Tiểu luận toán cao cấp nhóm 3

Trong bài tiểu luận này, nhóm chúng em hy vọng bằng cách tìm hiểu một số lý thuyết và ví dụ minh họa về giới hạn, điều kiện liên tục của hàm sô, đạo hàm, tích phân, qua đó có thê khái qu

Lý Anh Kiệt Phạm Thị Mỹ Lệ Nguyễn Hoài Linh Nguyễn Ngọc Khánh Linh Nguyễn Đoàn Hải Long

0 Phạm Quỳnh Mai

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2024

MUC DO DONG GOP

STT Họ và tên Ụ MSSV dược phân đóng góp | Ký tên chú R

21 | Trân Nguyên Khoa | 2033240155 Word 10%

22_ | Đặng La Tuấn Khôi | 2033240159 | Giải bài tập 10%

23 | Đào Ngọc Khôi 2033240158 hee phân giới iêu 10%

24 | Lý Anh Kiệt 2033240165 vist phan ket uan 10%

Tông hợp lý 25_ | Phạm Thị Mỹ Lệ 2033240174 | thuyét (chu dé 10% œ

oy

3

26 | Nguyén Hoai Linh | 2033240178 » ah 10% te

Trang |

NHAT KY LAM VIEC

18/11 Khánh Linh 2033240180 Giải bài tập Đúng hẹn

6/11- Nguyễn Ngọc Mỹ Giải bài tập —

Linh (nhóm 2033240181 | tông hợp ví Đúng hẹn 20/11 ;

18/11 Pham Thi My Lé 2033240174 thuyét Dung hen

Linh (nhóm 2033240181 | Giải bài tập Đúng hẹn 12/11 ;

= 18/11 Đào Ngọc Khôi 2033240158 | thiệu cho bải Đúng hẹn

oe 18/11 Lý Anh Kiệt 2033240165 | cho bài tiêu Đúng hẹn

Trang 2

MUC LUC

MUC LUC oeoceccccccceccscscssessesessesessessesessesessssessesesssatssssseseaesssissvsisstesitessitesestsststsstevsvsseesseecass

LOI NOI DAU ooo cccccccccccccccesesesssesesssvesescstssescstsvesesvevssssvsesssivsesssssseesssseststssesestsssisstessstevees

1.1 Hệ thống lý thuyéte ccc cccccecccsecessesscseesessssussesseseesscsessuesesseseesiesessuseeseessesees

1.1.1 Các định nghĩa về hàm số liên tục c2 1n 11111212151 111155 1111112121211 re 1.1.2 Điểm PIA MOAI

1.2 Hệ thong bai tapi ccc ccccsccssesessscsecsessessesecsssessesseseessesssueseseesecseesessseeseseeees Chu dé 2 DAO HAM VA UNG DUNG ioe ceccecceccccsccesessesceseessessetevsnsensesteseesesenseeseseen 2.1 Hệ thong ly thuyét [6] ccccccccec cesses cesessseeseesecssesessessessesesseesesenseseessseeeseses

2.1.1 Céng 0/00 2.1.2 Mét 86 khai trién Maclaurin CO BAN cccccccccscscecscscsesesscecevececscscetsesevevevevsceees

2.2 Hệ thống bải tập - ccsesscsecseceesseseeseesesssesessessessesesseesessesscssesessecssesecsseeees Chủ đề 3 TÍCH PHẦN VÀ ỨNG DỤỰNG c1 HE 121 12112 1 ng ga

KẾT LUẬN S S22 2212121155 11211 1211211215515 122222 H nen He rao TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 2 s2 2211555 1111211 111151511151 21 11512215 Hr He rug

Trang 3

LOI NOI DAU

“Toán học là cánh cửa và là chìa khóa để đi đến các ngành khoa học khác” (Roger Bacon) Toán từ lâu đã là một bộ môn khoa học giúp con người phát triển tư duy, cũng như ứng dụng để giải quyết các vấn đề khác nhau trone cuộc sông Thông qua nó, nhiều lĩnh vực khoa học từ vật lý, hóa học đến kỹ thuật công nghệ lần lượt ra đời và phát triển

Là một phần quan trọng của toán học, giải tích đã trở thành nền tảng vững chắc để đào sâu nghiên cứu và ứng dụng trone nhiều ngành học khác nhau

Trong bài tiểu luận này, nhóm chúng em hy vọng bằng cách tìm hiểu một số lý thuyết

và ví dụ minh họa về giới hạn, điều kiện liên tục của hàm sô, đạo hàm, tích phân, qua đó

có thê khái quát bộ môn giải tích

Đối tượng nghiên cứu:

- _ Giới hạn và liên tục của hàm số: Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về giới hạn, tính liên tục và ứng dụng trong phân tích hàm

- Dao ham: Tim hiéu định nghĩa, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng

- _ Tích phân: định lý, các phương pháp tính tích phân và ứng dụng

Mục tiêu nghiên cứu:

Mục tiêu chính của bài tiểu luận là nhằm tìm hiểu những vẫn đề chủ yếu của giải tích, bao gôm: giới hạn và tính liên tục của hàm sô, đạo hàm, tích phân Đông thời củng cô kiên thức nên tảng và tìm hiểu những ứng dụng của giải tích trong thực tiên

Phương pháp nghiên cứu:

Bài tiêu luận được nhóm chúng em tổng hợp lý thuyết từ sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo Chứng minh bắng một sô ví dụ minh họa đề làm rõ các chủ đề Nêu những ứng dụng phương trình vị phân trong thực tiền

Trang 4

Chủ đề 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1.1 Hệ thông lý thuyết -

1.1.1 Các định nghĩa về hàm số liên tục [1]

Định nghĩa 1:

Cho hàm số ƒ có miền xác định là D={(a, b) R

+ Hàm số ƒ được gọi là liên tục tạxsÐ nếu „ tim fix|= F(X),

+ Nếu hàm số ƒ liên tục tại mọi xD thì ta nói fp liên tục trênD

Chứng minh hàm số ƒx]=v8—2xÝ liên tục trên đoạn [—2;2]

Ham số ƒ|xÌ=v8—2xˆ xác định trên đoạn [—2; 2]

° lim é

x¬Z7fbl= dim ¿ý

lim 6

Suy fa 2”Ƒ[Ax=fBt

Vậy hàm số ƒ liên tục tại điểm Xạ = 2

1.1.2 Điểm gián đoạn [4]

Cho hàm sốf xác định trên đoạn [a, b]

Nếu ƒ(x) không liên tục tại x¿€D thì ta nói ƒ(x) gián đoạn tai Xo và điểm %o gọi là

điểm pián đoạn

Ham f(x) gián đoạn tại xạ nhưng tồn tại giới hạn của f(x) tai x)“, xj thìxạ được gọi là

điểm pián đoạn loại I (hay hàm số ƒ gián đoạn loại Ï tại điểm %ạ)

- _ Đặc biệt, nêu có:

Trang 6

xoxo ply bm ee

thi f còn được gọi là pián đoạn bỏ được tại điểm xạ

Ham f(x) gian đoạn tại Xọ nhưng không phải là gián đoạn loại I thì Xo được gọi là điểm

gián đoạn loại II (hay hàm số ƒ gián đoạn loại II tại điểm 3§)

Vi du: [5]

1) Xét ham sé

sin X

, #0 f\x)=) x

0,x=0

tại điểm xạ = 0

Vi x= 0"F [x= lim we nén diém xo la diém gian doan bo dugc cua ham so f

x~07ƒ Flim SVE 1e0=F p|

han phải là sô hữu hạn

lim arcsin ix +tan” 3x lt 2arc sin* x

ta CÓ:COSxX 1—2 sin 2

2

x +X

Trang 8

= dé gidi han tồn tại: a°x +2a? — 16 =0 (khi x =2)

4x6

%a=+12

Với a =2

x>2+ (x-2)(x+2)(a/x+2 +4) 4324+ (x—2)(x+2)(2 Tương tự với a=—2

Giới hạn bên trái:

Chi dé 2 BAO HAM VA UNG DUNG

2.1 Hệ thống lý thuyết [6]

2.1.1 Công thức Maclaurin

Khai triển hàm số ƒ(x) tại Xạ theo lũy thừa ni Khi x,=0, ta có chuỗi Maclaurin

aay FO) sen

1 1 1x kÍ2\ x n

=———————>.„,|—1) || x+olx 2x*+3 142% 3 0 "3 (x")

2.1.2 Một số khai triển Maclaurin cơ bản

vi beet, me Rv Cy= MIME MOK) ven,

Dac biét: Voi |xK1, ta có:

ny ged 1+x

sin x =sin’ x sinx

Nên

£"'L0Ì=—2.4!I=—48

e*-ec~*— 2y L= lim———————

Ví dụ 3: Tính giớihạn x0 X—SInY

Ta có

ea text Xe solx’|

2! 3! ,

Chi dé 3 TICH PHAN VA UNG DUNG

3.1 Hé thong ly thuyét [7]

3.1.1 Phuong phap tinh tich phan bat dinh bang cach tich phan timg phan

Định lý: Giả sử u{x) và v|xÌ có các đạo hàm liên tục Khi đó ta có công thức

J udv= uv~ƒ vdu hay

fu ulx| v [x] dx=ulx x)= ƒ vị V(x Công thức này được gọi là tích TH từng Tà

Dé tinh tích phân J f|x|dx bằng phương pháp tích phân từng phân ta cần phân tích

fxÌ=g lxÌh(x), sau đó đặt

u=g(x)

dv=h(x)dx Việc chọn u và dv ở trên, cần thực hiện sao chov=ƒ h(x)dx và J vdu,

3.1.2 Các „ tích phân được sử dụng phương pháp tích phân từng phần:

° ƒ P| x]dx, với px, có một trong các dạng hàm sin ax, cos ax, e*: Ta dit u=P | x|

¿xvaÌ—x”~ Í Vax dx’ arcsin™ +2C

¿X4 — x°dx—[+a°arcsin= +2C

Vay

J ax d= I= 5 xVa x4 Š g”aresinŠ +€

Vi du 3: Tinh tich phan J=[ wx”+bdx

Ap dụng công thức tính tích phn timg phan (u=Vx?+b, v=x), ta cd

sin| 2 arc sin —

=[I=8- arc sin—+8 - — + 1—| —| =B- arcsin—+——————+Cˆ 4 vị 4 HT” s2

Khi: x=0=:=2

x=2>t=0

2 , a4 fcé

> ey 43x7e* y=6x7e"

Dao ham cua tich, vé trai: ole" y)=6x! e

Tích phân về trái ¿e" y

Tích phân về phải: Chou=xÌ=¿du=3x?dx

J 6x?e*dx =?2Ï e" du=2e"=2e"

Chi dé 4 UNG DUNG TRONG KHOA HOC KY THUAT

4.1 Một ví dụ của ứng dụng phương trình vi phân trong sản xuất, kỹ thuật - công nghệ [8]

-_ Ngày nay, phương trình vi phân đã góp mặt trong nhiều ngành học khác nhau, bao gom ca: y khoa, kinh tế, xã hội, kỹ thuật công nghệ,

Về kỹ thuật và công nghệ nói riêng, người ta sử dụng phương trình vi phân để thiết kế

và phát triển hệ thống, dự đoán đồng thời mô hình hóa các thiết bị, Như mô hình hóa rung động của hệ thống cơ học (lò xo, dầm) đề phân tích độ rung, bằng cách sử dụng các phương trinh bậc hai

Trong nhiều ú ứng dụng kỹ thuật, một thiết bị có khối lượng m thường được gan lên một kết câu đỡ có thê được mô hình hóa như một lò xo có độ cứng k và một bộ giảm chắn có

hệ số giảm chấn c, như được minh họa trong hình sau Do các cơ cấu quay không cân bằng hoặc các cơ chế kích thích khác, thiết bị phải chịu một lực dao động # g5in(@f} Chuyến động dao động của khối lượng được mô tả bởi độ dịch chuyển theo phương

, là tân số góc tự nhiên của

thang dimg x(t) Khi tần số kích thích © gần bằng 5) 4

thiét bi va hé thong hé tro, sé xảy ra hiện tượng dao động với biên độ lớn

Dé giảm rung cho thiết bị, một bộ hấp thụ rung được lắp vào thiết bị Bộ hấp thụ rung

có thê được mô hình hóa như một khôi lượng ,, một lò xo CÓ độ cứng X¿ và một bộ giam chân có hệ SỐ giam chan ca Chuyên động dao động của bộ hâp thụ rung được mô ta bang

độ dịch chuyền theo phương thắng đứng xu[t)

Xal D}

Các phương trình này bao gồm một hệ thống gồm hai phương trình vi phân bậc hai tuyến tính liên kết với nhau Trong đó:

® m ori Lực quán tính của phân tử chính

t

° |c+C, re Lực cản tông hợp từ vận tốc của phân tử chính

©- (k+k,]x: Lực đàn hỏi tong hợp từ phân tử chính vả phần tử phụ

e k,x, Lue dan héi từ phần tử phụ

° —c, Lực cản đo tương tác với phần tử chính

e_ —k,x: Lực đàn hồi do tương tác với phần tử chính

Phân tích mạch : Sử dụng các phương trình vi phân để phân tích mạch điện có tụ điện

và cuộn cảm, được mô tả theo định luật Kirchhoff

Xử lý tín hiệu : Mô hình hóa hệ thông động và bộ lọc bằng phương trình vi phân tuyến

4.3 Uu diem

Mô hình hóa các hệ thống phức tạp :

Phương trình vi phân có thể mô tả các hệ thống động trong vật lý, sinh học, kinh tế và

kỹ thuật, năm bắt môi quan hệ ø1ữa các biên và tôc độ thay đôi của chúng

Trang 26

KET LUAN Bài tiêu luận là kết quả của quá trình tìm hiểu và nghiên cứu của nhóm chúng em về giải tích, và ứng dụng của ngành học này trong thực tế, qua đó khái quát được những vấn

đề cơ bản của bộ môn giải tích gồm những lý thuyết và bài tập minh họa cụ thể Dong thời bải tiêu luận trên còn nhằm đưa ra những giải pháp hiệu quả trong việc giải quyết những câu hỏi giải tích phức tạp, rút ngắn cũng như tối ưu quá trình tìm ra kết quả Và hơn hết còn thê hiện được tầm quan trọng của việc ứng dụng những phương trình vi phân, tích phân vào các lĩnh vực khác nhau, mang nhiều kết quả tích cực trong thực tế Nhóm chúng em xin cảm ơn nhà trường và đặc biệt là thầy Võ Văn Định đã tận tinh hướng dẫn và giúp chúng em có được nên tảng kiến thức cơ bản dé hoan thanh bai tiéu luận này Đó sẽ giúp chúng em có sự chuẩn bị tốt cho quá trình tiếp thu thêm nhiều kiến thức mới đề phát triển bản thân trong tương lai

Trang 27

TAI LIEU THAM KHAO

[1] Neuyén Van Y, “Giáo trình Toản cao cấp Al (giải tich),” Truong Dai hoc Công nghiép Thuc pham thanh pho Ho Chi Minh, trang 26-27, 2020

[2] 6 Thanh Han, “Chu: dé: Ham so lién tuc”’

[3] Nguyén Huy Hoang, “Gido trinh Todn cao cap,” Truong Dai hoc Tai chinh - Marketing, trang 101, 2020

[4] Neuyén Quéc tién, "Bai gidng todn cao cap," trang 5, 2011

[5] Nguyễn Văn Y, “Giáo trình Toán cao cap Al (giai tích),” Trường Dai hoc Công nghiệp Thực phâm thành phô Hồ Chí Minh, trang 27-28, 2020

[6] Nguyễn Văn Ý, “Toán cao cấp A1 (giải tích),” Trường Đại học Công nghiệp Thực Phâm thành phô Hồ Chí Minh, trang 48-53, 2020

[7] Nguyễn Văn Ý, ”7oán cao cấp AI (giải tích),” Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm thành phô Hồ Chí Minh, trang 73-75, 2020

[8] Wet-Chau Xie, "Differential Equations for Engineers,” Cambridge University Press, pp 4-5, 2010

Trang 28