PHẦN A - TĨNH HỌC VẬT RẮNNội dung của phần Tĩnh học bao gồm: - Xây dựng các khái niệm cơ bản: lực, ngẫu lực, mô men của lực đối với một điểm, mô men của ngẫu lực, vật rắn, cân bằng của v
KHÁI NIỆM CƠ BẢN
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chương một của tài liệu tập trung vào các khái niệm định nghĩa đã được trình bày trong Bài giảng Cơ học kỹ thuật, nghiệm thu tháng 5 năm 2023, mà không nhắc lại Thay vào đó, tác giả chú trọng vào việc rèn luyện kỹ năng tính toán và chuyển đổi các đơn vị của đại lượng cơ bản giữa các hệ đo lường khác nhau, cũng như trong cùng một hệ đo lường Tài liệu cũng cung cấp một số quy ước về đơn vị đo của hệ đo lường quốc tế (SI) và hệ đo lường của Mỹ (FPS).
Bảng 1.1 Các đại lượng cơ bản và đơn vị đo trong hệ đo lường quốc tế
Tên đại lượng Đơn vị đo theo hệ đo lường quốc tế (SI) Đơn vị đo theo hệ đo lường
1 Chiều dài m- mét ft - foot
3 Khối lượng Kg - kilogam Slug – lb.s 2 /ft
Bảng 1.2 Đổi đơn vị đo từ hệ FPS sang hệ SI
Tên đại lượng Đơn vị đo theo hệ đo lường Mỹ (FPS) Đơn vị đo theo hệ đo lường quốc tế (SI)
Bảng 1.3 Một số tiền tố được sử dụng để đo lường các đại lượng rất lớn hoặc rất nhỏ trong hệ đo lường SI
Ký hiệu Dạng hàm mũ
Trong hệ tọa độ Đề các vuông góc véc tơ lực được biểu diễn dưới dạng:
BÀI TẬP
Bài 1.1 Tính trọng lượng của một số vật có khối lượng như sau: a) 4kg; b) 0.015kg; c) 800Mg; d) 500g; e) 250Gg; f) 750.000mg
Bài 1.2 Chuyển các đơn vị đo sau về hệ đo lường SI: a) KN/s; b) Mg/mN; c) MN/kg.ms; d) Mg/mm; e) mN/s; f) m.Mg; g) m/s; h) km; i) ks/mg; k) km.N; m) GN.m; n) kg/m; o) N/ks 2 ; p) kN/s Bài 1.3 Đổi các giá trị sau: a) 200lb.ft sang N.m; b) 350lb/ft3 sang KN/m3; c) 8ft/h sang mm/s Bài 1.4 Sử dụng các tiền tố để biểu diễn các giá trị sau a) 0.00431kg; b) 35,3.103N; c) 0.00532km
Bài 1.5 Pascal (Pa) là đơn vị đo áp lực 1Pa = 1N/m2 Đổi sang lb/ft2 Cho áp suất không khí là 14,7lb/in2 tương đương với bao nhiêu Pa?
Bài 1.6 Biểu diễn mật độ của nước là 1.94slug/ft3 bằng hệ đo lường SI? Bài 1.7 Một người nặng 155lb đứng trên mặt đất tính: a) Khối lượng của người đó theo đơn vị slugs b) Khối lượng của người đó theo đơn vị kg c) Trọng lượng của người đó
Nếu người đó đứng trên mặt trăng có gia tốc trọng trường gm = 5.30ft/s2 Xác định: d) Trọng lượng của người đó e) Khối lượng của người đó theo kg
Bài 1.8 Giải phóng liên kết đưa các thanh dàn trong kết cấu sau về trạng thái tự do, a) b) c)
Bài 1.9 Giải phóng liên kết đưa thanh về trạng thái tự do
Bài 1.10 Xét trong mặt phẳng ABC giải phóng liên kết đưa thanh AB về trạng thái tự do
Bài 1.11 Xét trong mặt phẳng ABC a) giải phóng liên kết đưa thanh ngang AB về trạng thái tự do b) Tại vị trí chân cột C có thể là liên kết gì Giải phóng liên kết vẽ các phản lực liên kết tại vị trí chân cột
ĐÁP ÁN
Bài 1.2 a) KN/s; b) Mg/mN; c) MN/kg.ms; d) Mg/mm; e) mN/s; f) m.Mg; g) m/s; h) km; i) ks/mg; k) km.N; m) GN.m; n) kg/m; o) N/ks 2 ; p) kN/s a) kN/ms = 10 3 N/10 -6 s = 10 9 N/s b) Mg/mN = 10 3 kg/10 -3 N = 10 6 kg/N c) MN/kg.ms = 10 6 N/kg.10 -3 s = 10 9 N/kg.s
Các câu {d, e,f, g, h, I, k, m, n, o, p} sinh viên tự giải theo mẫu
Bài 1.3 a) 200lb.ft = 200.4,448N.0,3048m = 271,15 N.m b) 350lb/ft 3 = 350.4,448N/0,3048 3 m 3 = 54,978.10 3 N/m 3 c) 8ft/h =8.4,448.103mm/3600s = 9,884 mm/s
Bài 1.4 đến bài 1.7: Cách làm tương tự các bài trên
Hình b); c) làm giống như hình a)
Bài 1.9 Làm tương tự bài 1.8
Bài 1.11 Làm tương tự bài 1.10.
HỆ LỰC PHẲNG VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN PHẲNG
VECTOR LỰC
Bảng 2.1 Khái niệm véc tơ lực và phép tính véc tơ lực Đại lượng vô hướng
Là đại lượng có giá trị âm hoặc dương
Ví dụ: khối lượng, nhiệt độ,…
Véc tơ lực là đại lượng có hướng, được thể hiện bằng véc tơ với phương, chiều và độ lớn rõ ràng Mũi tên trong véc tơ lực chỉ ra hướng của lực, trong khi độ lớn của lực được biểu diễn qua tỷ lệ xích.
Nhân hoặc chia một véc tơ với một đại lượng vô hướng
- Làm thay đổi độ lớn của véc
- Nếu đại lượng vô hướng là giá trị âm thì làm thay đổi chiều của véc tơ
Cộng véc tơ cùng phương
Chỉ đơn thuần là cộng đại số
Quy tắc hình bình hành – cộng véc tơ
-Véc tơ tổng là đường chéo hình bình hành có hai cạnh kề nhau là hai véc tơ thành phần
𝑅 = √𝐴 2 + 𝐵 2 − 2 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼 Trong đó a là góc đối diện với véc tơ 𝑅⃗ hợp bởi hai phương của vector 𝐴 và vector
Quy tắc tam giác 𝐴 sin 𝛼 = 𝐵
Phép chiếu các lực lên hệ tọa độ vuông góc
Fx và Fy là hai thành phần của lực F trên hệ tọa độ vuông góc
Bài 2.1 Dựa vào quy tắc hình bình hành vẽ hợp lực, dựa và quy tăc tam giác tính các hợp lực trong mỗi trường hợp sau: 𝐹⃗⃗⃗⃗ = 𝐹 𝑅 ⃗⃗⃗ + 𝐹 1 ⃗⃗⃗⃗ 2
Bài 2.2 Phân tích các lực sau theo các phương u và v: 𝐹 = 𝐹⃗⃗⃗ + 𝐹 𝑢 ⃗⃗⃗ 𝑣
Bài 2.3 Phân tích lực F theo phương u và v Tính độ lớn của lực thành phần đó
Bài 2.4 Cho Fu = 6kN tính F và Fv?
Bài 2.5 Xác định độ lớn và hướng của hợp lực a) b)
Bài 2.6 Nếu hợp lực nằm trên phương ngang và có độ lớn là 1200lb Tính lực F và góc q hợp bởi lực F và phương ngang
Bài 2.7 Cho nút dàn như hình vẽ và góc q = 60 0 tính độ lớn của hợp lực
Bài 2.8 Xác định độ lớn và phương của hợp lực a) b)
Bài 2.9 Cho F1 = 30N; F2 = 40N Xác định góc q và f sao cho hợp lực FR
= 60N có phương và chiều là phương trục x và chiều dương cuả trục x
Bài 2.10 Tính các lực sau lần lượt theo trục x và trục y a) b) c) d)
Bài 2.11 Xét các lực theo hệ tọa độ vuông góc Tính độ lớn của hợp lực và góc của hợp lực với phương trục x
Bài 2.12 Cho nút dàn như hình vẽ Xác định các thành phần lực theo phương x và phương y của các lực tác dụng vào bản nối Chứng minh rằng hợp lực của các lực tác dụng vào nút dàn bằng không
CÂN BẰNG CỦA CHẤT ĐIỂM
Có hai bước cơ bản để khảo sát trạng thái cân bằng của chất điểm:
Bước 1: Xây dựng sơ đồ tự do của chất điểm
- Cô lập chất điểm ra khỏi môi trường xung quanh bằng cách loại bỏ tất cả các giá đỡ và liên kết
Biểu diễn tất cả các lực tác động vào chất điểm là rất quan trọng, bao gồm lực chủ động gây ra chuyển động và lực bị động cản trở chuyển động, như các phản lực liên kết.
Bước 2: Sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học để khảo sát và tính toán
Theo hệ tọa độ vuông góc: ∑ 𝐹 𝑥 = 0 ; ∑ 𝐹 𝑦 = 0
Bài 2.13 Vẽ sơ đồ tự do của nút A a) b)
Bài 2.14 Viết công thức cân bằng chất điểm theo các trục hệ tọa độ vuông góc ∑ 𝐹 𝑥 = 0 ; ∑ 𝐹 𝑦 = 0 cho mỗi trường hợp sau:
Bài 2.15 Thùng hàng có trọng lượng 550N ở trạng thái cân bằng Tính lực căng trong mỗi sợi dây cáp
Bài 2.16 Trọng lượng của dầm thép nặng 700N, sức chịu tải tối đa của sợi cáp là 1500N Tính chiều dài dài nhất có thể của cáp để nâng dầm thép lên
Bài 2.17 Tính lực căng trong dây cáp AB, BC, CD sao cho hệ thống đèn
B có khối lượng 10kg và hệ thống đèn C có khối lượng 15kg được cân bằng
Bài 2.18 Cho hệ thống treo hai quả nặng như hình vẽ Nếu quả nặng C có khối lượng 40kg Tính khối lượng quả nặng A sao cho hệ thống được cân bằng
Bài 2.19 Xác định độ lớn và góc định hướng q của lực F sao cho chất điểm cân bằng
∑Fy = 0; (392.4)sin 30 0 - mA(9.81) = 0; mA = 20 kg
HỢP LỰC CỦA HỆ LỰC PHẲNG
Khi lực F tác động lên vật, nó sẽ khiến vật quay quanh một điểm O hoặc một trục cố định Chuyển động quay này được gọi là mô men, và nó được xác định bởi các yếu tố khác nhau.
- Phương của mặt phẳng chứa lực F và điểm O
- Chiều quay của vật quanh trục đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (𝐹 ,O)
Tích số của lực F với khoảng cách từ F tới O (d – là đường thẳng vuông góc với phương của lực F và đi qua O)
Phương được gọi là trục quay của mô men
Chiều: Chính là chiều chuyển động quay của vật, được xác định theo quy tắc bàn tay phải
Mô men của lực đối với một điểm
Nếu gọi 𝑟 = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ là véc tơ bán kính của điểm đặt A của lực 𝐹
Chọn hệ trục Oxy với các hình chiếu lực 𝐹 được ký hiệu là Fx và Fy, cùng với hình chiếu của véc tơ bán kính 𝑟 là xA và yA, tương ứng với tọa độ điểm A(xA, yA).
𝐹 𝑥 𝐹 𝑦 | = 𝑥 𝐴 × 𝐹 𝑦 − 𝑦 𝐴 𝐹 𝑥 (Xem thêm Phụ lục 1: nhân hai véc tơ)
Mô men của ngẫu lực
Mô men của ngẫu lực đối với một điểm có thể được xác định như sau:
𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐹 , −𝐹 ) = 𝑟 × 𝐹 𝑂 Độ lớn của mô men ngẫu lực được tính như sau: M = F.d
Hợp lực của hệ lực là quá trình thu gọn tác dụng của một hệ lực phẳng thành một hợp lực và một mô men tổng, giúp đơn giản hóa tính toán Mục tiêu là thay thế tác dụng của hệ lực lên vật rắn mà không làm thay đổi trạng thái của vật.
Sử dụng nguyên lý dời lực trên để di chuyển một lực đến một điểm không nằm trên đường tác dụng của nó
Lực F vuông góc với trục thanh cho phép chúng ta gắn một cặp lực F và -F tại điểm B Cặp lực này tạo ra ngẫu lực, hình thành mô men M = F.d Để lực F có thể di chuyển từ A tới B, cần phải thêm vào mô men để duy trì hệ tương đương.
Hợp lực của hệ lực phân bố
Hệ lực phân bố được đặc trưng bởi cường độ q và quy luật phân bố
Hợp lực của tải trọng phân bố nằm ở trọng tâm diện tích phân bố và có độ lớn bằng chính diện tích quy luật phân bố
Bảng 2.2 Hợp lực của một số tải trọng phân bố thường gặp
Stt Kiểu tải trọng phân bố
1 Tải trọng phân bố đều trên dầm nằm ngang
2 Tải trọng phân bố đều trên dầm nằm nghiêng
3 Tải trọng phân bố tam giác trên dầm nằm ngang
4 Tải trọng phân bố tam giác trên dầm nằm nghiêng
Bài 2.20 Tính mô men của lực với điểm O
Bài 2.21 Xác định mô men của các lực với điểm O a) b)
Bài 2.22 Xác định mô men của từng lực riêng rẽ với điểm B
CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN PHẲNG
Có hai bước cơ bản để khảo sát trạng thái cân bằng của vật rắn trong mặt phẳng
Bước 1: Giải phóng các liên kết đưa vật về trạng thái tự do
Sử dụng mô hình cơ học để mô phỏng lại vật rắn sau khi đã loại bỏ đi tất cả các liên kết xung quanh nó
Gắn tất cả các lực và mô men chủ động của vật rắn, bao gồm trọng lượng và các lực bị động như phản lực tại gối kê hoặc các vị trí liên kết khác, theo nguyên tắc giải phóng liên kết Cần đặt tên và tính toán độ lớn của các phản lực này.
Bước 2: Đặt tên và tính toán độ lớn của các phản lực dựa vào các phương trình cân bằng để tính toán các nội dung yêu cầu
Bảng 2.3 - Bảng tổng hợp các loại liên kết và các thành phần phản lực tương ứng trong hệ phẳng
TT Loại liên kết Phản lực Số lượng và mô tả
1 Liên kết dây: Một thành phần phản lực theo dọc trục dây cáp
2 Liên kết thanh không trọng lượng: hoặc
Một thành phần phản lực theo dọc trục thanh
3 Gối tựa con lăn: Một thành phần phản lực vuông góc với mặt trượt
4 Liên kết tựa trên nền cứng:
Một thành phần phản lự vuông góc với về mặt tại điểm tiếp xúc
5 Liên kết trượt không ma sát trên mặt phẳng
Một thành phần phản lực vuông góc với mặt trượt
6 Liên kết trượt không ma sát trong rãnh trượt có chốt quay:
Một thành phần phản lực vuông góc với mặt trượt
7 Liên kết trượt không ma sát có chốt quay:
Một thành phần phản lực vuông góc với mặt trượt
8 Liên kết chốt hoặc bản lể (bỏ qua ma sát:
Hai thành phần phản lực hoặc một hợp lực có phương hợp với phương ngang một góc f
9 Liên kết ngàm trượt bỏ qua ma sát:
Hai thành phần phản lực Một phản lực vuông góc với mặt trượt; một là mô men cản trở chuyển động quay của thanh
Bài viết đề cập đến ba thành phần phản lực, bao gồm hai lực thành phần theo trục x và y, cùng với một mô men Ngoài ra, còn có một hợp lực tạo với phương ngang một góc f và một thành phần mô men cản trở chuyển động quay.
Bài 2.23 Vẽ sơ đồ vật tự do của hệ sau:
Bài 2.24 Tính các phản lực liên kết trong mỗi kết cấu sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Bài 2.25 Bài toán xác định điều kiện cân bằng a) một người đàn ông đỡ một tải trọng có trọng lượng W và có trọng tâm
G đứng trên sàn nhẵn Xác định góc q nhỏ nhất để người đó đứng thăng bằng
Tường chắn AD có trọng lượng bản thân 800kg, chịu áp lực từ nước và đất Để đảm bảo tính ổn định, cần sử dụng neo BC để neo tường AD Việc xác định lực neo trong thanh là rất quan trọng để đảm bảo an toàn và hiệu quả cho công trình.
BC sao cho tường được cân bằng
Bài 2.26 Bài toán vật lật
Một cẩu di động đang hoạt động với hệ thống outrigger gồm 2 chân ở A và 2 chân ở B để ổn định Xe cẩu và sàn đỡ có trọng lượng 18Mg với trọng tâm G1, trong khi cần có trọng lượng 1,8Mg và trọng tâm G2 Cần xác định phản lực tại mỗi chân outrigger ở A và B theo góc nghiêng.
khi cẩu hàng có khối lượng 1,2 Mg Góc bằng bao nhiêu thì bắt dầu xảy ra lật
Bài 2.24 a) Ax = 300 lb; By = 260 lb; Ay = 140 lb b) Ax = 346 N; Ay = 800 N; MA = 3,9kN.m c) FCD = 11,31kN; Ax = -8kN; Ay = -4kN d) NB = 8,047 kN; Ax = 3,54 kN; Ay = 5,49 kN e) NC = 433 N; NA = 577,4N; NB = 327 N f) Ax = 3.46 kN; Ay = 8 kN; MA = 20.2 kN.m g) NA = 750 N; By = 600 N; Bx = 450 N h) NA = 3.33 kN; Bx = 2.40 kN; By = 133 N i) NA = 2.175 kN; By = 1.875 kN; Bx = 0
Bài 2.25 a) = 41,4 0 b) F = 311 kN; Ax = 460 k;, Ay = 7.85 kN
= 70.3, NA = (29.4 - 31.3 sin ) kN, NB = (73.6 + 31.3 sin ) Kn
HỆ LỰC KHÔNG GIAN VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN KHÔNG GIAN
BIỂU DIỄN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC
Bảng 3.1 Véc tơ lực trong không gian
𝑢⃗ của véc tơ 𝐹 có độ lớn bằng 1 và không có thứ nguyên, có phương và chiều của véc tơ 𝐹
Véc tơ lực 𝐹 có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ vuông góc như sau: Độ lớn của 𝐹 được xác định:
Góc định hướng của véc tơ 𝐹 làm với các trục x, y, z lần lượt là a, b, g, được tính như sau:
+ cos 2 𝛾 = 1 Véc tơ hợp lực 𝐹⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝐹 = ∑ 𝐹 𝑅 𝑥 𝑖 + ∑ 𝐹 𝑦 𝑗 + ∑ 𝐹 𝑧 𝑘⃗
Véc tơ vị trí 𝑟 là véc tơ xác định vị trí của một điểm trong không gian so với một điểm khác
Trường hợp tổng quát Véc tơ vị trí được xác định từ điểm A tới điểm B trong không gian
Nếu phương và hướng tác dụng của lực trùng với phương và hướng từ A đến B, lực đó được xác ddingj bằng véc tơ đơn vị 𝑢⃗
Bài 3.1 Biểu diễn các lực 𝐹⃗⃗⃗ 1 và 𝐹⃗⃗⃗⃗ 2 trên hệ tọa độ vuông góc
Bài 3.2 Biểu diễn lực sau theo hệ tọa độ Đề các
Bài 3.3 Tính các góc định hướng của lực F làm với các trục tọa độ
Bài 3.4 Xác định véc tơ hợp lực
Bài 3.5 Dựa vào véc tơ vị trí biểu diễn lực sau theo hệ tọa độ Đề các
Bài 3.6 Biểu diễn lực sau theo hệ tọa độ Đề các a) b) c)
Bài 3.7 Cho 𝐹 = (350𝑖 – 250𝑗 ⃗⃗ - 450𝑘⃗ ) N và cáp AB dài 9m Xác định tọa độ điểm A
Bài 3.8 Tính độ lớn của hợp lực sử dụng véc tơ vị trí
Mái che được nâng đỡ bởi hai dây AB và AC với lực căng lần lượt là FAB = 100N và FAC = 120N Để tính hợp lực tác dụng vào điểm A, chúng ta cần xác định các thành phần của lực theo hệ tọa độ Đề các Hợp lực này sẽ được biểu diễn bằng tổng vectơ của hai lực căng, từ đó cho phép phân tích tác động tại điểm A một cách chính xác.
Bài 3.9 Xác định hợp lực cho FB = 700N, FC = 560 N
Bài 3.10 Xác định hợp lực của hai lực sau:
Bài 3.11 Xác định hợp lực của hai lực tác dụng vào điểm A
Tọa độ của A và B là: 𝐴: {2𝑚, 0𝑚, 2𝑚};
5 5} → 𝐵: {2𝑚, 3,464𝑚, 3𝑚} Để đi từ A tới B ta phải qua {−4 𝑖 }; {3,464 𝑗 } 𝑣à{1 𝑘⃗ }
5,66 𝑘⃗ ) = {70,7 𝑖 − 70,7 𝑘⃗ } 𝑁 Để đi từ A tới C cần đi qua {−4 𝑘⃗ } m, {2 𝑗 } 𝑚 và {4 𝑖 } m
CÂN BẰNG CỦA CHẤT ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN
3.2.1 Tóm tắt lý thuyết Điều kiện để một chất điểm cân bằng là tổng các lực tác dụng vào chất điểm bằng không
Bài 3.12 Xác định các lực F1, F2,F3 sao cho chất điểm được cân bằng
Bài 3.13 Điểm A là cân bằng, xác định ứng suất trong cáp AB, AC, AD a) b)
Bài 3.14 Chậu hoa nặng 40kg ở trạng thái cân bằng cân bằng, xác định ứng suất trong cáp AB, AC, AD
Bài 3.15 Sức chịu tải lớn nhất trong mỗi thanh chống là 1500N Xác định khối lượng lớn nhất của kiện hàng
MÔ MEN CỦA LỰC TRONG KHÔNG GIAN
Mô men của lực với một điểm
Xét trong hệ tọa độ Đề các Oxyz ta có:
Mô men của lực với một trục
Phân tích vô hướng: Cánh tay đòn là khoảng cách vuông góc từ trục mô men đến phương của lực vậy mô men của lực F với trục a là:
Để tính mô men của lực 𝐹 với trục y, trước tiên cần xác định mô men của lực tại điểm O trên trục a Áp dụng công thức 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝐹 𝑂 để thực hiện phép tính này.
Mô men của lực F với trục a bất kỳ: 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ (𝑟 𝐹 ) 𝑎
Viết các véc tơ dưới dạng Đề các ta có:
Véc tơ đơn vị định hướng trục a được xác định theo các trục x, y, z là 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢 𝑎𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và 𝑢 𝑎𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Các thành phần của véc tơ vị trí 𝑟, nối từ điểm O bất kỳ trên trục a đến phương của lực 𝐹, được biểu diễn qua các thành phần theo trục x, y, z là 𝑎𝑧, rx, ry, và rz.
Fx; Fy; Fz: thành phần theo trục x, y, z của lực 𝐹
Ta có thể biểu diễn Ma theo véc tơ như sau:
Bài 3.16 Cho lực F tác dụng như hình Xác định mô men quay quanh trục
Bài 3.17 Xác định mô men của lực F với điểm P
Bài 3.18 Xác định mô men của lực 𝐹 ={600𝑖 ⃗ + 800𝑗 - 500𝑘⃗ } N với điểm
Bài 3.19 Xác định mô men của lực F với điểm O cho F = 800N; = 60 0 ,
Bài 3.20 Xác định mô men của lực F với trục a- a a) b) c)
Bài 3.21 Xác định mô men của lực F với trục x
Bài 3.22 Xác định mô men của lực F với trục y
Sử dụng phép phân tích véc tơ ta có:
Trong đó: 𝑢⃗ B là véc tơ định hướng của trục AB
Véc tơ vị trí 𝑟 biểu thị khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên trục AB đến đường tác dụng của lực 𝐹 Để đơn giản hóa, chúng ta chọn 𝑟 D làm đại diện cho véc tơ vị trí này.
Bài 3.20 (quy ước ngược chiều KĐH là chiều dương và ngược lại) a) MO = 100.(2) 0 N.m b) MO = -100.(1) = -100 N.m c) MO = -500.(3/5).(2) = -600 N.m
𝑀 𝑥 = −𝐹 𝑦 (𝑧) + 𝐹 𝑧 (𝑦) = −100 (0,25) + 141,42 (0,3) = 17,4 𝑁 𝑚 Theo phân tích véc tơ
CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN
3.4.1 Tóm tắt lý thuyết Điều kiện cân bằng Để vật rắn trong không gian cân bằng phải thỏa mãn đồng thời tổng các lực tác dụng và tổng mô men tác dụng vào vật bằng không
Các thanh phần 𝑖,⃗ 𝑗 , 𝑘⃗ độc lập nhau nên phương trình trên có thể được thể hiện như sau:
Để phân tích bài toán cân bằng vật rắn trong không gian ba chiều, cần đưa vật rắn về trạng thái tự do Điều này đòi hỏi xác định các thành phần phản lực tại các liên kết, bao gồm phương, chiều và độ lớn của chúng.
Bảng 3.2 - Bảng tổng hợp các loại liên kết và phản lực liên kết trong hệ không gian ba chiều
Stt Loại liên kết Phản lực Số lượng và mô tả
1 Liên kết dây: Một thành phần phản lực theo dọc trục dây cáp
2 Trượt không ma sát trên mặt phẳng
Một thành phần phản lực vuông góc với bề mặt và tại điểm tiếp xúc
3 Gối tựa con lăn: Một thành phần phản lực vuông góc với mặt trượt
4 Liên kết khớp cầu Ba thành phần phản lực dọc theo các trục x, y, z
5 Di động một chiều Bốn thành phần phản lực hai lực theo trục x và z; hai thành phần mô men theo trục x và z
6 Ổ trục đỡ chuyển động một chiều với thanh tiết diện vuông: (single journal bearing with square shaft)
Năm thành phần phản lực
7 Năm thành phần phản lực
Gối đỡ chịu đẩy một chiều: (single thrust bearing)
8 Chốt quay không ma sát một chiều: (single smooth pin)
Năm thành phần phản lực
9 Bản lề đơn Năm thành phần phản lực động quay của thanh
Sáu thành phần phản lực; ba lực thành phần theo trục x, y, z và ba mô men
Bài 3.22 Đưa vật về trạng thái vật tự do a) b) c) d)
Bài 3.23 Tính phản lực của các liên kết trong hệ sau
Bài 3.24 Tính phản lực của các liên kết trong hệ sau
Bài 3.25 Tính phản lực của các liên kết trong hệ sau
Bài 3.26 Tính phản lực tại D và ứng suất trong dây cáp sao cho hệ cân bằng
Bài 3.25 Az = 600N (đi lên); Ax = 400N (sang trái); Ay = 500N (vào trong);
Mx = 625N.m (thuận KĐH); My u0N.m (thuận KĐH); Mz = 0 Bài 3.26 FAB = 467 N; FAC = 674 N; Dx = 1.04 kN; Dy = 0; Dz = 0
Động học vật rắn, phần thứ hai trong bài giảng Cơ học kỹ thuật, tập trung vào việc nghiên cứu chuyển động của các chất điểm và vật thể từ góc độ hình học Trong phần này, chúng ta không xem xét nguyên nhân gây ra chuyển động hay sự thay đổi trong chuyển động.
Trong bài giảng này, chúng ta sẽ nghiên cứu hai mô hình chuyển động: chuyển động chất điểm và chuyển động vật rắn Mục tiêu chính là xác định các đại lượng động học đặc trưng cho cả hai loại chuyển động này.
- Hai đại lượng đặc trưng của động học chất điểm là vận tốc và gia tốc
- Hai đại lượng đặc trưng cơ bản của động học vật rắn là vận tốc góc và gia tốc góc
Chuyển động của vật thể diễn ra trong không gian và thời gian, hai dạng tồn tại của vật chất, phụ thuộc vào lượng vật chất và chuyển động của chúng Để đơn giản hóa, ta coi không gian và thời gian là độc lập với chuyển động của các vật khảo sát, gọi là không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối.
- Không gian tuyệt đối được gọi là không gian Euclid ba chiều không phụ thuộc vào thời gian và các vật thể chuyển động trong nó
Thời gian tuyệt đối được hiểu là khoảng thời gian diễn ra một cách liên tục từ quá khứ, hiện tại đến tương lai, không bị ảnh hưởng bởi hệ quy chiếu của các chuyển động và vật thể.
Chuyển động xảy ra trong không gian với tính chất tương đối, phụ thuộc vào vật lấy mốc để so sánh Ví dụ, một chiếc xe di chuyển trên đường sẽ có chuyển động so với cột điện nhưng lại đứng yên so với người ngồi trong xe Để mô tả chuyển động, cần chỉ rõ vật làm mốc quan sát, được gọi là Hệ quy chiếu Việc chọn hệ quy chiếu là tùy ý, miễn là thuận tiện cho việc khảo sát chuyển động của vật.
Hệ quy chiếu vào một Hệ tọa độ hoặc dùng ngay Hệ tọa độ làm hệ quy chiếu
Để tính thời gian trong quá trình chuyển động, chúng ta cần chọn một thời điểm gốc, thường là lúc bắt đầu khảo sát Việc khảo sát chuyển động của một điểm hoặc vật rắn bao gồm xác định vị trí của nó trong một hệ quy chiếu đã chọn tại một thời điểm cụ thể, đồng thời mô tả chuyển động của nó theo thời gian Để thực hiện điều này, cần xác nhận các yếu tố liên quan.
- Các thông số xác định vị trí của điểm hay của vật rắn trong hệ quy chiếu đã chọn
Phương trình chuyển động của điểm hoặc vật rắn là công thức thể hiện mối quan hệ giữa các thông số định vị và thời gian, trong đó thời gian được coi là biến độc lập.
- Vận tốc chuyển động: Đại lượng biểu thị hướng và tốc độ chuyển động của điểm hay của vật rắn tại thời điểm đang xét
- Gia tốc chuyển động: Đại lượng biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc chuyển động (phương, chiều và độ lớn) theo thời gian.
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA CHUYỂN ĐỘNG
Phương trình và quỹ đạo chuyển động
Khi M chuyển động thì véc tơ 𝑟 sẽ thay đổi liên tục cả về hướng và độ lớn theo thời gian ta có thể viết:
Biểu thức 4.1 là phương trình chuyển động của điểm M theo thời gian viết dưới dạng véc tơ
Tập hợp các vị trí của điểm M trong không gian được gọi là quỹ đạo chuyển động của điểm M
Vận tốc tức thời của một điểm được định nghĩa là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ định vị 𝑟 ⃗⃗ Véc tơ vận tốc tại điểm M có ý nghĩa hình học là nằm trên tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động tại điểm đó và hướng về phía chuyển động Đơn vị đo vận tốc là [m/s].
Gia tốc của điểm: ĐỊnh nghĩa: Gia tốc 𝑎 của điểm M là đạo hàm bậc một theo thời gian của véc tơ
66 vận tốc của nó trong một hệ quy chiếu đã chọn
𝑑𝑡 2 Hay 𝑎 = 𝑣 ̇ = 𝑟 ̈ Ý nghĩa hình học: véc tơ D𝑣 bao giờ cũng hướng vào bề lõm của quỹ đạo chuyển động Đơn vị tính gia tốc: [m/s 2 ]
Là chuyển động thẳng của điểm mà vận tốc của nó có trị số không đổi được gọi là chuyển động thẳng đều Do v = v0 = const nên:
Chuyển động thẳng biến đổi đều:
Nếu tại thời điểm ban đầu t0 = 0 ta có x0 = 0 và v0 = 0 thì các phương trình trên suy rat
Bài 4.1 Một xe ô tô di chuyển trên đường thẳng với vận tốc 35m/s sau đó người ta phanh xe lại vận tốc giảm xuống 10m/s trong vòng 5s Tính gia tốc không đổi của xe khi phanh
Bài 4.2 Một quả bóng được ném thẳng đứngvơi vận tốc 15m/s Xác định thời gian để quả bóng quay trở lại vị trí ban đầu
Bài 4.3 Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng đạt vận tốc v = (4t -3t 2 ) Xác định vị trí của chất điểm khi t = 4s Cho s = 0 khi t = 0
Bài 4.4 Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng đạt vận tốc v (0,5t 3 – 8t) Xác định gia tốc của chất điểm khi t = 2s Cho s = 0 khi t = 0
Bài 4.5 Một chất điểm có quỹ đạo chuyển động s = (2t 2 - 8t + 6) m Xác định thời gian chất điểm đạt được vận tốc bằng 0 và tổng quãng đường chất điểm đi được khi t = 3s
Bài 4.6 Một chất điểm chuyển động thẳng có gia tốc a = (10 – 0,2s) m/s 2 (s được đo bằng m) xác định vận tốc của chất điểm khi s = 10m nếu v = 5m/s khi s = 0
Bài 4.7 Một chất điểm chuyển động thẳng có vận tốc v = (20 -0,05s 2 ) m/s, Xác định gia tốc của chất điểm khi s = 15m
Bài 4.8 Một tên lửa bắn lên khỏi mặt đất theo chiều thẳng đứng có gia tốc a = (6 - 0,02s) m/s, Xác định thời gian cân thiết để tên lửa đạt độ cao 100m cho vân tốc ban đầu v = 0 và s = 0 khi t = 0
𝑑𝑡(0,5 𝑡 3 − 8 𝑡) = (1,5 𝑡 2 − 8)𝑚/𝑠 2 Khi t = 2s ta có: a = 1,5.2 2 – 8 = -2 m/s 2 = 2m/s 2 sang trái
CHUYỂN ĐỘNG THẲNG GIA TỐC THAY ĐỔI
Dựa vào các mối quan hệ vi phân sau để giải quyết các bài toán quan hệ giữa các đại lượng cơ bản của chuyển động
Bài toán 1: Xác đinh biểu đồ quan hệ s-t; v- t; a- t:
Bài 4.9 Vẽ biểu đồ quan hệ s-t; a-t khi t = 0 thì s = 0
Bài 4.10 Vẽ biểu đồ quan hệ a-t; v-t
Bài 4.11 Vẽ biểu đồ quan hệ v-t; s-t nếu t = 0 thì s = 0 và v = 0
Bài 4.12 Tính quãng đường và gia tốc khi t = 3s
Bài 4.13 Chất điểm chuyển động theo đường thẳng vị trí của nó được thể hiện trên biểu đồ quan hệ s-t xây dựng biểu đồ quan hệ v-t trong cùng khoảng thời gian
Bài 4.14 Ô tô chạy trên đường thẳng có vận tốc được mô tả như trên đồ thị Xác định mối quan hệ s-t và a-t trong cùng khoảng thời gian Biết rằng s0 khi t = 0
Bài toán 2: Xác định biểu đồ quan hệ v-s và a- s:
Bài 4.15 Tính vận tốc khi s = 2m nếu s = 0 thì v = 1m/s
Bài 4.16 Tính gia tốc khi s = 1m
Bài 4.17 Một người đi xe đạp trên đường thẳng có vận tốc được thể hiện như đồ thị sau Xây dựng mối quan hệ a-s
Bài 4.18 Xe ô tô chạy trên đường thẳng có gia tốc được thay đổi như hình Xây dựng mối quan hệ v-s trong cùng khoảng thời gian Tính vận tốc của xe khi s = 10m và s = 15m
Bài 4.13 v = ds dt = d dt(0,5 t 3 ) = 1,5 t 2 ; v = ds dt = d dt(108) = 0
= ∫ (−4 t + 80) t 0 dt ↔ s = −2 t 2 + 80 t a =dv dt = d dt(−4 t + 80) = −4 ft/s 2
QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG CONG
Chuyển động cong của chất điểm diễn ra khi chất điểm di chuyển theo một quỹ đạo cong Vị trí của điểm được xác định so với một điểm cố định thông qua véc tơ vị trí 𝑟 = 𝑟(t) Độ dịch chuyển D𝑟 biểu thị sự thay đổi vị trí của hạt, được tính bằng véc tơ D𝑟 = 𝑟' - 𝑟 Vận tốc của chất điểm trong chuyển động cong cũng cần được xem xét để hiểu rõ hơn về đặc điểm của chuyển động này.
𝑑𝑡 độ lớn của D𝑟 gần bằng chiều dài cung Ds khi Dt → 0 Vậy:
𝑑𝑡 2 Khảo sát chuyển động cong trong một số hệ tọa độ
Hệ tọa độ Đề các
Khi điểm chuyển động thì các thành phần x, y, z của véc tơ vị trí 𝑟 ⃗⃗ là các hàm theo thời gian x(t), y(t), z(t) do đó 𝑟 ⃗⃗ 𝑟 (t) Độ lớn của 𝑟 ⃗⃗ được xác định như sau:
Hướng của 𝑟 ⃗⃗ được xác định theo véc tơ đơn vị 𝑢 ⃗⃗⃗ 𝑟 = 𝑟 ⃗⃗⃗
Vận tốc: 𝑣 = 𝑥̇ 𝑖 + 𝑦̇ 𝑗 + 𝑧̇ 𝑘⃗ = 𝑣 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑦 𝑗 + 𝑣 𝑧 𝑘⃗ Độ lớn của véc tơ 𝑣 là vận tốc của điểm :
Hướng của véc tơ vận tốc xác định theo véc tơ đơn vị và phương của nó thì luôn tiếp xúc với đường quỹ đạo:
𝑣 Gia tốc: Gia tốc của điểm được xác định theo công thức:
𝑎 𝑧 = 𝑣 𝑧 ̇ = 𝑟 𝑧 ̈ Độ lớn của gia tốc:
Chuyển động cong phẳng của viên đạn bắt đầu từ vị trí ban đầu (x0, y0) với vận tốc ban đầu v0, bao gồm các thành phần v0x và v0y Khi bỏ qua sức cản của không khí, lực duy nhất tác động lên viên đạn là trọng lực, dẫn đến gia tốc không đổi ac = g = 9,81 m/s² hướng xuống.
Chuyển động theo phương ngang: Khi ax = 0 áp dụng công thức cho trường hợp chuyển động thẳng đều ta có:
Chuyển động theo phương đứng: gia tốc theo phương đứng ay = -g áp dụng công thức cho trường hợp chuyển động thẳng đều ta có:
Hệ tọa độ cực: thành phần Pháp tuyến (n-normal) và Tiếp tuyến (t – tangential):
Khi đã xác định đường cong chuyển động của một điểm, chúng ta sử dụng hệ tọa độ với hai trục: trục pháp tuyến n và trục tiếp tuyến t Gốc tọa độ được đặt tại vị trí của điểm vào thời điểm khảo sát, giúp phân tích chuyển động của điểm một cách hiệu quả.
Vị trí của điểm: được xác định bằng bán kính cong r hướng vào tâm cong O’
Vận tốc: Chất điểm chuyển động nên s là một hàm của thời gian s = s(t) và vận tốc luôn có phương tiếp tuyến với s tại thời điểm đang xét Vậy
- Gia tốc: Gia tốc của điểm là tốc độ thay đổi cảu vận tốc theo thời gian
Hệ tọa độ trụ, hay còn gọi là tọa độ cực, cho phép xác định vị trí của một điểm thông qua hai thông số chính: bán kính r, là khoảng cách từ điểm cố định O đến chất điểm, và góc tọa độ q, được đo từ bán kính r đến một trục cố định theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Vị trí: Tại thời điểm bất kỳ vị trí của một điểm được xác định bằng véc tơ vị trí
Vận tốc: Tại cùng một thời điểm véc tơ vận tốc 𝑣 là đạo hàm theo thời gian của véc tơ vị trí 𝑟
Và phương của 𝑣 tiếp xúc với quỹ đạo chuyển động
Gia tốc góc, ký hiệu là 𝜃 ̈, là sự thay đổi của vận tốc góc trong một khoảng thời gian nhất định, với đơn vị đo là rad/s² Độ lớn của gia tốc có thể được tính bằng công thức: 𝑎 = √𝑎 𝑟 ² + 𝑎 𝜃 ².
Bài 4.19 Chất điểm chuyển động từ A tới B Chỉ ra ba đại lượng chưa biết Viết phương trình xác định bằng 3 đại lượng chưa biết
Bài 4.20 Chất điểm chuyển động theo quỹ đạo parabol y = 0.25x 2 Nếu x
= 8m, vx = 8m/s, và ax = 4 m/s 2 Khi t = 2s, tính vận tốc và gia tốc của chất điểm
Bài 4.21 Quả bóng được ném từ A với một góc nghiêng 30 0 so với phương ngang Tính vận tốc tại A để quả bóng đến B
Bài 4.22 Một vòi nước phun vuông góc với phương ngang với vận tốc 20m/s Xác định điểm xa nhất mà nước phun tới
Bài 4.23 Một viên đạn được bắt từ mái nhà với vận tốc ban đầu là 150m/s Xác định điểm rơi của nó trên mặt đất
Bài 4.24 Chất điểm đi từ A tới B trong 2s rồi từ B tới C trong 4s và từ C tới D trong 3s Tính vận tốc trung bình nó đi từ A tới D
Bài 4.25 Tính gia tốc của chuyển động sau
Bài 4.26 Tính vận tốc gia tốc pháp tuyến của chuyển động tại thời điểm mà s = 2m cho s = 0 khi v = 0
Bài 4.27 Tính thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của gia tốc tại vịt rí s
Bài 4.28 Ô tô di chuyển vào đường cong với vận tốc v = 2.s (m/s) tính độ lớn của gia tốc khi s = 10m
Bài 4.29 Ô tô di chuyển vào đường cong với vận tốc 25m/s tại A và 15m/s tại C tính gia tốc ô tô tại B
Bài 4.30 Vệ tinh S chuyển động quanh trái đất với quỹ đạo tròn vận tốc không đổi 20Mm/h Nếu gia tốc là 2,5m/s 2 Tính khoảng cách h biết rằng đường kính trung bình của Trái Đất là 12713km
ĐỘNG HỌC PHẲNG CỦA VẬT RẮN
CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN
Vật có thể chuyển động theo hai loại quỹ đạo: quỹ đạo thẳng và quỹ đạo cong Trong quá trình chuyển động, tất cả các điểm trên vật rắn đều di chuyển với cùng một vận tốc và gia tốc.
Vị trí: Gốc tọa độ A được gọi là điểm cơ sở, vị trí của B so với A được bểu thị bằng véc tơ vị trí tương đối 𝑟 𝐵/𝐴 ta có: 𝑟 𝐵 = 𝑟 𝐴 + 𝑟 𝐵/𝐴
CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
Khi một vật rắn quay quanh một trục cố định, mọi điểm trên vật (trừ những điểm nằm trên trục quay) đều di chuyển theo quỹ đạo hình tròn.
Chuyển động góc: Một điểm không có kích thước thì không có chuyển động góc Chỉ những thanh hoặc vật thể mới có chuyển động góc
Vị trí góc của bán kính r được xác định bởi góc q, đo từ một đường tham chiếu cố định đến đường bán kính r tại một thời điểm cụ thể.
Chuyển vị góc: Sự thay đổi vị trí góc có thể được đo bời vi phân d𝜃 được gọi là chuyển vị góc
Vận tốc góc: Tốc độ của sự thay đổi vị trí góc được gọi là vận tốc góc 𝜔⃗⃗
Gia tốc góc: Gia tốc góc 𝛼 là công cụ đo sự thay đổi của vận tốc góc theo thời gian
Các quan hệ vi phân: 𝜔
Gia tốc góc không đổi:
Giả thiết chiều dương quay ngược chiều kim đồng hồ:
Chuyển động của điểm P trên vật rắn: Vật rắn chuyển động quay, điểm P chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính r, tâm O
Vị trí của điểm P được xác định bởi véc tơ vị trí 𝑟, kéo dài từ điểm O đến P Khi vật rắn quay một góc dq, điểm P sẽ dịch chuyển một đoạn ds được tính bằng công thức ds = r.dq.
𝑑𝑡 ; 𝑣 = 𝜔 𝑟; 𝑣 = 𝜔⃗⃗ × 𝑟 Độ lớn 𝑣 = 𝜔 𝑟 𝑃 𝑠𝑖𝑛𝜙 , khi r = rP.sinf thì v = w.r
Gia tốc: Gia tốc của điểm P gồm hai thành phần là pháp tuyến an và tiếp tuyến at
𝜌 Khi r = r; v = w.r và a = dw/dt thì
Gia tốc tiếp tuyến (𝑎 𝑡) thể hiện tốc độ thay đổi của độ lớn vận tốc theo thời gian Khi tốc độ của điểm P tăng, hướng của 𝑎 𝑡 sẽ giống với hướng của vận tốc 𝑣.
86 ngược lại nếu tốc độ P giảm thì 𝑎 𝑡 có hướng ngược với 𝑣 và nếu điểm P chuyển động đều không tăng không giảm thì 𝑎 𝑡 = 0
Thành phần pháp tuyến của gia tốc phản ánh sự thay đổi hướng của vận tốc theo thời gian, với hướng của gia tốc luôn hướng vào tâm O của đường quỹ đạo.
Khi hai vật rắn chuyển động quay tiếp xúc với nhau, điểm tiếp xúc sẽ di chuyển trên hai quỹ đạo khác nhau Tại điểm tiếp xúc, vận tốc và thành phần tiếp tuyến của gia tốc sẽ tương đồng, trong khi thành phần pháp tuyến của gia tốc sẽ khác nhau.
Bài 5.1 Bánh xe quay với vận tốc góc w = 0,005q 2 rad/s tính gia tốc góc khi bánh xe quay được 20 vòng
Bài 5.2 Bánh xe quay với vận tốc góc w = 4q 1/2 rad/s Tính thời gian vận tốc góc đạt được 150 rad/s khi t = 0 thì q = 1 rad
Bài 5.3 Đĩa chuyển động quay với gia tốc góc a = 3t 2 + 12 rad/s 2 Nếu vận tốc góc ban đầu w0 = 12rad/s xác định độ lớn của vận tốc, thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của gia tốc của A khi đĩa quay được thời gian t = 2s
Bài 5.4 Tại thời điểm vận tốc góc wA = 5 rad/s thì ròng rọc A quay với gia tốc góc không đổi aA = 6rad/s 2 Tính độ lớn của gia tốc điểm B trên rong rọc C khi A quay được 2 vòng
Bài 5.5 Mô tơ làm quay bánh răng A với gia tốc góc aA = 2.t 3 rad/s 2 Nếu bánh răng A quay với vận tốc góc ban đầu là wA = 15rad/s, tính vận tốc góc của bánh răng B ki t = 3s
Bài 5.5 wB = 31,7 rad/s , ngược kđh
CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG TỔNG QUÁT
Khi một vật rắn di chuyển trong một mặt phẳng chung, sự chuyển động của nó bao gồm cả chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay Chuyển động tịnh tiến diễn ra trong một mặt phẳng tham chiếu cụ thể.
Chuyển động quay xảy ra xung quanh một trục vuông góc với mặt phẳng tham chiếu
Công thức hệ tọa độ vị trí:
Điểm P trên vật thể được xác định trong hệ tọa độ vị trí s, tính từ một gốc tọa độ cố định đến đường chuyển động của điểm P Góc vị trí của đường thẳng trên vật thể được đo từ một đường tham chiếu cố định.
Kích thước của vật thể xác định mối quan hệ giữa s và θ, với công thức s = f(θ) thông qua các quan hệ hình học hoặc công thức lượng giác Việc đạo hàm theo thời gian cũng cần được xem xét.
Lấy đạo hàm bậc 1 theo thời gian của s = f(q) để xác định quan hệ giữa v và
Lấy đạo hàm bậc 2 theo thời gian để xác định quan hệ giữa a và
Trong mỗi trường hợp phải sử dụng quy tắc chuỗi của phép tính khi lấy đạo hàm theo thời gian của công thức tọa độ vị trí
Bài 5.6 Cuối thanh R như trong liên kết với cam bằng một lò xo Nếu Cam quay quanh một trục đi qua điểm O có gia tốc góc và vận tốc góc Xác định vận tốc và gia tốc của thanh khi cam quay đến vị trí
Bài 5.7 Tại một thời điểm nhất định hình trụ bán kính r như hình có vận tốc góc và gia tốc góc Xác định vận tốc và gia tốc của trọng tâm G nếu hình trụ lăn không trượt
Bài 5.8 Cửa sổ được mở ra bằng một xi lanh thủy lực AB như hình 5.10 Nếu xi lanh dãn dài với vận tốc 0,5m/s, xác định vận tốc góc và gia tốc góc của cửa sổ khi = 30 0
Bài 5.9 Điểm A của thanh chuyển động lên xuống với vận tốc không đổi vA xác định vận tốc góc và gia tốc góc của thanh là hàm theo y
Bài 5.10 Trạng thái ban đầu = 60 0 thanh AB có gia tốc 16m/s 2 và vận tốc 10m/s Tính vận tốc góc và gia tốc góc của liên kết CD
Bài 5.11 Thanh AB quay quanh A với vận tốc góc không đổi Xác định vận tốc và gia tốc của khối C tại trạng thái = 60 0
Phân tích chuyển động tương đối – vận tốc:
Chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn là sự kết hợp giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay Việc nghiên cứu các thành phần của chuyển động này giúp hiểu rõ hơn về cơ chế hoạt động của vật rắn trong không gian hai chiều.
91 chuyển động này một cách riêng biệt ta phân tích chuyển động tương đối của hai hệ tọa độ trục
Vị trí: Véc tơ vị trí 𝑟 𝐴 như hình xác định vị trí của điểm A, véc tơ vị trí tương đối 𝑟 𝐵/𝐴 xác định vị trí của điểm B so với điểm A
Vì vận tốc tương đối 𝑣 𝐵/𝐴 thể hiện tác động của chuyển động tròn quanh
A nên được tính bằng tích chéo 𝑣 𝐵/𝐴 = 𝜔⃗⃗ × 𝑟 𝐵/𝐴 Vậy ta có:
Bài 5.12 Con lăn chuyển động lăn không trượt trên bang truyền như Hình Băng truyền đang chuyển động với vận tốc 2m/s, hình trụ có vận tốc góc thuận chiều kim đồng hồ = 15 rad/s Xác định vận tốc của điểm A tại thời điểm hiện tại
Bài 5.13 Xây dựng công thức tính biểu thị mối quan hệ của vận tốc hai điểm A và B
Bài 5.14 Nếu thanh OA quay với vận tốc góc 12rad/s Tính vận tốc của khối B và vận tốc góc của thanh AB ở trạng thái như hình vẽ Điểm có vận tốc bằng không – Tâm tức thời:
Vận tốc của bất kỳ điểm B nào trên vật rắn có thể được xác định bằng cách chọn một điểm gốc A có vận tốc bằng không tại thời điểm xem xét Điểm A này được gọi là tâm tức thời (IC) và nằm trên trục tức thời có vận tốc bằng không, trục này luôn vuông góc với hướng chuyển động của vật rắn.
93 góc với mặt chuyển động Giao của trục tức thời với mặt phẳng chuyển động là tâm tức thời (IC)
Xác định vị trí tâm tức thời
Trường hợp 1: khi biết vận tốc 𝑣 A của điểm A trên vật rắn và vận tốc góc
Vật rắn quay theo chiều thuận, với tâm tức thời nằm phía trên bên phải điểm A Tâm này nằm trên đường thẳng vuông góc với vận tốc tại A, và khoảng cách từ A đến tâm tức thời được tính bằng công thức rA/IC = vA/ω.
Trong trường hợp 2, khi biết rằng hai vận tốc 𝑣 A và 𝑣 B không song song, tâm tức thời sẽ là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc với 𝑣 A và 𝑣 B Còn trong trường hợp 3, khi hai vận tốc 𝑣 A và 𝑣 B song song, vị trí tâm tức thời được xác định theo tỉ lệ tam giác đồng dạng dựa trên độ lớn và hướng của chúng.
Tâm tức thời của vật rắn giúp xác định vận tốc của một điểm trên vật, nhưng thường không có gia tốc, do đó không thể dùng để tính gia tốc của điểm khác Điểm được chọn làm tâm tức thời có vận tốc bằng không chỉ mang tính chất tại một thời điểm cụ thể Quỹ tích của các điểm này tạo thành đường tâm quay, trong đó mỗi điểm trên đường này là tâm tức thời của vật rắn tại một thời điểm nhất định Đường tác dụng của véc tơ vận tốc 𝑣 luôn vuông góc với véc tơ vị trí 𝑟⃗⃗, và vận tốc có hướng phù hợp với chuyển động quay 𝜔⃗⃗ của vật rắn.
Bài 5.15 Xác định tâm tức thời của vận tốc cho: Thanh BC ở hình a và liên kết CB ở hình b
Bài 5.16 Xác định vị trí tâm tức thời để tính vận tốc của điểm B
Bài 5.17 Xác định vận tốc góc của liên kết BC và CD
Bài 5.18 Xác định vận tốc của điểm A và B ở trạng thái như hình
Phân tích chuyển động tương đối – Gia tốc:
Phương trình liên quan đến gia tốc của hai điểm trên vật rắn chuyển động phẳng là lấy vi phân phương trình vận tốc tương đối ta có:
Thành phần gia tốc tương đối 𝑎 𝐵/𝐴 = (𝑎 𝐵/𝐴 )
Bài 5.19 Đĩa tròn lăn không trượt như hình â Xác định gia tốc của điểm
Bài 5.20 Xây dựng mối quan hệ gia tốc của điểm A và B
Bài 5.21 Trong trạng thái như hình vẽ xác định gia tốc góc của liên kết
BC và gia tốc của C
Bài 5.22 Thanh AB chuyển động quay như hình vẽ Tính vận tốc và gia tốc của con trượt C
Bài 5.23 Khối trượt B chuyển động như hình vẽ Xác định vận tốc góc và gia tốc góc của đĩa C
Phương trình vị trí xác định chuyển động quay của OA và chuyển động tịnh tiến của thanh R thông qua việc chọn góc tọa độ và x Các chuyển động này được đo từ vị trí cố định O và liên kết với nhau bằng các công thức lượng giác.
OC = CB = r.cos x = 2.r cos; Đạo hàm theo thời gian: Sử dụng quy tắc chuỗi của công thức ta có:
Các dấu âm chỉ ra rằng v và a ngược chiều với hướng dương của chuyển động x Điều này có vẻ hợp lý khi hình dung chuyển động
Hình trụ có chuyển động tổng quát bao gồm cả chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay Khi hình trụ lăn, điểm G di chuyển thẳng sang trái đến vị trí mới G', được xác định theo tọa độ nằm ngang sG Chiều dài cung A'B trên vành trụ tiếp xúc với mặt đất từ A đến B tương đương với sG Quá trình này làm cho đường xuyên tâm GA quay một góc θ tới vị trí G'A' Công thức cho cung A'B là A'B = r.θ, và sự dịch chuyển của G được biểu diễn bằng sG = r.θ Đạo hàm theo thời gian cho thấy rằng với r không đổi, ta có sG = r.θ, vG = r.w và aG = r.a.
CHÚ Ý: các công thức trên chỉ có giá trị khi hình trụ hay đĩa, bánh xe hay quả bóng,… chỉ lăn nhưng không trượt