Ebook Bài giảng và lời giải chi tiết giải tích 12: Phần 2

Trang 1

b Ta có: Jf&«)dx = — = Jxt2+ x+I l 2 Jos = 2X +2x+In|x+l|+C x+I 2

®$” Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên:

s Câu a) được trình bày theo hai cách với mục đích yêu cầu các em học sinh

đưa ra lời đánh giá Và rút ra nhận định rằng cách 2 luôn được ưu tiên bởi

nếu thay (3x + 2)* bang (3x + 2)”*” thì không thể sử dụng cách I

Với cách 2 các em học sinh có thể hiểu theo nghĩa nếu thay x bằng u thì: ys!

fu%du = +C,a#-l a+

= Ocaub) ngoài việc thực hiện động tác tách biểu thức ban đầu thành các

toán tử nhỏ, chúng ta còn sử dụng công thức fo = Inlu| +, u

` + ` at ¬ 3

Xídu2: Tìm ngun hàm của hàm số fo = 2sin° 2x + 2cos.sin=

ở Hướng dân: Thực hiện thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử

nhỏ (cụ thể là phép hạ bậc và biến đổi tích thành tổng) mà có thể

xác định được nguyên hàm của chúng dựa vào bảng nguyên hàm

/@Š Giải

Ta có:

[foodx = [2n 2x+2eos Song lu = [(1-cos4x + sin2x ~sinx)dx

1L, I

= x ——sin4dx -—cos2x+cosx+C

4 2

Xídu3; Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

¬ ¬ (2 +3*)

a f(x)=(e* +e’) b {() = ở Hướng đẩn: Thực hiện tương tự ví dụ 2

BS Giải

a Ta có: ffooax = f(e* +e") dx = f(e%* +207 e" +6" dx

Trang 2

b Ta có: =) x r 2(3 x | 2 3X | fo" = — dx = ——|~—l —— “| C

“$e(3) Ge SE) ald 2 4

Nhan xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên:

»„ Câu a) được đề xuất với mục đích giúp các em học sinh ôn lại công thức 4.c trong bảng nguyên hàm Tuy nhiên, trước đó chúng ta thực hiện thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ

» Câu b) được đề xuất với mục đích giúp các em học sinh ôn lại công thức

4.d trong bảng nguyên hàm Tuy nhiên, trước đó chúng ta thực hiện hai

động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ

Vídu4: Tìm ngun hàm của các hàm số sau:

|

a f(x)=—.——— _ b f(x) =tan*x +cot"x

sin” X.cOS” X ở Hướng dẫn: Thực hiện tương tự ví dụ 2

BS Giải

a Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Ta có:

| Sin” x +€o$” x 1 1

[fcodx = (——— dx=[——— + dx= —+—— |dx

sin” X.cos” X sin” x.cos” x cos’x sin’ x = tanx — cotx + C Cách 2: Ta có: ffoodx = T=— = [- : dx =—2cot2x + C sin” X.cOS” X sin 2x

b Ta có:

ffooax = [(tan? x + cot? x) dx = Ír- _ +1- — Jax cos’ xX sin” x = 2x — tanx + cotx + C,

®” Nhận xét: Như vay, dé tim nguyên hàm của các hàm số trên:

s Câu a) được đề xuất với mục đích giúp các em học sinh ôn lại các công

thức 5.a và 5.b trong bảng nguyên hàm

s Ocaub) chúng ta thực hiện thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành các toán tử nhỏ

Trang 3

| Bài toán 2: Tim nguyen ham bằng phương pháp phân tích

Phương pháp áp dung

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất

thức để biến đổi hàm số ban đầu (hoặc gọi là hàm số dưới dấu tích phân) thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi

đơn giản đã biết

Để tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) bằng phương pháp phân

tích, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước I: Biến đổi f(x) vé dang: f(x) = Sa),

i=l

với f(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và ơ, là các hằng số

Bước 2: Khi đó: Ífx)dx= [3`ojf(x)dx = Ÿ`e, [T@x)dx

i=l i=!

# Chit ¥ quan trong: Diém mấu chốt là phép phan tich trong budc 1, céc em

học sinh có thể rút ra ý tưởng cho riêng mình từ một vài minh hoạ sau: = V6i f(x) = (x — 2)(x7 + x + 1) thi bằng việc sử dụng phép nhân đa thức

ta viét lai:

f(x) =x? -x*-x-2,

: x?-2x4+] 0.) ae , «Io:

» Vi f(x) = ¬== thì bằng phép chia đa thức ta viết lại:

x+

fx)=x—3+ oa x+]

® Vi f(x) = she —_ thì bằng phép phân tích đa thức thành nhân tử ta

x =3x+2 viết lại: c—l)~(x~2 L £(x) l _Á l)—(X dL l _ ~ (x 1x2) (x - P(x - 2) x-2 x-l l \

" - Với Í(x)= —————— thì bằng sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta viết lại:

f(x) = Vx+1+ vx = Jxt+livx

(x+1)-x

» V6i f(x) = cos3x.cosx thi bang viéc sir dung cơng thức biến đổi tích

thành tông ta viết lại:

f(x) = 5 (cos4 + cos2x)

Trang 4

Vidul; Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a f(x)=(x+ 1)(x + 2) b f(x) = x(x + 12",

d Hướng dân: Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp giải toán BS Gidi

a Taco thé lua chon hai cach trinh bay sau:

Cách 1: Ta biến đổi:

Jf(x)dx = f(x + 1)(x + 2)dx = Í(x?+ 3x + 2)dx = ax + ox +2x+C Cách 2: Ta biến đổi:

[foods = fox + Dox + 2)dx =Í& + DĨ + 1) + l]dx

= [lx + DP +(x + Didx =Í[œ& + ĐŸ+ (x + D)]Jd( + 2 ] 1 3 =-~(x+l)'+—(x+l#+C 3 ( ) P ( ) b Sử dụng đồng nhất thức x = (x + I) — 1,ta được: xŒ + l)”” =[( + 1)~ 1K + 1) = (x + 1) = (x + 1), Khi đó: [foods = [x(x +1)°'dx = Joey -(x+ 1 |dx _ (XH OH 2011 2010

rr Nhan xét: Qua thi du trén ching ta bat dau lam quen voi viéc xdc dinh nguyên hàm của các hàm đa thức bằng phương pháp phân tích, cu thé:

1 O cau a) chúng ta nhận thay:

s Cách | sử dụng phương pháp nhân đa thức để biến đổi tích thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ

bảng nguyên hàm

" Cách 2 sử dụng đồng nhất thức x + 2 = (x + 1) + 1 để biến đổi nguyên

hàm về dạng tổng của các Ju“du Tuy nhiên, các em học sinh sẽ thấy ngay rằng cách giải này được trình bày chỉ mang tính minh họa bởi nó phức tạp hơn nhiều so với cách ]

2 Ở câu b) chúng ta có thể tổng quát với nguyên hàm:

I= Íx(ax + b)”dx, với a # 0

bằng việc sử dụng đồng nhất thức: x = 1 aX = 1 [(ax + b) - bị

a a

Vidu2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a ee n f(x) =

x+] x'-3x+2ˆ

Trang 5

ở Hướng dẫn: Xem chú ý trong phân phương pháp giải toán BS Gia a Ta có: [f(dx = F—= = ¬.= 4 Jox = 5x 3x 4 dlne + 11+C x+] 2 b Ta có: Jf(x0dx = A : dx = f dx dx = Í = X -3x+2 (x-l\(x—2) x-2 x-l _2 = In|x — 2| — In|x — l|+C = “l+C X_— %@” Nhận xét: Qua thí dụ trên:

1 Ở câu a) chúng ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức là đã biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử

đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm

Ở câu b) chúng ta nhận thấy:

A ,_B_ _(A+Bx-A-2B

x'-3x+2_ x-2 x-l (x-2Xx-])

Ta được đồng nhất thức: 1 = (A + B)x - A - 2B (1)

Để xác định A, B trong (1) ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Phương pháp đồng nhất hệ số): Đồng nhất đẳng thức, ta được:

A+B=0 A=l

©

-A-2B=1 B=-!

Cách 2: (Phương pháp trị số riêng): Lần lượt thay x = 1, x = 2 vào hai vế của (1) ta được A = 1 và B= -] Tức là:

LÔ 1

x-3x+2 x-2 x-l

Vidu3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

_ l - X a 10) = TK b f(x) t`) Vx? 4+24x

d Hướng dẫn: Thực hiện phép nhân liên hợp

Giải

(Vx+1 ~ vx )dx

a Taco: [feodx = j= | ——=

= for )› —x? lá fs = 2 xenon Jee

tri

Trang 6

b Ta có: d - 2(*#~ + 2dx — [x4] - als +2)? d(x? +2)~- [xÌ#x x( Vx? +2 -x}dx x°+2-x? = L(x? +2)? _ = ®

®“ Nhận xét Đề tìm nguyên hàm của các hàm số ở ví dụ trên chúng ta đều sử dụng phép nhân liên hợp bậc hai, cụ thể:

⁄A +⁄B có liên hop 1a JA - VB và ngược lại Tuy nhiên:

l Ở câu a) sau phép lấy liên hợp chúng ta nhận được ngay tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm 2 Ởcâub) chúng ta cần thực hiện thêm việc tách hàm số nhận được thành

hai hàm số nhỏ bởi cân tới hai dạng Íx”dx và [u°du

Vidu4; Tim nguyên hàm của các hàm số sau:

a f(x) =cos3x.cosx b f(x) = sin3x.sin2x.cosx

d Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp biến đổi tích thành tổng trong lượng giác

Giải

a Ta có:

Jf()dx = 5 Keosax + cos2x)dx = sin 4x+ sin 2x+C

b Ta có phân tích:

f(x) = sin3x.sin2x.cosx = sin 3x(sin3x + sin x)

= 5 (in? 3x + sin3x.sinx)= a cos6x +cos2x —cos4x) Khi do:

[feodx = 2 Í(I—os6x + cos2x~cos4x)dx

] 1, 1, 1

= 3[x~gsn6x+sn 2x= 2 sin4x ÌxC,

4 6 2 4

#“ Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm cho các hàm số lượng giác trên

chúng ta sử dụng phương pháp phán tích, cụ thể:

Trang 7

I Ở câu a) chúng ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Các em học

sinh hãy nhớ lại:

COSX.COSY = 2 leos(x + y) + cOS(X — y)] sinx.siny = 5 [cos(x — y) — cos(x + y)]

sinx.cosy = 5 [sin(x + y) + sin(x - y)] cosx.siny = 5 [sin(x + y) — sin(x — y)]

2 Ở câu b) chúng ta sử dụng phép phân tích dần và khi xuất hiện những hàm sinx hoặc cosx bậc cao chúng ta sử dụng công thức hạ bậc Các em học sinh hãy nhớ lại các công thức sau:

c2 l-cos2x , 2 l+cos2x

sinˆx = = và COS x= ——

3cos x + cos3x

_== - Vidu5; Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a Í(x) =sin x b f(x) =cot'x

3sin x— sin3x

sinŸx = va cos*x =

d Hướng dẫn: Ta lần lượt:

a Với câu a) sử dụng ngay công thức hạ bậc của hàm số sin

b._ Với câu b) cần thực hiện việc hạ bậc dần vì chúng ta chỉ có cơng

thức cho cox

4 Giải

a Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Ta biến đổi:

[f(x)dx = [sin2xdx = [(3sinx — sin3x)dx -i{-3 COSX+ tc0s3x | Ce Cách 2: Ta biến đổi:

Jf(&«)dx = Ísin2xdx = Ísin2x.sinx.dx = Í(1 — cos”x)sinx.dx = [sinx.đx + Ícos”x.d(cosx) = —c0SX + 00s'x +C

b Sử dụng đồng nhất thức:

l ì 1

cot’x = cot *x.cot x = | — 5 -ljsotx = cotx.—-— sin’ x sin” x — cotx

Trang 8

Ta được: ffoodx = bì X = - |cot x.d(cotx)— f ~cot x Ja = [oot x — I dx— — * dx sin X sin’ x sin” xX

d(sin xX) -5 cot"x — Inlsinx! + C

sin xX

* Nhan xét: Nhu vay, để tìm nguyên hàm cho các hàm số lượng giác trên:

1 Ở câu a) việc trình bày theo hai cách với mục đích cho các em học sinh thấy tính linh hoạt trong các phép biến đổi lượng giác của hàm số dưới dấu tích phân

2 Ở câu b) chúng ta có thể tổng quát với:

I= Jcot"dx (hoặc I, = |tan"dx), n>2

Vidu6; Tim nguyên hàm của các hàm số sau:

¬ sin’ x e* -| a f(x)= /#Š Giải

a Sử dụng kết quả cx = -d(cot x), ta được: Sn"x

dx

t2 0T cina2 ~

sin” X sin’ X

[foodx = i = [cl + cot? x)d(cot x)

I

= “cotx cot’ x +C

b Su dung _ nhất thức l = e* — (e* — l), ta được: l —(e* _Ù _ e*

e* 1 e-] eI

Suy ra:

Jas - PS) Jf(dx = (=

Vidu?7; Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

] 1 - b f(x) = sin 2x cosx )_ fax =Injet = 1]-x+C a f(x)=

ở Hướng dẫn: Thực hiện phép thêm, bớt

/@Š Giải

a Ta có:

f dx dx dx _ d[tan x]

- - > In|tanx| + C

sin2x 2sin x.c0Sx 2tan xco0s“ x 2tanx 2

Trang 9

b Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Biến đối:

dx dx dx

j— =J— =]

Coss sn[x+ 5) 2sin( Š «5 lem| Š + T)

\ 2 2 4) 2 4

(; 4]

dj tan| — + -

=Í dx =Í 2 4

“3, 2tan| — +— „(X.TÌ |cos*| — + ‘(3 *) : tan| l Tt 4+ -:

| i‘ 2° 4 2° 4

Cách 2: Biến đổi:

dx cos x.dx d(sinx) d(sinx) 1

Jo = FES = - = Injtan( = + 7) +C WN | x sinx — 1 +C 2 c2 US =- >In

COS X cos” X l—-sinˆ x sin’ x-1 2

sinx +1

Chiu y: Trong phuong phdp phan tich dé tinh nguyén hàm chúng ta hãy

quay lại với bài tốn ngược "Tính đạo hàm" để xét hai dang rất phổ biến, cu thể:

Dang 1: Xét ham s6 F(x) = f(x).e*, ta thấy:

F (x) = [f (x) + f(x)]-e*,

do đó:

S[f '{x) + f(x)]e*dx = f(x).e' + €

Mở rộng với các hàm số dạng:

= [f(x)— f(x)]}e * có họ nguyên hàm là F(x) = f(x)e™

8 [f (x) + a'(x)f(x)Je™ c6 ho nguyén ham 1a F(x) = f(x)e™™

Dang 2: Xét ham s6 F(x) = u(x).v(x), ta thay:

F '(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x), do đó:

Í[ux).v(x) + u(x).v{x)]dx = u(x).v(x) + Œ Vídu8; Tìm họ ngun hàm F(x) của các hàm số sau:

(xÌ+x+1)e"

fx)= V2 + ~).e%, b f(x) =

a f(x) cos(x nền đề ai

4£ Giải

a Ta biến đổi f(x) về dạng:

f(x) = (cosx — sinx)e * = [cosx + (—1)sinx]e™

Xét hàm số F(x) = sinxe *, ta có:

F(x) =cosx.e * — sinxe * = (cosx — sinx)e™ = V2 cos(x +7 ).e* = f(x)

Trang 10

b Ta biến đổi f(x) về dạng:

[x +(x? + ]Je*

f(x) = P = = +Vx” BH =|(ve +i eve? wire

J [ia 2 Vx +1 Vx7 4+] ) Xét hàm số F(x) = VxỶ +l.e`, ta có: 5 : 2x TK F(x)= a: x" +1 2Vx" +1 (x +x+l)e* FT Vx"+l

Vậy F(x)= vxÌ+lI.e` +C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho

= f(x)

e*=

| Bài tốn 3: Tìm ngun hàm bằng phương pháp sử đụng nguyên hảm phụ |

Phương pháp áp dụng

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước l; Tìm kiếm hàm số g(x)

Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), tức là:

F(x) + G(x) = A(x) +C, (D

F(x)~ G(x)= B(x)+C,ˆ

Bước 3: Tirhé (1), ta nhan duoc F(x) = 5 [A(x) + B(x)] + Cla ho nguyén

ham cua ham sé f(x)

cos” x

Xídul; Tim họ nguyên hàm của hàm số f(x)= ———————— sin’ X+cos x

SS Gidi

og

Chon ham s6 phu g(x) = —_—

sin® x + cos” x

Goi F(x) va G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta c6:

sod 4

f(x) + g(x) = AAT SOS * = 1 = F(x) + G(x) = dx =x +C,

sin xX+cos x

cos*x-sin*x cos*x —sin* x cos2x f(x) — g(x) = In sin’x+cos’x + sin’x+cos’x ng 7 = y_| tay |

2

2cos2x d(sin 2x) 1ˆ |sin2x~ v2| e

=> F(x) — G(x "_ = =— In

Trang 11

C BAI TAP REN LUYEN

Bai tap 1: Chứng minh rằng hàm số F(x) = In(x+Vx”+a ) với a > 0 là một

J Vx’ +a Bài tập 2: Chứng minh rằng hàm số: e* khi x>0 F(x)=4 „ Xx +x+l khi x<0

nguyên hàm của hàm số f(x) = trên &

e* khi x20 2x+l khi x<0

là một nguyên hàm của hàm số f(x)= | rên ®

Bài tập 3: Xác định a, b để hàm số: XÃ khi x <1

F(x) =

ax+b khix>l

` oa „ 2x khi x <1 i

là một nguyên ham cua ham s6 f(x) = trên & 2 khi x >1

Bai tap 4: Tim nguyén ham của các hàm số sau: i!

a ÍX)= x2 b fx)=(2x+3)”,

Bài tập 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

l

2x-l

a f(x) = 10° b f(x) = Bài tập 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a Í(x) = 3x += b f(x)=2xÌ—5x+7 l > | c.f(x)= —_-x —- x) x? 3 Bai tap 7: Tìm: a [(Vx + Ÿx)dx b =_ X

Bai tap 8: Tim:

Trang 12

Bài tập 10: Tìm:

a Je(1+e *)dx b [Ve* +e *+4+2dx Bài tập II: Tìm nguyên hàm của các ham số sau:

xdx dx

a —, b |——

=, Faas

Bài tập 12: Tìm một nguyén ham F(x) cua ham số:

a f(x) =cosx, biét F(O) = 0 b f(x) =2x + 1, biét va F(2) =2

3

Bài tập 13: Tìm một nguyên ham F(x) cua ham số f(x) = 2sin5x + Vx S sao

cho dé thi F(x) cat f(x) tại một điểm thuộc Oy

1

Bài tập 14: Tìm họ nguyên ham F(x) cua ham s6 f(x) = Tin

x(1+x)

› ~1)e*

a f(x) = (x7 + 3x + 2)e" b f(x)= ae

xà sẽ a hee an bd ¿ 8—3x

Bài tập 16: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = a

—X Bài tập 17: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a f(x) =(x— 1)(x- 2) b f(x) =x(1— x)

c f(x) = (x — 1)°(x — 2)

X

a f(x)= b f(x = —————~

be 2x+1 te x +2x+I

/—x+I

a f(x)= =, X b f(x)=——— x +3x+2

a fx)=x\2x+l b fx)= x{ x+l+# I-x)

1 X

—————== b Í(x)= ————

V4x+3+x+l \x'+l-x

Bài tập 22: Tìm nguyên hàm của hàm số:

l

(x+Ð? +Ÿx°—-1+@«-—1)

a f(x)=

f(x) =

Trang 13

a f(x) =cos2x.cosx b f(x) =cos*x

Bài tập 24: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = tan`x 1

cos’ x

Bai tập 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =

Bài tập 26: Tìm nguyên hàm của hàm số Í(x) = he +e

Bài tập 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = ax _

sin X —COSX Bài tập 28: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinˆx.sin2x

cos" x b |

sinx sin X.COS* X

Bai tap 30: Cho ham soy = 2S!1%*+ 30x

sinx + 2cosx

a Xdc dinh a, b để 4sinx + 3cosx = a(sinx + 2cosx) + b(cosx - 2sinx)

b Tìm họ nguyên hàm của y

D HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài tập 2: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:

Trường hợp !: Với x #0, ta có: e* khi x > 0 2x+l khix<0ˆ Trường hợp 2: Với x = Ö, ta có : m†Œ)-F(0) _ x'+x+lI_-e° F(x)= | F'G)= lim—————— = lim ———— =] x¬0 x- x0 X — X_ A0

F'09)= tim LOT FO) _ pm 9 =€ 2], x¬0'" X— x¬0° X

Nhận xét rằng F '(0) = F(0°) = 1 nên F(0) = 1 Tóm lại:

e" khi x>0

F (x)= = f(x)

0 ee khi x <Q

Vậy, ta được F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên &

Bài tập 3: a =2,b=—]

4

: 4 3010

Bài tập 4: a 2x'+C 2 b 1 4020

Trang 14

Bài tập5: a b ~In|2x —l|+€ 2 2In10 nh 4 2 3 Bài tập 6: a +24 b 5 ốc Cc -1_X Xie, 4 2 2 x 3 3 2: 32 2 Baitap7: a =—x?4+—x'+C ap 3% a b 2Vx-—=+C Vx Ta?

Bai tap 8: a a(x xo C b 2x—sm2x +C

Bài tập 9: a -cotx - x+C, b -lnlcosx|+Œ.c - a +C 3cos’ x

Bai tap 10: a e* +x +C b 2(e?-e?)+C

Bai tap 11: a tind - x3 +C b 1X2 +C.,

2 2 |x-l

Bai tap 12: a F(x) = sinx b F(x)=xỶ+x-—4

Bài tập 13: " Be X + oe +1,

5 3 5

Bai tap 14: F(x) = 2In(vx + Vx+1)+C voix >0 F(x) = 2In( J—x —1 + V—x )+C voix <-l

x

Bài tập 15:a F(x)= @&?+x+l)e'+C db Fx)=— +c

X Bài tập 16: F(x) =xv⁄4—x + - _ 112010 „— 132009 Bài tập 17: a 3T Đ'~&= + p, S20 AC U 2010 2009

Bài tập 18: a Lx~ LIn|2x 2 4 + 1|+C b Inx+l|+——+C x+I

Bài tập 19: a }x?— x +Inlx| +C b nett sc

2 x+2 Bài tập 20: HỆ 2 1): “(2 1); C —l| —(2x+l1)‡:-~(2 s|5(0x+1) Fax) | 2/4 2, 82) 35), 8 5 ll b =(x+1)2 -=(x4+1)2 +=—(1-x)s -—(1-x)5 2G6+1P=2@+1} +Š(1~x) =Ở (1~x)*+ +C | 2 2 1/2; 1

Bai tap 21: a —| (x+3):-(x4+1)? ]+C.b —(x +1) +—x'`+C pat: a i] (x3)? (net |+C.b Hat) od

Trang 15

1 | ay 7

Bai tap 22: ty -(x-1)! la = A) -(x-1): 4C

Bai tap 23: a = sin3x + 2 sinx +€ b sinx - 2 sinx +

= ~

Bai tap 24: ~tan *x + Inlcosx! + C

Bai tap 25: tanx + san + Bai tap 26: x — Inll +e%+C

Bai tap 27: 2 (Inhinx —cosxl+x)+C Bai tap 28: 2 (-c02x + eo) +

§2 MộT Số PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HAM

A BAI GIANG

1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau:

Dinh lil: Giả sử u = u(X) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên Ì sao cho

hàm số hợp f{u(x)] xác định trên I Khi đó, ta có:

JfIu(x)].u{x)dx = Flu(x)] + € (1)

ở đó F(u) là một nguyên ham cia f(u)

Nhận xét rằng:

u = u(x) — du = u(x)dx va flu(x)].u'(x)dx = f(u)du

đo đó, cơng thức (1) được viết gọn dưới dạng:

[fcudu =F(u)+C

[ Hoatdong Chứng minh định lí trên |

Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện

theo các bước sau:

Bước Ï: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp,

rồi xác định x = 0(u) (nếu có thể) Bước 2; Xác định vi phân dx = @`(u)du

Trang 16

4 Giải

a Đặtu=x”— 2, suy ra: du =2xdx © xdx =

ae 2 3 ¬ 3 —

Từ đó: [xox —2) dx=- u du =

b Datu=x* + 1, suy ra: du = 3x /dx © xỈdx = du

_ | pdu = sin |u|+C = sinks +] +C

3° u

Từ đó:

%@®” Nhận xét Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên:

1, 1 5 Ề

=—=u +C€C =-(x -2} + § 3 )

I Ở câu a) bằng việc lựa chon ẩn phụ u = x” —- 2 chúng ta nhận được a+l

nguyén ham dang Ju%du = ` ï +Coơ#z 1

2 Ở câu b) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u = x? + | ching ta nhận được

nguyén ham dang jou =In|ul +

u

3 Tuy nhiên, khi đã vững vàng vẻ kiến thức các em học sinh có thể trình bày tắt như sau:

[xœ? —2)'dx om 5 Ios —2)' d(x? -2) = œ -2#+C

"dx | d(x? +1) _

faa 73 =~ f ` +) - 3H Ix? +1]+C

Hoatdéng Tim [x (x' +1) dx eo [xŸ!—x°dx +4x

Thí dụ2: Tìm các nguyên hàm sau:

[cos(2x + Ddx b Ỉ x cos?(2x +1)

Giải

a Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Đặt u = 2x + 1, suy ra du = 2dx Từ đó:

kos0x +l)dx = Ũ [cosu.du ee eee i sin(2x + 1) +C 2 2 2 Cách 2: Thực hiện phép biến đổi:

[cos(2x +1)dx =; [cos(2x +1)d(2x +1) = + sin(2x +1)+C

Trang 17

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Dat u = 2x + 1, suy ra du = 2dx Tir do:

d

j—2— -fj"- ptanu+ C= Stan(2x +1) +C

cos" (2x +1) 2 “cos” u 2 Cách 2: Thực hiện phép biến đổi:

j dx ay d2x+l) _ 1 cos'(2x+l) 2cos(2x+l) 2 tan(2x + 1)+C dx 5X X

Hoạtđộng Tìm fsin(2x ~I)dx, [Gavan , fsin cura

Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thơng thường là:

Dấu hiệu Có thể chọn Hàm có mẫu số u là mẫu số Ham f(x, (x) ) u= V(x) ` a.sinx + b.cosx Xo 4 X

Hàm f(x)=——————————— u =tan— (với cos— z0)

c.sinx + d.cosx+e 2 2

e Véix+a>Ovaix+b>0, dat:

Ham f(x) = | u=vx+a+vx+b

V(x +a)(x + b) e Véix+a<Ovax+b<0, dat:

Thidy 3: Tìm các nguyên hàm sau:

[ee x.dx b as 2x +3)dx

3sinx+lˆ cos°(2x+3) ˆ

Giải

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Đặt u = 3sinx + 1, suy ra: du = 3cosx.dx ©> cosx.dx = sáu cos x.dx _! du

Từ đó: E = sinlu |+C= In3sinx + |+C

3sinx +] 3 Cách 2: Thực hiện ae biến đổi:

f cOSx.dx _ + joGsin x+l)

3

= 2InlBsinx + l|+€

3sinx +1 3sinx +1

Cách 1: Đặt u = cos(2x + 3), suy ra:

du = —2sin(2x + 3)dx © sin(2x + 3)dx = — du

Từ đó: — - lpm tye ete ” J cos?(2x +3) 2u 2u 2cos(2x +3)

Trang 18

Cách 2: Thực hiện phép biến đổi:

pointes + 3)ds _! jfEssex: 3] _—

cos”(2x +3) 23 cos(2x+3) 2cos(2x +3) ®” Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên:

1 O cau a) viéc lựa chon an phụ được đề xuất dựa trên dấu hiệu thứ nhất trong

bảng dấu hiệu

t9 Ở câu b) chúng ta không lựa chọn việc đặt t = MS bởi nó có dạng u” nên

(u°)’ = 2u’.u khong phi hợp với TS Lời giải này được đề xuất dựa trên nhận

xét đạo hàm của cos thì bằng —sin

9x° 13

DU) › fx? sin(x? + Ddx , fA-sin#.cos.dx

Vi-x? x” X X

2 PHUONG PHAP LAY NGUYEN HAM TUNG PHAN Cơ sở của phương pháp là định lí sau:

Dinh lí2: Nếu u(x), v(X) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên Ì thì: Íu(x).v'{x).dx = u(x)v(x) — Iv(x).u'(x).dx hoac viét Ju.dv = uv — |v.du

Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp lấy nguyên hàm

từng phần ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1; Biến đổi: |f(x)dx = Jf,(x).f,(x)dx

u=f(x d

Buée2: Dat: es

— dv = f,(x)dx v

Bước 3; Khi đó: [f(x)dx = uv — [vdu

SF Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phẩn để tìm nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:

a Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách đễ dàng

b Tích phân bất định Ívdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích

Hoạtđộng Tim

phân ban đầu

Thídụ4; Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.sinx 4 Giải

Đặt: Wax = du = dx dv =sinx.dx v=-cosx Khi đó:

jf&)x = —X.COSX + foosx.dx = -x.cosx+sinx +C,

®° Nhận xét: Day là thí dụ mở đầu minh hoạ phương pháp lấy nguyên hàm từng phần và hai câu hỏi được đặt ra là:

Trang 19

Cau 1 "Tai sao lại hứa chọn phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ?", để trả lời câu hỏi này chúng ta sử dụng nhận xét:

Hàm số f(x) khơng có trong bảng nguyên hàm các hàm số thường øập,

do đó cần những phép phân tích để chuyến nó về dạng một biểu thức

chứa các hàm số có trong bảng nguyên hàm Tuy nhiên, với những phép phân tích đại số thông thường sẽ không thể thực hiện được yêu cầu trên bởi f(x) là một hàm không thuần nhất (thương của hàm đa thức với hàm

lượng giác hoặc với hàm mũ và lôgar11)

Phương pháp đổi biến mà chúng ta đã biết cũng không thể thực hiện

được bởi khơng có phần tử trung gian chuyển đổi giữa hàm đa thức và

hàm lượng giác, hàm mũ và logarit

Cáu 2 "Tại sao lại lựa chọn cách đặt u va dv nluc vay 2", dé tra lời câu hỏi này chúng ta thấy u chỉ có thể là x hoặc sinx và phần còn lại sẽ là dv Lựa chọn trong lời giải trên là u = x bởi:

` Xx

Hoatdéng Tìm [x.cosx.dx, [x.sin<dx , f

Khi đó dv = sinxdx nên v = —-cosx, tlc thoa man "Phép dat dv sao cho v được xác định một cách để dàng" Tuy nhiên, sẽ có học sinh đặt câu rằng trong trường hợp trái lại (dv = xdx) thì v cùng dược xác định một cách dễ

` |,

dang (v= 5% )

Câu hỏi rất đúng, nhưng câu trả lời là khơng bởi khi đó việc tính tích phân mới xuất hiện Ívdu khơng được xác định một cách dễ dàng (vì v

vẫn là hàm hợp)

xdx 5 ƒ xdx COS” X sin” X

B PHUONG PHAP GIAI CAC DANG TOAN THUONG GAP

L Bài toán 1: Dhương pháp đối biển dang |

Sử dụng kiến thức trong phần phương pháp đổi biến

Vídul; Tìm các nguyên hàm sau:

a fx.costx? +1)dx b fens *™* COs 2x.dx

ở Hướng đản: Ta lần lượt:

a - Với câu a) lựa chọn ẩn phụu =xỶ+ ]

b Với câu b) lựa chọn ẩn phụ u = sinx.cosx /@ Giải

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

a

Cách 1: Đặt u = x” + 1, suy ra:

272

Trang 20

Từ đó:

[x.cos(x? + Idx = ~ [eosu.du = ~sinu+C = ~sin(x” +l)+C,

= “

Cách 2: Thực hiện phép biến đối:

[-esœ +1)dx = kœœ +ld@& +!) = 5 sin(x? +1)+C

Cách 7: Đặt u = sinx.cosx = sin 2x, suy ra du = cos2x.dx Từ đó:

fem cos2x.dx = feu =e'+C=e"*°*+C,

sin2x | Sin 2 fen cos 2x.dx = |e 3 sind] =e? +,

#®> Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên với cách I: 1 O cau a) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u = x” + I chúng ta nhận được

nguyên hàm dạng:

Ícosu.du = sinu + C, tương tự với Jsinu.du = —cosu + C

2 Ở câu b) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u = sinx.cosx chúng ta nhận được nguyên hàm đạng:

u a: fu a

Je'.du =e" + C, tương tự với fa'.du = ï +C

na

Vídu2;: Tìm các nguyên hàm sau:

4 ƒ dx b = vxdx

` *#sin(2x+l)` vx ˆ

4 Giải

Cách 1: Dat u = 2x + 1, suy ra:

du = 2dx = dx=sdu

“

dx l ¢ du | Ị

Từ đó: [—— = (— = ——cotu+C = -—cot(2x + l)+C

sn(2x+l) 2 “sim 2J%situ 2 2 2 2 Cách 2: Thực hiện phép biến đổi:

Trang 21

b Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Đặt u= Vx suy ra: dx œ du = —==2du Wk vx Từ đó: ran * vxdx =2Í tan” u.du = Í= Cách 2: - hiện phép biến đổi:

an? Vxdx 1, 1

FC =2 cua ýxdx =2Í=-!|#) = 2tanYx -—vx}+C

@ Nhan xét: Nhu vay, dé tim nguyén ham cia cdc ham s6 trén véi cach 1:

-1e = 2(tnu~u)+C = 2{tanVx -Vx)+C

COs” U

1 O cau a) bằng việc lựa chọn ẩn phụ u = 2x + l chúng ta nhận được nguyên hàm dạng:

=tanu+C

f = =-coLu+C, tương tự với f đu

sin’ u cos u

2 Ở câu b) bằng việc lua chon dn phu u= x chiing ta nhan duoc mot nguyên hàm lượng giác, để rồi sử dụng phương pháp phân tích để tìm nó

Tiếp theo, chúng ta sẽ quan tâm tới việc lựa chọn an phụ được đề xuất dựa trên các dấu hiệu trong bảng dấu hiệu

Vidu3; Tìm các nguyên hàm sau:

a fvla? +1dx b be

vx (Vx -1)

d Hướng dẫn: Sử dụng các cách lựa chọn ẩn phụ khác nhau và từ đó đưa ra phép

so sanh

&S Gidi

a Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Dat u= Vx" +1, suy ra:

u> = x7 + 1 => 2udu = 2xdx & xdx = udu

Tir dé: |xvx? +1dx = [uudu = ludu= su +C = vee +1 4C

Cách 2: Đặt u = x” + 1, suy ra du = 2xdx © xdx = du

Trang 22

fox? +ldx = fe +1)? d(x? +1) =

l 2/ + ; 1 ly? „pề

54" +1} +C = 3 (x +1 +C

Cách 1: Đặt u = Vx, suy rau? = x => 2udu = dx

Từ đó: dx 2udu a 2 2 Sj = ~=2|(u-l) d(u—-l)= -——+C= - +C

Reap Son j u-] vx -1

Cách 2: Dat u = Vx -1, suy ra du= hi, c© eg = 2du

2vx vx

Tr do: fa, (a 9 °=-7+c=-——:c óc Vai

Fapeay ak Gap EV = gore

®” Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm của các hàm số trên: 1 Ởcâu a) chúng ta nhận thấy:

» Cách I được đề xuất dựa trên dấu hiệu thứ hai trong bảng dấu hiệu

ø - Cách 2 chúng ta trình bày dựa trên nhận xét (x” + 1)' = 2x diéu nay sé cho

phép chúng ta khử được x trong hàm số cần tìm nguyên hàm

Các em học sinh có thể thấy ngay rằng độ phức tạp trong lời giải của hai cách này là như nhau Tuy nhiên, điều này đã thay đổi trong câu b)

2 Gcau b) chúng ta nhận thấy:

ø Cách I được đề xuất dựa trên dấu hiệu thứ hai trong bảng dấu hiệu

e_ Cách 2 chúng ta trình bày dựa trên nhận xét (jx ~1)'=—= điều này sẽ

2x

cho phép ta khử được -_ trong hàm số cần tìm ngun hàm

vx

Xídu4 Tìm ngun hàm poe,

sin xX

d Hướng dẫn: Sử dụng định hướng trong phép đại số hoá của phương trình

lượng giác với cung góc x

4# Giải

Trang 23

⁄ xX

Cách ï: Đặt u = tan — , suy ra:

| | | và | 5 2du

du=— dx = —(I +tan 2 )dx = ~(Ï +u)dx = dx = _.-

2 cos’ 2% 2 2 l+u"

2 2du

J+u” _ (du _ - x

Khi đó: fj = 3= F =Inul + C= Injtan-)+C l+u’ Cách 2: Ta biến đổi: TT oly X = = = Injtan—|+C ~ xX x 2 +X 2

2sin—.cos— tan—.cOS” tan =

2 2 2 2 2 Cách 3: Ta biến đổi: 9X 2X sin” = + cos” = |dx a Rh dx ( 2 :) [lv hà: - = Í x x = | —-+ = dx nx 2 x ; 3%

sl 2 sin — cos cos sin —

2 2 \ 2 2

-(- In|cos2 +hlin |]+C = Injtan—}+C

Œ®” Nhận xét Như vậy, để tìm nguyên hàm trên chúng ta lựa chọn phép đổi biến dựa trên đề xuất của dấu hiệu thứ ba trong bảng dấu hiệu

Tuy nhiên, do tính đặc thù của các hàm số lượng giác nên nếu biết vận dụng đúng các phép biến đổi lượng giác chúng ta có thể nhận được một lời giải đơn giản hơn, đó chính là các cách giải 2 và 3

Vidu5; Tìm nguyên hàm của hàm số:

_ —cos— l xX X

f(x) = I xi

d Hướng dẫn: Sử dụng kết qua (sinu)’ = u’.cosu hodc (cosu) = ~u sinu

4 Giải

Cách !: Đặt u = cos , suy ra du = L

X x Xx

Từ đó:

[ šsin-—.cos—dx = fudu -tics đ sac Lực,

X X 2 2 X

Trang 24

Cách 2: Đặt u = sin2 „ SUY ra

xX

| I

du = ——; cos— dx & dx =—du

Xx X x" xX

Từ đó:

2

1 I1 | ?

[=-sin—.cos—.dx = — fudu = “re = -! gm tac

X X 2 X Cách 3: Đặt u = 1 , suy ra: x du =—-kdx c© + dx =-du x 1.1 1

J=-sin—.cos—.dx = -[sin u.cosu.du = am [sin 2u.du

X X X 2

= Jeos2u +C= ee +C,

4 X

, 1 1 i

Cach 4: Dat u= — , suy ra du = ——, dx <> — dx =—du

x X X

Từ đó

I 1 l

| 7 -Sin—.cos—.dx = - {sin u.cosu.du = - {sin u.d(sin u)

X X x — gìn? u+C= _ antic 2 2 X l Cách 5: Đặt u = 1 , Suy ra du =——- dx © L = -du Xx X >, Tu dé:

fA.sin~.cos+.dx = ~ [sinu.cosu.du = [cosu.d(cosu)

° x x = | ostu LC= 2 2 X Cách 6: Ta có: 2 I me " 1 [šsin“—x =! fain? of =) XÃ X X 2°x" x 4 X X 2 = X

®” Nhận xét Như vậy, để tìm nguyên hàm của hàm số trên việc lựa chọn nguyên hàm này nhằm mục đích để các em học sinh hiểu rằng đối với các

hàm số lượng giác có nhiều cách để lựa chọn phép đổi biến, và kết hợp với

các phép biến đổi lượng giác khác nhau chúng ta sẽ nhận được những cách

giải khác nhau

Trang 25

Các ví dụ tiếp theo, được trình bày với mục đích xây dựng cho các em học sinh tư duy lựa chọn phép đổi biến thích hợp cho các hàm số lượng giác Các em hãy trả lời câu hỏi "Vì sưo người ta lựa chọn phép đốt biến nhự vậy 2" Vídu6; Tìm họ ngun hàm của hàm số f(x) =cos* xVsinx

d Hướng dẫn: Sử dụng ẩn phụ t = sinx hoadc t= Vsinx 4 Giải

Thực hiện phép biến đổi:

ffeodx = co s'x.vsinx.dx = kos x.V¥sin X.cos x.dx = fo — sin’ x).Vsin x.cos x.dx

Tới đây, ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách I: Đặt t = sinx, suy ra dt = cosx.dx Khi đó:

7

{ 32 2n

Jf(œ)dx = Jq-)Ntát = IG -t la =gU-TU+C

= "ụ -3t’) vt +C= om (7sinx — 3sin*x) Vsinx +C Cách 2: Đặt t= vsin x, suy ra: tˆ = sinx => 2t.dt = cosx.dx

Khi đó:

[f(«)4x =2Í(1 ~ ).tát = 2ƒ(É ~ t9)dt= X= — =") +C

= - (7 -3/)t+C= > (7sinx ~ 3sin*x) Vsinx +C

Nhdn xét: Đề trả lời câu hỏi "Vi suo nguoi ta lua chon phép doi bién nhit

váy ?", các em học sinh có thể bắt đầu như sau:

1 Hàm số f(x) = g(sinx, cosx) dẫn tới việc lựa chọn phép đổi biến thông

thường là:

« t=cosx, để khử sinx bởi khi đó dt = —sinx.dx (1) « t=sinx, để khử cosx bởi khi đó dt = cosx.dx (2)

2 Chúng ta không lựa chọn cách đổi biến (1) bởi trong hàm số f(x) khơng

có sinx (mà chỉ có vsinx ) Nhận xét này dẫn tới việc lựa chọn phép đổi biến theo (2) và khi đó từ cos°x chúng ta sẽ còn lại cos”x Vấn đẻ đặt ra là cần biến đổi cos”x theo sinx và điều này được thực hiện khá đơn giản bởi cos”x = l — sin”x

3 Trong lời giải ở cách 2 chúng ta lựa chọn phép đổi bién t = Jsinx để tránh gặp

phải vt, giúp cho đa thức (theo t) nhận được có bậc ngun Đó chính là kinh nghiệm lựa chọn phép đổi biến tối ưu Các em sẽ thấy thêm điều này ở ví dụ tiếp theo

Trang 26

3

„ cà sinx.cos” x.dx

Vidu7: Tìmnguyênhàm |————— l+cosˆx

ổ Hướng dân: Sử dụng bảng dấu hiệu để lựa chọn ẩn phụ 4 Giải

Ta có thể trình bày theo các cách sau: £ ft Cach I: Datt = 1 +cos’x,suy ra: > \COR

dt = —2sinx.cosx.dx <> sinx.cosx.dx = -5 dt Khi đó:

P _ ‘COS? woos x: dnx4x) as t—lidv) =}—

l+cos”x l+cos”x

= 5 fr-4}q = 5 (in -t)+C= 5 lin + cos’x) — 1 — cos’x]

+

Cách 2: Đặt t = cos”x, suy ra:

, 1

dt = —2sinx.cosx.dx <> sinx.cosx.dx = "_

Khi đó:

fee ats fees x.cosx.sinx.dx _ 1 pt.dt

l+cos”x l+cosˆx 2'l+t

-sÍ!~ajJ8t=~st= ml +t|]Ì+C

2 l+t 2

= 5 fin + cosx) — Ì — cosˆx] + Œ

Cách 3: Đặt t = cosx, suy ra dt = —sinx.dx Khi đó:

3

(exe XU Do _ ~ jest _ - fi Ja

1+cos’ x l+t l+t

=-sÉ+ intl +t)+C= 5 lt + cos”x) — l ~ cos”x] + C Œ” Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm trên:

I Cách 1 được đề xuất dựa trên dấu hiệu thứ nhất trong bảng dấu hiệu 2 Cách 2 được trình bày dựa trên nhận định:

l

sinx.cos°x.đx = cos”x.cosX.sinx.dx =— 508" x.d(cos” x)

Trang 27

3 Cách 3 được đề xuất dựa trên kiến thức:

»=_ Để chọnt = sinx thì cần có cos**!x,k e Z

« - Để chọn t=cosx thì cần có sin*?'x,k e Z

Trong những trường hợp con lai (sin va cos có bậc chắn) phép đổi biến

thường được lựa chọn là: « Wat t =tanx khi do:

dt = 8% =(1 + tan’x)dx cos” x = (1+ 2)dx dx = 8, l+t =_ Đặạtt=cotx khi đó: dx dt dt =— =—(1 + cot?x)dx =-(1 + ?)dx © dx =— =, sin” x 140

Vidu8: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

N b f(x) == *

sin” x cos’ x

d Hướng dẫn: Sử dụng cac an phu t = cotx va t = tanx 4 Giải

a Ta thực hiện phép biến đổi:

Jf(x)dx = [ ox = f - I ox = {(1+ cot’ x) dx

sin” x sin” xX sin” x sin? x

dx Đặt t = cotx, suy ra di =—————

sin” x

Khi đó: [foods = -\(1+t?)dt =-t- sử + C =-cotx — 6004 +C b Ta thực hiện phép biến đổi:

frcxyax = [22 _dx - fe, x! dx = ftan’ x.(1+ tan? x)

cos’ x cos’ x cos’xX cos’x

cos” x Đặt f = tanx, suy ra dt =—— cos” xX Khi đó: Jf(x)dx = fr + )dt = f(t? + dt = st + sử +C= stan X+ stan’ x+C,

#* Chi y: Vi du tiếp theo sẽ minh hoạ phương pháp đổi biến dựa trên dấu hiệu thứ 4 trong bảng dấu hiệu

Vidu9; Tìm các nguyên hàm:

dx a

a [== VỚI X> Ì b f dx

x? -] Vx°+3x4+2

ở Hướng đẫn: Sử dụng bảng dấu hiệu để lựa chọn ẩn phụ

VỚI X >—Ï

Trang 28

SS Gidi

a Ta có thể trình bày heo các cách sau:

=

Dat t=Vx-l+Vx+1 suy ra:

at=( | _(vx+l+vx- Idx dx 2dt

Cach 1: Ta biến đổi: Í=

———— +—— |dx — = ——.,

2Vx—-1] 2Vx4] 2 (x -—1)(x +1) x t

Khi đó: dx =2[T =2Inlll+C= 2In|Vx=I+vx+I|+€

ecm Cách 2: Đặt t=x+Vx?-1 suy ra: dc VX TU t dx dị X dt =| 1+ = dx © ——— = — | THỊ Vx? -1 Vx? -1 Vvx?-1 t

oem ax -F =In|t|+C = Infx + Vx? - l|+C

Vx? -1 b Ta biến đổi: = lim iu

Dat t= Vx+1 + Vx+2 = suy ra:

a-( I J x= CRS " dx _ 2dt 2 x+l + 2ýx+2 2V(x+l)(x +2) => V(x + I(x +2) = t Khi đó: _— =2Í“ = 2Initl+ C= 2in| Vx+1 + ‡x+2 | +€ V(x + 1x +2)

#” Yêu cầu: Các em học sinh hãy tìm các nguyên hàm:

dx dx

"l8 “Nga

Bai toan 2: Phuong phap đổi biến dang 2

Qua các ví dụ trên chúng ta đều sử dụng một phương pháp đổi biến đó là đặt t = u(x), cau hoi dat ra 1a "C6 chiéu ngược lại không ?", cụ thể đó là việc đặt

x = u(t) Hién nhiên là có, bởi ví dụ như việc chuyển một bài toán đại số về

dạng lượng giác để giải (đặt x = sint nếu có điều kiện |x| < 1), phép đổi biến này

thường được gọi là pháp đổi biến dạng 2 và để tìm Íf(x)dx bằng phương pháp này chúng ta thường thực hiện theo các bước sau:

Trang 29

Buécl: Chon x = Q(t), trong dé ¢(t) 1a ham s6 ma ta chọn cho thích hop Bước 2: Lấy vi phân dx = 0(t)dt

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt, giả sử rang:

f{x)dx = g(t)dt © Íf(x)dx = Íg(t)dt

%®” Luu y: Cac dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn r „ Tỉ T1 x =laisint với 55t; a —x” 2 Ix=la|cost với 0<t<m [ Tỉ T

1 aa x =|a| tant vai -—<t<—

T—z HOẶC Vx +a 2 2 x +a [xX =|a|cott vai0<t<7 al TT

x= lal voi te] -—;— |\ {0}

——D sint 22 xa la 7 x=—— vei ve oen)\{ =| | cost 2 at x hoặc a- ` X=a.cos2t a-X at+xX v(x—a)(b~X) x=a+(b-a)sint

Vidul; Tìm nguyên hàm của hàm số Ñ ~x dx

d Hướng dẫn: Sử dụng bảng dấu hiệu để lựa chọn ẩn phụ 4S Giải

¬ Tt T

Cách 1: Đặt x = sint với 75 <t< 2: Suy ra dx = cost.dt

Khi đó: [vi —x dx= [vi- sin? t.cost.dt = flcost|.cost.dt

- << 3.3

2,4, _!

= Ícost.costdt = feos t.dt =5 (1 +c0s2t).dt

-F{t+sin2t J+C =+(t+sint.cost)+C

2\ 2 2

=5(t+sineVi-sin?t) +c = 5 (aresinx +xVi=x7]+€

Trang 30

Cách 2: Đặt x = cost với 0 < t < m, suy ra dx = —sint.dt

Khi đó:

fv —x?dx = -fvl —cos” t.sin t.dt = - Jint|.sint.dt an [sint.sin vat =~ {sin’ t.dt _ [cl -cos2t).dt "5

2 2| 2 J

= -2 ~sint.cost)+C

=-1(1-costVi meant} +€ =H arcosx—xVIme) +€

SF Nhận xét Như vậy, để tìm nguyên hàm của hàm số trên ta dựa trên điều kiện có nghĩa cho căn thức là:

1-x? 20 |x|< 1

Từ đó:

s= _ Nếu đặt t = sinx thì cần điều kiện — <t< — để lấp đây tập giá trị

Nila we

2

của x và cũng nhờ đó để khẳng định:

vI—x? =v1—sin?t =veos?t =|cost|=cost

» Néu dat t = cosx thì cần điều kiện 0 < t < mø để lấp đầy tập giá trị cha x và các phép biến đổi lượng giác như trên `

Vidu2; Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=-————

(I+x?}~

ở Hướng dẫn: Sử dụng bảng dấu hiệu để lựa chọn ẩn phụ

4 Giải

` Dit x = tant, —> <t< 5 suy ra:

3

dx = at va = — tat = cost.dt

cos’ t \j(+x?} cos’ t

Khi d6 JX = foostdt = sint + C= —2— +C

V(l+x’y’ V1+x?

®” Chú ý:

1 Trong ví dụ trên ở câu b) sở đĩ ta có:

=cost va sint = x là bởi: |

VI+x? V1l+x?

Trang 31

m— | Jcos? t =cost Tv Tt | = <t<= =?:c0st >0 2 2 >4 : |sint =tant.cost = X —— | vIl+xỶ

2 Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:

[—“=— với keZ

Vídu3: Tìm ngun hàm của hàm số f(x)= l voix > I xwx”-Il

d Hướng dẫn: Sử dụng bảng dấu hiệu để lựa chọn ẩn phụ

4 Giải

Cách ï: Với x > ] đặt xe, 0<t<^ suy ra ey

cost 2 cost

Khi dé:

sint.dt

frexyax = f dx =| cos: t =Í sin t.dt = fat

NVxỶ —l | cost.tant

cost Ycos't

l

=t+C =arccos—+C X

Cách 2: Với x > | dat ¬ 0<t<Š rồi thực hiện tương tự cách 1 sin

Vídu4; Tìm ngun hàm f [— Xá +X

ở Hướng ckẩn: Sử dụng bảng dấu hiệu để lựa chọn ẩn phụ

4 Giải

Đặt x = cos2t, 0 <t< 2 suy ra dx = —2sin2t.dt

Khi đó:

l—x l-cos2t

Jj ——dx = -2| —————.sin2t.dt = ~2 [tan t.sin 2tdt

l+X l+cos2t

~4 [sin” tdt = =2 [(1—cos2t)dt = -2t + sin2t+C

=~2t+ VI-cos 2L +C=-arccosx + VI—x” +,

Trang 32

| Bài toán 3: Phương pháp lấy nguyên ham Lừng phân

Su dụng kiến thức trong phần lấy nguyên hàm từng phần

In(sin x)dx Vidul; Tìm nguyên hàm f ,

.COS“X ổ Hướng dẫn: Lựa chọn u = In(sinx)

4S Gidi u = In(sinx) COSX du =———dx = cot x.dx Đặt: dx => sinx “ dv= : cos x Vv = tanx 42 fin(sinx).dx ,

Khi đó: — = In(sinx).tanx — jdx = In(sinx).tanx — x + C

cos” x

®° Nhận xét: Ví dụ trên đã cho thấy chỉ có một cách lựa chọn duy nhất cho việc đặt u và dv trong phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Vidu2: Tìm nguyên hàm Ísin(Inx)dx ở Hướng dẫn: Lựa chọn u = sin(Inx)

4 Giải

Đặt ( = sin(In x) _, du = ~cos(ln x)dx

dv =dx V=X

Khi đó: Jsin(Inx)dx = x.sin(Inx) — Ícos(Inx)dx (1) l

=cos( = ——sin(Inx)d

Xét nguyén ham Ícos(Inx)dx, đặt: u=cos(in san du X sindn x)dx

dv = dx V=x

Khi đó: Ícos(Inx)dx = xcos(Inx) + jsin(Inx)dx (2) Thay (2) vào (1), ta được:

®$” Chú ý: Nếu bài tốn u cầu tính giá trị của một cặp tích phan:

I, = fsin(inx)dx val, = Ícos(Inx)dx

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:

Trang 33

» Sử dụng tích phân từng phan cho I,, bing cach dat: = sin(In x) du =-Ìeos(In x)dx

> x

dv =dx V=X

Khi do: I, = x.sin(Inx) — Jcos(Inx)dx = x.sin(Inx) — I (3)

s Su dung tich phan timg phần cho I., bằng cách đặt:

L = cos(Inx) du en x)dx

=> X

dv =dx

V=x

Khi do: I, = xcos(Inx) + Ísin(Inx)dx = xcos(Inx) + I, (4) s Tir hé tao boi (3) va (4) ta nhan duoc:

I= 5 [ sin(nx) — cos(Inx)]+C; L= 5 [sin(Inx) + cos(Inx)] + C

Tiếp theo, chúng ta sẽ quan tâm tới các dạng ham số mà việc tìm ngun hàm

của nó thường được thực hiện bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

DANG 1: Tinh | = [P(x)sintox)dx hoặc [P(x)cos(ax)dx với D là một đa thức thuộc Đ[X] và œe R'

Phương phán

Cách 1: (Sư dung tích phản từng phản) Ta thực hiện theo các bước sau:

du =P(x)dx

=P

Bước l: Dat: " ey =>

— dv = sin(ax)dx v=-—cCosơx

œ

Bước 2: Khi đó [= _l P(x)cosax + + ÍP(x).cosœx.dx

~ ơ a

Bước 3; Tiép tuc thu tuc trén ta sé" klue" được đa thức

Cách 2: (Sứ dụng phương pháp hằng số bất định) Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước l: Ta có:

[= ƒP&)co axdx = A(x)sinax + B(x)cosax + C (1) trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x)

Bước 2; Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

P(x).cosax = [A‘(x) + B(x)].sinax +

+ [A(x) + B'(x)].cosax (2)

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được các đa thức

A(x) và B(x)

Bước 3: Kết luận

Trang 34

#®> Nhán xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay

cách I tỏ ra quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần Do đó, ta đi tới nhận

định chung sau:

s Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách I

sø Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chon cach 2 Vidu3; Tìm nguyên hàm fx.cos* =.dx

d Hướng dẫn: Lựa chọn u = x 4 Giải

Trước tiên, ta có:

[xcos?=.dx = ~ [X(I+eosx)dx=> a X.cosx.dx (1)

2 2 3 =1

I, t›

Ta có ngay Ï, = 2x + (2)

Với nguyên hàm IL, ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách I: Đặt: |" — dv = cosx.dx ¬ v=sinx

Khi đó I, = x.sinx — Jsinx.dx = x.sinx + cosx + C (3)

Thay (2), (3) vao (1) ta duge: [x.cos® 5x = +2(xsinx +cosx)+C Cách 2: Ta có:

[x.cos x.dx = (a,x + b,)cosx + (a,x + b,)sinx + C (4)

Lấy đạo hàm hai vế của ( l), ta được:

X.COSX = a,.COSX — (a,X + b,)sinx + a,.sinx + (asx + b,)cosx

= (a,x + a, + D,)cosx + (—a,x + a, — b,)sinx (5)

Đồng nhất đẳng thức hai vế của (5), ta được:

a,=1

a, +b, =0 a,=0&b, =!

= 5

-a, =0 a,=l&b,=0

a,—b, =0

Khi dé I, = cosx + x.sinx + C (6)

Thay (2), (6) vào (1) ta được:

[x.cos? x dx = Lg Peer +cosx)+C

2 4 2 ~

Trang 35

®” Nhận xét: Nhử vậy, để tìm các nguyên hàm trên:

1 Bởi hàm số côsin ở đó có bậc hai nên cần thực hiện thao tác hạ bậc trước 2 Trong một số trường hợp cần thực hiện nhiều lần phương pháp nguyên hàm

từng phần để tìm ngun hàm Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa trường hợp này

Vídu4; Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x”.cosx

ở Hướng dân: Lựa chọn u = xŸ rồi với hai lần tính tích phân từng phần

4 Giải

=x? (" = 2xdx

=> :

dv =cos x.dx v=sinx

Cách 1: Đặt: Ù

Khi đó: [foods = X”.sinx — 2 J x.sin X.dx (1)

Xét tích phân J = Íx.sinx.dx, bằng cách đặt:

u=x du =dx

>

dv =sin x.dx V=-cosx

Khi đó: J = —-x.cosx + feos x.dx =—X.cosx + sinx + C (2) Thay (2) va (1), ta duoc:

ff (x)dx = x*.sinx — 2(—x.cosx + sinx) + C = x*.sinx + 2x.cosx — 2sinx + C

Cách 2: Ta có:

[x*.cos x.dx = (a,x7 + b,x +c, )cosx + (a2X” + baX + c,)sinx + C, (3) Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được:

X”.cosx = (2a,x + b,)cosx — (a,x* + b,x + c,)sinx +

+ (2a.x + b,)sinx + (a,x* + b,x + c,)cosx = [a,x* + (2a, + b,)x + bị + c;]ÌCosx +

+ |-a,x? + (2a, — b,)x + b, — c,]sinx (4)

Đồng nhất đẳng thức hai vế của (4), ta được: a,=l 2a, +b, =0 b+c,=0 — đán nề —a, =0 a,=l&b,=0&c,=-2 2a;—b,=0 b,—c,=0

Vậy, ta được: Jf(x)dx = 2x.cosx + (x* — 2)sinx + C

Trang 36

DANG 2: Tinh | = Ð/x)e”^dx với D là một da thức thuộc Đ[X] và œe R`

Thương pháp

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách I: (Sư dụng tích phân từng phần) Ta thực hiện theo các bước sau:

fu=P(x) ¡du =P'{x)dx

Bước I: Dat: => ]

dv=edx ux

v=—e a

Bước 2; Khi do: T= | Pere — L [P(x).e°*dx,

a a

Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ " khử " được đa thức

Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất định) Ta thực hiện theo các bước sau: Bước ]: Ta có:

I = JP(x).e".dx = A(x)e”“+C (1)

trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x)

Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

P(x).e™ = [A'(x) + œA(x)].e“® (2)

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định duoc A(x) Bước 3: Kết luận

%®° Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cach | to ra quá cồng kểnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần Do đó, ta đi tới nhận định chung sau:

® Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chon cach 1

» Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2 Vidu5; Tìm các nguyên hàm sau:

a [xe™dx b Je”'dx

4S Gidi

a Tacé thé trình bày theo các cách sau:

du = dx

=x

Cách 1: Đặt: lu Hở => li is

v=e X V=-€

3

Khi đó: Íxe*dx = ~x.e*- fe*dx = +x.e*- ce*" £C, 3 3 3 9

Cách 2: Gia stt: F(x) = [*e*dx = (ax + b)e** + Œ (1)

Lay dao hàm hai vế của (1), ta duoc: xe = (3ax + a + 3b)e™ (2)

Trang 37

Đồng nhất hệ số, ta được: | " a =— 3a =Ì 3 > : J ! | => F(x) = = x.e*- 3° + la

b Datt= /x—I rồi thực siện tương tự cách 1 của câu a), ta được:

fev'dx =2(te' _ fest) = 2(te'=e')+C = 3(Vx—t te +C

t?> Nhận xét: Như ›/ậy, để tìm các nguyên hàm trên:

1 Ở câu a) chúng ta thực hiện theo đúng phương pháp đã biết trong dang 2 2 Ở câu b) chúng ta đã phải kết hợp phương pháp đổi biến số với phương cháp lấy

vl

nguyên ham timg phin béi ham sé e*“” khong ding v<i dang e™*

Vidu i; Tìm các nguyên hàm sau:

a [xrotdx b {(2x° + 5x? - 2x + 4)e™*dx

d Hướng dẫn: Với cau a) stt dung u = x con vdi cau b) hãy sử dụng phương pháp đồng :uhất thức

BS Giải

Je =x? du = 2xdx Cách :: Đặt: =>

| dv =e* dx v=e"

Khi đó: Jfcodx =X?e'— 2 Íxe"dx (1)

¬— du = dx xR 1 f ` tì X Xét tích phân I,, bằng cách đặt: | > (dv = e*dx v=e

Khi đó: I,=x.e'— [e*dx =x.e`—e*+C (2)

Thay (2) vào (1), ta được:

[F(x)dx =x'e' -2(xe ~e°)+C =(x7-2x+2)e+C

Cách 2: Ta đi xde dinh nguyén ham cia ham sé f(x) = x’e*, gid sir F(x) = Jx7e* = (ax? + bx + ce +C (3)

Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được:

x*e' = [ax” + (2a + b)x + b + c]e" (4)

Đồng nhất hệ số, ta được:

a=] a=l

|b+ec=0 \c=2

Trang 38

b Giải sử: F(x) = Í(2x` + 5x) — 2x + 4)e”* dx = (axỶ + bx” + cx + đ)e”* + (5) Lay dao ham hai vé ctia (1), ta duoc:

(2x* + 5x? — 2x + 4)e** = [2ax? + Ga + 2b)x? + (2b + 2c)x + c + 2dJe™ (6)

Đông nhất đẳng thức, ta được:

aed a=!

3a+2b=5 beens? ed b=1 => F(x) = (x? + x7 — 2x + 3)e*+C , , 2b+2c=-2 ~ |e=-2

lc+2d=4 |a=3

DANG 3: Tinh | = JÈ(«)lnœxdx với p là một đa thức thuộc Đ[X] và œe R”

Phương pháp

Giả sử p(¿) có nguyên hàm là P(x), ta thực hiện theo các bước sau:

Butic L: Đạt: honey wl tus tex

alae peer

Khi đó I= P&)Inox— [“ŒX%,

sy

i

Bước 2: Nguyén ham I, dugc xdc dinh bing cách chia đa thức Vidu7; Tìm nguyên hàm [ee +1) Inx.dx

&S Gidi _ du = 2% _ fu=Inx x bas | 3 12 4 2 — 1 2

dv = (x" +1)" dx = (x* +2x? + Idx VEER HEX HX

Khi đó: foe +1 Inx.dx = " Inx - [gx +30 +1 }ax

5 3 5 3

= dự px ex}inx- (Ext s2e ex)ec

5 3 25 9

DANG 4: Tinh | - [e*“sin(bx)dx hoặc [e*cos(bx)dx với a, b # 0

Phương pháp

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần) Ta thực hiện theo các bước sau:

_ b du =—bsin(bx)dx

fel: Dat: [= eos x) ; — Idv=e*dx v=_—#"

a

a a

Trang 39

Bước 2: Xét] = Je*sin(bx)dx, dat: du = bcos(bx)dx u = sin(bx) => dv =e™dx v =—e™ a Khi do: là br Là b

J= — e*sin(bx)— — Je*cos(bx)dx =— e*sin(bx) — — L (2)

a a a a

Bước 3; Thay (2) vào (1), ta được:

I= DU e*cos(bx) + D [1 e™sin(bx) — ° 1)

a aa a

esI= [a.cos(bx) + b.sin(bx)]e +C

a+b?

Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất định) Ta thực hiện theo các bước sau: Bước I: Ta có:

I = Je*cos(bx)dx = [Acos(bx) + Bsin(bx)Je*+C (3)

trong dó A, B là các hằng số

Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được:

e"*.cos(bx) = b|—Asin(bx) + Bcos(bx)]e"" +

+ a[Acos(bx) + Bsin(bx)Je™ = [(Aa + Bb).cos(bx) + (Ba — Ab)sin(bx)]e""

a A= ` a oP Aa+ Bb =l ?+b Đồng nhất đăng thức, ta được: ‘ => sO Ba - Ab=0 B= b a+b

Bước 3: Vậy, ta được:

I= [a.cos(bx) + b.sin(bx)}E +C a’ +b

F chiy:

1 Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của một cặp tích phan:

I, = Je**cos(bx)dx val, = Íe*sin(bx)dx ta nên lựa chọn cách trình bày sau:

= Sử dụng tích phân từng phần cho I,, bằng cách đặt:

t eons) du = —bsin(bx)dx

=>

dv = e*dx v=-—e

a

Khi dé I, = 1 e”cos(bx) + b Je™sin(bx)dx = 1 e™cos(bx) + 2 I (4)

a a a a

Trang 40

s _ Sử dụng tích phân từng phần cho I;, bằng cách đặt:

k "ca du = bcos(bx)dx

=>

dv =e™dx v=—e™ a

Khi đó I, = | sin(bx) - P fescos(bx)dx = | @5sin(bx)— b I @)

a a a a

sø _ Từ hệ tạo bởi (4) và (5) ta nhận được:

L= [a.cos(bx) + b.sin(bx)]e” [a.sin(bx) — b.cos(bx)]e” +

Ị a’ +b? a’ +b?

2 Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân: J, = Je*sin?(bx)dx va J, = Je®*cos?(bx)dx

Vidu8: Tim nguyén ham I = Je*.cosx.dx

+C;, L= C

d Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức trong chú ý trên

&S Giải

Cách 1: Dat:

u=e" du =e*dx

>

{", = cosx.dx ( =sinx

Khi đó I= [feodx = e*,sinx — fe" sin x.dx (1)

Xét tích phân J= [e*.sinx.dx, đặt:

u=e* du =e*dx

> `

dv =sinx.dx V=-cosx

Khi đó:

J=-—e*.cosx+ |e`.cosx.dx =-e*.cosx + I (2)

Thay (2) vao (1), ta dugc I = 2 Ginx + cosx)e* + C

Cách 2: Ta có:

Íe*.cosx.dx = (a.cosx + b.sinx)e* + C (3) Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được:

e*.cosx = (—a.sinx + b.cosx)e* + (a.cosx + b.sinx)e* = [(a + b)cosx + (b — a)sinx]e* (4)

Đồng nhất đẳng thức ở (4), ta được:

a+b=l > a=1/2 => I= —(sinx + cosx)e* + C 1

b-a=0 b=1/2 2

Định dạng
Số trang	203
Dung lượng	14,9 MB