Giáo trình: Phương pháp dạy học đại số và giải tích

Sau khi học học phần này, người học cần đạt được những mục tiêu cơ bản sau: - Về kiến thức: Nắm được mục đích, yêu cầu trong dạy học và nội dung chính của mạch kiến thức số, đại số và m

DẠY HỌC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

HỆ THỐNG KIẾN THỨC VỀ MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

Mệnh đề là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai và không thể vừa đúng vừa sai

Ví dụ 1.1 “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề đúng

“8 là một số nguyên tố” là mệnh đề sai

Mệnh đề toán học là mệnh đề khẳng định một sự kiện trong toán học

Ví dụ 1.2 “Số π là một số hữu tỉ”

“Tổng ba góc trong tam giác bằng 180 0 ” b) Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu chứa biến, với mỗi giá trị của biến ta được mệnh đề

Ví dụ 1.3 Cho khẳng định “ n(n+1)= 0”

Khi thay thế giá trị cụ thể của n vào khẳng định, chúng ta nhận được một mệnh đề Khẳng định có đặc điểm này được gọi là mệnh đề chứa biến.

Mệnh đề chứa biến không phải là mệnh đề thực sự vì nó không có giá trị chân lý xác định, mà chỉ trở thành một khẳng định có giá trị chân lý khi biến được gán giá trị cụ thể Điều này khác biệt với mệnh đề thông thường, vốn luôn mang một trong hai giá trị chân lý là đúng hoặc sai Phủ định của một mệnh đề cũng cần được xem xét trong bối cảnh này.

Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là là một mệnh đề thoả mãn tính chất:

Sai Đúng Để phủ định mệnh đề P, thông thường ta thêm “không phải” hoặc

“không” vào những vị trí phù hợp trong mệnh đề P để có câu tròn ý d) Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “ Nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P  Q Mệnh đề PQ chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai

Sai Đúng Đúng Đúng Đúng Đúng

Ví dụ 1.4 Mệnh đề " 5    4 5 4 2 ” là mệnh đề đúng

Mệnh đề “ 5    2 ( 5) 2  2 2 ” là mệnh đề sai

* Lưu ý: Định lý trong toán học là mệnh đề đúng có dạng P Q

Trong đó: P : gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q )

Q : gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P )

Nếu tổng bình phương độ dài hai cạnh của một tam giác bằng bình phương độ dài cạnh thứ ba, thì tam giác đó được xác định là tam giác vuông.

Nếu cả hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương Kí hiệu là P⇔Q

+ P là điều kiện cần và đủ để có Q

+ Q là điều kiện cần và đủ để có P

Ví dụ 1.6 Tam giác ABC cân có một góc bằng 60 0 là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều

Ví dụ 1.7 Tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng hai góc còn lại f) Ký hiệu  , 

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x  X

Khi đó khẳng định “ Với mọi x thuộc X, P(x) đúng” (hay “ P(x) đúng với mọi x thuộc X ”) (1) là một mệnh đề

Mệnh đề này đúng nếu với x0 bất kỳ thuộc X sao cho P(x0) là mệnh đề đúng Mệnh đề (1) được ký hiệu là "xX, P(x)" hoặc "xX: P(x)” Kí hiệu  đọc là “với mọi”

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x  X

Khi đó khẳng định “Tồn tại x thuộc X , P(x) đúng” (2) là một mệnh đề

Mệnh đề này đúng nếu có x0 thuộc X sao cho P(x0) là mệnh đề đúng Mệnh đề (2) được ký hiệu là "  xX, P(x)" hoặc "  xX: P(x)" Kí hiệu  đọc là “tồn tại”

Ví dụ 1.8 “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0 ” là một mệnh đề, ta viết: “ x R x: 2 0” hay “x 2   0, x R”

Ví dụ 1.9 Mệnh đề “Có một số nguyên nhỏ hơn 0”, ta viết:

“ x Z x: 0” g) Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ,

Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P x ( ) ”

Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P x ( )”

Ví dụ 1.10 Cho x là số nguyên dương

Q(x): “ x chia hết cho 3” Ta có :

 P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng;

 Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) là mệnh đề đúng

 “x N* , P(x)” đúng có phủ định là “x N* , P x ( )”có tính sai

1.1.2 Tập hợp a) Khái niệm tập hợp

Tập hợp (hay còn gọi l tập) là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa

Ta hiểu khái niệm tập hợp qua cách mô tả tập hợp

X là tập hợp các chữ cái của chữ ĐAI HOC HAI PHONG

Y là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7

Hai tập hợp X và Y được minh họa bằng Biểu đồ Ven, một đường cong khép kín do nhà toán học người Anh John Ven phát triển vào năm 1881.

Phần tử a của tâp hợp X được kí hiệu a  X , còn được gọi a thuộc tập hợp X

Phần tử b không của tập hợp X được kí hiệu b  X, còn được gọi b không thuộc tập hợp X

Trong lí thuyết tập hợp, người ta thừa nhận có tập hợp không chứa một phần tử nào cả, được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu 

Ví dụ 1.11 Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x 2  1 0là tập hợp rỗng b) Cách mô tả tập hợp

* Liệt kê các phần tử của tập hợp bằng cách viết các phần tử của chúng ở giữa dấu { }

Ví dụ 1.12 X = {0; 5; 10; 15} là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 17 và chia hết cho 5

Hình 1.1 Biểu đồ Ven minh họa tập hợp

Y = {1; 2} là tập hợp các nghiệm của phương trình x 2 3x 2 0

Z = {0; 1; 2; 3; 4;…; 99} là tập hợp 100 số tự nhiên đầu tiên

* Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp

Không phải tất cả các tập hợp đều có thể được liệt kê một cách rõ ràng theo thứ tự nhất định Ví dụ, tập hợp các số thực trong khoảng từ 1 đến 2 là một tập hợp không thể liệt kê được.

Các đối tượng trong tập hợp có thể được xác định thông qua các tính chất đặc trưng được mô tả trong dấu { } Những tính chất này giúp chúng ta nhận biết liệu một đối tượng cụ thể có thuộc về tập hợp đó hay không.

Ví dụ 1.13 A là tập hợp các số thực từ 1 đến 2 được mô tả:

Tập A được gọi là tập con của tập B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B và kí hiệu A  B

Cách gọi: A là tập con của tập B;

Tập A bị chứa trong tập B;

Tập B chứa tập A và còn được kí hiệu B  A

- Nếu A  B và B  C thì A  C (Tính bắc cầu);

- Với mọi tập A ta đều có: A  A;

- Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp:   A (A) d) Hai tập hợp bằng nhau

Cho hai tập hợp A và B Nếu A  B và B  A thì ta gọi hai tập A và B bằng nhau và kí hiệu A = B

Hình 1.2 Biểu đồ Ven minh họạ A  B

Hình 1.3 Biểu đồ Ven minh họa A = B

Ta có A=B e) Các phép toán trên tập hợp

- Giao của 2 tập hợp: A  B   x | x  A và x  B 

Hình 1.4 Biểu đồ Ven minh họa A  B

Hình 1.5 Biểu đồ Ven minh họa A  B

- Hiệu của 2 tập hợp: A \ B   x | x  A và x  B 

Nếu A  B thì B \ A gọi là phần bù của A trong B và kí hiệu

Hình 1.6 Biểu đồVen minh họa A \ B

Hình 1.7 Biểu đồ Ven minh họa C B A

Ví dụ 1.15 Cho 2 tập hợp: A  [ 1 ; 5 ); B  ( 4 ; 7 ]

NỘI DUNG MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

1.2.1 Vị trí, vai trò của nội dung mệnh đề tập hợp trong chương trình toán phổ thông

Trong chương trình Toán lớp 10, chuyên đề Mệnh đề - Tập hợp là nền tảng quan trọng cho việc phát triển các kỹ năng toán học Chuyên đề này bao gồm các khái niệm cơ bản như tập nghiệm của phương trình, điều kiện cần và đủ, và các phương pháp chứng minh như chứng minh bằng phản chứng Những kiến thức này là những viên gạch đầu tiên cho các phát biểu và chứng minh Toán học sau này.

Chuyên đề này sẽ xuất hiện thường xuyên trong chương trình học, không chỉ ở lớp 10 Học sinh cần nắm vững và hiểu rõ các khái niệm cơ bản để có thể hiểu sâu sắc các phát biểu và yêu cầu, từ đó tạo nền tảng cho việc trình bày đúng, đầy đủ và rõ ràng những gì được yêu cầu.

1.2.2 Yêu cầu cần đạt khi dạy học nội dung mệnh đề, tập hợp ở trường trung học phổ thông

Nội dung mệnh đề, tập hợp được dạy trong chương trình Toán lớp 10, với nội dung và yêu cầu cần đạt như sau [1]:

Bảng 1.1 Yêu cầu cần đạt nội dung Mệnh đề, tập hợp

Nội dung Yêu cầu cần đạt

Mệnh đề tương đương Điều kiện cần và đủ

Trong toán học, việc thiết lập và phát biểu các mệnh đề là rất quan trọng Điều này bao gồm mệnh đề phủ định, mệnh đề đảo và mệnh đề tương đương Ngoài ra, cần chú ý đến các mệnh đề có chứa ký hiệu ꓯ và ꓱ, cũng như các khái niệm về điều kiện cần, điều kiện đủ và điều kiện cần và đủ Những khái niệm này giúp làm rõ mối quan hệ giữa các mệnh đề và hỗ trợ trong việc chứng minh các định lý trong toán học.

- Xác định được tính đúng/sai của một mệnh đề toán học trong những trường hợp đơn giản

Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học, bao gồm các phép toán trên tập hợp, nhận biết các tập hợp con, và hiểu rõ về sự bằng nhau của hai tập hợp Ngoài ra, việc sử dụng các ký hiệu như ⸦, ⸧ và ỉ cũng rất quan trọng trong việc diễn đạt các mối quan hệ giữa các tập hợp Tập rỗng là một khái niệm đặc biệt cần được nắm vững trong quá trình học tập về tập hợp.

Có thể thực hiện các phép toán trên tập hợp như hợp, giao, hiệu của hai tập hợp và phần bù của một tập con Đồng thời, biết sử dụng biểu đồ Venn để biểu diễn các phép toán này trong những trường hợp cụ thể.

Giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến phép toán trên tập hợp, như bài toán đếm số phần tử trong hợp các tập hợp, là rất quan trọng Những ứng dụng này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về lý thuyết tập hợp mà còn hỗ trợ trong việc phân tích và xử lý dữ liệu hiệu quả Việc nắm vững các phép toán này sẽ giúp người học áp dụng vào các tình huống thực tế một cách linh hoạt.

HƯỚNG DẪN DẠY HỌC NỘI DUNG MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

1.3.1 Tổ chức dạy học trải nghiệm để tổng hợp và củng cố kiến thức

Hoạt động tổ chức dạy học trải nghiệm như trò chơi và sơ đồ tư duy giúp củng cố kiến thức qua việc giải bài tập và luyện tập Những hoạt động này phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, giải quyết vấn đề, sử dụng công cụ học toán và giao tiếp toán học cho học sinh Khi giáo viên áp dụng các hoạt động trải nghiệm một cách hợp lý, điều này không chỉ giúp học sinh giảm căng thẳng mà còn phát triển tư duy và năng lực học tập của họ.

1.3.1.1 Hoạt động thiết kế sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy, hay còn gọi là Mindmap, là công cụ hiệu quả giúp cải thiện khả năng ghi nhớ hình ảnh của não bộ Phương pháp này cho phép tổng hợp và phân tích thông tin thành dạng lược đồ phân nhánh, từ đó hệ thống hóa kiến thức một cách logic hơn Nhờ vào hình ảnh và hình vẽ, sơ đồ tư duy giúp ghi nhớ nhanh chóng và dễ hiểu hơn so với cách liệt kê thông thường Việc tạo ra “hình ảnh” thể hiện mối liên hệ giữa các kiến thức mang lại nhiều lợi ích, bao gồm cải thiện khả năng ghi nhớ, phát triển nhận thức, tư duy, óc tưởng tượng và khả năng sáng tạo.

Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tư duy cho một chủ đề kiến thức giúp củng cố kiến thức đã học, đồng thời phát triển tư duy hệ thống và toàn diện trong việc nhìn nhận và giải quyết vấn đề Phương pháp này rất hiệu quả trong các tiết sơ kết và tổng kết kiến thức, đặc biệt là trong phần “Mệnh đề - Tập hợp”.

Trong chủ đề “Mệnh đề - Tập hợp”, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm hiểu sơ đồ tư duy trước khi giảng dạy để giúp các em có định hướng học tập đúng đắn Ngoài ra, giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ tư duy sau khi hoàn thành kiến thức của chương, nhằm củng cố và hệ thống hóa thông tin hiệu quả.

Hình 1.8 Sơ đồ tư duy hệ thống kiến thức về mệnh đề

Hình 1.9 Sơ đồ tư duy hệ thống kiến thức về tập hợp

Thông qua hoạt động này, học sinh có khả năng phát triển tư duy và lập luận toán học, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề toán học, cũng như cải thiện khả năng sử dụng công cụ và phương tiện trong học toán.

1.3.1.2 Tổ chức trò chơi trong lớp học

Việc tích hợp trò chơi vào quá trình giảng dạy không chỉ tạo ra trải nghiệm thú vị mà còn giúp học sinh nâng cao sự hứng thú trong việc tiếp thu và ứng dụng kiến thức mới để giải quyết vấn đề Một số trò chơi hiệu quả có thể được áp dụng bao gồm Câu cá, Thạch Sanh bắn đại bàng, Rung chuông vàng và trò chơi Ong tìm mật.

Mục đích của trò chơi:

Tạo ra một không khí học tập sôi động và vui tươi giúp học sinh tích cực tham gia, tránh cảm giác nhàm chán Đồng thời, điều này cũng hình thành phẩm chất tương trợ và giúp đỡ lẫn nhau trong quá trình học tập, góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục.

+ Rèn kiến thức về tập hợp và các phép toán trên tập hợp cho HS

Ví dụ 1.16 Trò chơi “Ong tìm mật”

Hệ thống câu hỏi dưới đây được thiết kế trong phần mềm máy tính nhằm kiểm tra và củng cố kiến thức cho học sinh Mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn, và mỗi câu trả lời đúng sẽ giúp chú ong tìm được mật.

Hình 1.10 Trò chơi Ong tìm mật

Câu 1: Cho A   0;1; 2;3; 4 ,  B   2;3; 4;5;6  Tập hợp A B \ bằng:

Câu 2: Cho A   0;1; 2;3; 4 ,  B   2;3; 4;5;6  Tập hợp B A \ bằng:

Câu 3: Cho A    1;5 ; B   1;3;5  Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

Câu 4: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp

Câu 6: Cho hai tập A   x  R x  3  4  2 x , B   x  R 5 x  3  4 x  1  Tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là:

Câu 7: Cho số thực a  0.Điều kiện cần và đủ để   ;9     4 ;     

Câu 9: Cho A     ; 2  , B   3;   , C    0; 4 Khi đó tập  A  B   C là:

Câu 10: Cho A    x R x :   2 0  , B    x R : 5   x 0  Khi đó A  B là:

Ví dụ 1.17 Trò chơi “Vượt chướng ngại vật”:

Trong trò chơi “Vượt chướng ngại vật”, giáo viên chia lớp thành 4 đội, mỗi đội xếp thành hàng dọc với một chiếc hộp chứa đồ lộn xộn ở phía trên Từng thành viên sẽ lần lượt vượt qua 3 chướng ngại vật để đến chiếc hộp, tại mỗi chướng ngại vật có câu hỏi để trả lời Nếu trả lời đúng, họ sẽ tiếp tục, nếu sai thì phải quay lại Mỗi đội cử một thành viên kiểm tra câu trả lời Sau khi vượt qua 3 chướng ngại vật, người chơi sẽ lấy đồ vật theo yêu cầu từ ban tổ chức, như bút bi xanh hay lược, và đặt vào giỏ của đội mình Trò chơi kéo dài 10 phút, đội nào thu thập được nhiều đồ vật nhất sẽ chiến thắng, giúp rèn luyện kỹ năng làm việc nhóm và tư duy nhanh.

HS luyện tập về việc xác định số phần tử của tập hợp, liệt kê phần tử của tập hợp

Trò chơi “Lựa chọn trang phục” là một phương pháp hữu ích để củng cố phép toán tập hợp trong lớp học Giáo viên chia lớp thành ba đội với màu áo xanh, trắng, và vàng, sau đó yêu cầu học sinh xếp hàng theo một số tiêu chí nhất định Hoạt động này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về phép toán tập hợp mà còn tạo ra không khí vui tươi và gắn kết trong lớp.

- HS mặc áo xanh hoặc trắng

- HS mặc áo trắng quần đen …

Các trò chơi vận động ngoài lớp học không chỉ giúp học sinh củng cố và khắc sâu kiến thức mà còn tăng cường thể chất, sự năng động và rèn luyện các kỹ năng cần thiết khác.

GV giao nhiệm vụ cho học sinh tìm hiểu về lịch sử ra đời của chủ đề Mệnh đề - Tập hợp Học sinh sẽ tổ chức các trò chơi ngoài lớp học và kết hợp với các câu hỏi liên quan đến Mệnh đề - Tập hợp, cũng như giải quyết các bài toán thực tiễn áp dụng chủ đề này.

1.3.1.4 Câu lạc bộ Toán học

Câu lạc bộ có thể tổ chức các buổi nói chuyện chuyên đề về cách xây dựng toán học theo phương pháp tiên đề, khám phá lịch sử của tập hợp, cũng như ứng dụng của tập hợp trong toán học và các môn học khác.

Dạy học trải nghiệm, cả trong và ngoài lớp học, đều hướng đến việc hình thành và củng cố kiến thức về Mệnh đề - Tập hợp Phương pháp này giúp học sinh tiếp cận kiến thức mới và vận dụng chúng trong các tình huống thực tế Trong lớp học, không gian hạn chế và thời gian có giới hạn nhưng vẫn tạo ra tiết học thú vị và sinh động, giúp học sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng hơn Ngược lại, hoạt động ngoài lớp học với không gian và thời gian rộng rãi cho phép học sinh tham gia nhiều hoạt động mà không bị gò bó, từ đó nâng cao hiệu quả của dạy học trải nghiệm.

Thông qua hoạt động này, học sinh có thể nâng cao năng lực tư duy và lập luận toán học, cải thiện khả năng giải quyết vấn đề, phát triển kỹ năng giao tiếp trong toán học, cũng như sử dụng hiệu quả các công cụ và phương tiện học tập toán.

DẠY HỌC HỆ THỐNG SỐ

NỘI DUNG HỆ THỐNG SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

2.1.1 Triển khai nội dung hệ thống số qua các lớp ở trường phổ thông Ở trường phổ thông, hệ thống số được dạy theo phân bố chương trình như sau:

Chương trình lớp 1, 2, 3 : Số tự nhiên (N);

Lớp 4, 5: Số hữu tỉ không âm ( + );

Cuối cấp THCS chương trình hoàn chỉnh tập hợp số thực ( )

Lớp 10 có bài: Số gần đúng, Sai số

Lớp 11 có bài: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Trong chương trình lớp 12, sách giáo khoa 2006 giới thiệu khái niệm lũy thừa với số mũ thực và có bài học về số phức trong chương 4 Tuy nhiên, trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, nội dung liên quan đến số phức đã bị cắt bỏ để giảm tải chương trình học.

2.1.2 Yêu cầu cần đạt khi dạy học hệ thống số ở trường trung học phổ thông

Việc dạy học các hệ thống số ở nhà trường THPT nhằm đạt các mục đích sau đây [1]:

Bảng 2.1 Yêu cầu cần đạt nội dung hệ thống số ở trường THPT

Lớp Nội dung Yêu cầu cần đạt

– Hiểu được khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối

– Xác định được số gần đúng của một số với độ chính xác cho trước

– Xác định được sai số tương đối của số gần đúng

– Xác định được số quy tròn của số gần đúng với độ chính xác cho trước

– Biết sử dụng máy tính cầm tay để tính toán với các số gần đúng

11 Dãy số Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn là hai khái niệm quan trọng trong toán học Để thể hiện một dãy số, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như liệt kê các số hạng cụ thể, áp dụng công thức tổng quát, sử dụng hệ thức truy hồi hoặc mô tả dãy số một cách tổng quát Những cách tiếp cận này giúp người học dễ dàng nhận diện và làm việc với các dãy số trong các bài toán khác nhau.

– Nhận biết được tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong những trường hợp đơn giản

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

– Nhận biết được một dãy số là cấp số cộng

– Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng

– Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến cấp số cộng giúp chúng ta áp dụng kiến thức vào nhiều lĩnh vực, như Sinh học và Giáo dục dân số Việc này không chỉ nâng cao khả năng giải quyết bài toán mà còn tạo ra những giải pháp thực tiễn hữu ích cho các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

– Nhận biết được một dãy số là cấp số nhân

– Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân

– Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Cấp số nhân đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn, đặc biệt là trong lĩnh vực Sinh học và Giáo dục dân số Việc áp dụng cấp số nhân giúp phân tích và mô hình hóa sự phát triển của quần thể sinh vật, đồng thời cung cấp những giải pháp hiệu quả cho các bài toán liên quan đến sự gia tăng dân số và quản lý tài nguyên.

HƯỚNG DẪN DẠY HỌC HỆ THỐNG SỐ

2.2.1 Sự cần thiết mở rộng tập hợp số

Mỗi lần mở rộng khái niệm về số, cần giúp học sinh nhận thấy tầm quan trọng của sự mở rộng này, nhằm kích thích động cơ học tập Việc khơi dậy động cơ học tập cho một chủ đề có thể thực hiện qua nhiều phương pháp khác nhau.

- Xuất phát từ đời sống;

- Xuất phát từ nội bộ toán học, hoặc phối hợp cả hai cách

2.2.1.1 Xuất phát từ nhu cầu của đời sống

Trong hầu hết các trường hợp, việc xây dựng hoặc mở rộng hệ thống số thường xuất phát từ nhu cầu thực tiễn trong cuộc sống, ngoại trừ trường hợp số phức Điều này tạo cơ hội cho học sinh hiểu rõ hơn về quan điểm duy vật về nguồn gốc của các số, đồng thời giúp họ nhận thức được những nhu cầu thực tế đã thúc đẩy sự phát triển của các hệ thống số.

Số tự nhiên ra đời do nhu cầu của việc đếm đồ vật;

Số biểu diễn bởi phân số phát sinh từ nhu cầu đo đạc và chia các vật thành nhiều phần bằng nhau, đặc biệt trong những trường hợp không có số tự nhiên làm đơn vị đo.

Hệ thống số hữu tỉ được hình thành do nhu cầu đo những đại lượng có thể xét theo hai chiều ngược nhau;

Hệ thống số thực ra đời nhằm đáp ứng nhu cầu đo lường các đoạn thẳng, đảm bảo rằng mỗi đoạn thẳng, kể cả những đoạn không thể đo bằng số hữu tỉ, đều có một giá trị số tương ứng.

2.2.1.2 Xuất phát từ nhu cầu trong nội bộ toán học

Việc mở rộng hệ thống số thường được thực hiện để đáp ứng nhu cầu trong nội bộ toán học, nhằm cho phép thực hiện đầy đủ các phép toán hoặc đảm bảo rằng một dạng phương trình nào đó luôn có nghiệm trong hệ thống số mới Có hai phương pháp chính được sử dụng để gợi ra nhu cầu mở rộng tập hợp số.

Cách 1: Xuất phát từ nhu cầu tìm nghiệm của phương trình;

Cách 2: Xuất phát từ cách giải phương trình

Chẳng hạn tập hợp số nguyên được xây dựng để cho các phương trình dạng a  x  b luôn luôn có nghiệm (khi a, b  )

Phương trình ax = b (với a, b thuộc tập số thực và a ≠ 0) sẽ không có nghiệm trong tập số nguyên Do đó, cần mở rộng tập hợp số nguyên thành tập hợp số hữu tỉ để tìm ra nghiệm cho phương trình này.

Khi xem xét tập hợp số hữu tỉ, một câu hỏi thú vị nảy sinh: "Cạnh của hình vuông có diện tích bằng 2 là bao nhiêu?" Rõ ràng, cạnh của hình vuông này tồn tại nhưng không phải là một số hữu tỉ, mà là một số vô tỉ Do đó, cần mở rộng tập hợp số hữu tỉ thành tập hợp số thực để giải quyết vấn đề này.

Trong tập hợp số thực, phương trình x² + 1 = 0 không có nghiệm Để phương trình này có nghiệm, cần mở rộng từ tập hợp số thực sang tập hợp số phức.

Sau khi nghiên cứu số phức, người ta nhận thấy không cần mở rộng tập hợp số phức thêm nữa Định lý cơ bản của Đại số khẳng định rằng phương trình bậc n với hệ số phức luôn có n nghiệm phức, không cần phân biệt Kết quả này chứng minh rằng số phức đã đủ để giải quyết các phương trình bậc n.

Nhu cầu nội bộ trong toán học đối với việc xây dựng hệ thống số phức là một chủ đề thú vị, không chỉ đơn thuần là để tìm căn bậc hai của mọi số, bao gồm cả số âm, nhằm đảm bảo rằng mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm Để hiểu rõ giá trị của căn bậc hai của số âm và các nghiệm của phương trình bậc hai với biệt số âm, cần phải xem xét các yếu tố lịch sử trong giảng dạy môn Toán Trong lịch sử, việc giải phương trình bậc ba, như x³ + 2x² + 2x = 0, đã dẫn đến việc phát hiện ra ba nghiệm -1+i, -1-i và 0, đồng thời chỉ ra tầm quan trọng của phương trình bậc hai trung gian trong quá trình này.

Phương trình bậc ba với biệt số âm gây khó khăn trong việc giải quyết, dẫn đến mâu thuẫn giữa lý thuyết và thực tế, khi mà phương trình này vẫn có nghiệm Việc chấp nhận các số có bình phương bằng -1 một cách hình thức cho phép biểu thị nghiệm của phương trình bậc hai trung gian, từ đó giúp giải được phương trình bậc ba và tìm ra ba nghiệm đúng Thực trạng này đã thúc đẩy việc mở rộng tập hợp số thực để bao gồm cả những số có bình phương âm, dẫn đến sự ra đời của tập hợp số phức.

Việc mở rộng hệ thống số hữu tỉ sang hệ thống số thực cần được xem xét từ cả nhu cầu nội bộ của toán học và nhu cầu thực tiễn Có thể phân tích vấn đề này qua ba khả năng khác nhau.

- Hoàn thiện một phép toán,

- Lấp các lỗ hổng trên trục số,

Số đo của mọi đoạn thẳng là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là đối với học sinh phổ thông Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về toán học, chúng ta cần liên kết các khái niệm toán học với nhu cầu thực tiễn trong cuộc sống Ví dụ, tập hợp số nguyên được phát triển nhằm đảm bảo phép trừ luôn có thể thực hiện được, từ đó phản ánh nhu cầu thực tế trong các tình huống hàng ngày.

Để giải thích về số biểu diễn bởi phân số, cần hiểu rằng điều này xuất phát từ nhu cầu thực hiện phép chia hai số tự nhiên a : b với b ≠ 0, cũng như để đảm bảo mọi phương trình dạng ax + b = 0 (với a, b là số tự nhiên và a ≠ 0) đều có nghiệm Nhu cầu toán học này phản ánh thực tế cần biểu thị kết quả đo đạc khi đại lượng không phải là bội số nguyên của đơn vị đo, hoặc trong các tình huống chia không đồng đều, như chia 7 quả cam cho 5 trẻ em hay 10 mét vải cho 3 người Do đó, để có thể giải quyết những bài toán này, tập hợp số tự nhiên đã được mở rộng thành tập hợp số hữu tỉ không âm.

Để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề của học sinh, cần đặt họ trước những tình huống thực tiễn có mâu thuẫn, như việc thực hiện phép chia 7 : 3 hay 10 : 3 trong phạm vi số tự nhiên, cũng như giải các phương trình như 5x = 7 và 10.

DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

3.1.1 Nghiên cứu khái niệm phương trình, bất phương trình

3.1.1.1.Phân tích một số định nghĩa phương trình ứng với bậc học phổ thông

Trong những sách báo, tài liệu toán học ứng với bậc học phổ thông, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về phương trình, chẳng hạn

-“Phương trình có một ẩn số là một đẳng thức trong đó có một số chưa biết biểu thị bằng một chữ” (Đại số, lớp 7, 1968) (1)

Một phương trình là một đẳng thức có chứa một hoặc nhiều ẩn số mà chúng ta cần tìm giá trị Ẩn số là ký hiệu đại diện cho giá trị chưa biết trong phương trình.

-“Phương trình là đẳng thức có chứa chữ và chỉ đúng với một số giá trị của các chữ” (sách toán quân đội nhân dân Việt nam, 1960) (3a)

Phương trình là hai biểu thức chứa biến số được kết nối bởi dấu "="; nhiệm vụ của chúng ta là tìm giá trị của biến số sao cho hai biểu thức này bằng nhau.

“Đẳng thức f(x) = g(x) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức theo x, được gọi là phương trình một ẩn số, x được gọi là ẩn số “ [3] (3c)

“Xem các đẳng thức (có thể đúng hoặc sai) sau đây :

Các đẳng thức chứa một hoặc nhiều biến như x, y, z, và khi cần tìm giá trị cho các biến này để đẳng thức trở thành đúng, ta có một phương trình Mỗi biến trong phương trình được gọi là một ẩn số Để hiểu rõ khái niệm phương trình, không chỉ dựa vào định nghĩa mà còn cần xem xét cách hiểu về đẳng thức mà khái niệm này được xây dựng.

Cách hiểu thứ nhất: Đẳng thức là hai biểu thức đồng nhất được nối với nhau bởi dấu “=”

Đẳng thức là mối quan hệ giữa hai đại lượng hoặc hai biểu thức, khẳng định rằng chúng bằng nhau, tức là có cùng giá trị và biểu diễn cùng một đối tượng toán học.

Đẳng thức là một hệ thống gồm hai số hoặc hai biểu thức đại số được liên kết bởi dấu "=" Định nghĩa này cho thấy rằng khái niệm phương trình chỉ đề cập đến những đẳng thức cụ thể, ví dụ như (x−2)(x+2) = x² − 4.

Phương trình là một đẳng thức có chứa biến, ví dụ như 3x - x = 0 Ngược lại, x + 2 = 5 không phải là phương trình vì x + 2 và 5 không phải là hai biểu thức đồng nhất Tuy nhiên, ý của sách giáo khoa lớp 7 không phải là để nhấn mạnh điều này.

Trong thực tế, sách coi x + 2 = 5 và x + 2 = x + 3 là phương trình, nhưng điều này mâu thuẫn với định nghĩa phương trình mà sách đưa ra Định nghĩa này dựa trên cách hiểu thứ hai về đẳng thức.

Từ đó, có thể kết luận rằng x + 2 = x + 3 không phải là một phương trình, vì nó không phải là một đẳng thức Do đó, không thể coi đây là phương trình vô nghiệm Việc đưa ra khái niệm về phương trình vô nghiệm trong trường hợp này là mâu thuẫn với định nghĩa đã nêu.

Các định nghĩa (3a), (3b), (3c), (3d) dựa trên cách hiểu thứ ba về đẳng thức, xem xét cả những "đẳng thức đúng" và "đẳng thức sai" Cách hiểu này mở rộng khái niệm phương trình, cho phép bao gồm các đối tượng như x + 2 = 59 mà không yêu cầu hai vế phải là hai biểu thức đồng nhất.

Tuy nhiên, trong định nghĩa (3a), cụm từ “chỉ đúng với một số giá trị của các chữ” đã làm hạn chế khái niệm phương trình, dẫn đến nhiều vấn đề phức tạp có thể phát sinh.

Khi gặp một đẳng thức chữ, chúng ta không thể xác định liệu nó có phải là một phương trình hay không nếu chưa có thông tin về nghiệm của nó.

“ nghiệm” vì trong sách chỉ định nghĩa nghiệm của phương trình chứ không định nghĩa nghiệm của phương trình chữ nói chung)

Khi làm việc với phương trình có tham biến, cần thiết phải xác định các điều kiện để đảm bảo tính đúng đắn của nó Chẳng hạn, đối với phương trình ax + b = 0, điều kiện a ≠ 0 là bắt buộc để phương trình này có nghĩa.

Như vậy, định nghĩa (3a) không thể chấp nhận được Còn các định nghĩa (3b), (3c), (3d) là đúng đắn về mặt lôgic

Các định nghĩa hiện tại về phương trình chưa đầy đủ, vì còn tồn tại các phương trình thể hiện mối quan hệ giữa nhiều đại lượng, như s = vt trong vật lý, và các phương trình mô tả hình dạng đường, chẳng hạn như 2x² + y = 0, trong đó mục tiêu không phải là tìm kiếm số chưa biết.

Trong sách giáo khoa Toán 8 bộ Kết nối tri thức, tác giả Hà Huy Khoái và các đồng tác giả Cung Thế Anh, Nguyễn Huy Đoan đã đưa ra định nghĩa về phương trình.

Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức cùng biến x Định nghĩa này chính xác và phù hợp với trình độ học sinh.

3.1.1.2 Định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề

Dưới góc nhìn của người thầy giáo, ta có thể định nghĩa phương trình dựa vào hàm mệnh đề (hay mệnh đề chứa biến)

DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC

3.2.1 Hệ thống kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức

3.2.1.1 Quan hệ thứ tự trong

Trong tập hợp các số thực có quan hệ thứ tự, tức là :

Với mỗi cặp số thực a, b bất kì , luôn xảy ra một và chỉ một trong ba khả năng:

- Hoặc a lớn hơn b, ký hiệu a > b

- Hoặc a nhỏ hơn b, ký hiệu a < b

3.2.1.2 Định nghĩa bất đẳng thức

Giả sử A, B là hai biểu thức (trường hợp đặc biệt A, B có thể là hai số) Mệnh đề “A lớn hơn B”, ký hiệu A > B được gọi là một bất đẳng thức

A, B gọi là các vế của bất đẳng thức ấy Người ta cũng viết bất đẳng thức dưới dạng B < A, đó là mệnh đề “B nhỏ hơn A” tương đương với mệnh đề trên Như bất cứ một mệnh đề toán học nào, bất đẳng thức A>B có thể đúng hoặc sai

3.2.1.3 Bất đẳng thức suy rộng

Khi so sánh hai biểu thức A và B, nhiều khi chưa thể kết luận dứt khoát:

A bằng B, A lớn hơn B, A nhỏ hơn B, mà chỉ có thể đưa ra một kết luận mềm dẻo hơn Chẳng hạn: A lớn hơn hoặc bằng B

Do vậy, người ta sử dụng mệnh đề sau đây dưới dạng ký hiệu:

Các mệnh đề trên cũng được gọi là bất đẳng thức, rõ hơn: bất đẳng thức suy rộng, để phân biệt với các bất đẳng thức nghiêm ngặt dạng A>B, A0) thì luôn có thể đặt xost, khi đó y=asint với

- Hoặc x=asint, khi đó yost với

Để tiếp cận bài toán từ góc độ hình học, học sinh cần nắm vững các biểu thức, công thức và đẳng thức cơ bản Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa tập xác định của các số và độ đo các đại lượng hình học là rất quan trọng.

- Mỗi số dương a luôn tồn tại đoạn thẳng AB có độ dài bằng a

- Ba số dương a, b, c thỏa mãn: tổng hai số bất kì lớn hơn số thứ ba luôn tồn tại một tam giác nhận a, b, c là độ dài các cạnh

- Với ba số dương bất kì x, y, z thì x+y, y+z, z+x là độ dài ba cạnh tam giác

- Chuyển bài toán bất đẳng thức hình học, tam giác với ba cạnh a, b, c về bất đẳng thức với ba số dương bằng cách đặt x = b+c-a, y=c+a-b, z =a+b-c

- Nếu x 2 + y 2 = a 2 và x, y, a > 0 thì tồn tại tam giác vuông sao cho a là độ dài cạnh huyền còn x, y là độ dài các cạnh góc vuông

Ba số dương x, y, z có tổng bằng a luôn có thể tạo thành một tam giác đều ABC với cạnh Đồng thời, tồn tại một điểm M nằm trong tam giác sao cho khoảng cách từ M đến ba cạnh lần lượt là x, y, z.

Để hiểu rõ về bất đẳng thức đại số, người học cần nắm vững các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, đồng thời tìm hiểu các bất đẳng thức cổ điển, bất đẳng thức bình phương và bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối.

- Với phương diện hàm, cần hiểu biết những định hướng cơ bản ứng dụng hàm chứng minh bất đẳng thức

- Với phương pháp véc tơ và tọa độ, cần nắm vững bất đẳng thức về mô đun véc tơ

- Với phương pháp tam thức bậc hai, cần nắm vững điều kiện có nghiệm và định lý về dấu tam thức bậc hai

- Với phương pháp biến đổi tương đương, cần nắm vững tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các bất đẳng thức thuộc các phương diện trên

- Phương diện đổi biến số đại số, đổi biến, cần chú ý:

+ Nếu ba số dương a, b, c có tích bằng 1 thì tồn tại các số dương x, y, z thoả mãn

+ Nếu các số dương a1, a2, …, an có tích bằng 1 thì luôn tồn tại các số dương x1, x2,…, xn thỏa mãn a1 =

+ Nếu các số dương a, b, c có tổng bằng 1 thì tồn tại các số dương x, y, z thoả mãn

+ Nếu các số dương a1, a2, …,an có tổng bằng 1 thì luôn tồn tại các số dương x1,x2,…,xn thỏa mãn

Ví dụ 3.23 “Chứng minh rằng: a 2  ab b  2  a 2  ac c  2  b 2  bc c  2 với mọi a, b, c.”

Chứng minh bất đẳng thức có thể trở nên phức tạp khi sử dụng phương pháp biến đổi đại số Tuy nhiên, nếu tiếp cận bài toán từ góc độ véctơ và tọa độ, cùng với việc áp dụng bất đẳng thức tam giác, quá trình giải sẽ trở nên đơn giản hơn.

Khi đó: AB  a 2 abb 2 AC  a 2 acc 2 BC  b 2 bcc 2 Áp dụng bất đẳng thức tam giác có: AB+AC≥BC, từ đó rút ra

2 2 2 2 2 2 a ab b  a ac c  b bc c (điều phải chứng minh)

3.2.3.2 Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức

Để rèn luyện các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cho học sinh, có thể xây dựng hệ thống bài toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, dựa trên số lượng biến, sự phức tạp của đối tượng, mức độ tường minh và sự phối hợp của các hoạt động.

Chẳng hạn, một hệ thống bài toán có phân bậc nhằm rèn luyện cho HS vận dụng Bất đẳng thức Cô – si, như sau:

Ví dụ 3.24 Chứng minh các bất đẳng thức: a) , với mọi a, b dương b) , với mọi a, b, c dương c) , với mọi a, b, c, d, e dương d) Cho x, y, z >0, xyz = 1 Chứng minh rằng:

Mức độ vận dụng ở các bài toán trên khó dần:

+ Bài (a): Chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô –si cho hai số; + Bài (b): Phải ghép đôi;

+ Bài (d): Vừa áp dụng Cô – si cho ba số trong căn thức, vừa áp dụng cho ba số hạng ở vế trái;

+ Bài (e): Đòi hỏi phải vận dụng sáng tạo hơn;

3.2.3.3 Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua dạy học chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một công cụ hữu ích trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua các hoạt động như phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hóa và khái quát hóa Học sinh không chỉ học được cách giải quyết vấn đề mà còn quan trọng hơn là cách tư duy để tìm ra giải pháp Việc áp dụng mô hình đàm thoại trong dạy học bất đẳng thức có thể giúp nâng cao hiệu quả giảng dạy và khuyến khích sự tham gia của học sinh.

- Mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán được xác định bởi biểu thức nào ?

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm số lượng giác như thế nào ?

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?

Ví dụ 3.25 Cho x 2 + y 2 =1, chứng minh rằng:

- Mối liên hệ giữa các đại lượng x, y được xác định bởi biểu thức nào ?

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm số lượng giác như thế nào ? Đặt

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?

Ví dụ 3.26 Cho a 2 + b 2 = 1, chứng minh bất đẳng thức:

- Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b được xác định như thế nào ? a 2 + b 2 =1

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm số lượng giác như thế nào ? Đặt

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?

Áp dụng bất đẳng thức , ta có:

Ví dụ 3.27 Cho (a2) 2 (b1) 2 5, chứng minh: 2ab10

- Mối liên hệ giữa các đại lượng a2 và b1 được xác định như thế nào ?

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm số lượng giác như thế nào ? Đặt

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào? Áp dụng bất đẳng thức

Nhận xét : Áp dụng bất đẳng thức A.sin B.cos  A 2  B 2 ta có kết quả 0

Ví dụ 3.28 Cho a, b 0 thỏa mãn a +b =2, chứng minh: a 4 + b 4 a 3 +b 3

- Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b được xác định như thế nào ? a + b = 2, a, b 0

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm số lượng giác như thế nào ? Đặt a ,os 2 , b=2sin 2 

- Bất đẳng thức cần chứng minh đựơc chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?

2(cos 8  + sin 8 ) - (cos 6  + sin 6 )  0 cos 6 (2cos 2 -1) - sin 6  (1-2sin 2 )  0 cos2.(cos 6  - sin 6 )  0 cos2(cos 2  - sin 2 ).(cos 4  +cos 2 .sin 2  +sin 4 )  0 cos 2 2.(sin 4  +sin 2 .cos 2  +cos 4 )  0

Nhận xét: Ta có thể tổng quát a n+1 + b n+1 a n +b n

Bất đẳng thức 2(cos 2n+2 α + sin 2n+2 α) - (cos 2n α + sin 2n α) ≥ 0 cho thấy mối liên hệ giữa các hàm lượng giác Từ đó, ta có cos 2n α(2cos 2 α - 1) - sin 2n α(1 - 2sin 2 α) ≥ 0, điều này chỉ ra rằng sự khác biệt giữa các hàm cos và sin có thể được kiểm soát Hơn nữa, bất đẳng thức cos²α.(cos 2n α - sin 2n α) ≥ 0 khẳng định rằng giá trị này luôn không âm Cuối cùng, bất đẳng thức cos²α.(cos 2 α - sin 2 α)(cos 2n² α + cos 2n⁴ αsin 2 α + + cos 2 αsin 2n-4 α + sin 2n-2 α) ≥ 0 luôn đúng, chứng minh rằng các điều kiện này là cần thiết và đủ để khẳng định tính đúng đắn của bất đẳng thức.

Ví dụ 3.29 a) Cho a, b, c dương và , Chứng minh rằng:

b) Cho a, b, c dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Có thể gợi ý cho HS suy nghĩ, tìm lời giải cho hai bài toán trên như sau:

- Những dấu hiệu nào gợi cho ta nghĩ đến bất đẳng thức Cô – si (hoạt động phân tích, so sánh)?

- Vận dụng bất đẳng thức Cô – si cho những số nào, vì sao (sáng tạo, đặc biệt hóa khi dấu bằng xảy ra)?

- Áp dụng cách chứng minh ở câu (a) cho câu (b) có được không (linh hoạt, tương tự, đảo ngược)?

3.2.3.4 Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh một bất đẳng thức bằng cách nhìn bài toán theo nhiều bình diện khác nhau

Các bài trong nội dung này có sự tổng hợp nhìn bài toán theo nhiều phương diện khác nhau

Ví dụ 3.30 Chứng minh: x a  y 2  y a  x 2   a ; x y ,   0; a  với a là hằng số dương

Cách 1: Đưa về bất đẳng thức lượng giác

- Mối liên hệ giữa các đại lượng x và a  x 2 , giữa y và a  y 2 được xác định như thế nào?

- Với liên hệ này thì các đại lượng được biểu diễn như thế nào qua các hàm số lượng giác ? x= a.cos , a-x 2  a.sin ; y= a.sin , a-y 2  a.cos

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này được chứng minh như thế nào? cos cos  sin sin    1 c os(  ) 1  , bất đẳng thức đúng

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki

- Hãy viết lại bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho hai bộ 2 số:

- Mối liên hệ giữa các đại lượng x và a  x 2 , giữa y và a  y 2 được xác định như thế nào?

Các cặp số ( x , ax 2 ), (y, ay 2 ) đều có tổng bình phương không phụ thuộc vào các biến số

Trong quá trình đánh giá đẳng thức, cần áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho các bộ số nào? Cụ thể, hãy sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho hai bộ số (x, a - x^2).

Bình luận : Ta vẫn dùng các cặp số ( x , a  x 2 ), (y, a  y 2 ) đều có tổng bình phương bằng vế phải nhưng khi thay đổi để được kết quả mới

Cách 3: Dùng bất đẳng thức Cô-si

- Hãy viết lại bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương

- Các số dương x, y có thể coi là căn bậc hai của những số dương nào?

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương thì vế trái được đánh giá như thế nào ? x a a y y a x x a y y a x          

Cách 4: Sử dụng bất đẳng thức giữa đường vuông góc và đường xiên trong hình học

- Mối liên hệ giữa x và a  x 2 được xác định như thế nào?

- Có thể dựng được không một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng x và a  x 2 ?

OA = x, OB = a  x 2  AB  OA 2  OB 2  a

- Mối liên hệ giữa y và a  y 2 được xác định như thế nào?

- Có thể dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông để biểu diễn vế trái qua các đại lượng hình học được không ?

2 y a x a OA AOt a OB BOt a BK AH y a x         

- Dùng bất đẳng thức hình học có thể so sánh biểu thức trên với a được không ? a a a AB a AH

Cách 5: Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn

- Mối liên hệ giữa x và a  x 2 được xác định như thế nào?

- Có thể dựng được không một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng x và a  x 2 ?

MA = x, MB = a  x 2  AB  MA 2  MB 2  a

- Mối liên hệ giữa y và a  y 2 được xác định như thế nào?

- Có thể dựng được hay không một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng y và a  y 2 , cạnh huyền là AB? y a-x 2 a-y 2 x

- Vế trái có thể biểu diễn qua các đại lượng hình học như thế nào?

AB MN MB NA NB MA x a y y a x  2   2    (Đẳng thức Ptôlêmê)

- Có thể dùng bất đẳng thức hình học để so sánh biểu thức trên với a được không? a AB AB MN AB

Cách 6 : Dùng véc tơ và tọa độ

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai véc tơ u ( x 1 , y 1 ); v ( x 2 , y 2 )

- Biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai véc tơ trên được xác định như thế nào ?

- Để vế trái của bất đẳng thức là biểu thức toạ độ của một tích vô hướng, cần chọn véc tơ như thế nào?

- Độ dài các véc tơ được xác định như thế nào ?

- Chứng minh bất đẳng thức đã cho bằng tích vô hướng như thế nào ?

Chọn trường hợp 2 ta có điều phải chứng minh

Bình luận : Ngoài 6 cách trên, ta có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai hoặc biến đổi tương đương để giải bài toán này

Ví dụ 3.31 Cho x 2 +y 2 =a 2 , z 2 +t 2 =b 2 với a, b >0 Chứng minh: a)  2 ab  ( x  y )( z  t )  ( x  y )( z  t )  2 ab b)  2 ab  ( x  y )( z  t )  ( x  y )( z  t )  2 ab

Cách 1: Chuyển về bất đẳng thức lượng giác

- Mối liên hệ giữa x và y, giữa z và t được xác định như thế nào? x 2 +y 2 =a 2 , z 2 +t 2 =b 2

- Với liên hệ này thì các số đó được biểu diễn qua các hàm lượng giác như thế nào? x = a.cos, y = a.sin, u = z.cos  , t = b.sin 

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào ?

-2ab ab[(cos - sin)(cos +sin )+(cos+sin)(cos -sin )]2ab -2abab[(cos+sin)(cos +sin ) - (cos - sin)(cos -sin )]2ab

- Bất đẳng thức lượng giác được chứng minh như thế nào ? a) -2ab  2ab(cos.cos - sin.sin )  2ab,

-1cos(+ )1 (đpcm) b) -2ab  2ab(sin.cos + sin cos) 2ab

-1sin(+ )1 (điều phải chứng minh)

Cách 2 : Sử dụng véc tơ

Ta chứng minh 2 ab ( x  y )( z  t )( x  y )( z  t )2 ab , bất đẳng thức còn lại chứng minh tương tự

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai véc tơ u(x 1 ,y 1 );v(x 2 ,y 2 )

- Hãy viết lại biểu thức toạ độ tích vô hướng của hai véc tơ trên

- Để vế trái của bất đẳng thức là biểu thức toạ độ của một tích vô hướng cần chọn véc tơ như thế nào ?

- Độ dài các véc tơ được xác định như thế nào ?

- Chứng minh bất đẳng thức đã cho bằng tích vô hướng như thế nào ?

Chọn trường hợp 1 ta có điều phải chứng minh

Cách 3: Sử dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki

- Hãy viết lại bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho hai bộ 2 số

- Mối liên hệ giữa bình phương x-y và x+y, giữa bình phương của z+t và z-t được xác định như thế nào?

- Như vậy các cặp số ( x-y x+y), (z+t,z-t) đều có tổng bình phương không phụ thuộc vào các biến số

Trong quá trình đánh giá có đẳng thức, cần áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho các cặp số (x-y, x+y) và (z+t, z-t) Việc sử dụng bất đẳng thức này giúp xác định các mối quan hệ giữa các cặp số một cách chính xác.

Ví dụ 3.32 Cho a, b, c >0; a, b>c Chứng minh: c a c (   ) c b c (   ) ab

Cách 1: Dùng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki

- Hãy viết lại bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho hai bộ 2 số

- Mối liên hệ giữa bình phương của c và a  c , giữa bình phương của c và b  c được xác định như thế nào?

- Như vậy các cặp số ( c , a  c ) và ( c , b  c ) đều có tổng bình phương không phụ thuộc vào các biến số c

Để đánh giá đẳng thức, cần áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki cho các cặp số cụ thể Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức này cho hai bộ số (b - c, c) để thực hiện quá trình đánh giá một cách chính xác.

Cách 2: Chuyển về bất đẳng thức lượng giác

- Hãy xác định mối liên hệ giữa bình phương của c và b  c , giữa bình phương của c và a  c ?

- Với liên hệ này thì các đại lượng được biểu diễn như thế nào qua các hàm lượng giác ?

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào ? ab b a a bcos sin  cos .sin 

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác như thế nào? ab ab abcos.sin cos sin  

 sin(+  )  1 (điều phải chứng minh)

Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức diện tích trong trong hình học c H c b b a a

2AC BD =SABCD = 2SBCD  BC CD  ab

Ví dụ 3.33 Cho x    1;1  Chứng minh  1  x   n   1 x  n  2 , n n  N *

- Với điều kiện x    1;1  thì đại lượng đó được biểu diễn qua hàm số lượng giác như thế nào? x =cos hoặc x =sin

- Để biểu diễn vế trái bằng hàm số lượng giác đơn giản, cần chọn hàm lượng giác nào ? Đặt x = cos sin 2

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển bất đẳng thức lượng giác nào? n n n

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác như thế nào ?

Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp theo quy trình đã có ta dễ dàng chứng minh

3.2.3.5 Hệ thống những cách chứng minh bất đẳng thức

Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức, nhưng trong bài viết này, chúng ta sẽ chỉ tập trung vào một số phương pháp phổ biến nhất.

Cách 1: Biến đổi tương đương

Ví dụ 3.34 Chứng minh rằng: ( ab  cd ) 2  ( a 2  c 2 )( b 2  d 2 ) với mọi a, b, c, d

Hướng dẫn giải: bất đẳng thức  2 abcd  a 2 d 2  c 2 b 2  0  ( ab  cd ) 2 (luôn đúng)

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức đã biết (Cô- si, Bu-nhi-a-cốp-xki, )

Ví dụ: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc=1 Chứng minh bất đẳng thức c b b a c a b c a     

- Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b, c được xác định như thế nào ? abc = 1

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua ba biến trung gian như thế nào?

Tồn tại các số dương x, y, z thoả mãn x c z z b y y a  x ;  ; 

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức nào với biến số trung gian ?

Ta cần chứng minh x z z y y x xy z zx y yz x 2  2  2   

- Chứng minh bất đẳng thức với biến số trung gian này như thế nào?

Bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức: y z x y z x z y x 3  3  3  2  2  2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương: z x z x x 3  3  3 3 2 ; y 3  y 3  x 3 3y 2 z ; z 3  z 3  y 3 3z 2 y

Cộng các vế tương ứng ta có:

Cách 3: Phương pháp quy nạp toán học

Ví dụ 3.35 Cho 0     a i 1, i 1, n Chứng minh  n  N *

Hướng dẫn cách giải: n = 1: Bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k >1, k  N *), tức là: k k k a a a a a a ).( 1 ) ( 1 ) ( 1 ).( 1 ) ( 1 ) 2

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k+1, tức là:

Cách 4: Phương pháp phản chứng

Ví dụ 3.36 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây a 2  b 2  2 ; bc b 2  c 2  2 ca c 2  a 2  2 ab là đúng:

DẠY HỌC HÀM SỐ

NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM HÀM

4.1.1 Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử toán

Từ 1000 năm trước công nguyên, người Babilon đã lập bảng tỷ số thực nghiệm trong thiên văn, cho thấy họ đã có khái niệm sơ khai về hàm số Tuy nhiên, khái niệm này chỉ được hình thành rõ ràng và có hệ thống trong toán học vào đầu thế kỷ XVI, nhờ vào các công trình của Phermat và Descartes.

Vào giữa thế kỷ XVII, nhu cầu về định nghĩa tổng quát hàm số xuất hiện khi nghiên cứu sự dao động của sợi dây Leibniz là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ "hàm số" (function) vào khoảng năm 1694 Trong thế kỷ XVII, khái niệm hàm số chủ yếu liên quan đến việc biểu diễn hình học của nó thông qua các đường.

Thế kỉ XVII đánh dấu sự chuyển biến trong việc biểu diễn hàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích Johann Bernoulli năm 1718 đã định nghĩa hàm số là biểu thức giải tích gồm biến lượng và các đại lượng không đổi Năm 1748, D’Alembert cũng đưa ra định nghĩa tương tự về hàm số Trong thế kỉ XVIII, biểu thức giải tích trở thành yếu tố cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số, bên cạnh đó, những định nghĩa tổng quát hơn cũng xuất hiện, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc Euler năm 1755 đã định nghĩa rằng khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác, sự thay đổi của các đại lượng này sẽ kéo theo sự thay đổi của đại lượng phụ thuộc, và đại lượng đó được gọi là hàm số.

Trong thế kỉ XIX, sự phát triển của giải tích toán học đã dẫn đến việc mở rộng khái niệm hàm số, dựa trên sự tương ứng giữa các giá trị của hai đại lượng Năm 1837, Dirichler định nghĩa rằng “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x, có một giá trị xác định của y” Định nghĩa này được chấp nhận rộng rãi bởi các nhà bác học thời bấy giờ Sau đó, với sự phát triển của lý thuyết tập hợp, khái niệm hàm số tiếp tục được mở rộng và chính xác hóa hơn nữa Việc định nghĩa khái niệm hàm dựa trên lý thuyết tập hợp đã phản ánh nhu cầu thực tiễn ngày càng cao trong toán học.

4.1.2 Những định nghĩa khác nhau về hàm số

Khái niệm "hàm" hiện nay được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, với hai khuynh hướng chính trong Toán học trong hơn bốn mươi năm qua: một là định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên, và hai là định nghĩa hàm dựa vào lý thuyết tập hợp.

4.1.2.1 Định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên

Khuynh hướng cổ điển trong Toán học xuất hiện sớm và dựa vào các ứng dụng truyền thống trong vật lý và kỹ thuật Nó tập trung vào khái niệm đại lượng biến thiên, làm nền tảng cho sự phát triển của các lý thuyết và ứng dụng sau này.

Trong khuôn khổ khuynh hướng này, có hai dạng định nghĩa dựa vào sự tương ứng giữa hai giá trị của những đại lượng biến thiên Dạng thứ nhất coi đại lượng biến thiên ban đầu là hàm chính, trong khi dạng thứ hai xem hàm như một luật hoặc quy tắc thể hiện sự tương ứng đó.

Đại lượng y được xem là hàm số của đại lượng x khi mỗi giá trị của x trong khoảng biến thiên tương ứng với một giá trị xác định của y, trong đó x được gọi là đối số Ví dụ minh họa cho hàm là quy tắc mà theo đó các giá trị của đại lượng biến thiên phụ thuộc vào các giá trị của đại lượng biến thiên độc lập Tuy nhiên, những định nghĩa này chưa hoàn toàn chặt chẽ do sự khó khăn trong việc chính xác hóa khái niệm "đại lượng biến thiên" và thuật ngữ "quy tắc" hay "luật" vẫn chưa được định nghĩa rõ ràng.

4.1.2.2 Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp

Khuynh hướng hiện đại này không dựa vào đại lượng biến thiên mà thay vào đó dựa vào lý thuyết tập hợp, xuất hiện sau khuynh hướng trước đó Nó mở rộng khái niệm hàm bằng cách nghiên cứu các sự tương ứng không chỉ giữa các giá trị của đại lượng, từ đó phục vụ cho cả các ứng dụng truyền thống của Toán học và nhiều ứng dụng mới nổi trong thời gian gần đây.

Trong khuôn khổ xu hướng này, có bốn dạng định nghĩa được phân biệt: định nghĩa tình huống, định nghĩa hàm như một quy tắc, định nghĩa hàm như một sự tương ứng, và định nghĩa hàm như một bộ ba tập hợp Định nghĩa tình huống hàm đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ các khía cạnh khác nhau của hàm số.

Dạng thứ nhất không định nghĩa trực tiếp khái niệm hàm, mà thay vào đó, nó mô tả tình huống mà trong đó có thể xác định sự tồn tại của một hàm số Dưới đây là một số định nghĩa liên quan đến tình huống này.

Giả sử M và F là hai tập hợp bất kỳ, hàm f được xác định trên M nếu mỗi phần tử x thuộc M tương ứng với một phần tử duy nhất trong F Khi các tập hợp có bản chất bất kỳ, thuật ngữ “hàm” thường được thay thế bằng “ánh xạ”, và ta nói về ánh xạ từ tập hợp M đến tập hợp F.

Cho hai tập hợp A và B, một ánh xạ f từ A sang B được xác định khi mỗi phần tử a thuộc A tương ứng với một phần tử b xác định thuộc B Hàm được coi là một quy tắc liên kết giữa hai tập hợp này.

Dạng thứ hai xem hàm như một quy luật hay quy tắc tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp, chẳng hạn:

“X và Y là hai tập hợp đã cho Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x  X một phần tử duy nhất y  Y” [9]

Trong các định nghĩa, khái niệm "quy tắc" và "luật" thường được sử dụng Ý nghĩa của những thuật ngữ này có thể được làm rõ thông qua khái niệm thuật toán, giúp thu hẹp định nghĩa về hàm Hàm được hiểu như một sự tương ứng giữa các yếu tố.

Dạng thứ ba coi hàm như một sự tương ứng Ví dụ về dạng này là định nghĩa sau đây:

Hàm là một sự tương ứng mà theo đó với mỗi phần tử x của một tập hợp

X tương ứng một phần tử y của tập hợp Y nào đó

Khái niệm sự tương ứng là một định nghĩa chưa được xác định rõ ràng nhưng có thể hiểu được một cách trực giác Điều này cho phép áp dụng nó trong những trường hợp không yêu cầu độ chính xác cao Định nghĩa hàm triệt để được xây dựng dựa trên tập hợp các yếu tố liên quan.

NỘI DUNG HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

4.2.1 Vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm trong chương trình môn Toán trường phổ thông Ở đây nói về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm vì hàm số chỉ là một trường hợp đặc biệt của khái niệm này

Theo nhà toán học Khinsin, khái niệm tương quan hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong Toán học, phản ánh trực tiếp và cụ thể các hiện tượng của thực tại khách quan Bản chất của vật chất là vận động, diễn ra trong những mối tương quan nhất định, và khái niệm hàm cho phép nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động, thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau Điều này làm cho khái niệm hàm không chỉ phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan mà còn thể hiện tư duy biện chứng của toán học hiện đại Do đó, khái niệm hàm giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn học Toán ở trường phổ thông, và toàn bộ việc dạy học Toán đều xoay quanh khái niệm này.

4.2.2 Triển khai nội dung Hàm số qua các lớp ở trường phổ thông

Trước lớp 7, học sinh chưa được học định nghĩa hàm số, nhưng đã tiếp xúc với các ví dụ cụ thể qua các phép toán số học và đại số Đến lớp 7, học sinh được giới thiệu về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch trong tập hợp số hữu tỉ.

Lớp 8 bắt đầu giới thiệu khái niệm hàm số và đồ thị hàm số, đồng thời giới thiệu hàm số và đồ thị hàm số bậc nhất, hoạt động trải nghiệm có đề cập một vài ứng dụng hàm số bậc nhất trong hoạt động tài chính Tới lớp 9 có giới thiệu khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến rồi tiến hành nghiên cứu hàm số bậc nhất y = ax+ b và hàm số y = ax 2 ( trên tập hợp số thực )

Bắt đầu bậc THPT, học sinh lớp 10 sẽ tổng kết về hàm số và đồ thị, sau đó nghiên cứu hàm số bậc hai dạng tổng quát và ứng dụng của nó Ở lớp 11, học sinh sẽ tìm hiểu về các hàm số với đối số tự nhiên như dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, cũng như các hàm số siêu việt bao gồm hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Việc khảo sát hàm số trước lớp 12 thường được thực hiện bằng phương pháp sơ cấp Đến lớp 12, học sinh sẽ được làm quen với đạo hàm như một công cụ tổng quát và hiệu quả để khảo sát hàm số Công cụ này sau đó được áp dụng để nghiên cứu một số hàm số cụ thể như y = ax³ + bx² + cx + d.

4.2.3 Yêu cầu cần đạt khi dạy nội dung Hàm số trong chương trình môn Toán trường THPT

Yêu cầu cần đạt khi dạy nội dung hàm số được đưa ra trong chương trình GDPT môn Toán như sau [1] :

Bảng 4.4 Yêu cầu cần đạt nội dung Hàm số ở trường THPT

Lớp Nội dung Yêu cầu cần đạt

10 Khái niệm cơ bản về hàm số và đồ thị

Để hiểu rõ về khái niệm hàm số, trước tiên cần nhận biết các mô hình thực tế như bảng, biểu đồ và công thức Các khái niệm cơ bản về hàm số bao gồm định nghĩa hàm số, tập xác định và tập giá trị Ngoài ra, cần nắm vững các loại hàm số như hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến, cũng như cách biểu diễn đồ thị của hàm số.

– Mô tả được các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Việc áp dụng kiến thức về hàm số vào giải quyết các bài toán thực tiễn là rất quan trọng Chẳng hạn, chúng ta có thể xây dựng hàm số bậc nhất trên các khoảng khác nhau để tính toán số tiền y phải trả theo số phút gọi x trong một gói cước điện thoại Điều này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến mà còn hỗ trợ trong việc đưa ra quyết định tài chính hợp lý.

Hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

– Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc hai – Vẽ được Parabola (parabol) là đồ thị hàm số bậc hai

– Nhận biết được các tính chất cơ bản của Parabola như đỉnh, trục đối xứng

– Nhận biết và giải thích được các tính chất của hàm số bậc hai thông qua đồ thị

Việc vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị vào giải quyết các bài toán thực tiễn, chẳng hạn như xác định độ cao của cầu hoặc cổng có hình dạng parabol, không chỉ giúp nâng cao khả năng tư duy toán học mà còn ứng dụng hiệu quả trong cuộc sống hàng ngày Sử dụng các phương pháp này, người học có thể phân tích và giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học và vật lý một cách chính xác và sáng tạo.

11 Hàm số lượng giác và đồ thị

– Nhận biết được được các khái niệm về hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

– Nhận biết được các đặc trưng hình học của đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

– Nhận biết được được định nghĩa các hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x thông qua đường tròn lượng giác

– Mô tả được bảng giá trị của bốn hàm số lượng giác đó trên một chu kì

– Vẽ được đồ thị của các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải thích các khái niệm quan trọng liên quan đến các hàm số lượng giác như y = sin x, y = cos x, y = tan x và y = cot x Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định tập xác định và tập giá trị của từng hàm số Tiếp theo, sẽ phân tích tính chất chẵn lẻ của các hàm này, từ đó nhận diện tính tuần hoàn và chu kỳ của chúng Cuối cùng, chúng ta sẽ khảo sát khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số này dựa trên đồ thị, giúp người đọc hiểu rõ hơn về hành vi và đặc điểm của các hàm số lượng giác.

Giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến hàm số lượng giác là rất quan trọng, đặc biệt trong các bài toán về dao động điều hòa trong Vật lý Những ứng dụng này không chỉ giúp sinh viên hiểu sâu hơn về lý thuyết mà còn phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề trong thực tế Việc áp dụng hàm số lượng giác vào các tình huống cụ thể sẽ làm nổi bật vai trò của nó trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Giới hạn của dãy số Phép toán giới hạn dãy số Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

– Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số – Giải thích được một số giới hạn cơ bản như:

 lim (với C là hằng số)

– Vận dụng được các phép toán giới hạn dãy số để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản (ví dụ: n n n

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có thể được tính toán và ứng dụng trong nhiều tình huống thực tiễn Việc hiểu rõ cách tính tổng này giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tài chính, đầu tư và các lĩnh vực khác Kết quả từ việc tính toán tổng cấp số nhân lùi vô hạn không chỉ mang lại giá trị lý thuyết mà còn hỗ trợ trong việc ra quyết định trong các tình huống thực tế.

Giới hạn hữu hạn của hàm số là khái niệm quan trọng trong toán học, giúp nhận biết hành vi của hàm số khi gần đến một điểm cụ thể Phép toán giới hạn cho phép xác định giá trị của hàm số khi tiến gần đến một giá trị nhất định từ cả hai phía Việc hiểu rõ giới hạn hữu hạn một phía tại một điểm là cần thiết để phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số.

– Nhận biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực và mô tả được một số giới hạn cơ bản như: lim lim   k  0 n x

C với c là hằng số và k là số nguyên dương

– Nhận biết được khái niệm giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm và hiểu được một số giới hạn cơ bản như:  

– Tính được một số giới hạn hàm số bằng cách vận dụng các phép toán trên giới hạn hàm số

– Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giới hạn hàm số

– Nhận dạng được hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng, hoặc trên một đoạn

– Nhận dạng được tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Để nhận biết tính liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản như hàm đa thức, hàm phân thức, hàm căn thức và hàm lượng giác, cần xem xét tập xác định của chúng Các hàm đa thức luôn liên tục trên toàn bộ tập số thực Hàm phân thức liên tục tại các điểm mà mẫu số khác không, trong khi hàm căn thức liên tục khi biểu thức bên trong căn không âm Đối với hàm lượng giác, chúng cũng liên tục trên toàn bộ tập xác định của chúng Việc hiểu rõ tính liên tục của các hàm này là rất quan trọng trong toán học.

– Nhận biết được hàm số mũ và hàm số lôgarit Nêu được một số ví dụ thực tế về hàm số mũ, hàm số lôgarit

– Nhận dạng được đồ thị của các hàm số mũ, hàm số lôgarit

– Giải thích được các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit thông qua đồ thị của chúng

Hàm số mũ và hàm số lôgarit đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề liên quan đến môn học khác và thực tiễn, như lãi suất và sự tăng trưởng Việc hiểu rõ các khái niệm này giúp chúng ta phân tích và dự đoán xu hướng phát triển trong các lĩnh vực kinh tế và khoa học Sự kết hợp giữa hai loại hàm số này không chỉ mang lại kiến thức lý thuyết mà còn ứng dụng thực tiễn trong việc ra quyết định tài chính và đầu tư.

12 Tính đơn điệu của hàm số

– Nhận biết được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó

– Thể hiện được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên

HƯỚNG DẪN DẠY HỌC HÀM SỐ

4.3.1 Dạy học khái niệm hàm số

Quá trình hình thành khái niệm hàm số nên được thực hiện theo phương pháp quy nạp, bắt đầu từ những trường hợp cụ thể và dần dần trừu tượng hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của hàm số, từ đó xây dựng định nghĩa chính xác Việc hình thành những biểu tượng về hàm số cần được bắt đầu từ lớp 1 và kéo dài đến lớp 7, nhằm chuẩn bị cho việc dạy học khái niệm này một cách tường minh Quá trình chuẩn bị này sẽ được trình bày chi tiết trong phần phát triển tư duy hàm.

4.3.1.1 Giải thích định nghĩa hàm số dựa vào biểu tượng tập hợp và cấu trúc logic

Trong chương trình Toán lớp 8 năm 2006, hàm số được định nghĩa như sau:

Giả sử X và Y là hai tập hợp số, một hàm số f từ X đến Y là quy tắc tương ứng mỗi giá trị x thuộc X với một giá trị y duy nhất thuộc Y, ký hiệu là f(x) Ở lớp 8, tập hợp số thường được hiểu là tập hợp số hữu tỉ Q hoặc một tập con của nó Khi lên lớp 10, các sách giáo khoa định nghĩa hàm số tương tự nhưng sử dụng tập hợp số thực R thay vì số hữu tỉ Q Định nghĩa này cho thấy rõ tập nguồn X và tập đích Y, tuy nhiên, thuật ngữ "Quy tắc" cần được làm rõ hơn Khi giảng dạy định nghĩa này, cần đặc biệt chú ý đến việc giải thích thuật ngữ "Quy tắc".

Để giúp học sinh hiểu rõ thuật ngữ "quy tắc", cần trình bày nó như một khái niệm nguyên thuỷ thông qua biểu tượng của một tập hợp các cặp phần tử Thay vì định nghĩa, hãy sử dụng ví dụ cụ thể về hàm số, trong đó quy tắc được thể hiện qua bảng các cặp phần tử tương ứng, tượng trưng cho tập con của tích Đề các của hai tập hợp Đồng thời, cần làm rõ rằng quy tắc không nhất thiết phải là một công thức, bởi vì có những hàm số có thể được biểu diễn bằng nhiều công thức, trong khi một số hàm số lại không thể Cuối cùng, cũng cần tránh hiểu lầm rằng quy tắc phải là một thuật

Cần làm rõ cấu trúc hội trong khái niệm hàm số, giúp học sinh nhận thức rõ ràng về tính chất đặc trưng của nó Tính chất này có thể được phân tách thành hai điều kiện đơn giản.

- Điều kiện p 1 : Với mỗi phần tử x  R đều tồn tại một phần tử tương ứng y  R;

- Điều kiện p 2 : Với mỗi phần tử x  R thì phần tử tương ứng y  R là duy nhất

Trên cơ sở đó có thể giúp HS phát triển và làm theo với quy tắc có tính chất thuật giải để nhận dạng khái niệm hàm số:

Hình 4.3 Thuật giải nhận diện một quy tắc là hàm số

Dần dần, giáo viên nên giúp học sinh làm quen với các điều kiện phức hợp trong hoạt động nhận dạng và thể hiện hàm số Việc này có thể thực hiện thông qua việc trình bày khái niệm hàm số dưới những dạng biểu hiện khác nhau Đồng thời, trong những dịp thích hợp, cần hệ thống hoá các kiến thức này để học sinh có thể nắm bắt một cách rõ ràng và hiệu quả hơn.

Bảng 4.5 Phân tích khái niệm hàm số qua các dạng biểu thị của hàm

(Bắt đầu) p 1 p 2 Quy tắc là hàm số

Quy tắc không là hàm số

Mỗi "chấm" thuộc tập nguồn đều là gốc của ít nhất một mũi tên

Không có hai mũi tên nào cùng chung một gốc

Bảng Dòng thứ hai không có vị trí nào bỏ trống

Dòng thứ nhất không có hai số nào bằng nhau Đồ thị

Mỗi đường thẳng song song với trục tung và qua điểm (x,0), trong đó x thuộc tập nguồn đều cắt đồ thị

Không có đường thẳng nào song song với trục tung mà lại cắt đồ thị tại quá một điểm

Mọi giá trị x thuộc tập nguồn đều xuất hịên ở thành phần thứ nhất của ít nhất là một cặp số

Không có hai cặp phân biệt nào cùng thành phần thứ nhất

Trong SGK lớp 8 năm 2023 bộ kết nối tri thức [5], hàm số được định nghĩa như sau:

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x, với mỗi giá trị của x xác định một giá trị duy nhất của y, thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số.

Khi dạy định nghĩa này cần chú ý nhấn mạnh 2 điều sau:

Thứ nhất, cần làm cho HS hiểu việc "đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x" dựa vào biểu tượng về một tập hợp những cặp phần tử

Thuật ngữ này được trình bày như một khái niệm nguyên thuỷ, được làm rõ thông qua các ví dụ cụ thể về hàm số, trong đó quy tắc được biểu thị bởi bảng các cặp phần tử tương ứng Đây là biểu tượng của một tập con trong tích Đề-các của hai tập hợp Học sinh cần hiểu rằng sự phụ thuộc không nhất thiết phải được thể hiện bằng công thức, vì có những hàm số có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau như bảng, đồ thị hay lời nói Giáo viên nên sử dụng nhiều ví dụ đa dạng để minh hoạ cho khái niệm này.

Mỗi giá trị của x luôn tương ứng với một giá trị duy nhất của y, điều này có thể được minh chứng qua một số phản ví dụ về hàm số Việc hiểu rõ mối quan hệ này giúp củng cố kiến thức về hàm số và tính đơn trị của chúng.

Ví dụ 4.6 Hãy xét quy tắc cho tương ứng sau có là hàm số không ? Tại sao ? x y x

Quy tắc f không phải là hàm số vì không có phần tử tương ứng cho các số âm Trong khi đó, quy tắc g cũng không đáp ứng yêu cầu của hàm số do vi phạm điều kiện về tính duy nhất của y, khi mà các số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều ước.

4.3.1.2 Minh họa khái niệm hàm số bằng những ví dụ đa dạng

Khái niệm hàm số là một khái niệm phức tạp cần được minh họa bằng các ví dụ cụ thể Để làm rõ, cần trình bày cả những quy tắc thỏa mãn và không thỏa mãn định nghĩa hàm số Dựa vào bảng 4.3, có thể đưa ra ba phản ví dụ cho các trường hợp khác nhau Để giảm bớt số lượng phản ví dụ, ít nhất nên đề cập đến hai trường hợp: một khi chỉ p1 bị vi phạm và một khi chỉ p2 bị vi phạm Việc phân tích khái niệm hàm số từ nhiều góc độ sẽ giúp xây dựng các ví dụ đa dạng về những quy tắc thỏa mãn định nghĩa này.

Trong việc giảng dạy quy tắc tương ứng, chúng ta nên cung cấp cả ví dụ về hàm số thỏa mãn và không thỏa mãn đặc điểm p Mục đích không phải là giới thiệu thuật ngữ "hàm đơn ánh", mà là giúp học sinh nhận thức rõ hơn về sự đa dạng của khái niệm hàm trong ngữ cảnh quy tắc tương ứng.

Trong việc nghiên cứu hàm số, chúng ta cần xem xét cả tập hợp hữu hạn và vô hạn Các hàm số phổ biến trong giáo dục thường có giá trị của hàm số và đối số đều là số thực Để thể hiện sự đa dạng trong các ví dụ, chúng ta nên bao gồm cả trường hợp mà giá trị của hàm số và đối số trải dài trên toàn bộ các số thực, cũng như trường hợp mà chúng không bao trùm hết các số thực.

Để minh họa cho phương diện biểu diễn hàm, chúng ta nên sử dụng các ví dụ về các hàm số được thể hiện qua nhiều phương pháp khác nhau như bảng, công thức, đồ thị và lời lẽ.

Cuối cùng ta cũng nên lưu ý nêu ra cả những ví dụ thực tế bên cạnh những ví dụ có tính chất lý thuyết

Bài viết này đã trình bày các phương hướng xây dựng ví dụ về hàm số Dựa trên những phương hướng đã nêu và xem xét tất cả các khía cạnh liên quan, có rất nhiều trường hợp khác nhau có thể được giới thiệu dần dần.

HS không cần phải tiếp thu tất cả kiến thức cùng một lúc trong quá trình học ở trường phổ thông Sau khi dạy định nghĩa ở lớp 8 hoặc ôn lại khái niệm ở lớp 10, cần chọn lọc và bố trí một số ví dụ đa dạng, hợp lý để giúp HS hiểu rõ những mặt đáng chú ý nhất của nội dung học.

Về những quy tắc tương ứng không thoả mãn định nghĩa hàm số, có thể đưa ra 2 trường hợp sau đây:

 Đây không phải là một hàm số vì với x =1 không có y tương ứng (vi phạm điều kiện p1)

DẠY HỌC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng( a; b) Xét một điểm

(a;b) Cho số đối một số gia (thỏa mãn điều kiện thuộc khoảng

(a;b) ), hàm số sẽ có số gia

Chúng ta xác định giới hạn của tỉ số khi x tiến tới x0 Nếu giới hạn này tồn tại, nó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, ký hiệu là y’(x0) hoặc f’(x0).

Khi tại mọi điểm đều tồn tại , ta có thể định nghĩa đạo hàm của hàm số f(x) trên khoảng ( a;b )

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng ( a;b ) Đạo hàm của hàm số f(x) trên khoảng ( a;b ), kí hiệu là là hàm số xác định như sau:

Đạo hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) tạo thành một hàm số, trong khi đạo hàm của f(x) tại một điểm cụ thể là một số, thể hiện giá trị của hàm số đạo hàm tại điểm x0.

5.1.1.2 Công thức tính đạo hàm

5.1.1.3 Ứng dụng của đạo hàm Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và các môn học khác, có thể kể ra một số ứng dụng sau:

- Áp dụng đạo hàm trong bài toán vật lý, sinh học: Bài toán tìm vận tốc, gia tốc của một chuyển động, ………

Đạo hàm là công cụ quan trọng trong toán học, giúp giải quyết nhiều bài toán, chẳng hạn như tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên đường cong Việc xác định hệ số góc này không chỉ hỗ trợ trong việc phân tích hình học mà còn ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý và kỹ thuật.

Đạo hàm là công cụ quan trọng trong việc khảo sát hàm số, giúp nghiên cứu tính đơn điệu và xác định các cực trị Ngoài ra, đạo hàm còn hỗ trợ trong việc phân tích tính lồi lõm của hàm số và tìm kiếm các điểm uốn trên đồ thị.

- Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình qua việc xét tính đơn điệu của hàm số

- Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu F(x) có đạo hàm trên khoảng này và với mọi điểm x thuộc (a; b), ta có F’(x) = f(x).

Dựa vào định nghĩa và các tính chất của đạo hàm, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b), thì mọi hàm số có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý, cũng sẽ là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b).

Ta cũng có thể chứng minh được rằng: Nếu G(x) và F(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên khoảng ( a; b ) thì G(x) phải có dạng F(x) + C

Nói cách khác, ta có thể nói đến họ các nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng ( a; b )

5.1.2.2 Các phương pháp tìm nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Áp dụng công thức: I   f  u ( x )  u ' ( x ) dx  F  u ( x )   C

Trong đó F(x) là 1 nguyên hàm của f(x)

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I   f ( x ) dx , trong đó ta có thể phân tích f(x) = g(u(x))u'(x) thì ta thực hiện phép đổi biến số: Đặt t = u(x), suy ra dt =u'(x)dx

Khi đó ta được nguyên hàm: I   g ( t ) dt  G ( t )  C  G  u ( x )   C

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm I   f ( x ) dx  F ( x )  C theo t thì ta phải thay t = u(x)

Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx=φ'(t)dt

Bước 3: Biến đổi : f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt

Để tính nguyên hàm, ta áp dụng công thức nguyên hàm từng phần cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b], với đạo hàm liên tục trong khoảng này Cụ thể, ta có thể biểu diễn nguyên hàm dưới dạng: I = ∫ f(x) dx = ∫ g(t) dt = G(t) + C = G[u(x)] + C.

Khi đó:  udv  uv   vdu

Các bước thực hiện: Để tính nguyên hàm I   f ( x ) dx bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn u, v sao cho từ f(x) = udv (chú ý dv = v'(x)dx )

Sau đó tính v   dv và du = u'.dx

Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính  vdu

Chú ý: Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng

Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [ a;b ] Chia đoạn thẳng [ a;b ] thành n phần bởi các điểm chia: a = = b Đặt:

[xi-1,xi] chọn một điểm tùy ý và xét tổng:

Hình 5.1 Chia đoạn [a;b] thành n phần

Nếu tổng Sn có giới hạn không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a;b] và cách chọn các điểm, thì giới hạn này được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), ký hiệu là:

Theo định nghĩa, muốn chứng minh tích phân ( ) b a f x dx

 tồn tại, ta phải chứng minh tồn tại giới hạn lim 0 i max x S n

  , và giới hạn đó không phụ thuộc cách chia đoạn [ a;b] và cách chọn các điểm ,

Người ta đã chứng minh được định lí sau đây:

“Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì tích phân ( ) b a f x dx

Khi đã biết tích phân ( ) b a f x dx

 tồn tại, muốn tính tích phân đó ta có thể chia đoạn [ a;b ] và chọn các điểm sao cho thuận tiện việc tính toán

Có thể không cần chia đoạn [a;b] thành n phần để tính giới hạn, mà chỉ cần chọn các điểm và áp dụng định lý Niuton – Leibnitz Định lý này khẳng định rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn này, thì ta có thể tìm giới hạn một cách hiệu quả.

Khi áp dụng định lý Niuton – Leibnitz, trong một số trường hợp cần thiết, người ta cần sử dụng phương pháp đổi biến số và phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tính tích phân Phương pháp này được gọi là tính tích phân bằng cách đổi biến số hoặc tính tích phân từng phần.

5.1.3.3 Ứng dụng của tích phân

Tích phân thường được sử dụng để tính diện tích của các hình phẳng và thể tích của các vật thể Để tính diện tích hình phẳng, ta áp dụng định lý liên quan đến tích phân.

Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm y = f(x) và y = g(x), cùng với các đường thẳng x = a và x = b, có thể được tính toán bằng công thức xác định.

Trong trường hợp f(x) và g(x) là hai hàm bất kỳ liên tục trên đoạn

[a;b] Diện tích hình phẳng tính theo công thức tổng quát sau:

Để tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo ra từ hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y = f(x) và các đường thẳng y = 0, x = a, x = b quay quanh trục Ox, ta áp dụng công thức phù hợp.

Hình 5.4 Hình tròn xoay tạo ra do quay hình thang cong quanh trục ox

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

5.2.1 Nội dung Đạo hàm và tích phân trong chương trình môn Toán phổ thông

Trong chương trình môn toán trường THPT, HS học về đạo hàm ở lớp

11, 12, nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 Nội dung kiến thức gồm các vấn đề sau đây:

- Định nghĩa đạo hàm; Ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm; Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản; Đạo hàm cấp cao

Ứng dụng đạo hàm trong khảo sát hàm số bao gồm việc phân tích tính đơn điệu và cực trị của hàm, xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một tập hợp xác định, cũng như tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số Đặc biệt, các hàm số như hàm bậc ba và hàm số trùng phương cũng được khảo sát kỹ lưỡng để hiểu rõ hơn về đặc điểm và hành vi của chúng.

- Định nghĩa nguyên hàm; Các tính chất nguyên hàm; Bảng các nguyên hàm cơ bản

- Định nghĩa tích phân; Các tính chất của tích phân; Các phương pháp tính tích phân; Ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích

Đạo hàm là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng nhất của Giải tích toán học, đóng vai trò là công cụ sắc bén trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số Khái niệm đạo hàm xuất hiện từ nhu cầu giải quyết nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực như cơ học (tính vận tốc tức thời), điện (tính cường độ dòng điện tức thời), tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, và xét sự biến thiên của hàm số Ngoài ra, đạo hàm còn cung cấp những kiến thức toán học cần thiết cho các môn học khác như Vật lý, Sinh học, và Hóa học.

Việc học nguyên hàm và tích phân ở trường phổ thông trung học giúp học sinh nắm bắt kiến thức cơ bản về phép tính tích phân, từ đó trang bị cho các em công cụ hữu ích để giải quyết nhiều vấn đề trong hình học, vật lý và các ngành kỹ thuật.

5.2.2 Yêu cầu cần đạt của chủ đề Đạo hàm, nguyên hàm và tích phân trường trung học phổ thông

Bảng 5.1 Yêu cầu cần đạt khi dạy nội dung đạo hàm vi phân lớp 11 [1]

Nội dung Yêu cầu cần đạt Đạo hàm

Khái niệm đạo hàm Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, giúp xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều và tốc độ thay đổi của nhiệt độ Việc nhận biết các bài toán liên quan đến đạo hàm là cần thiết để áp dụng hiệu quả trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, cho phép chúng ta tính toán độ biến thiên của hàm số Bằng cách áp dụng định nghĩa, chúng ta có thể tính đạo hàm cho một số hàm đơn giản Đạo hàm không chỉ có ý nghĩa về mặt đại số mà còn mang ý nghĩa hình học, thể hiện độ dốc của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị hàm số Ngoài ra, việc thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm cũng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số xung quanh điểm đó.

– Nhận biết được số e thông qua bài toán mô hình hoá lãi suất ngân hàng

Các quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản như hàm đa thức, hàm căn thức đơn giản, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số lôgarit là những kiến thức quan trọng trong toán học Việc tính đạo hàm giúp xác định tốc độ thay đổi của hàm số và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kinh tế và kỹ thuật Nắm vững cách tính đạo hàm của các hàm số này là nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong giải tích.

– Sử dụng được các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số và đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm cấp hai giúp giải quyết nhiều vấn đề liên quan đến các môn học khác và thực tiễn, chẳng hạn như xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều Việc ứng dụng đạo hàm cấp hai không chỉ hỗ trợ trong việc phân tích chuyển động mà còn nâng cao hiểu biết về các hiện tượng vật lý trong cuộc sống hàng ngày.

-Nhận biết được khái niệm đạo hàm cấp hai của một hàm số

Đạo hàm cấp hai của các hàm số đơn giản có thể được tính toán dễ dàng Việc này giúp giải quyết nhiều vấn đề liên quan đến các môn học khác hoặc ứng dụng thực tiễn, chẳng hạn như xác định gia tốc từ đồ thị vận tốc theo thời gian trong chuyển động không đều.

Để đạt yêu cầu trong việc dạy nội dung đạo hàm, nguyên hàm và tích phân lớp 12, cần chú trọng vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Việc này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm mà còn phát triển kỹ năng phân tích và trực quan hóa các hàm số trong toán học.

Tính đơn điệu của hàm số

– Nhận biết được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó

– Thể hiện được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên

Nhận biết tính đơn điệu, điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số có thể thực hiện thông qua bảng biến thiên hoặc hình ảnh đồ thị Việc phân tích bảng biến thiên giúp xác định các khoảng tăng giảm của hàm số, trong khi hình ảnh đồ thị cung cấp cái nhìn trực quan về các điểm cực trị.

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

– Nhận biết được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước

– Xác định được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm trong những trường hợp đơn giản

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

– Nhận biết được hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Để khảo sát hàm số, cần mô tả sơ đồ tổng quát bao gồm các bước như tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, xác định cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị Những bước này giúp hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số, từ đó hỗ trợ trong việc phân tích và ứng dụng trong thực tiễn.

– Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a  0); y d cx b ax

 (c  0, ad  bc  0); y n mx c bx ax

 0 và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Nhận biết tính đối xứng của đồ thị các hàm số, bao gồm trục đối xứng và tâm đối xứng, là rất quan trọng Việc áp dụng đạo hàm giúp giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn liên quan đến các hàm số này.

Vận dụng được đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

– Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số – Giải thích được tính chất cơ bản của nguyên hàm

– Xác định được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp như: y = x α α≠ 1; y 1 x

– Tính được nguyên hàm trong những trường hợp đơn giản

Tích phân Ứng dụng hình học của tích phân

– Nhận biết được định nghĩa và các tính chất của tích phân

– Tính được tích phân trong những trường hợp đơn giản

– Sử dụng được tích phân để tính diện tích của một số hình phẳng, thể tích của một số hình khối

– Vận dụng được tích phân để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.

HƯỚNG DẪN DẠY HỌC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

5.3.1.1 Hình thành khái niệm đạo hàm

Khái niệm đạo hàm được hình thành thông qua phương pháp quy nạp, với việc sử dụng các ví dụ thực tế như tìm vận tốc tức thời của chuyển động và xác định hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên đường cong.

Ví dụ 5.1 Có thể hình thành khái niệm đạo hàm qua bài toán mở đầu về chuyển động như sau:

Bài toán: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga

Quãng đường S (mét) của đoàn tàu được mô tả bằng hàm số S = t² trong những phút đầu tiên Để tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t0 với t0 = 3, ta sẽ xem xét các giá trị t = 2, 2.5, 2.6, 2.9 và 2.99 Kết quả cho thấy khi t càng gần t0, vận tốc trung bình có xu hướng tiệm cận một giá trị cụ thể, phản ánh sự thay đổi dần dần của chuyển động trong khoảng thời gian ngắn.

- Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t;t0] là: t v tb S

- Nếu  t càng nhỏ thì t v tb S

  càng gần tới vận tốc tức thời của chuyển động Khi đó xét giới hạn t

 lim 0 , giới hạn này chính là vận tốc tức thời tại t0 Đó chính là đạo hàm tại t0 Từ đó GV nêu khái niệm đạo hàm

Việc hình thành khái niệm đạo hàm đồng thời với việc hình thành quy trình tính đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) , giả sử f(x) có đạo hàm

Muốn tính đạo hàm f’(x), ta cho đối một số gia  x và lần lượt tính  y , y x

Vì đạo hàm của hàm số y = f(x) được định nghĩa như là giới hạn của tỉ số y x

Khi \(\Delta x \to 0\), tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) trở thành một hàm số của \(\Delta x\) với \(x\) được coi là cố định Điều này dẫn đến việc \(\Delta y \to 0\) khi \(\Delta x \to 0\) mới có đạo hàm Nhờ đó, học sinh (HS) sẽ hiểu định lý quan trọng rằng: “Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x = x_0\), thì nó liên tục tại điểm đó.” Đối với HS trường phổ thông trung học, không cần thiết phải nghiên cứu các điểm của hàm số không có đạo hàm, nhưng vẫn cần đề cập đến sự tồn tại của những hàm số không có đạo hàm tại một số điểm nhất định.

= │x│liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0)

5.3.1.2 Dạy học tìm đạo hàm

Trong dạy học tính đạo hàm, ta cần làm rõ các khả năng tính toán sau đây:

Thứ nhất là sử dụng quy trình tính đạo hàm dựa vào định nghĩa Quy trình này gồm các bước:

Bước 1 Cho đối số một số gia , tính số gia của hàm số:

Bước 2 Tính tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số:

Bước 3.Tìm giới hạn của tỉ số nói trên khi gia số của đối số dần tới 0:

Ví dụ 5.2 Tính đạo hàm của hàm số

Thứ hai, cần chứng minh các định lý về đạo hàm liên quan đến tổng, tích, và thương của các hàm số, cũng như đạo hàm của hàm số hợp và hàm số ngược Sau đó, sử dụng những định lý này để xây dựng bảng đạo hàm cho các hàm số sơ cấp cơ bản.

Sử dụng bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp và các định lý về đạo hàm, đặc biệt là định lý liên quan đến hàm số hợp, giúp chúng ta tính toán đạo hàm của các hàm số cần nghiên cứu một cách hiệu quả.

Khi dạy học tìm đạo hàm, giáo viên cần chú trọng rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng thành thạo bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đồng thời, học sinh cũng cần được trang bị ý thức về các định lý cơ bản liên quan đến đạo hàm, đặc biệt là công thức tìm đạo hàm của hàm số hợp Để hỗ trợ việc khảo sát hàm số, giáo viên có thể giao cho học sinh các bài tập liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị, xác định các điểm cực trị, cũng như khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 5.3 Cho HS làm những bài tập về phương trình tiếp tuyến với một đường cong tại điểm thuộc đường cong đó, chẳng hạn:

  x x y x (1) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị của (1) biết hệ số góc tiếp tuyến bằng 2

- Cho parabol y  x 2 Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x0 cho dưới đây : a) y x 3 x3, x0 = -1 b) 1

Các bài tập này giúp học sinh nắm vững ý nghĩa hình học của đạo hàm Để chuẩn bị cho việc học nguyên hàm, học sinh có thể thực hiện các bài tập tìm các hàm số F(x) sao cho đạo hàm của chúng là hàm số f(x), với f(x) là một hàm sơ cấp.

5.3.1.3 Dạy học ứng dụng đạo hàm

Việc đưa khái niệm đạo hàm vào chương trình môn toán trường THPT giúp học sinh giải quyết các bài toán trong toán học và vật lý liên quan đến vận tốc biến đổi Sau khi hình thành khái niệm đạo hàm và rèn luyện kỹ năng tìm đạo hàm, học sinh cần nắm vững các định lý quan trọng về mối quan hệ giữa đạo hàm với tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, cũng như các điểm cực trị của hàm số Điều này sẽ giúp học sinh vận dụng đạo hàm hiệu quả và khảo sát hàm số một cách chính xác.

Đạo hàm là công cụ quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán hình học và vật lý, chẳng hạn như xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và tính toán vận tốc của chuyển động Đặc biệt, đạo hàm còn được sử dụng để khảo sát hàm số, bao gồm nghiên cứu tính đơn điệu, tìm cực trị, phân tích tính lồi lõm và xác định điểm uốn của đồ thị hàm số.

Chú ý rằng khi dùng đạo hàm để khảo sát hàm số, ta phải dựa vào định lí Lagrangge phát biểu như sau:

“Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng ( a;b ) thì cho trước hai điểm thuộc khoảng đó, < bao giờ cũng có ít nhất một điểm thuộc khoảng (x1, x2) sao cho: ( ) ( ) ' ( )

Vẽ đồ thị của hàm số bằng phương pháp vẽ từng điểm chỉ là một cách tiếp cận gần đúng, trong khi ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số mang lại kết quả chính xác hơn.

Nên lập bảng tổng kết về hình dạng đồ thị để HS có thể nắm bắt được các trường hợp có thể xảy ra với mổi loại hàm số

5.3.2 Dạy học nguyên hàm và tích phân

5.3.2.1 Hình thành khái niệm nguyên hàm

Nguyên hàm là khái niệm liên quan chặt chẽ đến đạo hàm Trước khi định nghĩa nguyên hàm, cần giúp học sinh hiểu rõ vấn đề bằng cách giải quyết một bài toán cụ thể, chẳng hạn như viết phương trình của một chuyển động dựa vào vận tốc hoặc tìm hàm số F(x) có đạo hàm là f(x), trong đó f(x) là hàm đơn giản.

Khi giải các bài toán liên quan, học sinh cần nhận xét rằng các hàm số phải được xác định khác với một hằng số Để kích thích động lực học tập, có thể bắt đầu bằng cách xem xét bài toán ngược của đạo hàm, như trong ví dụ dưới đây.

Ví dụ 5.4 Xét hàm số

) 3 ( x 3 x f  , GV đặt các câu hỏi đàm thoại và yêu cầu HS thực hiện như sau :

- Đặt vấn đề ngược lại: Cho hàm số f ( x )  x 2 , hãy tìm hàm

HS sẽ tìm ra ngay 1 hàm số từ câu hỏi trên: F (x ) 

F  ra, còn hàm số nào khác cũng thỏa mãn

- Vậy có bao nhiêu hàm số F (x ) thỏa mãn điều kiện trên?

Có vô số hàm thỏa mãn điều kiện F ' ( x )  x 2 , các hàm số đó có dạng x C x

Và từ đó hình thành khái niệm nguyên hàm cùng tính chất: Nếu F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) , thì F ( x )  C (C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f ( x )

Cũng có thể củng cố khái niệm nguyên hàm qua những bài toán thực tế về chuyển động và những hàm số đơn giản như ví dụ sau:

Để viết phương trình chuyển động s = F(t) của một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = a (a là hằng số), ta có công thức s = at + C, trong đó C là một hằng số Khi biết vị trí ban đầu của chất điểm tại thời điểm t = 0, ta có thể xác định được giá trị của hằng số C.

Để tìm hàm số G(x) có đạo hàm là g(x) = cosx, ta có G(x) = sinx + C, với C là một hằng số Để xác định giá trị của hằng số C, cần biết giá trị của G(x) tại một điểm x0 cụ thể.

Ngoài ra, GV cũng nên cho HS có nhận xét sau đây:

Khi tìm các hàm số có đạo hàm bằng f(x), nếu đã xác định được một hàm F(x), thì hàm số có dạng F(x) + C cũng sẽ thỏa mãn điều kiện của bài toán Tuy nhiên, chúng ta vẫn chưa biết liệu đã tìm được tất cả các hàm số có đạo hàm bằng f(x) hay chưa Điều này dẫn đến câu hỏi liệu có tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C cho một hàm số G(x) nào đó có đạo hàm bằng f(x) hay không Nhận xét này nhấn mạnh nhu cầu phát biểu và chứng minh định lý về tính chất cơ bản của nguyên hàm.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì G(x) là nguyên hàm của f(x) khi và chỉ khi G(x) = F(x) + C

5.3.2.2 Dạy học tìm nguyên hàm