Giải tích 1 Ứng dụng của tích phân trong lực và Áp suất thủy

7 4 Các bước chung khi tính lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh 7 5 Mô hình tính toán và chứng minh 8 5.1 Lực thủy tĩnh tác dụng lên tấm hình chữ nhật.. Trong lĩnh vực thủy tĩnh học, lực

MSSV First Name Last Name

2410248 Lương Quốc Bảo

2412344 Ngô Khôi Nguyên

Mục lục

2.1 Định nghĩa tích phân thông qua tổng Riemann 4

2.2 Ví dụ: 5

2.3 Định lý cơ bản của giải tích 6

3 Định nghĩa lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh 6 3.1 Lực thủy tĩnh 6

3.2 Áp suất thủy tĩnh 6

3.3 Sự khác nhau giữa lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh 7

4 Các bước chung khi tính lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh 7 5 Mô hình tính toán và chứng minh 8 5.1 Lực thủy tĩnh tác dụng lên tấm hình chữ nhật 8

5.2 Lực thủy tĩnh trên tấm tam giác chìm trong chất lỏng 11

5.3 Áp suất tại đáy cột nước với khối lượng riêng thay đổi 13

5.4 Lực thủy tĩnh trên tấm hình tròn chìm trong nước 17

5.5 Lực thủy tĩnh trên tấm hình thang chìm trong nước 19

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, chúng em xin chân thành cảm ơn cô đã giảng dạy và truyền đạtcho chúng em những kiến thức quý báu, hữu ích và hỗ trợ cho chúng em trong suốtquá trình thực hiện bài báo cáo Trong suốt quá trình thực hiện, nhóm chúng em đã

có thêm nhiều kinh nghiệm và kiến thức mới dưới sự chỉ dẫn của thầy và đây chắcchắn là những kiến thức và kinh nghiệm quý báu, là hành trang cho chúng em saunày Giải tích 1 là môn học đại cương đóng vai trò nền tảng và cực kì quan trọng đốivới nhóm em nói riêng và toàn thể sinh viên Trường Đại học Bách Khoa TPHCMnói chung, đặc biệt là những sinh viên học các ngành khối khoa học kỹ thuật - côngnghệ Vì thế, bọn em đã dành cho môn học này một khối lượng thời gian khá đáng

kể và thực hành là điều cần thiết để nhóm em có cơ sở vững chắc về học phần vàlàm tiền đề cho các môn chuyên ngành tiếp theo của bọn em Có lẽ kiến thức là vôhạn mà sự tiếp thu kiến thức của bản thân mỗi người luôn tồn tại những hạn chếnhất định Bởi vì sự hạn chế ấy và còn bỡ ngỡ nên trong quá trình hoàn thành bàibáo cáo, mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn bài tập lớn Giải tích 1 lần nàykhó có thể tránh khỏi những thiếu sót Nhóm chúng em rất mong nhận được nhữnggóp ý đến từ cô để bài tập lớn của chúng em được hoàn thiện hơn! Kính chúc cô sứckhỏe, hạnh phúc và thành công trên con đường sự nghiệp giảng dạy Sau đây là nộidung tìm hiểu bài tập lớn của cả nhóm!

1 Giới thiệu

Tích phân là một công cụ toán học mạnh mẽ, có vai trò quan trọng trong việcgiải quyết các vấn đề liên quan đến vật lý và cơ học chất lỏng Đặc biệt, tích phânđược áp dụng rộng rãi trong việc tính toán lực và áp suất trong các hệ thống thủytĩnh Những ứng dụng này không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về bản chất của cáchiện tượng vật lý mà còn có ý nghĩa thực tiễn trong thiết kế và vận hành các côngtrình liên quan đến chất lỏng như đập nước, bể chứa, và đường ống dẫn

Trong lĩnh vực thủy tĩnh học, lực do áp suất chất lỏng tác dụng lên các bề mặt

có thể được tính toán thông qua tích phân Điều này đặc biệt quan trọng khi bề mặt

có hình dạng phức tạp hoặc áp suất không phân bố đều Ngoài ra, tích phân cònđược sử dụng để xác định các đại lượng như lực tổng hợp, vị trí tâm áp lực, và ápsuất trung bình – những yếu tố ảnh hưởng lớn đến thiết kế và an toàn của các cấutrúc

Một ví dụ cụ thể là việc tính toán lực tác động của nước lên một bức tường chắn

có dạng hình học bất kỳ Với áp suất thay đổi theo độ sâu, ta có thể sử dụng tích

phân để tính lực tổng hợp và xác định vị trí mà lực này tác dụng Tương tự, trongthiết kế bể chứa hình cầu hoặc hình trụ, tích phân hỗ trợ việc dự đoán áp suất bêntrong bể và đảm bảo rằng vật liệu sử dụng có khả năng chịu tải đủ lớn.

Như vậy, tích phân không chỉ mang ý nghĩa lý thuyết mà còn đóng vai trò thực

tế quan trọng trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán phức tạp liên quanđến lực và áp suất thủy Việc hiểu và vận dụng tích phân trong các bài toán này làbước nền tảng để phát triển các công trình an toàn và hiệu quả hơn trong tương lai

2 Cơ sở lý thuyết

Tích phân của một hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] có thể được định nghĩa

bằng cách sử dụng tổng Riemann, như sau:

Chia đoạn [a, b]: Chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ không giao nhau bởi các

điểm chia:

a = x0 < x1 < x2 < · · · < x n−1 < x n = b.

Độ dài của mỗi đoạn con [x i−1 , x i] được ký hiệu là:

∆x i = x i − x i−1

Chọn điểm mẫu: Trên mỗi đoạn con [x i−1 , x i ], chọn một điểm bất kỳ ξ i ∈

[x i−1 , x i ] Điểm ξ i này được gọi là điểm mẫu, và giá trị hàm số tại điểm mẫu f(ξ i)

sẽ đại diện cho giá trị của hàm số trên đoạn nhỏ đó

Tổng Riemann:Xây dựng tổng Riemann bằng cách cộng tất cả các tích f(ξ i )∆x i

lại với nhau:

một giá trị nhất định nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] Giá trị giới hạn này,

nếu tồn tại, được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b]:

Z b

f (x) dx = lim Xn

f (ξ i )∆x i

Như vậy, tích phân xác định của f(x) trên [a, b] là giới hạn của tổng Riemann

khi số lượng đoạn chia tiến tới vô hạn, cung cấp một cách định nghĩa chính xác diệntích dưới đồ thị của hàm số

2.3 Định lý cơ bản của giải tích

Công thức Newton-Leibniz:

Z b a

f (x) dx = F (b) − F (a), trong đó F (x) là nguyên hàm của f(x).

3 Định nghĩa lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh

3.3 Sự khác nhau giữa lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh

• Áp suất thủy tĩnh là đại lượng điểm, đo áp suất tại một vị trí cụ thể tronglòng chất lỏng

• Lực thủy tĩnh là đại lượng tổng hợp, biểu diễn lực do áp suất tác dụng lên toàn

bộ diện tích bề mặt

• Lực thủy tĩnh có hướng, trong khi áp suất thủy tĩnh là vô hướng

4 Các bước chung khi tính lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh

1 Xác định hệ tọa độ phù hợp:

• Đặt hệ trục sao cho phép tính áp suất hoặc lực dễ dàng

• Xác định trục độ sâu h, thường có gốc tọa độ tại bề mặt chất lỏng.

2 Phân đoạn bề mặt:

• Chia bề mặt tác dụng lực thành các phần nhỏ (phần tử hình chữ nhật/hìnhthang) để áp suất tại mọi điểm trên đoạn được coi là đồng nhất

• Xác định độ sâu h hoặc tọa độ của các đoạn chia nhỏ.

• Tính lực tác dụng bằng cách lấy tích phân của áp suất theo diện tích tácdụng

5 Thực hiện tích phân:

• Sử dụng tích phân xác định để tính toán

6 Kiểm tra đơn vị và kết quả:

• Đảm bảo đơn vị của áp suất là Pascal và lực là Newton

5 Mô hình tính toán và chứng minh

Trong chương này chúng tôi xây dựng các mô hình toán và ứng dụng nó vào cácbài toán thực tế cũng như tiến hành tạo ra các phần mền để góp phần giải quyết bàitoán nhanh hơn trong tương lai

Công thức:

F = ρgwh2 2

Tại sao lại có công thức này? Tấm hình chữ nhật chìm trong chất lỏng chịu

áp suất thay đổi theo độ sâu, được tính bởi:

trong đó w là chiều rộng cố định của tấm Tích phân này tính toán áp suất thay đổi

dọc theo chiều cao của tấm Tấm hình chữ nhật: Một cửa sổ hình chữ nhật

của tàu ngầm

• Chiều rộng: w = 2 m (chiều rộng của cửa sổ tàu ngầm).

• Chiều cao: h = 4 m (chiều cao của cửa sổ tàu ngầm).

• Khối lượng riêng nước: ρ = 1000 kg/m3

# Constants

rho = 1000 # density of water (kg/m^3)

g = 9.8 # acceleration due to gravity (m/s^2)

# 1 Force on a rectangular plate submerged in water

def rectangular_plate_force(w, h):

F = (rho * g * w * h**2) / 2

return F

# Real-life example for rectangular plate:

width_rect = 2 # width in meters

height_rect = 4 # height in meters

force_rect = rectangular_plate_force(width_rect, height_rect)

print(f"Force on rectangular plate: {force_rect} N")

chữ nhật của tàu ngầm khi chìm trong nước Kỹ sư sử dụng thông tin này để thiết

kế cửa sổ chịu được áp lực mà không bị nứt hoặc hỏng

Hình 2: Ảnh minh họa bài tập 1

5.2 Lực thủy tĩnh trên tấm tam giác chìm trong chất lỏng

Tấm hình tam giác: Một tấm kính bên của bể cá hình tam giác

• Đáy: b = 2 m (chiều rộng đáy của tấm tam giác).

• Chiều cao: h = 4 m (chiều cao của tấm tam giác).

• Khối lượng riêng nước: ρ = 1000 kg/m3

base_triangle = 2 # base in meters

height_triangle = 4 # height in meters

force_triangle = triangular_plate_force(base_triangle, height_triangle)print(f"Force on triangular plate: {force_triangle} N")

Ý thực tế: Tính toán này áp dụng cho tấm kính bên của bể cá hình tam giác,

giúp kỹ sư xác định độ dày và loại kính cần thiết để chịu được áp lực nước

Hình 3: Ảnh minh họa bài tập 2

Áp suất ở đáy cột nước với khối lượng riêng thay đổi

• Khối lượng riêng ban đầu: ρ0 = 1000 kg/m3

• Tốc độ thay đổi khối lượng riêng: k = 10 kg/m3mỗi mét

# Real-life example for column with varying density:

rho0 = 1000 # base density (kg/m^3)

k = 10 # rate of change of density (kg/m^3 per meter)

H = 5 # height of the column in meters

pressure = pressure_varying_density(rho0, k, H)

print(f"Pressure at bottom with varying density: {pressure} Pa")

def plot_3d_circular_plate_with_water(r, depth, water_height):

fig = plt.figure()

ax = fig.add_subplot(111, projection=’3d’)

# Create circular plate

theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)

x = r * np.cos(theta)

y = r * np.sin(theta)

z = np.full_like(x, depth) # Position the plate at the specified depth

# Add the circular plate

# Create water block

water_x, water_y = np.meshgrid(

np.linspace(-r-2, r+2, 30), np.linspace(-r-2, r+2, 30))

water_z_bottom = np.zeros_like(water_x)

water_z_top = np.full_like(water_x, water_height)

# Plot water as a semi-transparent block

ax.plot_surface(water_x, water_y, water_z_bottom,

color=’cyan’, alpha=0.3, edgecolor=’none’) # Bottom surface

ax.plot_surface(water_x, water_y, water_z_top,

color=’cyan’, alpha=0.3, edgecolor=’none’) # Top surface

for i in range(0, len(water_x), 5):

# Vertical walls

ax.plot([water_x[i, 0], water_x[i, 0]],

[water_y[i, 0], water_y[i, 0]],

[0, water_height], color=’cyan’, alpha=0.3)

ax.plot([water_x[0, i], water_x[0, i]],

[water_y[0, i], water_y[0, i]],

[0, water_height], color=’cyan’, alpha=0.3)

# Annotate plate

ax.text(0, 0, depth + 0.5, f"Depth = {depth} m",

color="black", fontsize=10, ha="center")

# Set limits and labels

Ý Nghĩa thực tế: Áp dụng cho cột nước có khối lượng riêng thay đổi, chẳng

hạn như cột nước mặn, giúp thiết kế các thiết bị như dụng cụ đo độ mặn, cột nướcthí nghiệm, hoặc các bồn chứa đặc biệt

Hình 4: Ảnh minh họa bài tập 3

5.4 Lực thủy tĩnh trên tấm hình tròn chìm trong nước

# Real-life example for circular plate:

radius_circle = 2 # radius in meters

plate = Poly3DCollection(vertices, alpha=0.6, facecolors=’blue’)ax.add_collection3d(plate)

Ý nghĩa thực tế:Tính toán áp dụng cho nắp tròn trong bể nước, đảm bảo nắp

có thiết kế đủ chắc chắn để chịu được áp lực nước

Hình 5: Ảnh minh họa bài tập 4

Công thức:

F =Z h

0

ρgyw (y) dy

Tại sao lại có công thức này?Với tấm hình thang, chiều rộng thay đổi tuyến

tính từ b1 (đáy nhỏ) đến b2 (đáy lớn) Chiều rộng w(y) tại độ sâu y được tính:

w (y) = b1+b2− b1

h y.

# Real-life example for trapezoidal plate:

b1 = 2 # base1 (smaller) in meters

b2 = 4 # base2 (larger) in meters

height_trap = 5 # height in meters

force_trap = trapezoidal_plate_force(b1, b2, height_trap)

print(f"Force on trapezoidal plate: {force_trap} N")

Ý nghĩa thực tế:Tính toán này áp dụng cho cánh cửa hình thang của đập nước,

giúp xác định lực tác động lên cửa để thiết kế phù hợp và đảm bảo an toàn

Hình 6: Ảnh minh họa bài tập 5

Trong quá trình làm bài tập này, nhóm em đã tự phân công và làm đúng phầnviệc của mình rất nghiêm túc và chỉn chu Các thành viên còn hỗ trợ, giúp đỡ nhaurất nhiều Điều này giúp chúng em tăng khả năng làm việc nhóm, có thêm kiến thức

về các công cụ soạn thảo, lập trình và tăng khả năng xử lý, tìm kiếm thông tin.Ngoài ra còn giúp bọn em hứng thú với môn học thông qua một ví dụ vô cùng thực

tế và thú vị của phương pháp tính trong thực tiễn

Cuối cùng, chúng em muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất cả bạn trongnhóm đã dành thời gian đọc và nghiên cứu về chủ đề này cùng nhau chúng em hyvọng rằng bạn sẽ tiếp tục khám phá và áp dụng kiến thức này trong những lĩnh vực

thành cảm ơn - giáo viên hướng dẫn chúng em hoàn thành bài tập lớn này!