ví dụ:Trong một hộp có 6 viên bi đỏ và 11 viên bi vàng Lấy ra ngẫu nhiên 5 viên bi Xác suất để trong 5 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi đỏ là bao nhiểu?

Giải:

_Nếu không tính theo biến cố đối ta có thể thấy cần chia rất nhiều trường hợp để đếm Chẳng hạn như 1 đỏ 4 vàng, 2 đỏ 3 vàng, 3 đỏ 2 vàng… Nhưng nếu sử dụng biến cố đối

để tính thì bài toán đơn giản hơn rất nhiều

_Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) =

_Gọi A là biến cố “5 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi đỏ” biến cố đối của biến cố A là

“5 viên bi lấy ra không có viên bi đỏ”

_Do đó n( ) =

_Vậy xác suất cần tìm là P(A) = 1 – P( ) = 1 - = 1 - =

3.3 Công thức cộng xác xuất: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì:

P(A) +P( ) =1

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Ví dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 2 phế phẩm) Lấy ngẫu nhiên không hoàn

toàn lại từ hộp ra 6 sản phẩm Tính xác suất để không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra

Giải:

_Gọi A là biến cố “Không có phế phẩm nào trong 6 hộp lấy ra”; B là biến cố “có 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra” và C là biến cố “có không quá 1 phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra”

_Ta thấy: C=A∪B

_Mà A, B là hai biến cố xung khắc (vì nó không thể đồng thời xảy ra trong phép thử lấy ngẫu nhiên ra 6 sản phẩm từ hộp), nên:

P(C) = P(A B) = P(A) + P(B) = = ∪

3.4 Công thức nhân xác suất: Hai biến cố độc lập nếu như việc xảy ra của biến cố

này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia Biến cố độc lập có một định nghĩa tương đương bằng công thức

Ví dụ: Ba xạ thủ cùng bắn vào 1 bia với xác xuất trúng đích lần lượt là 0,7; 0,6; 0,8 Xác

suất để ba xạ thủ cùng bắn trúng đích là bao nhiêu?

Giải:

_Việc bắn trúng đích của mỗi xạ thủ không ảnh hưởng đến việc trúng đích của xạ thủ khác Vậy xác suất cần tìm là: 0,7×0,6×0,8=0,336

3.5 Công thức xác suất đầy đủ:

_Cho không gian mẫu Ω và A , A , …, A 1 2 n

_Các biến cố A , A , …, A được gọi là một hệ biến cố đầy đủ nếu chúng thỏa mãn 2 điều1 2 n

kiện:

+ A1 ∪ A … A = Ω2∪ ∪ n

+ Ai ∩ Aj = với mọi i j và i, j {1, 2, …, n}∅ ≠ ∈

_Khi đó ta có: P(A)= =

P(A.B) = P(A) P(B)

* Các xác suất P(A ); P(A ); …, P(A ) thường được gọi là các xác suất của các giả thiết 1 2 n

(hay các xác suất tiêu nghiệm)

_Ví dụ:Xét một lô giày chiến sĩ được sản xuất bởi 3 nhà máy với tỉ lệ lần lượt là 20%, 30% và 50% Xác suất giày hỏng của các nhà máy lần lượt là 0,001; 0,005 và 0,006 Lấy ngẫu nhiên một chiếc giày từ lô hàng Tìm xác suất để chiếc giày lấy ra bị hỏng

Giải:

_Gọi A là biến cố lấy được một phế phẩm A , A , A tương ứng là các biến cố sản phẩm 1 2 3

lấy ra thuộc lô thứ nhất, thứ hai, thứ ba Các biến cố A , A , A là một hệ biến cố đầy đủ 1 2 3

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A)= P(A ) * P( + P(A ) * P( + P(A ) * P(1 2 3

= 0,2 0,001 + 0,3 0,005 + 0,5 0,006 = 0,0065

3.6 Công thức Bayes:

_Công thức Bayes, mang tên của linh mục và nhà toán học người Anh Thomas Bayes (1702-1761), là công thức ngược, cho phép tính xác suất có điều kiện P( khi biết xác suất

có điều kiện P( và một số thông tin khác Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Nếu

A, B là hai sự kiện bất kì với xác suất khác 0 thì từ quy tắc nhân xác suất

_Định lý: Giả sử {A , A , …, A } là hệ đầy đủ và B là một sự kiện bất kì có thể xảy ra 1 2 n

trong phép thử Khi đó ta có công thức Bayes:

_Ví dụ: Dây chuyền lắp ráp máy vô tuyến điện gồm các linh kiện là sản phẩm từ 2 nhà

máy sản xuất ra Số linh kiện nhà máy 1 sản xuất chiếm 55%, số linh kiện nhà máy 2 sản xuất chiếm 45%; tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 là 90%, nhà máy 2 là 87% Lấy ngẫu nhiên ra 1 linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó ra kiểm tra thì được kết quả linh kiện đạt chuẩn Tìm xác suất để linh kiện đó do nhà máy 1 sản xuất?

Giải:

_Gọi A = “linh kiện do nhà máy thứ I sản xuất”, i=1, 2

P( P(B) = P( P(A) => P( =

P( = = , k = 1, 2, … , n

_Gọi B = “linh kiện đạt chuẩn”, ta cần tìm P(

_Ta có:

P(B) = P(A ) P( + P(A ) P( = 0,55 0,9 + 0,45 0,87 = 0,8865.1 2

_Và: P( = = = 0,5583

 Phần II: Hướng dẫn sử dụng một phần mềm giải quyết các bài

toán thống kê.

_Bước 1: Chuẩn bị một bảng thống kê cho trước:

_Bước 2: Kick vào biểu tượng Data  chọn Data Analysis (2)

(1)

_Bước 3: Chọn vào descriptive statistics  chọn ok

_Bước 4: Chọn cột dữ liệu số cần thống kê:

Đ tn c y cho ộ ậ các giá tr trung ị bình

Ch n ô cấần ọ xuấết kếết quả

Ch sôế thôếng kế c b n ỉ ơ ả Quét khôếi c t d ộ ữ

li u sôế cấần thôếng ệ

_Bước 5: Đọc bản số liệu thống kê:

 Phần III: Giá trị kỳ vọng và phương sai.

1 Ý nghĩa của giá trị kỳ vọng: Giá trị kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của biến ngẫu nhiên

Ví dụ: Trước khi bước vào kì thi đại học ta thường tham gia vào các kỳ thi thử để rèn

luyện và định hình năng lực thực tại của mình Giả sử:

Số điểm làm bài thi

Số bài thi thử môn

Toán

 Ta nhận thấy được ta làm tổng cộng 10 bài thi thử môn toán với các số điểm nhận được là 9, 8, 7

 Ta quan sát được số điểm trung bình mà ta có thể đạt được khi làm một bài thi toán là:

 Nhưng trong thực tế khi tham gia vào bài thi chính thức môn toán Thì không hẳn

là ta sẽ được 7,7 điểm mà số điểm ta nhận được có thể ước chừng loanh quanh, lân cận con số 7,7 (có thể cao hơn hoặc thấp hơn 7,7) nhưng ta biết được năng lực mình đang ở đâu

Giá trị trung tâm của biến ngẫu nhiên hay giá trị kỳ vọng mà mình muốn đạt được ở đây chính là 7,7 điểm

2 Ứng dụng của giá trị kỳ vọng.

_Ví dụ: Bất cứ khi nào bạn ước tính một đại lượng chưa biết, theo một nghĩa nào đó, bạn

đang sử dụng khái niệm giá trị kỳ vọng Điều này đặc biệt đúng khi đại lượng chưa biết là kết quả của một sự kiện trong tương lai Một ví dụ rất phổ biến về điều này là khi bạn ước tính thời gian đến nơi của mình Giả sử bạn nói với ai đó, "Tôi sẽ về nhà lúc sáu giờ sáng." Để dịch điều đó thành các thuật ngữ toán học: “Thời gian tôi đến là một biến ngẫu nhiên Giá trị kỳ vọng của nó là 6:00” Hoặc giả sử bạn phải tham gia một kỳ thi vào ngày mai, và bạn không cảm thấy chuẩn bị cho nó, và bạn nói với bạn của mình, "Tôi sẽ đạt được, như là, 50 điểm." Theo thuật ngữ toán học: “Điểm của tôi trong kỳ thi ngày mai

là một biến ngẫu nhiên Giá trị kỳ vọng của nó là 50” (Nhân tiện, con người chúng ta rất kém trong việc ước tính những giá trị mong đợi này.)

_Ví dụ: Chọn phương án đầu tư dựa trên giá trị tiền tệ kỳ vọng – EMV Một doanh nghiệp

sản xuất trong lĩnh vực tôn, thép, vật liệu xây dựng muốn đón làn song đầu tư từ nước ngoài sang Việt Nam xây nhà máy, nhà xưởng Họ muốn thu hút sự chú ý của nhà đầu tư

đó nên họ quyết định tăng sản xuất lên bằng cách sử dụng một trong 3 phương án là: Đầu

tư xây dựng một nhà máy mới, Mở rộng nhà máy hiện tại, Không làm gì Cứ mỗi phương

n mà doanh nghiệp lựa chọn đưa vào thực tiễn hoạt động thì dự báo thị trường có khả

năng xảy ra là: tăng trưởng, ổn định, suy thoái Cho bảng giá trị lợi nhuận của từng thị trường đối với phương án lựa chọn của doanh nghiệp Sử dụng giá trị tiền tệ kỳ vọng để rút ra doanh nghiệp nên chọn phương án nào là tối ưu nhất

Phương án Tăng trưởng Ổn định Suy thoái

_EMV(2)= 0,35x47 + 0,45x33 + 0,2x8= 32,9

_EMV(3)= 0,35x44 + 0,45x40 + 0,2x3= 34

_EMV(4)= 0,35x19 + 0,45x9 + 0,2x(-2)= 10,3

 Doanh nghiệp nên chọn phương án có Max(EMV )=34 là phương án mở rộng nhà i máy hiện tại

3 Ý nghĩa của phương sai.

_Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với

số trung bình)