Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông

Từ những thực tế nên trên nên chúng tôi lựa chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông”, và thông qua vấn đề này mong muốn phần

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN HỌC

HUỲNH THỊ ANH PHƯƠNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Sư phạm Toán

Giảng viên hướng dẫn : PGS TS Nguyễn Thanh Hưng

ĐÀ NẴNG, 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN HỌC

HUỲNH THỊ ANH PHƯƠNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Sư phạm Toán Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thanh Hưng

ĐÀ NẴNG, 2024

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm, quý thầy, cô khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi học tập và thực hiện đề tài tốt nghiệp này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Thanh Hưng, thầy đã dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn và đã tận tình chỉ dạy cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm bổ ích

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo tổ Toán trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky Line, thành phố Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình thực nghiệm sư phạm

Cuối cùng, cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn bên cạnh ủng hộ, động viên

và cho tôi chỗ dựa vững chắc để tôi có thể hoàn thành tốt đề tài khóa luận này

Tôi đã rất cố gắng vận dụng những kiến thức đã học được và tìm tòi thêm nhiều thông tin để hoàn thành khóa luận này Tuy nhiên, do kiến thức còn hạn chế

và không có nhiều kinh nghiệm trên thực tiễn nên khó tránh khỏi những thiếu sót

Vì vậy, tôi rất mong nhận được những góp ý từ quý thầy cô cũng như các bạn để

đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2024

Sinh viên

Huỳnh Thị Anh Phương

Ý KIẾN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn

PGS TS Nguyễn Thanh Hưng

BẢNG, BIỂU ĐỒ TRONG KHÓA LUẬN

Bảng 3.1 Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học

Bảng 3.2 Kết quả bài kiểm tra của học sinh hai lớp 12/1 và 12/2

trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky Line 51 Bảng 3.3 Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra của lớp 12/1 và 12/2

trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky Line 52

Biểu đồ 3.1 Kết quả bài kiểm tra của học sinh hai lớp 12/1 và 12/2

trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky Line 51

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 1

Ý kiến của cán bộ hướng dẫn khoa học 2

Các bảng, biểu đồ trong khóa luận 3

MỞ ĐẦU 6

1 Lí do chọn đề tài 6

2 Mục tiêu nghiên cứu 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 7

4 Giả thuyết khoa học 7

5 Đối tượng nghiên cứu 7

6 Phạm vi nghiên cứu 7

7 Phương pháp nghiên cứu 7

8 Đóng góp khóa luận 8

9 Cấu trúc khóa luận 9

Chương 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu 10

1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu 10

1.1.1 Các nghiên cứu nước ngoài 10

1.1.2 Các nghiên cứu trong nước 13

1.2 Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu 15

1.2.1 Định nghĩa về các phương trình 15

1.2.2 Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung) 16

1.2.3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 16

1.3 Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu 20

1.3.1 Mục đích khảo sát 20

1.3.2 Đối tượng khảo sát 20

1.3.3 Nội dung khảo sát 21

1.3.4 Phương pháp khảo sát 21

1.3.5 Phân tích kết quả khảo sát 21

1.3.6 Thuận lợi 25

1.3.7 Khó khăn 26

Kết luận chương 1 28

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông 29

2.1 Một số nguyên tắc đề xuất phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông 29

2.1.1 Đảm bảo bản chất của phương trình vô tỉ 29

2.1.2 Đảm bảo tính hệ thống, logic 29

2.1.3 Đảm bảo tính chủ động, tích cực sáng tạo của học sinh 29

2.1.4 Đảm bảo tính thực tiễn, khả thi và hiệu quả 30

2.2 Một số phương pháp giải phương trình phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông 30

2.2.1 Phương pháp nâng lên lũy thừa (biến đổi tương đương) 30

2.2.2 Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 38

2.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 41

Kết luận chương 2 47

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 48

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 48

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 48

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 48

3.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 49

3.5 Nội dung thực nghiệm sư phạm 49

3.6 Kết quả thực nghiệm sư phạm 50

Kết luận chương 3 54

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 PHỤ LỤC I

Trong chương trình toán Trung học phổ thông, học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được biết một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng Đặc biệt là trong các đề thi, học sinh sẽ gặp các bài toán về phương trình vô tỉ mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày chưa được gọn gàng, chặt chẽ thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày

Trong sách giáo khoa có ít và hạn hẹp lí thuyết giới thiệu sơ lược ví dụ và bài tập đơn giản Nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ năng giải cho học sinh Nhưng trong thực tế, việc biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục

Từ những thực tế nên trên nên chúng tôi lựa chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông”, và

thông qua vấn đề này mong muốn phần nào giúp học sinh có kiến thức và tự tin giải quyết tốt các bài toán về phương trình vô tỉ trong các Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông về môn Toán

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lí luận về việc giải quyết các bài toán về phương trình

vô tỉ và khảo sát, đánh giá thực trạng, khóa luận này trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cho học sinh qua các bài toán cụ thể và các bài toán đã xuất

hiện trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, góp phần tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động giáo dục và đào tạo của giáo viên nói riêng; nhà trường nói chung

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông

Khảo sát, đánh giá thực trạng về việc sử dụng các phương pháp giải trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông

Đề xuất một số phương pháp giải quyết bài toán về phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông và thực nghiệm để xác thực tính hiệu quả và khả thi của biện pháp đề xuất

Thực nghiệm sư phạm: Nghiên cứu khả năng vận dụng phương pháp giải

phương trình vô tỉ của học sinh khối lớp 12 trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky Line, quận Hải Châu, thành phố Đà Nẵng

4 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số phương pháp giải bài toán về phương trình vô tỉ thì

sẽ góp phần giúp học sinh dễ dàng giải quyết bài toán trong các kì kiểm tra

5 Đối tượng nghiên cứu

Một số phương pháp giải bài toán về phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông

6 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu: Nghiên cứu về một số phương pháp giải phương

trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông từ năm 2021 đến 2023

Phạm vi nghiên cứu: Khối lớp 12 trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung

học phổ thông Sky Line, quận Hải Châu, thành phố Đà Nẵng

Thời gian khảo sát: Học kì 2, năm học 2023 – 2024

7 Phương pháp nghiên cứu

- Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết:

Phương pháp thu thập tài liệu: Thu thập tài liệu có liên quan đến một số

phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông

để xây dựng cơ sở lí luận của đề tài

Phương pháp phân tích, tổng hợp: Từ những tài liệu đã thu thập được, tiến

hành nghiên cứu, xem xét, lựa chọn những tư liệu liên quan Phương pháp phân loại, hệ thống hóa: Từ những tư liệu đã được lựa chọn, tiến hành phân loại, hệ thống các nguồn tài liệu làm cơ sở lí luận cho đề tài

- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

Phương pháp quan sát: Tiến hành quan sát cách giải các bài toán về phương

trình vô tỉ trong các tiết học Toán ở lớp 12 trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky Line, quận Hải Châu, thành phổ Đà Nẵng

Phương pháp điều tra bằng bảng hỏi: Thiết kế bảng hỏi về những nội dung

cần khảo sát đối với cán bộ quản lí nhà trường, giáo viên giảng dạy môn Toán khối lớp 12 nhằm điều tra thực trạng, tính cấp thiết, khả thi của các phương pháp giải phương trình vô tỉ cho học sinh khối lớp 12

Phương pháp phỏng vấn: Tiến hành phỏng vấn, trao đổi trực tiếp với một số

cán bộ quản lí nhà trường, giáo viên giảng dạy môn Toán khối lớp 12 nhằm bổ sung thêm những thông tin cần thiết về việc sử dụng các phương pháp giải phương trình vô tỉ của học sinh phục vụ cho quá trình nghiên cứu đề tài

- Nhóm phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm

có đối chứng trên đối tượng là học sinh khối lớp 12 ở trường Tiểu học, Trung học

cơ sở, Trung học phổ thông Sky Line, nhằm đánh giá thực trạng, tính cấp thiết, tính hiệu quả và khả thi của các biện pháp mà khóa luận đề xuất

- Nhóm phương pháp thống kê toán học: Sử dụng phương pháp thống kê toán

học để xử lí các số liệu đã thu thập được trong quá trình điều tra khảo sát và thực nghiệm sư phạm để rút ra kết luận về thực trạng cũng như hiệu quả của đề tài nghiên cứu

8 Đóng góp khóa luận

Về mặt lí luận: Hệ thống hóa cơ sở lí luận về việc áp dụng một số phương

pháp giải bài toán liên quan đến phương trình vô tỉ

Về mặt thực tiễn: Sản phẩm của khóa luận có thể sử dụng làm tài liệu tham

khảo trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, giúp học sinh có cơ

sở ôn luyện cho Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông

9 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần Mở đầu; Kết luận và khuyến nghị; Tài liệu tham khảo; Các bảng, Biểu đồ trong khóa luận và Phụ lục Khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu;

Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi Trung

học phổ thông;

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

1.1.1 Các nghiên cứu nước ngoài

Phương pháp giải phương trình vô tỉ là một lĩnh vực toán học sôi động với nhiều đóng góp quan trọng từ các nhà toán học trên toàn thế giới Một số xu

hướng nghiên cứu chính trong lĩnh vực này bao gồm:

Phát triển các phương pháp giải mới: Các nhà toán học đang không ngừng

tìm kiếm các phương pháp mới để giải các loại phương trình vô tỉ khác nhau, bao gồm cả những phương trình trước đây được cho là không thể giải được Một số phương pháp mới bao gồm sử dụng trí tuệ nhân tạo, học máy và các kỹ thuật toán

học tiên tiến khác

Nghiên cứu tính chất của các nghiệm: Các nhà toán học đang nghiên cứu

tính chất của các nghiệm của các phương trình vô tỉ, chẳng hạn như số lượng nghiệm, vị trí của các nghiệm và hành vi của các nghiệm khi các tham số của phương trình thay đổi Nghiên cứu này có thể giúp chúng ta hiểu rõ hơn về bản

chất của các phương trình vô tỉ và phát triển các phương pháp giải hiệu quả hơn

Ứng dụng trong các lĩnh vực khác: Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm vật lý, kỹ thuật, hóa học, kinh tế và tài chính Nghiên cứu trong lĩnh vực này nhằm mục đích phát triển các công cụ và kỹ thuật mới để giải quyết các vấn đề thực tế trong các lĩnh vực này

Và các nhà toán học đã có những phương pháp giải mới:

Sử dụng trí tuệ nhân tạo (AI): Các thuật toán AI như mạng nơ-ron nhân tạo

có thể được sử dụng để học các mẫu dữ liệu và tự động tìm ra phương pháp giải cho các phương trình vô tỉ phức tạp

Sử dụng học máy (Machine learning): Các thuật toán học máy có thể được

sử dụng để phân loại các phương trình vô tỉ thành các dạng đã biết và áp dụng các phương pháp giải phù hợp

Sử dụng các kỹ thuật toán học tiên tiến: Các nhà khoa học đang nghiên cứu

các kỹ thuật toán học mới để giải các loại phương trình vô tỉ trước đây được cho là không thể giải được

Trong các năm gần đây đã có những đóng góp trong lĩnh vực nghiên cứu phương pháp giải phương trình vô tỉ Năm 2020, một nhóm các nhà toán học từ Đại học Stanford đã phát triển một phương pháp mới để giải các phương trình vô

tỉ bậc ba Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các kỹ thuật học máy để xác

định các mối quan hệ ẩn giữa các biến trong phương trình Năm 2021, các nhà

khoa học từ Đại học Peking đã chứng minh rằng một số loại phương trình vô tỉ trước đây được cho là không thể giải được thực ra có thể giải được bằng cách sử

dụng các kỹ thuật toán học tiên tiến Năm 2022, các nhà toán học từ Viện Công

nghệ Massachusetts đã phát triển một công cụ mới để phân tích tính chất của các nghiệm của các phương trình vô tỉ Công cụ này có thể được sử dụng để dự đoán

hành vi của các nghiệm khi các tham số của phương trình thay đổi Gần đây nhất

là vào năm 2023, các nhà toán học từ Đại học Oxford đã phát triển một phương pháp mới để giải các phương trình vô tỉ ngẫu nhiên Phương pháp này có thể được

sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng trong các lĩnh vực như vật lý, tài chính và

kỹ thuật Năm 2024, Đại học Cambridge đã chứng minh rằng một số loại phương

trình vô tỉ phi tuyến có thể giải được bằng cách sử dụng các kỹ thuật hình học Khám phá này có thể dẫn đến sự phát triển của các phương pháp giải mới cho các

loại phương trình vô tỉ khác nhau

Phương trình vô tỉ là một trong những phương trình có đa dạng phương pháp giải, với những nghiên cứu độc đáo đến từ các tác giả nước ngoài Những nghiên cứu này xoay quanh vấn đề cốt lõi tìm hiểu bản chất của phương trình vô

tỉ, từ đó xây dựng và hệ thống phương pháp giải hợp lí với từng dạng cụ thể, phù hợp và logic Hiện nay trên thế giới đã có vô số các nghiên cứu tiêu biểu về vấn đề này mà chúng tôi muốn đề cập đến như: Michael F Singer, T Y Yamamoto, R Zhao et al,…

Bài báo của tác giả Michael F Singer (2022) về đề xuất một phương pháp

mới để giải phương trình vô tỉ bậc hai bằng phương pháp phân tích Phương pháp này dựa trên việc phân tích vế trái của phương trình thành hai nhân tử, trong đó một nhân tử là một nhị thức bậc hai và nhân tử kia là một biểu thức vô tỉ Sau đó, tác giả sử dụng định lý Vi - ét để tìm nghiệm của phương trình Ông đã đề xuất một phương pháp giải phương trình vô tỉ dựa trên mối liên hệ giữa các đa thức bậc hai và nghiệm của nó Và thực hiện các trình tự tìm nghiệm đối với đa thức bậc bốn

Nghiên cứu phát triển một phương pháp mới để giải phương trình vô tỉ bậc

ba bằng phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp này dựa trên việc đặt một ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba một ẩn Sau đó, tác giả T Y Yamamoto (2021) sử dụng công thức Cardano để tìm nghiệm của phương trình

Ngoài ra, bài báo của tác giả F T Chae (2021) Bài báo này đề xuất một phương pháp mới để giải hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đồ thị Phương pháp này dựa trên việc vẽ đồ thị của hai vế của mỗi phương trình trong hệ và tìm

nghiệm bằng giao điểm của các đồ thị Hay nghiên cứu của tác giả Michael F

Shafer (Đại học Purdue) giới thiệu một phương pháp mới để giải các phương trình

vô tỉ bằng cách đưa chúng về hệ phương trình Phương pháp dựa trên việc sử dụng các bất đẳng thức và các hằng số toán học để thu hẹp tập nghiệm của phương trình Phương pháp đã được chứng minh là hiệu quả trong việc giải các phương trình vô tỉ phức tạp mà các phương pháp truyền thống khó có thể giải được

Hay tác giả Daniel Shanks (Đại học Stony Brook) sử dụng hàm Lambert W

để giải các phương trình vô tỉ có dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm đa thức Hàm Lambert W là một hàm đặc biệt có thể được sử dụng để giải các phương trình này một cách chính xác Phương pháp này đã được chứng minh là hiệu quả trong việc giải các phương trình vô tỉ có nhiều nghiệm Bài báo của Nikolai N Voronin (Đại học Moscow State) này trình bày cách sử dụng số phức để giải các phương trình vô tỉ có dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm đa thức Số phức có thể được sử dụng để mở rộng tập nghiệm của phương trình và biến nó thành một

phương trình đa thức có thể giải được bằng các phương pháp truyền thống Phương pháp này đã được chứng minh là hiệu quả trong việc giải các phương

trình vô tỉ có nghiệm phức

Nhìn chung, lĩnh vực nghiên cứu phương pháp giải phương trình vô tỉ đang phát triển nhanh chóng với nhiều đóng góp quan trọng từ các nhà khoa học trên toàn thế giới Nghiên cứu này có tiềm năng dẫn đến sự phát triển của các phương pháp giải mới, hiệu quả hơn cho các loại phương trình vô tỉ khác nhau, đồng thời

có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau Nội dung của các nghiên

cứu trước đều đã chỉ ra các khó khăn, thuận lợi và biện pháp khắc phục trong việc dạy bài toán giải quyết phương trình vô tỉ Ngoài ra, những nghiên cứu trước đây đều được kiểm chứng tính khả thi thông qua các thực nghiệm trên nhiều đối tượng Chính những nghiên cứu đó sẽ là tiền đề cho các nghiên cứu sau này để có thể tiếp tục khai thác được nhiều hơn nữa những phương pháp giải phương trình

thú vị, đề ra được các biện pháp để góp phần tối ưu hơn việc “Nghiên cứu bài toán

về phương trình vô tỉ” nói riêng và góp phần hoàn thiện, đảm bảo chất lượng giáo

dục toán học Việt Nam nói chung

1.1.2 Các nghiên cứu trong nước

Trong những năm gần đây, nghiên cứu về phương pháp giải phương trình

vô tỉ trong nước đã đạt được nhiều tiến bộ đáng kể Các nhà toán học đã tập trung nghiên cứu vào việc phát triển các phương pháp giải mới, cải tiến hiệu quả giải toán của các phương pháp hiện có và mở rộng phạm vi áp dụng của phương trình

vô tỉ trong các lĩnh vực khác nhau Nghiên cứu về phương pháp giải phương trình

vô tỉ là một lĩnh vực quan trọng trong toán học với nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau Các nhà khoa học Việt Nam đang tích cực tham gia vào nghiên cứu trong lĩnh vực này và đã đạt được nhiều kết quả đáng

khích lệ

Dưới đây là một số nghiên cứu tiêu biểu về phương pháp giải phương trình

vô tỉ trong nước những năm gần đây:

Nghiên cứu về phương pháp giải mới:

Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Văn Tý (2015) đề xuất một phương pháp giải mới cho phương trình vô tỉ dựa trên việc sử dụng các tính chất của hàm số

mũ Phương pháp này có thể áp dụng cho nhiều dạng phương trình vô tỉ khác nhau

và có hiệu quả giải toán cao Tác giả Phạm Kim Chung (2017) đã áp dụng phương pháp biến đổi Abel để giải các phương trình tích phân vô tỉ, vốn là một dạng phương trình vô tỉ rất khó giải Phương pháp này có thể mở rộng phạm vi áp dụng của phương pháp giải phương trình vô tỉ sang các dạng phương trình mới Hay nghiên cứu giải hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp ma trận của tác giả Lê Thị Hoa (2019), phương pháp này có thể giải quyết các hệ phương trình vô tỉ phức tạp một cách hiệu quả

Nghiên cứu cải tiến hiệu quả giải toán:

Năm 2016, Trần Ngọc Hiếu nghiên cứu cải tiến phương pháp Raphson giải phương trình vô tỉ để tăng hiệu quả giải toán cho phương trình vô tỉ Các cách thức này bao gồm việc sử dụng các thuật toán tối ưu hóa mới và việc áp dụng các kỹ thuật xử lý số tiên tiến Ngoài ra, Bùi Minh Đức áp dụng thuật toán (phương pháp lặp) để giải các phương trình vô tỉ bậc cao Thuật toán này có thể giải quyết các phương trình vô tỉ bậc cao một cách hiệu quả mà không cần sử dụng các phương pháp giải phức tạp khác Tác giả Nguyễn Thị Phương Lan (2020) sử dụng mạng nơ-ron nhân tạo giải phương trình vô tỉ của, mạng nơ-ron nhân tạo có thể học hỏi các quy luật giải toán từ dữ liệu và áp dụng các quy luật này để giải

Newton-các phương trình vô tỉ một Newton-cách hiệu quả

Nghiên cứu mở rộng phạm vi áp dụng:

"Ứng dụng phương trình vô tỉ trong giải toán tối ưu" của tác giả Đặng Văn

Tường (2015) để giải các bài toán tối ưu trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, v.v Việc áp dụng này giúp cho việc giải các bài toán tối ưu trở nên hiệu quả và

chính xác hơn "Áp dụng phương trình vô tỉ trong mô hình hóa các hiện tượng trong vật lý" của tác giả Lê Thị Minh Nguyệt (2017) áp dụng phương trình vô tỉ để

mô hình hóa các hiện tượng trong vật lý như chuyển động của vật thể, sự truyền nhiệt, v.v Việc áp dụng này giúp cho việc mô hình hóa các hiện tượng vật lý trở

nên chính xác và sinh động hơn Tác giả Trương Văn Nam (2019) sử dụng phương trình vô tỉ để giải các bài toán khoa học máy tính như giải mã, xử lý ảnh, v

Ngoài ra, còn có rất nhiều nghiên cứu khác về phương pháp giải phương trình

vô tỉ được thực hiện bởi các nhà khoa học trong nước việc nghiên cứu phương pháp giải bài toán phương trình vô tỉ như: Phạm Kim Ngọc, Trịnh Văn Nam, Lê Anh Tú Các nghiên cứu này đã tạo nên những đóng góp có ý nghĩa to lớn, là nguồn kiến thức quý báu Tuy nhiên, những phương pháp giải phương trình vô tỉ

mà học sinh được tìm hiểu ở trường phổ thông đã có nghiên cứu nhất định nhưng

nó vẫn còn nhiều vấn đề cần phải tiếp tục tìm hiểu.Các nghiên cứu này đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học Việt Nam và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như khoa học, kỹ thuật, kinh tế,…

1.2 Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu

1.2.1 Định nghĩa về các phương trình

1.2.1.1 Định nghĩa về phương trình vô tỉ

Một phương trình mà trong đó ít nhất một trong số các biểu thức của nó là một biểu thức vô tỉ liên quan đến một biến được gọi là phương trình vô tỉ

Phương trình f x  g x  được gọi là phương trình vô tỉ nếu f hoặc g là hàm số đại số vô tỉ (chứa biến số trong căn thức)

Trong xuyên suốt khóa luận này, chúng tôi sử dụng khái niệm về phương trình phương trình vô tỉ như sau phương trình có chứa ẩn dưới căn thức được gọi

là phương trình vô tỷ Hay nói cách khác, đó là một phương trình có dạng

  0

f x  , trong đó là một hàm số đại số vô tỷ (có chứa căn thức của biến số;

x có thể là một biến, khi đó phương trình có một ẩn; xcó thể xem là n biến với

 1, ,2 , n n

x x x  x  khi đó phương trình có ẩn)

1.2.1.2 Định nghĩa về phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm Nếu phương trình f x1 g x1  tương đương với phương trình

   

f x  g x thì ta viết

       

f x g x  f x g x

1.2.1.3 Định nghĩa về phương trình hệ quả

Phương trình f x1 g x1  gọi là phương trình hệ quả của phương trình

Bước 1 Tìm tập xác định (còn gọi là điều kiện) của phương trình

Bước 2 Biến đổi đưa phương trình về các dạng phương trình đã học

Bước 3 giải phương trình vừa tìm được

Bước 4 Đối chiếu với tập xác định rồi kết luận

1.2.3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

1.2.3.1 Phương pháp nâng lên lũy thừa (biến đổi tương đương)

a) Dạng phương trình 1: f x  c ( là hằng số) (1)

Đây là dạng cơ bản nhất của phương trình vô tỉ

Sử dụng tính chất của lũy thừa: a  b an bn để làm mất căn bậc hai

Nếu c0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu c0 thì phương trình (1)  f x 0 Giải phương trình này ta tìm được nghiệm của (1)

Sơ đồ cách giải:        

   

00

 

 

        2

00

00

 

 

002

Bình phương hai vế của phương trình, ta có:

xem như “hoàn toàn”

b) Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai

- Dạng phương trình 2:

        0

aP x bQ x c P x Q x  abc0Xét Q x  0 P x 0

Xét Q x 0, chia cả hai vế của phương trình cho Q x  và đặt  

 

P x t

Q x

chuyển phương trình đã cho về dạng At2 Bt C 0

P x  Q x   t t P x Q x  P x Q x Chuyển phương trình đã cho về được phương trình bậc hai: 2

1.3 Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Qua quá trình tìm hiểu thực trạng về việc áp dụng một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, chúng tôi đã thực hiện việc khảo sát, cụ thể được trình bày như sau:

1.3.1 Mục đích khảo sát

Tìm hiểu thực trạng dạy học, vận dụng một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cho học sinh để chuẩn bị cho Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông

Tìm hiểu nhận thức của giáo viên về việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn

đề toán học cho học sinh trong việc giải bài toán liên quan đến phương trình vô tỉ

Tìm hiểu những khó khăn của giáo viên khi giảng dạy các phương pháp giải phương trình vô tỉ cho học sinh và khó khăn của học sinh khi tiếp thu kiến thức

1.3.2 Đối tượng khảo sát

Chúng tôi khảo sát bằng hình thức phỏng vấn và phiếu khảo sát từ 4 giáo viên dạy Toán lớp 12 và 55 em học sinh lớp 12/1 và 12/2 của trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky Line, thành phố Đà Nẵng

1.3.3 Nội dung khảo sát

Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung về phương trình vô tỉ và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản thường gặp; những thuận lợi, khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy học nội dung về phương trình vô tỉ

1.3.4 Phương pháp khảo sát

Trong khoảng thời gian thực tập đã thực hiện phỏng vấn, dự giờ một số tiết giảng dạy trực tiếp của giáo viên tại trường về nội dung phương trình vô tỉ, và sử dụng phiếu khảo sát để thăm dò ý kiến của 4 giáo viên và 55 học sinh

1.3.5 Phân tích kết quả khảo sát

Đối với giáo viên:

Câu 1 Thầy/ Cô cho rằng chủ đề về phương trình vô tỉ ở trường Trung học phổ

thông là chủ đề như thế nào?

Rất khó Khó Bình thường Dễ

Câu 2 Để dạy học chủ đề phương trình vô tỉ, Thầy/ Cô có thường xuyên hướng

dẫn học sinh sử dụng phương pháp giải sau như thế nào? (có thể đánh nhiều ô)

Ít khi Thỉnh thoảng Thường xuyên Phương pháp nâng lên lũy

Câu 3 Các Thầy/ Cô đánh giá từng câu sau đây về tính hiệu quả và khó khăn, trở

ngại của việc sử dụng các phương pháp giải phương trình vô tỉ

(1) Hoàn toàn không đồng ý, (2) Không đồng ý, (3) Bình thương, (4) Đồng ý, (5) Hoàn toàn đồng ý

1 2 3 4 5

(75%)

1/4 (25%)

2 Tạo hứng thú học tập tốt hơn 3/4

(75%)

1/4 (25%)

2/4 (50%)

4 Giúp cho việc khám phá kiến

thức được thuận lợi

1/4 (25%)

2/4 (50%)

1/4 (25%)

5 Giúp cho việc thảo luận, trao

đổi nhóm tốt hơn

1/4 (25%)

2/4 (50%)

1/4 (25%)

6 Giúp cho việc kiểm tra/thi đạt

kết quả cao hơn

2/4 (50%)

2/4 (50%)

Câu 4 Thầy/ Cô nhận thấy sự quan trọng của các phương pháp để giải phương

trình vô tỉ như thế nào?

Rất

quan trọng Quan trọng

Có cũng được, không có cũng được

Không quan trọng

Không cần thiết

Giáo trình và tài liệu tham khảo

về giải phương trình vô tỉ còn

hạn chế, thiếu bài tập vận dụng

3/4 (75%)

1/4 (25%)

thực tế, dẫn đến việc giảng dạy

thiếu sinh động và hiệu quả

2

Nhiều học sinh cảm thấy chủ đề

giải phương trình vô tỉ khó

khăn và nhàm chán, dẫn đến

thiếu hứng thú học tập

3/4 (75%)

1/4 (25%)

3

Có nhiều dạng phương trình vô

tỉ khác nhau, mỗi dạng có

phương pháp giải riêng, đòi hỏi

học sinh phải ghi nhớ và phân

biệt rõ ràng

2/4 (50%)

2/4 (50%)

2/4 (50%)

1/4 (25%)

Đối với học sinh:

Câu Nội dung Tỉ lệ lựa chọn Câu 2: Theo em,

phương trình nào dưới

đây là phương trình vô

Phương pháp nâng lên lũy thừa

Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

50%

phương trình vô tỉ qua

các nguồn thông tin

nào? (đánh dấu vào

Sai lầm liên quan đến chuyển

Không xác định được phương pháp giải cho từng bài toán 50%

Câu 9: Đánh giá tính

hiệu quả và khó khăn,

trở ngại của việc sử

dụng các phương pháp

giải phương trình vô tỉ

Tạo hứng thú học tập tốt hơn 75%Giúp cho việc xác định dạng

toán và cách làm nhanh và chính xác

80%

Giúp cho việc khám phá kiến 60%

thức được thuận lợi

Giúp cho việc thảo luận, trao đổi

Giúp cho việc kiểm tra/thi đạt

Câu 7 Các em đánh giá từng câu sau đây về tính hiệu quả và khó khăn, trở ngại

của việc sử dụng các phương pháp giải phương trình vô tỉ

(1) Hoàn toàn không đồng ý, (2) Không đồng ý, (3) Bình thương, (4) Đồng ý, (5) Hoàn toàn đồng ý

STT Nội dung

Mức độ đánh giá (1) (2) (3) (4) (5)

6 Giúp cho việc kiểm tra/thi đạt

1.3.6 Thuận lợi

Việc áp dụng các phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách linh hoạt và hiệu quả mang lại nhiều lợi ích cho người học Mỗi phương pháp giải đều được thiết kế để giải quyết một dạng phương trình vô tỉ cụ thể, giúp người học rút gọn các bước giải, tiết kiệm thời gian và công sức so với việc thử nghiệm các phương pháp khác nhau Ví dụ, phương pháp đặt ẩn phụ giúp giải nhanh gọn các phương trình vô tỉ chứa ẩn dưới dấu căn, thay vì phải sử dụng các phép biến đổi phức tạp

Các phương pháp giải được xây dựng dựa trên nền tảng toán học vững chắc, giúp hạn chế tối đa sai sót trong quá trình giải phương trình Việc áp dụng đúng phương pháp cho từng dạng bài toán giúp đảm bảo tính chính xác và hiệu quả của kết quả thu được.

Quá trình học tập và áp dụng các phương pháp giải phương trình vô tỉ giúp rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và sáng tạo trong việc giải quyết vấn

đề Mỗi phương pháp mang đến một cách tiếp cận khác nhau để giải quyết cùng một bài toán, giúp người học linh hoạt hơn trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp nhất cho từng trường hợp cụ thể

Nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỉ giúp người học có nền tảng kiến thức để giải quyết các bài toán thực tiễn trong các lĩnh vực này Nhìn chung, việc học tập và áp dụng các phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách hiệu quả mang lại nhiều lợi ích cho người học, góp phần nâng cao kiến thức, kĩ năng tư duy và khả năng ứng dụng thực tiễn

Hiệu quả của mỗi phương pháp giải phụ thuộc vào dạng phương trình cụ thể

và khả năng vận dụng của người học Việc kết hợp linh hoạt các phương pháp giải khác nhau sẽ giúp người học giải quyết được nhiều dạng phương trình vô tỉ một cách hiệu quả nhất

Đối với chương trình mới, trong 3 bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống, Cánh diều và Chân trời Sáng tạo đã được giảm tải các dạng bài tập về phương trình vô tỉ, chỉ còn lại hai dạng chủ yếu là f x( ) g x( ) và f x( )  g x( )

Hiện nay, việc áp dụng các phương pháp được trình bày phía trên đối với học sinh là đa dạng, học sinh được tiếp cận với nhiều nguồn phương pháp và bài tập ví dụ kèm theo

1.3.7 Khó khăn

Tuy nhiên, dù biết nhiều phương pháp để giải nhưng việc giải phương trình

vô tỉ có thể gặp nhiều khó khăn đối với học sinh, bao gồm:

Khó khăn trong việc nhận dạng dạng phương trình

Một số dạng phương trình vô tỉ có cấu trúc phức tạp, khiến học sinh khó khăn

trong việc nhận dạng và phân loại, dẫn đến việc lựa chọn phương pháp giải không phù hợp Ví dụ, phương trình x 1 x 2 3 có thể được xem là phương trình

vô tỉ tích, nhưng cũng có thể được giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Khó khăn trong việc biến đổi phương trình

Một số phương trình vô tỉ cần thực hiện nhiều bước biến đổi phức tạp để đưa về dạng phương trình cơ bản trước khi có thể áp dụng phương pháp giải Việc sai sót trong các bước biến đổi có thể dẫn đến kết quả sai hoặc không tìm được

nghiệm của phương trình Ví dụ, phương trình x 1 2

x

 

cần được biến đổi về

dạng x  x 1 trước khi có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế

Khó khăn trong việc chọn phương pháp giải phù hợp

Có nhiều phương pháp giải phương trình vô tỉ khác nhau, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp cho từng dạng bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức toán học vững vàng và khả năng phân tích tốt Việc chọn sai phương pháp giải có thể dẫn đến việc giải phương trình rất khó khăn hoặc không thể giải được

Khó khăn trong việc giải quyết các bài toán có nhiều ẩn

Một số bài toán liên quan đến phương trình vô tỉ có thể có nhiều ẩn, khiến việc giải quyết trở nên phức tạp Việc áp dụng các kĩ thuật giải hệ phương trình và phương pháp loại trừ có thể cần thiết để tìm ra nghiệm của các bài toán này

Khó khăn trong việc kiểm tra nghiệm

Sau khi tìm được nghiệm của phương trình vô tỉ, học sinh cần kiểm tra xem nghiệm đó có thỏa mãn điều kiện của bài toán hay không Việc bỏ qua bước kiểm tra nghiệm có thể dẫn đến kết quả sai

Ngoài ra, một số yếu tố khác cũng có thể ảnh hưởng đến độ khó của việc giải phương trình vô tỉ, bao gồm:

+ Mức độ phức tạp của phương trình

+ Khả năng toán học và kĩ năng giải quyết vấn đề của học sinh

+ Thời gian và nguồn lực dành cho việc giải phương trình

Nhìn chung, giải phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải có kiến thức toán

học vững vàng, kĩ năng tư duy logic và khả năng áp dụng các phương pháp giải một cách linh hoạt Việc rèn luyện thường xuyên và học hỏi từ các sai sót sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng giải quyết phương trình vô tỉ một cách hiệu quả

Kết luận chương 1

Chương 1, chúng tôi đã trình bày cơ sở lí luận về phương pháp giải phương tình vô tỉ Định nghĩa về phương trình vô tỉ, các phương pháp giải phương trình vô

tỉ kèm theo các dạng và sơ đồ cách giải cụ thể

Phương trình vô tỉ là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, được giảng dạy ở cả cấp Trung học cơ sở và Trung học phổ thông Phương trình vô tỉ giúp học sinh làm quen với các dạng phương trình mới, mở rộng tư duy toán học và khả năng giải quyết vấn đề Quá trình học tập và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vô tỉ rèn luyện cho học sinh kĩ năng

tư duy logic, phân tích và sáng tạo

Phương pháp giải phương trình vô tỉ đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh học tập và giải quyết các dạng phương trình này một cách hiệu quả Phương pháp giải cung cấp cho học sinh một quy trình logic và bài bản để tiếp cận

và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vô tỉ Việc áp dụng đúng phương pháp giải giúp học sinh tiết kiệm thời gian và công sức, đồng thời giảm thiểu sai sót trong quá trình giải quyết bài toán Việc nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỉ giúp học sinh có nền tảng để học tập các chủ đề toán học nâng cao hơn như giải tích, hình học,

Chương 1 đã cung cấp các cơ sở lí luận quan trọng cho việc nghiên cứu các phương pháp giải phương tình vô tỉ ở trường Trung học phổ thông Các nội dung trình bày trong chương này đóng vai trò là nền tảng cho nghiên cứu ở chương 2 của khóa luận

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ TRONG ĐỀ THI

TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Một số nguyên tắc đề xuất phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi Trung học phổ thông

Mỗi phương pháp giải phương trình vô tỉ khi được xây dựng và sử dụng cần dựa trên các nguyên tắc nhất định Trên cơ sở lí luận và thực tiễn của chương 1, cùng với điều tiến hành thực nghiệm sư phạm, việc giảng dạy và vận dụng các phương pháp giải phương trình vô tỉ trong Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cần dựa trên các nguyên tắc cơ bản sau:

2.1.1 Đảm bảo bản chất của phương trình vô tỉ

Bước đầu tiên trong việc xây dựng phương pháp giải phương trình vô tỉ là phải hiểu rõ bản chất của phương trình, bao gồm dạng thức của phương trình, các

ẩn số và các mối quan hệ giữa các ẩn số Việc không hiểu rõ bản chất của phương

trình có thể dẫn đến việc chọn sai phương pháp giải hoặc giải sai phương trình Khi xây dựng phương pháp giải bài toán vô tỉ cần lưu ý tập xác định, các phép

biến đổi trong phương trình

2.1.2 Đảm bảo tính hệ thống, logic

Sau khi hiểu rõ bản chất của phương trình, cần tiến hành phân tích phương trình để xác định dạng thức của phương trình, các ẩn số và các mối quan hệ giữa

các ẩn số Quá trình phân tích phương trình giúp học sinh xác định được hướng

giải quyết và lựa chọn phương pháp giải phù hợp Mỗi phương pháp cần xác định

rõ bước làm cụ thể, với mỗi bước cần chỉ rõ mục tiêu đối với từng dạng bài cụ thể

2.1.3 Đảm bảo tính chủ động, tích cực sáng tạo của học sinh

Có nhiều phương pháp giải phương trình vô tỉ khác nhau, và việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết phương

trình một cách hiệu quả Việc chọn sai phương pháp giải có thể dẫn đến việc giải sai phương trình hoặc tốn nhiều thời gian và công sức

2.1.4 Đảm bảo tính thực tiễn, khả thi và hiệu quả

Phương pháp giải phương trình vô tỉ không phải là cố định mà cần được rèn luyện và hoàn thiện qua quá trình học tập và giải quyết các phương trình khác nhau.Việc thường xuyên rèn luyện giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề, đồng thời giúp họ tự tin hơn trong việc giải các

phương trình mới

2.2 Một số phương pháp giải phương trình phương trình vô tỉ trong Đề thi Trung học phổ thông

2.2.1 Phương pháp nâng lên lũy thừa (biến đổi tương đương)

Bài toán 1 Giải phương trình x2   x 2 1

Định hướng giải Phương trình đã cho có dạng f x( ) c

đó ta chỉ có thể biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình khi có điều kiện x 2 0 Khi đó hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương

4

2 8 0

2

x x

(Câu 48, Mã đề 101, Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông năm 2021):

Bài toán 3 (Bài 6.20, Tập 2, Toán 10, Bộ sách Kết nối Tri thức với Cuộc sống):

Giải phương trình x2 2x  3 2x25

Giải Điều kiện xác định của phương trình là x2 2x 3 0; 2 x250

Phương trình được cho ở trên có dạng cơ bản là f x   g x , do đó ta

sử dụng phép nâng lên lũy thừa Chú ý rằng với điều kiện xác định tìm được ta biến đổi phương trình như sau

x x

Nhận xét: Lời giải trên ta sử dụng phép biến đổi tương đương phương trình sau khi đã tìm điều kiện xác định cho phương trình Có thể thực hiện biến đổi tương đương phương trình mà không cần đặt điều kiện xác định bằng cách

2 2

(Câu 47, Mã đề 101, Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông 2023):

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

157;

Gọi O là hình chiếu vuông góc của I trên giao tuyến của 2 mặt phẳng tiếp diện

Gọi B, C là giao điểm giữa d và (S) Theo đề d cắt (S) tại hai điểm phân biệt

mà các tiếp diện của (S) tại hai điểm vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác OBIC là hình chữ nhật, từ đó suy ra BC2 2

Gọi H là trung điểm BC suy ra 2

2

BC

Từ đây, xuất hiện dạng phương trình f x  a g x  

Đối với dạng phương trình này, ta cũng nhìn nhận giống với dạng phương trình f x   g x  Điều đó nghĩa là khi nâng lũy thừa hai vế, ta nâng a thành

Bài toán 4: Giải phương trình x  1 5 2 3x2

Việc đầu tiên khi giải phương trình trên là tìm điều kiện xác định của phương trình Vì chưa biết chắc chắn vế phải âm hay dương nên trước khi biến đổi nâng lên lũy thừa ta cần có thêm điều kiện 5 2 3 x 2 0 Tuy nhiên để ý một tí

ta nhận thấy khi chuyển vế đại lượng 2 3x2 sang vế trái thì hai vế của phương trình đều dương và đến đây ta có thể nâng lên lũy thừa hai vế mà không cần đến

điều kiện 5 2 3 x 2 0 Từ đó ta có lời giải sau

Điều kiện xác định của phương trình là 1 0 1

x

x x

Nhận xét: Khi gặp phương trình dạng f x  g x k thì ta nên chuyển vế một hạng tử sao cho hai vế của phương trình đều không âm, từ đó ta thực hiện nâng lên lũy thừa mà không cần phải bổ sung thêm điều kiện của ẩn

Ngoài biến đổi nâng lên lũy thừa như trên ta có thể giải phương trình trên theo phương trình đánh giá như sau:

Điều kiện xác định của phương trình là 1 0 1

x

x x

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được x2 là nghiệm

Bài toán 5 Giải phương trình x2   x 1 x  1 x 2 (1)

Định hướng giải Phương trình (1) có dạng f x( )  g x( ) h x( )

Giải Điều kiện:

Bài toán 6 Giải phương trình x  8 2 x  7 x  1 x  7 4 (1) Giải Điều kiện của bài toán: