Một số mô hình Đại số và tuyến tính trong phân tích kinh tế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐẠI SỐ VÀ TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ NGƯỜI THỰC HIỆN: Nguyễn Thị Thu Trang CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: Phan Quang

Ma trận

Các khái niệm cơ bản về ma trận

Ma trận là một bảng gồm các số thực được sắp xếp theo hàng và cột Một ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấpm × n.

Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc dấu ngoặc vuông Ma trận cấp m × n có dạng tổng quát như sau:

1 Kí hiệu A = [a ij ] m×n hoặc A = (a ij ) m×n hoặc A ∈ M m×n

2 a ij : phần tử hàng i, cột j. trên đường chéo chính.

4 Tập các ma trận thực cấp m × n được kí hiệu là M m×n ; tập các ma trận vuông cấpn được kí hiệu là M n b Các dạng đặc biệt:

6 Ma trận tam giác dưới:

7 Ma trận tam giác trên:

8 Ma trận đối xứng: a ij = a ji , ∀i ̸= j.

Các phép toán trên ma trận

Cho A, B ∈ M m×n Khi đó A = B ⇔ a ij = b ij , ∀i = 1, m, j = 1, n b Cộng ma trận:

Cho A, B ∈ M m×n Khi đó A + B = (a ij + b ij ) m×n

Cho A, B ∈ M m×n và K ∈R Khi đó kA = (ka ij ) m×n

Tính chất: Cho α, β ∈R và A, B ∈ M m×n Khi đó:

Chú ý: −A = (−1).A. d Ma trận chuyển vị:

ChoA ∈ M m×n Khi đó ma trận chuyển vị của A , kí hiệu là A T = (a ji ) n×m Với A T thu được từ A bằng cách đổi hàng thành cột và cột thành hàng.

Tính chất: Cho A, B ∈ M m×n Khi đó:

4 (AB) T = B T A T e Phép nhân ma trận:

Trong đó: c ij = a i1 a 1j + a i2 a 2j + + a in a nj

Tính chất: Cho A, B, C là các ma trận với kích cỡ sao cho phép toán có nghĩa và α ∈R ta có:

Định thức

Định nghĩa định thức

Xét ma trận vuông cấp n: A =

Ma trận vuông cấpn−1có được từAbằng cách bỏ đi hàngi(i = 1, n), cộtj(j = 1, n) được gọi là ma trận con ứng với phần tử a ij Kí hiệu: M ij

Gọi A ij = (−1) i+j det(M ij ), A ij được gọi là phần bù đại số của a ij

 có 4 ma trận con ứng với 4 phần tử a ij là:

 có 9 ma trận con ứng với 9 phần tử là:

. b Định nghĩa: Định thức của ma trận vuông A là một số, kí hiệu det (A), được định nghĩa quy nạp như sau:

A là ma trận vuông cấp 1: A = [a 11 ] thì det (A) = a 11

A là ma trận vuông cấp 2: A =

A là ma trận vuông cấp 3: A =

A là ma trận vuông cấp n: A =

1) Định thức của ma trận vuông cấp n được gọi là định thức cấp n

2) Thường dùng dấu| | để kí hiệu cho định thức, chẳng hạn định thức của ma trận

3) Quy tắc Sarrut (chỉ áp dụng vào tính định thức cấp 3).

Các tính chất của định thức

Tính chất 1:Định thức của ma trận A đúng bằng định thức của ma trận chuyển vị của A: det A t

Trong một định thức, hàng và cột có vai trò tương đương; mọi tính chất áp dụng cho hàng cũng đều đúng với cột và ngược lại.

Tính chất 2: Nếu đổi chỗ 2 hàng (hoặc 2 cột) trong một định thức thì định thức sẽ đổi dấu.

Tính chất 3: Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) như nhau thì bằng 0.

Công thức khai triển định thức theo hàng i det (A) = a i1 A i1 + a i2 A i2 + ã ã ã + a in A in = n

Công thức khai triển định thức theo hàng cột j det (A) = a 1j A 1j + a 2j A 2j + ã ã ã + a nj A nj = n

Tính chất 5: Một định thức có 1 hàng (hoặc 1 cột) toàn số 0 thì bằng 0.

Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của 1 hàng (hoặc 1cột) với cùng 1 số k ta được định thức mới bằng định thức cũ nhân với k.

Trong một định thức, nếu các phần tử trong cùng một hàng hoặc cột có thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức Ngoài ra, khi nhân một số với một định thức, số đó chỉ được nhân với các phần tử của một hàng hoặc cột cụ thể, điều này khác với quy tắc nhân trong ma trận.

Khi nhân một số với một ma trận, số đó sẽ được nhân với tất cả các phần tử trong ma trận Đặc biệt, nếu một định thức có hai hàng hoặc hai cột tỉ lệ, giá trị của nó sẽ bằng 0.

Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của 1 hàng (hoặc 1 cột) có dạng tổng của 2 số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng 2 định thức.

 có det(A) = 0 Ta thấy h 1 = 2h 2 + h 3 ( ta nói h 1 là tổ hợp tuyến tính của h 2 và h 3).

 có det(B) = 0 Ta thấy c 2 = c 1 − 2c 3 ( ta nói c 1 là tổ hợp tuyến tính của c 2 và c 3).

Nếu một định thức có một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác, hoặc một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác, thì giá trị của định thức đó sẽ bằng 0.

Tính chất 10: Khi cộng bội k của 1 hàng vào 1 hàng khác (hoặc cộng bội k của

1 cột vào 1 cột khác) thì định thức mới vẫn bằng định thức cũ.

Tính chất 11: Các định thức có dạng tam giác bằng tích các phần tử chéo.Suy ra, det(I) = 1.

Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp

a Các phép biến đổi sơ cấp:

Nhân tất cả các phần tử của 1 hàng (hoặc 1 cột) với cùng 1 số k ̸= 0, kí hiệu: k.h r → h r (k.c r → c r ). Đổi vị trí 2 hàng cho nhau, kí hiệu: h r ↔ h s (c r ↔ c s ).

Cộng k lần 1 hàng vào 1 hàng khác, kí hiệu: h s + k.h r → h s (c s + k.c r → c s ). b Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp:

Bước 1 Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp, đưa dần định thức đã cho về dạng tam giác.

Bước 2 Tính giá trị định thức dạng tam giác thu được (dựa vào tính chất 11 của định thức).

Ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông cấp n A được coi là khả đảo nếu tồn tại ma trận vuông cấp n B sao cho A.B = B.A = I, trong đó B là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là A −1 Ma trận phụ hợp của ma trận A vuông cấp n được ký hiệu là P A và được xác định theo các quy tắc nhất định.

 trong đó A ij là phần phụ đại số của phần tử a ij của ma trận A.

Trật tự sắp xếp các phần tử của ma trận A ngược với trật tự thông thường Định lý về sự tồn tại của ma trận nghịch đảo chỉ ra rằng ma trận vuông A có khả năng nghịch khi và chỉ khi định thức det(A) khác 0, tức là A phải là ma trận không suy biến.

A −1 = 1 det(A) P A Cách tìm ma trận nghịch đảo:

Cách 1: Phương pháp dùng định thức:

- Nếu det (A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo của A.

- Nếu det (A) ̸= 0 thì chuyển sang bước 2.

Bước 2: Tìm P A - ma trận phụ hợp của A.

Bước 3: Tìm ma trận nghịch đảo của A theo công thức:

Cách 2 Áp dụng phương pháp Gauss-Jordan (biến đổi sơ cấp):

Bước 1: Lập ma trận [A|I] bằng cách thêm vào bên phải A ma trận đơn vị cùng cấp.

Bước 2: BĐSC trên các dòng của[A|I] để đưa nó về dạng [I|B](B là ma trận nào đó).

Nếu trong quá trình biến đổi ma trận BĐSC mà bên trái xuất hiện một dòng không, điều này cho thấy ma trận A không khả nghịch Ngược lại, nếu có thể thực hiện biến đổi thành công, thì ma trận A sẽ khả nghịch với A ˘1 = B.

Hạng của ma trận

Định nghĩa định thức con cấp k

ChoAlà ma trận vuông cấpn, định thức con cấpk, ký hiệu bởia i j 1 , ,i k

Hạng của ma trận

Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A , kí hiệu r (A).

Nhận xét, 0 ≤ r (A) ≤ min {m, n}(r (A) = 0 khi A là ma trận O).

Cách tìm hạng của ma trận

Cách 1 Áp dụng định nghĩa:

Bước 1: Tính các định thức con từ cấp 2 trở lên.

Để xác định hạng của ma trận A, đầu tiên, tìm định thức con cấp r Tiếp theo, tính định thức con cấp r + 1; nếu giá trị của nó bằng 0, tiếp tục với định thức con cấp r + 2 và các cấp cao hơn cho đến khi không còn định thức nào có thể tính được Định thức cấp r + k, với k = 1, 2, , lớn nhất có giá trị khác 0 sẽ xác định hạng của ma trận A Nếu tất cả các định thức con cấp r + k đều bằng 0, thì hạng của A sẽ là r.

Cách 2 Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp (về hàng):

Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận, tức là r(A) = r(B) Hạng của ma trận ở dạng bậc thang được xác định bằng số hàng khác 0 của ma trận đó.

Các bước tìm hạng của ma trận khi áp dụng các phép BĐSC

Bước 1: Áp dụng các phép BĐSC đưa dần A về dạng ma trận bậc thang B.

Hệ phương trình tuyến tính

Dạng tổng quát của Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 15

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng:

Trong đó: x j , j = 1, n là các ẩn, a ij , i = 1, m, j = 1, n là hệ số của ẩn x j ở phương trình thứ i, b i là hệ số vế phải của phương trình thứ i.

Một số trường hợp đặc biệt a Trường hợp số phương trình bằng số ẩn (hệ vuông):

(2) b Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là 1 bộ gồmn số (c 1 , c 2 , , c n ) mà khi thế vào (x 1 , x 2 , , x n ) thì (1) trở thành các đồng nhất thức.

Giải hệ (1) nghĩa là tìm tất cả nghiệm (tập nghiệm) của nó.

Chú ý: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau.

Ma trận liên kết, ma trận đầy đủ

Ma trận liên kết với hệ phương trình tuyến tính (1) là ma trận các hệ số của các ẩn trong hệ (1) , kí hiệu A.

Ma trận bổ sung của hệ (1) (ma trận đầy đủ của hệ (1)) là ma trận các hệ số trong hệ (1), kí hiệu A ¯

Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

Ta có ma trận liên kết với hệ (1): A =

 là ma trận các ẩn của hệ (1) và ma trận b =

 được gọi là ma trận hệ số tự do của hệ (1).

⇒ Ax = b là dạng ma trận của hệ (1)

- Ta có dạng ma trận của hệ vuông (2) là Ax = b, trong đó A là ma trận vuông cấpn còn x và b là 2 ma trận cùng cỡ n × 1.

- Dạng ma trận của hệ thuần nhất (3) làAx = O , trong đó O là ma trận không cỡ m × 1

Hệ Cramer

Ta có, ma trận liên kết, ma trận các ẩn và ma trận vế phải của hệ (2) là:

Ta vẫn có, Ax = b (A là ma trận vuông cấp n).

Hệ vuông (2) được gọi là hệ Cramer nếu det (A) ̸= 0. Định lí Cramer:

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất, được tính bởi công thức x = A −1 b.

Hay x j = det(A j ) det(A) (A j được suy từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột vế phải).

Có thể chuyển đổi hệ phương trình không vuông (số phương trình ít hơn số ẩn) thành hệ Cramer bằng cách đưa một số ẩn sang vế phải, coi chúng là ẩn phụ Tuy nhiên, cần chú ý lựa chọn ẩn phụ sao cho hệ mới tạo thành vẫn là hệ Cramer, tức là định thức của ma trận liên kết phải khác không.

Giải hệ PTTT bằng phương pháp Gauss

Hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khir (A) = r( ¯ A).

Nếu r (A) ̸= r( ¯ A) thì hệ (1) vô nghiệm,

Nếu r (A) = r( ¯ A) = n thì hệ (1) có nghiệm duy nhất,

Nếu r (A) = r( ¯ A) < n thì (1)có vô số nghiệm.

Hệ PTTT thuần nhất

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Ta có, dạng ma trận của hệ (3) là A.x = 0.

1) Dễ thấy r(A) = r( ¯ A) nên hệ (3) luôn có nghiệm.

2) Nếu (3) có nghiệm (x 1 , x 2 , , x n ) thì (λx 1 , λx 2 , , λx n ), λ ∈R cũng là nghiệm của (3).

3) Dễ thấy (3) luôn có nghiệm(0, 0, , 0)gọi là nghiệm không (hay nghiệm tầm thường) Nghiệm khác nghiệm không được gọi là nghiệm không tầm thường.

4) Nếu (3) có số phương trình bằng số ẩn và det (A) = 0 thì (3) có nghiệm không tầm thường (tồn tại nghiệm khác không).

Nếu (3) có số phương trình bằng số ẩn và det (A) ̸= 0 thì (3) chỉ có duy nhất nghiệm không.

5) Nếu (3) có số phương trình ít hơn số ẩn thì (3) luôn có nghiệm không tầm thường (có vô số nghiệm).

Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng trong phân tích kinh tế

Chương này trình bày nội dung chính của luận văn với hai vấn đề trọng tâm: mô hình cân đối liên ngành (mô hình Input – Output của Leontief) và một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế, bao gồm mô hình cân bằng thị trường hàng hóa, mô hình cân bằng thu nhập quốc dân, và mô hình IS – LM Mỗi mô hình sẽ được giới thiệu, phương pháp giải thích rõ ràng và kèm theo ví dụ minh họa Đặc biệt, phần 2.1.4 và 2.2.4 sẽ có các bài tập mà tác giả tự giải về các mô hình đã nêu Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4].

Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Output của Leontief) 20

Giới thiệu mô hình

Trong nền kinh tế hiện đại, sản xuất một sản phẩm hàng hóa yêu cầu sử dụng nhiều loại nguyên liệu đầu vào khác nhau Việc xác định tổng cầu cho sản phẩm của từng ngành sản xuất trong toàn bộ nền kinh tế là rất quan trọng, bao gồm cả cầu trung gian từ các nhà sản xuất sử dụng sản phẩm đó trong quy trình sản xuất của họ.

Cầu cuối cùng từ người tiêu dùng, bao gồm hộ gia đình, nhà nước và các tổ chức xuất khẩu, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định nhu cầu sản phẩm cho tiêu dùng và xuất khẩu.

Trong một nền kinh tế với n ngành sản xuất, để tính toán chi phí cho các yếu tố sản xuất, cần biểu diễn lượng cầu của tất cả hàng hóa dưới dạng giá trị tiền tệ Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i được ký hiệu là x i và được xác định bởi công thức: x i = x i1 + x i2 + + x in + b i (với i = 1, 2, , n).

Trong đó, x ik đại diện cho giá trị sản phẩm của ngành k không cần thiết cho quá trình sản xuất của ngành i, được gọi là giá trị cầu trung gian Còn b i là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu, tức là giá trị cầu cuối cùng.

Trong thực tế, chúng ta thường thiếu thông tin về giá trị cầu trung gian x ik Tuy nhiên, người sản xuất lại có khả năng chủ động xác định tỷ lệ chi phí đầu vào trong quá trình sản xuất.

Gọi a ik : là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm của ngành i, nó được tính bởi công thức: a ik = x ik x k (i = 1, 2, ã ã ã, n).

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ số chi phí đầu vào a ik, với điều kiện 0 ≤ a ik ≥ 1, trong đó a ik được coi là cố định cho mỗi ngành sản xuất i (k = 1, 2, , n) Hệ số này cũng được gọi là ma trận đầu vào, phản ánh mối quan hệ giữa các yếu tố sản xuất và chi phí liên quan.

+) A = (a ik ) n được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào (ma trận hệ số kỹ thuật).

Giả sử a ik = 0,3, điều này có nghĩa là để sản xuất 1 đồng giá trị sản phẩm, ngành k đã chi 0,3 đồng để mua sản phẩm từ ngành i phục vụ cho quá trình sản xuất.

Ta gọiX là ma trận tổng cầu và B là ma trận cầu cuối cùng Khi đó, từ đẳng thức (2.1), thay x ik = a ik x k chúng ta có: x i = a i1 x 1 + a i2 x 2 + ã ã ã + a in x n + b i (i = 1, 2, ã ã ã, n).

Hay biểu diễn dưới dạng ma trận:

Phương pháp giải

Trong đó, I là ma trận đơn vị cấp n, nếu (I − A) không suy biến thì:

Công thức (2.3) được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu.

Ma trận (I − A), được gọi là ma trận Leontief, cho phép xác định giá trị tổng cầu của các ngành sản xuất khi biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối cùng.

+) Ma trận X = (I − A) −1 = (c ij ) n×m , và gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ.

Hệ số c ij thể hiện rằng để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j, ngành i cần sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị tương ứng là c ij.

Các ví dụ

Ví dụ 1 Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất: ngành 1 và ngành

2 có ma trận hệ số kỹ thuật là:

Giá trị cầu cuối cùng cho sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 lần lượt là 10 và 20 tỷ đồng Để xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành, cần cộng giá trị cầu của hai ngành lại với nhau Tổng cầu của ngành 1 là 10 tỷ đồng, trong khi tổng cầu của ngành 2 là 20 tỷ đồng.

 là ma trận tổng cầu Với x 1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x 2 là giá trị tổng cầu của ngành 2.

Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: B =

Ma trận phụ hợp tương ứng (I − A) ∗ =

Ma trận nghịch đảo của I − A:

. Áp dụng công thức (2.3) để tính ma trận tổng cầu:

X = (I − A) −1 B. Vậy ma trận tổng cầu là:

Giá trị tổng cầu của ngành 1 là x 1 = 25 tỉ đồng.

Giá trị tổng cầu của ngành 2 là x 2 = 100

Ví dụ 2.Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3 Biết ma trận hệ số kĩ thuật là:

Giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành được xác định lần lượt là 40, 40 và 110 nghìn tỉ đồng Để tính giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất, cần tổng hợp các giá trị này, từ đó đưa ra con số cụ thể cho từng ngành.

 là ma trận tổng cầu.

Với x 1 là giá trị tổng cầu của ngành 1,x 2 là giá trị tổng cầu của ngành 2, x 3 là giá trị tổng cầu của ngành 3.

 Định thức của ma trận I − A:

Ma trận phụ hợp tương ứng:

 Áp dụng công thức (2.3) để tính ma trận tổng cầu:

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x 1 = 200 (nghìn tỉ đồng), x 2 = 200 (nghìn tỉ đồng) và x 3 = 300 (nghìn tỉ đồng).

Ví dụ 3 Trong mô hình input – output mở biết ma trận kỹ thuật số như sau

Phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định mối quan hệ giữa các ngành trong nền kinh tế Khi m = 0,2, yêu cầu của ngành kinh tế mở với sản lượng của 3 ngành lần lượt là 300, 250, 220 cần được phân tích để hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa các ngành Để tìm giá trị m, ta cần biết rằng khi sản lượng của 3 ngành đạt 400, 400, 300, ngành kinh tế thứ nhất cung cấp cho ngành kinh tế mở là 130 Cuối cùng, với giá trị m đã tìm được, ta sẽ xác định ma trận hệ số chi phí toàn bộ và phần tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận này sẽ giúp làm rõ hơn về chi phí giữa các ngành trong nền kinh tế.

Giải: a) Ý nghĩaa 21 = 0, 3: Hệ số này cho biết để sản xuất ra một đơn vị giá trị ngành

1 thì ngành 2 phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm có giá trị là 0,3. b) Gọi X là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành.

Từ giả thiết đề cho, ta có X =

Giá trị sản lượng cầu cuối: B = (I − A)X =

 c) Gọi Y là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành

Từ giả thiết đề bài, ta có:

Ma trận hệ số chi phí toàn bộ:

Hệ số c 32 = 0,769 cho thấy rằng để ngành 2 sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng, ngành 3 cần sản xuất sản phẩm có giá trị tương ứng là 0,769.

Một số bài toán

Bài toán 1 Trong mô hình cân đối liên ngành cho ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối Hãy xác định ma trận tổng cầu: a) A =

 là ma trận tổng cầu Với x 1 là giá trị tổng cầu của ngành 1, x 2 là giá trị tổng cầu của ngành 2.

. Định thức của ma trận I − A:

Ma trận phụ hợp tương ứng: (I − A) ∗ =

. Áp dụng công thức (2.3) để tính ma trận tổng cầu:

Ma trận tổng cầu là:

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, lần lượt là x 1 = 500, x 2 = 500. b) A =

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt làx 1 = 200,x 2 = 300và x 3 = 200. c) A =

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt làx 1 = 265178, 6;x 2 = 175892, 9 và x 3 = 258928, 6.

Bài toán 2 Cho dòng 3 trong ma trận hệ số kỹ thuật của mô hình cân đối liên ngành gồm bốn ngành sản xuất là:

Ngành 4 cần xác định số tiền phải trả cho ngành 3 để mua sản phẩm của ngành 3 làm nguyên liệu đầu vào cho sản xuất Tổng giá trị sản phẩm của ngành 4 đạt 200 nghìn tỷ đồng.

Gọix ik là số tiền mà ngành k phải trả cho ngành iđể mua sản phẩm của ngành

3 làm nguyên liệu đầu vào của sản xuất.

Số tiền mà ngành 4 cần chi trả cho ngành 3 để mua sản phẩm làm nguyên liệu đầu vào là 60 tỷ đồng, tương ứng với công thức x 34 = a 34 x 4 = 0,3.200 Mô hình Input – Output mở này bao gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật rõ ràng.

 a) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A. b) Cho ma trận cầu cuối B =

Để xác định sản lượng của mỗi ngành, cần lưu ý rằng nhờ vào cải tiến kỹ thuật ở ngành 1, ngành này đã tiết kiệm được 25% nguyên liệu từ ngành 2 Ma trận cầu cuối được biểu diễn bằng B.

Hệ số a 21 = 0,4 cho thấy ngành 1 cần 0,4 đơn vị giá của ngành 2 làm nguyên liệu đầu vào để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm Theo giả thiết, ma trận cầu cuối B có dạng: B =

Giá trị tổng cầu của các ngành lần lượt là x1 = 270, x2 = 239 và x3 = 308 Cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 đã làm giảm 25% nguyên liệu từ ngành 2 cung cấp cho ngành 1, dẫn đến việc điều chỉnh hệ số a21 từ 0,4 xuống 0,3 Ma trận hệ số đầu vào mới được xác định là A =.

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x 1 = 286, x 2 = 230 và

Bài toán 4 Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t là:

 a)Nếu ý nghĩa phần tử nằm ở dòng 1, cột 3 của ma trận A. b) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ. c) Cho biết ma trận cầu cuối của các ngành là B =

T Tìm sản lượng của mỗi ngành.

Hệ số a 13 = 0,3 cho thấy rằng ngành 3 cần chi 0,3 giá trị sản phẩm của mình để mua nguyên liệu từ ngành 1 nhằm sản xuất ra một đơn vị giá trị sản phẩm.

Ma trận hệ số chi phí toàn bộ C:

Vậy ma trận hệ số chi phí toàn bộ là: C = 1

. c) Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: B =

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x 1 = 1592, 7; x 2 = 2019, 2 và x 3 = 1580, 4.

Bài toán 5 Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ và ma trận tổng cầu như sau:

 a) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận C. b) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật. c) Tìm ma trận cầu cuối.

Hệ số c 23 = 0,625 chỉ ra rằng để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành 3, ngành 2 cần sản xuất sản phẩm có giá trị 0,625 Định thức của ma trận C cũng cần được xem xét để hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các ngành trong sản xuất.

Ma trận nghịch đảo của C:

Vậy ma trận hệ số kỹ thuật A:

Vậy ma trận cầu cuối B =

 Bài toán 6.Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là A =

Để xác định sản lượng của mỗi ngành, cần lưu ý rằng nhờ vào cải tiến kỹ thuật ở ngành 2, ngành này đã tiết kiệm được 50% nguyên liệu từ ngành 3 Ma trận cầu cuối được biểu diễn bằng B.

Hệ số a 23 = 0,3 cho thấy rằng ngành 3 cần 0,3 giá trị sản phẩm của ngành 2 để sản xuất ra một đơn vị giá trị sản phẩm của mình Theo giả thiết, ma trận cầu cuối B có dạng B =

Giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x₁ = 150, x₂ = 200 và x₃ = 150 Cải tiến kỹ thuật ở ngành 2 đã dẫn đến việc giảm 50% nguyên liệu lấy từ ngành 3, do đó a₃₂ ban đầu là 0,3 đã được điều chỉnh thành a₃₂ = 0,3 - 0,3 × 0,5 = 0,15 Như vậy, ma trận hệ số đầu vào mới được xác định là A =.

Bài toán 7.Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là A =

Để xác định sản lượng của từng ngành, cần xem xét rằng ngành 1 đã tiết kiệm được 25% nguyên liệu từ ngành 2 nhờ vào cải tiến kỹ thuật Ma trận cầu cuối được ký hiệu là B, từ đó có thể tính toán sản lượng của mỗi ngành một cách chính xác.

Hệ số a 32 = 0,3 chỉ ra rằng để ngành 2 sản xuất một đơn vị giá trị sản phẩm, ngành này cần tiêu tốn 0,3 giá trị sản phẩm để mua nguyên liệu từ ngành 3 Theo giả thiết, ma trận cầu cuối B có cấu trúc như sau: B =.

Giá trị tổng cầu của các ngành được xác định lần lượt là x1 = 300, x2 = 320 và x3 = 280 Cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 đã dẫn đến việc giảm 25% nguyên liệu từ ngành 2 cung cấp cho ngành 1 Cụ thể, hệ số a21 ban đầu là 0,4, sau khi cải tiến sẽ là a21 = 0,4 - 0,4 × 0,25 = 0,3 Do đó, ma trận hệ số đầu vào mới được cập nhật thành A =.

Bài toán 8 Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t như sau:

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử tại dòng 2 cột 3 trong ma trận, đồng thời tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và phân tích ý nghĩa của phần tử ở hàng 2 cột 3 Bên cạnh đó, với nhu cầu sản phẩm cuối cùng của các ngành trong năm(t + 1) lần lượt là 180, 150, 100 tỷ VNĐ, chúng ta sẽ tính giá trị sản lượng của các ngành, giả định rằng các hệ số chi phí trong năm(t + 1) và năm t là giống nhau.

Hệ số a 23 = 0,2 cho thấy ngành 3 cần chi 0,2 giá trị sản phẩm để sản xuất ra một đơn vị giá trị sản phẩm của mình Từ đó, ta có công thức I − A =.

Ma trận hệ số chi phí toàn bộ C:

Vậy ma trận hệ số chi phí toàn bộ là: C =

Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế

Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan

Giả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hóa có liên quan: hàng hóa

Khái niệm này đề cập đến việc khi giá của một mặt hàng thay đổi, nó không chỉ tác động đến lượng cung (Q S i) và lượng cầu (Q D i) của chính mặt hàng đó, mà còn ảnh hưởng đến giá, lượng cung và lượng cầu của các mặt hàng khác Sự phụ thuộc giữa lượng cung và lượng cầu vào giá của các hàng hóa thường được biểu diễn qua hàm cung và hàm cầu.

Trong đóP 1 , P 2 , , P n là ký hiệu thứ tự là giá của hàng hóa 1, 2, , n.

Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan (cân bằng cung cầu) được xác định bởi:

Nếu giả thiết các Q S i và Q D i (i = 1, 2, , n)có dạng tuyến tính, thì mô hình trên chính là một hệ gồm có n phương trình và n ẩn P 1 , P 2 , , P n

Giải hệ phương trình chúng ta tìm được bộ giá cân bằng thị trường:

P = (P 1 , P 2 , , P n ) Thay vào Q S i (hoặc Q D i ) chúng ta thu được bộ lượng cân bằng thị trường:

Ví dụ 4 Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hóa như sau:

Q S 1 , Q S 2 là lượng cung hàng hóa 1 và 2;

Q D 1 , Q D 2 là lượng cầu hàng hóa 1 và 2;

P 1 , P 2 là giá của hàng hóa 1 và 2.

Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là P 1 và P 2

Sử dụng quy tắc Cramer (phương pháp định thức) xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.

Giải: Áp dụng công thức (2.4), ta có hệ phương trình:

Giải hệ bằng quy tắc Cramer:

Vậy bộ giá cân bằng là: P 1 = D P 1

Ví dụ 5 Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa: hàng hóa 1 và hàng hóa 2 có hàm cung và cầu như sau:

Q S 1 , Q S 2 là lượng cung hàng hóa 1 và 2;

Q D 1 , Q D 2 là lượng cầu hàng hóa 1 và 2;

P 1 , P 2 là giá của hàng hóa 1 và 2.

Bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, hãy xác định bộ giá và lượng cân bằng thị trường của hai hàng hóa nói trên.

Giải hệ phương trình trên bằng quy tắc Cramer. Đặt các ma trận sau:

Hệ phương trình trên tương đương: AX = B.

Vậy bộ giá cân bằng là:

tương ứng với bộ lượng cân bằng là:

Ví dụ 6 Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa gồm chè, cafe, cacao có hàm cung và hàm cầu tương ứng như sau:

Để thiết lập mô hình cân bằng thị trường cho ba loại hàng hóa, chúng ta cần áp dụng quy tắc Cramer để xác định giá và lượng cà phê ở trạng thái cân bằng Quy tắc này giúp phân tích mối quan hệ giữa các biến số trong mô hình, từ đó tìm ra điểm cân bằng tối ưu cho thị trường cà phê Việc áp dụng quy tắc Cramer sẽ cho phép chúng ta tính toán chính xác giá và lượng cà phê, đảm bảo rằng cung và cầu được cân bằng trong thị trường.

Xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường bằng quy tắc Cramer:

Vậy giá cafe ở trạng thái cân bằng thị trường là:

3 và lượng cân bằng là:

Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân đơn giản được biểu diễn với các ký hiệu: Y đại diện cho tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu của chính phủ, I là đầu tư của hộ gia đình, và C là mức tiêu dùng của các hộ gia đình.

Chúng ta giả thiết rằng chi tiêu Chính phủ và đầu tư là cố định G = G 0 và

I = I 0 , còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính:

Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình, 2 ẩn Y và C:

Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế.

1 − a Tiếp theo, xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t% (thường biểu diễn dưới dạng thập phân) Khi đó, thu nhập sau thuế là:

Y d = Y − tY = (1 − t)Y. và hàm chi tiêu khi đó có dạng:

Ngoài ra, chúng ta cũng xem xét mô hình với ảnh hưởng của yếu tố xuất khẩu

X và nhập khẩu M Khi đó, mô hình có dạng:

Hai yếu tố xuất khẩu (X) và nhập khẩu (M ) có thể cho dưới dạng hàm của thu nhập Y hoặc là giá trị cố định cho trước.

Chúng ta vẫn biến đổi đưa mô hình về hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và C.

Ví dụ 7 Cho mô hình sau:

Mức thu nhập quốc dân Y d được xác định bởi công thức Y d = (1 − t)Y, trong đó t là thuế suất thu nhập Để xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng, chúng ta có thể áp dụng quy tắc Cramer Khi I 0 = 150 và G 0 = giá trị cụ thể nào đó, việc tính toán sẽ cho ra mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng.

500 (đơn vị: tỉ VNĐ) và t = 0, 15 (15%).

Giải: Đầu tiên ta xác định mô hình cân bằng:

= 250 + 0, 8(1 − t)(G o + I o ). a) Vậy thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là:

1 − 0, 8(1 − t) Nhận xét: Y và C phụ thuộc vào I o , G o và t. b) Với I o = 500, G o = 500, t = 0, 15 chúng ta có:

Ví dụ 8 Xét mô hình cân bằng:

Để xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng Y và C, chúng ta áp dụng quy tắc Cramer với công thức M = b(1 − t)Y, trong đó 0 < b < 1 Khi t = 0, 1; a = 0, 85; b = 0, 1; I 0 = 250; G 0 = 400 và X 0 = 100, chúng ta tính được các giá trị Y và C tương ứng Đơn vị tính cho I 0, G 0 và X 0 là tỉ VNĐ, trong khi t được tính bằng phần trăm.

Giải: a) Ta thiết lập hệ 2 phương trình 2 ẩn Y và C:

Vậy thu nhập và chi tiêu quốc dân cân bằng là:

Mô hình IS – LM

Trong tiếng Anh, IS – LM là viết tắt của Investment/Saving – Liquidity prefer- ence/Money supply (Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền).

Mô hình IS – LM phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế thông qua việc xem xét cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ Mục tiêu chính của mô hình này là xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất tại trạng thái cân bằng.

+) Xét thị trường hàng hóa dịch vụ với các yếu tố gồm:

Chi tiêu hộ gia đình : C = Y a + b, (0 < a < 1, b > 0). Đầu tư : I = d − cr, (c, d > 0) với r là lãi suất.

Phương trình cân bằng thị trường hàng hóa, dịch vụ (Phương trình đường IS):

+) Xét thị trường tiền tệ với các yếu tố:

Lượng cầu tiền: L = L(Y, r) = mY − nr, (m, n > 0).

Phương trình cân bằng thị trường tiền tệ (Phương trình đường LM):

L = M ⇔ Y − nr = M 0 Để xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng Y và r chúng ta thiết lập hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và r (mô hình IS – LM):

Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta có:

Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:

Ví dụ 9 Xét mô hình IS – LM với:

M = M 0 a) Sử dụng quy tắc Cramer xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng. b) Tính Y , r khi G 0 = 70; M 0 = 1500 (nghìn tỉ VNĐ).

Giải: a) Phương trình đường IS:

Chúng ta xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng từ hệ 2 phương trình,

Ví dụ 10 Xét mô hình IS – LM với:

Để thiết lập mô hình IS – LM với các hệ số 0 < a < 1, b > 0, c > 0, m > 0, n > 0, 0 < t < 1, chúng ta cần xác định các yếu tố ảnh hưởng đến tổng cầu và tổng cung Việc giải mô hình này có thể thực hiện bằng quy tắc Cramer, giúp tìm ra các biến số cần thiết Cuối cùng, khi chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị, cần phân tích sự thay đổi của thu nhập cân bằng để hiểu rõ tác động của chính sách tài khóa đối với nền kinh tế.

Giải: a) Phương trình đường IS:

⇔ [1 − a(1 − t)]Y + cr = b + I 0 + G 0 Phương trình đường LM:

b) Giải mô hình bằng quy tắc Cramer:

Vậy nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng tăng:

Một số bài toán

Bài toán 1 Xét thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:

Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của hai hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer.

Giải hệ bằng quy tắc Cramer:

Bài toán 2 yêu cầu sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo để xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường cho hai loại hàng hóa Hàm cung cho hàng hóa 1 được biểu diễn là Q S 1 = 2P 1, trong khi hàm cầu cho hàng hóa 1 là Q D 1 = 20 − P 1 + P 2.

Giải: a) Áp dụng công thức (2.4), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng quy tắc Cramer. Đặt các ma trận sau:

11 Tương ứng với bộ lượng cân bằng là:

11 b) Áp dụng công thức (2.4), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. Đặt các ma trận sau:

Hệ phương trình trên tương đương: AX = B

11 Bài toán 3 Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:

Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer.

Giải hệ phương trình trên bằng quy tắc Cramer:

Vậy bộ giá cân bằng là:

Bài toán 4 Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau:

Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: Đặt các ma trận:

Vậy bộ cân bằng là: P 1 = 19910

Tương ứng với bộ lượng cân bằng là:

933 Bài toán 5 Xét thị trường có 4 loại hàng hóa Biết hàm cung và cầu của 4 loại hàng hóa trên như sau:

Tìm điểm cân bằng thị trường.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: Đặt các ma trận:

Vậy bộ cân bằng là: P 1 = 10; P 2 = 15; P 3 = 15; P 4 = 10.

Tương ứng với bộ lượng cân bằng là:

Bài toán 6 Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân:

Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc Cramer, biết I 0 = 200; G 0 = 500 (triệu USD).

Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình, 2 ẩn Y và C:

3 Bài toán 7 Xét mô hình

Y d = (1 − t)Y ; M = 0, 1Y d a) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân Y , C ở trạng thái cân bằng. b) Tính Y , C khi I 0 = 200, G 0 = 500, X 0 = 100, a = 0, 1 và t = 0, 1.

Giải: a) Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình, 2 ẩn Y và C:

1 + 0, 1(1 − t) − a(1 − t) = −a(1 − t).(G 0 + I 0 + X 0 ) a(1 − t) + 0, 1t − 1, 1 b) Với I 0 = 200, G 0 = 500, X 0 = 100, a = 0, 1 và t = 0, 1 chúng ta có:

Bài toán 8 Xét mô hình

9 Bài toán 9 Xét mô hình

Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng. Giải:

53 Bài toán 10 Cho mô hình thu nhập quốc dân:

Để xác định Y và C ở trạng thái cân bằng, ta áp dụng quy tắc Cramer trong hệ phương trình Với các tham số b0 = 200, b1 = 0,7, a0 = 100, a1 = 0,2, a2 = 10, R0 = 7 và G0 = 500, chúng ta tiến hành tính toán để tìm ra các giá trị cần thiết.

Y , C. a) Mô hình thu nhập quốc dân:

1 − 0, 2 − 0, 7 = 5310. Bài toán 11 Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế (đóng) có mối liên hệ sau:

Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích các yếu tố kinh tế cơ bản như thu nhập quốc dân (Y), tiêu dùng dân cư (C), thu nhập khả dụng (Y d), đầu tư (I), chi tiêu chính phủ (G) và thuế (T) Với các giá trị I = 200, G = 500 và T = 500, chúng ta cần xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương trình cân bằng thị trường hàng hóa, được thể hiện qua phương trình đường IS Đồng thời, chúng ta cũng sẽ xem xét chủ trương “kích cầu” của chính phủ thông qua chính sách giảm thuế, nhằm thúc đẩy tiêu dùng và đầu tư, từ đó góp phần tăng trưởng kinh tế.

0, 15 = 2300. b) Thu nhận quốc dân được tính theo công thức: Y = −0, 85T + 70 + I + G

Vậy chính phủ giảm thuế làm thu nhập quốc dân tăng lên.

Bài toán 12 Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế có mối liên hệ sau

Y là thu nhập quốc dân; C là tiêu dùng dân cư; I là đầu tư; G là chi tiêu chính phủ; X là xuất khẩu; N là nhập khẩu; t là thuế Biết rằng I = 700; G = 900;

Để xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng, ta sử dụng công thức kinh tế phù hợp với các biến số đã cho Với X = 600 và t = 0,015, thu nhập quốc dân có thể được tính toán để phản ánh trạng thái cân bằng Về ý kiến cho rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì chính phủ có thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập, cần xem xét các yếu tố tác động đến nền kinh tế như tổng cầu và tổng cung Việc giảm xuất khẩu có thể dẫn đến giảm thu nhập, trong khi tăng chi tiêu chính phủ có thể kích thích nền kinh tế, nhưng không chắc chắn sẽ bù đắp hoàn toàn cho sự giảm sút từ xuất khẩu.

Giải: a) Ta có phương trình cân bằng thị trường hàng hóa (Phương trình đường IS):

1 − 0, 065(1 − 0, 015) = 2350, 490131. b) Giả sử xuất khẩu 10% và tăng chi tiêu 10% ta được:

Ta có phương trình cân bằng thị trường hàng hóa (Phương trình đường IS):

Vậy ý kiến trên là sai.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng trong phân tích kinh tế" đã đạt được những kết quả đáng chú ý trong việc ứng dụng các mô hình toán học vào phân tích kinh tế, góp phần nâng cao hiệu quả nghiên cứu và ra quyết định trong lĩnh vực này.

Hệ thống hoá các khái niệm liên quan đến ma trận bao gồm định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính Định thức là một giá trị số đặc trưng của ma trận, giúp xác định tính khả nghịch của nó Ma trận nghịch đảo là ma trận mà khi nhân với ma trận gốc sẽ cho kết quả là ma trận đơn vị Hạng của ma trận phản ánh số lượng hàng hoặc cột độc lập, đóng vai trò quan trọng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính là tập hợp các phương trình có dạng tuyến tính, và có thể được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm sử dụng ma trận.

Nội dung bài viết tập trung vào hai vấn đề chính: các mô hình cân đối liên ngành, đặc biệt là mô hình Input – Output của Leontief, và một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế Phần 2.1 bao gồm bốn phần: giới thiệu mô hình, phương pháp giải, các ví dụ và một số ví dụ bổ sung Trong phần 2.2, bài viết trình bày ba mô hình: mô hình cân bằng thị trường hàng hóa, mô hình cân bằng thu nhập quốc dân và mô hình IS-LM, mỗi mô hình được chia thành hai phần: giới thiệu và ví dụ.

Việc áp dụng mô hình toán học trong phân tích kinh tế là một quá trình phức tạp, yêu cầu kiến thức sâu rộng về kinh tế học và toán học, cũng như kỹ năng xử lý dữ liệu và rút ra kết luận Mặc dù đã nỗ lực trong nghiên cứu, tôi nhận thấy vẫn còn nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ Hội đồng đánh giá để luận văn được hoàn thiện hơn.

Em xin trân trọng cảm ơn Hội đồng!

Tiêu đề	Một Số Mô Hình Đại Số Và Tuyến Tính Trong Phân Tích Kinh Tế
Tác giả	Nguyễn Thị Thu Trang
Người hướng dẫn	Phan Quang Như Anh
Trường học	Đại học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Sư phạm Toán học
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2024
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	74
Dung lượng	376,41 KB