Một số mô hình phương trình vi phân trong vật ly

Phương trình vi phân có ứng dụng rộng rãi trong các ngành như kinh tế, trong điều tra tội phạm, trong mô hình tốc độ tăng dân số, trong vật lí,… Đặc biệt là trong lĩnh vực Vật lý–

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ MÔ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TRONG VẬT LÝ

Giảng viên hướng dẫn:

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

LỜI CẢM ƠN 6

CHƯƠNG I 7

KIẾN THỨC CƠ SỞ 7

1.1 Một số khái niệm 7

1.1.1 Cấp của phương trình vi phân 7

1.1.2 Phương trình vi phân thường 7

1.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân 7

1.2 Phương trình vi phân cấp một 7

1.2.2.Phương trình thuần nhất và phương trình đưa về dạng thuần nhất 9

1.2.3 Phương trình vi phân toàn phần 10

1.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 12

1.3 Phương trình Bernoulli 13

1.5 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng 15

1.6 Một số khái niệm về giải tích phức 17

1.7 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất 19

CHƯƠNG II 22

MỘT SỐ MÔ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ 22

2.1 Định luật Newton về nhiệt độ môi trường 22

2.2 Một số bài toán về cơ học 23

2.2.1 Bài toán vận tốc của hạt xuyên tâm v=v r( ) 23

2.2.2 Bài toán vật thể rơi 24

2.3 Một số bài toán chuyển động 25

2.4 Dao động của con lắc lò xo 26

2.4.1 Dao động tự do không cản 26

2.4.2 Dao động tự do có lực cản 27

2.5 Dao động cưỡng bức của hệ kích động điều hòa 28

2.5.1 Các dạng kích động và phương trình vi phân dao động 28

2.5.2 Tính dao động cưỡng bức không lực cản 30

2.5.3 Tính toán dao động cưỡng bức có ma sát nhớt 33

2.6 Một số mô hình mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân 34

2.6.1 Đặc tính động học tốc độ xe ô tô 34

2.6.2 Đặc tính động học hệ thống giảm chấn của xe 35

2.6.3 Đặc tính động học thang máy 35

2.7 Mô hình dao động cưỡng bức của hệ chịu kích động không tuần hoàn 365

KẾT LUẬN 387

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… …38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân được áp dụng trên nhiều cơ sở, lĩnh vực giúp cho sự phát triển của khoa học, kĩ thuật, nó vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Phương trình vi phân có ứng dụng rộng rãi trong các ngành như kinh tế, trong điều tra tội phạm, trong mô hình tốc độ tăng dân số, trong vật lí,… Đặc biệt là trong lĩnh vực Vật lý– một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý

Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lý, các nhà khoa học vật lý xây dựng các thuyết vật lý, từ đó tìm ra tính đúng đắn của các giả thuyết ấy Và phương trình vi phân

là một trong những công cụ, một giải pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán trong quá trình chứng minh các giả thuyết ấy Phương trình vi phân thường được sử dụng để

mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên trong vật lý vì chúng có khả năng phản ánh chính xác những biến đổi thời gian và không gian của các đại lượng vật lý Xuất phát từ những nhận thức trên cùng với sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của TS LÊ HẢI TRUNG, em

đã quyết định chọn nghiên cứu đề tàu “ MỘT SỐ MÔ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG VẬT LÝ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, hệ thống hóa lại các khái niệm và các kết quả cơ bản về phương trình vi phân và ứng dụng của phương trình vi phân vào trong các bài toán vật lý

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các nội dung kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về ứng

dụng của phương trình vi phân vào giải bài toán vật lý

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải các bài toán vật lý

4 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập các tài liệu về phương trình vi phân và các ứng dụng

• Phân tích tổng hợp kiến thức

• Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài hệ thống thống hóa lại một số kiến thức về phương trình vi phân (chương 1) và đưa ra một số mô hình ứng dụng của phương trình vi phân trong vật lý (chuơng 2) Những kết quả này là tài liệu tham khảo tốt cho các sinh viên, học viên ngành toán và vật lý

6 Cấu trúc luận văn

Cấu trúc luận văn có các phần:

• Mở đầu: giới thiệu về lý do chọn đề tài, mục tiêu, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu,

• Phần nội dung chính có hai chương: Chương 1 hệ thống lại lý thuyết về phương trình

vi phân cần dùng cho các mô hình ở chương sau Chương 2 trình bày một số mô hình phương trình vi phân trong vật lý Trong các chương ngoài phần lý thuyết, còn bao gồm các ví dụ cụ thể, hình ảnh minh họa

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Hải Trung đã giúp đỡ, hướng dẫn, truyền đạt tận tình, chi tiết những kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận Em xin cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, rèn luyện

Do thời gian khóa luận hạn chế và đây là lần đầu đi sâu nghiên cứu một đề tài khoa học, vốn kiến thức, kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi việc sẽ có những thiếu sót Rất mong nhận được sự nhận xét, ý kiến đóng góp từ phía quý thầy, cô để đề tài khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức và phân loại các phương trình vi phân Nội dung chương này được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [1] và [4]

1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Cấp của phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1.1 Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình vi phân được gọi là

cấp hay bậc của phương trình vi phân đó

1.1.2 Phương trình vi phân thường

Định nghĩa 1.1.2 Phương trình vi phân có dạng:

( )

( , , ', n ) 0

được gọi là phương trình vi phân cấp n

Trong phương trình (1.1) thì x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm, 'y là đạo hàm

cấp một của y,… ( )n

y là đạo hàm cấp n của y Phương trình vi phân thường là phương trình chứa đạo hàm các cấp và có thể chứa các hàm số phụ thuộc vào x, chẳng hạn như phương trình y''+ + =y' y x

1.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm hay tích phân của phương trình vi phân là mọi hàm số y= f x( )

mà khi thay vào phương trình sẽ biến phương trình thành đồng nhất thức

Ví dụ 1.1.2 Phương trình y''+ =y 0, nhận được các hàm số y=2 cosx−sinx,y=sin ,x

cos ,

y= x và tổng quát là hàm số có dạng y=C1sinx C+ 2cosxlà nghiệm của phương trình, với mọi hằng số C1và C2

1.2 Phương trình vi phân cấp một

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

( , , ') 0

Nếu từ (1.1) có thể chuyển về dạng y'= f x y( ), hay dy f x y( ),

dx = thì phương trình nhận được gọi là phương trình vi phân cấp một giải được đối với đạo hàm

Ví dụ 1.2.1 Xét các phương trình sau: 2 2

3yy' 3x 0;y dx xdy 0; 'y y

x

Trong các phương trình trên ta có thể dồn 'y về một bên, vế còn lại là hàm phụ thuộc

vào ( )x y nên các phương trình đã cho là giải được đối với đạo hàm ,

Sau đây, chúng tôi sẽ giới thiệu và phân loại một số phương trình vi phân cấp một để tạo cơ sở cần thiết cho chương sau

1.2.1 Phương trình với biến số phân ly và phân ly được

Định nghĩa 1.2.2 Phương trình vi phân cấp một dạng:

được gọi là phương trình với biến số phân ly ( hay còn gọi là phương trình tách biến)

Trong phương trình (1.3) các hàm số M x N x được giả thiết là liên tục trên các ( ) ( ),khoảng nào đó Khi đó chỉ cần tích phân hai vế của phương trình trên ta thu được:

M x dx+ N y dy =C

Biểu thức cuối cùng chính là nghiệm cần tìm của phương trình đã cho

Ví dụ 1.2.2 Giải phương trình:

2

2xdx+y dy =0 Tích phân hai vế của phương trình ta thu được :

Chia cả hai vế của phương trình cho ( 2)( 2)

1

2+x 2+ y = C

1.2.2.Phương trình thuần nhất và phương trình đưa về dạng thuần nhất

Định nghĩa 1.2.3 Hàm f x y được gọi là thuần nhất bậc n, nếu với mọi ( ), t 0, ta có:

  (x đóng vai trò

là t) Đến đây ta nhận được phương trình:

Ví dụ 1.2.4 Giải phương trình vi phân 'y x y

Đặt y=xu Ta có: y'=u x' +uvà thay vào phương trình ta có:

1'

2

11

( ) 2

arctg u = C x +u Vậy nghiệm của phương trình có dạng: ( 2 2)

y arctg x

 

 

1.2.3 Phương trình vi phân toàn phần

Định nghĩa 1.2.5 Phương trình vi phân dạng:

được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu như tồn tại hàm U x y( ), thỏa mãn:

dU x y( ), =P x y dx Q x y dy( ), + ( ), ,khi đó tích phân tổng quát của (1.5) cho bởi:

U x y = C

Định lý 1.2.1 (Dấu hiệu nhận biết phương trình vi phân toàn phần) Để cho phương trình

(1.4) là toàn phần thì điều kiện cần và đủ là:

hình chữ nhật J1J2, ở đây J J1, 2là các đoạn trong và liên tục cùng với các đạo hàm

U x y = P  y d+Q x d

ở đây x y0, 0là các điểm ốc định tương ứng trong J1và J2

Ví dụ 1.2.5 Giải phương trình vi phân:

1.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Định nghĩa 1.2.6 Phương trình dạng:

dy

được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Trong phương trình (1.6) ta luôn mặc định P x và ( ) Q x là xác định trên khoảng ( ) ( )a b,nào đó Ta tiến hành tìm nghiệm của (1.6) dưới dạng:

( ) ( ),

y=u x v x

và đặt biểu thức vừa nhận được vào (1.5) ta nhận được:

uv'+(u'+P x u v( ) ) =Q x( ) (1.7) Trong (1.6) ta chọn usao cho u'+P x u( ) = , từ đây ta nhận được: 0

( )

P x dx

u =e− Giải phương trình cuối ta nhận được:

ở đây n là một số thực khác 0 và 1, được gọi là phương trình Bernoulli

Để tìm nghiệm của (1.8) ta sẽ đưa nó về dạng (1.6) Hiển nhiên khi n =0 hoặc n =1

thì (1.8) có dạng phương trình tuyến tính Ta đi xét các trường hợp còn lại Đặt y=uv, khi đó y'=u v' +uv'và đặt biểu thức nhận được vào (1.6):

Hệ thức cuối cùng cho phép ta xác định được v x( )và ta kí hiệu bằng (x C, )

Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình Bernoulli xác định bởi công thức:

Ta viết lại phương trình:

2 1

1'

1

v = dx C+ = +C,

3 2

2

x

y = +Cx

1.4 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

Định nghĩa 1.4.1 Phương trình dạng:

,,

cho ta nghiệm tổng quát của phương trình Lagrange dưới dạng tham số Sau khi khử p trong

hệ trên ta nhận được nghiệm tổng quát của (1.10) dưới dạng (x y C, , )= 0

Ví dụ 1.4.1 Giải phương trình:

21

2 2 2

2121

1.5 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng

Định nghĩa 1.5.1 Phương trình dạng:

Nếu như trong (1.13), có f x  thì phương trình đã cho được gọi là phương trình ( ) 0không thuần nhất, trong trường hợp ngược lại ta nói phương trình là thuần nhất Trước tiên ta

đi xem xét phương trình vi phân bậc hai thuần nhất với hệ số hằng:

Định nghĩa 1.5.2 Phương trình bậc hai (1.15) tương ứng với biến r được gọi là phương trình

đặc trưng của phương trình (1.14) Đa thức bậc hai ( ) 2

F r =r + pr + được gọi là đa thức q đặc trưng của phương trình (1.14)

Giải phương trình (1.15) ta nhận được các nghiệm r r1, 2 Có thể xuất hiện ba trường hợp sau đây:

Ví dụ 1.5.1 Tìm nghiệm của phương trình:

'' 7 ' 6 0

y − y + y= Phương trình đặc trưng 2

rx

e sẽ là một nghiệm riêng của (1.14) Ta đi tìm nghiệm riêng thứ hai đọc lập tuyến tính với

nghiệm thứ nhất của (1.14) dưới dạng 2 ( )

rx

y =u x e , trong đó u x là một hàm chưa biết phụ ( )

thuộc vào x Ta có:

Do e  rx 0 còn r là nghiệm kép của phuơng trình đặc trưng (1.15) nên phương trình

cuối còn lại u''( )x = Hiển nhiên 0 u =x là nghiệm của phương trình này, do đó hàm 2 rx

y =xe

sẽ là nghiệm riêng thứ hai của phương trình (1.14) Nó độc lập tuyến tính với y1bởi:

2 1

rx rx

1.6 Một số khái niệm về giải tích phức

Định nghĩa 1.6.1 Kí hiệu dạng a ib + , ở đây , a b  , i – đơn vị ảo, được gọi là số phức

Số phức được kí hiệu một cách ngắn gọn là :c c= + , trong đó a ib ađược gọi là phần

thực, và kí hiệu là Rec (Real), b được gọi là phần ảo và kí hiệu là Imc (Imaginary) Tập hợp

số phức được kí hiệu là

Định nghĩa 1.6.2 Hai số phức c1 = +a1 ib c, 2 = +a2 ib2 được gọi là bằng nhau nếu

a =a b =b

Định nghĩa 1.6.3 Số phức c= −a ib được gọi là liên hợp với c a ib = +

Ta có một vài tính chất sau đây:

Nếu r a ib= + là nghiệm của phương trình 2

0

r +pr+ =q thì số phức liên hợp của nó

r = −a ib cũng là nghiệm của phương trình trên Thật vậy:

0= =0 r + pr+ =q r + pr+ q

Định nghĩa 1.6.4 Giả sử X  Một luật xác định một số thực x  tương ứng với số phức

w= + u iv , được gọi là hàm phức biến thực được cho trên tập X Nó được kí hiệu

f X → f x =u x +iv x , ở đây u x v x là các hàm thực, được cho trên tập X ( ) ( ),

( )

u x được gọi là phần thực của f x , còn ( ) v x được gọi là phần ảo của ( ) f x Đạo hàm ( )

của f x được xác định bởi biểu thức: ( )

Các công thức trên có tên gọi là công thức Euler

Ta phát biểu mệnh đề sau đây: nếu là nghiệm của phương trình (1.14) hay L y = thì   0phần thực u x( ) và phần ảo v x( )cũng là nghiệm của (1.142)

Chứng minh 0=L y = L u x ( )+iv x( ) =  L u x ( ) +  iL v x ( )

Dẫn đến: L u x ( ) =  L v x ( ) = 0

Điều này chứng tỏ u x v x( ) ( ), là nghiệm của phương trình L y =  0

Bây giờ ta nghiên cứu trường hợp thứ ba, khi mà các nghiệm r1= +a ib r, 2 = −a ib,0

b  của phương trình (1.15) có dạng số phức Không khó để chứng minh hàm:

( 1cos 2sin )

ax

là nghiệm tổng quát của phương trình (1.14)

Ví dụ 1.6.1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

'' 4 ' 16 0

y + y+ y= Phương trình đặc trưng 2

1.7 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Ta sẽ tiến hành xem xét khi vế phải của phương trình:

f x =e P x , ở đây P m( )x là đa thức bậc m

a Nếu như không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có thể tìm được dưới dạng:

ở đây Q m( )x là đa thức bậc m mà hệ số của nó ta cần phải đi xác định

Ví dụ 1.7.1 Tìm nghiệm riêng của phương trình:

'' ' 6 2 3 x

y + −y y= − x e (1.16) Phương trình đặc trưng 2

 + − =  =  = −  = = = Do đó nghiệm riêng của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng:

''R 5 R 2 3

thay y R =ax b+ vào (1.17) ta được 3 ; 13

 

Trường hợp 2 f x( )=exP x( )cosx+Q x( )sinx

a Nếu  +ikhông phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có thể tìm được dưới dạng:

x r

 + = có nghiệm phức = i Như vậy phương trình đã cho rơi vào trường

hợp 2b với k = Do đó nghiệm riêng của phương trình đã cho tìm được dưới dạng: 1

dưới dạng:

1 2

y = + + +y y y , trong đó y ilà nghiệm riêng tương ứng với f i

Ví dụ 1.7.3 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình '' siny = x Tìm một nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu