Phân tích tĩnh phi tuyến cấu kiện dầm cột thép vát dựa vào lời giải giải tích

Phân tích phi tuyến hình học thường được thực hiện theo hai phương pháp chính: 1 phương pháp dầm-cột dùng hàm ổn định là lời giải của phương trình vi phân cân bằng; 2 phương pháp phần tử

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giả thiết

Để thiết lập phần tử dầm-cột phẳng thép vát có tiết diện chữ I, ta dựa vào các giả thiết sau:

Phần tử ban đầu là một cấu trúc thẳng với tiết diện ngang hình chữ I, đối xứng qua hai trục Bản bụng có chiều dày không đổi, trong khi chiều cao thay đổi tuyến tính theo chiều dài của phần tử Bản cánh có bề rộng và chiều dày không thay đổi.

- Sự mất ổn định cục bộ và mất ổn định ngang xoắn không xảy ra

- Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng vẫn còn phẳng

- Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt

- Biến dạng của phần tử là nhỏ, nhưng chuyển vị của hệ có thể lớn

Hình 2.1 Dầm-cột thép dạng chữ I có tiết diện thay đổi

Phương trình vi phân cân bằng

2.2.1 Cấu kiện dầm-cột thép vát chịu nén uốn

Cấu kiện dầm-cột thép vát tiết diện chữ I có gối tựa ở hai đầu, chịu lực nén dọc trục P và mô-men uốn M1, M2, được minh họa trong Hình 2.2.

Hình 2.2 Cấu kiện dầm-cột vát hai đầu khớp (chịu mô-men và lực nén tại hai đầu)

Để xét cân bằng đoạn cấu kiện dầm-cột có chiều dài x từ đầu bên trái, như minh họa trong Hình 2.2b, ta thiết lập phương trình cân bằng mô-men tại mặt cắt.

− + − + = , (2.1) trong đó, w là hàm độ lệch của cấu kiện theo phương vuông góc với trục cấu kiện (phương y) theo biến x

Với việc xem xét ứng xử đàn hồi tuyến tính của vật liệu, ta có phương trình mô- men nội lực tại mặt cắt M int như sau

Mô-men quán tính I(x) của tiết diện tại vị trí cách gối tựa bên trái một đoạn x thay đổi dọc theo chiều dài cấu kiện có thể được xác định bằng một trong hai biểu thức sau đây Công thức tính mô-men M là M = −EI x w", trong đó EI là độ cứng của cấu kiện.

1) Công thức xấp xỉ (được trình bày trong Hướng dẫn sử dụng phần mềm SAP2000)

=  − +    , (2.3) với I 1 là mô men quán tính tại nút 1 và I 2 là mô men quán tính nút 2 của phần tử

  , (2.4) trong đó, h x ( )là chiều cao tiết diện chữ I tại tọa độ x dọc trục

= −  + , (2.5) với h 1 là chiều cao tiết diện tại nút 1 và h 2 là chiều cao tiết diện tại nút 2 của phần tử

Giá trị I x ( ) được tính toán theo công thức (2.3) và (2.4) có sự chênh lệch không đáng kể, do đó, để đơn giản hóa quá trình, chúng ta sẽ sử dụng I x ( ) dựa trên công thức (2.3) cho các bước tính toán tiếp theo.

Thay phương trình (2.2) vào phương trình (2.1), ta được phương trình vi phân cân bằng sau

Các điều kiện cân bằng

M =EI w L (2.10) Để tìm hàm chuyển vị chính xác cho cấu kiện chịu nén uốn, ta tiến hành giải phương trình (2.6) như sau Đặt a= EI 1 , b = ( I 2 − I 1 ) L E , c = M 1 + L M 2 , d = − M 1

Khi đó, phương trình (2.6) trở thành

( a + bx w ) 2 '' + Pw = ( cx + d ) (2.11) Nếu b=0thì nghiệm của phương trình (2.11) có dạng

1cos( / ) 2sin( / ) ( ) / w C= x P a +C x P a + cx d+ P Giả sử b0 Ta biến đổi u = ln( a + bx ) Suy ra x = ( e u − a ) / b và

2 / u / d w dw b b Pw d ac b e c b du − du + = − + (2.12)

Nếu b 2  4 P thì phương trình (2.12) có nghiệm

Nếu b 2  4 P thì phương trình (2.12) có nghiệm

1 2 cos / 1/ 4 sin / 1/ 4 / / / cos ln / 1/ 4 sin ln / 1/ 4

/ , u u w e C u P b C u P b d ac b e c b P a bx C a bx P b C a bx P b cx d P

(2.14) trong đó, giá trị của C 1 và C 2 trong các công thức nghiệm trên sẽ được tính dựa vào các điều kiện biên (2.7) và (2.8)

2.2.2 Cấu kiện dầm-cột thép vát chịu kéo uốn

Cấu kiện dầm-cột thép vát tiết diện chữ I với hai đầu gối tựa khớp chịu lực kéo dọc trục P và mô-men uốn M1, M2 được trình bày trong Hình 2.3.

Hình 2.3 Cấu kiện dầm-cột vát hai đầu khớp (chịu mô-men và lực kéo tại hai đầu)

Việc thiết lập cấu kiện dầm-cột thép vát chịu kéo-uốn tương tự như với cấu kiện chịu nén-uốn, từ đó ta có được phương trình vi phân cân bằng cho cấu kiện này.

Để giải phương trình (2.15) với các điều kiện biên và điều kiện cân bằng tương tự như cấu kiện chịu nén-uốn, ta thực hiện các bước giống như khi giải cho cấu kiện chịu nén-uốn Đặt a = EI1, b = (I2 - I1)L E, c = M1 + L M2, và d = -M1.

Khi đó, phương trình (2.15) trở thành

( a + bx w ) 2 '' − Pw = ( cx + d ) (2.16) Giả sử b0 Ta biến đổi u = ln( a + bx ) Suy ra x = ( e u − a ) / b và

2 / u / d w dw b b Pw d ac b e c b du − du − = − + (2.17)

Thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến trong hệ tọa độ địa phương

Sau khi giải phương trình vi phân cân bằng và xác định được hàm chuyển vị chính xác, chúng ta sẽ thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử trong hệ tọa độ địa phương bằng phương pháp độ dốc – độ lệch.

2.3.1 Cấu kiện dầm-cột thép vát chịu nén uốn

Viết lại phương trình (2.13), ta có

( ) / w x = C a + bx  + C a + bx  + cx + d P , (2.19) trong đó a= EI 1 , b = ( I 2 − I 1 ) L E , c = M 1 + L M 2 , d = − M 1 , (2.20)

Tiếp theo, ta sẽ xác định các hệ số C1, C2 của phương trình (2.19) dựa vào các điều kiện biên (2.7) và (2.8) như sau

Vì w ( ) 0 = 0nên phương trình (2.19) trở thành

Vì w L ( ) = 0nên phương trình (2.19) trở thành

C a + bL  + C a + bL  + cL + d P = (2.23) Mặt khác, từ các phương trình trong (2.20), ta có a+bL= EI 2 , cL + = d M 2 (2.24)

Giải hệ phương trình (2.25), ta được

( ) ( 1 1 / 2 2 ) 2 / 2 ( 2 ) ( ) 1 / 2 1 2 / 2 det( M ) = EI  EI  − EI  EI  (2.27) Đặt

Thay (2.28) và (2.29) vào (2.26), ta được

Mặt khác, từ (2.19), ta có

Từ (2.31), ta có góc xoay tại hai đầu như sau

Q = a  − b , Q 12 = 2 a  2 − 1 b , Q 21 =1 ( a + bL )  1 − 1 b , Q 22 =2 ( a + bL )  2 − 1 b (2.34) Thay (2.34) vào (2.32) và (2.33), ta được

Viết lại (2.36) dưới dạng mối liên hệ giữa  l 1 , l 2 với M 1 , M 2 như sau

Ta viết lại hệ phương trình (2.39) dưới dạng ma trận như sau

Từ (2.40), ta có thể viết lại như sau

       (2.43) Đặt 11 1 22 , 12 1 12 , 21 1 21 , 22 1 11 det( ) det( ) det( ) det( ) s D s D s D s D

Hệ phương trình (2.45) được gọi là những phương trình độ dốc – độ lệch của cấu kiện, và s 11 ,s 12 ,s 21 ,s 22 là những hàm ổn định

Sau khi xác định các phương trình độ dốc và độ lệch, chúng ta tiến hành xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến cho phần tử trong hệ tọa độ địa phương.

Sự liên hệ giữa lực dọc P và chuyển vị dọc trục u l của cấu kiện được thể hiện qua phương trình (2.46) l

Viết lại phương trình (2.46) và hệ phương trình (2.45) dưới dạng ma trận, ta có

Suy ra, ma trận độ cứng tiếp tuyến trong hệ tọa độ địa phương là

Mặt khác, từ các phương trình trong (2.50), ta có a+bL= EI 2 , cL+ =d M 2 (2.53)

Thay (2.53) vào (2.51) và (2.52), ta được

Viết lại (2.54) và (2.55) dưới dạng ma trận, ta được

Thay (2.57) vào (2.56) và giải hệ phương trình (2.56), ta được

1 , det( ) cos ln / 1/ 4 cos ln / 1/ 4

2 1 det( ) cos ln / 1/ 4 sin ln / 1/ 4 cos ln / 1/ 4 sin ln / 1/ 4

'( ) ' cos ln / 1 / 4 sin ln / 1 / 4 cos ln / 1 / 4 sin ln / 1 / 4 '

/ 1 / 4 sin ln w x a bx C a bx P b C a bx P b a bx C a bx P b C a bx P b c P a bx b C a bx P b C a bx P b a bx C b P b a bx a bx

Từ (2.63), ta có góc xoay tại hai đầu như sau:

Cơ sở lý thuyết 20 Đặt

Q a bL b a bL P b a bL b P b a bL P b a bL

/ 1/ 4 cos ln / 1/ 4 a bL P b a bL b P b a bL P b a bL

Thay (2.66) vào (2.63) và (2.65), ta được

       (2.75) Đặt 11 1 22 , 12 1 12 , 21 1 21 , 22 1 11 det( ) det( ) det( ) det( ) s D s D s D s D

Việc thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử trong hệ tọa độ địa phương được thực hiện tương tự như với trường hợp b 2  4 P

2.3.2 Cấu kiện dầm-cột thép vát chịu kéo uốn

( ) / ( ) w x = C a + bx  + C a + bx  + cx + d − P , (2.78) trong đó a= EI 1 , b = ( I 2 − I 1 ) L E , c = M 1 + L M 2 , d = − M 1 , (2.79)

C a + bL  + C a + bL  + cL + d − P = (2.82) Mặt khác, từ các phương trình trong (2.79), ta có a+bL= EI 2 , cL+ =d M 2 (2.83)

Thay (2.83) vào (2.81) và (2.82), suy ra

Giải hệ phương trình (2.84), ta được

(2.85) trong đó det( M ) = ( ) ( EI 1  1 / 2 EI 2 )  2 / 2 − ( EI 2 ) ( )  1 / 2 EI 1  2 / 2 (2.86) Đặt

Từ (2.89), ta có góc xoay tại hai đầu như sau

Q = a  − b , Q 12 = 2 a  2 − 1 b , Q 21 =1 ( a + bL )  1 − 1 b , Q 22 =2 ( a + bL )  2 − 1 b (2.92) Thay (2.92) vào (2.90) và (2.91), ta được

Cơ sở lý thuyết 24 Đặt

Việc thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến của phần tử trong hệ tọa độ địa phương được thực hiện tương tự như trong trường hợp b2 > 4P đối với cấu kiện chịu nén uốn.

Thiết lập phần tử hữu hạn dầm-cột đồng xoay

2.3.1 Mô hình động học của phần tử đồng xoay

Thiết lập phần tử dầm-cột đồng xoay phẳng Hình 2.4 sau đây được trình bày bởi Battini (2002) [13]

Hình 2.4 Vị trí ban đầu và sau khi chuyển vị của phần tử dầm-cột

Tọa độ nút 1 và nút 2 của phần tử được thể hiện trong Hình 2.4 Véc-tơ chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể được định nghĩa

Véc-tơ chuyển vị trong hệ tọa độ địa phương được định nghĩa

Các thành phần chuyển vị địa phương trong Véc-tơ d l được xác định bằng các công thức sau: u l = −L L 0, θ l 1 = −θ θ θ 1 r, và l 2 = θ θ 2 − r Trong đó, L0 và L là chiều dài của phần tử tương ứng với cấu hình ban đầu và cấu hình hiện tại.

Ngoài ra, còn có r là góc xoay cứng được tính toán từ sự thay đổi hình học của phần tử

Góc xoay cứng được tính theo theo công thức  r 

1 1 1 1 sin (sin ) sin 0, cos 0, cos (cos ) sin 0, cos 0, sin (sin ) sin 0, cos 0, cos (cos ) sin 0, cos 0. r r r r r r r r r r r r r r r r

Thay (2.107) và (2.108) vào (2.106) Sau đó, lấy vi phân phương trình (2.106) ta được các vi phân chuyển vị ảo

Lấy vi phân phương trình thứ 4 trong công thức (2.110), ta được

2.3.3 Véc-tơ nội lực phần tử

Mối quan hệ giữa véc-tơ nội lực phần tử trong hai hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể được mô tả bằng phương trình công ảo, cho thấy sự tương tác giữa các lực trong các hệ tọa độ khác nhau Phương trình này giúp xác định cách thức mà các véc-tơ nội lực ảnh hưởng lẫn nhau trong các hệ thống kỹ thuật.

Từ (2.118), véc-tơ nội lực phần tử trong hệ tọa độ tổng thể được viết lại

= l f B f , (2.119) trong đó, véc-tơ nội lực phần tử f , f l được định nghĩa như sau

2.3.4 Ma trận độ cứng tiếp tuyến

Ma trận độ cứng tiếp tuyến tổng thể được định nghĩa

Lấy vi phân của f từ phương trình (2.119) ta được

Cơ sở lý thuyết 28 Đặt r = −  c − s 0 c s 0  T , (2.124)

Lấy vi phân, ta được

Từ (2.112) và (2.115) được viết lại

Các ma trận bi (với i = 1,2,3) là các cột của ma trận B T , có thể viết lại

Lấy vi phân (2.129), ta có

Số hạng đầu tiên trong trong phương trình (2.123) l l l l

Thay các phương trình (2.130) đến (2.132) vào phương trình (2.123), ma trận độ cứng tiếp tuyến tổng thể cho phần tử đồng xoay phẳng được tính toán bằng công thức sau

Thuật toán giải phi tuyến

2.4.1 Phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát

Trong luận văn này, phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát do Yang và Shieh đề xuất sẽ được áp dụng để giải quyết phương trình phi tuyến Phương pháp này sử dụng tham số độ cứng tổng quát (GSP) và được chứng minh là ưu việt hơn các phương pháp hiện có nhờ vào những ưu điểm như tự thích ứng với sự thay đổi hướng tải trọng tại các điểm giới hạn, duy trì sự ổn định về mặt số học trong tất cả các vùng, bao gồm cả vùng gần điểm tới hạn, và tự động điều chỉnh kích thước bước tải để phản ánh độ cứng và độ mềm của kết cấu Tác giả sẽ tập trung vào việc áp dụng phương pháp, chi tiết về cách thiết lập phương pháp có thể tham khảo trong tài liệu của Yang và Shieh.

Hình 2.5 Sơ đồ thuật toán giải phi tuyến tổng quát

Trong bài viết này, chúng tôi giải thích một số ký hiệu quan trọng liên quan đến quá trình gia tải Ký hiệu "i" đại diện cho bước gia tải thứ i, trong khi "j" biểu thị bước lặp thứ j của bước gia tải đó Hệ số gia tải của bước lặp thứ j trong bước gia tải thứ i được ký hiệu là "j d  i" Những ký hiệu này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về quy trình gia tải.

P ref : Tải trọng tham chiếu j

K i : Ma trận độ cứng hệ kết cấu tại cuối bước lặp thứ j của bước gia tải thứ i j

Lực dư R i tại bước lặp thứ j của bước gia tải thứ i được xác định thông qua mối liên hệ giữa lực dư R i j − 1 và ma trận độ cứng K i j − 1 Gia số chuyển vị j dΔ i (j ≥ 2) phản ánh sự thay đổi của hệ do ảnh hưởng của tải trọng tham chiếu d i j P ref và ma trận độ cứng K i j − 1 Tổng gia số chuyển vị dΔ i trong toàn bộ bước gia tải thứ i cho thấy sự biến đổi tích lũy của hệ Tổng chuyển vị j Δ i tại bước lặp thứ j và Δ i tại bước lặp cuối cùng của bước gia tải thứ i cung cấp cái nhìn tổng quát về trạng thái chuyển vị của hệ trong quá trình gia tải.

• Các bước thực hiện như sau:

Bước 1: Chọn gia số tải trọng d 1 1 để bắt đầu

Bước 2: Cho bước lặp đầu tiên ( j = 1) trong bước i bất kì: a) Từ ma trận độ cứng kết cấu K i 0 b) Giải phương trình cân bằng (2.134) để tìm dΔ 1 i

Khi i2, sử dụng phương trình (2.135) để xác định GSP

(2.135) c) Khi i2, sử dụng phương trình (2.136) để xác định d  i 1

1 ( ) d  i = d  GSP (2.136) d) Kiểm tra nếu GSP < 0, nhân d  i 1 với (-1) để đảo hướng gia tải e) Xác định chuyển vị bằng việc sử dụng phương trình (2.137) j j j j i = d  i i + i dΔ dΔ dΔ , (2.137) chú ý rằng dΔ 1 i = 0

Bước 3: Cho những bước lặp tiếp theo ( j  2): a) Xác định lực dư R i j − 1 b) Cập nhật ma trận độ cứng K i j − 1 c) Giải phương trình (2.138) và (2.139) để tìm dΔ i j và dΔ i j

K dΔ R (2.139) d) Giải phương trình (2.140) để xác định hệ số gia tải d  i j

(2.140) e) Tính toán chuyển vị dΔ i j cho bước lặp hiện tại bằng việc sử dụng phương trình (2.141) j j j j i = d  i i + i dΔ dΔ dΔ (2.141)

Bước 4: Cập nhật lực, mức tải và hình học của phần tử

Lặp lại các bước 3 và 4 cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn Nếu tổng tải không vượt quá tải trọng lớn nhất cho phép, hãy quay lại bước trước đó để điều chỉnh.

2 cho bước tăng tải kế tiếp Ngược lại, quy trình kết thúc

Tác giả trình bày chi tiết trình tự các bước thực hiện của thuật toán điều khiển chuyển vị tổng quát như trong Hình 2.6

Hình 2.6 Lưu đồ thuật toán điều khiển chuyển vị tổng quát

Chương trình phân tích

Giới thiệu chương trình

Chương trình là một tập hợp các tập tin với các chức năng như sau:

• Example.m : Khai báo dữ liệu đầu vào cần thiết để thực hiện phân tích,

• Hamondinh.m : Tính toán hàm ổn định, là cơ sở quan trọng để xây dựng ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương,

• Corotation.m : Xác định các hệ số trong công thức đồng xoay,

• K_global.m : Lấy dữ liệu từ các tập tin “Hamondinh.m” và “Corotation.m” để xây dựng ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể,

• TSAP.m : Lấy dữ liệu từ các tập tin “Example.m” và “K_global.m” kết hợp thuật toán giải phi tuyến để tiến hành phân tích bài toán.

Dữ liệu đầu vào

Bảng 3.1 trình bày những dữ liệu đầu vào quan trọng cần nhập vào tập tin

“Example.m” để thực hiện phân tích

Bảng 3.1 Dữ liệu đầu vào chương trình phân tích

STT Biến số Diễn giải

1 n_ele Số phần tử trên một cấu kiện

2 n_nod Số lượng nút trên một cấu kiện

3 Sdof Tổng số bậc tự do

4 Lm Chiều dài cấu kiện

5 x Tọa độ nút theo phương x

6 y Tọa độ nút theo phương y

9 h1 Chiều cao tiết diện nút i

10 h2 Chiều cao tiết diện nút j

11 BF Chiều rộng cánh tiết diện

12 TF Chiều dày cánh tiết diện

13 TW Chiều dày bụng tiết diện

14 E Mô đun đàn hồi của vật liệu

15 bc Bậc tự do bị ngăn cản chuyển vị và giá trị

16 Fref Véc tơ tải trọng tác dụng

17 dof_out Bậc tự do cần xuất chuyển vị

Lưu đồ thuật toán chương trình phân tích

Chương trình phân tích áp dụng thuật toán điều khiển chuyển vị tổng quát được trình bày ngắn gọn qua lưu đồ thuật toán như trong Hình 3.1.

Hình 3.1 Lưu đồ thuật toán chương trình phân tích i=i+1

Tìm vector tải gia tăng j=j+1

Xác định ma trận độ cứng phần tử Cập nhật ma trận độ cứng tổng thể

Tìm vector chuyển vị gia tăng

Kiểm tra điều kiện hội tụ

Xác định vector lực dư

Thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xuất dữ liệu Bắt đầu

KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ

Ví dụ 1: Kiểm tra tính chính xác của lời giải giải tích

Cấu kiện dầm-cột thép vát tiết diện chữ I có gối tựa 2 đầu, chịu lực nén dọc trục P và mô-men uốn M1, M2 tại hai đầu, được minh họa trong Hình 4.1.

Hình 4.1 Dầm-cột thép dạng chữ I có tiết diện thay đổi

Kết quả phân tích số 36

Thông số trên sơ đồ kết cấu

- Cường độ tính toán: f = 210 MPa

- Mô đun đàn hồi: E = 2.00E+05 Mpa

Thông số cấu kiện vát

+) Chiều dày cánh: tf = 6 mm

+) Chiều dày bụng: tw = 5 mm

Để đánh giá tính chính xác của lời giải phân tích, giá trị mô-men hai đầu α(M1+M2) sẽ được tăng dần, với M2 = 1000 kNm, như trình bày trong Bảng 4.1.

Bảng 4.1 Bảng số lần tăng tải và giá trị tăng mô-men

STT α Giá trị M1 (kNm) Giá trị M2 (kNm)

4.1.1 Khảo sát sự hội tụ của phân tích

Khảo sát sự hội tụ của chuyển vị tại điểm chính giữa dầm-cột dưới tải trọng M1 = 2000kNm và M2 = 1000kNm được thực hiện bằng phần mềm SAP2000 Cấu kiện được chia thành từ 2 đến 16 phần tử, và kết quả thu được đã được trình bày trong Bảng 4.2.

Bảng 4.2 Khảo sát sự hội tụ của phân tích cho cấu kiện trong ví dụ 1

Số phần tử w (m) Chênh lệch

Khi chia cấu kiện thành 4 và 8 phần tử, kết quả cho thấy sự hội tụ dần dần ở cả hai trường hợp, do đó, chênh lệch giữa các lần chia cấu kiện này là không đáng kể.

Kết quả phân tích với cấu kiện chia thành 8 phần tử trong phần mềm SAP2000 đạt độ chính xác cao, chỉ sai số khoảng 0.03% Tuy nhiên, tác giả quyết định chia cấu kiện thành 16 phần tử để thể hiện chính xác hơn về biến dạng khi chịu tải trọng và để so sánh kết quả với lời giải phân tích.

Kết quả tính toán bằng lời giải giải tích được so sánh với kết quả của phần mềm SAP2000 và được thể hiện trên Hình 4.2

Hình 4.2 Tổng hợp cấu hình biến dạng

Cấu hình biến dạng giữa SAP2000 phi tuyến chuyển vị lớn và lời giải giải tích gần như trùng khớp, điều này chứng tỏ độ chính xác cao của lời giải giải tích đã được tìm ra.

Ví dụ 1a: Dầm-cột đơn giản

Trong bài viết này, tác giả áp dụng phương pháp phân tích đàn hồi chuyển vị lớn cho dầm-cột đơn giản, sử dụng các thông số tương tự như trong ví dụ 1 Cụ thể, trường hợp tải trọng được xem xét là M1 = 2000 kNm, M2.

= 1000kNm và P = 1000kN bằng chương trình Matlab và phần mềm phân tích kết cấu SAP2000

0.1M-SAP20000.2M-SAP20000.4M-SAP20000.6M-SAP20000.8M-SAP20001M-SAP20000.1M-Tác giả0.2M-Tác giả0.4M-Tác giả0.6M-Tác giả0.8M-Tác giả1M-Tác giả

Bảng 4.3 Khảo sát sự hội tụ của phân tích cho cấu kiện trong ví dụ 1a

SAP2000 Tác giả (Matlab) w (m) Chênh lệch u (m) Chênh lệch w (m) Chênh lệch u (m) Chênh lệch

Kết quả khảo sát sự hội tụ của phân tích SAP2000 cho thấy khi chia cấu kiện thành 16 phần tử, chuyển vị dần tiến đến sự hội tụ, với chênh lệch giữa lần chia thứ 8 và 16 lần lượt là 0.03% cho UY và 1.10% cho UX Tương tự, phân tích Matlab cũng cho thấy sự hội tụ khi chia cấu kiện thành 16 phần tử, với chênh lệch giữa lần chia thứ 8 và 16 là 0.08% cho UY và 0.82% cho UX.

=> Kiểm tra phân tích kết quả với 16 phần tử

Hình 4.3 Kết quả đường quan hệ lực – chuyển vị dầm-cột đơn giản

Chuyển vị (m) w - SAP2000 w - Tác giả u - SAP2000 u - Tác giả

Bảng 4.4 So sánh kết quả phân tích cấu kiện dầm-cột đơn giản

Chương trình đề xuất có khả năng phân tích phi tuyến chuyển vị lớn cho dầm-cột vát với độ chính xác cao Điều này mang ý nghĩa quan trọng về mặt cơ học, đặc biệt trong việc chứng minh tính hiệu quả của công thức đồng xoay đã được thiết lập và thuật toán giải phi tuyến.

Ví dụ 2: Dầm công-xôn chịu tải tập trung

Dầm công-xôn có hình dạng giảm dần từ đầu ngàm đến đầu tự do và chịu tải trọng tập trung Q tại đầu tự do Vật liệu sử dụng cho dầm là thép với mô-đun đàn hồi đạt 200 kN/mm².

Hình 4.4 Mô hình dầm công-xôn chịu tải tập trung

Tác giả thực hiện phân tích đàn hồi chuyển vị lớn cho dầm với giá trị tải trọng

Q tăng dần từ 0 đến 1000kN bằng chương trình Matlab và phần mềm phân tích kết cấu SAP2000

Kết quả khảo sát sự hội tụ từ phân tích SAP2000 cho thấy khi chia cấu kiện thành 16 phần tử, chuyển vị dần tiến đến sự hội tụ, với chênh lệch giữa lần chia thứ 8 và 16 lần lượt là 0.06% cho UY và 0.15% cho UX Tương tự, phân tích Matlab cũng cho kết quả hội tụ khi chia cấu kiện thành 8 phần tử, với chênh lệch giữa lần chia thứ 4 và 8 là 0.15% cho UY và 0.4% cho UX.

=> Kiểm tra phân tích kết quả với 8 phần tử

Hình 4.5 Kết quả đường quan hệ lực – chuyển vị dầm công-xôn

Chuyển vị (m) w - SAP2000 w - Tác giả u - SAP2000 u - Tác giả

Bảng 4.6 So sánh kết quả phân tích cấu kiện dầm công-xôn

Theo Bảng 4.6, với tải trọng Q = 1000kN, chuyển vị w từ SAP2000 là 5.321m và từ chương trình phát triển là 5.311m, cho thấy giá trị chuyển vị này quá lớn so với chiều dài L = 10m của cấu kiện Mục đích của tác giả khi chọn tải trọng này là để chứng minh khả năng phân tích chuyển vị lớn của chương trình Qua khảo sát tải trọng từ 100kN đến 500kN bằng SAP2000, kết quả cho thấy sự chênh lệch giữa phân tích có và không xem xét chuyển vị lớn tăng từ 0.75% lên 13.95%, và đạt 33.71% khi Q = 1000kN, chứng minh sự cần thiết của phân tích này Sự chênh lệch giữa kết quả từ chương trình phát triển và SAP2000 (có xét chuyển vị lớn) chỉ là 0.19%, khẳng định hiệu quả của chương trình trong việc phân tích cấu kiện với chuyển vị lớn, và việc chọn tải trọng Q = 1000kN nhằm làm rõ khả năng này.

Bảng 4.7 So sánh kết quả phân tích SAP2000 giữa lựa chọn phân tích có và không xem xét chuyển vị lớn

(kN) w (m) Phân tích không xem xét chuyển vị lớn w (m) Phân tích có xem xét chuyển vị lớn

Ví dụ 3: Dầm-cột công-xôn chịu tải tập trung

Dầm-cột công-xôn, như thể hiện trong Hình 4.6, có đặc trưng hình học với tải trọng tập trung Q và P tại đầu tự do Tiết diện của dầm-cột giảm dần từ đầu ngàm đến đầu tự do, và vật liệu thép sử dụng có mô-đun đàn hồi đạt 200 kN/mm².

Hình 4.6 Mô hình dầm-cột công-xôn chịu tải tập trung

Tác giả đã tiến hành phân tích đàn hồi chuyển vị lớn cho dầm-cột, với tải trọng Q và P được tăng dần từ 0 đến 1000 kN, sử dụng chương trình Matlab và phần mềm phân tích kết cấu SAP2000.

Kết quả khảo sát sự hội tụ của phân tích SAP2000 cho thấy, khi chia cấu kiện thành 16 phần tử, chuyển vị dần tiến đến sự hội tụ với chênh lệch giữa lần chia thứ 8 và 16 là 0.14% cho UY và 0.10% cho UX Do đó, kết quả phân tích của SAP2000 với 16 phần tử được sử dụng để kiểm chứng kết quả do tác giả đề xuất Đối với phân tích Matlab, khi chia cấu kiện thành 8 phần tử, chuyển vị cũng đã đạt đến sự hội tụ, với chênh lệch giữa lần chia thứ 4 và 8 là 0.56% cho UY và 0.42% cho UX.

Hình 4.7 Kết quả đường quan hệ lực – chuyển vị dầm-cột công-xôn

Bảng 4.9 So sánh kết quả phân tích cấu kiện dầm-cột công-xôn

Tác giả đã sử dụng các thông số hình học, vật liệu và tải trọng tương tự như trong ví dụ 2, nhưng bổ sung thêm lực dọc P = 1000kN để thể hiện sự chênh lệch chuyển vị đứng w khi có và không có tác động của lực dọc Điều này giúp minh họa tác động phi tuyến hình học, với sự chênh lệch được thể hiện trong Bảng 4.10 Theo bảng này, khi giá trị lực dọc tăng từ 100kN đến 500kN, sự chênh lệch giữa phân tích có và không xem xét tác động phi tuyến ngày càng rõ rệt.

Chuyển vị (m) w - SAP2000 u - SAP2000 w - Tác giả u - Tác giả

Kết quả phân tích số 44 cho thấy sự gia tăng từ 4.23% lên 21.31%, với sự chênh lệch lớn 38.58% khi giá trị P = 1000kN Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phân tích tác động phi tuyến hình học của cấu kiện dưới tải trọng Sự khác biệt chỉ 0.18% giữa kết quả phân tích bằng chương trình đã phát triển và SAP2000 (có xem xét tác động phi tuyến hình học) chứng tỏ hiệu quả của chương trình Việc sử dụng giá trị lực dọc P = 1000kN nhằm minh chứng rõ nét khả năng phân tích này.

Bảng 4.10 So sánh kết quả phân tích SAP2000 giữa lựa chọn phân tích có và không xem xét tác động phi tuyến hình học

(kN) w (m) Không xét tác động phi tuyến hình học w (m)

Có xét tác động phi tuyến hình học

Ví dụ 4: Dầm-cột đầu ngàm - đầu khớp di động chịu tải tập trung

Cấu kiện dầm-cột với một đầu ngàm và một đầu khớp di động chịu tải ngang tập trung 100kN tại giữa nhịp cùng tải nén dọc trục 400kN có đặc trưng hình học như trong Hình 4.8 Hadidi (2014) đã thực hiện phân tích đàn hồi bậc hai cho cấu kiện, sử dụng ma trận độ cứng để chính xác hóa sự thay đổi đặc trưng hình học dọc theo chiều dài cấu kiện Phân tích được thực hiện bằng phần mềm ABAQUS với phần tử vỏ S4R 4 nút, áp dụng các kích thước lưới chia khác nhau là 300mm, 50mm và 10mm như thể hiện trong Hình 4.9 Vật liệu thép có mô-đun đàn hồi là 206kN/mm².

Hình 4.8 Mô hình dầm-cột ngàm-khớp chịu tải tập trung

Hình 4.9 Chia lưới phần tử vỏ trong mô hình ABAQUS của Hadidi [15] 4.5.1 Khảo sát sự hội tụ của phân tích

Tác giả tiến hành khảo sát sự hội tụ của phân tích Matlab như được trình bày trong Bảng 4.11:

Số PT  (mm) Chênh lệch

Nhận xét: Tại trường hợp chia cấu kiện thành 4 phần tử thì chuyển vị đã đạt đến sự hội tụ Chênh lệch giữa lần chia thứ 2 và 4 là 0.02%

Tác giả đã sử dụng kết quả từ ABAQUS với mức chia 10mm làm chuẩn để đánh giá độ sai lệch của các kết quả Kết quả chuyển vị tại điểm đặt lực từ phần tử đề xuất cho thấy sai lệch không đáng kể so với kết quả của Hadidi.

[15] và chỉ lệch 2.74% so với kết quả từ chương trình ABAQUS [15] Kết quả so sánh được trình bày trong Bảng 4.12.

Bảng 4.12 So sánh kết quả phân tích cấu kiện ngàm-khớp

Nghiên cứu Chuyển vị  (mm) Sai khác (%)

Chương trình phát triển đã phân tích chính xác kết quả chuyển vị của cấu kiện với một đầu ngàm và một đầu khớp Điều này chứng tỏ rằng chương trình có khả năng áp dụng cho các cấu kiện với nhiều loại liên kết hai đầu khác nhau.

Ví dụ 5: Tìm tải tới hạn đàn hồi cho cột vát hai đầu liên kết khớp

Meghrajani và Ingle (2015) đã phân tích tải tới hạn của cột thép chữ I liên kết khớp hai đầu chịu tải trọng nén đúng tâm bằng phần mềm SAP2000 Mô hình phân tích bao gồm phần tử đường cấu kiện vát và phần tử vỏ cho ba bản bụng và cánh được chia thành 10 đoạn dài bằng nhau Tiết diện chân cột I-300x6+180x8 có chiều dày bản bụng không đổi, nhưng chiều cao bản bụng tăng dần từ 300mm đến 600mm, với chiều dài cột L = 6m Vật liệu thép có mô-đun đàn hồi là 200kN/mm² Từ kết quả phân tích SAP2000, các tác giả đã thiết lập công thức xấp xỉ để dự đoán tải tới hạn đàn hồi của cột vát chịu nén đúng tâm theo phương pháp hệ số chiều dài tính toán.

1) Tính toán hệ số mô men quán tính R i = I top / I base , (4.1) trong đó Itop và Ibase lần lượt là mômen quán tính của tiết diện đầu cột và chân cột

2) Tính toán tải tới hạn đàn hồi

 , (4.2) trong đó k = 1.02R i -0.2816 đối với cột liên kết khớp hai đầu

Hình 4.10 Cột vát hai đầu liên kết khớp

• Phương pháp độ dốc – độ lệch áp dụng tìm tải tới hạn đàn hồi cột hai đầu liên kết khớp

Hình 4.11 Phương pháp độ dốc – độ lệch áp dụng tìm P cr cho cột vát hai đầu liên kết khớp

Tác giả sử dụng các phương trình độ dốc - độ lệch đã được thiết lập ở chương

2 để xác định tải tới hạn đàn hồi của cột có hai đầu liên kết khớp như sau

Viết lại các phương trình độ dốc – độ lệch, ta có

Vì cấu kiện có hai đầu liên kết khớp nên M 1 = M 2 = 0, suy ra

Viết lại hai phương trình (4.5) và (4.6) dưới dạng ma trận, ta có

Mà  l 1 và  l 2 phải khác không, suy ra

Ta sẽ thử nghiệm từng giá trị của lực dọc P trong phương trình (4.9) cho đến khi đạt được sự thỏa mãn của phương trình Giá trị P tìm được lúc này chính là giá trị Pcr cần xác định.

Bảng 4.13 trình bày kết quả phân tích bằng phương pháp độ dốc-độ lệch và so sánh với phần mềm SAP2000 cùng công thức xấp xỉ của Meghrajani và Ingle [16] Kết quả cho thấy phương pháp độ dốc-độ lệch dự đoán chính xác tải tới hạn đàn hồi của cột 2 đầu khớp chịu nén đúng tâm, với sai số lớn nhất chỉ 0.1% Trong khi đó, phương pháp chiều dài tính toán của Meghrajani và Ingle [16] cho kết quả sai lệch nhiều hơn Điều này chứng tỏ rằng công thức của Meghrajani và Ingle [16] rất tiện lợi cho thiết kế thực hành trong thực tế.

Bảng 4.13 So sánh kết quả phân tích tải tới hạn đàn hồi cột hai đầu liên kết khớp

Pcr (kN) Sai khác so với SAP2000 Meghrajani và Ingle [16] SAP2000 Tác giả Meghrajani và Ingle [16] Tác giả

Nhằm đáp ứng nhu cầu đề xuất hệ số chiều dài tính toán k cho việc dự đoán tải tới hạn đàn hồi của cột vát hai đầu khớp, tác giả đã dựa trên ý tưởng của Meghrajani và Ingle [16] Bài viết cũng trình bày một số dạng hàm của hệ số k trong công thức (4.2), được hỗ trợ bởi khớp hàm trong Excel như được mô tả dưới đây.

Bảng 4.14 Hệ số k từ SAP2000 cột hai đầu liên kết khớp

(mm) Itop mm 4 Pcr (kN)

Hình 4.12 So sánh giá trị dự đoán hàm k cột hai đầu liên kết khớp với SAP2000 k = 1.0045R i -0.271

Hệ số k từ khớp hàm Excel (hàm mũ)

Bảng 4.15 Tải tới hạn cột hai đầu liên kết khớp từ công thức đề xuất hệ số k

I top /I base k P cr (kN) P cr (kN)

Công thức k = 1.0045*Ri -0.271 được đề xuất cho cột vát hai đầu liên kết khớp cho thấy dạng hàm mũ, dựa trên phương pháp chiều dài tính toán Kết quả dự đoán tải tới hạn đàn hồi của bài toán cho thấy độ chính xác cao, có thể ứng dụng hiệu quả trong thiết kế thực hành.

Ví dụ 6: Tìm tải tới hạn đàn hồi cho cột vát một đầu ngàm một đầu tự do

Meghrajani và Ingle (2015) đã tiến hành phân tích tải tới hạn đàn hồi của cột thép vát chữ I, với một đầu ngàm và một đầu tự do, chịu tải trọng nén dọc trục tại đầu cột Cụ thể, tiết diện chân cột là I-300x6+180x8, trong khi tiết diện đầu cột có chiều cao bụng thay đổi từ 300mm đến 600mm Chiều dài của cột là 6m, và vật liệu thép được sử dụng có mô-đun đàn hồi là 200kN/mm².

Hình 4.13 Cột vát một đầu ngàm, một đầu tự do

• Phương pháp độ dốc – độ lệch áp dụng tìm tải tới hạn đàn hồi cột một đầu ngàm một đầu tự do

Hình 4.14 Phương pháp độ dốc – độ lệch áp dụng tìm P cr cho cột vát một đầu ngàm một đầu tự do

Tác giả tiếp tục áp dụng các phương trình độ dốc - độ lệch từ chương 2 để tính toán tải tới hạn đàn hồi cho cột có một đầu ngàm và một đầu tự do Tuy nhiên, do cột này có chuyển vị tương đối giữa hai đầu cấu kiện, ký hiệu là  như minh họa trong Hình 4.14a, nên các phương trình độ dốc - độ lệch cần được điều chỉnh cho phù hợp.

Thay (4.12) và (4.13) vào (4.11), ta được

Xét cân bằng lực cắt như trong hình Hình 4.14b, ta có M 1 P 0

Viết lại phương trình (4.14) và (4.17) dưới dạng ma trận, ta có

Mà  l 2 và  phải khác không, suy ra

Ta thực hiện thử nghiệm với các giá trị của lực dọc P trong phương trình (4.20) cho đến khi đạt được sự thỏa mãn của phương trình Giá trị P thu được lúc này chính là giá trị Pcr cần xác định.

Bảng 4.16 trình bày kết quả phân tích bằng phương pháp độ dốc – độ lệch, so sánh với kết quả từ phần mềm SAP2000 và công thức xấp xỉ của Meghrajani và Ingle Phương pháp độ dốc – độ lệch cho thấy khả năng dự đoán tải tới hạn đàn hồi của cột vát có chân ngàm, đầu tự do chịu nén đúng tâm ở đầu cột rất chính xác, với sai số lớn nhất chỉ 0.02% Ngược lại, phương pháp chiều dài tính toán của Meghrajani và Ingle có sai lệch lớn hơn.

Bảng 4.16 So sánh kết quả phân tích tải tới hạn đàn hồi cột chân ngàm, đầu tự do

Pcr (kN) Sai khác so với SAP2000 Meghrajani và Ingle [16] SAP2000 Tác giả Meghrajani và Ingle [16] Tác giả

Cũng như ví dụ 5, tác giả cũng đề xuất một dạng hàm của hệ số k cho bài toán cột một đầu ngàm, một đầu tự do như sau:

Bảng 4.17 Hệ số k từ SAP2000 cột chân ngàm, đầu tự do

(mm) Itop mm 4 Pcr (kN)

Hình 4.15 So sánh giá trị dự đoán hàm k cột chân ngàm, đầu tự do với SAP2000 k = 2.005R i -0.16

Hệ số k từ khớp hàm Excel (hàm mũ)

Bảng 4.18 Tải tới hạn cột chân ngàm đầu tự do từ công thức đề xuất hệ số k

I top /I base k P cr (kN) P cr (kN)

Công thức k = 2.005Ri - 0.16, dựa trên kết quả so sánh, cho thấy mối liên hệ hàm mũ cho cột vát với một đầu ngàm và một đầu tự do Phương pháp chiều dài tính toán này cho phép dự đoán tải tới hạn đàn hồi với độ chính xác cao, từ đó có thể áp dụng hiệu quả trong thiết kế thực hành.

Định dạng
Số trang	70
Dung lượng	1,23 MB