Cấu trúc bóng các tập hợp trong poset các tập con hữu hạn của tập số tự nhiên

Bo Gido due waldo \ Trường Đại hạc ae phạm TpHCM Báo cáo để tài khoa học cấp cơ sổ: CẤU TRÚC BÓNG CÁC TẬP HỢP TRONG POS!. -Cứu Khoa Hạc Cấp Trường: *CẤU TRÚC BÓNG CÁC TẬP HỢP TRONG P

Bo Gido due waldo

\ Trường Đại hạc ae phạm TpHCM

Báo cáo để tài khoa học cấp cơ sổ:

CẤU TRÚC BÓNG CÁC TẬP HỢP TRONG POS! TẬP CON HỮU HẠN CỦA TẬP SỐ TỰ NHIÊN

Maso:

1004.23.58

“Chủ nhiệm để tài: TS Trần Huyền Don vi: Khoa Tóấn ~ Tin học

Tp.HCM 2005

-Cứu Khoa Hạc Cấp Trường:

*CẤU TRÚC BÓNG CÁC TẬP HỢP TRONG POSET CÁC TẬP CON HỮU HẠN CỦA TẬP SỐ TỰ NHIÊN”

Ma sd: CS 2004.23.58

‘Chi nbigm dé tai: TS Tran Huyén

Đơn vị: Khoa Toán - Tin hoc DH Su pham Tp Hé Chi Minh

Khái niệm bảng của một tập con của tập n phẩn tử được đưa ca và sử dụng có hiệu qua Hin đầu tiền bởi nhà toán học Sperner vào năm 198, khi

bài toán ước lượng độ lớa cho các hệ andchain tập con của ES hạn gồm n pin tử

én mdi tap con A = S chính là số phẩn tử cũa A; tức r (A)= 4] Như moi poset có hang khác P(S) được phân hoạch thành các mức P, gồm các thành viên có hạng chung k Vay trong P(S) mức P, được xác định là

es:ial=k}

tức P, gổm tất cả các tập con của S mà mỗi tập chứa đúng k phin tử Nếu A ©P, bồng của À được xác định là tập con AA c Py; như sau:

A eAsao cho BEA

da tap con Ac P, gdm tất cả các tập con B có được

bằng cách bỏ đi một phẩn tử nào đó trong một tập con Á «^ Sóng của tập hợp đã được Sperner sử dụng như một kĩ

á thành công cần trên cho độ lớn các antichain, càng về sau ứng dụng trong lý thuyết conbinatorics Đặc biệt năm

Tea liên quan 163 vi cùng lực lượng trong mi mite

Hiển nhiên là các định nghĩa và các kếi quả trên cĩ thể chuyển đổi một

ho poset P; (N) các tấp con hữu hạu của tập số tư nhiên

“Tiếp tục hưởng nghiên cứu những vấn để về bĩng của sắc poset P(S) hay Pr(N) để tài của chúng tơi đặt vấn để xem xét c sĩng của các đoạn trong các poset đĩ Câu hỏi chính yếu của chúng tơi là: điều kiên cẩn và đủ cho các đoạn trang mức Py để bĩng của đoan trong mức P,

Như trong mọi tip sắp tuyên tính khát niệm doan với các đầu mút A.B

& P, theo thứ tự nền eng định như sau

LA:BỊ={C <4: A <, Csị BỊ

ề u trả i cho vấn để đặt ra ở trêu cho doận (A:B] với A =

tơi thực hiện sự so sinh các

3/m = mẹ

mẹ mg +

et

Lân lướt xo từng khả năng, chúng tơi đã thu được các kết quả khá thứ

vị

"Với trường hợp cÝ khi mạ > nạ + 1, la luơn luơn cĩ được bĩng của đoạn

IA:BJ= P, là một đoạn, hơn nữa là một đoạn đầu trong P, với mút phải là

Myon JE Per

Voi trường hợp af khi mạ = nụ = M, thì bĩng cũa đoạn [A:B] là đoạn trong P , khi và chi khi m, = M-k+l đồng thời mụ., < M-I hoặc nụ; = k-2 'Với trường bgp bf khi m, =m +1 = Mél, ta chia ra 2 trường hợp nhỏ:

> Hoặc 18 m, = M-k+2, khi đĩ bĩng của đoạn [A:B] luơn luơn là một

> Hoặc là m, < M-k+2, khi đĩ ất tổn tại số nguyên đương s = min [t: mụ + SM+J và ta cĩ bĩng của đoạn [A:BJ là đoạn khi và chỉ khi hộc n , <

đây A'= (mu, 0,) và B`= ( M ) € Phy Cdn @ I n định vị

tử trong thứ tự nén cĩ cơng thức sau:

4-1

CẮM)

đước dat ra và cũng chính là mục tiếu cơ bản của để tài Các chứng minh chỉ tiết được ~ Some problems on the shadow of Segments in finite booleun ring”, ma chúng tôi có địp báo cáo trong hội nghị

sô — Hình học toàn quốc tổ chức tại Thành phổ HCM

ngữ tương đương với ngôn ngữ mà chúng ta dùng trong các poset P(S) hay

P,CX) bởi các poset này có cấu trúc vành Bull và các kết qua ma chúng ta

sử dụng hay nghiên cứu thực chất liên quan tới chỉ cấu trúc vành Buil Như vậy, với tất cả các kết quả đã đại được trong quá trình nghiên cứu tối xem như đã hoàn thành được mục tiêu chinh của để tài g a tron ven bài toán điều kiện cẩn và đủ để bóng của đoạn trong Py là đoạn

ư poser các veotơ Bull hay poset các tập nhân và là những để tài có thể

Kèm theo báo cáo tổng kết này là bản sao bài báo mà chúng tôi có địp đọc trong hôi nghĩ 11/2005 xem như ết các kết quả thực hiện dược trong nghiên cứu để tài

báo cáo chỉ

Tp.HCM, aye tháng 11 năm 2095

nhiệm dé

aw >

TS Trần Huyền

BOOLI An RINGS NHUYÊN, 1

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

AMSTRACT be CS 1<kkY 2/0182 801 le4iK9 se (A000v de: ky, i pare ok fox

1 INTRODUCTION

Consider a finite Boolean ring: Beny={x=A,X3.0.%_ x, €{0,1}) with natural order Sy defined by xSy y > xy= x Por cael weight of x 19 defined to be: WOO = x, +a)

members x; #0 Let B(n.k) be the subset containing all the elements x Ben)

satish We defined a linear order S, on B(n,k) by following relation For each pair

of elements X,¥ €B(n), where X24) of YEP |My XS), ¥ ifand only if there exists an index t such that x, Sy,and x; = y, whenever i > t That linear order X= Xk, @Bin.k) can be represented by sequence of all indexs ty < <M such that x, =1 Thus we can identify the element x with its corresponding

i) Using this identify, mg) =¥ whenever there is an int

sequence and write x =Úm,

X= (My oot) Sy, Om,

1, <m, and n, =m,

xt such that

(Note that @) whenever m <1) We remark that @ is the one-one respon

BeBiak:

Now suppose a Bin,k) with k >I, the shadow of element ais defined to be Aa= (xe Bink=l):0<y a)

I ACBink), the shadow of A is the union of all Aa, acd ke

MA = {xe B(n.k=1): Sy a for some a€ A} Thus the shadow of A contain all the elements x €Bin,k-1) which can be obtained hy removing an index from a elerlent (m h,)in A:The conception at shadow was used efferiency by

‘many mathematicians as: Sperner, Kruskal, Katona, Clement

We shall study here the shadow of segments in Bink) and make some ordered set, for every pair of elements a,b €B(n.k), the segment (a.b] is defined tobe:

wecTrerefore gA)= 9B) <> A=B for every subsets A,

lahl=| ze Bứn,k):a Sự xS, b]

Wowever, ÍL a=(1,2 k)€ Bínk) is the first element in the antilexicographic orlerins the segment [a,b] is called an initial segment and denoted by [S(b) sơ IStbìeIxe Bứn,k): x <, bJ We remind here a very useful result, proof of

‘which had been given by Kruskal earlier (1963), We state this as a lemma Lemmat Let b=( mis ) €Bin,k) with k >1 then ALS(b) = 1S(b’),

This result is a spevial ease of more general results and our aim in the next section will state and prove those,

Suppose that (7h y.uyMtg) and b=CM, 7M) €B(n.K) be given, Comparing two indexs 1 , mg, itis possible to arise three following cases: fa) m, =m

ob) my =n, H1=M +1

fel my > nyt

We shall look for each case and find oul, which is necessary and sufficient

‘condition for that the shadow of a segment Was a segment

2 MAIN RESUL

Before the main result of this section, We need some prove some lemmas First of all, we establish following lemma as an application of the formula (*) at function Ø

1, } D=UM, ose ) € Bín,kì be giyen satisfying

lý €H: and let M be a number such that mm, <M <n, Define

mM ) €B(n,k+1) Then we have:

© €lab]} and [a St: zelxyl} here we denote x= a+M and a= x-M )

Proof Follow the formula (*) atthe function @, for any € a,b] we have :

gic +My «e-(# Fi) terete

ødc+M seeteID=tøeo~[fkas+(#Ìì

sox.) = olay)

So Ixl=le+M:celabl)

By sin Smiar ngament for remain eis, We Bish he pong te c

Am immediate consequence of this lemma is the following lemma Lemma3: Let ma b €B(n.k) be clements such that am(1 Kel, M) and

—" M) €B(nk-1)

Proof Choose g=(l k-L); d=(M-kFl M-1) in Bín k-l) then ít fllows from Jemma? that

A=[EM :x€la.bl)= lgdl=IS(d)

Rờmenrdteriu hang from the lemmal that

= AIS(d) = IS(e-M)

#ãSESSUIE3n)nED SE2/H28.LEEISDMTV © AA} We have thea obtained B=[heJ, where h=(1, k-2, M) Note that Ø(đ) + Ì= Ø(ñ) so A and B are two consecutive segments, therefore their union: Aazh] = AUB = IS(d) (€) is an initial segment The proof is

We now give some useful consequences of this lemma,

M,M +1) be clemenis Af+)e Bín,k =1)

1 | | Follow the

fe Ald:b]~ 1S(c) with ¢ = M-k+3, M, Mel) €Bia,k-1) However we also have: [2,6] <£S(b) so Ala;b] c AIS(b) = £S(c) na Ald:b]= 1S(c) as required

Corollary 5 Let a: cl Mo}; aC My oy M+) be elements in

lẽ In the proof of this resulc we denote: h€( M-k+l, M }

AM), BEC ye oocK-2, MAD, € SCM yess My vs Une tên follow the lemma3, we have: Ala;/t}=/S(d) < Ala;b] Obviously, we also

bave [xe] © Afa:b) Therefore, Ala;b] = (1S(d)U[g5e]) = 1S(c) and as in

above proof it follows that Ala:b]=1S(c) 1 Corollary 6 Let a=n, v„) be(m, my) €B(mk) bể given such that, > ny +1 then Afa;b] = IS(c) where © =( 1) € Bin,k1) Proof Since mt, >, +1, there must be a number M such that

m, -1=M 2m, +1, Choose d=(1, ,k-1, M ) €B(n,k), we therefore have

Id:b] <[a:b] Note that the segment

now

Certaintly, the last corollary is a solution for our key questions, in the case (b) have:

‘Theorem 7 Let a.b €B(n.k) be elements such that a~( 1,

eC vy, M thers Ala.b] is a segment if and only if m, together 1, 4 <M = or iy

Proof Take ¢ =i-M: dab- MeB(o.k-1) then

Ala;b]=[c:đ]¿x

‘Suppose that Á[đ;b] is a segment then there must have g=(! k-L) € A[c;đ] and g{4)+ Ì =Ø(g + M) Therefare d=(M-k*l, M-I) Le m,=M-k+1 Inthe case n,_, = M=1, since ¢M e Nab] so b=(I k-2, Mel, M) efa.b) Therefore h2 a But m_, = M—1 then

32M, roe My gM =1,M) 2 Csnogk =2,M ~1,M)= he

Thus ash ie my 2 =k-2

Conversely, suppose that a=(l ke2,M-I, M ) and b =( Mek+l y

£ B(n,k) We shall prove that Afa;b] is a segment Apply the lemma 3 to segmenl [a-M: b-M], we obtain

Ala- Af:b - MỊ= IS(c) where ¢ =( M-k+2,

We now have Afa;b] [;b— M]<2{x M : x€ IS(€))is the union of

(wWO coasecuive segmenls, therefoe is a segment In the case, where tr.) < Äf =1 Apply the corollary 4 ( f mụ_, = M—2 ) or the corollary 6 (if

tạ ị < Âf—2) to the segment [a-M: bM] we obtain Ala ]=IS() for some c eBín, k-3) Thus Ala;b]=[a~Msb~M|U(x~M sx 1S(c)}

as above is the union of two consecutive segments, therefore is a segment = ablties for index m,: m,=M—k+2 and m, <M—k+2 The answer for the first of these is the corollary 4; so here we need only give the proof for the vec

Detine the number s as follows:

We close this section with the following theorem:

Theorem 8 Let (2, 9M My BEC, nny 4 M +1) EB(O,K) satisfying m, SM —K+1 then we have:

(a) In the case that my <M—s+1, Afab] isa segment (by In the case that m_,,;=M—s+1, Ala:b] is a segment if und only if

Ob )+12 Q(a')togetber mp <M—S oF mg) =k-S—1 where

vn _,),b'=Om, P,., )€Bín k-s)

Proof Choose h=(M-k+l, , M-1); c =a-M: deb-(M+]) €Hín, k-1) and đefine

set Xety4(M#

inee [atbÌ= +M] ©J(x +(M +1): x € 1S(d)) Therefore, « AIS(4)] IS(d) 0 Na,h+ MX Note that two members IS(d) and X of this

union are segments and g(max Afa,h~ M1) + L= ø(min X) so Afa;b]is a segment if and only if the union IS(d) UAla;h~ M] is a scement

In the case that nụ „_; < Äể =3 £ 1, there must be g=(1 k-a, MestlL, Bin.) such that ge fa; h+M]

Denote g'=(loak-s, Ms+1) and h’=(M-K+L Mos, Most) €B(o, k-st)

‘ollow lemma ¥ we obtain Alg'sh'] is a initial segment Therefore set Y delined by Y=[2+ (M-s42, M):7€ Alg'vA'] J is a segment in Bon, Kel) Lix

that IS(d) OX = IS(d)LY Therefore,

ISW@)UY is a segment It is cl

1S(d)OX is a segment as required

Inthe case my ,.y = M—s-+1., we consider first s =1 Since my_) SM =I,

d=b(M+l) SA in Bin, k-1) Note that

Alash+Af]= [c:h]<2{s+ Af : ze A[c;h]] therefore 1S(4)<⁄ A[ah + AM]

isa segment if and only if Ø(đ) ~ Ï > Ø(€) together A[đ;ft 1 ƒ] is a segment

Follow the theorem

is equavaleat to that my_; <M 1 o¢

my 2 ~K~2 are required

Next, suppose s >t with 1,_,.;=M—s=1 then

7h, and h'=( M-k+l , Mos ) €Bin,k-s) It is clear that the union ISid) UAla: A + M1 is a segment if and only if the union [Sid) UA isa jote that m,_, <M —S therefore b’=(m y IM_,) SA’ Hence, the last requirement is equivalent to the requirement that (6) +12 g(a’)

together

Ala’ (M~s+)sh'+(M—s+ 1) '2lyE(M~s+D):y eAla;#']| isa segment Follow the theorem 7, the final requirement is equivalent to requirements that ny_, <M—s or my_,_, = k—5—1 The proof is completed

o

U1) Anderson, 11989) Combintvce at ie sets Clarendon Press Oxford [2] Bollobas, B (1986) Combinatorics ige University Press 13] Katona, G 0 H ghê) leer ies Theory of Graphs Proc

1966, pp 187-207 Akadmiai Kiado Academic Press, New York Kruskal, J B (1963), The number of simplices in a complex In Daa ei pai to irdeto a, Blame, Pics) JEN

of Calfornia Press, berkeley

=e

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

Cầu trúc bóng các tập hợp trong poset | S5

các tập con hữu hạn của tập số tự nhiên

3._ LĨNH VUC NGHIÊN CỨU 4 LOẠI HINH NGHIÊN CỨU _

6 CO QUAN CHD TRL |

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chi Minh

80 An Dương Vương, Quận 5, Tp.HCM

Fax:

_ CHỦ NHIÊN ĐỀ TÀI

mm sta Trần Huyện

we donh KH TS Chức vụ

Khoa Toán ~ Tin học, Trường ĐH$P Tp.HCM

'Q.(08)8380124 — Fo Di động

NR -(08)8 627 198 — F-nail

| _ DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI CHỦ CHỐT THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

He va lên Da vị công tác Nhiệm vụ được giao Chữ ký