XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chuong i cac dinh ly xac suat

Bài giảng môn học: XÁC SUẤT THỐNG KÊ ngkieudung@hcmut.edu.vn Chương I: Các định lý xác suất Tài liệu chính: Bài giảng tập BKeL Giáo trình Xác suất thống kê; tác giả Nguyễn Đình Huy, Đậu Thế Cấp; NXBĐHQG TPHCM; 2013 Bài tập Xác suất thống kê; tác giả Nguyễn Đình Huy; NXBĐHQGTPHCM 2013 Một số tài liệu tham khảo: Lý thuyết xác suất thống kê toán học; tác giả Lý Hoàng Tú, Trần Tuấn Điệp, NXBGTVT; 2003 Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê tốn; PGS.TS Nguyễn Cao Văn, TS.Trần Thái Ninh; NXB ĐHKTQD; 2008 Xác suất thống kê; PGS.TS Tô Văn Ban; NXBGDVN; 2010 Thống kê ứng dụng kinh tế- xã hội, tác giả Hoàng Trọng, Chu Nguyễn Mộng Ngọc; NXBLĐXH;2011 Nhập môn đại Xác suất thống kê, tác giả Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng; NXBĐHSP; 2010 Chương I: Các định lý xác suất PHẦN I: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT • Lý thuyết xác suất mơn Tốn học xác lập quy luật tất nhiên ẩn giấu sau tượng mang tính ngẫu nhiên nghiên cứu số lớn lần lặp lại tượng Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy • Các khái niệm xác suất hình thành vào kỷ 17, gắn liền với tên tuổi nhà bác học Fermat, Pascal, Bernoulli,… dựa việc nghiên cứu quy luật ẩn náu trò chơi cờ bạc may rủi • Đến năm 1933, nhà toán học Nga A.N.Kolmogorov đưa định nghĩa xác suất dựa vào hệ tiên đề, từ xây dựng sở chặt chẽ lý thuyết xác suất • Hiện nay, phương pháp lý thuyết xác suất ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế - xã hội Chương I: Các định lý xác suất Chương 0: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TÚC 0.1 Tập hợp phép toán tập hợp 0.2 Các quy tắc đếm : – 0.2.1 Quy tắc cộng – 0.2.2 Quy tắc nhân 0.3 Giải tích tổ hợp : – Chỉnh hợp – Chỉnh hợp lặp – Hoán vị – Tổ hợp – Nhị thức Newton 0.4 Tích phân Euler - Poisson Chương I: Các định lý xác suất 0.2.1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc tiến hành theo k phương án riêng biệt nhau, – phương án có n1 cách hồn thành cơng việc, – phương án có n2 cách hồn thành cơng việc, … …… – phương án k có nk cách hồn thành cơng việc, Khi có n1 + n2 + + nk cách thực công việc 0.2.2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc thực qua k giai đoạn liên tiếp, – giai đoạn có n1 cách thực hiện, – giai đoạn có n2 cách thực , – .……… – giai đoạn k có nk cách thực Khi có n1 n2 nk cách thực công việc Chương I: Các định lý xác suất Ví dụ Để từ nhà đến trường, An phải qua cầu Có cách để An từ nhà đến cầu, có cách để từ cầu đến trường học Hỏi An có cách từ nhà đến trường ? • Áp dụng Quy tắc cộng • Áp dụng Quy tắc nhân • Phân biệt cách sử dụng Chương I: Các định lý xác suất 0.3.1 Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k từ n phần tử khác ( k ≤ n) thứ tự gồm k phần tử khác đôi từ n phần tử cho Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử : n! A  n(n  1)(n  2) (n  k  1)  (n  k )! k so k n 0.3.2 Chỉnh hợp lặp : Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử khác thứ tự gồm k phần tử , không thiết khác nhau, từ n phần tử cho k k Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử : An  n Chương I: Các định lý xác suất 0.3.3 Hoán vị : Hoán vị n phần tử khác nhóm có thứ tự gồm n phần tử cho n P = A Số hoán vị n phần tử : n n = n! 0.3.4 Tổ hợp : Tổ hợp chập k từ n phần tử khác ( k ≤ n) không kể thứ tự gồm k phần tử khác đôi từ n phần tử cho k A n! k n = Số tổ hợp chập k từ n phần tử : Cn = k! k!(n-k)! • Một số cơng thức thường gặp : C 0n =1 C 1n = n C kn = C n-k n Chương I: Các định lý xác suất k C kn = C k-1 + C n-1 n-1 Chương I: Các định lý xác suất Ví dụ 2: Từ số khác 1,2,3,4,5; Có thể lập số có chữ số khác đơi một? Có thể lập số có chữ số? (các chữ số trùng nhau) Có thể tạo tập gồm chữ số khác đôi từ chữ số trên? Có cách xếp thứ tự chữ số trên? KQ: 1.A35 =60 2.A35 =53 =125 3.C35 =10 4.P5 =5! =120 Chương I: Các định lý xác suất 10 Minh họa câu c) Cách 1: Sử dụng định nghĩa: Số lần mặt chấm lần tung Xác suất tương ứng 0.40188 0.40188 So sánh xác suất Max Max 0.16075 0.03215 0.00322 0.00013 Suy số lần mặt chấm có khả Cách 2: Sử dụng công thức: Do n=5; p=1/6; q=5/6 nên np-q =   k0  Kết luận k0=0 hay k0= Chương I: Các định lý xác suất 58 Ví dụ 18 Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, câu có phương án lựa chọn Một SV khơng học làm cách lựa chọn ngẫu nhiên Tìm xác suất SV chọn 10 câu Số câu có khả SV bao nhiêu? Ví dụ 19 Một hộp bi có bi đỏ bi vàng a) Rút ngẫu nhiên bi, có hồn lại bi sau lần rút Tìm xác suất 18 lần rút có lần bi đỏ b) Rút ngẫu nhiên bi, có hồn lại bi sau lần rút, đủ lần bi đỏ dừng lại Tìm xác suất việc rút bi dừng lại sau lần rút thứ Ví dụ 20 Một hộp bi có bi đỏ bi vàng bi xanh a) Rút viên bi, có hồn lại bi sau lần rút Tìm xác suất rút bi vàng, bi đỏ bi xanh b) Rút ngẫu nhiên bi, có hồn lại bi sau lần rút, gặp đủ bi đỏ dừng lại Tìm XS rút bi vàng bi xanh Chương I: Các định lý xác suất 59 Hướng dẫn: Ví dụ 18 Đây dạng bt Bernoulli với n=20; p= ¼; k=1020 Xác suất cần tìm: 20 k   k   20-k C20     1, 39%  4 4 k=10 Số câu có khả Ví dụ 19 Việc rút bi có hồn lại nên lần rút xem độc lập Ở lần rút , xác suất bi vàng bi đỏ khơng thay đổi a) Bài tốn Bernoulli với n= 18; p= 5/12; k=8   C18    12    C52   lần rút Xác suất cần tìm:  12  b) Có thể áp dụng cơng thức Bernoulli Ví dụ 20 Đây tốn Bernoulli mở rộng   a) C9 C7    21       21  10      12        12  12 4  9            b) C8 C6          21   21   21   21  21   Chương I: Các định lý xác suất 60 2.3.4 Cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes: Định lý : Giả sử { H1, H2, ,Hn } hệ biến cố đầy đủ F biến cố Khi ta có công thức sau: n a) P(F) = P(H1 ).P(F/H1 )+ +P(H n ).P(F/H n ) =  P(H ).P(F/H ) i i i=1 Cơng thức xác suất tồn phần hay CT xác suất đầy đủ b) P(H /F)= P(H k F) = P(H k ).P(F/H k ) ; k n P(F)  P(Hi )P(F/Hi ) k  1, 2, n (khi P( F )  0) i=1 Công thức Bayes Chương I: Các định lý xác suất 61 Chứng minh a) Ta coù: F = F.Ω = F.(H1 +H2 + +Hn ) = FH1 +FH2 + +FHn Vì {FH , FH 2, , FH n } đôi xung khắc nên P (F) = P (FH1) + P (FH2) + + P (FHn) = P(H1).P(F/H1) + P(H2).P(F/H2) + + P(Hn).P(F/Hn) b) Theo coâng thức nhân, ta coù: P (H k /F) = P (H k F) P (H k ).P (F/H k ) = P (F) P (F) k {1, 2,…, n} Chương I: Các định lý xác suất 62 Ví dụ 21 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có phân xưởng sản xuất Phân xưởng sản xuất 50%; phân xưởng sản xuất 20%; phân xưởng sản xuất 30% số bóng đèn nhà máy Tỉ lệ phế phẩm phân xưởng 1% ; 3% 2,5% a) Tìm tỉ lệ phế phẩm chung toàn nhà máy b) Nếu kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm từ kho thành phẩm chung nhà máy mà thấy phế phẩm khả sản phẩm phân xưởng sản xuất bao nhiêu? Chương I: Các định lý xác suất 63 Hướng dẫn: Lấy ngẫu nhiên bóng đèn từ kho chung nhà máy Gọi F biến cố bóng đèn hỏng Hi b/c sản phẩm lấy phân xưởng i sản xuất , i=1,2,3 a) Tỉ lệ phế phẩm nhà máy P(F) {H1 ;H2 ;H3- tạo thành nhóm biến cố đầy đủ P(F) = P(H1).P(F|H1) + P(H2)*P(F|H2) +P(H3)*P(F|H3) = 50%1% + 20% 3% +30% 2,5% = 1,85% b) Dùng công thức Bayes : P(H F) P(H ).P(F|H ) 20%*3% P(H | F)     32, 43% P(F) P(F) 1,85% Dựa vào biểu thức tính P(F) thấy ta ngẫu nhiên lấy phải bóng đèn hỏng bóng đèn có khả cao phân xưởng sản xuất Chương I: Các định lý xác suất 64 Ví dụ 22 (BT 1.32) Hộp I gồm bi trắng bi đen Hộp II chứa bi trắng bi đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên bi bỏ đi, số bi lại hộp dồn chung vào hộp rỗng thứ ba Từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên bi Tìm xác suất viên bi lấy từ hộp thứ có màu trắng Gợi ý: Gọi F b/c viên bi lấy từ hộp thứ có màu trắng H1 biến cố hộp bỏ bi trắng hộp bỏ bi trắng H2 - bi trắng bi đen H3 - bi đen - bi trắng H4 - bi đen - bi đen  3  2  3   P(F)=   × +   × +   × +   × 10  13 10  13 10  13 10  13 Chương I: Các định lý xác suất 65 Ví dụ 23 Cho biết tỷ lệ người mắc bệnh B vùng 1o/oo có loại xét nghiệm để tìm người mắc bệnh B Đối với người mắc bệnh B kết xét nghiệm chắn dương tính, số người khơng mắc bệnh có đến 5% số người có phản ứng dương tính với xét nghiệm a) Nếu người chọn ngẫu nhiên có phản ứng dương tính xét nghiệm loại khả người mắc bệnh B bao nhiêu? Nhận xét ý nghĩa kết b) Nếu người chọn ngẫu nhiên có phản ứng dương tính lần liên tiếp thực xét nghiệm khả người mắc bệnh B bao nhiêu? Nhận xét { nghĩa kết Chương I: Các định lý xác suất 66 Hướng dẫn giải: a) Gọi B biến cố người chọn mắc bệnh D biến cố người chọn có xét nghiệm dương tính Áp dụng cơng thức Bayes thì: P(B/D) = P(BD) P(B).P(D|B) 0, 001   P(D) P(B).P(D|B)+P(B).P(D|B) 0, 001  0,999 0, 05  0, 019627 ( 2%) Ta nói kết xét nghiệm (+) khơng giúp ta kết luận việc người có mắc bệnh hay không b) Tương tự câu trên, xác suất cần tìm là: 0, 001 14 0, 001 14  0,999  0, 05   0,99379 ( 100%) Trong trường hợp có lần xét nghiệm (+) , ta thấy gần chắn người xét nghiệm mắc bệnh Chương I: Các định lý xác suất 67 Ví dụ 24 Một chuyến tàu hỏa gồm n toa dừng bánh sân ga Có k hành khách bước lên tàu ngẫu nhiên độc lập với nhau, ( k  n) Giả sử người lên toa bất kz Hãy tính xác suất toa có hành khách ngồi HD: Gọi A biến cố toa có khách ngời Gọi B biến cố có toa khơng có người lên Xác suất cần tìm P(A) = 1- P(B) Gọi Ai biến cố toa thứ i khơng có người lên i = 1,2,…n B = A1 + A2 + … + An ; và:  n  n n-1 P(B) = P   Ai  = P(Ai )- P(A1A j )+ +(-1) P(A1A A n ) i