Chương III BiẾN NGẪU NHIÊN Chương III VECTƠ NGẪU NHIÊN ( ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU) III 1 Khái niệm Nếu các biến ngẫu nhiên X1,X2, , Xn cùng xác định trên các kết quả của một phép thử thì ta nó[.]
Chương III: VECTƠ NGẪU NHIÊN ( ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU) III.1 Khái niệm Nếu biến ngẫu nhiên X1,X2,…, Xn xác định kết phép thử ta nói Z = (X1,X2,…, Xn ) vectơ ngẫu nhiên n chiều III.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc chiều (X,Y) III.2.1 Bảng phân phối XS đồng thời III.2.2 Phân phối XS theo BNN thành phần X, Y (PP lề) III.2.3 PP XS có điều kiện III.2.4 Điều kiện độc lập X Y III.2.5 Hàm phân phối XS (X,Y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục chiều (X,Y) THAM KHẢO III.3.1 Hàm mật độ đồng thời III.3.2 Hàm mật độ BNN thành phần X, Y (Hàm mật độ lề) III.3.3 Điều kiện độc lập X Y III.3.4 Hàm phân phối XS (X,Y) III.3.5 Hàm mật độ có điều kiện III.4 * * * Một số tham số đặc trưng vectơ ngẫu nhiên Kz vọng toán * Kz vọng hàm (X,Y) Kz vọng có điều kiện * Covarian ( Hiệp phương sai) Ma trận tương quan * Hệ số tương quan & { nghĩa * Sử dụng máy tính bỏ túi để tính số tham số đặc trưng III.5 Hàm vectơ ngẫu nhiên (X,Y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VTNN RỜI RẠC CHIỀU III.2.1 Bảng phaân phối XS đồng thời: Cho X = {x1, x2, , xm}; Y = {y1, y2, , yn} Đặt pij = P(X = xi, Y= yj); i 1, m, j 1, n, Dưới bảng phân phối xác suất đồng thời (X, Y): Y y1 y2 Yn x1 p11 p12 p1n x2 P21 P22 P2n xm pm1 pm2 pmn X Khi pij p ij i j Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.2.2 Phân phối XS theo BNN thành phần X, Y (PP lề) n Đặt: pi = pij = P(X = x i ),i = 1, m j=1 Ta bảng phân phối xác suất X: X x1 x2 xm PX p1 p2 pm m Đặt: q j = pij = P(Y = y j ), j = 1, n i =1 Ta bảng phân phối xác suất Y: X y1 y2 yn PY q1 q2 qn Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.2.3 Phân phối xác suất có điều kiện: Bảng PPXS X với điều kiện Y y j ( j 1, n) laø: X P X / yj x1 x2 p1j p 2j qj qj xm pmj qj pij tức P(X=x i |Y=y j ) = q j Bảng PPXS Y điều kiện X xi (i 1, m) laø: Y P Y / xi y1 pi1 pi y2 pi pi Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều yn pin pi III.2.4 Điều kiện độc lập X Y X Y độc lập P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j hay pij = piqj i, j F(x,y) = FX(x).FY(y); ( FX , FY hàm PPXS X,Y , hay gọi la hàm phân phối lề ) III.2.5 Hàm phân phối đồng thời (X,Y) RR F(x,y) = P(X < x, Y < y) Lưu ý: xi x p yj y ij • F(x,y) xác suất để điểm ngẫu nhiên M(X,Y) rơi vào hình chữ nhật vơ hạn có đỉnh phía trên, bên phải (x,y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VTNN LIÊN TỤC (X,Y) (Tham khảo) III.3.1 Hàm mật độ XS đồng thời: VTNN (X,Y) hàm xác định toàn mặt phẳng, thỏa: f ( x, y ) 0; ( x, y ) 2 f ( x, y)dxdy P ( X , Y ) D f ( x, y )dxdy • Tính chất: III.3.2 Hàm mật độ lề: f X (x) = + f Y (y) = + - - D f(x,y)dy, x hàm mật độ theo X; f(x,y)dx, y hàm mật độ theo Y III.3.3 Điều kiện độc lập X, Y: X Y độc lập F x, y FX x FY y f(x,y) = f X (x).f Y (y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.3.4 Hàm phân phối XS (X,Y): x F ( x, y ) P ( X x, Y y ) • Từ suy ra: du f x,y y f (u , v)dv F ( x, y ) xy • Trong trường hợp riêng, miền D hình chữ nhật: P(a X< b; c X< d] = F(b, d) – F(a, d) – F(b, c) + F(a, c) III.3.5 Hàm mật độ có điều kiện VTNN liên tục (X,Y) f x,y Hàm mật độ X với điều kiện Y = y là: f X y = f Y (y) Hàm mật độ Y với điều kiện X = x là: f (y) = f(x,y) Y x f X (x) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.4 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG BNN hai chiều: * Kz vọng toán: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) * Hiệp phương sai (Covarian, mômen tương quan): cov(X,Y)= E[(X-E(X)).(Y-E(Y))] = E(XY) - E(X).E(Y) * Ma trận tương quan ( ma trận hiệp phương sai) (X,Y): cov(X,Y) cov(X,X) cov(X,Y) D(X) D(X,Y)= = cov(Y,X) cov(Y,Y) cov(Y,X) D(Y) * Hệ số tương quan X Y: RXY cov(X,Y) E(XY)-E(X).E(Y) = D(X) D(Y) D(X) D(Y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều Hệ số tương quan covarian dùng để đặc trưng cho mức độ chặt chẽ mối liên hệ phụ thuộc BNN X Y Nếu RXY = ta nói X, Y khơng tương quan, ngược lại RXY ta nói X, Y có tương quan Nếu X, Y độc lập cov(X,Y)= RXY = Điều ngược lại không đúng, tức cov(X,Y)= X, Y độc lập, X, Y phụ thuộc dạng thức Khi (X,Y) có phân phối chuẩn X,Y độc lập RXY= Hệ số tương quan khơng có đơn vị đo |RXY| Nếu RXY = 1 X, Y có tương quan tuyến tính (thuận /nghịch) Khi RXY 1 X, Y có tương quan “gần” tuyến tính Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 10 Ví dụ Một hộp đựng sản phẩm, có phế phẩm mà khơng kiểm tra khơng biết Các sản phẩm lấy kiểm tra phát thấy phế phẩm dừng lại Kí hiệu X BNN số lần kiểm tra phế phẩm phát Y BNN số lần kiểm tra thêm phế phẩm thứ hai phát Hãy : a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời (X, Y) b) Tính cov(X,Y) hệ số tương quan X, Y c) X,Y có độc lập hay khơng ? d) Tìm phân phối XS kz vọng có điều kiện X Y=2 Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 11 Y X 3/10 2/10 1/10 2/10 1/10 1/10 0 3 p11 = P (X=1;Y=1) = P(A1.A ) 10 2 p12 = P (X=1;Y=2) = P(A1.A A ) 5 1 p13 = P (X=1;Y=3) = P(A1.A A A ) 10 p 21 = P (X=2;Y=1) = P(A1.A A ) 5 1 p 22 = P (X=2;Y=2) = P(A1.A A A ) 10 1 p31 = P (X=3;Y=1) = P(A1.A A A ) 1.1 10 Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều p 23 = P (X=2;Y=3) = p32 = P (X=3;Y=2) = p33 = P (X=3;Y=3) = 12 b) Tính Cov(X,Y) RXY: Y PX X 3/10 2/10 1/10 6/10 2/10 1/10 3/10 1/10 0 1/10 PY 6/10 3/10 1/10 Viết lại bảng PPXS thành phần X Y ( phân phối lề): X Y PX 6/10 3/10 1/10 PY 6/10 3/10 1/10 E(X)= E(Y)=1,5 D(X)= D(Y) = 0,45 E XY xi y j pij 1.1 2 1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 2,1 10 10 10 10 10 10 i; j cov(X,Y)= E(XY)- E(X).E(Y) = - 0,15 E(XY)-E(X).E(Y) -1 R XY = = D(X) D(Y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 13 HD Sử dụng MTBT tìm số đặc trưng VTNN rời rạc: Các bước thực Máy CASIO fx 570 ES (PLUS)… Mở cột tần số (nếu máy chưa mở) SHIFT MODE (SETUP) - (STAT) (ON) Vào chế độ thống kê hai biến MODE (STAT) (A+BX) Nhập liệu Đọc kết E(X); E(Y) Đọc kết D(X) D(Y) … X x1 x1 … Y y1 y2 … … xn ym MODE MODE … (REG) - (Lin) Nhập theo dòng , thứ tự nhập sau: FREQ p11 p12 … pnm Máy CASIO fx 500 MS… Xi , Yj ; pij M+ AC SHIFT – (STAT)- (VAR) – - ( x ) = Muốn có kq E(Y) chọn y SHIFT – (STAT)- (VAR) – - ( σX) = Muốn có kq D(Y) chọn σY SHIFT – (SVAR) -1 (x ) = SHIFT – 2( SVAR) --1 (y ) = SHIFT – (SVAR)- (xσn ) = SHIFT – 2( SVAR) --1 (yσn ) = Đọc kết RXY SHIFT – (STAT)-6(REG)–3 (r ) = SHIFT – (SVAR) -- 3( r)-= Tham khảo KQ trung gian SHIFT – (STAT)- (SUM) - … SHIFT – (SSUM) - …… Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 14 c) Theo đn, X,Y độc lập P(X=xi; Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj); i,j Trong bảng PPXS đồng thời, P(X=1;Y=1) = 3/10 ; P(X=1).P(Y=1) = (6/10).(6/10) =1/100 P(X=1;Y=1) nên ta kết luận X,Y không độc lập d) Từ bảng PPXS đồng thời, suy bảng phân phối xác suất X với điều kiện Y=2: X |Y=2 PX|Y=2 /10 /10 1/10 /10 E(X|Y=2) = 4/3 Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 15 Ví dụ Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y độc lập có bảng phân phối xác suất: Y P 1 X P 1 4 a) Lập bảng phân phối xác suất Z= 3X2 +2Y; Tính E(Z),D(Z) b) Tính E(U),D(U) với U = 5X - 3Y + 10 Hướng dẫn: Do X,Y độc lập nên P(X=xi ,Y=yj)= P(X=xi ).P(Y=yj), i,j Lập bảng PPXS đồng thời X, Y tính giá trị hàm Z=3X2+2Y Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 16 Y X -1 1/8 1/8 Z=3 2/8 Z=5 2/8 Z=3 1/8 Z=5 1/8 Z = 12 Z = 14 Suy bảng phân phối xác suất Z: Z P 3 12 14 1 8 Vậy E(Z) = 6,25 D(Z) = 16,1875 b) HD: E(5X - 3Y +10) = 5E(X) - 3E(Y) + 10 D(5X -3Y + 10) = 25D(X) + 9D(Y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 17 Ví dụ Dưới bảng PPXS đồng thời biến ngẫu nhiên X,Y Tìm hàm phân phối XS (X,Y) Y 10 20 0.1 0.3 0.2 0.4 X Hướng dẫn : F(x,y) = P( X