Tài liệu tham khảo: Bài tập cơ học kỹ thuật

PHẦN A - TĨNH HỌC VẬT RẮNNội dung của phần Tĩnh học bao gồm: - Xây dựng các khái niệm cơ bản: lực, ngẫu lực, mô men của lực đối với một điểm, mô men của ngẫu lực, vật rắn, cân bằng của v

UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

Tài liệu tham khảo

BÀI TẬP CƠ HỌC KỸ THUẬT

Mã số: TLTK.CN.2024.03

Chủ biên: ThS Bùi Ngọc Dung Thành viên: ThS Nguyễn Thị Kim Thịnh Đơn vị: Khoa Xây dựng

Hải Phòng, Năm 2024

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

PHẦN A - TĨNH HỌC VẬT RẮN 4

Chương 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 5

1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 5

1.2 BÀI TẬP 7

1.3 ĐÁP ÁN 9

Chương 2 HỆ LỰC PHẲNG VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN PHẲNG 11

2.1.VECTOR LỰC 11

2.2 CÂN BẰNG CỦA CHẤT ĐIỂM 19

2.3 HỢP LỰC CỦA HỆ LỰC PHẲNG 23

2.4 CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN PHẲNG 29

Chương 3 HỆ LỰC KHÔNG GIAN VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN KHÔNG GIAN 38

3.1 BIỂU DIỄN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC 38

3.2 CÂN BẰNG CỦA CHẤT ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN 47

3.3 MÔ MEN CỦA LỰC TRONG KHÔNG GIAN 50

3.4 CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN 56

PHẦN B - ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 63

Chương 4 ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 65

4.1 ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 65

4.2 CHUYỂN ĐỘNG THẲNG GIA TỐC THAY ĐỔI 68

4.3 QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG CONG 74

Chương 5 ĐỘNG HỌC PHẲNG CỦA VẬT RẮN 84

5.1 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN 84

5.2 CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 84

5.3 CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG TỔNG QUÁT 88

PHỤ LỤC 104

Phụ lục 1: NHÂN CÓ HƯỚNG VÉC TƠ 104

Phụ lục 2: MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG 105

Phụ lục 3: YÊU CẦU BÀI TẬP LỚN 106

TÀI LIỆU THAM KHẢO 112

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học nói chung là một nhánh của khoa học vật lý liên quan đến trạng thái

tĩnh hoặc chuyển động của vật dưới tác dụng của một lực Cơ học có thể được

chia thành ba phần: cơ học vật rắn, cơ học vật thể biến dạng và cơ học chất lỏng

Trước đây ở nước ta tên môn học này được gọi là Cơ học lý thuyết Cơ học kỹ

thuật nói riêng nghiên cứu về cơ học vật rắn gồm ba phần: Tĩnh học vật rắn, Động

học vật rắn và Động lực học vật rắn Để phù hợp với chủ trương đào tạo Đại học của Trường Đại học Hải Phòng nói riêng và của Bộ giáo dục nói chung Tài liệu

Bài giảng Cơ học kỹ thuật được biên soạn tập trung vào hai nội dung chính là:

Tĩnh học vật rắn, Động học vật rắn và được lưu hành nội bộ cho sinh viên ngành

Kỹ thuật xây dựng của trường Đại học Hải Phòng với thời lượng là 3 tín chỉ tương đương 45 tiết học

Tài liệu tham khảo Bài tập Cơ học kỹ thuật được soạn tương ứng với Tài liệu Bài giảng Cơ học kỹ thuật, tác giả ThS Bùi Ngọc Dung, nghiệm thu 25/05/2023

tại Trường Đại học Hải Phòng

Tài liệu được biên soạn lần đầu nên chắc chắn sẽ còn có nhiều thiếu sót Tác giả rất mong muốn nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và các e sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn trong tương lai

Hải Phòng, tháng 04 năm 2024

PHẦN A - TĨNH HỌC VẬT RẮN

Nội dung của phần Tĩnh học bao gồm:

- Xây dựng các khái niệm cơ bản: lực, ngẫu lực, mô men của lực đối với một điểm, mô men của ngẫu lực, vật rắn, cân bằng của vật rắn, …

- Xác định phản lực liên kết, nội lực ở các mặt cắt của vật rắn

- Tìm điều kiện cân bằng của vật rắn

Về phần kỹ năng tài liệu giúp sinh viên rèn luyện các kỹ năng:

- Chuyển đổi đơn vị trong cùng một hệ đơn vị và giữa các hệ đơn vị khác nhau;

- Thực hành các phép tính véc tơ, tính hợp lực, tính các lực thành phần

- Áp dụng các quy tắc hình bình hành, quy tắc tam giác vào các bài toán cụ thể

- Phân tích véc tơ theo các thành phần vuông góc và tính toán

- Xác định phương, chiều, độ lớn của mô men

- Giải các bài toán cân bằng chất điểm, cân bằng hệ vật

- Kỹ năng tách vật khỏi liên kết đưa về trạng thái tự do, tính toán các phản lực liên kết

Chương 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Phần lý thuyết chương một chủ yếu cung cấp các khái niệm định nghĩa đã trình bày rất rõ trong tài liệu Bài giảng Cơ học kỹ thuật đã nghiệm thu tháng 5 năm 2023 trong tài liệu này tác giả không nhắc lại mà tập trung chủ yếu vào phần rèn luyện kỹ năng tính toán đổi các đơn vị của đại lượng cơ bản từ hệ đo lường này sang hệ đo lường khác hoặc trong cùng một hệ đo lường Trong tài liệu này cung cấp một số các quy ước về đơn vị đo của hệ đo lường quốc tế (SI)

và hệ đo lường của Mỹ (FPS)

Bảng 1.1 Các đại lượng cơ bản và đơn vị đo trong hệ đo lường quốc tế

Mỹ (FPS)

3 Khối lượng Kg - kilogam Slug – lb.s2/ft

Đơn vị đo theo

hệ đo lường quốc tế (SI)

Bảng 1.3 Một số tiền tố được sử dụng để đo lường các đại lượng rất lớn hoặc rất nhỏ trong hệ đo lường SI

a) 200lb.ft sang N.m; b) 350lb/ft3 sang KN/m3; c) 8ft/h sang mm/s Bài 1.4 Sử dụng các tiền tố để biểu diễn các giá trị sau

a) Khối lượng của người đó theo đơn vị slugs

b) Khối lượng của người đó theo đơn vị kg

c) Trọng lượng của người đó

Nếu người đó đứng trên mặt trăng có gia tốc trọng trường gm = 5.30ft/s2 Xác định: d) Trọng lượng của người đó

e) Khối lượng của người đó theo kg

Bài 1.8 Giải phóng liên kết đưa các thanh dàn trong kết cấu sau về trạng thái tự do,

Bài 1.9 Giải phóng liên kết đưa thanh về trạng thái tự do

Bài 1.10 Xét trong mặt phẳng ABC giải phóng liên kết đưa thanh AB về trạng thái tự do

Bài 1.11 Xét trong mặt phẳng ABC

a) giải phóng liên kết đưa thanh ngang AB về trạng thái tự do

b) Tại vị trí chân cột C có thể là liên kết gì Giải phóng liên kết vẽ các phản lực liên kết tại vị trí chân cột

1.3 ĐÁP ÁN

Bài 1.1:

a) 39,24 N; b) 0,147 N; c) 784,8 N; d) 4,905 N; e) 2,452.106 kN; f) 7,3575N

Bài 1.2

a) KN/s; b) Mg/mN; c) MN/kg.ms; d) Mg/mm; e) mN/s; f) m.Mg; g) m/s; h) km; i) ks/mg; k) km.N; m) GN.m; n) kg/m; o) N/ks2; p) kN/s a) kN/ms = 103N/10-6s = 109 N/s

Chương 2 HỆ LỰC PHẲNG VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA

VẬT RẮN PHẲNG

Hệ lực gồm các lực cùng nằm trên một mặt phẳng được gọi là hệ lực phẳng Tuy hệ lực phẳng chưa phải là hệ lực tổng quát nhưng nhiều bài toán kỹ thuật dẫn đến khảo sát hệ lực phẳng Phương pháp luận phương pháp nghiên cứu hệ lực phẳng là khá điển hình cho phương pháp nghiên cứu các hệ lực bất

kỳ Chương này chúng ta lần lượt xét các bài toán: Thu gọn hệ lực phẳng về dạng đơn giản và tìm điều kiện cân bằng của vật rắn phẳng dưới tác dụng của

Véc tơ lực Là đại lượng có hướng

được biểu diễn bằng véc tơ có phương chiều độ lớn Chiều của mũi tên chỉ hướng của lực

Độ lớn của lực có thể được biểu diễn bằng tỉ lệ xích

Nhân hoặc

chia một véc tơ

với một đại

lượng vô hướng

- Làm thay đổi độ lớn của véc

- Nếu đại lượng vô hướng

là giá trị âm thì làm thay đổi chiều của véc tơ

𝑅 = √𝐴2+ 𝐵2− 2 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼 Trong đó a là góc đối diện với véc tơ 𝑅⃗ hợp bởi hai phương của vector 𝐴 và vector

𝑅𝑠𝑖𝑛𝛾

𝑅⃗ = 𝐵⃗ + 𝐴 Phép chiếu

các lực lên hệ

tọa độ vuông

góc

Fx và Fy là hai thành phần của lực F trên hệ tọa độ vuông góc

Bài 2.1 Dựa vào quy tắc hình bình hành vẽ hợp lực, dựa và quy tăc tam

giác tính các hợp lực trong mỗi trường hợp sau: 𝐹⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑅 ⃗⃗⃗ + 𝐹1 ⃗⃗⃗⃗ 2

Bài 2.2 Phân tích các lực sau theo các phương u và v: 𝐹 = 𝐹⃗⃗⃗ + 𝐹𝑢 ⃗⃗⃗ 𝑣

Bài 2.3 Phân tích lực F theo phương u và v Tính độ lớn của lực thành phần đó

Bài 2.4 Cho Fu = 6kN tính F và Fv?

Bài 2.5 Xác định độ lớn và hướng của hợp lực

Bài 2.6 Nếu hợp lực nằm trên phương ngang và có độ lớn là 1200lb Tính lực F và góc q hợp bởi lực F và phương ngang

Bài 2.7 Cho nút dàn như hình vẽ và góc q = 600 tính độ lớn của hợp lực

Bài 2.8 Xác định độ lớn và phương của hợp lực

Bài 2.9 Cho F1 = 30N; F2 = 40N Xác định góc q và f sao cho hợp lực FR

= 60N có phương và chiều là phương trục x và chiều dương cuả trục x

Bài 2.10 Tính các lực sau lần lượt theo trục x và trục y

Bài 2.11 Xét các lực theo hệ tọa độ vuông góc Tính độ lớn của hợp lực

và góc của hợp lực với phương trục x

a) b)

Bài 2.12 Cho nút dàn như hình vẽ Xác định các thành phần lực theo phương x và phương y của các lực tác dụng vào bản nối Chứng minh rằng hợp lực của các lực tác dụng vào nút dàn bằng không

2.1.3 Đáp án

Bài 2.1

Bài 2.2

Bài 2.3

𝐹𝑣𝑠𝑖𝑛300 = 250

𝑠𝑖𝑛1050; 𝐹𝑣 = 129 𝑁

𝐹𝑢𝑠𝑖𝑛300 = 6

b) 𝐹 1 = {30 𝑖 + 40 𝑗 } 𝑁; 𝐹 2 = {−20,7 𝑖 − 77,3 𝑗 } 𝑁; 𝐹 2 =

{30 𝑖 } 𝑁

𝐹𝑅 = 54,2 𝑁; 𝜃 = 43,50c) 𝐹 1 = {200 𝑖 + 346 𝑗 } 𝑁; 𝐹 2 = {177 𝑖 − 177 𝑗 }; 𝐹𝑅 = 413 𝑁; 𝜃 =24,20

Bài 2.12 ∑ 𝐹𝑥 = 0; ∑ 𝐹𝑦 = 0 ; ∑ 𝐹 = ∑ 𝐹𝑥 + ∑ 𝐹𝑦 = 0

2.2 CÂN BẰNG CỦA CHẤT ĐIỂM

2.2.1 Tóm tắt lý thuyết

Có hai bước cơ bản để khảo sát trạng thái cân bằng của chất điểm:

Bước 1: Xây dựng sơ đồ tự do của chất điểm

- Cô lập chất điểm ra khỏi môi trường xung quanh bằng cách loại bỏ tất

cả các giá đỡ và liên kết

- Biểu diễn tất cả các lực tác động vào chất điểm bao gồm cả lực chủ động gây ra chuyển động và lực bị động làm cản trở chuyển động (các phản lực liên kết)

Bước 2: Sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học để khảo sát và tính toán

c)

Bài 2.14 Viết công thức cân bằng chất điểm theo các trục hệ tọa độ vuông góc ∑𝐹𝑥 = 0 ; ∑ 𝐹𝑦 = 0 cho mỗi trường hợp sau:

Bài 2.15 Thùng hàng có trọng lượng 550N ở trạng thái cân bằng Tính lực căng trong mỗi sợi dây cáp

Bài 2.16 Trọng lượng của dầm thép nặng 700N, sức chịu tải tối đa của sợi cáp là 1500N Tính chiều dài dài nhất có thể của cáp để nâng dầm thép lên

Bài 2.17 Tính lực căng trong dây cáp AB, BC, CD sao cho hệ thống đèn

B có khối lượng 10kg và hệ thống đèn C có khối lượng 15kg được cân bằng

Bài 2.18 Cho hệ thống treo hai quả nặng như hình vẽ Nếu quả nặng C có khối lượng 40kg Tính khối lượng quả nặng A sao cho hệ thống được cân bằng

Bài 2.19 Xác định độ lớn và góc định hướng q của lực F sao cho chất điểm cân bằng

∑ 𝐹𝑥 = 0; − 𝑃 𝑐𝑜𝑠400+ 𝐹 𝑠𝑖𝑛200+ 450 𝑐𝑜𝑠300+ 300 𝑐𝑜𝑠300 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0; − 𝑃 𝑠𝑖𝑛400− 𝐹 𝑐𝑜𝑠200+ 450 𝑠𝑖𝑛300− 300 sin 300 = 0 Bài 2.15

- Phương của mặt phẳng chứa lực F và điểm O

- Chiều quay của vật quanh trục đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (𝐹 ,O) Tích số của lực F với khoảng cách từ F tới O (d – là đường thẳng vuông góc với phương của lực F và đi qua O)

- Độ lớn: M = F.d

Phương được gọi là trục quay của mô men

Chiều: Chính là chiều chuyển động quay của vật, được xác định theo quy tắc bàn tay phải

Nếu gọi 𝑟 = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ là véc tơ bán kính của điểm đặt A của lực 𝐹

𝑀0

⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐹 ) = 𝑟 × 𝐹 Chọn hệ trục Oxy: gọi các hình chiếu lực 𝐹 là Fx; Fy và hình chiếu của véc

tơ bán kính 𝑟 là xA; yA - cũng là tọa độ điểm A(xA, yA) Do đó ta có

𝑀0

⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐹 ) = 𝑟 × 𝐹 = |𝑥𝐹𝐴 𝑦𝐴

𝑥 𝐹𝑦| = 𝑥𝐴× 𝐹𝑦 − 𝑦𝐴 𝐹𝑥(Xem thêm Phụ lục 1: nhân hai véc tơ)

Mô men của ngẫu lực

Mô men của ngẫu lực đối với một điểm có thể được xác định như sau:

Hợp của hệ lực ( Thu gọn hệ lực phẳng)

Để đơn giản hóa tính toán nhiều khi người ta thu gọn tác dụng của một hệ

lực và mô men về dạng đơn giản hơn bằng cách thay thế tác dụng của hệ lực

lên vật rắn bằng 1 hợp lực và một mô men tổng sao cho trạng thái của vật không

thay đổi

Sử dụng nguyên lý dời lực trên để di chuyển một lực đến một điểm không

nằm trên đường tác dụng của nó

Lực F vuông góc với trục thanh như hình vẽ ta có thể gắn một cặp lực F

và – F vào điểm B Như vậy -F tại B và F tại A hình thành ngẫu lực tạo ra mô

men M = F.d Như vậy lực F có thể di chuyển từ A tới B với điều kiện phải thêm

vào mô men để duy trì hệ tương đương

Hợp lực của hệ lực phân bố

Hệ lực phân bố được đặc trưng bởi cường độ q và quy luật phân bố

Hợp lực của tải trọng phân bố nằm ở trọng tâm diện tích phân bố và có độ

lớn bằng chính diện tích quy luật phân bố

Bảng 2.2 Hợp lực của một số tải trọng phân bố thường gặp

Bài 2.20 Tính mô men của lực với điểm O

-c)

MO = 600N.m

-h)

MO = 200N.m

-i)

MO = 900N.m

-Bài 2.21

a) MO = 1253,55 N.m; b) MO = -69,58 N.m

Bước 1: Giải phóng các liên kết đưa vật về trạng thái tự do

Sử dụng mô hình cơ học để mô phỏng lại vật rắn sau khi đã loại bỏ đi tất

cả các liên kết xung quanh nó

Gắn vào vật rắn tất cả các lực, mô men chủ động đã biết bao gồm cả trọng lượng bản thân vật rắn và các lực bị động (phản lực liên kết tại gối kê hoặc tại các vị trí liên kết khác) theo nguyên tắc giải phóng liên kết như trên

Đặt tên và tính toán độ lớn của các phản lực

Bước 2: Đặt tên và tính toán độ lớn của các phản lực dựa vào các phương trình cân bằng để tính toán các nội dung yêu cầu

{

∑ 𝐹𝑥 = 0

∑ 𝐹𝑦 = 0

∑ 𝑀𝑂(𝐹 ) = 0Bảng 2.3 - Bảng tổng hợp các loại liên kết và các thành phần phản lực

2 Liên kết thanh không

trọng lượng:

hoặc

Một thành phần phản lực theo dọc trục thanh

phản lực vuông góc với mặt trượt

4 Liên kết tựa trên nền

cứng:

Một thành phần phản lự vuông góc với

về mặt tại điểm tiếp xúc

5 Liên kết trượt không

ma sát trên mặt phẳng

Một thành phần phản lực vuông góc với mặt trượt

6 Liên kết trượt không

ma sát trong rãnh trượt có

chốt quay:

Một thành phần phản lực vuông góc với mặt trượt

7 Liên kết trượt không

ma sát có chốt quay:

Một thành phần phản lực vuông góc với mặt trượt

8 Liên kết chốt hoặc bản

lể (bỏ qua ma sát:

Hai thành phần phản lực hoặc một hợp lực có phương hợp với phương ngang một góc

f

9 Liên kết ngàm trượt

bỏ qua ma sát:

Hai thành phần phản lực Một phản lực vuông góc với mặt trượt; một là mô men cản trở chuyển động quay của thanh

2.4.2 Bài tập

Bài 2.23 Vẽ sơ đồ vật tự do của hệ sau:

a) b)

Bài 2.24 Tính các phản lực liên kết trong mỗi kết cấu sau:

Bài 2.25 Bài toán xác định điều kiện cân bằng

a) một người đàn ông đỡ một tải trọng có trọng lượng W và có trọng tâm

G đứng trên sàn nhẵn Xác định góc q nhỏ nhất để người đó đứng thăng bằng

Bỏ qua trọng lượng của người đó

b) Tường chắn AD có trọng lượng bản thân 800kg chịu áp lực nước và đất như hình vẽ Dùng neo BC để neo tường AD Xác định lực neo trong thanh

BC sao cho tường được cân bằng

Bài 2.26 Bài toán vật lật

Một cẩu di động đang hoạt động để ổn định hơn được nâng lên bởi hệ thống outrigger 2 chân ở A và 2 chân ở B Nếu xe cẩu và sàn đỡ cần với có trọng lượng 18Mg và trọng tâm là G1 Cần với có trọng lượng 1,8Mg và trọng tâm G2 Xác định phản lực tại mỗi chân outrigger tại A và B theo góc nghiêng

 khi cẩu hàng có khối lượng 1,2 Mg Góc  bằng bao nhiêu thì bắt dầu xảy ra lật

Chương 3 HỆ LỰC KHÔNG GIAN VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG

CỦA VẬT RẮN KHÔNG GIAN

3.1 BIỂU DIỄN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC

Véc tơ lực 𝐹 có

thể được biểu diễn

trong hệ tọa độ vuông

+ cos2𝛾 = 1 Véc tơ hợp lực 𝐹

𝑅

⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝐹 = ∑ 𝐹𝑥 𝑖 + ∑ 𝐹𝑦 𝑗 + ∑ 𝐹𝑧 𝑘⃗

Véc tơ vị trí 𝑟 là

véc tơ xác định vị trí

của một điểm trong

không gian so với một

điểm khác

𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘⃗

Bài 3.1 Biểu diễn các lực 𝐹⃗⃗⃗ và 𝐹1 ⃗⃗⃗⃗ trên hệ tọa độ vuông góc 2

Bài 3.2 Biểu diễn lực sau theo hệ tọa độ Đề các

a) b)

c)

Bài 3.3 Tính các góc định hướng của lực F làm với các trục tọa độ

Bài 3.4 Xác định véc tơ hợp lực

Bài 3.6 Biểu diễn lực sau theo hệ tọa độ Đề các

c)

Bài 3.7 Cho 𝐹 = (350𝑖 – 250𝑗 ⃗⃗ - 450𝑘⃗ ) N và cáp AB dài 9m Xác định tọa độ điểm A

Bài 3.8 Tính độ lớn của hợp lực sử dụng véc tơ vị trí

Mái che được đỡ bởi hai dây AB và AC có lực căng lần lượt trong hai dây

là FAB = 100N; FAC = 120N Tính hợp lực tác dụng vào A và biểu diễn hợp lực

đó theo hệ tọa độ Đề các

Bài 3.9 Xác định hợp lực cho FB = 700N, FC = 560 N

Bài 3.10 Xác định hợp lực của hai lực sau:

Bài 3.11 Xác định hợp lực của hai lực tác dụng vào điểm A

a) 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2135 + 𝑐𝑜𝑠2120 = 1; 𝛼 = 600

𝐹 = 𝐹 𝑢⃗ 𝐹 = 500 {0,5 𝑖 − 0,7071 𝑗 − 0,5 𝑘⃗ }

= {250 𝑖 − 354 𝑗 − 250 𝑘⃗ } 𝑁 b) 𝐹𝑍 = 750 𝑠𝑖𝑛450 = 530,33 𝑁; 𝐹′ = 750 𝑐𝑜𝑠450 = 530,33 𝑁