Dạy học xác suất có Điều kiện Ở trung học phổ thông trong mối quan hệ với thống kê

Theo đó, trong giảng dạy toán: Sự phát triển của việc giảng dạy Toán học hướng tới nhiễu hoạt động thực “Quan điểm này cũng được Girard 1997 khẳng định như sau: "Ngày cảng có nhiều sự qu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG DAI HQC SU PHAM THANH PHO HO CHi MINH

—~<z=sz‹zZZz==——— DANG TAN PHAT

DẠY HỌC XAC SUAT CO DIEU KIEN

GO TRUNG HQC PHO THONG TRONG MOI QUAN HE VOI THONG KE

LUẬN VAN THAC Si KHOA HỌC GIÁO DỤC

“Thành phố Hồ Chí Minh - 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG DAI HQC SU PHAM THANH PHO HO CHi MINH

—~<z=sz‹zZZz==——— DANG TAN PHAT

DAY HQC XAC SUAT CO DIEU KIỆN

O TRUNG HQC PHO THONG TRONG MOI QUAN HE VOI THONG KE Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp đạy học bộ môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LE TH] HOAI CHAU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2023

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, các dẫn được trình bây trong luận văn hoàn

toàn chính xác vả trung thực

“Tác giả luận văn DANG TAN PHAT

LỜI CẢM ƠN

hig đông đầu tiên này, tôi in được bày tỏ lòng tì ân sâu sắc đến PGS.TS

Lê Thị Hoài Châu, Cô không chỉ là người hướng dẫn khoa học mà còn là người Cỏ mẫu mực đáng kính của tôi Cô luôn kiên nhẫn dành nhiễu thời gian, công sức, tâm

huyết đ chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt hành tình vừa qua, kể tử khi có những ý

tưởng đầu tiên cho đến lúc luận văn được hoàn thiện Trong những thời điểm khó

khăn nhất, với lòng thương yêu và bao dung, Cô đã luôn là người tiếp thêm cho tôi biết bao niềm tin, động lực để tôi tiếp tục cổ gắng hoàn thành khóa học này Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Lê Thái Bio Thi

“Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng đã nhiệt

tình giảng dạy, truyền thụ những trí thức khoa học quý báu của chuyên ngành Lý luận

và phương pháp dạy học bộ môn Toán

“Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo, quý thầy cô đang công tắc tại các khoa, phòng ban của trường Đại học Sư phạm TP Hỗ Chí Minh, đặc biệt là các thấy cô phòng Sau đại học đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu tại trường

ra ôi xin tân trọng cảm ơn Bạn giám hiệu và các thầy cô đồng nghiệp

Cuối cùng, tôi xin gửi lõi cảm ơn sâu sắc đến gia đình thương yêu của tôi, ba

mẹ luôn à hậu phương vững chắc và là nguồn động lực to lớn để tôi vượt qua những khó khăn rong suốt chăng đường văn qua, cảm om ee anh chi em, ban bi,

nghiệp đã luôn bên cạnh, động viên tôi hoàn thành luận văn này

“ác giả luận văn DANG TAN PHAT

LỜI CAM ĐOAN

1.1.2, Tổng quan các công trình nghiên cứu liên quan 1

1.1.3 Câu hỏi nghiên cửu ¬ me m

CHUONG 1 MOI QUAN HE GIU'A THONG KE VA XAC SUAT TRONG DAY HQC KHAI NIEM XAC SUAT CO DIEU KIEN

1.1, Méi quan hg gita Théng kế và Xác suất ss " 1.1.1 — Thống kế toán cần thiết cho việc nghiên cửu Xác s l6 1.1.2 Ly thuyết Xác suất cần thiết cho nghiên cứu Thông kể toán 1

113, Thống kế và Xác suất hai nh vục cắn iền với thực 21

“Quan hệ giữa Thống kê và Xác suắt trong cách tiếp cận khái niệm Xác

a

1.3.1 Tổng quan về Xác suất có điều kiện 24

13.2 Méi ign hg Xác suất~ Thống kê trong tiếp cận khái niệm Xác suất

2.22, Tả chúc Toán học liên quan đến Xác suất có điều kiện và tính độc

2.3 Phẩntich định ỉ Xác suấttoàn phần và quy tắc Bayes trong [NJ 0

3.4, Phan tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm 90

CTGDPT Chương trình giáo dục phỏ thông

KNV: Kiểu nhiệm vụ

THCS: Trung hoe ea sir

THPT: Trung học phổ thông

XSCDK: Xác suất có điều kiện

[M]: Tải liệu Cambridge International AS & A Level Mathematics Probability & Statistics 1 của tác giả Dean Chalmers, nhà xuất bản Dai hoc Cambridge

INE: Tài liệu Introduction to Probability của nhóm tac gia Dimitri P Bertsekas va John N Tsitsiklis, nha xudt ban Athena Scientifi DANH MỤC CAC BANG

Bảng 1 Yêu cầu cần đạt của nội dung XSCĐK và các quy tắc tính xác suất ở lớp 12

Bảng 2 Thống kế các KNV liên quan

12 phù hợp để triển khai trong dạy học theo CTGDPT môn Toán 2018 én XSCDK và các quy tắc tính xác suất ở lớp _- Bảng 3 Thống kẻ câu tr lờ của ý thứ n câu hỏi tổng kết 107 Bảng 4 Thống kế câu trả lời của ý thứ hai câu hỏi tổng kết se 108

1.1 Lý do chọn để tài

1.11 Ghỉnhận ban đầu

“# Sự thay đối trong chương trình về vị trí của Thống kê và Xác suất

Xác suất cùng với Thống kê và Khoa học máy tính đã tác động một cách hữu

hiệu vào hàu như mọi lĩnh vực của thể giới hiện đại Theo tác giá Gomes (2014) thi

Xe suit la một nhánh đáng chú ý của Toán học, nó cung cấp các mô hình được sử cũng như nhiều lĩnh vực khác nữa Về phần mình, ngoài việc l một lình vục nghiền

công cụ sắc bén để rút ra những kết quả từ những thông tin không đầy đủ

nhiều nước có nền giáo dục phát tiễn, Xác suất được xem là một trong những

nội dung dạy học quan trọng từ nhiều năm trước và đã được khẳng định trong nhiều

nghiên cứu, hội nghị khoa học

“Năm 1973 khitổng kết công tác cõi cách giáo dục, UNESCO đã khẳng định xằng Xác suất ~ Thông kế là một trong 9 quan điểm chủ chốt để xây dụng học

vn trong thời đại ngày nay",

(Ding Hing Thing, 2015, 3)

“Tuy nhiên, ở Việt Nam, đối với chương trình giáo dục phổ thông (CTGDPT) năm 2006, cũng như những chương trình trước đó? thì Xác suất chưa thực sự được được để cập đến trong chương trình Tiểu học và Trung học cơ sở (THCS) Nhận thấy được khiếm khuyết này so với các nên giáo đục tiên tiền trên th giới, CTGDPT môn

'Toán 2018 đã thực hiện "đổi mới chương trình” cập nhật xu hướng chung của thể đáng đối với Xác suất

Ss i ng th năm 17% 1980 ec a iy hi bi dt hưng nh

so doin gui Cee ch ny bt the i từ nâ I0 te hả in diệu ĐÌnnân 2002 <6 in thay hi đương nh nh in hợp nt he sich Ny 2006 te sy chnh lý chương tinh nt ai

Toán học Thẳng kê và Xác suất tạo cho học sinh khả năng nhận thức và phân

tích các thông tin được th hiện đưới nhiễu hình thốc khc nhan, êu bản chỉ ade suit của nhiều sự phụ thuộc trong hye t, hình thành sự hiễu biết về vai rồ

4 duy thông kế để phân tích đỡ liều, Từ đó, năng cao sự hiễu biết và phương pháp nghiền cứu th giới hiện đại cho học sinh

(Bộ Giáo dục và Đảo o, 2018, tr 16) Theo đó, Xác suất Thông kê được chương trình xác định là một trong ba mạch kiến thức của nội dung cốt ki

lớp l2 môn Toán và được giảng day xuyên suốt từ lớp 2 đến XMụe tiêu chương hình đổi với mạch kiến thức Xác suất có nhiều thay đổi và được cụ thể hóa trong từng cắp học Liên quan đến vẫn đề này, nghiên cứu của tác giả Trần Minh Tuấn di chi raring:

"Mạch kiến thức về Xác suất trong CTGDPT hiện hành và CTGDPT môn Toán

21018 sổ sự khắc biệt rõ không chỉ về khi lượng kiến thúc mã côn cả giai đoạn

‘ily cin

(Trin Tun Minh, 2020, 11.13)

on 1 k@ và Xác suất ~ hai lĩnh vực khoa học có gắn bồ chặt chữ Xác suấtlà một bộ phận của Toán học nghiên cứu v các hiện tượng ngẫu nhiền

.Ở đây, hiện tượng ngẫu nhiên là những hiện tượng trong đời sống xung quanh, mà ta

không thể nói trước nỗ cổ xảy ra hay không khi chỉ thực hiện quan sát một vài lẫn

"uy nhiên, rong nhiề trường hợp ta có thé rt ra được những kết luận khoa học hữu kiện như nhau với số lần đủ lớn Như vậy, Xác suất được dùng để do lường và dự

di

đoán khả năng xảy mì của các sự kiến và biểu diễn chúng bing các con số trong khoảng đóng [0:1] Ngoài ra, nó cung cấp các phương pháp để xử lý thông tin không chắc chấn

6 quy luật không cần và không thể tính toán"

(Đặng Hùng Thẳng, 2013, trv)

Thống kẻ là lĩnh vực khoa học ra đời nhằm mục đích nghiên cứu các phương

pháp thu thập, tô chức và phân tích đữ liệu một cách khách quan Nó liên quan đến

việc rút ra các kết luận hoặc suy luận từ dữ liệu thực ế và cung cấp các phương pháp ích Khoa học Thông kế thực sự “biển những con số khô khan, câm lặng thành những

và công cụ từ Xác suất để phân tích dữ liệu, kiểm tra giả thuyết vả tạo ra các kết luận

số giá tịtừ dữ iệu Có thể nói đây là mỗi ign hệ không thể tách rồi Nếu tích rời Lý thuyết Xác uất ti Thông kê toán sẽ mắt đi nhiễu kết quả quan trọng do phần Thống kế suy đoán mang li, và đo đó n sẽ bị thu hẹp vào Thông

mô t cũng cần thiết cho việc nghiên cứu Lý thuyết Xác suất Nồ cằn thiết cho việc iếp cận kha niệm sác sắt theo quan điểm thông kẻ

(Vũ Như Thư Hương, 2005, 28) Nghiên cứu về vẫn đề này, Hans Schup (1989) cũng khẳng định ng đặc trưng cứu các vấn đ

của việc nghỉ ngẫu nhiên chính là sự kết hợp của các công cụ thống

kê với các phương pháp sử dụng xác suất Thông kế không có Lý thuyết Xác suất là

vì vậy, cần phải kết hợp chặt chế nhất có thể tần suất tương đối và xác suất

+ Sự cần thiết của việc tính đến mối liên hệ gắn bó giữa Thống kê và Xác

suất trong day hoc

Môi quan hệ giữa hai nh vực Thống kế và Xác suất đã được để cập tường minh trong chương trình 2018 Mục tiêu CTGDPT môn Toán 2018 đối với mạch kiến thức Thống kê và Xác suất ngay từ cấp THCS thể hiện sự quan tâm đặc biệt đối với xác suất thực nghiệm Mục tiêu chủ yêu ở cấp Tiểu học là cung cấp cho học sinh kiến chương trình nhẫn mạnh việc sử dụng thống kê để hiểu các khái niệm cơ bản về xác suất thực nghiệm của một biến cổ và xác suất của một biến cổ, đồng thời nhận biết

được ý nghĩa thực tiễn của xác suất Ở cấp Trung học phỏ thông (THPT), mục tiêu

chủ yếu chính là giúp học sinh nhận biết các mô hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơi bản cũng như ý nghĩa thực tiễn của xác suất Cụ thẻ, một số nội dung và yêu edu edn đạt đối với dạy học xác suất thực nghiệm được nêu rõ trong chương trình như sau: + Mô tử sắc su (thực nghiệm) của khả năng xây ra nhiễu ần cũa một sự kiện

trong một số mô hình xác suất đơn giản

«Nhận biết được mỗi liên hệ giữa xác suất thực nghiệm của một biển cổ với Xác suất của biển cổ đồ thông qua một số ví dụ đơn giản

(Bộ Giáo dục và Đảo tạo, 2018, 54, 69)

‘Theo Jean Claude Girard (2004), trong khi Lý thuyết Xác suất luôn được coi là một phần của Toản học, từ nguồn gốc của nó (Pascal đã đặt cho nó cái tên Hinh hoc

Cơ may vào năm 1654) cho đến khi được Kolmogorov đưa ra tiên đề vào năm 1933,

thì Thống kê không phải lúc nảo cũng như vậy Tuy nhiên, mối liên hệ giữa Xác suất

và Thống kê lại đóng vai trở quan trọng tong dạy học Toán khẳng định này được

chỉ ra trong nghiên cứu của Garuti (2008): “điểu quan trọng là phải kết nổi việc giới

thiệu Xúc suất với các khi cạnh Thẳng lẻ liên quan đến cuộc sống hàng ngày

`Vào cuối th kỹ XX, với sự phát iển mạnh mẽ của lĩnh vực khoa học máy tính

và phân íh dỡ iệu việc giảng dạy thông kề cũng ngày cảng chứng tô tằm quan trọng

trong chương trình, từ đó, nó có tác động lớn đến việc giảng dạy xác suất Theo đó, trong giảng dạy toán:

Sự phát triển của việc giảng dạy Toán học hướng tới nhiễu hoạt động thực

“Quan điểm này cũng được Girard (1997) khẳng định như sau:

"Ngày cảng có nhiều sự quan tâm đến việc xây đựng khái niệm xác suất thông,

«qua thực nghiệm nh một giới hạn củ tnsố ổn định Xác suất rổ thành công,

kê, Mô hình sắc suất cho các câu hỏi thống kẻ còn là trọng tâm trong quá trình giáo dục vì nó cho phép học sinh quyế định giải nhấp tốt nhất cho một số nghịch

ở nhằm lẫn giữa mô hình và thực t

(Girard, 1997, trich theo Batanero,C ctal, 2009) Chẳng hạn, ở Pháp - quốc gia có lịch sử giảng dạy Xác suắt khoảng 60 năm - mỗi liên hệ Thống kê và Xác suất đã được thể hiện trong nhiễu khía cạnh khác nhau,

từ cái cách này đến cải cách khác Như vậy, việc khai thác méi

lên hệ Xác suất ~

Thống kê trong giảng dạy là cần thiết và có cơ sở:

CCó cơ sở để phát triển các nghiên cứu về mỗi liên kết Thống kế - Xác suất, từ đó

tiễn học ến trung học bởi vì đây chắc chấn là một điểm cốt

(lean Claude Girard, 2004) ia gido due Mặt khác, ví

khó khăn: "viếc đạy học Xác suất luôn có những chướng ngại, khó khăn, dù là ở bậc

trong việc vượt qua các khỏ khăn trong học tập xác suất

(Manfed Borovenik, 2012)

ra nhiều khó khăn

sn — một nội dung dạy học gâ

“Xác suất có điều kiện (XSCĐK) là một nội dung dạy học mới được đưa vào 'CTGDPT môn Toán 2018 Mặt khác nó lại giữ một vai tr rắt quan trọng đối với việc nghiên cứu Xác suất, bai tác giả Nguyễn Tiên Dũng và Đỗ Đức Thái (2015) đã khẳng

giản nhất cũng gặp phải những sai lẫm nhất định, đặc biệt là những người bắt đã

tìm hiểu, chưa chuyên sâu về ai lâm được tác giả chỉ ra nhữ sau:

«- Những s lầm thường gặp phải khi nghiên cứu về XSCBK: XSCDK P(AIB) thường bị nhằm lẫn với xác suắt P(BIA) và hâm chí với xác uất không điều kiện P(A) hoặc xác suất chung P(A^¬B))

+ Hiểu sai về điều kiện và kế quả, sim về tục hời gian; + Sai lâm khi không gian mẫu bị thay đổi;

«+ Sai tim rong việc phản biệt sự đc lặp và loại tr lẫn nhau của bai biển cổ,

(Đổ Thị Kiểu Trang, 2020, 121-30) Một tình huồng nỗi tiếng sắn liền với khái niệm XSCDK chính là bài toán Monty Hall šiton đa trên nh huồng của một chương tình truyễn hình tạ Mỹ và

đã gây ra nhiễu tranh luận vào thời điểm đó, trong đồ cổ sự tham gia của nhiễu nhà Toán học

Từ những lý do tên đã dẫn dắt chúng tôi đến việc nghiên cứu đề tà: “DẠY

HQC XAC SUAT CO DIEU KIEN 6 TRUNG HQC PHO THONG TRONG MOI QUAN HE VOI THONG KE”.

-% Sơ lược về các cách tiếp cận khái niệm Xác suất của một biến cổ Trong nghiên cứu của mình, tác giả Vũ Như Thư Hương (2005) đã chỉ ra cắc .đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Thông qua phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm xác suất, tác giả đã trình bày quá trình tiền triển của Lý

thuyết Xác suất qua các giai đoạn, từ khi nay sinh mầm mồng bởi các trò chơi may

đề Từ thời rủi đến khi hình thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo một hệ Trung đại cho đến nữa đầu thể kỳ XVI, khái niệm xác suất mới chỉ xuất hiện dưới

dang cng cụ ngầm ấn ding để so sánh cơ hội và hiển nhiên xác suất vẫn chưa có một định nghĩa nào Trong quá trình tìm kiếm câu trả lời cho một số trò chơi may rủi người la đã bi

kỳ rưỡi tiếp theo, các tính toán xác su sử dụng một số yếu tổ của Đại số tổ hợp Sau đó, trong suốt hai thé đã hình thành và phát triển với hai điểm nỗi Dat ls “Tinh xe suấ theo cng tit va Laplace vi gid tit vd se ding khả năng của các biển cổ và ước tính xác suất hậu nghiệm qua quan sắt thực nghiệm một tượng lớn các pháp thử ngẫu nhiên như nhau theo Bernoulli kh các biến có không được định nghĩa một cách hình thúc bằng phương pháp tiên đẻ Đây được xem là cột

mốc đánh đấu cho sự phát triển mạnh mẽ của tính toán xác suất, đồng thời nó còn là

cine ning min chop gi ahi Bi on rong cá nhục Móc nha cải ân ứng đọng vấ lộ lọc cơ học si vặt lọc

"Từ đó, tác giá đã trình bày ba cách tiếp cận khái niệm xác suất bao gồm: + - Tiếp cận theo Laplaee (AL, Approche Laplacienne),

* _ Tiếp cận thống kê (AS - Approche Statisiquc),

+ _ TiẾp cận tiên để (AA - Approche Axiomatigue)

Trong đó, cách tiếp cận theo quan điểm thống kế được cho là có ý nghĩa quan trong

trong Toán học và trong thực tiễn Nó cho phếp giải quyết vẫn để tìm xác suất trong sắc trường hợp mà định nghĩa của Laplaee không thể thực hiện được,

nghiên cứu của nhóm tác giả Akihiro Oilenwa (2012) Bài báo xem xếtính ngẫu nhiên

trong việc xuất hiện đ căn ở bệnh ung thư phổi, từ đỗ đưa ra các kết luận cho các

phân tích XSCĐK để phân tích dữ liệu trên 1.994 bệnh nhân ung thư phổi Trong điều

kiện của một cơ quan di căn A (phổi, xương, não, gan hoặc tuyển thượng thận ~ cơ

sơ quan cụ thể 8, được viết là P(B|A) Tiếp theo, thông qua việc so sánh P(B|A) với xác suất dĩ căn xa P(E) nhóm tác giả đã phát hiện ra sự khác biệt có ý nghĩa thống kế giữa P(B|A) và P(B) trong 5 cơ quan di căn (ngoại trừ so sánh giữa P(phỗi) với P(phổi|tuyễn thương thận) và giữa P(tuyến thượng thân) với

P (tuyến thượng thận|phổi)) Từ đó có thể kết luận rằng di căn xa có tính không ngẫu nhiên Các kết quả mà nghỉ cứu chỉ ra giúp phát hiện một số kiểu đi căn xa

cụ thể bệnh ung thư phối Việ tích lũy hiểu biết về các mô hình cụ thể nói trên có thể hỗ trợ một cách hữu hiệu cho các phương pháp điều trị cá nhân,

-3_ VỀ quan điểm tính đến mối quan hệ giữa Thống kê và Xác suất trong đạy

học

Trong nghiên cứu về chương trình Toán ở Pháp, ác giả Jean - Claude Girard đã chi ra rằng nội dung giảng dạy Thông kế và Xác suất từ những năm 1970 đã tính đến

mỗi liên hệ giữa chúng nhưng vẫn còn khá mờ nhạt;

Cho đến ăm 1970, việc giảng dạy Thống kê và Xác suất được dành riêng cho sinh viên có ý định học Sinh học hoặc Kinh tế, Cách tiếp cận sau đây là cách mà

"ngày nay chúng ta vẫn thấy trong giáo dục đại học: Thống kế mô tá (ở đầu tin),

xác suất (ở cuối) Mỗi liên hệ giữa Thống kê và Xác suất được thiết lập (luôn

luôn ở năm cỗi) bằng Thông kế suy luận (ước lượng, khoảng tỉ cậy)

(ean - Claude Girard, 2004, 1:84) Sau nhiề lần cải cách được thực hiện ở Pháp, Thống kê và Xúc suất được giảng dạy

tin su

tiếp cận theo một cách mới được gợi là "chủ nại Theo quan điểm mới nảy, Xác suất của một sự kiện được hiểu bằng cách quan sát sự ổn định của tần suất

nó hoàn toàn gắn liễn với quan sát Thống kẻ Ở lẫn cải cách tiếp theo, còn được gọi

là *euộc cách mạng Thống kế” (năm 2000 - 2002), luật Xác suắt được định nghĩa là phân bổ tần số lý thuyết liên quan đến việc mô hình hóa một tình huồng ngẫu nhiên,

“Chương trình cũng nói rõ *mong mui tiên kết Thông kê và Xúc suất theo quy luật

số lớn ", Nghiên cứu cũng đưa ra dự đoán rằng:

Liên kết Thống kê - Xác suất sẽ hiện diện trong suốt quá trình học tập về mô

vào năm học 2004 - 2005 tại một s

Văn Hạo chủ biên, được thí điểm wi

trường THPT Theo đó, tắc giả đã nhận định rằng nghĩa thống kê của xác suất không được chú trọng:

Các hoạt động, ví dụ, ải tập, liên quan đến định nghĩa thông ké của xác suất quá khiếm tổn tong cá hai bộ sách giáo khoa nên «nghia thực

Šm xác suất theo quan điểm thổng kế ít có khả năng hình thành nơi học sinh

(Vũ Như Thư Hương, 2005, 58)

g thời, ác giả cũng tiến hành các nghiên cứu thực nghiệm Thực nghiệm thứ nh

nhằm kiểm chứng tính xác đáng của các giả thuyết nghiên cứu, trong đó giả thuyết

thứ hai được phát biểu như sau: “#2: Phương pháp thông kê chưa thực sự được học

sinh vận đụng vào cúc tình hung” Kết quả của thực nghiệm cho phép ác giá kết luận rằng "Phương pháp thẳng kẻ chưa thực sự được học sinh vân đụng vào các tình uống mà trong dé ho can phat tim xác suất của một biến cố" Từ đỏ, cng cỗ nhận

“chương trình và trong sách giáo khoa mà tác giả chọn phân tích

s® VỀ dạy học Xác suất có điều kiệt Liên quan đến vấn để dạy học khái niệm XSCĐK, tác giá lane M Watson

(1995) đã phát triển các ví dụ để chứng minh tim quan trọng của việc giới thiệu XSCDK trong chương trình Toán Đồng thời, cho thấy những lợi ích của nó trong việc phát triển vẫn đề sử dụng ngôn ngữ vả giải thích các tình huống có điều kiện tir bên ngoài Toán học:

~ _ Câu điều kiện rit quan trong trong thành phần logie của chương trình Toán trong eude ông như kinh tổ, xã hội và cáe vẫn đề khác có tính chất suy don vi giải quyết các khả năng xây ra trong tương lại

~ XSCĐK dẫn đến sự hiểu biết trực quan hơn về tỉnh độc lập

~_ XSCĐK có mỗi liên kết chặt chế với công thức Bayes và việc sử đụng

đỗ Ven hoặc biểu đỗ cây rong các ải toán có điều kiện

(ane M Watson, 1995) Tác giả Đỗ Thị Kigu Trang (2020) da chi ra rằng mặc dù XSCPK có rất nhiều ứng dụng nhưng lại ẩn chứa nhiều sai lầm khi áp đụng vào giải quyết các vẫn để thực

tế Thông qua các ví dụ tác giả đã đưa ra những phân tích cho những sai lầm có thể

s khi nghiên cứu XSCĐK và đồ cũng là cơ sở để ác giả đưa ra nhận định “Điều này

khiến cho học tập, nghiên cứu về XSCĐK dù ở mức độ đơn giản nhất cũng gặp phải

những sai lầm nhất định” Đồng thi, thông qua thực nghiệm của mình tác giá cũng

độc lập, ngay cá đổi với sinh viên ngành sư phạm Toán (đối tượng trong thực nghiệm

của tác giả)

Tác giả Trần Minh Tuấn (2021) đã phân tích mạch kiến thức Xác suất trong CTGDPT môn Toán 2018 và chỉ ra những điểm khác biệt về khối lượng kiến thức,

số nội đụng xác suất mới được đưa vào CTGDPT môn Toán 2018 à: vận dụng sơ đồ

công thức Bayes Bên cạnh các kết quả nghiên cứu nhằm làm rõ lý thuyết các nội

ding tén, tc gid a cho thy vai rổ củ chúng tung việc dạy học xác uất và vẫn

để giải quyết các bài toán liên quan đến thực tiễn Hơn nữa, nghiên cứu còn chỉ ra 'CTGDPT môn Toán 2018

Như vậy, trong phạm vi các công trình đã tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy vấn đề:

nghiên cứu trong luận văn này không bị trùng lắp với các công tình đã thực hiện 1.13 Cau hoi nghiên cứu

Từ những kết quả nghiên cứu ban đầu như trên đã dẫn dắt chúng ôi đến các câu hỏi nghiên cứu dưới đây:

Câu hỏi Đối với việc dạy học khải niệm XSCĐK, mỗi quan hệ giữa Thông

kế và Xác suất được thể hiện như thể nào rong CTGDPT môn Toán 2018 và một số

tải liệu Toán ở nước ngoài?

“Câu hỗ Những tỉnh huồng nào có th triển khai trong dạy học XSCĐK để

giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa Thống kê và Xác st

<p ứng yêu cầu cña CTGDPT môn Toán 2018?

11.4, Phạm vilý thuyết tham chỉ

mg thời đảm bảo

kiếm câu tr lồi cho các vẫn để đặt ra như rên, chúng tôi đặt nghiền cứu

của mình rong khuôn khổ của lý thuyết Didacúe Toán Cụ th, ai lý thuyết mà chúng tôi Iya chon 18 Thuy nhận học và ý thuyết Tình huỗng:

đối tượng (r thức) Ø là tập hợp các tác động qua lại mà 6 thể duy tỉ đối với Ø

Nó cho biết Ở xuất hiện ở đầu, như thể nào, tổn gỉ ra sao, cổ vai gì rong f

lỗ chức toán học: Khái nigm 16 chike trí thức được hình thành từ giả định mà

“Thuyết nhân học thừa nhận, theo đó thì mọi ñoại động của con người đều có thể được dẫn đến

= _ thực hiện một nhiệm vụ £ thuộc một kiểu T nảo đồ,

~ _ nhờ một ki thuật ø

~ Mhuật zphải được giả thích bằng một công nghệ Ø(cho phép nghĩ, thậm chí t6 rat),

~ và đến lượt mình, công nghệ lại có thể được giải thích nhờ lý thu

"Như vậy, mọi hoại động của con người nói chung, hoạt động Toán học nói r đều có thể được mô hình hóa bằng một bộ gồm bồn thành phần không th tích rời nhau mã ta gọi đổ chức øi hức và kí hiệu lã [T//9/G)

(1ê Thị Hoài Châu, 2018, tr94)

“Tổ chức dạy học: Tổ chúc tri thức [T//0/©] được gọi là mộttổ chức dạy học nếu 7 là KNNV "nghiên cứu, truyền bá" một tác phẩm Ở đây, từ tác phẩm được hiểu theo nghĩa là câu trả lời cho một câu hỏi, và nghiên cứu một tác phẩm nại câu trả lồi cho một câu hỏi (Lê Thị Hoi Châu, 2018, 149) -# Lý thuyết tình huống

(Brousseau G., 1998, tr4, tích theo Lê Thị Hoải Châu, 2018, tr7) Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm - hai công cụ lý thuyễt được sử: cdụng để phân tích các tình huống lớp học:

‘© Phan tích tiên nghiệm là sự mô hình hoá tình huồng cụ thé đang được nghiên cứu bởi một tỉnh huồng bằng cách:

= Tìm ra những kiến thức chỉ đạo việc thực hiện các chiến lược khác nhau mồ người ta có thể dự kiến đuợc; đánh giá lợi ích cũng như

tốn kém của tùng chiến lược đó,

~_ Xác định được chiến lược tối ưu và kiến thức tương ứng với chiến

lược ấy,

~ _ Xác định những biến điểactie của tỉnh buồng do nhà nghiền cứu

xây dựng và cho phép kiểm nghiệm vai trò của biển này hay biển

kia đối với việc học của học sinh

+ Pham tich hậu nghiệm là xem xét mỗi quan hệ giữa những dữ kiện thú được trong diễn biển của một ảnh huống riêng biệt với phân tích tiền nghiệm Phân ích hậu nghiệm cho phép ta xử lí, giả thích những cái

được quan sát vả trình bày các kết quả

1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Dạy học XSCĐK ở THPT trong mỗi quan hệ với Thống kế

+ Phạm vi nghiên cứu: Tập trung vào nghiên cứu dạy học XSCĐK theo CTGDPT môn Toán 2018 ở Việt Nam,

1.3 Phuong pháp nghiên cứu

Trong quả trình thực hiện luận văn, chúng tôi kết hợp sử dụng phương pháp:

nghiên cứu lý luận và phương pháp nghiên cứu thực ti

Nghiên cứu ý luận: Trước tiên, thông qua việc lựa chọn, phân ích và tổng hợp những công tình nghiên cửu đã có để làm rõ mỗi liên hệ giữa Thống kế với Xác suất nói chung và XSCĐK nói riêng

những vấn đễ cần quan tim tong dạy học nội

hệ Xác suất — Thống kẽ Cuối cùng, chúng tôi thiết kế đồ án dạy học và sử dụng

phương pháp thực nghiệm để đánh giá đỗ án dạy học đó

Chương I:

“Trong chương này, chúng tôi trình các kết quả nghiên cứu về mỗi quan hệ giữa

“Thống kê và Xác suất gắn với vấn để dạy học khái niệm XSCĐK

Chương

Chương này là phẳn nghiên cứu chương trình, h giáo khoa, Chúng tôi sẽ chỉ ma khi tình bày nội dung Xác sut, XSCĐK

có chú trọng thể hiện mỗi quan hệ giữa Thông kê và Xác suắt không và mỗi liên hệ

đồ được thể hiện như thỂ nào

Chương II:

Trong chương cuỗi cùng nảy chúng tôi trình bay tình huỗng dạy học được thiết

i dua tn eo sở của các chương trước và sự phân tích cho các tỉnh huỗng được xây dựng

'CHƯƠNG 1 MỐI QUAN HỆ GIỮA THÓNG KÊ VÀ XÁC SUÁT

TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM XÁC SUÁT CÓ ĐIÊU KIỆN

1.1, Méi quan hệ giữa Thống kê và Xác suất

‘Thong kê và Xác suốt là hai lĩnh vực có mỗi quan hệ gắn bó với nhau: Bin về suy diễn Thông kế mà không nói dn sy iến in của hái niệm Xác suất

«quan trọng của ái kia

{DroesbekeJ- et Tass P., 1990, ích theo Lé Th Moai Chiu, 2012, 1-22)

Ví đụ sau đây là một mình họa thể hiện mỗi liên hệ giữa cỡ mẫu và xác suất trong

Hình trên cho thấy cỡ mẫu trung bình là một hầm của độ chênh lệch về xác suất thành công của mỗi phương pháp điều trị Khi độ chênh lệch này lớn hơn 5%, trung bình

“chúng ta sẽ cần khoảng 4000 quan sát trước khi dừng lại, Ngay cả khi độ chênh lệch thực sự ở chính giữa, trung bình chúng ta sẽ dùng lại sau khoảng 5000 quan sát

Ngược lạ, một thiết kế mẫu cổ định yêu cầu gn 6000 quan sắt cho cũng sai số Loại

1 và hiệu lực thống kê (Phillip 1 Good, James W Hardin, 2012, tr.42-43)

1.1.1, Thống kể toán cần thiết cho việc nghiên cứu Xác suất

“Thống kê đã đóng góp một phần to lớn trong nghiên cứu các vấn đề về xác suất,

đặc biệt là nghiên cứu khái niệm tằn suất đề ước lượng xác suất Theo cách tiếp cận

(2003) cho rằng cách tiếp cận cổ điển theo Laplace ngoài những tru điểm riêng thì

vẫn tồn ạ các hạn chế, Theo đó tính toán xác suất được đặt trung một bối cảnh lý tưởng có các xác suất ngang nhau, nó không thiết lập bắt kỳ mỗi liên hệ nào với việc

‘quan sit thực tế các hiện tượng, và có khả năng xuất hiện như một trỏ chơi phi thực

tế, khô khan đối với học sinh Cách tiếp cận này có thể cùng cổ quan niệm "đồng

nhất" đã ăn sâu vào hẳu hết các học xinh Theo đó, trong các tỉnh huỗng ngẫu nhiên, khi một số kết quả có thể xảy ra trong điều kiện hoàn toàn không chắc chắn nhất thì

ho vin coi tt ed ching đều có cùng xác suất Trong tỉnh hồng này, cách theo tin suất thực sự cần thiết trong giảng dạy về tính ngẫu nhiên Một mặt, nó mang

lại tắt cả ý nghĩa của nó cho khái niệm Xác suất (không bị giới hạn ở các xác suất bằng nhau), mặt khác nó tỉnh đến các quan niệm sai kim của học sinh Cách tiếp cận phạm vi áp dụng của nó chỉ dùng cho các phép thứ ngẫu nhiên mã tần suất của nó có

chỉ được tính sau khi thực hiện một số đủ lớn các phép thử (điều mà trong thực tế rắt

khó hoặc không thể thực hiện được) Nếu thực tiễn cho thấy khi số lượng thí nghiệm tăng lên, tn su ea biến cổ có

xu hướng ôn định, tệm cận chặt ch với một con số không đổi, thì đương nhiên người ta cho rằng con số này chí h là xác suất của biển cổ [ ] Hoàn toàn tự nhiên khi cho rằng, tối với các sự hiện không thẻ quy về một hệ thống các trường

hợp, quy luật tương tự vẫn đúng

(Ventsel 1973, tr, 24, tích theo Pazzysz B, 2003) Ngoài ra định nghĩa thống kê của xác suất theo luật số lớn của Bernoulli cũng được sử dụng để tỉnh toán xác suất tong trường hợp phép thử có vô hạn kết quả có thể xảy ra Tấc giả Lê Thị Hoài Châu (2012) tổng kết rằng:

Định nghĩa thông kẻ của xác suất có thể áp dụng cho mọi loại phép thử (không

sian mẫu là tập hợp vô hạn hay hữu hạn, các biển cổ sơ cắp đồng hay không nhiên hay xã hội, người ta thường phải tiếp cặn xác suất theo quan điểm thống

(Le Thi Moai Chiu, 2012, 1.38) 1.1.2 Lý thuyết Xác suất cần thiết cho nghiên cứu Thống kê toán

Ở chiều ngược lại, Lý thuyết Xác suắt cũng cần thiết cho Thông kế toán: “Dý thuyết Xúc suất tạo nên cơ sở lý luận cho thẳng kẻ toán ” (Lê Thị Hoài Châu, 2012), Nguyên tắc suy luận thường được áp dụng trong Thống kê là đi từ việc nghiên cứu trên mẫu đến việc đưa ra kết luận cho tổng thể, đây được xem là suy luận thiếu chắc chấn Chính Lý thuyết Xác suất đã giáp các suy luận Thống kể trở nên có cơ sở hơn,

từ đó tạo tiền đề cho sự phát triển vượt bậc các ứng dụng sâu rộng của thông kê trong

đôi sống

“Chính Lý thuy

“oi sng” các qy luật Thông kẻ, giúp ta nghiên cứu các uy luật thực nghiệm Xác suất sẽ cong cắp cho a những quy lutlý thuyết đăng để

một cách hoàn thiện hơn, âm cho Thống kẻ toán từ chỗ có tính chất mô tả đến chỗ có khả năng phân tích, ủy đoẳn cổ ơ sử khoa học vã sâu ắc" (Lê Văn Phong, 1982, ích theo Lê Thị Hoài Châu, 2012, 1.30)

“Theo bai tác giả Nguyễn Tiến Dũng và Đỗ Đức Thái (2015) thì có thể coi

ê toán học là tổng thể các phương pháp toán học, dựa trên Lý tuyết Xác

thẳng

suất và các công cụ khác, nhằm đưa ra được những thông từn mới, kết luận mới, có giả trị, nừ những bảng sổ iệu thô ban đầu, và nhằm giải quyổ: những vẫn để nào đồ nny’ sinh từ thực tẾ" Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2018) cũng nhắn mạnh rằng cả ba vind quan trọng mà Thông kê quan tâm (bao gồm bài toán chon mẫu, bãi toán tức lượng và bài toán kiểm định giả thuyết thống kê) đều cân đến Lý thuyết Xúc suất để giải quyắc Ngoài ra, xem xét mỗi liên hệ giữa các đại lượng cũng à vẫn đề mà Thống

Xác suit ~ Thing ke li mot trong những nguồn gốc dẫn đến những sai lâm Giáo dục Thông kế, ứng dụng Thông kể tong nghiễn cửu khoa họ vã bản thân Thắng kế với tư cách là một ngành khoa học đang gặp khủng hoàng Trong khoa

chưa được làm học, nguyên nhân của cuộc khủng hoàng là khả niệm xắc su

(Bais Culna.2023, 7) Boris Culina (2023) chỉ ra rằng Thống kẻ là một ngành khoa học đang tổn tại một cuộc khủng hosing mang tén "cuộc chiến Thông kể” Nguồn gốc cuộc khủng

hoảng này xuất phát từ vấn để xung đột giữa hai trường phái thống kê, suy điển tan

suất (thông kê cổ điển) và sưy điển Bayes Cơ sở lý thuyết của cuộc khủng hoảng xuất

pháttừ các cách hiểu khác nhau về khái niệm xác suất

Theo đó, xác suất dựa trên hệ tiên đề Kolmogoroy được cho là khái niệm xác

suất duy nhất có cơ sở khoa học Nó tạo thành cơ sở của thông kê cổ điển bởi các

điều kiện rõ rằng về khả năng sử dụng các mô hình xác suit )_ Điều kiện cơ bản để áp dụng các mô hình xác suất: các mô hình xác suất có thể được áp dụng cho các hiện trọng ngẫu nhiên có thể lập lạ với số lần tùy

1i) Điều kiện cơ bản để lựa chọn đúng mô bình xác suất cho một hiện tượng ngẫu hiên nhất định: xác uất của một sự kiện phải phủ hợp đủ tốt với tẫn suất tương đối của sự kiện trong một chuỗi các lân lp lại của hiện tượng ngẫu nhiên

Như vậy, các mô hình của Kolmogorov có giới hạn nghiêm ngặt đối với khả năng

ứng dụng Điễu này làm cho Thống kê cổ diễn trở thành một khoa học "cứng nhắc”

và hạn chế các ứng dụng của nó trong thực tẾ: “mẩu thuẩn giữa các đặc điểm này

của Thẳng k với như cầu, mong muẫn của xã hội hiện đại” Boris Culina dura ra vi củụiên quan đến tiêm chủng ~ một vấn đề hàng đầu trong đại dich Covid-19: d liệu

“Thống kế cho thấy xác suất một người nào đó từ vong vì iêm vắc-xin thấp hom rit nhiễu so với tử vong vì Covid-19 Chẳng hạn một khu vục có dân số 4 triệu người:

Nếu mọi người chọn không tiêm chủng thì khoảng 4.000 người sẽ chết, trong khi nếu

mọi người chọn tiêm chủng thì chỉ khoảng 4 người sẽ chế Vĩ vậy, có thể suy luận

rằng ở cấp độ xã hội thì khuyến nghị tiêm phòng là hoàn toàn đúng Nhưng ở cắp độ

cá nhân thì sao? Bởi lề một lựa chọn tốt cho xã hội chưa chắc ốt cho củ nhân Nếu chúng ta thu hep di tong din số mà cá nhân đó thuộc vào bằng cách đặt thêm các

thì xác suất sẽ thay đổi và ngày

c khỏe cụ thể,

điều kiện như độ tuổi, tỉnh trạng sứ

cảng phù hợp với cá nhân đó hơn Biển đồ sau đây cho thấy tỉ lệ phần trăm tử vong

do Covid-19 phan theo nhóm tuổi ở Croatia?

i ny dy a one en nh 0 Ce Thing A Cia a nV Tông cộng Co

Ề y lệ vong do COVID-I

until September 18, 2022

Figurel: Momality by age group

Biểu đồ thể hiện túc tính xác sắt một người nào đồ trong mỗi nhóm tuổi sẽ tử vong cho toàn xã hội Điều này mình chứng cho sự phụ thuộc của Xác suất vào các "điều

kiện đặt thêm” (hay còn gọi là thông tin bổ sung)

Các mô hình của Kolnogoroy có thể đưa ra xác suất liệu một điều gì đó sẽ xảy

ra trong một trường hợp cụ thể, chỉ khi trường hợp đó lả sự thực hiện của một hiện

tượng ngẫu nhiên được xác định rõ rằng và có thể lặp lại Nhưng ngay cả khi như

vậy, những xác suất đó cũng không có nhiều ý nghĩa Điều này tạo ra một nhu cầu

ự đưa rõ những “thông in bổ sung” âm cơ sở cho các suy luận Điều này đãlà động lực chính cho sự phát triển nhanh chóng của thông kể theo trường

phái Bayes, như một giải pháp thay thể cho Thống kê cổ điển Chúng tôi sẽ phân tích

trường phái Bayesở phần sau

Ở một khía cạnh khác, trong giảng dạy, Manfred Borovenik (2011) cho rằng

cần phải tăng cường các vai trỏ sau đây của Xác suất tong chương tình dạy học Thống kê:

+ Chi ong những trường hợp hiểm ho,

lên và cho phép đưa ra một kết luận rõ rằng mà không cần đỀ cập đến Xác su quả từ việc xử lý dữ liệu mới tự

+ Lâm rõ sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các cách tiếp cận tần suất, Bayes, toán học

và tư duy trực giác, từ đó làm cho khái niệm Xác suất trở nên linh hoạt va hiệu

quả hơn

+ Các khái niệm cơ bản về giá trị kỳ vọng, rủi ro và tính biển thiên dựa trên các

khải niệm có cơ sở của xác suất

+ Mot ki nigm han chế của xác suất số thể bỏ qua các nguồn thông in định tính có giá trị, Hơn nữa, nó cản trở các ứng dụng trong bối cảnh tí h đến độ tin y

hoặc rủi ro Đồng thời nó gây trở ngại trong việc giải thích các phương pháp thống kế suy luận

+ Lam sing tỏ XSCĐK từ các ÿ tưởng nhân quả, đây là điều kiện tiên quyết để

hiểu các khái niệm của thống kê suy luận

«_ Xác suất nâng cao vai trò của các mẫu nị vi việc khái quất hóa các phát hiện từ các mẫu cho tổng thể, Hơn nữa, các phương pháp thông kế suy luận được xen kế với XSCĐK, 113 Thống kế và Xác suất hai hh vực gắn liền với thực tiễn

'Bên cạnh liên kết không thể tách rời giữa Thống kê và Xác suất thì ta nhất thiết

phải xem xết đến mỗi liên hệ mật thiết giữa Xác suất - Thống kê và thực tế đồi sống Xác suất ~ Thống kế lành vực toán họ có mỗi liên hệchấtchếvới hực tiễn

"Nội đến Xác suất - Thông kế là nói đến thực tiễn Dạy học Xác suất - Thống kế

trước hết nhằm mang lại những kiến thức, kỹ năng cằn thiết cho hoạt động thực

tiễn của “một công dân có tỉnh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phẫn ảnh”,

(Lê Thị Hoài Châu, 2012) 1.2 Quan hệ giữa Thống kê và Xác suất trong cách tiẾp cận khái niệm

Xác suất

Trong lịch sử phát iển thi Xác suất được nhìn nhận theo nhiều ý nghĩa khác nhau mà đến ngày nay vẫn đặt ra nhiều thách thức khi nghiên cứu về nó Theo Carmen

Batanero (2014) thì ngay từ khi xuất hiện, Xác suất đã bộc lộ đặc tính kép: Một bên

“Thống kế quan tâm đến việc tìm ra các quy luật toán học khich quan đằng sau các

chuỗi kết quả được tạo ra bởi các quả trình ngẫu nhiên thông qua dữ liệu và thí

nghiệm, trong khi một bên nhận thức luận xem Xác suất như một mức độ tin cậy cá (1991, 2014) cho rằng có bổn cách tiếp cận khái niệm Xác suất phù hợp với giảng

day d6 là tiếp cận cổ điền, tiếp cận tần suất, tiếp cận chủ quan và tiếp cận cầu trúc

-+ Định nghĩa cỗ điễn của Xác suất

“Trong lịch sử, quả trình tiền triển của khái niệm Xác suất gắn liễn với các trò cách hiểu ban đầu của Xác suất được dựa trên giả định rằng các sự chơi may rồi ní

kiện cơ bản đều có cùng khả năng xảy ra (một giả định hợp lí trong các trở chơi, chẳng bạn gieo một con xúc xắc) Theo đồ, có thé hi một cích đơn giản và rực quan rằng Xác suất của một biển c chính là “ỉ số của sổ mường hợp thuận lợi với

số ất các trường hợp có thé xa ra

Đây là một cách tiếp cận iên nghiệm đỗi với Xác suất, trong đồ nó cho phép

tính toán các Xác suất trước khi các thí nghiệm ngẫu nhiên được thực hiện Tuy nhiên

cách tiếp cận trên có hạn chế là chỉ áp dụng được cho các phép thử có không gian mẫu hữu hạn gồm các biến cổ sơ ấp đồng khả năng xuất hiện

-*ˆ Định nghĩa thống kê của Xác suất

“Trong nỗ lực mở rộng phạm vỉ của khái niệm Xác suất cho các vẫn đ liên quan

đến thực tế cuộc sống (trường hợp điều kiện đồng khá năng xuất hiện của các biển cổ

sơ cấp thường không được dâm bảo), nhà Toán học người Thụy Sĩ Jacob Bemoulli

(1654 - 1705) xác định xác suất của một sự kiện thông qua một ước lượng tan sui

suất

“Chính Bemonli là người đầu tiên phát hiện ra tính ôn định thống kể của dãy

va Poisson ~ nhà Toán học người Pháp ~ là người đầu tiên gọi quy luật ôn định của suất là Luật số lớn

XXết các phép thử ngẫu nhiên mà ta có thể lặp lại nhiều lần, các kết quả của phép

thử sau không phụ thuộc vào kết quả của phép thử trước Gọi €2 là không gian các

biển c sơ cấp của phép thứ và biển cổ có thể quan sát được Ac?2(©) với P(O)

ần biến có Á

Ia ip tit ca eae tip con eta © Goi ở là số lần thứ và K, (4) Xây ra trong phép thi

Tà tần suất của biến cổ 4 trong ú phép thử

nghĩa này trừng với P() trong định nghĩa cổ điển của xác suất Chính vì vậy, định

nghĩa thông kê của xác suất là một mở rộng thực sự của định nghĩa cỏ điển

-# Định nghĩa hình học của Xác suất

Khi số phẫn từ của không gian miu © la v6 hạn, ta không tính Xác suất của

“Theo cách tiếp cận tiên đề thì khái niệm Xác suất được định nghĩa như "mới đội

do khang dm bị chặn được xác định trên một tập hợp tru tượng mô hình hoá các Kế cewe có thể của mội phép thử ngẫu nhiên ” và thỏa mãn một hệ tiên đề,

"Tôm lạ, trong bốn cách tiếp cận khái niệm Xác suất nêu trên thì chỉ có tiếp cận theo Laplace va tigp cận thông kê là phủ hợp với dạy học Toán cho học sinh THPT

rõ mỗi quan hệ giữa Thống kế và Xác Đặc biệt cách ếp cận thống kế cho phép tl

13.1 Tổng quan về Xác suất có điều kiện

'# Khái niệm Xác suất có điều kiện

XSCDK là một đại lượng biểu thị khả năng xuất hiện của một biến cổ A khi đã

có một biến cố # xuất hiện với một xác suất nào đó

“Theo tác giả Nguyễn Bác Văn (1996) thì phép thử ngẫu nhiên được hiểu lä việc

thực biện một nhóm các điều kiện A” nào đó dẫn đến việc xảy ra hay không của các

số A trong một phếp thử ngẫu nhiên là một

biến có, Do đó, xác suất P(A) của bí

số được qui định bởi nhóm các điều kiện ÀV Nếu thay đổi nhóm điều kiện này, thì P(A) nói chung sẽ thay đồi

lêukhiiến hành phép thử ngẫu nhiên, thêm điều kiện mới là biển cổ Z đã xây

ra (P(B) > 0), tức là ta đã thay thí nghiệm ngẫu nhiên cũ bằng thí nghiệm ngẫu nhiên

mới được xác định bởi nhóm điều kiện ( A/;B) Xác suất của biển cổ 4 trong phép

thử mới này là xác suất của biển c6 giao AM B vai chú ý # là biến cổ chắc chan

Kihiệu P(AI B) là xác suất của biến cố A trong thí nghiệm ngẫu nhiên (AV;B) (thêm giả thiết "8 phải xây ra" vào nhóm điều kiện A/),ta gọi P(A18) là xác suất

của biển cố A với điều kiện 8

Như vậy, nếu cho trước bai biển cố A và Z với P() > 0 thì xác suất của biến

cố A tính trong điều kiện biến cố # đã xảy ra được gọi là XSCDK của biến cố 4 với điều kiện 8, ký hiệu là P(A1Ø),

-+ Định nghĩa Xác suất có điều kiệ

Giả sử (trong một không gian xác suất nào đó) điều kiện # có xác suất khác

khong, P(B) > 0, thì xác suất của sự kiện 4 dưới điều kiện 8, ký hiệu là P(AI B)

được định nghĩa như sau:

P(AnB)

PAI8)=

Một hệ quả trực tiếp của định nghĩa trên chính là công thức tích sau đây:

P(AMB)= P(Al B).P(B) = P(B| A).P(A) nêu P(A).P(B) #0

(Nguyễn Tiền Dũng, Đỗ Đức Thái, 2015, tr43)

“Theo hai ác giả Nguyễn Tiến Dũng và Đỗ Đức Thái (2015) ta có thể giãi thích

Ý nga Tiết lý và Toán học của định nghĩa X§CĐK như sau: Trước hết, biến cổ A

cùng với điều kiện # chính là biển

AB Giả sử Ø là không gian ắc suất ban lao "cả A và # cùng xây ra", túc là biến cỗ u, khi đó ta có thể xem A và 8 là các

ra bởi độ đo xác suất P ban đầu, theo nguyên tắc "bình quân"

“# Sự độc lập của hai biến cố

Hải biến cố A va B được gợi là độc lập với nhau nếu vige xiy ra hay không xảy rũ của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cổ kia Nồi cách Khác, xác suất xảy ra của biến cố A với điều kiện B không khác gì xác suất của .A khi không nh đến điều kiện Ø Nếu như hai biến cổ không độc lập với nhan, thì

người ta nói là chúng phụ thuộc vào nhau

"Định nghĩ ên A được gọi là độc lập với sự én Ø nếu như: P(A)= P(AIB)= P(A8)/P(B) hay viết cách khác:

P(ANB)=P(A).P(B)

(Nguyễn Tiến Dũng, Đỗ Đức Thái, 2015, tr.46)

“Công thức trên tương đương với P(A)= P(ALB) (A độc lập với 8) nếu P(B) >0

và tương đương với P(B) = P(BI A) ( độc lập với A) nếu P(A) >0 Do đó, quan

hệ độc lập của bai biển cổ là một quan hệ đối xứng Như vậy, tính độc lập hay phụ thuộc của hai biển cổ có thể xác định thông qua XSCDK

Khải niệm độc lập cổ ý nghĩa to lớn đổi với cả thục iễn vàlý thuyết Xác suất trong Lý thuyết Xác suất

(A Kolmogorov, 1956, theo Terence L Fine, 1973, 11.32)

Tính độc lập đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển mô hình cho thi

nghiệm ngẫu nhiên lặp di lặp lạ Luật (yếu) số lớn - đã dược chứng minh bởi

Bemoulli — với gid định ngằm định về một thí nghiệm nhị phân lặp lại độc lập

-% Công thức Xác suất toàn phần và công thức Bayes

Công thức Xác suất toàn phần

Gi sử (B; :8,} Tà hệ đầy đủ các biến cổ với P(,)>0YÉ Khi đó với

biển cố A bất kỳ ta có:

P()=Š)P(8)P(AI ,)

(Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, 2016, tr.25)

“Công thức này được gọi là công thức Xác suất toàn phần (hay công thức Xác suất đầy

đủ) Nó cung cấp một công thức hữu hiệu để tính Xác suất của một biển cố A nào đó

khi biết các xác suất P(B,) của một hệ đầy dù {B¿:B,: :,} và các XSCĐK:

P(AI5),

“Ta xét một trường hợp riêng của công thức trên với hai biển cố A, 8 với hệ đầy:

đủ {8:B) Khi đó sức mất của biến cổ A có hệ nh theo công thức

P(A)= P(AIB).P(B) + P(AIB) PCB),

nghiệm Như vậy công thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xây ra của các biển

sỗ B, sau khi đã có thêm thông in về biến cổ 4

XXết dạng đơn giản của công thức trên với hai biển cổ 4 và bắt kỳ có xác

thể chẳnh lch nhan rt nhiễo, nếu nh P(A) và (8) chnh lệch nhat ít nhiều!

(Nguyễn Tiến Dũng, Đỗ Đức Thái, 2015, tr.50, 51) Ngày nay, suy luận theo trường phái Bayes đựa vào định lý Bayes đã trở thánh:

một công cụ đắc lực cho con người trong thực tế cuộc sống phương pháp Bayes trong

phân tích dữ liệu cảng ngày được sử dụng rộng rãi và đã đạt được nhiều thành tựu

‘quan trong trong nghiên cứu khoa học "gây nay, phương pháp Bayes được ứng dụng rong hẳu tt ca nh vực khoa học, kể củ rong công nghệ thông ún (ứng dung Bayes tung việc ngin chin những thư ác điện) iên lượng kinh t, phân ích các mỗi quan hệ xã hội, và 'Bayes được nhắc đến trên báo chí đại chúng chứ không chí trong báo khoa học

(Nguyễn Văn Tuần, 2011, 30)

-# Các quan điểm khác nhau về khái niệm Xác suất có điều kiện Mặc đủ hai khái niệm XSCĐK và tính độc lập của ha biển cổ đã được định nghĩa một cách trực quan nhưng theo Carmen Díaz (2010) thì hai khái niệm trên lại được hiểu theo nhiều cách khác nhau và vẫn đề hiểu rõ chúng là rất cằn thiết, nhất là

và Xác suất Tư duy ngẫu nhiên đòi hỏi một tư duy nâng cao để hiểu được những ý'

tưởng sâu sắc dựa trên tính ngẫu nhiên và tính độc lập của nó, mà những ý tưởng này lại có liên quan mật thiết đến XSCDK và tỉnh độc lập

Heitele (1975) đã kê XSCDK và tính độc lập vào danh sich các ý tướng ngẫu nhiên nền tảng giúp Lý thuyết Xác suất phát tiễn trong suốt tiến tình lịch sử Ngoài ra, ở khía cạnh giảng day thi Manfred Borovenik (2012) đánh giá XSCĐK là một trong những khái niệm ct lõi của xác suất Borovenik cho rằng để trả lời cho

câu hỏi thể nào là tính ngẫu nhiên thì việc trước tiên chính lả cần xác định xem xác

suất được hiểu theo quan điễm nào: quan diễm chủ quan hay quan điễm khách quan

Mã trong đó XSCDK là một khái niệm then chốt, cùng song hành là tính độc lập và công thức Bayes đồng vai tỏ quan trọng cho Lý thuyết Xác suất theo quan điểm chủ quan,

Chúng ta biết rằng, khả năng xây ra kết quả nào của một phép thử ngẫu nhỉ

là không thể đoán trước được Tuy nhiên, bằng trực

ring những biển cổ ngẫu nhiên khác nhau có xác suất xảy ra khác nhau Hơn nữa, ic ta phin nào có thể phán đoán trong trường hợp ta xét các phép thử ngẫu nhiên có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong

những điều kiện như nhau, thì tính ngẫu nhiên của một biến có mắt dần đi và xác suất

xây ra của nó tuân theo những quy luật nhất định Trong trường hợp như vậy, tần suất

tương đối là một biển ngẫu nhiên “hội tụ” với một xác suất cơ bản Từ đó, ta có thể

“của một biển cố nào đó đđo lường được khả năng khách quan xi

Đối với quan điểm khách quan thì xác suất được tách ra khỏi các phán đoán của

người quan sát, nó là một thuộc tính vốn có của một đối tượng, giống như một thuộc

tính vật lý của nó vậy

“Xác suất của một biển cổ là một con số đc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện một biển cổ nào đồ khi thực hiện phép th

Tà chú ý tắng, đây là khả năng khách quan, do những điỀu kiện xây ra của phép

thử quy định chứ không tùy thuộc vào ý muốn chủ quan của con người

"Như vậy, bản chất ác suất cũa một biển cổ là một con số xác định

(Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, 2004, t.11)

rằng xác suất được biểu thị bởi một số thực (tử:

“Cụ thể hơn, lácob Bemoul phát

0 đến 1), đây có thể được coi ã cột mốc quan trọng ong sự xuất hiện của khái niệm Xác suất Biến cỗ nào được có là cảng đễ xây ra th có ắc suất cảng lớn (cảng gần 1) và ngược hi nếu cảng khó xây a thì ác suất cảng nh (cing gin 0) Đối với mộtsự kiện E có xác suất dương (ngha là P(E) >0), XSCĐK của bắt

kỳ sự kiện (có thể xảy ra) nảo trong không gian mẫu được tỉnh bởi công thức:

PANE)

P(A)= PaI 6< PA a PCE)

Ham P, xéc dinh nur trén ld mgt x6 suit (tha man he tién d Kolmogorov)

Trường hợp đặc biệt khi X§CĐK và Xác suất không điều kiện bằng nhau, nghĩa P,(A)= P(A) thì biến cố A được gọi là độc lập với E

Tính độc lập là giả định chính của các định lý quan trọng như luật số lớn hoặc

định lý giới hạn trung tâm (sự hội tụ của các tổng chuẩn hóa của các biển ngẫu nhiên

theo phân phối chuẩn) Đồng thời, một nền tảng Toán học như vậy giúp loại bỏ các

cam bẫy gây ra bối trực giác (XSCĐK và tính độc lập luôn được cho rằng ẩn chứa nhiều sai lằm) Trong các ỉnh huồng thục tế cần ấp dụng Xác suất dủ tỉnh độc lập chỉ đơn giản là được “giải thích” bằng việc hoàn toàn không có ảnh hưởng của yêu tổ nhân quả Cách tiếp cận này được xem xét ính đúng đắn bằng khả năng áp dụng kiểm

ệu tính đội

trà thống kê để xem lập có phù hợp với tỉnh hung cụ thể hay không (cách tiếp bận này vốn côn nhiỀ tanh i),

b) Quan điểm chủ quan

Theo quan điểm chủ quan, xác suất được định nghĩa như sự đánh giá chủ quan sìa một cổ nhân nào đồ vỀ hả năng xây ra của biễn cổ Trong một nghiên cứu cổ

«quan, Emile Bore (1991) đã đưa rà nhận định

"Để hiểu một số lỗi mắc phải trong các ứng dụng hông chính xác của lý thuyết

“Xác suất chúng ta nên nhắn mạnh một cảch ngẫn gọn vào đặc tính chủ quan của thức nhất định và do đó không nhất thiết phải giống nhau đối với người

Bên cạnh đó, Borovcnik (2012) đã xác định: Xác suất thể hiện mức độ tin cấy của

này có thể dựa trên nhiều loại thông tin khác nhau như: thông tin thu được tử tần suất

tương đổi của các thí nghiệm có liên quan trong quả khứ, thông tin từ kiến thức

chuyên môn của người quan sát hoặc có thể xuất phát từ kỳ vọng cá nhân Do vậy,

xác suất theo quan điểm chủ quan của các cá nhân khác nhau đối vớ cùng một hiện

tượng có thể khác biệt rất nhiều (bởi vậy, xác suất theo quan điểm này còn được gọi

xác suất cá nhân)

Một trong những nguyên nhân của các cuộc trình cãi giữa những người theo quan điểm chủ quan và khách quan xuất phát từ sự khác biệt trong cơ sở xác suất

“Theo quan diém chủ quan thì ngoài tin suit tương đối, việc phán đoán khả năng xây

ra của các sự kiện còn phụ thuộc vào các thành phần khác Những người theo quan

điểm khách quan bác bô quan đểm chủ quan vì cho rằng quan điểm chủ quan không

đảm bảo các yêu cầu quan trọng của chủ nghĩa kinh nghiệm khoa học, điều này xuất

phát từ

ve họ cho rằng khái niệm Xác suất được xác định theo quan điểm chủ quan

là có thể dẫn đến nhiều sai im (do tính chủ quan) và hơn nữa nó không có sự kiểm soit thye nghiệm bởi các thí nghiệm ngẫu nhiên Những người theo quan điểm chủ

«quan bảo vệ trường phái xác suất của mình bằng cách đưa ra ác lập luận sau:

i, Đối với các phép thử ngẫu nhiên có đủ dữ liệu thực nghiệm, quan điểm chủ quan đi đến kết luận tương tự như quan điểm khách quan:

ii Ly thuyét cia De Finetti tương đồng với lý thuyết cha Kolmogorov;

di Bất kỹ phân đoán nào cũng có thể được cải thiện khi những thông tin được bổ sung thêm và do đồ xác suất sẽ có nhiều căn cứ xác định hơn trong quá tình thực hiện

Chính v việc đánh giá xác suất bị ảnh hướng bởi sự chủ quan, nên đổi với quan

điểm chủ quan thì việc tích hợp kiến thức (thông tin) mới đẻ hình thành phán đoán

xác suất mới tốt hơn (cập nhật hơn) trở nên rất quan trọng Công thie Bayes dim bảo cho việc cập nhật thông in mới này vì nó cũng được trình bày dưới dạng cho phép

“Trong khi định nghĩa cổ điển và định nghĩa tần suất cho rằng xác suất là một

giá ị khách quan mà a gần cho một sựkiện tì sự xuất hiện của công thức Bayes lại đặt ra nhiều câu hỏi hóc ba cho việc sử dụng trực giác trong phân đoán cắc xác suất

Phải kế đến chính lả tuyên bổ của De Finetti (1974) “xác suất không tẫn tại" và "giả

đình một sự tồn tại khách quan sẽ là một quan niệm sai lần và nghp hiểm

Dựa trên những phân tích của mình, Borovnik (2012) cho rằng trong khi quan

điểm khách quan có những lỗ hổng trong nn tăng của Thống kê suy luận thì lý thuyết

iúp của định lý Bayes Trong cuộc trnh cãi về cơ sở này, quan niệm khích quan duce ủng hộ để tránh bắt kỳ ý nghĩa chủ quan nào của Xác suit (Stegmiilar, 1973

hoặc Hacking, 1975; 1990)

.+ Những sai tim thường gặp

Như đã đề cập, Xác suất có phạm vi ứng dụng sâu rộng trong khoa học tự nhiên,

khoa học xã hội, kit, ky thuật, y sinh hoo, Tay nhiên, vẫn đ học tập và nghiên xxếtrằng suy luận xác suất khác với suy luận logic và suy luận nhân quả, do đồ các kết quả phân trực giác trong xác suất được tìm thấy ngay cả ở cấp độ i sơ đẳng,

Điều này trái ngược với các ngành Toán học khác, noi chỉ bắt gặp các kết quả phản

trực giác khi làm vig ở mức độ trữu lượng cao Thực tế này gii thích sự tên tại của những trự giác sai lầm và những khó khăn trong học ập vẫn tồn tại ở cấp trung học

Green, 1998)

biệt, XSCĐK được xem như là khái niệm cơ bản của Lý thuyết Xá

cụ thể De Eineti (1990) đã nồi rằng “mọi dự đoán và đặc biệt là mọi đánh giá vẻ Xác cđược đề cập mã côn dựa trên trang thái thông tin mã họ tích lầy được tại thời điểm ngẫm ẳn đẳng sau Chẳng hạn, việc cho rằng xác suất xuất hiện mặt ngửa khỉ tung

một đồng bằng, ‡ tưởng chimg như vô điều kiện, tuy nhiên xác suất này có thể coi là

có điều kiện dựa trên các giả định ngầm về đồng xu, hành động tung, môi trường tức

thời, Như vậy, mọi xác suất đều có thể coi là XSCĐK Mặc dù vậy, XSCDK và (1975) cũng chỉ ra thực rằng những khải niệm cơ bản này thường đi kẻm với những

“quan niệm sai lầm

“Có những ý trởng nên lắng, cong như số những si Kim nên tảng và cả hai động qua lạ lỗ nhau Những sim như vậ nỗi lên quanhiề thể ký, thời đạ,

ce adn văn hóa và cổ th à tiêu chí cho những gì thực sự nn tảng Đồng quan diém véi Heitele, Feller (1968) cdg cho ring:

XXSCĐK là một công cụ cơ bản của Lý thuyết Xác suit va hfe kong may 1 in thiậc

Trong phần mở đầu, chúng tôi đãđiểm qua một số sai lằm thường gặp trong học tập,

nghiên cứu về XSCDK và tính độc lập Sau đây, chúng tôi trình bày các phân tích

của mình nhằm làm rõ các sai ằm trên

*_ Sailẫm liên quan đến Xác suất có điều kiện

« - Nhằm lẫn giữa các loại biến cổ

Một sai lầm thường mắc phải khi tiếp cận XSCĐK chính là nhằm lẫn giữa các xác suất P(A1) và P(BIA) lesiea S Ancker(2006) đã đưa ra vỉ đụ như sau: xác suất bệnh nhân mắc bệnh với điều kiện xét nghiệm đã cho kết quả là đương tính được

h với điều kiện bệnh nhân

cho là giống như xác suất xét nghiệm cho kết quả đương

đã mắc bệnh Một sai lầm phổ in khác lã không nhận ra sự khác biệt giữa P(A1)

va P(A), ví dụ như xác suất mắc bệnh khi có kết quả xét nghiệm dương tỉnh được cho là giống như xác suất mắc bệnh (tỷ lệ mắc bệnh)

"Những sai lim nay xuất phát từ cũng một vấn đ cơ bản, đồ chính à việc không nhận ra sự thay đổi của của không gian mẫu hoặc mẫu số của tính toán tằn số, Các