Sựthực này đã khẳng định vai trò to lớn của toán học trong việc phân tích vàgiải quyết các vấn đề kinh tế một cách hợp lý và chi tiết, mang lại nhữnglợi ích thiết thực.. Việc biểu diễn c
Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1 Phương trình vi phân là phương trình có dạng:
Phương trình F(x, y, y ′ , y ′′ , , y (n) ) = 0, trong đó F là một hàm xác định trong một miền của không gian R n+2, với x là biến độc lập, y là hàm phụ thuộc vào biến độc lập x, và y ′ , y ′′ , , y (n) là các đạo hàm từ cấp một đến cấp n của y.
Nếu từ phương trình, ta có thể biểu diễn đạo hàm cấp cao nhất n qua các biến còn lại, thì phương trình được gọi là giải ra đối với y (n) Phương trình này còn được biết đến với tên gọi là phương trình dạng chính tắc, có dạng: y (n) = f(x, y, y ′ , y (n−1)).
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình.
Phương trình vi phân d^2y/dx^2 + 2(dy/dx)^3 + y = 0 là một phương trình cấp 2, do có đạo hàm cao nhất là 2 Cần phân biệt rõ giữa hai khái niệm "cấp" và "bậc" trong bối cảnh này.
Như trong phương trình đã cho thì ta thấy bậc 3 xuất hiện trong số hạng dy dx, nhưng đây không phải là cấp của phương trình đã cho
Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) là hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng (a, b) nào đó và thỏa mãn phương trình đã cho, nghĩa là:
Giải phương trình vi phân là quá trình tìm tất cả các nghiệm của nó, có thể được biểu diễn dưới dạng tường minh y = y(x), x = x(y), hoặc dưới dạng ẩn ϕ(x, y) = 0, và dạng tham số x = x(t), y = y(t) Đồ thị của nghiệm được gọi là đường tích phân, và việc giải phương trình vi phân cũng đồng nghĩa với việc tìm kiếm tất cả các đường tích phân của phương trình đã cho.
Phương trình vi phân cấp một và phân loại
Phương trình với biến số phân ly
Phương trình vi phân cấp một dạng:
M(x)dx+N(y)dy = 0, (1.6) được gọi là phương trình với biến số phân ly (hay còn gọi là phương trình tách biến).
Trong phương trình (1.6), các hàm M(x) và N(y) được giả định là liên tục trong các khoảng nhất định Khi đó, chúng ta có thể tiến hành tích phân cả hai vế của phương trình để thu được kết quả.
N(y)dy, hay ta có thể viết một cách hình thức là ϕ(x, y, C) sau khi tiến hành tính toán tích phân hai vế.
Biểu thức cuối cùng chính là nghiệm cần tìm của phương trình đã cho.
Ví dụ 1.2.1 Giải phương trình vi phân: xdx+ydy = 0. Đây là phương trình vi phân có biến số phân ly Khi đó tích phân 2 vế phương trình:
Tích phân tổng quát của phương trình trên là x 2 +y 2 = C.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng dy/dx + P(x)y = Q(x), trong đó P(x) và Q(x) là các hàm xác định và liên tục trên khoảng (a, b) Để tìm nghiệm, ta sử dụng dạng y = u(x)v(x), với u và v là các hàm chưa biết phụ thuộc vào x Từ đạo hàm của y, ta có y' = u'v + uv' Thay biểu thức này vào phương trình ban đầu, ta nhận được uv' + (u' + P(x)u)v = Q(x) Để giải phương trình này, ta chọn u sao cho u' + P(x)u = 0, từ đó dẫn đến u = exp.
Thay biểu thức nhận được vào (1.10) ta nhận được: v ′ = exp
Giải phương trình cuối ta nhận được: v Z Q(x)exp
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) tìm được dưới dạng: y = uv = exp
Phương trình Bernoulli
Phương trình Bernoulli có dạng: \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = y^n Q(x) \), với \( n \) là số thực khác 0 và 1 Để tìm nghiệm của phương trình này, ta sẽ chuyển đổi về dạng phương trình tuyến tính Khi \( n = 0 \) hoặc \( n = 1 \), phương trình trở thành phương trình tuyến tính Đối với các trường hợp còn lại, ta đặt \( y = uv \), từ đó có \( y' = u'v + uv' \) và thay vào phương trình Bernoulli Ta có biểu thức: \( uv' + (u' + P(x)u)v = (uv)^n Q(x) \) Để giải quyết, ta chọn \( u \) sao cho \( u' + P(x)u = 0 \), từ đó dẫn đến \( u = e^{ } \).
Đặt biểu thức nhận được đối với u vào (1.12) ta nhận được: v ′ e − R P (x)dx = v n e −n R P(x)dx Q(x).
Nhân cả hai vế của biểu thức cuối với e R P(x)dx ta nhận được: v ′ = v n e (1−n) R P (x)dx Q(x).
Từ đây ta có: dv dx = v n e (1−n) R P(x)dx Q(x), hay: dv v n = e (1−n) R P (x)dx Q(x).
Tích phân cả hay vế hệ thức cuối:
Hệ thức cuối cùng cho phép xác định v(x), ký hiệu là ψ(x, C) Nghiệm tổng quát của phương trình Bernoulli được xác định qua công thức: y = e − R P(x)dx ψ(x, C).
Phương trình vi phân toàn phần
Phương trình vi phân có dạng:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (1.13) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm U(x, y), thỏa mãn: dU(x, y) =P(x, y)dx+Q(x, y)dy, hay
Từ (1.13) và (1.14) ta được: dU(x, y) = 0 =⇒ U(x, y) = C, với C là hằng số.
Phương trình (1.13) được xác định là phương trình vi phân toàn phần nếu và chỉ nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn Chúng ta có thể chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng.
Trong quá trình giải quyết phương trình (1.13) ta có thể tiến hành như sau Từ ∂U
Lấy đạo hàm hai vế theo y ta thu được:
Từ đó ta có thể tìm φ(y) và do đó tìm được U(x, y) Ta sẽ thu được nghiệm cần là:
Phương trình vi phân cấp hai
Khái quát chung về phương trình vi phân cấp hai 12
Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát như sau:
F(x, y, y ′ , y ′′ ) = 0, (1.16) trong đó F là hàm số của bốn biến số x, y, y ′ , y ′′
Việc giải phương trình vi phân cấp 2 có thể được thực hiện thông qua phương trình tổng quát phức tạp, thường được viết dưới dạng y ′′ = f(x, y, y ′ ) Để tìm nghiệm của phương trình này, cần thực hiện hai lần tích phân bất định, dẫn đến nghiệm có dạng y = φ(x, C1, C2), trong đó C1 và C2 là các hằng số tùy ý.
Hàm số (1.18) được xem là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai, vì khi gán các ký hiệu C1 và C2 với bất kỳ số nào, ta sẽ nhận được một nghiệm của phương trình Mỗi nghiệm cụ thể thu được từ nghiệm tổng quát khi gán cho C1 và C2 các trị số xác định được gọi là nghiệm riêng của phương trình.
Ví dụ 1.3.1 Phương trình y ′′ = 2x, có thể giải như sau:
3x 3 +c 1 x+c 2 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = 1
Từ nghiệm tổng quát ta có các nghiệm riêng là: y = 1
Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng
Phương trình vi phân bậc hai hệ số hằng có dạng y′′ + py′ + qy = f(x), trong đó p và q là các hằng số, và f(x) là một hàm đã biết, được xác định và liên tục trên một khoảng nào đó.
Nếu như trong (1.19) f(x) ̸= 0 thì phương trình đã cho được gọi là phương trình không thuần nhất, trong trường hợp ngược lại ta nói phương trình là thuần nhất.
Trước tiên ta đi xem xét phương trình vi phân bậc hai thuần nhất với hệ số hằng: y ′′ + py ′ +qy = 0 (1.20)
Để tìm nghiệm của phương trình (1.20), ta giả sử dạng nghiệm là y = e^(rx), trong đó r là một số thực chưa biết Từ giả thuyết này, ta tính được y' = re^(rx) và y'' = r^2 e^(rx) Khi thay thế các biểu thức y, y', y'' vào phương trình (1.20), ta có được phương trình e^(rx)(r^2 + pr + q) = 0.
Phương trình bậc hai r² + pr + q = 0 (1.21) được coi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.20), với biến r luôn khác 0 Đa thức bậc hai F(r) = r² + pr + q được gọi là đa thức đặc trưng liên quan đến phương trình (1.20).
Giải phương trình (1.21) ta nhận được các nghiệm r 1 , r 2 Có thể xuất hiện 3 trường hợp sau đây:
Giả sử có trường hợp 1 với hai nghiệm r1, r2 của phương trình (1.21), trong đó r1 ≠ r2 ∈ R Các hàm y1 = e^(r1 x) và y2 = e^(r2 x) là nghiệm riêng của phương trình thuần nhất (1.20) và chúng độc lập tuyến tính vì y1 y2 = e^((r1 - r2)x) ≠ const Do đó, hàm tổng quát được biểu diễn dưới dạng y = C1 e^(r1 x) + C2 e^(r2 x), với C1 và C2 là các hằng số, chính là nghiệm của phương trình (1.20).
Ví dụ 1.3.1 Tìm nghiệm của phương trình: y ′′ −5y ′ + 6y = 0.
Phương trình đặc trưng: r 2 −5r + r = 0, có nghiệm r 1 = 2, r 2 = 3 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho dưới dạng:
Một số khái niệm về giải tích phức
Định nghĩa 1.3.1 Kí hiệu dạng a+ib, ở đây a, b ∈ R, i là đơn vị ảo, được gọi là số phức.
Số phức, ký hiệu là c, có dạng c = a + ib, trong đó a là phần thực (Rec) và b là phần ảo (Im(c)) Tập hợp các số phức được ký hiệu là C Hai số phức c1 = a1 + ib1 và c2 = a2 + ib2 được coi là bằng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2 Số phức c = a - ib được gọi là số phức liên hợp của c = a + ib.
Ta có một vài tính chất sau đây:
Nếu r = a+ib là nghiệm của phương trình r 2 +pr+q = 0 thì số phức liên hợp của nó r 2 +pr+q = 0 = a−ib cũng là nghiệm của phương trình trên Thật vậy:
Định nghĩa hàm phức biến thực trên tập X ⊂ R được mô tả bằng cách ánh xạ một số thực x ∈ R tới số phức w = u + iv ∈ C, ký hiệu là f: X → R với f(x) = u(x) + iv(x) Trong đó, u(x) là phần thực và v(x) là phần ảo của f(x) Đạo hàm của hàm phức f(x) được xác định qua biểu thức f′(x) = u′(x) + iv′(x).
Hàm w = e^z, với z = x + iy và w = u + iv, được xác định bởi công thức e^z = e^x (cosy + i siny), được gọi là hàm mũ trong miền phức Từ đó, ta có u = e^x cosy và v = e^x siny.
Từ (1.22) ta có: e −ix = cosx−isinx, e ix = cosx+isinx.
Các công thức trên có tên gọi là công thức Euler.
Ta phát biểu mệnh đề sau đây: nếu y = u+iv = u(x) +iv(x) là nghiệm của phương trình (1.20) hay L[y] = 0 thì phần thực u(x) và phần ảo v(x) cũng là nghiệm của (1.20).
Chứng minh 0 = L[y] = L[u(x) + iv(x)] = L[u(x)] + iL[v(x)] ⇒L[u(x)] = L[v(x)] = 0 Điều này chứng tỏ u(x), v(x) là nghiệm của phương trình L[y] = 0.
Trong nghiên cứu trường hợp thứ 3, chúng ta xem xét các nghiệm r1 = a + ib và r2 = a − ib, với b ≠ 0, của phương trình (1.21) có dạng số phức Hàm y = e^(rx) = e^(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) được chứng minh là nghiệm của phương trình (1.22) Các hàm thực u = e^(ax)cos(bx) và v = e^(ax)sin(bx) cũng là nghiệm của (1.22) và độc lập tuyến tính vì u v = cot(bx) ≠ const Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.22) được biểu diễn dưới dạng y = e^(ax)(C1 cos(bx) + C2 sin(bx)).
Ví dụ 1.3.2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y ′′ + 2y ′ + 3y = 0.
Phương trình đặc trưng r 2 + 2r+ 3 = 0 có nghiệm r 1 = r 2 = −1±i√
2, do đó nghiệm tổng quát tìm được: y = e −x (C 1 cos√
2x). Định nghĩa 1.3.6 Phương trình dạng:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất với hệ số hằng được biểu diễn dưới dạng: A₀ (dⁿy/dxⁿ) + A₁ (dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹) + + Aₙ₋₁ (dy/dx) + Aₙy = 0, trong đó Aᵢ (với i = 0, n) là các hằng số và A₀ khác không.
A 0 d n y dx n +A 1 d n−1 y dx n−1 + +A n−1 dy dx +A n y = f(X), (1.24) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp n không thuần nhất. Phương trình (??) có thể viết lại dưới dạng toán tử sau:
F(d)y = A 0 D n +A 1 D n−1 + +A n−1 D +A n )y = 0, ở đây D = d dx Như vậy biểu thức ở trong dấu được xem như một đa thức bậc n theo D Ta viết lại F(D) dưới dạng:
F(D) = A 0 (D −λ 1 )(D−λ 2 ) (D −λ n ), (1.25) trong đó λ i , i= 0, n chính là nghiệm của phương trình đặc trưng:
Rõ ràng (??) thỏa mãn bằng 0 với mỗi nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (D −λ1)y = 0,(D −λ2)y = 0, ,(D −λn)y = 0 Giả sử các giá trị λ i là thực và khác nhau Xét tại λ k ,0 ≤k ≤ n:
(D −λ k )y = 0, khi đó: y k = C k e λ k x , như vậy nghiệm tổng quát của = phương trình (1.22) tìm được dưới dạng: y = C 1 e λ 1 x +C 2 e λ 2 x + + C n e λ n x ,
Nếu như trong các nghiệm λ s = a+ ib nào đó, suy ra λ r = a+ ib cũng là nghiệm của phương trình đặc trưng (2.5), khi đó:
C s e (a+ib)x +C r e (a−ib)x = e ax [(C s +C r ) cosbx+i(C s −C r ) sinbx].
Biểu thức cuối chính là phần nghiệm tương ứng với λ s và liên hiệp phức với nó λr.
Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất 17
Ta sẽ tiến hành xem xét khi vế phải của (2.3) trong một vài trường hợp đặc biệt.
Trong trường hợp 1, với hàm số f(x) = e^(αx) P_m(x), trong đó P_m(x) là đa thức bậc m, có hai tình huống xảy ra Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng, nghiệm riêng sẽ được xác định dưới dạng y_r = e^(αx) Q_m(x) Ngược lại, nếu α là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng, nghiệm riêng sẽ có dạng y_r = x^k e^(αx) Q_m(x), với Q_m(x) là đa thức bậc m mà các hệ số cần được xác định.
Ví dụ 1.3.3 Tìm nghiệm riêng của phương trình: y ′′ −3y ′ + 2y = (3−4x)e x
Phương trình đặc trưng: λ 2 − 3λ + 2 = 0, λ1 = 1, λ2 = 2, α = 1 λ 1 , m = 1 Do đó nghiệm riêng của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng: y r = xe x (ax+ b).
Ta có các công thức y r ′ = e x (1 + x)(ax + b) + axe x và y ′′ r = e x [(1 + x)(ax + b) + ax + b) + a(1 + x) + a] Khi thay thế các biểu thức này vào phương trình đã cho và thực hiện đồng nhất thức hai vế, ta tìm được a = 2 và b = 1 Do đó, nghiệm riêng của phương trình là y r = xe x (2x + 1) Từ đó, nghiệm tổng quát của phương trình là y = C 1 e x + C 2 e x + xe x (2x + 1).
Trong trường hợp 2, với hàm số f(x) = e^(αx) [P(x) cos(βx) + Q(x) sin(βx)], nếu α + iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì nghiệm riêng có thể được xác định dưới dạng y_r = e^(αx) [R(x) cos(βx) + S(x) sin(βx)] Ngược lại, nếu α + iβ là nghiệm bội k của phương trình đặc trưng, nghiệm riêng sẽ có dạng y_r = x^k e^(αx) [R(x) cos(βx) + S(x) sin(βx)], trong đó R(x) và Q(x) là các đa thức có bậc bằng max{deg(Q(x)), P deg(x)} và hệ số của chúng được xác định bằng phương pháp căn bằng hệ số.
Ví dụ 1.3.3 Giải phương trình: y ′′ +y = 4xsinx.
Phương trình thuần nhất với α = 0 và β = 1 dẫn đến nghiệm phức λ = ±i từ phương trình đặc trưng λ² + 1 = 0 Điều này cho thấy phương trình thuộc trường hợp 2b với k = 1 Nghiệm riêng của phương trình được xác định dưới dạng: y r = x[(ax+b) cosx + (cx+d) sinx].
Ta có biểu thức đạo hàm bậc nhất y r ′ = (ax+b) cosx + (cx+d) sinx + x[acosx + (ax+b) sinx + csinx + (cx+d) cosx] Đạo hàm bậc hai y r ′′ = 2acosx − 2(ax+b) sinx + 2csinx + 2(cx+d) cosx + x[−2asinx + 2ccosx − (ax+b) cosx − (cx+d) sinx] Khi thay các biểu thức y r ′ và y r ′′ vào phương trình ban đầu và đồng nhất hai vế, ta tìm được a = −1, b = c = 0, d = 1 Từ đó, ta có y r = x(−xcosx + sinx) và nghiệm tổng quát của phương trình là y = C1 cosx + C2 sinx + x(−xcosx + sinx).
Nếu hàm số f(x) không có dạng đặc biệt, nó có thể được phân tích thành tổng các hàm f 1 (x), f 2 (x), , f n (x) Mỗi hàm f i (x) với i từ 1 đến n sẽ có dạng đặc biệt Khi đó, nghiệm riêng y r có thể được xác định dưới dạng tổng các nghiệm riêng y 1, y 2, , y n, trong đó mỗi y i tương ứng với hàm f i.
CHƯƠNG2 MỘT SỐ MÔ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG
Khái niệm phân tích cân bằng động
Một số khái niệm cơ bản
Các biến kinh tế thường thay đổi giá trị theo từng thời điểm cụ thể Ví dụ, giá cả của một mặt hàng có tính biến động theo thời gian, cho thấy rằng giá cả là một hàm của thời gian.
Kinh tế động là lĩnh vực phân tích nhằm tìm hiểu các quỹ đạo thời gian của các biến kinh tế, xác định khả năng hội tụ về mức giá trị cân bằng sau thời gian dài (t→ +∞) Trong phân tích này, mức giá trị cân bằng không luôn được coi là đạt được, mà chỉ có thể đạt được dưới một số điều kiện nhất định Phân tích cân bằng động đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các điều kiện này.
Nghiên cứu sự hội tụ của quỹ đạo thời gian của biến kinh tế đến quỹ đạo cân bằng x∗(t) cho thấy rằng biến kinh tế x tiệm cận dần tới mức cân bằng ổn định Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào trường hợp khi x∗(t) = x = constant, được gọi là mức cân bằng liên thời Nếu x(t) hội tụ tới x∗(t) dưới một số điều kiện nhất định, thì x∗(t) sẽ được xem là mức cân bằng liên thời ổn định động, đồng nghĩa với việc x(t) có tính ổn định động.
Trong phân tích cân bằng động, yếu tố thời gian đóng vai trò quan trọng, dẫn đến việc phân chia các biến kinh tế thành hai loại Thứ nhất, biến liên tục là hàm số phụ thuộc vào thời gian t và thay đổi một cách liên tục Thứ hai, biến rời rạc cũng phụ thuộc vào t nhưng chỉ thay đổi tại các thời điểm cụ thể như t=to, t1, t2, và các giá trị khác.
Hình 2.1: Đường biến động giá cả.
Giá cả P(t) của một đơn vị hàng hóa là một biến liên tục, với giá tại mỗi thời điểm t được xác định là P(t) Sau một khoảng thời gian đủ dài, giá P(t) sẽ ổn định và đạt đến mức giá cân bằng P Trong quá trình này, quỹ đạo thời gian P(t), hay còn gọi là đường biến động giá cả, sẽ dao động xung quanh mức giá cân bằng.
P Trong một số trường hợp khác, đường biến động giá cả có thể không có tính dao động mà tiệm cận tới P, từ dưới lên hoặc từ trên xuống. Để thực hiện phân tích cân bằng động, ta có thể sử dụng các công cụ của toán học như: phép tính tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân,
Một số ví dụ áp dụng
Để xác định quỹ đạo thời gian của biến dân số H(t) với phương trình dH/dt = t - 1/2 và điều kiện H(0) = 100, ta cần giải phương trình vi phân này Dân số H(t) tại thời điểm t sẽ phản ánh sự thay đổi theo thời gian, bắt đầu từ giá trị H(0) = 100.
Lời giải Xét phương trình vi phân: dH dt = t −1 2 , hay dH dt = 1
Tích phân hai vế ta nhận được:
Tại thời điểm t= 0, ta có: H(0) = C, nên H(t) = 2p
Phương trình này xác định quỹ đạo thời gian của mô hình dân số H(t).
Chi phí toàn phần phụ thuộc vào mức sản phẩm đầu ra, với các kí hiệu như sau: M C đại diện cho hàm chi phí biên, F C là chi phí cố định, và C = C(Q) biểu thị chi phí toàn phần.
Tiến hành tích phân hai vế ta được:
Giải phương trình cuối ta thu được :
Ví dụ 2.1.3 Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP, phụ thuộc vào mức thu nhập thông qua phương trình sau đây:
M SP = dS dY = 0,3−0,1Y −0,5 Trong đó: Y là thu nhập, S = S(Y) là hàm tiết kiệm Cho biết điều kiện ban đầu S = 0 và Y = 81 Hãy tìm hàm tiết kiệm.
Lời giải Ta có: dS dY = 0,3−0,1Y −0,5 , hay dS = (0,3−0,1Y −0,5 )dY.
Từ điều kiện ban đầu S = 0 và Y = 81, ta có S(81) = 0 suy ra
Ứng dụng phương trình vi phân xác định hàm cầu
biết hệ số co dãn của cầu
Co dãn điểm là khái niệm chỉ sự co dãn tại một điểm cụ thể trên đường cầu Phương pháp tính co dãn điểm được áp dụng khi có sự thay đổi rất nhỏ trong lượng cầu và các yếu tố ảnh hưởng Hệ số co dãn của cầu thị trường cho một sản phẩm được xác định dựa trên những thay đổi này.
P , trong đó: Q là cầu thị trường của sản phẩm, P là giá bán trên thị trường,
E d là hằng số được gọi là hệ số co dãn của cầu theo giá.
Phương trình vi phân biến số phân ly được giải bằng cách tích phân hai vế, dẫn đến kết quả: lnQ = E d lnP + lnC, từ đó ta có lnQ c = E d lnP = lnP E d.
Từ đây ta có được:
Ví dụ 2.1.4 Tìm hàm cầu của sản phẩm A dưới dạng Q = f(P), cho biết hệ số co dãn của hàm cầu theo giá P là:
Theo giả thiết Q= 1000 khi P = 20 nên ta được:
Vậy hàm cầu của sản phẩm A là: Q = −10P + 2P 2 + 400.
Ví dụ 2.1.5 Tìm hàm cầu của sản phẩm A dưới dạng Q = D(P), cho biết hệ số co dãn của hàm cầu theo giá P là:
Ta nhân hai vế cho Q dQ
= (−5−2P)dP, hay Q = −5P −P 2 +C, Q = 500 khi P = 10, nên ta có:
Vậy hàm cầu của sản phẩm A là: Q = −5P −P 2 + 650.
Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị trường
Phát biểu mô hình cân bằng động
Xét mô hình kinh tế thị trường vi mô với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau:
Q s = −γ+ δP, với α, β, γ, δ >0.Trong đó: Q d là hàm cầu, Q s là hàm cung, P là giá cả.
Để xác định mức giá cân bằng P = α + γβ + δ, ta cần phân tích tình huống khi P(0) = P, tức là thị trường đang ở trạng thái cân bằng, không cần phân tích thêm Ngược lại, nếu P(0) ≠ P, chúng ta phải tiếp tục phân tích để xem liệu thị trường có điều chỉnh về trạng thái cân bằng sau một khoảng thời gian hay không Để nghiên cứu vấn đề này, cần thiết lập quỹ đạo thời gian của giá cả, hay còn gọi là đồ thị hàm giá cả P(t) Giá cả mặt hàng sẽ được điều chỉnh tỉ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung, từ đó hình thành mối quan hệ quan trọng trong phân tích thị trường.
Hình 2.2: Đường cung, đường cầu. dP dt = j(Q d −Q s ), trong đó j là hằng số dương Từ phương trình cuối ta có:
P ′ +j(β +δ)P = j(α+γ), đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng Giải phương trình cuối ta nhận được nghiệm tổng quát có dạng:
P(0)− α +γ β +δ e −j(β +δ)t) +C, ở đây mức giá cân bằng chính là P p = P = α+γ β +δ.
Khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng 25
P được gọi là mức cân bằng liên thời của giá cả Mức cân bằng này được gọi là ổn định động do P(t) hội tụ tới P khi t →+∞.
Mức cân bằng liên thời, được gọi là mức cân bằng dừng, xảy ra khi P p = P = const Sai số ban đầu được xác định là P(0)−P, trong khi sai số giữa P(t) và P tại thời điểm t được biểu diễn bằng P(t) −P.
Ví dụ 2.2.1 Xét mô hình thị trường với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mô hình giá cả với phương trình Q s = −γ + δP, trong đó α, β, γ, δ > 0 Đầu tiên, giả sử tốc độ biến thiên của giá cả tỉ lệ thuận với thặng dư cầu so với cung, chúng ta cần tìm quỹ đạo thời gian P(t) Khi thiết lập điều kiện cân bằng Q d = Q s, ta có phương trình dP/dt − β − γ/σ P = −α + γ/σ Giải phương trình này sẽ cho chúng ta thông tin về mức giá cân bằng theo thời gian và xác định giá trị của tham số σ để đảm bảo tính ổn định động của mức giá cân bằng.
Tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung, được biểu diễn bằng công thức dP/dt = j(Qd - Qs), với j là hằng số dương Từ đó, ta có thể viết lại thành dP/dt = j(α - βP + σdP/dt + γ - δP), hay dP/dt + jβ + δ.
1−σ. Giải phương trình cuối ta nhận được:
P(0)− α +γ β +δ e − β+δ σ t + α+γ β +δ. b) Để mức giá cân bằng liên thời:
P(0)− α +γ β +δ e − β+δ σ t + α+γ β +δ, có tính ổn định động, ta cần điều kiện 0< σ < 1.
Ví dụ 2.2.2 Sản phẩm A có hàm cung và hàm cầu được xác định như sau:
Q s = −6 + 4p (2.1) Giả định rằng sự điều chỉnh giá theo thời gian là: dp dt = 1
2(Q d −Q s ), (2.2) với hệ số điều chỉnh j = 1 2 Xác định hàm p(t) biết rằng p = 15, khi t= 0. Lời giải Từ (2.1) và (2.2) ta có: dp dt = 1
Từ đây ta có được phương trình: dp dt + 3p= 5, là một phương trình vi phân tuyến tính cấp một với P(t) = 3, Q(t) = 5.
Ta cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên, nghĩa là ta tìm p= uv, ta có: u = e − R 3dt = e −3t v = R e R 3dt 5dt+C = 5R e 3t dt+C = 5
Mô hình tăng trưởng Solow
Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow
Chúng ta xét hàm sản xuất phụ thuộc cả vào K và L như sau:
Q= f(K, L), vớiK, L > 0 Ở đây:K là vốn,L là lực lượng lao động, Qlà hàm sản xuất. Với giả thiết f(K, L) là hàm đẳng cấp bậc một nghĩa là: f(kK, kL) kf(K, L), với k > 0.
Từ giả thiết đã cho ta có:
L được gọi là tỉ số vốn – lao động.
Biến số k đại diện cho hàm lượng vốn bình quân trên mỗi đơn vị lao động trong mô hình tăng trưởng Solow Mô hình này giả định rằng một tỷ lệ cố định của sản lượng Q, được ký hiệu là s, sẽ được sử dụng cho tái đầu tư, với s là hằng số dương và s < 1 Đồng thời, tỷ lệ tăng trưởng lao động được biểu thị bằng λ, một hằng số dương, dẫn đến hàm lao động có dạng L = L(0)e λ t Từ các giả thiết này, ta có được phương trình vi phân k ′ = sΦ(k)−λk.
Mặt khác, K = kL nên khi lấy đạo hàm theo t cả hai vế sẽ được:
Chuyển biểu thức kλL từ vế phải sang vế trái, sau đó chia cả hai vế cho
Phân tích định lượng
Để phân tích định lượng mô hình Solow, chúng ta xét bài toán sau đây.
Ví dụ 2.3.1 Cho Xét hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas:
Tốc độ tăng trưởng của tỷ số vốn trên lao động K/L phụ thuộc vào xu hướng tiết kiệm biên (s) và tốc độ tăng trưởng của lực lượng lao động Sự gia tăng tỷ số này không chỉ phản ánh khả năng tích lũy vốn mà còn liên quan chặt chẽ đến sự phát triển của nguồn nhân lực Khi tiết kiệm biên cao, khả năng đầu tư vào vốn sẽ tăng, từ đó thúc đẩy năng suất lao động và tăng trưởng kinh tế Đồng thời, sự gia tăng số lượng lao động cũng ảnh hưởng đến khả năng sử dụng vốn hiệu quả, tạo ra sự cân bằng giữa vốn và lao động trong quá trình sản xuất.
Lời giải Theo giả thiết ta có:
L Trong trường hợp này cũng có Φ(K) =k α nên mô hình Solow được mô tả bởi phương trình vi phân: k ′ = sk α −λk, hay k ′ +λk = sk α , đây là phương trình vi phân Bernoulli Giải phương trình này ta nhận được nghiệm là: k 1−α h k(0) 1−α − s α i e −(1−α)λt + s λ → s λ khi t →+∞.
Khi t tiến tới vô cùng, tỷ lệ vốn trên lao động sẽ đạt đến mức cân bằng ổn định, với giá trị phụ thuộc vào hệ số tiết kiệm biên s và tốc độ tăng trưởng lao động λ, như đã phân tích trong mô hình Solow.
Ví dụ 2.3.2 Xét hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas
Tốc độ tăng trưởng của tỉ số vốn trên lao động (K/L) phụ thuộc vào hai yếu tố chính: khuynh hướng tiết kiệm biên (s) và tốc độ tăng trưởng của lượng lao động Khi khuynh hướng tiết kiệm biên tăng lên, khả năng tích lũy vốn cũng sẽ cao hơn, từ đó thúc đẩy tỉ số K/L tăng trưởng Đồng thời, nếu tốc độ tăng trưởng của lao động tăng, điều này cũng ảnh hưởng đến sự phân bổ vốn và có thể làm giảm tỉ số K/L nếu không có sự điều chỉnh tương ứng trong tiết kiệm.
Lời giải Theo giải thiết ta có:
Mô hình Solow được mô tả bởi phương trình vi phân k' = ask^α - λk, với k = KL và Φ(k) = ak^α Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng k' + λk = ask^α, thuộc loại phương trình Bernoulli Giải phương trình này, ta nhận được nghiệm k = k(0) e^(-λ(1-α)t) + (as/λ)(1-α).
Khi t tiến tới +∞, tỷ lệ vốn/lao động sẽ đạt đến một mức cân bằng ổn định Mức cân bằng này phụ thuộc vào hệ số tiết kiệm biên s và tốc độ tăng trưởng lao động A, như đã được phân tích trong mô hình Solow.
2.4 Mô hình thị trường với kỳ vọng giá được dự báo trước 2.4.1 Phát biểu mô hình
Trong mô hình này, lượng cầu và cung Qd và Qs không chỉ phụ thuộc vào giá cả P mà còn vào xu hướng biến động giá cả, cụ thể là P' và P'' Nếu P'(t) > 0, giá cả P có xu hướng tăng, trong khi P''(t) < 0 cho thấy tốc độ tăng giá sẽ chậm lại Mô hình này giúp phân tích mối quan hệ giữa giá cả và xu hướng biến động của chúng.
Q d = Q s , trong đó: Qd là hàm cầu, Qs là hàm cung, D là đường cầu, S là đường cung, P là giá cả.
Trong trường hợp riêng khi các hàm Q d và Q s là các hàm phụ thuộc tuyến tính vào P, P ′ , P ′′ ta có:
Các hệ số m, n, u, w đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích hành vi của người mua và người bán Cụ thể, khi m > 0, điều này cho thấy sự gia tăng giá P sẽ dẫn đến việc tăng lượng cầu Q, nghĩa là người mua có xu hướng mua nhiều hơn khi giá vẫn còn hợp lý Hệ số m phản ánh cách thức mà hành vi của người mua bị ảnh hưởng bởi tốc độ thay đổi của giá cả Tương tự, các hệ số u và w giúp phân tích hành vi của người bán trong thị trường.
2.4.2 Xác định đường biến động giá
Từ hệ phương trình (2.3) chúng ta dễ dàng nhận được phương trình vi phân cấp hai:
Giả sử w = u = 0 và n ̸= 0, khi đó ta có:
Chúng ta cần xác định quỹ đạo thời gian của giá cả theo công thức P(t) = P c + P p và nghiên cứu tính ổn định động của mức giá cân bằng liên thời, với giới hạn khi t tiến tới vô cùng là lim P(t) = P p Trong phương trình (2.4), ta đặt a 1 = m n, a 2 = −β + δ n và b = −α + γ n, từ đó nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) sẽ có cấu trúc nhất định.
P = P c + P p , trong đó P c là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, còn P p là một nghiệm riêng Ta có:
= α+γ β +δ. Chúng ta đi tìm P c là nghiệm tổng quát của phương trình:
Xét phương trình đặc trưng: λ 2 + m nλ− β +δ n = 0, (2.5) và biệt thức ∆ của nó:
> −4 β−δ n Khi đó (2.5) có hai nghiệm thực phân biệt là λ 1 , λ 2 Do đó:
P = Pc + Pp = α+γ β +δ +A1e λ 1 t +A2e λ 2 t Để phân tích tính ổn định động theo thời gian của giá cả P, chúng ta xét: t→∞lim P(t).
Dễ thấy, nếu λ 1 < 0, λ 2 < 0 thì: t→∞lim P(t) = α +γ β +δ = P , nên P là ổn định động (hình 2.4).
Khi đó (2.5) có nghiệm kép λ nên:
P ổn định khi và chỉ khi λ 0 Lúc này lim t→∞P(t) không tồn tại, nên giá cân bằng P không ổn định theo thời gian (Hình 2.).
Ví dụ 2.4.1 Xét mô hình thị trường sau đây:
Cho biết P(0) = 6 và P ′ (0) = 4, ta cần tìm đường biến động giá và xác định mức giá cân bằng P Theo giả thiết, ta có Q d = Q s, từ đó có thể phân tích sự ổn định động của mức giá này.
P ′′ −4P ′ −12P = −48. đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai nên ta dễ dàng tìm được nghiệm riêng:
−12 = 4. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, ta xét phương trình đặc trưng: λ 2 −4λ−12 = 0.
Phương trình này có hai nghiệm là: λ 1 = 6, λ 2 = 2, ta được:
Do đó P = P c + P p Từ điều kiện đầu bài đã cho ta có:
Do lim t→+∞P(t) = lim t→+∞(4 +e 6t +e −2t ) không tồn tại.
Vậy giá cân bằng P không ổn định động theo thời gian.
Ví dụ 2.4.2 Xét mô hình thị trường:
Cho biết P0) = 12 và P ′ (0) = 1 Để tìm đường biến động giá, ta sử dụng điều kiện Qd = Qs Tiếp theo, xác định mức giá cân bằng P và đánh giá tính ổn định động của nó.
P ′′ + P ′ + 5P = 45, đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai nên ta dễ dàng tìm được nghiệm riêng:
5 = 9. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, ta xét phương trình đặc trưng: λ 2 + 2λ + 5 = 0.
Phương trình này có hai nghiệm: λ 1 = −1 + 2i, λ 2 = −1−2i, nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
Từ điều kiện đầu bài đã cho ta có:
Vậy P(t) = 9 +e −t (3cos2t+ 2sin2t). b) Ta có: P = P p = 9.
= 9, nên P(t) là dao động giảm dần.
Vậy giá cân bằng P ổn định động theo thời gian.
Ví dụ 2.4.3 Xét mô hình thị trường:
Cho biết P0) = 4 và P ′′ (0) = 4 Để tìm đường biến động giá, ta áp dụng điều kiện Q d = Q s Tiếp theo, xác định mức giá cân bằng P và đánh giá tính ổn định động của nó.
2P ′′ −2P ′ + 5P = −10, đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai nên ta dễ dàng tìm được nghiệm riêng:
5 = −2. Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng ta xét phương trình đặc trưng:
Phương trình này có hai nghiệm: λ 1 = 1 + 3i
2 , nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
Từ điều kiện đầu bài đã cho ta có:
2t không tồn tại.Vậy giá cân bằng P không ổn định động theo thời gian.
Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:
1 Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về phương trình và hệ phương trình vi phân cấp một và cấp hai với hệ số hằng.
2 Phát biểu một số mô hình cân bằng động và ứng dụng phương trình vi phân để phân tích các mô hình cân bằng động đó.
Với thời gian hạn chế và kiến thức chưa sâu rộng, nội dung thực hiện vẫn còn nhiều thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý và hỗ trợ từ quý thầy cô để hoàn thiện luận văn tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn!