Chương 4 Các quy luật phân phối xác suất cơ bản §1 Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản 1 Phân phối đều rời rạc 2 Phân phối không – một A(p) Định nghĩa 1 1 X có phân phối A(p) 0 1X P q p 1 2 1 1 1[.]
Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: Phân phối khơng – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X x1 x2 xk P k k X P q k p Định lý 1.1: X có phân phối A(p) E(X) = p, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k nk ~ n , p k C , k 0, n Định nghĩa 1.2: n p q Định lý1.2: ~ n , p X np , D npq , Mod k0 n 1 p hoaëc k n 1 p 1 Phân phối siêu bội Bài toán: Cho hộp có N bi có M bi trắng cịn lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n khơng lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy Giải: C Mk C Nn kM k , k 0, n n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n) ~ H ( N , M , n ) np , Định lý 1.3: Giả sử N n M D npq ,p N 1 N Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Ví dụ 1.1: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên bi khơng hồn lại gặp bi vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: C P C C 5 Ví dụ 1.2 : Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên bi không hoàn lại gặp đủ bi vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen P C C 52 C C 175 Ví dụ 1.3: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên bi có hồn lại gặp bi vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: P C C 15 15 15 Ví dụ 1.4 : Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên bi có hồn lại gặp đủ bi vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen P C C 15 15 2 15 15 Phân phối Poisson P(a),a>0: k Định nghĩa 1.4: a ~ a k e a , k 0,1, k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson) X 12 0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm …) X 12 X 12 5 Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm Giải: Gọi X số người ngẫu nhiên vào trạm 10 phút X có phân phối P(a), a = Khi ấy: 4 e 4! 5 §2: Các quy luật phân phối liên tục Phân phối chuẩn a , , Định nghĩa 2.1: ~ a, f x e 2 x a 2 Định lý 2.1: X có phân phối a , E(X) = a, D(X) = Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hóa,Gauss,tự nhiên) N(0,1) nếu: f u u2 /2 e (hàm mật độ Gauss) 2 Định lý 2.2: U có phân phối N(0,1) u P(u ) (u ) FU u 0,5 u với u 0 t2 t /2 e dt 0,5 u 2 e dt tích phân Laplace (hàm lẻ) 2 Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: 1 u1 U u2 u2 u1 u2 u1 ; 2 U 2 Định lý 2.4: ~ a , U X a ~ 0,1 e 2 f (u ) u u u2 e 2 t2 -hàm mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1) dt - tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2) u 0.5, u tra xuôi: 1, , ( tra hàng 1,9; cột bảng phân Laplace) .tra ngược: ? 0, 45 hàng 1,6; cột cột nên 1, 64 1, 65 ? $4.Tích phân Laplace (tt) : Tra xi máy tính: ES : MODE STAT AC SH STAT DISTR Q MS: MODE …SD SH DISTR Q 1, Q (1 ) , 1, Q ( ) , Q (u ) | (u ) | u u P(u ) t2 e dt 0,5 u 2 10 Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm đơi điểm P Hãy tính diện tích trung bình hình chữ nhật có cạnh đoạn Giải : Ký hiệu X=AP ,khi X~U [0, a ], nghĩa là: X ~ fX x 1 , x 0 , a a , x 0 , a S X (a X ) a a2 E(S) x(a x)dx (cm ) a0 16 Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phối miền D , n eáu ( x , y ) D f ( x, y) S ( D ) 0 , n eáu ( x , y ) D ,v ới S (D ) d iện tích m iền D 17 Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm ba điểm P,Q Hãy tính thể tích trung bình hình hộp chữ nhật có cạnh đoạn Giải : Ký hiệu X=AP,Y=PQ ,khi (X,Y) có phân phối miền D : X a, Y a, X Y a nghĩa là: , n eáu ( x , y ) D f ( x, y) a , n eáu ( x , y ) D V X Y (a X Y ) a E(V ) dx a a x yx(a x y) dy (cm3 ) 18 Phân phối mũ E ( ) : Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ hàm mật độ X là: e x neáu x 0; f ( x) neáu x , 0 >0 Định lý 2.7 : X ~ E( ) E( X ) ( X ) Phân phối bình phương:(Xem SGK) Phân phối Student:(Xem SGK) 19 §3 Các định lý giới hạn ( luật số lớn) Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X đại lượng ngẫu nhiên.Khi ta có: P ( | X E ( X ) | ) D(X ) • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 , , , n , đơi độc lập có C : D( X k ) C, k Khi ta có: l i m P n n n k 1 X k n n k 1 E (X k ) Định lý Bernoulli: • Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m số lần thành công dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì: 20