Kỹ năng giải toán 12~hàm số

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục @ Luvy: Moi ham số liền tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất trên đoạn đó.. Số lớn nhất trong các giá trị đó

DO VĂN ĐỨC

IK NĂNG GIẢI TOÁN 12

HAM SO

Theo chương trình sách giao khoa mdi

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

MỤC LỤC

KỦI NỘI ĐỀ bus cgianacediasLaedDapilocssslesdkeoassobabifidlsesusoe=snissuEaRaxsiuifä.-lill 3 1 NÊN TẢNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ -222trzzez 5

2 NEN TANG VE GIA TRI LON NHẤT VÀ GIÁ TRI NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 16

3 BAI TOAN TOI UU UNG DUNG GIA TRI LON NHẤT, NHỦ NHẤT - 27

4 TIEM CAN CUA BO THI HAM SO cccsssssssssssssscsscccssscssosesesssssssssnsnececsessesesusssssnnsetennsssasenet 41

5 ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA ƒ(x) = ax3 + bx? + cx + d cc series 54

6 THẾ TR[ TÂM BẾ BÑG NHẤT TRÊN BẢO NHẤT ¡ssssaiarannnegsianassanuvaelaogass 65

7 ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT - ++++222222tev222Ettrrrreeerre 73

8 CAC PHEP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ (hàm |ƒ(+)I, ƒ(x|), ƒ(x + a),ƒ() + a) 83

9 - CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :-c22+++c222zzzzccci 93

10 DON DIEU HAM SO CHUA DAU GIA TRI TUYET DOI .ssscssssscsssessssseesesssssseestesseeeeensees 100

11 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHAT CUA HAM SỐ CHUA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 105

12 PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC VA MOI QUAN HỆ VỚI ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ 112

13 DON DIEU, CỰC TRỊ HÀM SỐ ƒ (w(2)) + ø(&)) se-eeeeeeerreeerreerreerre 120

! Scanned with ;

‘(3 CamScanner:

® & Bào

+ Bài 1— Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Trang 5

NEN TANG VE TINH DON DIEU

VÀ CUC TRI CUA HAM SỐ

Le

A TOM TAT KIEN THUC

Cho K € R, trong do K là một khoảng đoạn hoặc nửa khoảng

1 Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = ƒ(%) có đạo hàm trên tập K Nếu ƒ'(x) > 0 (hoặc ƒ“(x) < 0) với mọi x

thuộc K và ƒ'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số ƒ(x) đồng biến (hoặc

e Néu ton tại số h >0 sao cho ƒ(x) < ƒ(ạ) với mọi x € (xạ — h;xọ + h) C (a;b) và

x khác xọ thi ta noi ham s6 f (x) dat cuc dai tai Xp

e Néu ton tai s6 h > 0 sao cho f(x) > f (Xo) với mọi x € (xạ — h;xọ + h) C (a; b) và

x khac Xp thi ta ndi ham s6 f(x) đạt cực tiểu tại Xo

© chiy

Néu x 1a mét diém cuc tri ca ham sé y = f(x) thi diém M(xo; ƒ(o)) được gọi là điểm

cực trị của đồ thi ham sé y = f(x)

: Scannedwith ;

‘(3 CamScanner:

Trang 8 >- Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn §

© Giải —- Chọn B

Hàm số có tập xác định: D = (—œ; 2)\{0}

Xét y'= 2—x x họ lề x’ (x-2) eb, Do đó y'=0«©

Ta có xét dấu y' như sau:

x -2 0 1 2,

#' -0+||+0 -

Từ đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (—2; —1)

© Vi dy 3 Cho ham số f () thỏa mãn ƒ@) = (lx| — x + 1)(? — 4)(x2 — 6) với mọi x € IR,

c)_ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +00)

d) Gia sir g(x) la một hàm số thỏa mãn g'(x) = ƒ(%) Vx € IR, khi đó ø() có đúng 1 điểm

Do dé ham sé f(x) không đồng biến trên khoảng (0; +00)

d) MTacé: g'(x) = f(x) = (x — 1)?(x + 2) vx € R, ta cé bang xét dau g’(x) như sau:

8 3 5 8 a

Trang 6 > Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn «x

@ Dinh ly

Giả sử hàm số y = f(x) lién tuc trén khoang (a; b) chita diém x9 va có đạo hàm trên các

khoang (a; X9) va (Xo; b) Khi do

e Nếu ƒ'(x) < 0 với mọi x € (a; Xp) va f'(x) > 0 voi moi x E (x9; b) thì xọ là một điểm

cực tiêu của hàm só ƒ (2)

e Nếu ƒ!(x) >0 với mọi z € (4; xạ) và ƒ() < 0 với mọi x € (xạ; b) thì xạ là một điểm

cực đại của hàm số y=ƒŒ)

Néu f(x) dng bién trén K thi f(g(x)) > ƒ(h())© g(œ) > hŒ)

Nếu ƒ(z) nghịch biến trên K thì ƒ(g(x)) < ƒ(h())© g() > h()

© Ví dụ Bất phương trình v2x—1 >x" +(x—1)` có bao nhiêu nghiệm nguyên?

S Giải Bắt phương trình tương đương với:

zz Bài 1 — Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Trang 7

Ta có bảng biến thiên của hàm số ƒ(x) như sau:

Vi f(0)=1 >0,1— ah <0 va f(1)=0 nên đồ thị hàm số ya J (x) cat truc hoanh tai 2

điểm có hoành độ x, và 1, với 0< x, <1 Vậy (2)© /(x)<0 ©xe[x,:1]

Do đó bất phương trình có đúng 1 nghiệm nguyên là x = 1 -

@ Lưuý: Khi thi trắc nghiệm ta có thê dùng máy tính câm tay đê giải bài toán nhanh hơn

Tìm tọa độ các đỉnh của lat cat day mii trên đoạn [0; 2000]

Nguồn: SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trang 8 >ˆ Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn 8

Kee phe 2—x* +p CIE) ved Do 46 y'=0e| ,x" x? (x _ 2) x=- :

Ta có xét dâu yˆ như sau:

xe =2 X TẺ D 1: 2 cece tee

yˆ -0+||+0 -

Từ đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (—2; —1)

23 Ví dụ 3 Cho hàm số f (x) thoa man f'(x) = (|x| — x + 1)(x? - 4)(x? — 6) với mọi x € R

c)_ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +©)

d) Gia str g(x) là một hàm số thỏa mãn g'(x) = ƒ(z) Vx € E, khi đó ø(x) có đúng 1 điểm

Do đó hàm só f (x) khéng dong bién trén khoang (0; +00)

d) MTacé: g'(x) = f(x) = (x — 1)?(x + 2) vx € R, ta cé bang xét dau g’(x) nhw sau:

++ Bài 1 ~ Nên tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Trang 9

c) Ham SỐ ƒ(z) đồng biến trên khoảng (1; 2)

d) Ham sé f(x) nhận điểm x = 2 làm điểm cực đại

S Giải - MMM

x=l a) M ƒ{x)=0©|x=2

d) M Dva vao bang biến thiên, ta thay x = 2 ladiém cuc dai

C BAI TAP REN LUYEN

Dang 1- Cau hdi trac nghiém nhiéu phương 3 Ham số nào trong các hàm số sau đây

1 Cho ham s6 f(x) = x(2x +1) Hàm số œy-l#aL 0y-Wzal

ig? đông biển trên khoảng nào sau 4 Cho hàm số f(x) ding biển trén [0;2)

Khang dinh nao sau đây là đúng?

5 Ham so nào trong các hàm sô sau đông

đồng biến trên IR?

fi y=sinx B Ve ee fi „=lnx 6 yo’

Gyemz BaP ets dyed, x «= ene

Scanned with

8 CamScanner”:

Trang 10 l> Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn +

6 Cho hàm số y = f(x) cd đồ thị đạo hàm fi (—œ;—1) B (-1;1)

12 Biét ham sé f(x) nghich bién trén B

8 Khoảng đông bien của hàm số 14 Cho hàm số y=cosx+ax Với giá trị

x

fl as<-l B a2>-l

fv (—0;1) 8 (—2;0) C a>1 0 0<a<I

© (—1;2) 0 (0;+00) 15 Cho ham sé y = f(x) có đồ thị của hàm

9, Ham sé =| | HỒNG: wiSs WEA EUR so f’(x) như hình vẽ bên Hàm số đã cho

nào?

€ (—=;0) @ (0;+0)

10 Cho ham sé y = f(x) xác định, nhận giá

tri dong va dong bién trén R Hoi ham

số nào được liệt kê dưới đây nghịch biến

trên R?

11 Biét ham sé f(x) đồng biến trên R va R D6 thi ham sé y = ƒ”(+) như hình vẽ

f (1) =0 Khoang nao sau day 14 khoang

đồng biến cia ham sé y= ,/ f(x)?

! Scanned with ;

‘(3 CamScanner:

Hàm số y= cà có bao nhiêu điê

17 Har e500 7 1 điềm

cực trỊ?

a Vô số 8.0 G1 0.2

18 Cho ham so f(x) = x”— 2x, số điểm

cực trị của hàm sô đã cho là:

23 Cho ham s6 f(x) lién tuc trên 3 và có

bảng xét dau f’(x) nhu sau:

0] ANZ

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Ham sé dat cực tiểu tại x =—5

Dạng 2 - Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai

32 Cho hàm số y = ƒ(+) có đồ thi ham sé

y = ƒf(z) như hình vẽ bên

a) Ham so f(x) có 2 điểm cực trị

b) Điểm cực đại của ƒŒ) là x = 2

c) Ham sé f(x) déng bién trên khoang

c) Ham sé f(x) có 2 điểm cực tiểu

d) Ham so f(x) c6 1 điểm cực đại

b) Ham so f(x) đạt cực trị tại x= — c) Ham s6 f(x) déng biến trên khoang

a= Bai 1 — Nền tảng về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Trang 13

37 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên IR và vẽ (đồ thị nhận các trục tọa độ làm các

Ụ

vn 22222222

ĐI

b) Ham số f(x) dong biến trên

(—1; +00)

c) Ham so f(x) dong bién trén R

d) Hàm số ƒ(x) có 2 điêm cực trị là a) Ham sé f(x) dong biến trên (0; +œ)

38 Cho hàm so y = ƒ(+) có đồ thị như hình điểm cực trị

-1 jo 2 «= d) Ham sé fo nghich bién trén

(2; 4)

\ 41 Cho hàm s6 y = f(x) = 2x? — 6x? —

a) Hàm sô ƒ(x) nghịch biên trên a) Ham sé y = f(x) c6 1 điểm cực trị

b) Ham so ƒ(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2)

c) Ham so f(x) nghịch biên trên R bat phuong trinh f(—2) f(2) < 0

d) Ham so f(x) co 2 diém cực trị d) Có 7 giá trị nguyên của tham sé a dé

39 Cho ham so y = f(x) co dao ham đỗ thị hàm số y = f(x) c6 hai diém

ƒŒ) =(3—*x)(x~ a) với a €R cực trị nằm hai phía đối xứng với trục

a) Nêu z=3 thì hàm sô có duy nhât một hoành

điểm cực trị : 42 Cho hàm số

c) Néu a<3 thi ham số đồng biến trên

a) Ham sé f(x) lién tuc trén R

b) Ham sé f(x) đồng biến trên khoảng (0;2) va nghich bién trén khoang

(2; 4)

: Scannedwith ;

‘(3 CamScanner:

45 Cho ham sé f(x) nghịch biến trén R Tap

nghiệm của bất phương trình

Goi Khiẩng (a; b) là một khoảng nghịch

biến của hàm số ƒ(x) Hỏi khoảng (a; b)

chứa tối đa bao nhiêu giá trị nguyên?

S Đáp số:

47.Cho ƒ(x) là hàm số đa thức bậc bốn,

nhận x=l và x=2 làm 2 điểm cực trị,

đồng thời me +—— x0 A) 2 Giá trị của xe

f (2) bang bao nhiéu?

> Dap sé:

48 Cho hàm số 8 f(x) liên tuc trén R va có

bang bién thién nhu sau

> D6 Van Dirc | Khda hoc IMOE 2025 mon Toan | hocimo.vn «>

Hàm số y = In(f(x)) co tat ca bao nhiêu

52 Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy

1000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng Bằng thực nghiệm, người ta xác

định được số lượng vi khuẩn thay đổi

theo thời gian bởi công thức:

100t

100 + t?’

trong đó f là thời gian tính bằng giây (t>0) Trong khoảng thời gian bao nhiêu giây, kẻ từ lúc nuôi cây, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên?

53.Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyên động theo phương trình

s( = tỶ — 6t? + 14t + 1,

trong đó £ tính bằng giây và s tính bằng

mét Trong khoảng thời gian nào của 5 giây đầu tiên thì vận tốc tức thời của chất điểm tăng lên?

54.Kim ngạch xuất khâu rau quả của Việt

Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thê được tính xấp xi bằng công thức

N(t) = 1000 +

: Scannedwith ;

‘(3 CamScanner:

b) Chứng minh rằng kim ngạch rau quả

của Việt Nam tăng liên tục trong các

năm từ 2010 đến 2017

§§ Xét một chất điểm chuyên động dọc theo

trục Øx Tọa độ của chất điểm tại thời

điểm £ được tính theo công thức x(£) =

t3 — 6t? +9t với t > 0 Khi đó x'(£) là

vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí

hiệu v(t); v'(t) 1a gia téc cia chuyên

động tại thời điểm £, kí hiéu a(t)

a) Tim cac ham v(t), a(t)

b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc

của chất điểm tăng? Trong khoảng

thời gian nào vận tốc của chất điểm

giảm?

56 Một nhà phân phối đồ chơi trẻ em xác

định chỉ phí C(x) va ham doanh thu R(x)

(đều tính bằng trăm nghìn đồng) cho một

loại đồ chơi như sau:

C(x) = 1,2x — 0,0001x?,0 < x < 6000

R(x) = 3,6x — 0,0005x?,0 < x < 6000

trong đó + là số lượng đò chơi loại đó

được sản xuất và bán ra

Xác định khoảng của x đề hàm lợi nhuận

P(x) =R(x)—C(x) déng biến trên

khoảng đó Giải thích ý nghĩa thực tiễn

của kết quả nhận được

57 Hàm chỉ phí và doanh thu (đều tính bằng

triệu đỏng) của một loại sản phẩm lần

luot la C(x) = 25,5x + 1000 va R(x) =

75,5x, trong dé x la s6 don vi san pham

d6 duoc san xuat va ban ra

a) Tim ham loi nhuan trung binh

P(x) = R(x) = C(x)

b) Tim lợi nhuận trung bình khi mức san xuất x lần lượt là 100, 500 và 1000

đơn vị sản phẩm

c) Xét tính đơn điệu của hàm lợi nhuận

trung bình P(x) trên khoảng (0; +œ)

và tính giới hạn của hàm số này khi

x +ơ Giải thích ý nghĩa thực tiễn kết quả nhận được

58 Doanh thu R (USD) từ việc cho thuê x

căn hộ có thẻ được mô hình hóa băng hàm

số

R = 2x(900 + 32x — x?)

a) Tim ham doanh thu biên

b) Tim doanh thu bién khi x = 14 va

giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó

c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi

số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên 15 59.6 0°C, su mat nhiệt / (tính bằng Kcal/m?h) từ cơ thẻ của một người được mô hình hóa băng công thức

H = 33(10Vv — v + 10,45),

Trong đó v la toc d6 gid (tinh bang m/s)

a) Xét tính đơn điệu của hàm số H và

giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết

quả nhận được

b) Tìm tốc độ thay đổi của # khi v =

2m/s Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này

: Scannedwith ;

‘(3 CamScanner:

Trang 16 - Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn 8

NEN TANG VE GIA TRI LON NHAT \

VA GIA TRI NHO NHAT CUA HAM SO ®

Cho ham sé f(x) xac định trên D

Số AM được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = ƒ(x) trên D, kí hiệu M = max f (x) néu

2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục

@ Luvy: Moi ham số liền tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất trên đoạn đó

Giả sử hàm số ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (4; b), có thể trừ

đi một số hữu hạn điểm Nếu ƒ”(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a; b) thì ta cỏ quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ƒ(x) trên đoạn [a; b] như Sau:

Bước 1 Tìm các điềm xạ, xạ, ., x„ thuộc khoang (a; b) ma tai dé ham số có đạo hàm bằng

0 hoặc không tôn tại

Bước 2 Tĩnh ƒ(xì), ƒ(%:), , ƒ (xạ), ƒ(a) và ƒ()

Bước 3 So sánh các giả trị tìm được ở bước 3

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm sé f(x) trên đoạn [a; b}, số nhỏ

nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số ƒ(3) trên đoạn [q; b]

3 Lưu ý

a) Lưu ý về giá trị lôn nhất và nhỏ nhất của hàm số ƒ(x) = asinx + b cos x

Cho ham sé f(x) = asinx + bcosx (a? + b? > 0) Khi do:

: Scannedwith ;

‘(3 CamScanner:

g Bài 2 — Nền tảng về GTLN va GTNN của hàm số Trang 17

max f(x) = Ja? + b?; min ƒ(x) = —Va2 + b2

Hệ quả: max(a sin x) = |a|; min(a sin x) = —|a|

b) Lưu ý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ƒ(w(x)) trên D

Dat t = u(x), voi x € D, gia sir ta tim được tập giá trị của (+) trên D là K Khi đó:

max f (u(x))= max #(? | xeD

c) Bất đẳng thức Cauchy (BDT AM-GM) cho 2 số và cho 3 số

Cho a, b là các số thực không âm, khi đó

Ta có: ƒ”(x) = x???? + 1 > 0 Vx € R, nén f(x) đồng biến trén R Vay min f(x) = f(-1)

© Vi du 2 Cho ham SỐ y=v4+x+v4—x Khăng định nào sau đây là đúng?

A Gia tri lon nhat cia ham sé bang 4 B Gia tri nho nhat của hàm số bằng 4

C Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x =4 0Ø Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x =0

S Giải - Chọn A

Hàm số y=v4+x+v4~ x có tập xác định: D = [—4; 4]

1 1

2v4+x 2V4-x Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [—4; 4], có y' = 0 tại x = 0 nên:

ImaX ÿ = max {x(—9.»(0).»x(4)} = max [22:4] =4

min y'= min t»(—34).x(0) »(4)) =min {22:4} =292

Ta có: y'= Vx e(-4:4) nên y' =0 © 4+x=4-x«e>x=0

: Scannedwith ;

‘(9 CamScanner’:

Trang 18 }> Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn 8

© Vi du 3 (trắc nghiệm đúng sai) Cho hàm số y = f(x) lién tuc trén R va cé dé thị như hình

vẽ Biết trên các khoảng (—œ; —2] và [2; +œ), ƒ(x) là hàm hằng

b) & Tird6 thi hàm số y = f(x), ta thay ham sé f(x) có đúng 1 điểm cực trị là x = 0 (lưu

ý, các điểm x = 2 và x = —2 không là các điểm cực trị)

c)_ Mi Từ đồ thị hàm số ƒ(+x), ta thấy min ƒ(x) = —2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

a) II Xét hàm số f(x) cd min ƒ(x)= /() =1 Nên hàm số ƒ(x) có điểm cực trị là

x=l Ta lại có ƒ(x) là một hàm số bậc 3 Kết hợp hai điều kiện trên thì hàm số ƒ(x)

§ Bài 2 = Nền tảng về GTLN và GTNN của hàm số Trang 19

cị MVI ƒ(I)=b+c+4=l=b+c=-—3 (i) Ta lại có x=1 là điểm cực trị của hàm só,

© Vi du 5 (trac nghiém điền đáp số) Một miếng bìa hình tam giác đều 4B€ có cạnh bằng l6 Học sinh cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên làm biển trông xe cho lớp học buồi ngoại

khóa (với M,N thuộc cạnh 8€ và P, Q lần lượt thuộc canh AC va AB) Goi S la gia tri lon nhat

của diện tích hình chữ nhật NPQ Giá trị S2 bằng

2 Ví dụ 6 (trắc nghiệm điền đáp số) Một hòn đảo ở vị trí C cách bờ biên đ một khoảng BŒ =

- km Trên bờ biên đ người ta xây một nhà máy điện tại vị trí 4 Để kéo đường đây điện ra ngoài

ao, người ta đặt một trụ điện ở vị trí S trén bo bién (như hình vẽ) Biết rằng khoảng cách từ B

ến 4 là 16 km, chỉ phí để lắp đặt mỗi km dây điện dưới nước là 20 triệu đồng/km và lắp đặt ở

ất liền là 12 triệu đồng/km Hỏi trụ điện cách nhà máy điện một khoảng bao nhiêu km đề chỉ phí

8 Bài 2 - Nền tảng về GTLN và GTNN của hàm số Trang 21

C BAI TAP REN LUYEN

Dạng 1 - Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương

án lựa chọn

oe

Cho hàm số y = ƒ(%) liên tục và có bảng

biến thiên trên đoạn [—1;3] như hình bên

Gọi Ä⁄/ là giá trị lớn nhất của hàm số

ƒŒ) trên đoạn [—I:3] Tìm mệnh đề

Gọi M,mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của hàm số y=— trên

x +4 [0:+œ) Giá trị của M — m bằng

1 1 1

Cho ham sé f(x) = x3 — 3x Goi M,m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên [0; 2] Giá trị của

y=V-x +Šx+6 trên đoạn [-1:6], gia

tri cia M — m bing

a8, 2 Me: 5 Š 5 0 3

Tỏng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số y=(x—6)vx` +4 trên

Trang 22 > Dé Van Dirc | Khéa hoc IMOE 2025 mén Toan | hocimo.vn «<= , Qa

15 Cho ham đa thức bậc bôn y = f(x), co

d6 thi ham so y = f’(x) la duong cong ở

hình vẽ bên dưới Giá trị nhỏ nhât của

Dạng 2 — Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai

17 Cho ham sé y = f(x) cé dé thi trên đoạn

c) Ham s6 f(x) c6 2 diém cuc tri

d) Giá trị lớn nhất của ham sé f (x) trên

[0; 2] đạt được tại x = 1

Một công ty sản xuất một sản phẩm Bộ

phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá

ban 1a p(x) = 1000 — 25x, trong đó

p(#) (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản

phẩm mà tại giá bán này có x sản phẩm

Cho hàm số ƒ(x) xác định và liên tục trên

R, va có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

Cho ham so y = f(x) 1a ham s6 lién tục

trén R va co bang bién thién nhu hinh vé

dưới day

Cho ham y = f(x) c6 d6 thi hàm số y =

ƒ'(Œ) như hình vẽ Biết lim f(x) =-10 x—-z

Cho parabol (P):y=x? và điểm

A(—3;0) Xác định M €(P) sao cho

khoảng cách 4M ngắn nhất và tìm

khoảng cách ngắn nhất đó

© Đáp số:

Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số

p=— —+a trên [—2; —1,5] là 1 Giá trị

trên đoạn [e~1; e] lần lượt là M va m thi

M + 2m — e~! bằng bao nhiêu?

© Đáp số:

Trong mặt phăng tọa độ Øxy, cho parabol:

(P):y = x? và điểm A(—2; 0,5)

Gọi M là một điểm bắt kì thuộc (P) Giá

Can 3 a s

41 Biét giá trị nhỏ nhất của hàm số 45 Giả sử chỉ phí tiền xăng € (đồng) phụ

42 Trong một kho có nhiêu miêng tôn hình b) Tài xé xe tải lái xe với tốc độ trung

chữ nhật khác nhau đủ loại kích thước có bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền

cùng chu vi là 240 em Một bác thợ hàn ăn nhà?

dự định làm một chiếc thùng hình trụ 46 Trong một nhà hàng, mỗi tuần đề chế biến không đáy từ một mảnh tôn trong só đó x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ

- 30 đến 120) thì chi phi trung bình (don vị:

nghìn đồng) của một phần ăn được cho

i90 -D 2 à Ấy mm eo a) Khảo sát và vẽ đô thị hàm so

Hỏi bác thợ hàn cần chọn miếng tôn có

chiêu rộng và chiêu đài bằng bao nhiêu để

thé tích chiếc thùng là lớn nhất?

© Đáp :số:¡:a o¿

43 Một con cá hôi bơi ngược dòng đề vượt

một khoảng cách là 300km Vận tốc

dòng nước là 6 km⁄h Nếu vận tốc bơi của

cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng

lượng tiêu hao của cá trong thời gian /

giờ được cho bởi công thức E(v)= ev,

trong đó c là I hằng số, £ được tính

bang jun Tim van téc boi cia ca khi

nước đừng yên để năng lượng tiêu hao là

ít nhât

S ĐÁP Số ng uangssana

Dạng 4 - Bài tập tự luận (SGK và SBT)

44 Một trang sách có dạng hình chữ nhật với

diện tích là 384 cm? Sau khi để lề trên

và lề dưới đều là 3 cm, đẻ lề trái và lề phải

đều là 2 cm, phần còn lại của trang sách

được in chữ Kích thước tối ưu của trang

sách là bao nhiêu để phần in chữ trên

trang sách có điện tích lớn nhất?

y=€(x) trên [30; 120]

b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao

cho chỉ phí trung bình của một phân

ăn là thâp nhât

trên trang sách là 24inch Tính kích thước của trang sách đề điện tích giấy cần

sử dụng là ít nhất?

: Scannedwith ;

‘(3 CamScanner:

Trang 26 P- Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn 8

Linch y Linch 51 Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau s mét, một

nguồn có cường độ a đặt ở điểm A va một nguồn có cường độ b đặt ở điểm B,

Cường độ nhiệt tại điểm P năm trên đoạn

thăng nổi 4 và B được tính theo công

49 Một nhà phân tích thị trường làm việc cho

một công ty sản xuất thiết bị gia dụng

nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và

bán x chiếc máy xay sinh tô hằng tháng

thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là

P(x)= ~0,3x` +36x” +1800x—4§000

Trong đó x (m) là khoảng cách giữa P và

A Tại điểm nào giữa A và , nhiệt độ sẽ thấp nhất?

52 Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có

ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí

đứng yên 10 em rồi thả ra tại thời điểm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm ban đầu £ = 0 giây dé chuyền động trong

đề trả lời các câu hỏi sau: là s =10cos Z

a) Khi chỉ sản xuât một vài máy xay sinh

tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi

nhuận âm) Hỏi hãng tháng công ty S phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc 0 10

máy xay sinh tố đề hoà vốn? , ,

b) Loi nhuan Ion nhat ma céng ty cé thé a) Tốc độ lớn nhat EHA-RE là bao nhieu?

sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố như vậy, Khi đó xe đang ở vị trí nao

hằng tháng hay không? và gia tôc lúc đó có độ lớn là bao

dùng số tiền s chỉ cho quảng cáo được b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn cho bởi công thức: - nhât? Khi đó vận tôc của xe là bao

nhiêu?

P=P(s)= Lø +6? +400, s > 0

10

Số tiền được tính theo đơn vị nghìn USD

a) Tìm số tiền công ty phải chỉ cho

quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối

đa

b) Lợi nhuận thu được của công ty thay

đổi thế nào khi số tiền chỉ cho quảng

cáo thay đôi?

: Seanned with ;

‘KJ CamScanner’:

© ee

«> Bai 3 - Bài toán tối ưu ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 27

UNG DUNG GIA TRI LON NHAT, NHO NHAT ©

Đặc điểm của cóc bài toán thực tế là ta phải sử dụng cúc công cụ toán học đã

biết để chuyển đổi bài toán có lời văn thành dạng toán quen thuộc, tìm giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Muốn vậy ta cần năm chắc các công thức hình

học về diện tích, thể tích, các công thức liên quan tới vật lý như mối quan hệ

giữa quãng đường, vận tốc, thời gian, các công thức liên quan tới năng suất

lao động,

A T6M TAT KIEN THỨC

Giả sử y là một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng thay đôi x và ta có hàm so y = f (x)

Khi đó, đạo hàm ƒ”(a) là tốc độ thay đôi tức thời của đại lượng y = ƒ(3) dõi với đại lượng

+ tại x = q

e Nếu s = s(£) là hàm vị trí của một vật chuyên động thăng, thì = s”(£) biểu thị vận

tốc tức thời của vật Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức

thoi cua vat: a(t) = 0'(t) = s”(t)

e Nếu € = €(£) là nồng độ của một chat tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t, thì

C'(t) la téc do phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t

e Néu P = P(t) là số lượng cá thê trong một quần thê động vật hoặc thực vật tại thời

điểm t, thì P'(£) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quản thé tai thời điểm ¢

e NéuC = C(x) la ham chi phí, tức là tổng chỉ phí sản xuất x đơn vị hàng hoá thì tốc độ

thay đôi tức thời C'(x) của chỉ phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi

là chi phí biên

| Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:

e_ Dạng ]: Các bài toán thực tế đã mô hình hóa bằng một hàm số toán học

Trang 28 > Dé Van Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn g

e©_ Dạng 2: Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán

| Kiém tra lai

e_ Bước l Xác định đại lượng Q cần cực đại hoá hay cực tiéu hoa va biéu thị nó qua các đại lượng khác trong bài toán

e _ Bước 2 Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biêu thị các đại lượng

khác ở Bước I theo x Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm của một biến x

Tìm tap xac dinh cua ham Q = Q(x)

e_ Bước 3 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bang cac

phương pháp đã biết và kết luận

CHÚ Ý CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HAY SỬ DỤNG

1 Bất đẳng thức AM-GM

Cho a,,a; đ„ là m số không âm Khi đó ——————————>3 {jaya; đ,,

Dâu băng xảy ra khi và chỉ khi a, = đ; = = đ„

2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với hai bộ số thực (&, a; a,) và (bị, b;, , b„), ta luôn có:

(4Š +a; + + a2 )(bệ + bệ + + bệ) > (ah, +a,b, + +.4,b,)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (4¡, 4; 4,) và (b, b; b,) là hai bộ số tỉ lệ

3 Bất đẳng thức tam giác

Với 3 điểm 4, B,€ bất kì, ta có: AB + AC > BC Dau bang xảy ra khi và chỉ khi 4 nằm giữa

B vàC

Với 3 điểm A, B,C bat ki, ta co: [AB — AC| S BC Dấu bằng xảy ra khi 4 nằm trên đường

thang BC và nằm ngoài đoạn ØŒ (có thê trùng với các đầu mút)

Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nói hai điểm A và B cho trước thì đoạn thăng

AB có độ dài nhỏ nhat

-B VÍ DỤ LUYỆN TẬP

@ Ví dụ 1 Bạn Việt muốn dùng tắm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có

đáy là hình vuông băng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tắm bìa (hình vẽ)

: Seanned with ;

‘KJ CamScanner’:

ẹạ Bài 3 — Bài toán tối ưu ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 29

ie

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ đề chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất

a) Hãy thiết lập hàm số để biểu thị thể tích hình hộp theo x voi x (dm) là độ dài cạnh hình vuông cần cất đi

b) Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn dé và giải thích vì sao cần chọn giá trị

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4v =6—2x œ x=l

Vậy bạn Việt nên cắt ở 4 góc đi 4 hình vuông, mỗi hình vuông có diện cạnh bằng 1 dm thì

thể tích chiếc hộp thu được là lớn nhất

@ Bài toán tổng quát

Từ một tắm tôn hình chữ nhật có kích thước la axb (voi a < b) Người ta cắt bỏ 4 hình

vuông bằng nhau ở 4 g góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp Hỏi cạnh của

hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất?

Khi đó thể tích hình hộp là V = x(a — 2x)(b — 2x) = 4x3 — 2(a + b)x? + abx = V(x)

Khi đề bài cho các giá trị cụ thể của a và b, ta tim duge gid tri lon nhat cia V(x) trén (0: 3)

¡ Scanned with :

‘(3 CamScanner:

Trang 30 > Do Van Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn §

© Vi du 2 Độ bên Š của đầm gỗ hình chữ nhật tỉ lệ với tích của chiều rộng w và bình phương chiều sâu đ của nó (xem hình về) Tìm kích thước của đầm gồ bên nhât có thê được căt từ một khúc gô có hình trụ có đường Kính băng 12 ínch

Vay dầm gỗ có độ bền lớn nhất khi có chiều rộng w = 43 inch và chiều sâu đ = 4V6 inch

@ Ví dụ 3 Một xưởng mộc dùng gỗ gụ đề sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày Chỉ phí cho mỗi lần vận chuyền nguyên liệu là S000 USD, chỉ phí đề lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất một chiếc bàn Hỏi mỗi lần xưởng mộc nên đặt mua bao nhiều đơn vị nguyên liệu và bao lâu đặt giao nguyên liệu một lần để chỉ phí trung bình hằng ngày (bao gồm chi phi van chuyền và chỉ phí lưu trữ) trong chu kì sản xuất giữa các lần giao là ít nhất?

Nguồn: Sách bài tập Kết nối tri thức và cuộc sống — Toán 12

: Seanned with ;

:KỢ CamScanner:

Đ š Ped ä

x+ Bài 3 - Bài toán tối ưu ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 31

S Giải

Giả sử nguyên liệu được giao sau mỗi x ngày (x > 0) Để đảm bảo đủ nguyên liệu cho mỗi

chu ki sản xuât, xưởng mộc phải đặt 5x đơn vị nguyên liệu cho môi lần giao hàng

mm ` z a ae = ‘ x O¥

Trong môi ngày của chu kì sản xuât, lượng nguyên liệu cần được lưu trừ trung bình là —

đơn vị nguyên liệu Do đó, chi phí đẻ lưu trữ nguyên liệu trong x ngày của chu kì sản xuất

la 10 =25x° (USD)

Từ đây chỉ phí cần bỏ ra cho mỗi chu kì sản xuất là C(x) = 5 000 + 25x? Do đó, ta có

hàm chỉ phí trung bình hằng ngày trong một chu kì sản xuất là

@ Ví dụ 4 Một nhà sản xuất độc quyền một loại bánh gia truyền đề bán

ra thị trường trong địp Tết năm nay Qua thăm dò và nghiên cứu thị trường

biết lượng câu về loại hàng này là một ham so Qp(P) = 656 — = P theo

đơn giá P Nếu sản xuất loại bánh này ở sản lượng Q thi tông chỉ phí là

c(@)=Q3—77Q° + 10000 + 100 Tìm mức sản lượng Ợ đẻ doanh

nghiệp có lợi nhuận cao nhất sau khi bán hết loại bánh này với đơn giá P,

biết lợi nhuận bằng đoanh thu trừ đi tông chỉ phí doanh thu bằng đơn giá nhân sản lượng bản

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x (30— x) trong

đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam) Tính liều

lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân đề huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó

Bạn 4 muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác

đều 4BC có cạnh bằng 90(cm) Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M,N thuộc cạnh 8Œ, P và Q tương ứng thuộc cạnh 4€ và AB) để tạo thành

hình trụ có chiêu cao băng MQ

Sap SO? zane:

Nguoi ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thê tích nhất định Biết rằng giá của vật liệu

lam mat day va nap của thùng băng nhau và gâp 1,5 lân so với giá vật liệu để làm mặt xung

quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị điện tích) Gọi chiều cao của thùng là và bán kính

đáy là Tính tỉ số : sao cho chỉ phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?

® Đáp số:

Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích

thước +x, y, z (dm) Biết tỉ số hai canh day la x: y=1:3 và thẻ tích của hộp bằng 18dm` Để

tốn ít vật liệu nhất thì tổng x+ +z bằng bao nhiêu?

3 ĐấP Sốecxao

Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài 250 em đề uốn thành khung cửa số có dạng như

hình vẽ Gọi ” là bán kính của nửa đường tròn, tìm ” để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất

: Scannedwith ;

‘(3 CamScanner:

7 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2222 (m?) Người chủ muốn mở rộng khuôn viên

thành khu sinh thái mới có đạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ Diện tích nhỏ nhất của

phần đất được mở rộng bằng bao nhiêu?

®© Đáp số: a:occ:

8 Từ một tâm tôn có dạng là nửa hình tròn bán kính /# =3, người ta muôn cắt ra một hình chữ

nhật (hình vẽ bên) Diện tích lớn nhất có thể của tắm tôn hình chữ nhật là

Trang 34 > D6 Van Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn e

10 Bạn A có một đoạn đây mềm và dẻo không đàn hồi 20 m, bạn chia đoạn dây thành hai phần, phân đâu gâp thành một tam giác đều Phần còn lại gập thành một hình vuông Hỏi độ dài phần

đầu bằng bao nhiêu (m) để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất?

© Đấp SỐ: sec

11 Hai thành phố 4 và Ø cách nhau một con sông Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua

song, biét rang thanh phó A cách con sông một khoảng là 5 km và thành phố Ø cách con sông

một khoảng là 7 km (như hình vẽ) biết tổng độ dài HE + KF = 24 km Hỏi cây cầu cách

thành phó <4 một khoảng là bao nhiêu để đường đi từ thành phố 4 đến thành phố Z là ngắn

nhất (đi theo duong AEFB)

Nhà trường có thiết kế hai khu vệ sinh dành cho giáo viên và học sinh ở hai vị trí € và H như

trong hình Trên cạnh SE người ta muốn chọn một vị trí để khoan giếng cấp nước cho khu vệ sinh Hỏi đoạn đường ông ngắn nhất mà nhà trường có thé thiết kế (đường dẫn ống nước ngầm) cho hai khu vệ sinh là bao nhiêu mét? (làm tròn đến đơn vị mét)

Biét SC = 35 m,CF = 45 mva FH = 120m

© Đáp số:

13 Trong hình vẽ, cho bờ tường Cy và mặt đáy Cx Cắm một cột đỡ DH song song với bờ tường

và cách bờ tường một khoảng 0,4 m, chiều dài cột đỡ DH = 3m

3

IÊB CamScanner.

8 Bai 3 - Bài toán tối ưu ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 35

Người ta thiết kế một cái thang AB sao cho nó có thê dựa vào bờ tường Cy va cham vao mat

đất Cx, dựa vào cột đỡ DH Tính chiều dài nhỏ nhất của cái thang thỏa mãn yêu cầu trên (làm tròn tới chữ só thập phân thứ hai)

=: ĐÁP SỐ sessriasuansase

14 Hai nhà máy được đặt tại các vị trí 4 và cách nhau 4 km Nhà máy xử lí nước thải được đặt

vị trí € trên đường trung trực của đoạn thăng 4P, cách trung điểm M của đoạn thăng AB mot

khoảng là 3 km Người ta muốn làm đường óng dẫn nước thải từ hai nhà máy 4, đến nhà

máy xử lí nước thải € gồm các đoạn thăng AI, BI và 1Œ, với T là vị trí nằm giữa M và Œ (như hình vẽ)

5 8

Trang 36 > Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn «i

anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa 8 và € và sau đó chạy đến B Biết anh ấy có thé chéo thuyén 6 km/h, chạy bộ 8 km⁄h, và quãng duong BC = 8 km

Một người đứng nhìn màn ảnh Tính khoảng cách từ vị trí đứng của người đó tới mặt tường

(treo ảnh) để góc nhìn màn ảnh là lớn nhất, biết mắt người đó cách mặt đất một khoảng bằng

1,6 m

© Đáp số:

18 Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm Một con bay

trên quỹ đạo là đường thăng từ điểm A(0;100) đến điểm Ø(0;0) với vận tốc 5 m/s Con còn

lại bay trên quỹ đạo là đường thăng từ 8(60;80) đến điểm Ø(0;0) với vận tốc 10 m/s

A(0; 100)

B(60; 80)

: Seanned with ;

‘KJ CamScanner’:

«> Bai 3 - Bai toan tdi wu ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 37

19

Hỏi trong quá trình bay thì khoảng cách ngắn nhất hai con đạt được là bao nhiêu (làm tròn đến

chữ só thập phân thứ hai)

BD Đắp số:

Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng

50 m và chiêu dài 200 m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi

phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa

thì vận động viên nên nhảy xuống dé tiếp tục bơi về đích nhanh nhất? Biết rang van tóc của

vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m⁄s và 1,5 m⁄s

- Một người nuôi cá thí nghiệm trong hồ Người đó thay răng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của

mặt hồ có 7 con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng (0) = 480—20: (gam)

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích mặt hỗ đề sau một vụ thu hoạch được nhiều

cá nhat?

Nguy:

Dạng 4 Bài tập SGK — SBT

zi Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V c6 định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có

điện tích bê mặt nhỏ nhât) khi chiêu cao của thùng gập đôi bán kính đáy

22 Cắt bỏ hình quạt tròn 40 (hình phăng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông

hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính Ø4 và ØB của hình quạt tròn còn lại với nhau dé

được một cái phểu có dạng của một hình nón Gọi + là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phéu

(0<x < 2nz)

a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo R và x

b) Tính thê tích của hình nón theo R va x

c) Tim x đẻ hình nón có thê tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

23 Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (xem hình bên) Hai mặt bên

ABB'A' và ACC”A' là hai tắm kính hình chữ nhật dai 20 m, rong 5 m Goi x (m) là độ dài của

cạnh BC

a) Tinh thé tích V của hình lăng trụ theo x

Trang 38 > Đỗ Văn Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn 8

b) Tim x sao cho hình lăng trụ có thê tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

A’

A

⁄S

Cc x 8

24 Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh lần lượt là 0.9 m và 1.5 m như hình vẽ Bạn Minh cat di

phân tô màu xám và gap lại để được một hình chữ nhật Goi V là thể tích hình hộp chữ nhật

được tạo thành, V được tính theo x bởi công thức nào? Tìm x đề hình hộp tạo thành có thê tích

lớn nhất

25 Bac Hung có một hàng rào thép dai 240 m va muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình

chữ nhật giáp một con sông thăng Bác không cần rào phía cạnh con sông Hỏi thửa ruộng có

điện tích lớn nhất là bao nhiêu?

26 Mot chiéc hộp dang hinh hop chữ nhật có đáy là hình vuông và có thẻ tích là 2 000 cm3 Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nêu muốn lượng vật liệu dùng đẻ sản xuất chiếc hộp là

nhỏ nhất?

27 Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biên khoảng 3 km, một thị trần ở điểm A cách điểm P

12 km (xem hình vẽ) Nếu một người trên đảo chèo thuyền Voi van tốc 2,5 km/h và đi bộ với

vận toc 4 km/h thi thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA đề người đó đến thị trần trong khoảng thời gian ngắn nhất?

tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

đường cong logistic # = R(x) =

: Scannedwith ;

‘(3 CamScanner:

Đ

«= Bài 3— Bài toán tối ưu ứng dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 39

29 Một đội bóng đá thi đầu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả Với giá mỗi vé

là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người Qua thăm dò dư luận người ta thay ring môi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả Hỏi ban tô chức nên đặt giá vé là bao nhiêu đẻ doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

30 Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 tỉ vi màn hình phăng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng néu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng,

số lượng tỉ vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 tỉ vi mỗi tuần

a) Tìm hàm cầu

b)_ Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua đề doanh thu là lớn nhất?

c) Néu ham chi phi hằng tuần la C(x) = 12 000 — 3x (triéu dong), trong đó x là số tỉ vi bán

ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thể nào để lợi nhuận là lớn nhất?

31.Một công ty ước tính rằng chỉ phí € (USD) để sản xuất x đơn vị sản phẩm có thẻ được mô hình hoá bằng công thức

chi phi trung binh

Néu C(x) = 16 000 + 200x + 4x3/2, hay tim:

(i) Chi phi, chi phi trung binh va chi phi bién khi san xuat 100 don vi hang hoa;

(1) Mức sản xuất và khi đó sẽ giảm thiêu chi phí trung bình;

(ii) Chỉ phí trung bình nhỏ nhất

33.Cho ham chi phi C(x) = 16000 + 500x — 1,6x? + 0,004xỶ 1a ham chi phi va p(x) =

1700 — 7x là hàm cầu Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa hóa được lợi nhuận

34 Một hộ làm nghề dét vải lụa tơ tắm sản xuất mỗi ngày được + mét vải lụa (1 < x < 18) Tong

chỉ phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đỏng, cho bởi ham chi phí:

C(x) =xŸ— — 3x? — 20x + 500

Giả sử hộ làm: nghề dét này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đỏng/mét

Goi B(x) la số tiền bán được và L(x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa

a) Hãy viết biểu thức tính B(x) va theo L(x) theo x

b) Khao sat va vé dé thi của hàm số ie L(x) trên [1; 18]

c) Hộ làm nghề đệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa đẻ thu được

lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tôi đa đó

35 Người ta muôn chế tạo một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cmỀ với yêu cầu

dùng ít vật liệu nhất Chiều cao hộp phải là 2 em, các kích thước khác là x,y với x > 0 và

2 7 : a

Trang 40 P Do Van Đức | Khóa học IMOE 2025 môn Toán | hocimo.vn <<

c) Lap bang biến thiên của hàm số S() trên khoảng (0; +00) :

đ) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhât? (Làm tròn kết quả đến hang phan mười)

36 Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 em và bán kính đáy băng 5 cm, Người ta cất hình nón, trụ này theo mặt phăng chứa đường thăng noi đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phăng như hình vẽ

!h

x -=

r Scm