Ebook Bài giảng và lời giải chi tiết giải tích 12: Phần 2

b Ta có: Jf&«)dx = — = Jxt2+ x+I x+I l Jos = 2X 2 +2x+In|x+l|+C ®$” Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm hàm số trên: s Câu a) trình bày theo hai cách với mục đích yêu cầu em học sinh đưa lời đánh giá Và rút nhận định cách ưu tiên thay (3x + 2)* bang (3x + 2)”*” khơng thể sử dụng cách I Với cách em học sinh hiểu theo nghĩa thay x u thì: ys! fu%du = = +C,a#-l a+ Ocaub) ngồi việc thực động tác tách biểu thức ban đầu thành tốn tử nhỏ, cịn sử dụng cơng thức fo = Inlu| +, u Xídu2: Tìm ngun hàm hàm số fo = 2sin° 2x + 2cos.sin= at ` + ` ¬ Hướng dân: Thực thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ (cụ thể phép hạ bậc biến đổi tích thành tổng) mà xác định nguyên hàm chúng dựa vào bảng nguyên hàm /@Š Giải Ta có: [foodx = [2n 2x+2eos Song lu = [(1-cos4x + sin2x ~sinx)dx I 1L, = x ——sin4dx -—cos2x+cosx+C Tìm nguyên hàm hàm số sau: Xídu3; a ¬ ¬ f(x)=(e* +e’) b {() = (2 +3*) Hướng đẩn: Thực tương tự ví dụ BS Giải a Ta có: ffooax = f(e* +e") dx = f(e%* +207 e" +6" dx 254 b Ta có: =) x “$e(3) Ge — = SE) ald ——|~—l dx = C “| —— Nhan xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm »„ Câu a) đề xuất với mục đích giúp 4.c bảng nguyên hàm Tuy nhiên, thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành » Câu b) đề xuất với mục đích giúp fo" | 3X x | 2(3 r hàm số trên: em học sinh ơn lại cơng thức trước thực tốn tử nhỏ em học sinh ơn lại công thức 4.d bảng nguyên hàm Tuy nhiên, trước thực hai động tác tách biểu thức ban đầu thành tốn tử nhỏ Vídu4: Tìm nguyên hàm hàm số sau: | a f(x)=—.——— sin” X.cOS” X _ b f(x) =tan*x +cot"x Hướng dẫn: Thực tương tự ví dụ BS Giải a Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: [fcodx = (——— | sin” X.cos” X Sin” dx=[——— x +€o$” x + sin” x.cos” x dx= —+—— cos’x sin’ x |dx = tanx — cotx + C Cách 2: Ta có: ffoodx b = T=— sin” X.cOS” X = [- : dx =—2cot2x + C sin 2x Ta có: ffooax = [(tan? x + cot? x) dx = Ír- _ +1- — Jax cos’ xX sin” x = 2x — tanx + cotx + C, ®” Nhận xét: Như vay, dé tim nguyên hàm hàm số trên: s Câu a) đề xuất với mục đích giúp em học sinh ôn lại công s Ocaub) thực thêm động tác tách biểu thức ban đầu thành toán tử nhỏ thức 5.a 5.b bảng nguyên hàm 255 | Bài toán 2: Tim nguyen ham phương pháp phân tích Phương pháp áp dung Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi hàm số ban đầu (hoặc gọi hàm số dấu tích phân) thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết Để tìm nguyên hàm hàm số y = f(x) phương pháp phân tích, ta thực theo bước sau: Bước I: Biến đổi f(x) vé dang: f(x) = Sa), i=l với f(x) có nguyên hàm bảng công thức ơ, số Bước 2: Khi đó: Ífx)dx= [3`ojf(x)dx = Ÿ`e, [T@x)dx i=l # i=! Chit ¥ quan trong: Diém mấu chốt phép phan tich budc 1, céc em học sinh rút ý tưởng cho riêng từ vài minh hoạ sau: = V6i f(x) = (x — 2)(x7 + x + 1) thi việc sử dụng phép nhân đa thức ta viét lai: f(x) =x? -x*-x-2, » : x?-2x4+] Vi f(x) = ¬== x+ 0.) ae , «Io: phép chia đa thức ta viết lại: fx)=x—3+ oa x+] ® Vi f(x) = she —_ phép phân tích đa thức thành nhân tử ta x =3x+2 viết lại: £(x) l c—l)~(x~2 l)—(X _Á ~ (x 1x2) l (x - P(x - 2) \ " - Với Í(x)= —————— dL sử dụng l _ x-2 phương pháp L x-l nhân liên hợp ta viết lại: f(x) = Vx+1+ vx (x+1)-x » V6i f(x) = cos3x.cosx thi bang viéc sir dung cơng thức biến đổi tích thành tơng ta viết lại: f(x) = (cos4 256 = Jxt+livx + cos2x) Vidul; a Tìm nguyên hàm hàm số sau: 1)(x f(x)=(x+ = x(x f(x) b + 2) 12", + d Hướng dân: Sử dụng kiến thức phần phương pháp giải toán BS Gidi a Taco thé lua chon hai cach trinh bay sau: Cách 1: Ta biến đổi: Jf(x)dx = f(x + 1)(x + 2)dx = Í(x?+ 3x + 2)dx = ax + ox +2x+C Cách 2: Ta biến đổi: [foods = fox + Dox + 2)dx =Í& + DĨ + 1) + l]dx = [lx + DP +(x + Didx =Í[œ& + ĐŸ+ (x + D)]Jd( + ] =-~(x+l)'+—(x+l#+C ( ) P ( ) b Sử dụng đồng thức x = (x + I) — 1,ta được: xŒ + l)”” =[( + 1)~ 1K + 1) = (x + 1) Khi đó: [foods = [x(x +1)°'dx _ (XH 2011 = Joey = (x + 1), -(x+ |dx OH 2010 rr Nhan xét: Qua thi du trén ching ta bat dau lam quen voi viéc xdc dinh nguyên hàm hàm đa thức phương pháp phân tích, cu thé: O cau a) nhận thay: s " Cách | sử dụng phương pháp nhân đa thức để biến đổi tích thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận từ bảng nguyên hàm Cách sử dụng đồng thức x + = (x + 1) + để biến đổi nguyên hàm dạng tổng Ju“du Tuy nhiên, em học sinh thấy cách giải trình bày mang tính minh họa phức tạp nhiều so với cách ] Ở câu b) tổng quát với nguyên hàm: với a # I= Íx(ax + b)”dx, việc sử dụng đồng thức: x = aX = [(ax + b) - bị Vidu2: a a Tìm nguyên hàm hàm số sau: ee x+] n f(x) = a x'-3x+2ˆ 257 Hướng dẫn: Xem ý phân phương pháp giải tốn BS Gia a Ta có: [f(dx b Ta có: = = F—= = A : Jf(x0dx dx X -3x+2 = f x+] dx = dx (x-l\(x—2) = In|x — 2| — In|x — l|+C 3x dlne + 11+C Jox = 5x ¬.= _2 = X_— Í x-2 = x-l “l+C %@” Nhận xét: Qua thí dụ trên: Ở câu a) cần thực phép chia đa thức biến đổi phân thức hữu tỉ ban đầu thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử t`) nhận từ bảng nguyên hàm Ở câu b) nhận thấy: A x'-3x+2_ ,_B_ x-2 _(A+Bx-A-2B x-l (x-2Xx-]) Ta đồng thức: = (A + B)x - A - 2B Để xác định A, B (1) ta lựa chọn hai cách sau: (1) Cách 1: (Phương pháp đồng hệ số): Đồng đẳng thức, ta được: A+B=0 -A-2B=1 A=l © B=-! Cách 2: (Phương pháp trị số riêng): Lần lượt thay x = 1, (1) ta A = B= -] Tức là: x-3x+2 x-2 x-l Tìm nguyên hàm hàm số sau: Vidu3: a LÔ _ l 10) = TK b f(x) - X Vx? 4+24x d Hướng dẫn: Thực phép nhân liên hợp Giải Taco: [feodx = j= = for )› —x? fs 258 | (Vx+1 ~vx )dx ——= = xenon tri a Jee x = vào hai vế b Ta có: x( Vx? +2 -x}dx d x°+2-x? - 2(*#~ + 2dx — [x4] - als +2)? d(x? +2)~- [xÌ#x ® = L(x? +2)? _ ®“ Nhận xét Đề tìm ngun hàm hàm số ví dụ sử dụng phép nhân liên hợp bậc hai, cụ thể: ⁄A +⁄B Tuy nhiên: l có liên hop 1a JA - VB ngược lại Ở câu a) sau phép lấy liên hợp nhận tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận từ bảng nguyên hàm Ởcâub) cần thực thêm việc tách hàm số nhận thành hai hàm số nhỏ cân tới hai dạng Íx”dx [u°du Vidu4; Tim nguyên hàm hàm số sau: a f(x) =cos3x.cosx b f(x) = sin3x.sin2x.cosx d Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp biến đổi tích thành tổng lượng giác Giải a Ta có: Jf()dx b = Keosax + cos2x)dx = sin 4x+ sin 2x+C Ta có phân tích: f(x) = sin3x.sin2x.cosx = sin 3x(sin3x + sin x) = (in? 3x + sin3x.sinx)= a cos6x +cos2x —cos4x) Khi do: [feodx = Í(I—os6x + cos2x~cos4x)dx ] 1, 1, = 3[x~gsn6x+sn 2x= sin4x ÌxC, #“ Nhận xét: Như vậy, để tìm nguyên hàm cho hàm số lượng giác sử dụng phương pháp phán tích, cụ thể: 259 I Ở câu a) sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng Các em học sinh nhớ lại: COSX.COSY = leos(x + y) + cOS(X — y)] sinx.siny = [cos(x — y) — cos(x + y)] sinx.cosy = [sin(x + y) + sin(x - y)] cosx.siny = [sin(x + y) — sin(x — y)] Ở câu b) sử dụng phép phân tích dần xuất hàm sinx cosx bậc cao sử dụng công thức hạ bậc Các em học sinh nhớ lại công thức sau: l-cos2x c2 sinˆx = = 3sin x— sin3x sinŸx = Vidu5; , l+cos2x COS x= —— 3cos x + cos3x va cos*x = _== - Tìm nguyên hàm hàm số sau: b f(x) =cot'x a Í(x) =sin x d Hướng dẫn: Ta lần lượt: a Với câu a) sử dụng công thức hạ bậc hàm số sin b._ Với câu b) cần thực việc hạ bậc dần có cơng thức cho cox Giải a Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: [f(x)dx = [sin2xdx = [(3sinx — sin3x)dx -i{-3 COSX+ tc0s3x | Cách 2: Ta biến đổi: Jf(&«)dx = Ísin2xdx = Ísin2x.sinx.dx = Í(1 — cos”x)sinx.dx = [sinx.đx + Ícos”x.d(cosx) = —c0SX + b 00s'x +C Sử dụng đồng thức: cot’x = cot *x.cot x = | 260 l ì — -ljsotx sin’ x — cotx = cotx.—-— sin” x Ce Ta được: ffoodx bì = X sin’ x ~cot x Ja = - |cot x.d(cotx)— f * = d(sin xX) [oot x — I sin” xX -5 cot"x sin xX dx— — * dx sin X — Inlsinx! + C Nhan xét: Nhu vay, để tìm nguyên hàm cho hàm số lượng giác trên: Ở câu a) việc trình bày theo hai cách với mục đích cho em học sinh thấy tính linh hoạt phép biến đổi lượng giác hàm số dấu tích phân Ở câu b) tổng quát với: I= Jcot"dx (hoặc Vidu6; a I, = |tan"dx), n>2 Tim nguyên hàm hàm số sau: f(x)= ¬ sin’ x e* -| /#Š Giải a Sử dụng kết cx Sn"x = -d(cot x), ta được: [foodx = i = Su dung _ sin’ ~ X [cl +cot? x)d(cotx) cot’ x +C —(e* _Ù e-] Jf(dx a X thức l = e* — (e* — l), ta được: l e* Suy ra: Vidu?7; sin” dx 0T cina2 I = “cotx b t2 _ e* eI Jas - PS) = (= )_ fax =Injet = 1]-x+C Tìm nguyên hàm hàm số sau: f(x)= - ] sin 2x b f(x) = cosx Hướng dẫn: Thực phép thêm, bớt /@Š Giải a Ta có: f - dx sin2x dx dx 2sin x.c0Sx 2tan xco0s“ x - > _ d[tan x] 2tanx In|tanx| + C 261 b Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Biến đối: j— dx Coss dx =J— sn[x+ 5) \ =Í =] dx 2sin( Š «5 lem| 4) dx =Í WN | x “3, „(X.TÌ ‘(3 *) 2tan| — +— |cos*| — + | i‘ Jo dx COS X = FES cos x.dx cos” : 2° Cách 2: Biến đổi: X dj tan| = d(sinx) c2 l—-sinˆ x - US (; 4] — + l tan| Š + T) 4 Tt 4+ -: = Injtan( = + 7) +C 2° d(sinx) sin’ x-1 sinx — =- >In sinx +1 +C Chiu y: Trong phuong phdp phan tich dé tinh nguyén hàm quay lại với tốn ngược "Tính đạo hàm" để xét hai dang phổ biến, cu thể: Dang 1: Xét ham s6 F(x) = f(x).e*, ta thấy: đó: F (x) = [f (x) + f(x)]-e*, S[f '{x) + f(x)]e*dx = f(x).e' + € Mở rộng với hàm số dạng: = [f(x)— f(x)]}e* có họ nguyên hàm F(x) = f(x)e™ [f (x) + a'(x)f(x)Je™ c6 ho nguyén ham 1a F(x) = f(x)e™™ © [f (x) + af(x)]e"**° có họ nguyên hàm F(x) = f(x)e™*? Dang 2: Xét ham s6 F(x) = u(x).v(x), ta thay: F '(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x), đó: Í[ux).v(x) + u(x).v{x)]dx = u(x).v(x) + Œ Tìm họ nguyên hàm F(x) hàm số sau: Vídu8; a fx)= f(x) V2 cos(x + ~).e%, b f(x)= (xÌ+x+1)e" đề 4£ Giải a Ta biến đổi f(x) dạng: f(x) = (cosx — sinx)e* = [cosx + (—1)sinx]e™ Xét hàm số F(x) = sinxe *, ta có: F(x) =cosx.e* — sinxe* = (cosx — sinx)e™ = V2 cos(x +7 ).e* = f(x) Vay F(x) = sinx.e* + C họ nguyên hàm hàm số cho 282 b Ta biến đổi f(x) dạng: [x +(x? + ]Je* f(x) = P [ia Vx = +1 = Vx7 +Vx” BH 4+] Xét hàm số F(x) = VxỶ +l.e`, ta có: : 2x TK F(x)= a: x" 2Vx" +1 Vậy F(x)= (x e*= +1 =|(ve ) +x+l)e* FT Vx"+l +i eve? wire J = f(x) vxÌ+lI.e` +C họ nguyên hàm hàm số cho |Bài toán 3: Tìm nguyên hàm phương pháp sử đụng nguyên hảm phụ | Phương pháp áp dụng Ta thực theo bước sau: Bước l; Tìm kiếm hàm số g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f(x) + g(x), tức là: F(x) + G(x) = A(x) +C, (D F(x)~ G(x)= B(x)+C,ˆ Bước 3: Tirhé (1), ta nhan duoc F(x) = [A(x) + B(x)] + Cla ho nguyén ham cua ham sé f(x) cos” x Xídul; SS Tim họ nguyên hàm hàm số f(x)= ———————— sin’ X+cos x Gidi Chon ham s6 phu g(x) = og —_— sin® x + cos” x Goi F(x) va G(x) theo thứ tự nguyên hàm hàm số f(x), g(x) Ta c6: sod f(x) + g(x) = AAT SOS * = = F(x) + G(x) = dx =x +C, sin f(x) — g(x) = xX+cos x cos*x-sin*x cos*x —sin* x sin’x+cos’x sin’x+cos’x In + ng = cos2x | y_| tay => F(x) — G(x (%) — 2cos2x d(sin 2x) 2—sin 2x sin 2x—2 "_ GO) = = =— 1ˆ 2/2 In |sin2x~ v2| e sin2x+V2| ` F(x)+ G(x)=x+€, Ta được: | F(x) - Gx) = —= H2 C25 2c, am = Fon) = 5004+ "V3- sin2x In V2 +3in2x s8 man +C, 263 Thí dụ5: Cho hai số phức z¡ = + ¡ z, =3 +i a Tim dạng lượng giác z¡, za b Sử dụng kết a) tính z,z,, A Z, a Giải Ta có: 2, =1+i=V3{ = b V3+i=2 Me) | i] =V3[ cos? +isin’), Ls = 2{ cos +isnE Ta có: nts = Vi Zz, — a + ,_ v2 =_——| cos{ E+ +4) sisi COSI (3 ——— £2 )| = 202 cos sin( |+I.SIN| 6)| ——— 25 = —| COS— + isin), 12 mo 5] 12 †t.SIn— | Chi y: Néu thuc hién cdc phép toan trén dudi dang dai s6: Taco: 3-1 tpi từ đó, suy , b Ta có: Z Sn V3+1_ : 7° ah = sin— +i wt _2 (Iti) v3-i KE 12020) 442 „ v2(-) m—h Hoat dong | ¥2(v3-1), Y2(VB+1) 5.9 46.9 từ đó, suy ra: , ` Cho hại số phức z, = — ¡ Z,= V3 -i a Tim dang lugng giac cua z,, 2» b Su dung kết a) tinh z,z,, + ° ^“4 Z z a an ), (/3-+1) 2,2, =(1+i)( V3 +i) =(V5 -1)+(V341)i =2/5 ea CÔNG THỨC MOA~VRƠ (MOIVRE) VÀ ỨNG DUNG Công thức Moa-vrơ: Với số nguyên dương n, ta CÓ: [r(coso + 1.sim@)]” = rˆ(cosno + i.sinng) Khi r= 1, ta duoc: (COS® + 1.sin@)" = cosng + i.sinng Thidy6: Cho so phitc z = —i, tinh z’ 4S Git Trước tiên, ta có: z=1-i= W|-I) =v2|so|~3)* in| =5 | Từ đó, suy ra: (v3)'| os -2=) +isin{-*)] = of -28 2) 4(-1+) Ứng dụng vào lượng giác: Ta có: (cos@ + Lsing)* = cos3@ + i.sin3@ Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta được: (coso + i.sino)` = cosÌ@ + 3cos2@.(1.sin@) + 3coso.(1.sino)° + (ising)* Từ đó, suy ra: cos3o = cos”@ — 3coso.sin” = 4cos”@ — 3cosọ, sin3@ = 3cos’¢.sing — sin’ = 3sing — 4sin’9 Thidu 7: Tính sin4o cos4o theo luỹ thừa sino cos@ ES Giải Ta có: (cos + i.sing)* = cos4g + i.sin4dg Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc bốn ta được: (cos@ + i.sing)* = cos*@ + 4cos*9.(i.sing) + 6cos"@.(i.sing)” + Acosg.(i.sing)* + (ising)* Từ đó, suy ra: cos4@ = cos*o — 6cos"g.sin’@ + sin*9, sin4d@ = 4cos*@.sing — 4cosg.sin*9 Hoạộn Tính sin5@ va cos5o theo luỹ thừa sing cos Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: Số phức z = r(Ccos@ + 1.sin@), r > Ư có hai bậc hai là: Vi cos$-+ising) 2 va VF [ cos £+ isin = Vr cos[ Ÿ+m ]+isn| Š +x] 443 Thídụ8: cua Z SS Viết dạng lượng giác số phức z=l+i33 bậc hai Gidi Ta có: z=l+i3 =2 1U, = cos + isin từ đó, suy z có hai bậc hai là: Vil costs isin= | va HoạiđỘN {cos isin) = J[sos 6 isin Sj V;ết dạng lượng giác số phức z=l—i/3 bậc hai cua Z B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Bài tốn 1: Dạng lượng siác số phức Phương pháp áp dụng Sử dụng kiến thức trình bày nhận xét phan Ví dụ ]: Tìm dạng lượng giác số phức z, —z, i ,kz(k € R’), biét: z a a Z=r(cos@ + I.sino), với r >0 b.z=l+i3 Giải Ta có: “_ Số phức z có mơđun r acgumen —ọ nên có dạng: z= r[cos(—@) + i.sin(—@)] = S6 phitc -z cé6 médun r va acgumen bang @ + nên có dạng: ~z = r[c0S(@ + 7) + I.sin(@ + 7)] " Sốphức È VÀ = —_ z2 = Tin T có mơdun + r= acgumen T r nên có dạng: +1.sino) s Số phức kz có mơđun |kz| = |k|r acgumen ọ k > , , k 0 „ nếuk chon = 3" + mœ = Z= mn 2{ cos -zZ =-2 1 Tt isin’ 3 cos +i.sin= = = =z Zz Z.Z 24{ cos cos đó: mT) -— = 2] cos} =v) cos + =—.2} -24{ i.sin) |+i.sin] a Từ đó, suy z = 2[ cos -— } ~cos = -isin= 3 isin) + isin“ | =2) cos E+ {cos cos— ti.sin— | = —| 3 |; isin cos—+i.sin— 3 | isin St | |; nếuk >0 + isin) néuk a?+b°=1es Íz| =1 z—l (a-l) +b' Bài tập 10: Từ giả thiết, ta có: Z = C0SƠ + I.sinœ w = cosji + ¡.sinB, Z+W _ cosatisina+cosB+isinB _ (cosœ+cosf)+ i(sinœ + sinB) l+zw 1+(cosœ + i.sina)(cosB+ i.sin B) —— ]+€0s(œ+ B) + ï.sin(œ + B) Khi đó, tử số phần ảo số phức có dạng: —(cosa + cosB).sin(a + B) + [1 + cos(a + B)](sinœ + sinB) = Vậy, số +W +ZWw số thực 451 Bài tập 11: Không tồn m Bài tập 12: a -2” b, Bài tập 13:a -64 b — l — 210 c 221, 64 ` : um Bài tập 14: Ta KH: + Se = = COS 4T + 21 2n € =cos— +1.sin—, đt 1.Sin— Ta lần lựot với: Với zạ = cos Z + isin S thi: n 12 mn =cos— TÔ —COS— 12 T7 +isin— ® ,m) —=W=|COS—+†I.SIn— | 7T —- I.SIn— 4 —cos— —i.sin— =0 4 Suy Z) la mét nghiệm phương trình V6i Z, = Z.€ thi: T1 Tt 2n 2n 3n Z¡=| cos— + i.sin— || cos— + i.sin— 12 12 3 3n nN 3n |=cos — + i.sin— 4 Z —Ww=|cos—+isin— | —cos— 4 —i.sin— On On 1Ô T =COS— + I.Sin— — co0s— — i.sin— =0 4 Suy z, nghiệm phương trình s_ Vớiz;=zạ.©” thì: T1 4n 12 12 4n Z2 =| COS— + I.SIn— || cos— + I.SIì—— “ l7n 12 17x 17m) mn T Z —W=|COS——+I.sin—— | —c0s— —1.sin— 12 12 4 17x = cos—— l7n + 1.sin—— 452 TÔ T -—cos— —isin— =0 4 Suy z, nghiệm phương trình l7n |=COS—— + I.SIN—— 12 CHƯƠNG I UNG DUNG DAO HAM DE KHAO SAT VA VE DO THI CUA HAM SO § Tinh don digu cua ham 86 oo cccccccesscecsseceseescenseecesseeessseecesteseesenevsutevses Bai toan l: Xét tinh đơn điệu hầm số .c sec II Bài toán 2: Sư biến thiên hàm số miền .- 17 Bài tốn 3: Bài tốn 4: §2_ §3_ Cực trị Bài Bài Bài Bài Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ôe2 56 Bi toỏn l: Đ8_ Phng phỏp khảo sát trực tiếp -c-ce 59 Bai toan 2: Giá Bai toan 3: Phương pháp khảo sát gián LIẾp ccccscccececerres 63 Đồ thị hàm Bài toán I: Bài toán 2: Bài toán 4: §6_ §7 211 TH 25 hiệu Ï 29 hiệu IÏ 32 trị .-«- 34 (đường cong) qua điểm cực trị đồ thị hàm số ¿555scssvcccce2 43 Bài tốn 3: §5_ Giải phương trình, bất phương trình hệ 21 hầm SỐ SH Q nc n TT 1n HH1 tốn 1: Tìm cực trị hàm số đấu tốn 2: Tìm cực trị hàm số đấu tốn 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực tốn 4: Lập phương trình đường thang Bai toan 4: §4_ Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 19 trị lớn OẠT .Q.Q giá trị nhỏ 2n HH HH HT hàm TH k1 số 1k HH tệt 62 Sw dung gid tri lớn giá trị nhỏ hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ 64 số phép tịnh tiến hệ tọa độ ccccccccccescee Phép tịnh tiến hệ tọa độ S1 2t 73 Tìm điều kiện tham số để đỏ thị hàm số nhận điểm I làm tâm đối xứng đồ thị sec seHhre Tỉ Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số nhận đường thăng song song với trục Oy làm trục đối xứng AG ANI ceccceccccsssssessesssssessssssssecssssveessessecsssssecessssiesssssseesssssvees 70 Đồ thị hàm số y = f(x + a) + D Q.2 222 Hee 80 Đường tiệm cận đồ thị hàm số .S ccn S2 net 83 Bài toán l1: Tiệm cận đồ thị hàm phân thức hữu tỉ 85 Bài toán 2: Tiệm cận hàm số VÔ tỈ S Ăn ni 90 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đa thức 94 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ 107 Một số toán thường gặp đồ thị - cty srrrrerereeeerree 124 Bai toan 1: Bài toán 2: CHUONGH lu | Tương giao hai đồ thị 2.525