XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương 4 bài giảng điện tử xstk

Chương 4 Các quy luật phân phối xác suất cơ bản §1 Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản Chương 4 Các quy luật phân phối xác suất cơ bản §1 Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản 1 Phân phối đều rời rạ[.]

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: Phân phối khơng – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X x1 x2 xk P k k  k X P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(p) E(X) = p, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k n k    n , p     k  C p     n q , k 1, n Định nghĩa 1.2: Định lý1.2:   n, p     X  np, D   npq, Mod  k0  n  1 p  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Phân phối siêu bội Bài tốn: Cho hộp có N bi có M bi trắng cịn lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n không lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy k n k Giải: CM C N M   k   , k 0, n n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n)   H ( N , M , n)     np, Định lý 1.3: Giả sử N n M D   npq ,p N1 N Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Phân phối Poisson P(a),a>0: k a  a Định nghĩa 1.4:   a     k  e , k 0,1, k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson)  0  X 12  0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm  …)  6  X 12   0  X 12    0  5  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tn theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm đó Giải: Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó 10 phút thì X có phân phối P(a), a = Khi ấy:      e  4! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §2: Các quy luật phân phối liên tục Phân phối chuẩn Định nghĩa 2.1:  a ,  ,      a ,    f  x   e  2 2  x  a  2 2  Định lý 2.1: X có phân phối  a,   thì E(X) = a, D(X) = Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hóa) N(0,1) nếu:  u2 /2 f u   e 2 Khoa Khoa Học Máy Tính (hàm mật đợ Gauss) Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.2: U có phân phới N(0,1) u  t /2 e dt 0,5   U  2 FU u  0,5   với  U  là tích phân Laplace (hàm lẻ) Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: 1 u1  U  u2   u2    u1 ; 2   U    2   Định lý 2.4: X a    a ,    U   0,1  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.5: Giả sử    a ,   Khi ta có:    a   a                        2     a    2.     Ví dụ 2.1:Chiều cao X niên có phân phối chuẩn N(165, ).Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 160 cm.Hãy tính tỷ lệ niên lùn  160  165      X  160              1      0, 34134  0, Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.2: Cho U   0,1 tính kỳ vọng U m Giải:   u /2 m m  U   u e du 0 m lẻ cận đối xứng,  2 hàm dấu tích phân hàm lẻ   u2 /  u2 /2  U   u e du  u.u e du   2 2  u /2  u2 /2 dv u e  v  e 2 2   u /2   u2 /2   U   u e  e du 1     2 2  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Tương tự:  u /2  U   u u e du  2    u /2  u /2  u e  3. u e du 3. U  3.1;   2 2   U  5 U  5.3.1;  U n  2n  1!! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.3: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại gặp vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: C6 C52 P  C15 10 Phân phối liên tục: (Xem SGK) Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phân phối miền D  , neá u (x, y)  D  f (x, y)   S (D) 0 , neá u (x, y)  D  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 10 Phân phối mũ : Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ hàm mật độ X là: Định lý 2.6 :  x   e neá u x  0;  SGK) Phân phối bình phương:(Xem f (x)  Phân phối Student:(Xem SGK)  neá ux0, 0  >0 X  E ( )  E ( X )  ( X )   Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 11 §3 Các định lý giới hạn ( luật số lớn) Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X đại lượng ngẫu nhiên.Khi ta có: P (| X  E ( X )|   )  D( X ) 2 • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 ,  , ,  n , đôi độc lập có C  : D(X k )  C, k.Khi ta có:  lim P   n n   n X k1 k  n n  k1  E (X k )     1  Định lý Bernoulli: • Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m số lần thành công dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì: Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 12  m  lim P   p    1 n   n  Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử 1 ,  , ,  n đôi độc n lập E X k  E( X k )  lim k 1 0 3/ n  n   D     k   k 1  Khi ta có: n n  i   E  i   n n i 1 n 30   U  i 1  N 0,1 n đủ lớn n D  xi   n i 1 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 13 Hệ 3.1:Giả sử thêm vào ta có E ( X i ) a, D( X i )  , i 1, n n (  X i  a) n n i 1 U  N (0,1)  Hệ 3.2: m  p) n U n  N (0,1) p(1  p) Khoa Khoa Học Máy Tính ( n đủ lớn n đủ lớn Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 14 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: 1 ,  ,  n với phương sai: D  k  5 k 1, 2, n  Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 : a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: n     i , E (  i ) a  E  X  a; n i 1 D  i   5    Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15 a )   E   0, 01 0, 9973    a  n 0, 01 n     U    0, 9973       0, 01 n       0, 0, 9973    0, 01 n      0, 4973  2, 785     2,875  0, 01 n  2, 785  n    0, 01  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 16 b) (   E    0, 005) 0, 9973 | X  E ( X ) | n 0, 005 n  P (| U |   ) 0, 9973   0, 005 n   2.   0, 9973    0, 005 n  0, 9973     3       0, 005 n  3  n    0, 005  Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 17 $4.Các cơng thức tính gần Công thức gần siêu bội nhị thức Định lý 4.1:Khi n