XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương iii vecto ngẫu nhiên

Chương III: VECTƠ NGẪU NHIÊN ( ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU) III.1 Khái niệm Nếu biến ngẫu nhiên X1,X2,…, Xn xác định kết phép thử ta nói Z = (X1,X2,…, Xn ) vectơ ngẫu nhiên n chiều III.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc chiều (X,Y) III.2.1 Bảng phân phối XS đồng thời III.2.2 Phân phối XS theo BNN thành phần X, Y (PP lề) III.2.3 PP XS có điều kiện III.2.4 Điều kiện độc lập X Y III.2.5 Hàm phân phối XS (X,Y) III.3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục chiều (X,Y) III.3.1 Hàm mật độ đồng thời III.3.2 Hàm mật độ BNN thành phần X, Y (Hàm mật độ lề) III.3.3 Điều kiện độc lập X Y III.3.4 Hàm phân phối XS (X,Y) III.3.5 Hàm mật độ có điều kiện III.4 * * * Một số tham số đặc trưng vectơ ngẫu nhiên Kz vọng toán * Kz vọng hàm (X,Y) Kz vọng có điều kiện * Covarian ( Hiệp phương sai) Ma trận tương quan * Hệ số tương quan & { nghĩa * Sử dụng máy tính bỏ túi để tính số tham số đặc trưng III.5 Hàm vectơ ngẫu nhiên (X,Y) III.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VTNN RỜI RẠC CHIỀU III.2.1 Bảng phaân phối XS đồng thời: Cho X = {x1, x2, , xm}; Y = {y1, y2, , yn} Đặt pij = P(X = xi, Y= yj); i  1, m, j  1, n, Dưới bảng phân phối xác suất đồng thời cuûa (X, Y): Y y1 y2 Yn x1 p11 p12 p1n x2 P21 P22 P2n xm pm1 pm2 pmn X Khi  pij   p ij i j  III.2.2 Phân phối XS theo BNN thành phần X, Y (PP lề) n Đặt: pi =  pij = P(X = x i ),i = 1, m j=1 Ta bảng phân phối xác suất X: X x1 x2 xm PX p1 p2 pm m Đặt: q j =  pij = P(Y = y j ), j = 1, n i =1 Ta bảng phân phối xác suất Y: X y1 y2 yn PY q1 q2 qn III.2.3 Phân phối xác suất có điều kiện: Bảng PPXS X với điều kiện Y  y j ( j  1, n) laø: X P X / yj x1 x2 p1j p 2j qj qj xm pmj qj pij tức P(X=x i |Y=y j ) = q j Bảng PPXS Y điều kiện X  xi (i  1, m) laø: Y P Y / xi y1 pi1 pi y2 pi pi yn pin pi III.2.4 Điều kiện độc lập X Y X Y độc lập  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j hay pij = piqj i, j  F(x,y) = FX(x).FY(y); ( FX , FY hàm PPXS X,Y , hay gọi la hàm phân phối lề ) III.2.5 Hàm phân phối đồng thời (X,Y) RR F(x,y) = P(X < x, Y < y) Lưu ý:  xi  x p yj y ij • F(x,y) xác suất để điểm ngẫu nhiên M(X,Y) rơi vào hình chữ nhật vơ hạn có đỉnh phía trên, bên phải (x,y) III.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VTNN LIÊN TỤC (X,Y) III.3.1 Hàm mật độ XS đồng thời: VTNN (X,Y) hàm xác định toàn mặt phẳng, thỏa:  f ( x, y )  0; ( x, y )    2 f ( x, y)dxdy    P  ( X , Y )  D    f ( x, y )dxdy • Tính chất: III.3.2 Hàm mật độ lề: f X (x) =  + f Y (y) =  + - - D f(x,y)dy, x  hàm mật độ theo X; f(x,y)dx, y  hàm mật độ theo Y III.3.3 Điều kiện độc lập X, Y: X Y độc lập  F  x, y   FX  x  FY  y   f(x,y) = f X (x).f Y (y) III.3.4 Hàm phân phối XS (X,Y): x F ( x, y )  P ( X  x, Y  y )  • Từ suy ra:  du    f  x,y  y f (u , v)dv   F ( x, y )  xy • Trong trường hợp riêng, miền D hình chữ nhật: P(a X< b; c X< d] = F(b, d) – F(a, d) – F(b, c) + F(a, c) III.3.5 Hàm mật độ có điều kiện VTNN liên tục (X,Y) f  x,y  Hàm mật độ X với điều kiện Y = y là: f X y = f Y (y) Hàm mật độ Y với điều kiện X = x là: f (y) = f(x,y) Y x f X (x) III.4 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG BNN hai chiều: * Kz vọng toán: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) * Hiệp phương sai (Covarian, mômen tương quan): cov(X,Y)= E[(X-E(X)).(Y-E(Y))] = E(XY) - E(X).E(Y) * Ma trận tương quan ( ma trận hiệp phương sai) (X,Y): cov(X,Y)  cov(X,X) cov(X,Y)   D(X) D(X,Y)=  =   cov(Y,X) cov(Y,Y) cov(Y,X) D(Y)     * Hệ số tương quan X Y: RXY cov(X,Y) E(XY)-E(X).E(Y)  = D(X) D(Y) D(X) D(Y) Hệ số tương quan covarian dùng để đặc trưng cho mức độ chặt chẽ mối liên hệ phụ thuộc BNN X Y Nếu RXY = ta nói X, Y không tương quan, ngược lại RXY  ta nói X, Y có tương quan Nếu X, Y độc lập cov(X,Y)= RXY = Điều ngược lại khơng đúng, tức cov(X,Y)= X, Y độc lập, X, Y phụ thuộc dạng thức Khi (X,Y) có phân phối chuẩn X,Y độc lập  RXY= Hệ số tương quan khơng có đơn vị đo |RXY| Nếu RXY = 1 X, Y có tương quan tuyến tính (thuận /nghịch) Khi RXY  1 X, Y có tương quan “gần” tuyến tính 10 Ví dụ trường hợp x=1 x = 3:   f X (1)    13 f (1, y )dy   dy   (1  y ) dy   dy  36     f X (3)     f (3, y )dy   dy   1/ Như : x/2   x ( x  12)     x  y dy x  (0;2)  f X ( x)   f ( x, y)dy     36  0 0 x  (0; 2)   x  (0;2) x  (0;2)  fY ( y )    2 2 x  y dx    f ( x, y )dx  2 y  0 ct1  d)  4 y3 y  (0;1)   y  (0;1)  3  y  (0;1) y  (0;1)  x ( x  12) 68 E ( X )   x f X ( x)dx   x dx  36 45  ct1   4 y3  E (Y )   y fY ( y )dy   y    dy   3  x/2 0 E ( XY )   xyf ( x, y )dxdy   dx  2 29 xy ( x  y )dy  45 COV ( X , Y )  E ( XY )  E ( X ).E (Y )  25 ct2 ct2 Công thức khác: E(X) =  x.f(x,y)dxdy; E(Y) =  y.f(x,y)dxdy; R2 R2  e) D( X )   x f X ( x) dx  E ( X )   x ( x  12) 296  68  x dx     36 2025  45  2 2  4 y D (Y )   y   3 RXY  14 2  dy     225 5  E ( XY )  E ( X ).E (Y ) 27 259    0.4194 1036 D ( X ) D (Y ) Công thức khác: ct2 ct2 D(X) =  x f(x,y)dxdy- E(X) ; D(Y) =  y 2f(x,y)dxdy- E(Y)2 R2 R2 f) F(x,y) = P(X