ĐỀ SỐ 1 Bài 1 Giải phương trình ma trận[■(3&5&-2@1&-3&3@6&7&-3)]. X = [■(1&0@0&2@2&-3)] Bài 2: Cho hệ vectơ: S = {α₁ = (1, -2, 3, -4); α₂ = (2, -3, 1, -1); α₃ = (0, -1, 2, -1); α₄ = (1, 0, k, -2)} a) Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ trên. b) Tính Rank(S). Bài 3: Tính ∫_1^(+∞)▒〖2xe〗^(x^2 ) dx Bài làm Bài 1 Dùng Phương pháp Cramer cho hệ phương trình ma trận Phương trình ma trận cần giải là: A.X=B Với A = [■(3&5&-2@1&-3&3@6&7&-3)] , B = [■(1&0@0&2@2&-3)] Để sử dụng phương pháp Cramer cho hệ phương trình ma trận này, chúng ta sẽ giải riêng cho từng cột của ma trận X (vì B có hai cột, nên ta sẽ giải hai hệ phương trình tuyến tính). Giả sử X = [■(x_11&x_12@x_21&x_22@x_31&x_32 )] trong đó [█(x_11@x_21@x_31 )] là cột thứ nhất của X
Trang 1ĐỀ SỐ 1
Bài 1 Giải phương trình ma trận[ 3 1 −3 5 −2 3
6 7 −3 ] X = [ 1 0 0 2
2 −3 ] Bài 2: Cho hệ vectơ:
S = {αα₁ = (1, -2, 3, -4); α₂ = (2, -3, 1, -1); α₃ = (0, -1, 2, -1); α₄ = (1, 0, k, -2)} a) Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ trên
b) Tính Rank(S)
Bài 3: Tính
∫
1
+∞
2 xex2dx
Bài làm
Bài 1
Dùng Phương pháp Cramer cho hệ phương trình ma trận
Phương trình ma trận cần giải là:
A.X=B
Với
A = [ 3 1 −3 5 −2 3
6 7 −3 ] , B = [ 1 0 0 2
2 −3 ]
Để sử dụng phương pháp Cramer cho hệ phương trình ma trận này, chúng ta sẽ giải riêng cho từng cột của ma trận X (vì B có hai cột, nên ta sẽ giải hai hệ phương trình tuyến tính)
Trang 2Giả sử X = [ x11 x12
x21 x22
x31 x32] trong đó [ x11
x21
x31] là cột thứ nhất của X
tương ứng với cột thứ nhất của B, tức là [ 1 0
2 ] và
[ x12
x22
x32] là cột thứ hai của X, tương ứng với cột thứ hai của B, tức là [ 0 2
−3 ]
Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Ta có ma trận: A = [ 3 1 −3 5 −2 3
6 7 −3 ] Định thức của A là: det(A) = 3 * ((-3) * (-3) - 3 * 7) - 5 * (1 * (-3) - 3 * 6) + (-2) * (1
* 7 - (-3) * 6)
Tính từng phần:
1 3 * (9 - 21) = 3 * (-12) = -36
2 -5 * (-3 - 18) = -5 * (-21) = 105
3 -2 * (7 - (-18)) = -2 * 25 = -50
Vậy: det(A) = -36 + 105 - 50 = 19
Bước 2: Tìm từng phần tử của ma trận X bằng phương pháp Cramer Tìm cột thứ nhất của X (ứng với cột [1 0 2] của B)
Tính x11
Thay cột thứ nhất của A bằng [1 0 2]: A1 = [ 1 0 −3 5 −2 3
2 7 −3 ] Tính định thức của A1: det(A1) = 1 * (3) * 3) - 3 * 7) - 5 * (0 * 3) - 3 * 2) + (-2) * (0 * 7 - (-3) * (-2)
Trang 3Tính từng phần:
1 1 * (9 - 21) = -12
2 -5 * (-6) = 30
3 -2 * 6 = -12
Do đó: det(A1) = -12 + 30 - 12 = 6 Vậy: x11 = det(A1) / det(A) = 6 / 19
Tính x21
Thay cột thứ hai của A bằng [1 0 2]: A2 = [ 3 1 −2 1 0 3
6 2 −3 ] Tính định thức của A2: det(A2) = 3 * (0 * -3 - 3 * 2) - 1 * (1 * -3 - 3 * 6) + (-2) * (1
* 2 - 0 * 6)
Tính từng phần:
1 3 * 6 = 18
2 -1 * (-3 - 18) = 21
3 -2 * 2 = -4
Vậy: det(A2) = 18 + 21 - 4 = 35 Do đó: x21 = det(A2) / det(A) = 35 / 19
Tính x31
ta thay cột thứ ba của ma trận AAA bằng cột [1,0,2][1, 0, 2][1,0,2]:
Ma trận A3 sẽ là
A3 = [ 3 1 −3 0 5 1
6 7 2 ]
det(A3) = 3 * ((-3) * 2 - 0 * 7) - 5 * (1 * 2 - 0 * 6) + 1 * (1 * 7 - (-3) * 6)
Tính từng phần:
3 * (-6) = -18
Trang 4 -5 * 2 = -10
1 * (7 + 18) = 25
Vậy:
det(A3) = -18 - 10 + 25 = -3
Do đó:
x31 = det(A3) / det(A) = -3 / 19
Tính x12
Thay cột thứ nhất của A bằng [0, 2, -3]
Ma trận A12 sẽ là:
A12 = [ 0 2 −3 5 −2 3
−3 7 −3 ]
Tính định thức của A12:
det(A12) = 0 * ((-3) * -3 - 3 * 7) - 5 * (2 * -3 - 3 * -3) + (-2) * (2 * 7 - (-3) * -3) Tính từng phần:
0 * (-9 - 21) = 0
-5 * (-6 + 9) = -5 * 3 = -15
-2 * (14 - 9) = -2 * 5 = -10
Vậy:
det(A12) = 0 - 15 - 10 = -25
Do đó:
x12 = det(A12) / det(A) = -25 / 19
Trang 5Tính x22
Thay cột thứ hai của A bằng [0, 2, -3]
Ma trận A22 sẽ là:
A22 = [ 3 1 0 2 −2 3
6 −3 −3 ]
Tính định thức của A22:
det(A22) = 3 * (2 * -3 - 3 * -3) - 0 * (1 * -3 - 3 * 6) + (-2) * (1 * -3 - 2 * 6) Tính từng phần:
3 * (-6 + 9) = 3 * 3 = 9
-2 * (-3 - 12) = -2 * -15 = 30
Vậy:
det(A22) = 9 + 30 = 39
Do đó:
x22 = det(A22) / det(A) = 39 / 19
Tính x32
Thay cột thứ ba của A bằng [0, 2, -3]
Ma trận A32 sẽ là:
Trang 6A32 = [ 3 1 −3 5 0 2
6 7 −3 ]
Tính định thức của A32:
det(A32) = 3 * ((-3) * -3 - 2 * 7) - 5 * (1 * -3 - 2 * 6) + 0 Tính từng phần:
3 * (9 - 14) = 3 * -5 = -15
-5 * (-3 - 12) = -5 * -15 = 75
Vậy:
det(A32) = -15 + 75 = 60
Do đó:
x32 = det(A32) / det(A) = 60 / 19
Vậy Ma trận X là
X =
[ 19 6
−25
19
− 1
19
39
19
−3
19
60
19 ]
Bài 2
Bài giải: Xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ S
Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số
Hệ vectơ đã cho là:
α1=(1,−2,3,−4)
α2=(2,−3,1,−1)
Trang 7α4=(1,0,k,−2)
Để xét sự độc lập tuyến tính của các vectơ, ta kiểm tra xem có tồn tại tổ hợp tuyến tính nào khác không để tạo thành vectơ không, tức là:
c1∗α1+c2∗α2+c3∗α3+c4∗α4=(0,0,0,0)
Điều này dẫn đến hệ phương trình tuyến tính:
c1 + 2c2 + 0 * c3 + c4 = 0
-2c1 - 3c2 - c3 + 0 * c4 = 0
3c1 + c2 + 2c3 + k * c4 = 0
-4c1 - c2 - c3 - 2c4 = 0
Bước 2: Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình
Ta viết ma trận mở rộng của hệ phương trình này:
¿
Bước 3: Rút gọn ma trận theo phương pháp khử Gauss
Rút gọn ma trận hệ số để xác định giá trị của k làm cho hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = c4 = 0 Điều này sẽ xác định liệu các vectơ có độc lập tuyến tính hay không
Sau khi rút gọn ma trận theo phương pháp khử Gauss, ta thu được ma trận đơn vị:
[ 1 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1 ]
Kết quả này cho thấy hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = c4
= 0, bất kể giá trị của k
Kết luận
Trang 8Hệ vectơ S là độc lập tuyến tính với mọi giá trị của k.
*** Phần b
Tính Rank(S)
Cho hệ vectơ S gồm các vectơ:
alpha1 = (1, -2, 3, -4)
alpha2 = (2, -3, 1, -1)
alpha3 = (0, -1, 2, -1)
alpha4 = (1, 0, k, -2)
Ta cần tính Rank(S), phụ thuộc vào giá trị của tham số k
Bước 1: Lập ma trận từ các vectơ trong S
Biểu diễn các vectơ trong S dưới dạng ma trận:
[ 1 −2 2 −3
3 −4
1 −1
0 −1
1 0
2 −1
k −2 ]
Bước 2: Tính định thức của ma trận 4x4
Tính định thức của ma trận A để xem nếu có giá trị nào của k làm cho định thức khác 0:
Định thức của ma trận A là -6k - 6
Bước 3: Phân tích các trường hợp của k
1 Nếu k khác -1:
o Khi k khác -1, định thức của A khác 0, điều này cho thấy ma trận A có đầy đủ
4 vectơ độc lập tuyến tính.
o Kết luận: Rank(S) bằng 4 khi k khác -1.
Trang 92 Nếu k bằng -1:
o Khi k bằng -1, định thức của A bằng 0, nên Rank(S) có thể nhỏ hơn 4 Ta sẽ tính định thức của các ma trận con 3x3 để xác định Rank(S) trong trường hợp này.
Bước 4: Tính các ma trận con 3x3 khi k bằng -1
Thay k bằng -1 vào ma trận A:
A khi k = -1
[ 1 −2 2 −3
3 −4
1 −1
0 −1
1 0
2 −1
−1 −2 ]
Tính định thức của các ma trận con 3x3:
1 Ma trận con 1 (lấy 3 hàng đầu và 3 cột đầu tiên):
[ 1 −2 3 2 −3 1
0 −1 2 ]
Định thức của ma trận con này là -3
2 Ma trận con 2 (lấy 3 hàng đầu và các cột 1, 2, và 4):
[ 1 −2 −4 2 −3 −1
0 −1 −1 ]
Định thức của ma trận con này là 6
3 Ma trận con 3 (lấy 3 hàng đầu và các cột 1, 3, và 4):
[ 1 3 −4 2 1 −1
0 2 −1 ]
Định thức của ma trận con này là -9
4 Ma trận con 4 (lấy 3 hàng đầu và các cột 2, 3, và 4):
Trang 10[ −2 3 −4 −3 1 −1
−1 2 −1 ]
Định thức của ma trận con này là 12
Kết luận cuối cùng:
Vì tồn tại các ma trận con 3x3 có định thức khác 0 khi k bằng -1, nên Rank(S) là
ít nhất 3 trong trường hợp này
Khi k khác -1, Rank(S) bằng 4
Khi k bằng -1, Rank(S) bằng 3
Bài 3
Bước 1: Thiết lập bất đẳng thức so sánh
Vì hàm số ex2 tăng rất nhanh khi x tiến đến +∞, ta có thể so sánh tích phân này với một hàm đơn giản hơn mà vẫn phản ánh tính chất phân kỳ Cụ thể:
ex2
≥ ex với mọi x ≥ 1
Do đó
2x *ex2 ≥ 2x *ex với mọi x ≥ 1
Vậy ta có bất đẳng thức:
∫
1
+∞
2 xex2dx ≥ ∫
1
+∞
2 xexdx
Bước 2: Xét tích phân so sánh
Để xác định tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân ban đầu, ta sẽ kiểm tra tính hội tụ của tích phân
∫
1
+∞
2 xex2dx
Trang 11Tính tích phân ∫
1
+∞
2 xex2dx
Ta viết lại tích phân này dưới dạng giới hạn:
∫
1
+∞
2 xex2dx = lim
b →+∞∫
1
b
2 x exdx
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:
Áp dụng công thức tích phân từng phần ∫ udv = uv - ∫ vdu, ta được
∫ 2 x exdx = 2 x ex - ∫ 2 exdx = 2 x ex - 2 ex = ex(2x-2)
Thay cận từ 1 đến b:
∫
1
b
2 x ex,dx= [ ex(2 x−2) ]1
b
Tính kết quả tại cận
= eb( 2b−2)−e1(2.1−2)
Khi b →+∞, eb( 2b−2) →+∞ Do đó:∫
1
+∞
2 xex2dx
có giá trị = +∞
Bước 3: Kết luận về tính phân kỳ của tích phân ban đầu
Vì: ∫
1
+∞
2 xex2dx ≥ ∫
1
+∞
2 xexdx=+∞
Nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ về dương vô cùng:
Trang 121
+∞
2 xex2dx=+∞
Kết quả cuối cùng
∫
1
+∞
2 xex2dx=+∞
Tích phân phân kỳ và có giá trị dương vô cùng.