Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh giỏi lớp 9 trong dạy học giải phương trình, bất phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG NGUYỄN VIỆT HẢI PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ K

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

NGUYỄN VIỆT HẢI

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 9

TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HẢI PHÒNG - 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

NGUYỄN VIỆT HẢI

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 9

TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lý luận & Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

HẢI PHÒNG - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đều đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hải Phòng, ngày 19 tháng 6 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Việt Hải

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được trân trọng cảm ơn tới:

Trường Đại học Hải Phòng, Khoa Toán - Trường Đại học Hải Phòng, các giảng viên đã tận tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo hướng dẫn khoa học PGS.TS.Nguyễn Anh Tuấn đã hết lòng giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho

em hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu cùng toàn thể quý Thầy cô trong Phòng Quản lý sau đại học - trường Đại học Hải Phòng đã hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn BGH các trường THCS trong địa bàn quận Lê Chân – Hải Phòng và đặc biệt BGH trường THCS Võ Thị Sáu – quận Lê Chân – Hải Phòng

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong công tác để tác giả hoàn thành luận văn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hải Phòng, ngày 19 tháng 6 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Việt Hải

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT vi

DANH MỤC BẢNG, SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Tư duy và tư duy toán học 4

1.1.1 Một số vấn đề về tư duy 4

1.1.1.1 Khái niệm 4

1.1.1.2 Đặc điểm của tư duy 4

1.1.1.3 Một số loại hình tư duy 6

1.1.1.4 Vai trò của tư duy 8

1.1.1.5 Các thao tác của tư duy 8

1.1.2 Tư duy và lập luận toán học 10

1.2 Năng lực và năng lực toán học 14

1.2.1 Một số vấn đề về năng lực 14

1.2.1.1 Năng lực 14

1.2.1.2 Kỹ năng 15

1.2.2 Năng lực toán học 16

1.2.2.1 Quan niệm 16

1.2.2.2 Đặc điểm và cấu trúc của năng lực toán học 17 1.2.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học 18 1.2.3.1 Quan niệm và thành phần 18 1.2.3.2 Mối quan hệ giữa năng lực tư duy và lập luận toán học với một số năng lực được hình thành và phát triển ở học sinh qua môn Toán 24

1.3 Tình hình dạy học giải phương trình, bất phương trình cho học sinh giỏi lớp 9 25

1.3.1 Nội dung dạy học phương trình, bất phương trình ở bậc Trung học cơ

sở 25 1.3.1.1 Mạch kiến thức về chủ đề “Phương trình, bất phương trình” ở lớp 8

và lớp 9 25 1.3.1.2 Một số dạng toán về giải phương trình, bất phương trình dành cho học sinh giỏi lớp 9 28 1.3.2 Tình hình dạy và học “giải phương trình, bất phương trình” cho học sinh giỏi lớp 9 36 1.3.2.1 Đặc điểm và thành phần biểu hiện ở năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh giỏi lớp 9 36 1.3.2.2 Thực trạng dạy học “giải phương trình, bất phương trình” cho học sinh giỏi lớp 9 37

Tiểu kết chương 1 44 CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 9 45 2.1 Định hướng xây dựng biện pháp 45 2.2 Một số biện pháp dạy học giải phương trình, bất phương trình cho học sinh giỏi lớp 9 45

2.2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho HSG lựa chọn và sử dụng hợp lý các thao tác tư duy để tìm hiểu bài toán, phát hiện hướng giải PT, BPT 45

2.2.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho HSG lựa chọn và sử dụng hợp lý đúng đắn các thao tác tư duy để thực hiện các lập luận toán học đảm bảo ngắn gọn, chặt

chẽ, chính xác khi trình bày cách giải PT, BPT 50

2.2.3 Biện pháp 3: Tập luyện cho HSG các thao tác khái quát hóa, đặc biệt hóa, xét tương tự và suy luận lôgic để tìm nhiều cách giải và mở rộng bài toán. 53

2.2.4 Biện pháp 4: Tập luyện cho HSG khả năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm khi giải PT, BPT 62

Tiểu kết chương 2 74

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 75

3.1 Mục đích, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm 75

3.2 Nội dung thực nghiệm 77

3.3 Kết quả thực nghiệm 77

3.3.1 Đánh giá định tính 77

3.3.2 Đánh giá định lượng 78

Tiểu kết chương 3 80

KẾT LUẬN 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

DANH MỤC BẢNG, SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1 Các thành phần của NL TDLLTH trong môn Toán 18 Bảng 1.2 Biểu hiện NL TDLLTH ở HS THCS 19 Bảng 1.3 Phân phối chương trình về PT, BPT cho HS THCS 25 Bảng 1.4

Mức độ thiết kế, tổ chức các hoạt động TDLLTH cho

Biểu đồ 1.2 Đánh giá mức độ thường xuyên tìm hiểu và tổ chức dạy

học theo hướng phát triển NL TDLLTH cho HSG 39

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ phân bố tần số điểm kiểm tra trước thực

Biểu đồ 3.2 Biểu đồ phân bố tần số điểm kiểm tra sau TN 79

Sơ đồ 1.1 Các thành phần cốt lõi của năng lực toán học 17

xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” [10]

Với việc đổi mới này, mục tiêu giáo dục và đào tạo là phát triển toàn diện

cả về phẩm chất và năng lực Cách dạy theo hướng tiếp cận năng lực thay thế cho cách dạy theo hướng tiếp cận nội dung trước đây

Chương trình phổ thông 2018 được xây dựng theo hướng phát triển phẩm chất và năng lực của HS bao gồm nhiều nội dung, trong đó có giáo dục toán học Môn toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với năm thành tố cốt lõi là:

NL TDLLTH; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực GQVĐ toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán phát

triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn [2]; trong đó, năng lực tư duy là lập luận toán học

có vị trí đầu tiên, giữ vai trò là điều kiện để HS tư duy và nhận thức môn Toán

- một khoa học có tính đặc thù là khoa học suy diễn

Nội dung, cách tiếp cận, trình bày môn Toán và việc học Toán ở THCS tạo ra một chuyển biến có tính “bước ngoặt” trong tư duy và nhận thức toán học ở HS: Từ tư duy trực quan sang tư duy trừu tượng; từ xem xét thuộc tính của những đối tượng cụ thể sang nghiên cứu nhóm đối tượng chung, rút ra những thuộc tính chung, khái quát, đòi hỏi các em có sự thay đổi tương đối lớn trong tư duy Vì thế, có thể nói việc phát triển NL TDLLTH cho HS qua môn Toán THCS là cần thiết

Với đối tượng HSG, mục tiêu phát triển tư duy toán học càng trở nên quan trọng và cần thiết Khi giải những bài toán hay và khó dành cho HSG, các

em không chỉ huy động tổng hợp nhiều kiến thức mà còn cần đến khả năng tư duy sáng tạo để lập luận tìm ra nhiều hướng giải quyết bài toán một cách ngắn gọn, chặt chẽ, hợp lý và tối ưu

Qua nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân, tác giả luận văn nhận thấy, chủ đề “PT, BPT” ở trường THCS chứa đựng tiềm năng và cơ hội cho việc phát triển NL TDLLTH trong công tác bồi dưỡng HSG Đặc biệt là đối với những

loại PT, BPT chưa có sẵn thuật giải (thường được gọi là PT, BPT “không mẫu

mực”)

Với những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh giỏi lớp 9 trong dạy học giải phương trình, bất phương trình”

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các biện pháp dạy học giải PT, BPT nhằm phát triển NL TDLLTH cho HSG lớp 9; góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG Toán THCS, đáp ứng yêu cầu dạy học Toán phát triển năng lực cho HS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận liên quan đến NL toán học, NL TDLLTH trong dạy học toán

- Xác định các biểu hiện của NL TDLLTH trong dạy học giải PT, BPT cho HSG lớp 9

- Tìm hiểu thực trạng về việc phát triển TDLLTH trong việc dạy học phương trình, bất phương trình bày ở một số trường THCS trên địa bàn quận Lê Chân, thành phố Hải Phòng

- Xây dựng các biện pháp phát triển NL TDLLTH trong dạy học giải PT, BPT cho HSG lớp 9

- TN sư phạm để kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của những biện pháp đã đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được các biểu hiện của NL TDLLTH ở HSG lớp 9 khi giải

PT, BPT và đề xuất được các BP DH phù hợp thì sẽ phát triển được NL này cho HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học PT, BPT ở trường THCS

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy và học giải PT, BPT ở lớp 9 trường

THCS cho đối tượng HSG

Phạm vi nghiên cứu: Tìm kiếm giải pháp dạy học PT, BPT nhằm phát

triển NL TDLLTH cho HSG lớp 9

6 Phương pháp nghiên cứu

Để tiến hành nghiên cứu đề tài luận văn, tác giả luận văn dự kiến sẽ sử dụng những phương pháp như sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Phương pháp TN sư phạm

- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia

- Phương pháp Thống kê Toán học

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính của luận văn trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Các biện pháp phát triển NL TDLLTH trong dạy học giải PT, BPT cho HSG lớp 9

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy và tư duy toán học

1.1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.1.1.1 Khái niệm

Theo Tâm lý học, "Tư duy là một quá trình tâm lý sự phản ánh những

thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết"

(Nguyễn Quang Uẩn, 2007, [25])

Nhờ tư duy mà chúng ta có thể biết thể tích, diện tích xung quanh của

hình trụ có thể và cần được tính như thế nào? đó là những thuộc tính và mối

quan hệ về bản chất bên trong của hình trụ được tư duy phản ánh

1.1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Tính có vấn đề:

“Trong thực tế, khi gặp những tình huống mà bằng những kinh nghiệm, vốn hiểu biết, phương pháp, kỹ thuật đã biết không thể giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thức mới để GQVĐ, tức là phải tư duy” [11]

Ví dụ 1.2:

Khi gặp một bài toán mới, chẳng hạn giải PT bậc nhất một ẩn, HS dùng

tư duy toán học để nhận ra cái đã cho (dữ kiện, giả thiết) và cái phải tìm (kết quả, yêu cầu, kết luận) của bài toán (đối với giải PT thì đó là tập hợp nghiệm)

Từ đó các em sử dụng tư duy để hình phụ các công thức, tính chất định

lý có liên quan, liên kết chúng lại để vận dụng chúng thông qua chuỗi tính toán, lập luận để tìm ra kết quả của bài toán Như vậy, chỉ khi tình huống có vấn đề cần trả lời, giải quyết thì tư duy mới xuất hiện Ngược lại, nếu như có vấn đề

nhưng HS không đủ khả năng tư duy toán học để giải quyết thì không giải được, hoặc gặp sai lầm

Tính gián tiếp:

Theo Phạm Minh Hạc: “Con người nhận thức thế giới khách quan sâu sắc, đầy đủ đồng thời mở rộng khả năng hiểu biết của mình nhờ tính gián tiếp của tư duy Tính gián tiếp của tư duy phản ánh thông qua các kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ, …” [11]

Chẳng hạn như: Bằng trải nghiệm, con người rút ra những kinh nghiệm

để dự báo thời tiết, dự báo phát triển kinh tế, … Trong quá trình làm việc với

PT, BPT, HS thu nhận được kinh nghiệm lựa chọn, sử dụng các thao tác tư duy

(phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, ) để tìm cách giải

Tính trừu tượng và khái quát:

“Tính trừu tượng là việc chủ thể giữ lại những yếu tố quan trọng, gạt bỏ

đi những thứ không cần thiết Khái quát là việc hợp nhất những đối tượng khác nhau vào trong cùng một nhóm, dựa trên những đặc tính giống nhau Với trừu tượng và khái quát, tư duy có khả năng giữ lại những bản chất thuộc tính chung nhất của các sự vật hiện tượng cùng nhóm, loại bỏ những thuộc tính, dấu hiệu riêng biệt” [11]

Ví dụ 1.3:

Nói về khái niệm "quả bóng đá", con người liên tưởng ngay đến những thuộc tính cần thiết như: hình dạng là hình cầu, tính năng của quả bóng đá dùng

để chơi Đó là trừu tượng

Gắn liền với ngôn ngữ:

Rõ ràng là, tư duy gắn liền với ngôn ngữ - xem như hình thức biểu đạt của tư duy Kết quả của tư duy thể hiện ra ngoài thông qua ngôn ngữ của con người Nói cách khác, ngôn ngữ được hình thành trong quá trình phát triển lâu dài tư duy và nhận thức của loài người trong lịch sử nhân loại

Ví dụ 1.4: Với một bài toán giải PT, BPT, cả đề bài và lời giải đều cần sử dụng các kí hiệu, công thức, khái niệm toán học dưới dạng ngôn ngữ ký hiệu toán học Chẳng hạn như: “Tìm số biết thêm 5 vào số đó thì được số 17” được viết

thành “Tìm x để x+5 = 17” hoặc “giải PT x+5 = 17”

Gắn liền với hoạt động nhận thức cảm tính:

“Nhờ rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ của con người mà tư duy phát triển Khi có những hiểu biết cơ bản về vấn đề nào đó, việc rèn luyện cảm giác, tri giác, quan sát sẽ làm cho quá trình tư duy nhanh chóng có kết quả hơn” [11]

Chẳng hạn như: Khi cần thiết kế góc đọc sách cho lớp học của mình thì với việc rèn luyện cảm giác sẽ giúp cho bản thiết kế đó có màu sắc, ánh sáng hài hòa, trang trí bắt mắt, tạo không khí, cảm hứng cho học sinh đọc sách

1.1.1.3 Một số loại hình tư duy

- Tư duy sáng tạo: quá trình GQVĐ bằng cách tạo ra cái mới, bằng cách thức

mới, lựa chọn các giải pháp tốt nhất, mang tính sáng tạo và hướng đến xu thế tối ưu và đạt được kết quả tốt

Tư duy sáng tạo giàu trí tưởng tượng và có tính mục đích, mục tiêu rõ ràng không viển vông Sản phẩm của tư duy sáng tạo mang tính độc đáo Tư duy sáng tạo giúp HS tìm tòi và áp dụng được những phương pháp, cách giải mới, qua đó HS làm chủ kiến thức, tạo niềm say mê cho người học

- Tư duy phê phán và phản biện: Được xem như quá trình quan sát, dựa vào

kinh nghiệm, bằng chứng và thông tin lý lẽ để phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, ý tưởng nhằm đưa ra nhận định về sự việc hay cách giải quyết hợp lý nhất cho vấn đề; giúp chủ thể nhìn nhận và phân tích những ý kiến khách quan hơn

từ mọi hướng và chắt lọc các ý kiến đó tổng hợp lại cho bản thân Hoặc làm sáng tỏ và khẳng định lại tính chính xác của vấn đề cần phân tích và đánh giá một thông tin đã có theo các cách nhìn khác cho vấn đề đó bằng các lập luận rõ ràng, lôgic, đầy đủ bằng chứng, tỉ mỉ và công tâm

- Tư duy biện luận: quá trình thu thập dự liệu, phân tích, đánh giá, cân nhắc

nhiều khả năng GQVĐ để từ đó đưa ra những kết luận phù hợp

Ví dụ 1.5: Khi giải phương trình chứa tham số, HS cần xét các khả năng của tham số để biện luận số nghiệm phương trình

Chẳng hạn: Giải và biện luận phương trình 2023x m mx2023 (m là tham số)

m x

m





- Tư duy logic: quá trình phân tích và lý luận có trình tự để đưa ra quyết định

hợp lý từ những dữ liệu, thông tin ban đầu Tư duy logic kết hợp lý trí, các ý tưởng và suy luận, để từ đó sắp xếp trình tự giải quyết, tìm ra nguyên nhân và cách giải quyết cho vấn đề đó Tư duy logic có nhiều điểm chung với tư duy biện luận do cả hai đều cần liên quan chặt chẽ đến khả năng lập luận

Ví dụ 1.6: Trong giải PT, BPT, do đặc thù của biến đổi đồng nhất các biểu thức

và yêu cầu biến đổi tương đương giữa các PT, BPT nên thực chất là ở đó HS

đã thực hiện các quy tắc suy luận lôgic, dựa trên sự tương đương của các hàm mệnh đề (theo [24])

Chẳng hạn như: Khi giải PT (x2-12x+35) = 0, HS biến đổi tương đương: (x2-12x+35) = 0  (x2-5x -7x +5.7) = 0  x(x-5) -7(x-5) = 0

fk(x) = 0 Trong đó mỗi PT thành phần được coi là một hàm mệnh đề và sự tương đương giữa các hàm mệnh đề đó đảm bảo cho sự tương đương của các

PT Khi đó, ta có PT fk(x) = 0 tương đương với PT ban đầu f(x) = 0 Do vậy, tập hợp nghiệm của phương trình cuối cùng chính là tập hợp nghiệm của

phương trình ban đầu Ở đây là: Tập hợp nghiệm {5;7} của 5

7

x x





 

 cũng chính

là tập hợp nghiệm của PT đã cho (x2-12x+35) = 0

1.1.1.4 Vai trò của tư duy

Tư duy là một trong những phẩm chất quan trọng cần phải có của con người, có giá trị và tính ứng dụng cao Chủ thể của tư duy cần sử dụng những kiến thức, kỹ năng và kinh nghiệm của bản thân để mang lại hiệu quả cao cho hoạt động của bản thân

Để GQVĐ và phát triển bản thân, con người nhờ tư duy để thu thập, phân tích và sử dụng thông tin một cách hữu ích, đưa ra phương hướng phù hợp Muốn tư duy phát triển, con người nên thường xuyên rèn luyện kỹ năng tư duy

để các hoạt động của bản thân mang lại thành quả cao nhất

1.1.1.5 Các thao tác của tư duy

- Phân tích-tổng hợp:

Theo Nguyễn Bá Kim: "Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ; Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành nhiều một hệ thống" [13]

Theo từ điển Tiếng Việt thì "Phân tích là phân chia thật sự hay tưởng tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố, trái với tổng hợp; Tổng hợp

là tổ hợp tưởng tượng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành một chỉnh thể, trái với phân tích" [15]

Như vậy, có thể hiểu: Phân tích là thao tác chia sự vật thành những bộ phận nhỏ hơn để xem xét, với mong muốn làm rõ hơn bản chất của cái chung,

và dễ dàng nhận ra mối liên hệ giữa các phần của sự vật toàn thể Ngược lại, tổng hợp là thao tác gộp lại các phần riêng để xem xét cái toàn thể, phát hiện bản chất chung, cách thức chung để GQVĐ

- So sánh và tương tự:

So sánh là xem xét sự giống nhau, khác nhau hoặc hơn kém nhau; là tìm

ra những điểm chung và riêng của đối tượng

Tương tự là dựa trên sự giống nhau về tính chất và mối quan hệ của những đối tượng khác nhau

Trong toán học, tương tự được xem xét trên các khía cạnh sau:

 Hai bài toán là tương tự nếu đường lối và cách thức giải quyết giống nhau Hai hình được cho là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hoặc vai trò giống nhau trong vấn đề nào đó

- Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Khái quát hóa là từ một tập hợp đối tượng đã cho, xem xét đến một tập hợp lớn hơn bao gồm tập hợp ban đầu bằng cách chỉ ra các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp ban đầu Đặc biệt hóa là chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong nó

- Trừu tượng hóa:

“Trừu tượng hóa là nghiên cứu riêng một tính chất được tách ra từ một đối tượng Trừu tượng hóa gắn liền với cụ thể hóa, có liên hệ mật thiết với khái quát hóa Qua trừu tượng hóa, ta có thể khái quát rộng và sâu hơn các khái niệm toán học được hình thành nhờ trừu tượng hóa và khái quát hóa”

Ví dụ 1.7:

Trong quá trình mở rộng tập hợp số, những tập hợp số có những thuộc tính tương tự, từ đó ta suy đoán những tính chất từ tập này sang tập khác Chẳng hạn như các phép toán trong tập hợp số nguyên Z có các tính chất tương tự như trong tập hợp số tự nhiên N (tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối)

Trong giải phương trình, các phương trình tích có cùng đường lối giải như nhau: Khi gặp PT tích A B C0, HS phân tích để phân chia thành các

trường hợp, đưa về các PT: hoặc A0 hoặc B0… hoặc C0 Sau khi giải

các PT thành phần, HS tổng hợp lại để kết luận nghiệm của PT ban đầu

Chẳng hạn như: Với PT (x2-5x+6).(x2-10x+21) = 0 HS nhận dạng được

PT tích có dạng ở trên, do đó bằng cách đặc biệt hóa các em xem như đây là

một trường hợp riêng; do vậy đi đến giải các PT (x2-5x+6) = 0 và PT (x2

-10x+21) = 0 theo cách tương tự như nhau (giải PT bậc hai)

Khi nghiên cứu riêng đối với hai PT cụ thể (x2-5x+6) = 0; x2-10x+21 =

0, HS phát hiện thấy tính chất: 6 = 2 3 và 5 = 2 +3; 21 = 3 7 và 10 = 3 +7

bằng cách trừu tượng hóa, các em tách ra khỏi 2 PT cụ thể để khái quát hóa

thành dạng bài toán giải PT:

[x2-(a+b)x+a.b)].[x2-(c+d)x+c.d)] [x2-(u+v)x+u.v)] = 0

1.1.2 Tư duy và lập luận toán học

Theo Phạm Văn Hoàn và các tác giả: “Tư duy toán học là quá trình tư duy các vấn đề trong khoa học toán học hoặc áp dụng toán học vào các khoa học khác Tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư suy mà nó sử dụng” [12]

Trong học Toán, HS sử dụng những thao tác tư duy toán học như phân

tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,

Trong đó, theo Nguyễn Bá Kim: “Phân tích là tách (trong tư tưởng) một

hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ Tổng hợp

là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật

thành một hệ thống Trừu tượng hoá là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối

tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một

số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” (Nguyễn Bá Kim,

2017, [14])

Ví dụ 1.8:

Khi giải PT x29x 14 0 HS sử dụng các thao tác tư duy:

- Phân tích: Tách x22x7x 14 0

- So sánh, nhóm lại và đặt nhân tử chung: x x - 2 7 x- 20

- Tổng hợp để đặt nhân tử chung và đưa về dạng tích x- 2x- 70

- Phân tích để giải PT tích bằng cách phân chia trường hợp:

x   x ; hoặc x   7 0 x 7

- Tổng hợp để trả lời, kết luận nghiệm: PT đã cho có tập hợp nghiệm là  2;7

- Khái quát hóa khi mở rộng bài toán thành dạng giải PT x2  (a b x) ab0

Theo Phạm Văn Hoàn và các tác giả: “Suy luận toán học là loại suy luận được sử dụng trong toán học” [12]

Theo Nguyễn Anh Tuấn: “Suy luận là hình thức của tư duy, để rút ra một phán đoán mới từ một hay nhiều phán đoán đã có Các phán đoán đã có gọi

là tiền đề, phán đoán mới được rút ra gọi là kết luận của suy luận, cách thức rút

ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận” [24]

Theo Phạm Văn Hoàn [12], Nguyễn Bá Kim [13], Nguyễn Anh Tuấn

[24], trong môn Toán, những dạng lập luận thường gặp là phán đoán, suy luận

diễn dịch, suy luận quy nạp, chứng minh toán học, Trong đó:

- Suy luận diễn dịch (suy diễn) là “suy luận theo một quy tắc thoả mãn điều

kiện: Nếu tiền đề (A) đúng thì kết luận (B) đúng” [24]

- Suy luận quy nạp (hiểu theo nghĩa quy nạp trong khoa học) là suy luận “không

dựa trên một quy tắc lôgic nào và kết luận chung thường được rút ra dựa trên

cơ sở xem xét những trường hợp riêng, vì thế kết quả chỉ có tính phỏng đoán;

có thể đúng hay sai, mặc dù các căn cứ dựa vào để quy nạp đều đúng đắn” [24]

Trong một số trường hợp (chẳng hạn khi tìm tòi hướng giải PT, BPT),

HS có thể dùng những lập luận ở dạng suy luận quy nạp để dự đoán, định hướng giải bài toán Chú ý rằng có hai loại quy nạp khác nhau về bản chất:

Phép suy luận quy nạp không hoàn toàn là loại suy luận quy nạp khoa

học mà “kết luận rút ra dựa trên việc xét không đầy đủ các trường hợp riêng,

do vậy kết luận chỉ có tính chất dự đoán, giả thuyết”; Ngược lại, phép quy nạp

hoàn toàn là loại suy luận “nhằm rút ra kết luận chung về tất cả trường hợp cụ

thể đã được xét đến Kết luận thu được từ quy nạp hoàn toàn luôn luôn đúng

Do đó, thực chất quy nạp hoàn toàn là một phép chứng minh” [24]

Ví dụ 1.9:

Suy luận quy nạp hoàn toàn khi phân chia các trường hợp để GQVĐ: Khi giải và biện luận BPT m1x 7 0, sau khi biến đổi về dạng

m1x 7, HS biết phân chia thành 3 trường hợp:

i) Hệ số m 1 0, haym1 Khi đó m1x  7 0.x 7 Khi đó

không có giá trị nào của x để có bất đẳng thức đúng Kết luận BPT vô nghiệm

ii) Hệ số m 1 0, hay m1, khi đó   7

Có thể thấy: Các kết luận rút ra được nhờ xét đầy đủ tất cả các trường

hợp có thể xảy ra đối với m đảm bảo kết quả giải BPT là đúng và đủ

- Chứng minh: “là phép suy luận diễn dịch và xuất phát từ những phán đoán đúng làm tiền đề Trong phép chứng minh, kết luận (được rút ra bằng phép suy luận hợp lôgic và xuất phát từ những tiền đề đúng) bao giờ cũng đúng” [24]

Trong quá trình học Toán, HS thực hiện các thao tác tư duy để tiến hành

lập luận thông qua các suy luận hợp lôgic Lập luận toán học sẽ thu được kết quả đúng khi đảm bảo chỉ dùng những suy luận hợp lôgic và chỉ sử dụng những

tiền đề (căn cứ) đúng đắn Khi đó người ta có một phép chứng minh (tham khảo

[24])

Chú ý: Trong học Toán, tuỳ theo mục đích HĐ toán học mà HS sử dụng suy luận quy nạp, suy luận diễn dịch, chứng minh trong lập luận

- Suy luận quy nạp (không hoàn toàn): Để phát hiện dự đoán quy luật, mở rộng bài toán,

Ví dụ 1.10:

Khi HS nhận xét thấy hai trường hợp phương trình bậc hai có nghiệm bằng 0 là: PT x2 x 0 có nghiệm x0; PT 3x24x0 có nghiệm x0

Các em rút ra dự đoán: Tất cả các phương trình bậc hai dạng ax2bx c 0

với c0 đều có nghiệm x0

- Suy luận diễn dịch (nhưng không phải là chứng minh):

Ví dụ 1.11:

HS căn cứ vào 2 tiền đề là “PT bậc nhất một ẩn ax b 0 (với , a b là

những số thực; x là ẩn) luôn có duy nhất một nghiệm” và “PT 5 x 7 0 có dạng PT bậc nhất một ẩn” để rút ra kết luận “PT 5 x 7 0 chắc chắn có một nghiệm duy nhất”

Ở đây, mặc dù HS đã dùng quy tắc suy luận lôgic (A B A)

B



để thực hiện một phép suy luận diễn dịch, tuy nhiên kết quả (dù vẫn đúng) không được

chấp nhận bởi lẽ các em đã dùng một tiền đề không chính xác là “PT ax b 0

(với , a b là những số thực; x là ẩn) luôn có duy nhất một nghiệm” khi không

để ý đến điều kiện a0 đối với một PT bậc nhất một ẩn

- Chứng minh (dùng suy luận diễn dịch và dựa vào những tiền đề đúng đắn):

- HS dùng phép tương đương lôgic AB = (AB)  (BA) để lập luận:

Phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 1 02 2

4 0

a

m m

Do m là số nguyên dương nên m55m35m là số nguyên hay x15 x25

là số nguyên (Điều phải chứng minh)

1.2 Năng lực và năng lực toán học

1.2.1 Một số vấn đề về năng lực

1.2.1.1 Năng lực

Trong lĩnh vực tâm lý học “Năng lực là khả năng (hoặc tiềm năng) mà

con người thể hiện khi tham gia một hoạt động nào đó trong một thời điểm nhất định” [25] Chẳng hạn, có thể nói đến NL khi xem xét khả năng giải toán, khả

năng giao tiếp tiếng Anh,…

Năng lực hành động là khả năng thực hiện hiệu quả một nhiệm vụ/ một hành động cụ thể, liên quan đến một lĩnh vực nhất định dựa trên cơ sở những hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và sự sẵn sàng hành động

Theo nghĩa từ điển, năng lực có thể hiểu theo hai góc độ:

“i) Chỉ một khả năng, điều kiện tự nhiên có sẵn để thực hiện một hoạt động nào

đó; ii) Là một phẩm chất tâm sinh lý tạo cho con người có khả năng để hoàn thành một hoạt động nào đó có chất lượng cao” [15]

Theo cách tiếp cận này, NL được xem như khả năng của cá nhân đáp

ứng các yêu cầu để hoàn thành công việc

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (ban hành 2018), “NL là

thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [2]

1.2.1.2 Kỹ năng

Theo nghĩa từ điển, kỹ năng (danh từ) là “khả năng vận dụng những kiến

thức thu được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” ([15], trang 320)

Một cách diễn đạt khác, ta có thể hiểu “Kỹ năng là thói quen áp dụng thành thạo vào thực tiễn những kết quả đã học được hoặc những kết quả có được do một quá trình luyện tập Kỹ xảo là kỹ năng khi đạt tới trình độ rất thành thạo” [25]

Như vậy, về cơ bản, kỹ năng là khả năng hành động có hiệu quả, là khả

năng có được nhờ luyện tập tạo thành thói quen

Nếu tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng biệt thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm” Không phải có tri thức là đã có ngay

kỹ năng tương ứng Từ chỗ có tri thức “biết” đến chỗ có kỹ năng tương ứng

“biết làm” cần đi qua con đường tập luyện các HĐ tương ứng hay rèn luyện kỹ năng

Trong sự phát triển trí tuệ của con người, rèn luyện kỹ năng có vai trò đặc biệt quan trọng và khó có thể phân biệt được rạch ròi đâu là rèn luyện kỹ năng, đâu là phát triển trí tuệ

Kỹ năng có tính ổn định một cách tương đối, có thể thay đổi theo thời gian, hoàn cảnh, Mặt khác, nói đến kỹ năng thường gắn với HĐ cụ thể, còn

NL thì thường xét trong phạm vi hành động rộng hơn Chẳng hạn như: Trong

học Toán, người ta nói “Năng lực giải bài tập toán”, “Kỹ năng giải phương

trình, bất phương trình”, “Kỹ năng vẽ hình không gian ”, “Kỹ năng đổi biến số trong tính tích phân”,

Việc phân loại các kỹ năng còn tuỳ thuộc dựa trên tiêu chí như thế nào,

ở đây, tiếp cận từ rèn luyện kỹ năng GQVĐ cho HS qua môn Toán, có thể thấy:

Từ góc nhìn nhằm vận dụng môn Toán, có thể phân chia 3 loại kỹ năng đối với

HS như sau:

“1 Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để giải các bài tập toán học

2 Kỹ năng vận dụng tri thức toán học khi học tập các môn học khác

3 Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống” [29]

Ở luận văn này, chúng tôi tiếp cận NL TDLLTH từ việc xem xét những

KN TDLLTH của HS khi vận dụng tri thức toán học để giải các bài tập để giải

PT, BPT (thuộc loại kỹ năng thứ nhất kể trên)

Trong 10 chỉ tiêu NL toán học được UNESCO đã công bố, có thể kể đến

những thành phần gồm: “NL phát biểu và tái hiện ; NL tính toán ; NL chuyển

đổi ngôn ngữ ký hiệu toán học; NL biểu diễn ; NL suy luận NL chứng minh

NL giải toán; NL giải bài toán có nội dung thực tiễn; NL phân tích bài toán ;

NL khái quát hóa” [30] Theo đó, có thể thấy các thành phần đều liên quan đến

khả năng thực hiện các HĐ TDLLTH của HS

Theo Phạm Văn Hoàn và các tác giả (1981), NL toán học là “những đặc

điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm về trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của HĐ học tập toán học” nhằm “nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng,

sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học” ([12], trang

54-117]

Trong chương trình môn Toán 2018, tuy không trực tiếp định nghĩa NL toán học, nhưng việc mô tả và đưa ra cấu trúc và biểu hiện của NL này của HS

khi học môn Toán đã thể hiện được những đặc trưng cơ bản của NL toán học

trong những công trình kể trên

1.2.2.2 Đặc điểm và cấu trúc của năng lực toán học

Trong chương trình môn Toán 2018, NL toán học của HS phổ thông gồm

có 5 thành phần “1- NL TDLLTH; 2- Năng lực mô hình hoá toán học; 3- Năng

lực GQVĐ toán học; 4- Năng lực giao tiếp toán học; 5- Năng lực sử dụng công

cụ, phương tiện học toán” [3]

Sơ đồ 1.1: Các thành phần cốt lõi của năng lực toán học

Trong 5 loại NL thành phần được đưa vào yêu cầu phát triển năng lực toán học cho học sinh qua môn Toán ở trường phổ thông, thì NL TDLLTH

được đặt ở vị trí đầu tiên - thể hiện đặc trưng của tư duy toán học ở những tình

huống cần đến suy luận và chứng minh [3]

Có thể thấy: trong NL toán học, thành phần TDLLTH thể hiện vừa thể hiện

được đặc trưng của tư duy toán học, vừa mang đặc thù khoa học suy diễn của toán học Trong những tình huống xây dựng và vận dụng kiến thức toán học

(khái niệm, tính chất định lý, quy tắc và phương pháp toán học, giải bài tập

toán), người ta đều cần đến suy luận và chứng minh (còn gọi là lập luận toán

học) tham khảo [24]

1.2.3 Năng lực tư duy và lập luận toán học

1.2.3.1 Quan niệm và thành phần

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành năm 2018),

NL TDLLTH được xác định như sau:

Bảng 1.1: Các thành phần của NL TDLLTH trong môn Toán

Thành phần năng lực Ví dụ minh họa

– Thực hiện được các thao

tác tư duy như: so sánh,

phân tích, tổng hợp, đặc

biệt hoá, khái quát hoá,

tương tự; quy nạp, diễn

dịch

Khi giải phương trình :

 1 2 3 24

x x x x  , HS biết:

Phân tích các yếu tố phương trình để rút ra bậc

của phương trình, vế trái là tích của 4 thừa số có tính quy luật…

so sánh từng cặp thừa số trong vế trái để rút ra

– Chỉ ra được chứng cứ, lý

lẽ và biết lập luận hợp lý

trước khi kết luận

Trong quá trình giải phương trình, HS biết sử dụng các các phép biến đổi tương đương, sử dụng các quy tắc nhân đa thức, chuyển vế… để trình bày lời giải của mình

– Giải thích hoặc điều

chỉnh được cách thức

Lý giải được việc giải phương trình ở trên là dựa vào các phép biến đổi tương đương phương

Trong chương trình môn Toán 2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã xác định

NL toán học của HS THCS có thành phần và biểu hiện trong môn Toán như

sau:

Bảng 1.2: Biểu hiện NL TDLLTH ở HS THCS

Thực hiện được các thao tác tư

duy như: so sánh, phân tích, tổng

hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,

tương tự; quy nạp, diễn dịch

Thực hiện được các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, giải thích được sự tương đồng và khác biệt trong nhiều tình huống và thể hiện được kết quả của việc quan sát

Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết

lập luận hợp lí trước khi kết luận

Thực hiện được việc lập luận hợp lí khi GQVĐ

Giải thích hoặc điều chỉnh được

cách thức GQVĐ về phương diện

toán học

Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, GQVĐ Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tap

Từ những mô tả trên, đối chiếu với thực tiễn DH chủ đề PT, BPT cho đối tượng HSG lớp 9, ở luận văn này, chúng tôi lựa chọn, xác định ba thành phần, biểu hiện của NL TDLLTH ở HSG như sau:

Thành phần 1:

Thực hiện được các thao tác tư duy phân tích, so sánh, xét tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tổng hợp để tìm ra hướng giải PT, BPT

Để giải bài toán, theo G.Polya [18], bước quan trọng nhất chính là tìm

tòi hướng giải bài toán Ở bước này, HS cần huy động không chỉ kiến thức mà

còn cần sử dụng phối hợp các thao tác tư duy toán học để phân tích, lập luận tìm ra mối liên quan giữa dữ kiện đã cho với yêu cầu của bài toán

Đối với bài toán giải PT, BPT, HS cần nêu và trả lời được những câu hỏi khi tìm hiểu đề bài như PT, BPT đưa ra trong đề bài thuộc dạng quen thuộc nào không? Có phải tìm điều kiện xác định không? Căn cứ để xác định hưởng giải

là gì? Có thể dựa vào tính chất, PP giải nào đã biết?

Ví dụ 1.13: Giải bất phương trình 3 2

2

x x

 



Để giải được bài này HS đã thực hiện các hoạt động sau:

+ Hoạt động phân tích: Từ việc tìm hiểu đề, thấy: Đây là bất phương trình chứa

ẩn ở mẫu, chưa đưa được về dạng  

B x  , xét dấu cả tử và mẫu từ đó đi đến được kết luận

+ Hoạt động tổng hợp: Từ những phân tích trên HS tổng hợp đưa ra lời giải của bài toán

 



  

Kết hợp điều kiện xác định được 7   x 2

Đối với HSG, các em có thể mở rộng, khái quát hóa bài toán để phát biểu dạng tổng quát và PP giải chung như sau:

Giải và biện luận bất phương trình ax b m

học hợp lôgic

Ví dụ 1.14: Giải bất phương trình 2 3 0

2

x x







Bằng các thao tác tư duy (phân tích, so sánh, đặc biệt hóa, xét tương tự,

) và suy luận toán học (chủ yếu là suy luận trực tiếp từ một tiền đề; tam đoạn

luận), HS thực hiện các bước lập luận tính toán như sau:

Nhận thấy thương của 2 số là một số âm khi hai số đó trái dấu Do vậy:

 



  

HS sử dụng các định lý liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ

tự và phép nhân để tìm được nghiệm của từng hệ bất phương trình (nhận diện

và thể hiện các tính chất, quy tắc, công thức) để biến đổi:

(I)

3

22

2

x x

2

x x

2

x

x x

Rõ ràng là: Sau khi giải bài toán, HS cần kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải, trong đó có tính đúng đắn, hợp lý của các thao tác tư duy và lập luận toán học; đảm bảo tính lôgic trong lập luận, trong chứng minh; kiểm tra phát hiện được sai lầm (nếu có) trong các bước biến đổi, tính toán, lập luận khi giải PT, BPT

Thành phần này biểu hiện ở việc HS biết sử dụng TDLLTH để nêu và trả lời được câu hỏi khi đánh giá lời giải PT, BPT cần có chú ý gì khi sử dụng các phép biến đổi tương đương? Có bao nhiêu cách giải, cách nào ngắn gọn, khoa học nhất? Căn cứ để lập luận ở mỗi bước là gì? Đã đúng và hợp lý hay chưa?

Ví dụ 1.15: Giải phương trình: 2x 1 x  4x9

Qua tìm hiểu bài HS nhận thấy, đây là phương trình chứa dấu căn bậc hai ẩn x, cần phải giải phương trình này để tìm tập nghiệm của phương trình này Việc giải phương trình này có thể được thực hiện theo các bước sau: tìm điều kiện xác định - làm mất dấu căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế cùng dấu – tìm nghiệm của phương trình thu được – đối chiếu điều kiện xác định – kết luận

Tóm tắt lời giải bài toán:

Điều kiện: x0

Thấy với điều kiện x0, hai vế của phương trình đã cho đều dương

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

Kiểm tra, đánh giá quá trình giải:

- Kiểm tra nghiệm: Đối chiếu với điều kiện và thử lại, ta thấy x4 đúng là nghiệm duy nhất của phương trình

- Khái quát hóa: Giải PT ax b x  cxd (trong đó a, b, c, d là các số

đã cho; a và c khác 0) theo hướng bình phương cả hai vế đưa về dạng

 

(x)

f g x ; tiếp tục bình phương để đưa về dạng PT đa thức để giải

1.2.3.2 Mối quan hệ giữa năng lực tư duy và lập luận toán học với một số năng lực được hình thành và phát triển ở học sinh qua môn Toán

Xem xét sự gắn bó với giữa NL TDLLTH với NL mô hình hóa toán học;

NL GQVĐ toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học Toán, tác giả luận văn nhận thấy:

NL TDLLTH là một NL quan trọng trong học Toán, có mối liên hệ và ảnh hưởng đến việc phát triển các NL như sau:

- NL TDLLTH giúp học sinh phát triển khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp trong môn Toán

- Khả năng lập luận toán học giúp học sinh lý giải được các khái niệm, định nghĩa và công thức được sử dụng trong môn Toán, sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học để trình bày kết quả quá trình tư duy của mình

- Năng lực về lập luận toán học giúp học sinh phân tích các vấn đề thành các thành phần nhỏ hơn và tổng hợp chúng, giúp học sinh đoán định và dự báo tình huống trong môn Toán; sử dụng các mô hình toán học đã có để tìm ra giải pháp tốt nhất Việc sử dụng NL TDLLTH giúp học sinh tập trung vào việc thử và sai, từ đó cải thiện kiến thức; đúc kết kinh nghiệm, hình thành các mô hình toán học mới

- Việc sử dụng các công cụ, phương tiện toán học giúp cho quá trình tư duy hiệu quả, tiếp cận vấn đề thuận lợi hơn Qua đó HS có thể tìm ra được lời giải cho bài toán đang thực hiện

Tóm lại, NL TDLLTH đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và

phát triển các thành phần NL toán học cho học sinh

1.3 Tình hình dạy học giải phương trình, bất phương trình cho học sinh giỏi lớp 9

1.3.1 Nội dung dạy học phương trình, bất phương trình ở bậc Trung học cơ

Ở lớp 8 có 17 tiết trong Chương III Phương trình bậc nhất một ẩn về

những kiến thức cơ bản phương trình và phương trình bậc nhất một ẩn và 8 tiết

trong Chương IV Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ở lớp 9 có 14 tiết nằm trong chương IV Hàm số 2

yax ( a0) Phương trình bậc hai một ẩn

Bảng 1.3: Phân phối chương trình về PT, BPT cho HS THCS

Lớp 8 (25 tiết/140 tiết)

PPCT Chương III

Toán 9 (14 tiết/ 140 tiết)

Ở bộ SGK Chân trời sáng tạo, Toán 8 đưa vào một chương VI - Phương

trình với 12 tiết về “Phương trình bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách

lập phương trình bậc nhất”,

Ở bộ SGK Kết nối tri thức với cuộc sống, Toán 8 đưa vào 5 tiết về

“Phương trình bậc nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phương trình”

lồng ghép vào vào đầu chương VII - Phương trình bậc nhất và Hàm số bậc

nhất

Ở bộ SGK Cánh diều, Toán đưa vào một chương VII - Phương trình bậc

nhất một ẩn với 8 tiết về “phương trình bậc nhất một ẩn và ứng dụng”

Như vậy, có thể thấy: Về cơ bản mạch kiến thức về PT, BPT trong chương trình mới cũng được tiếp cận và đưa vào môn Toán THCS tương tự như ở chương trình cũ: Xuất phát từ và song hành với mạch kiến thức về biểu thức đại số và hàm số, Mặt khác tiếp cận dần dần từ PT đến BPT và hệ PT

Nhận xét:

Ở môn Toán THCS, chủ đề PT, BPT được đưa vào gồm 3 mạch chính, gồm: PT - BPT - hệ phương trình Ở luận văn này, chúng tôi dành riêng nghiên

cứu 2 phần là PT, BPT Trong đó, ở lớp 8 đưa vào PT, BPT bậc nhất một ẩn;

còn ở lớp 9 tiếp tục “nâng cao” với PT bậc hai một ẩn; đồng thời cũng đặt ra yêu cầu giải bài toán bằng cách lập phương trình Đây là những kiến thức cơ bản, đặt nền móng cho việc học PT, BPT trong môn Toán ở bậc học phổ thông

1.3.1.2 Một số dạng toán về giải phương trình, bất phương trình dành cho học sinh giỏi lớp 9

Dạng 1 PT đa thức:

Dạng: f x 0 trong đó f x là đa thức Trong khuôn khổ chương  

trình SGK Toán 8, 9, HS đã được học một số dạng cụ thể, khi f x là nhị thức  

bậc nhất axb; f x là tam thức bậc hai   ax2bx c Ngoài ra, biểu thức

1 215

o Quy đồng, khử mẫu phương trình đưa về phương trình đa thức

  

2 2

2

x

x x