Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Thiết lập hệ phương trình Navier-Stokes

Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi trong luận văn này là sử dụng cácđịnh luật bảo toán, sử dụng các phép biến đổi phương trình vi phân, các tíchphân mặt, tích phân khối, phân tích lực,

Đạo hàm vật chất

Đạo hàm vật chất: Tốc độ thay đổi thời gian của phần tử chất lỏng tiếp theo thể hiện trong hệ tọa độ Euler Xem xét lượng F các phần tử chất lỏng, trong đó:

(1.1) ở đây: x 0 i - vị trí ban đầu của hạt chất lỏng bt - thời gian r i = r i (x 0 i ,bt) - quỹ đạo của hạt chất lỏng ui = ∂ri

∂bt - vận tốc hạt xi =ri(xi,bt) - quỹ đạo hạt chất lỏng tại thời điểm t=bt.

Tốc độ thay đổi của F tiếp sau một phần tử chất lỏng có thể được viết như sau ∂F

Dựa vào biểu thức trên, chúng ta xác định Đạo hàm vật chất D

Hình 1.1: Quỹ đạo hạt chất lỏng Đạo hàm vật chất thực hiện phép đo tốc độ thay đổi trong miền lân cận và phép đo sự biến thiên của vận tốc u i

Ví dụ, chúng ta xem xét gia tốc của một hạt chất lỏng trong một dòng chảy ổn định và hội tụ, xem hình 1.2 Gia tốc được xác định: aj = Dui

(1.2) có thể được đơn giản hóa trong không gian một chiều cho trường hợp đứng yên, ta được a= Du Dt = ∂u

Hình 1.2: Gia tốc của các hạt chất lỏng trong dòng hội tụLưu ý rằng gia tốc khác 0 ngay cả khi vận tốc tại x cố định không thay đổi.

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

Định lý vận tải Reynolds

Xét phương trình tổng quát của định lý Leibniz d dt

A(t) dAãuAF , (1.3) trong đó: u A - vận tốc tại biên A(t) - bề mặt của thể tích V(t) Đối với thể tích cố định thì u A = 0, phương trình trở thành d dt

Hình 1.3: Hình minh họa định lý Leibniz Đối với thể tích V(t) có bề mặt chất lỏng chuyển động, gán uA = u Khi đó, phương trình (1.3) trở thành

(Định lý vận tải Reynolds) Áp dụng định lý Gauss, ta được

Giả sử tồn tại hàm f sao cho F = ρf (với ρ là mật độ chất lỏng) Khi đó phương trình được viết lại

∂x j dV Áp dụng phương trình liên tục ∂ρ ∂t + ∂x ∂ j (ρuj) = 0 ta được phương trình cuối cùng

Định luật bảo toàn khối lượng

Xét một thể tích không đổi trong không gian Tốc độ tăng khối lượng bên trong thể tích là tích phân khối d dt

Tốc độ dòng chảy thoát ra khỏi thể tích là tích phân mặt

A ρuãdA, trong đú ρuãdA là lượng vật chất thoỏt ra ngoài tại vị trớ dA.

Hình 1.4: Sự bảo toàn khối lượng của khối chất lỏng có thể tích không đổi

Theo định luật bảo toàn khối lượng: tỷ lệ khối lượng tăng lên trong một thể tích không đổi bằng tốc độ dòng chảy qua các biên, nên ta có:

Phương trình (1.7) là dạng tích phân của định luật bảo toàn khối lượng đối với thể tích không đổi trong không gian Ta có

Khi đó phương trình (1.7) trở thành

Phương trình (1.8) gọi là phương trình liên tục và biểu diễn dạng vi phân của định luật bảo toàn khối lượng Ta có dạng đầy đủ của phương trình (1.8)

Hay phương trình liên tục có dạng:

Dt là tốc độ thay đổi mật độ các hạt chất lỏng, tốc độ này có thể khác 0 do sự thay đổi của áp suất, nhiệt độ hoặc thành phần của chất lỏng Do mật độ thay đổi trong dòng chảy là rất nhỏ nên theo phương pháp tính gần đúng của Boussinesq ta có thể xem Dρ

Dt ≈ 0 Khi đó ta có định luật bảo toàn khối lượng trong trường hợp dòng chảy không thể nén được là:

Định luật bảo toàn động lượng

Sự căng nhớt

Sự căng trong chất lỏng, được cung cấp bởi một tenxơ S, là do ảnh hưởng của áp suất p và các căng nhớt Do đó, tenxơ căng có thể được viết là

Nguyễn Đức Lễ 5 trong đópI là tensor cầu đối xứng phụ thuộc vào áp suất p, I là tensor đơn vị và Π là tenxơ căng nhớt.

Sử dụng phép tính gần đúng của Newton, theo đó Π có liên quan đến đạo hàm của trường vận tốc U = (u, v, w) thông qua tensor biến dạng

1 2(uz +wx) 1 2 (vz +wy) wz

Theo giả thuyết Newton, mối liên hệ giữa Π và D là tuyến tính và đồng nhất.

Theo phép tính gần đúng của Newton ta có: Π = 2ηD+ η b − 2

Hai đại lượng vô hướng là các hệ số bất định gồm hệ số độ nhớt trượt η và hệ số nhớt khối ηb.

Đạo hàm thời gian

Xét một hàm trường vô hướngφ(x, y, z, t), đạo hàm thời gian củaφ(x, y, z, t) như là theo vận tốc chất lỏng U = (u, v, w) cho bởi

Dt theo một hạt thường được gọi là đạo hàm vật chất, ∂φ

∂t là đạo hàm riêng của φ(x, y, z, t) theo thời gian và thể hiện cho tốc độ thay đổi địa phương của φ(x, y, z, t); U ã(φx, φy, φz) thể hiện tốc độ thay đổi đối lưu Ta cú thể viết dưới dạng đạo hàm chặt của U = (u, v, w), nghĩa là

V φ(x, y, z, t)dV (1.13) trong đó φ(x, y, z, t) là hàm trường vô hướng bất kỳ và thể tích V được bao bọc bởi một biên trơn từng mảnh A.

Khi đó đạo hàm thời gian của Ψ(t) Z Z Z

(nãφU)dA, (1.14) trong đó n= (n1, n2, n3) là vectơ pháp tuyến của bề mặt A có hướng ra ngoài bề mặt A.

Tổng quát cho vectơ Ψ(x, y, z, t) như sau

Tích phân mặt có thể được chuyển thành tích phân thể tích nhờ vào định lý Gauss Điều này nói rằng với bất kỳ trường vectơ khả vi Φ(φ1, φ2, φ3) và một thể tích V có mặt biên trơn A, ta có

(nãΦ)dA (1.16) Định lý Gauss cũng áp dụng cho các trường vô hướng khác nhau và các trường tenxơ.

Bảo toàn động lượng

Xét thể tích V với mặt biên A cho trước, tổng động lượng trong V được đưa ra bởi Ψ(t) Z Z Z

V ρU dU (1.17) Định luật bảo toàn động lượng có từ các áp dụng trực tiếp của Định luật Newton: đạo hàm thời gian của sự thay đổi động lượng trong V bằng tổng lực tác động trên thể tích V Tổng lực được chia thành các lực bề mặt f s và lực khối f V được tính như sau f S Z Z

V ρgdV (1.18) Ở đây: g là lực khối đặc biệt như các lực quán tính, lực hấp dẫn, lực điện từ, χ =nãS là vector căng.

Nguyễn Đức Lễ 7 Áp dụng định luật Newton được

DΨ Dt =f S +f V , với Φ = ρU, (1.15) được viết lại

Xem V như là một thể tích không đổi trong không gian, độc lập với thời gian, ta viết

U(nãρU)dA+f S +f V (1.20) có thể được hiểu là nói rằng đạo hàm thời gian của sự thay đổi động lượng trong thể tích không đổi V là do moment tĩnh của dòng bên trong cao hơn moment của dòng bên ngoài cộng với lực biên và lực khối.

Thay S =−pI+ Π vào (1.20) và viết tất cả các số hạng bề mặt thành một tích phân duy nhất ta có

Công thức trên có thể áp dụng cho trường hợp nghiệm không liên tục Định luật bảo toàn vi phân có thể xuất phát từ (1.21) với giả thuyết rằng tích phân mặt là đủ trơn để có thể áp dụng định lý Gauss Hãy xem xét thành phần đầu tiên của tích phân mặt trong công thức (1.21)

U(nãρU) =nãρU U T (1.22) Ba cột của vế trái tương ứng là uã(nãρU) = nã ρu 2 , ρuv, ρuwT

, (1.23) wã(nãρU) = nã ρuw, ρvw, ρw 2 T

. Áp dụng định lý Gauss cho từng từng phần của tích phân mặt ta được Z Z Z

(1.24) Hệ thức trên tương ứng vói bất kỳ thể tích V tuỳ ý nên ta có

= ρg (1.25) Đây là dạng vi phân của phương trình bảo toàn động lượng.

BÀI TOÁN RIEMAN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC ĐẲNG ENTROPY 10

Tính chất cơ bản

Trong phần này, chúng tôi tham khảo, tổng hợp chủ yếu dựa vào tài liệu [18].

2.1.1 Nghiệm trơn trong hệ phương trình bảo toàn Xét bài toán Cauchy

Giải bài toán trong không gian 1 chiều: Xét p = d = 1, lấy f : R → R là một hàm C 1 Vấn đề Cauchy trở thành

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Để u là một nghiệm cơ bản của phương trình (2.1a) thì ta có

Bổ đề 2.1.1([18]) Giả sử ulà nghiệm liên tục của phương trình (2.1a) Đường đặc trưng (2.4) là đường thẳng mà dọc theo đó u là hằng số.

Chứng minh Xét đường đặc trưng tiếp xúc tại (x0,0) là một nghiệm của phương trình vi phân sau

Xét trong khoảng thời gian rất nhỏ thuộc [0, t0], ta có d dtu(x(t), t) = ∂u

Suy ra hàm u là hằng số Khi đó phương trình đường thẳng đặc trưng đi qua điểm (x 0 ,0) có dạng x= x0+ta(u0(x0)) (2.5) Đây là tính chất quan trọng để xây dựng nghiệm trơn Xét tập hợp u(x, t) =u 0 (x 0 ), (2.6) trong đó x0 là nghiệm của phương trình (2.5) Đây được gọi là phương pháp đặc trưng.

Lấy hai điểm x1 < x2 sao cho m1 = 1 a(u 0 (x 1 )) < m2 = 1 a(u 0 (x 2 )).

Khi đó đường đặc trưng C1 và C2 lần lượt đi qua các điểm (x1,0) và (x2,0) có độ dốc m1 và m2 cắt nhau tại điểm P Tại điểm P, nghiệm u không thể lấy giữa hai giá trị u0(x1) và u0(x2)hay nói một cách khác là u không liên tục tại P Điều này có nghĩa là hai hàm u 0 và f có tính trơn độc lập với nhau.

Theo (2.5), tại thời điểm t có hai giá trị đặc trưng nếu: t[a(u0(x1))−a(u0(x2))] =x2 −x1.

Hình 2.1: Phương pháp đặc trưng cho phương trình Burgers

Suy ra, hàmx →a(u0(t)) là hàm đồng biến hay phương trình không có nghiệm cơ bản ∀t > 0 (Hình 2.1).

Ngoài ra, ta có thể xác định thời gian T ∗ = − 1 min{α,0} mà ở đó nghiệm cơ bản được xác định bởi phương pháp đặc trưng, trong đóα= min y∈ R d dya(u 0 (y)).

Ví dụ 2.1.1 Xét bài toán Cauchy cho phương trình Burgers với điều kiện ban đầu u(x,0) =u0(x) 

Sử dụng phương pháp đặc trưng và áp dụng phương trình (2.5), ta có đường đặc trưng đi qua điểm (x0,0) là x(x0,0) 

Với t < 1, các đường đặc trưng không có điểm chung (xem Hình 2.1) Các giá

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ trị x0 tương ứng với các đường đặc trưng đi qua điểm (x, t) với t < 1 x0 

Tại t = 1 xuất hiện giao điểm của các đường đặc trưng, hiện tượng này gọi là “sốc” Xét trong khoảng thời gian nhỏ, phương pháp đặc trưng giúp ta tìm được nghiệm trơn u của phương trình (2.1a) và (2.2a).

Nghiệm trơnucủa phương trình (2.1a) và (2.2a) chỉ tồn tại trong một khảng thời gian ngắn Tuy nhiên trong vật lý, nghiệm cần tồn tại trong thời gian dài hơn nên cần có khái niệm nghiệm yếu. Điều kiện Rankine – Hugoniot.

Lấy u0 ∈ L ∞ loc (R d ) p , trong đó L ∞ loc là không gian các hàm đo được địa phương.

Lấy C 0 1 (R d ×[0,+∞)) là không gian C 1 các hàm compact trong R d ×[0,+∞).

Nếuu là hàm C 1 và bất kì ϕ∈ C 0 1 (R d ×[0,+∞)) p , theo định lý Green ta được

Nghiệm cơ bản u của bài toán Cauchy được tìm thấy với tất cả ϕ∈ C 0 1 (R d × [0,+∞)) p khi

Hệ thức (2.7) cho ta thấy nghiệm cơ bản chỉ cần bị chặn và khả tích địa phương. Định nghĩa 2.1.1([18]) Lấyu 0 ∈ L ∞ loc (R d ) p Hàmu∈ L ∞ loc (R d ) p gọi là nghiệm yếu của bài toán Cauchy nếu u(x, t) ∈ Ω bị chặn và khả tích địa phương hầu khắp nơi và thỏa mãn (2.7) với tất cả ϕ∈ C 0 1 (R d ×[0,+∞)) p

Theo cách xây dựng, bất kỳ nghiệm cơ bản của bài toán Cauchy đều là nghiệm yếu Ngược lại, bằng cách chọn ϕ trong C 0 ∞ (R d × [0,+∞)) p , ở đây C 0 ∞ (R d ×[0,+∞)) p là không gian của hàm C ∞ có tính compact trong R d × [0,+∞), ta được tất cả nghiệm yếu u thỏa mãn phương trình

∂x j fj(u) = 0, x = (x1, x2, , x d )∈R d , t > 0 theo nghĩa phân phối trong R d ×(0,+∞) Hơn nữa, nếu u là hàm C 1 thì u là nghiệm cơ bản Thật vậy, lấy ϕ∈ C 0 1 (R d ×[0,+∞)) p và tích phân từng phần (2.7) ta được

Nhân (2.1) với ϕ∈ C 0 1 (R d ×[0,+∞)) p lấy tích phân từng phần và đối chiếu với (2.7) ta được

Xét các nghiệm của (2.1) theo nghĩa phân phối trơn từng phần và không liên tục. Để ngắn gọn, ta gọi hàm u là “ điều hướng C 1 ” nếu tồn tại hữu hạn các mặt trơn, định hướngΣ trong không gian (t, x)mà u là hàm C 1 và trên không gian đó u có bước nhảy không liên tục Với bề mặt gián đoạn Σ, ta kí hiệu n= (nt, nx 1 , nx 2 , , nx d ) T (6= 0) là vectơ pháp tuyến của Σ và u+ và u − là các giới hạn ứng với mỗi bên của Σ, u ± (ξ(t), t) = lim ε→0u((ξ(t), t)±εn) Các giá trị u và f(u) ở mỗi bên của Σ được liên kết bởi một mối liên hệ ẩn trong các phương trình. Định lý 2.1.1 ([18]) Lấy hàm u : R d ×[0,+∞)→Ω là một hàm điều hướngC 1 Khi đó, u là nghiệm của (2.1) theo nghĩa phân phối trên R d ×(0,+∞) khi và chỉ khi hai điều kiện sau thỏa mãn:

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ (i) u là nghiệm cơ bản của (2.1) trong miền u là C 1 ;

(ii) u thỏa mãn điều kiện nhảy dọc theo các bề mặt không liên tục

Chứng minh Chiều thuận: Giả sử u là hàm điều hướng C 1 và là nghiệm của (2.1) theo nghĩa phân phối trên R d ×(0,+∞) suy ra u thỏa mãn (i).

Lấy Σ là bề mặt không liên tục của u, M là một điểm trên Σ và D là mặt cầu nhỏ có tâmM (Giả sử là sự gián đoạn duy nhất củautrongD) Ta kí hiệu

D± là hai thành phần mở của D ứng với mỗi bên của Σ Lấy ϕ∈C 0 ∞ (D) p , ta viết

Giả sử nlà vectơ pháp tuyến của mặt Σtại các điểm theo hướng D+ Áp đụng công thức Green ta được

Vì ulà nghiệm cơ bản của (2.1) trên D + và D − nên tích phân thứ nhất và thứ ba triệt tiêu Do đó ta được

Chiều đảo: Nếu u là một hàm điều hướng C 1 và thỏa mãn (2.1) và (ii) ta cần chứng minh u là nghiệm phân phối của (2.1) Kí hiệu bước nhảy của u qua Σ là

Bước nhảy của fj(u),1≤ j ≤d là [fj(u)] = fj(u+)−fj(u−).

Khi đó (2.8) được viết lại là nt[u] + d

Nếu (nx 1 , nx 2 , , nx d ) 6= (0,0, ,0), ta có thể lấy vectơ pháp tuyến có dạng n= −s v

! , trong đó s∈ R, v = (v1, v2, , v d ) T là vectơ đơn vị trong R d Khi đó (2.8) được viết lại s[u] d

Chú ý: Σ có hướng chuẩn được xác định thông qua sự lựa chọn thể tích chính tắc trên không gian tiếp tuyến và một trường vectơ pháp tuyến chính tắc liên quan đến hướng này Nếu Σ được định hướng và n

|n| là vectơ pháp tuyến đơn vị có hường ra ngoài bề mặt Σ và v, s là hướng và tốc độ lan truyền của các gián đoạn Chẳng hạn, như trong không gian hai chiều (d = 2) Σ là mặt trơn trong R 3 có tham số hóa dạng (t, x1, x2 = ξ(t, x1)) Ta có n= (nt, nx 1 , nx 1 ) T = 1 +

∂x 1 ,1 T và v chỉ theo hướng dương của trục x 2

Trong không gian một chiều (d= 1) ta có Σ là đường cong trơn có tham số hóa là (t, ξ(t)) và n= (−s,1) T , s= ∂ξ

Vì vậy điều kiện nhảy Rankine–Hugoniot trở thành: s[u] = [f(u)] (2.11) trong đó f(u) = (f1(u), , fp(u)) T u = (u1, , up).

Nghiệm yếu không là duy nhất Để chọn ra nghiệm vật lý duy nhất ta cần điều kiện entropy.

Giả sử u là một nghiệm trơn của hệ luật bảo toàn (2.1) Giả sử U : Ω→ R là hàm khả vi Nhân cả hai vế của (2.1) với U 0 (u) ta được

Vậy nếu tồn tại các hàm khả vi Fj,1≤ j ≤ d sao cho

U 0 (u)f j 0 (u) = F j 0 (u), 1≤ j ≤ d, u∈ Ω (2.13) thì hệ (2.12) có thể viết lại dưới dạng bảo toàn

∂x j = 0 (2.14) Định nghĩa 2.1.2 ([18]) Giả sửΩlà tập hợp lồi Khi đó, một hàmU : Ω→ R được gọi là một entropy của hệ (2.1) nếu tồn tại d hàm khả viF j : Ω→R,1 ≤ j ≤ d, được gọi là các thông lượng entropy, thỏa mãn hệ thức (2.13). Định nghĩa 2.1.3 ([18]) Một nghiệm yếu u của bài toán Cauchy được gọi là nghiệm entropy nếu với mọi hàm entropy U cùng với thông lượng entropy tương ứng F j ,1 ≤ j ≤ d và với mọi hàm thử ϕ∈ C 0 ∞ (R d ×[0,+∞)), ϕ ≥ 0, u thỏa mãn

Ta có thể thấy rằng một hàm C 1 từng mảnh U là nghiệm entropy của bài toán Cauchy nếu:

(i) u là nghiệm cổ điển của (2.1) trong những miền màu là C 1 và thỏa (2.2) hầu khắp;

(ii) u thỏa mãn điều kiện Rankine-Hugoniot;

(iii) u thỏa mãn điều kiện bước nhảy n 0 [U(u)] + d

X j=1 n j [F j (u)]≤ 0 (2.16) trên các mặt gián đoạn, trong đó n là véc-tơ pháp tuyến đơn vị hướng vào trong D +

Xét luật bảo toàn vô hướng

∂x = 0, x∈ R, t > 0, (2.17) trong đó u = u(x, t) ∈ R Với mọi cặp entropy (U, F), theo bất đẳng thức entropy, ta đều có

Với mỗi hàm lồi U, hàm thông lượng entropy tương ứng được cho bởi

U 0 (v)f 0 (v)dv,, trong đó u0 là một giá trị tùy ý chọn trước. Định nghĩa 2.1.4 ([18]) Một sóng sốc của (2.17) là một nghiệm yếu u của (2.17) thỏa điều kiện entropy (2.18) và có dạng u(x, t) (u−, x < st u+, x > st

(2.19) trong đó u − , u + là các hằng số cho trước, u − 6=u + , được gọi là các trạng thái bên trái và bên phải, s được gọi là vận tốc sốc.

Như vậy một sốc (2.18) thỏa hệ thức Rankine-Hugoniot s(u + −u − ) = (f(u + )−f(u − )) (2.20) Định lý 2.1.2 (Tiêu chuẩn Oleinik, [18]) Một gián đoạn (2.19) thỏa điều kiện entropy (2.18) nếu và chỉ nếu f(v)−f(u − ) v −u − ≥ f(u + )−f(u − ) u+−u − ∀u∈ (u−, u+) (2.21) Ngoài ra, điều kiện (2.21) suy ra bất đẳng thức sốc Lax f 0 (u−)≥s ≥ f 0 (u+) (2.22)

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Chứng minh Từ hệ thức Rankine–Hugoniot, vận tốc sốc được xác định bởi s= f(u + )−f(u − ) u+−u − Z 1 0 a(u−+y(u+−u−))dy, (2.23) trong đó a(u) =f 0 (u).

Mặt khác, bất đẳng thức (2.18) tương đương với điều kiện E(u−, u+) := −s(U (u+)−U (u−)) +F(u+)−F (u−)≤ 0 (2.24) Ta có

Vì U 00 >0 là tùy ý, bất đẳng thức (2.21) và (2.25) là tương đương.

Hệ quả 2.1.1 ([18]) Nếu f là hàm lồi thì bất đẳng thức (2.18) tương đương với u − ≥ u + (2.26)

Sốc và điều kiện chấp nhận được

Trong phần này, chúng tôi tham khảo, tổng hợp chủ yếu dựa vào tài liệu [18] Định nghĩa 2.2.1 ([18]) Một trạng thái gián đoạn là điều kiện entropy Lax nếu tồn tại một giá trị k ∈ {1,2, , p} thỏa có một trong hai điều kiện sau:

(i) (λ k (u+)< s < λ k+1 (u+) λ k−1 (u−)< s < λ k (u−) nếu tường đặc trưng thứ k là thuần phi tuyến.

(ii) λ k (u − ) = s= λ k (u + ) nếu tường đặc trưng thứ k là suy biến tuyến tính.

Cho trước hai trạng thái u L , u R ∈ Ω Ta khảo sát các nghiệm gián đoạn là hằng số từng mảnh của phương trình (2.1a) nối u L với u R Dọc theo đường gián đoạn x = ξ(t) của nghiệm yếu u của (2.1a), u thỏa hệ thức bước nhảy Rankine-Hugoniot σ[u] = [f(u)], (2.27) trong đó σ = ξ 0 (t)là tốc độ lan truyền gián đoạn Từ đó, một hàm: u(x, t) (uL, x < λt uR, x > λt

(2.28) là một nghiệm yếu của (2.1) nếu số thực σ thỏa mãn

Một nghiệm có dạng (2.29) được gọi là một sóng gián đoạn của (2.1) Cho trước trạng thái bên trái u L , ta có thể xác định được tập hợp các trạng thái u∈ Ω mà có thể nối với u L về bên phải bởi một sóng gián đoạn. Định nghĩa 2.2.2 ([18]) Tập Rankine–Hugoniot củau 0 là tập tất cả các trạng thái u∈ Ω sao cho tồn tại một số σ(u0, u)∈ R thỏa mãn ưσ(u0, u) (uưu0) + (f(u)ưf(u0)) = 0 (2.30) Định lý 2.2.1 ([18]) Giả sử u 0 ∈ Ω Tập hợp Rankine-Hugoniot của u 0 một cách địa phương gồm p đường cong H k (u0),1≤ k ≤ p Với mỗi k, tồn tại một phép tham biến hóa của H k (u L ) :s 7→Ψ k (s) xác định với |s| ≤ s1, s1 đủ bé sao cho Ψ k (s, u0) =u0 +sr k (u0) + s 2

(2.31) và vận tốc sốc thỏa λ k (s, u − ) = λ k (u − ) + s

Chứng minh Do ma trậnDf(u)là hyperbolic ngặt trongΩnên ma trận trung bình

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ cũng là hyperbolic ngặt Ta kí hiệu λ k (u0, u), r k (u0, u), l k (u0, u) cho trường đặc trưng thứ k của A(u0, u) mà sau khi chuẩn hóa, ta có thể giả thuyết l k (u 0 , u)ãr k (u 0 , u) = 1 Hệ thức Rankine-Hugoniot (2.30) trở thành λ−A

Suy ra tồn tại một chỉ số k sao cho (u− u 0 ) là vec tơ riêng thứ k có giá trị riêng tương ứng λ = λk(u0, u) Nói riêng ta có lj(u0, u)ã(uưu0) = 0,∀j 6=k, j = 1, , p (2.35) là hệ phương trình đại số phi tuyến p − 1 phương trình với p ẩn là vec tơ u trong R p Áp dụng định lý hàm ẩn cho ánh xạ u ∈ Ω 7→ G(u) lj(u0, u)ã(uưuư) j6=k ∈ R p−1 trong lân cận của điểm u= u0 vớiG(u0) = 0.

Ma trận Jacobi tạiu =u0 là DG(u0) = (lj(u0)) j6=k có hạng cao nhất p−1 nên tồn tại một đường cong trơnH k (u 0 )các nghiệm u của (2.21),s 7→Ψ k (s),|s| ≤ s1, s1 đủ bé sao cho Ψ k (0) =u0 (2.36)

Xem u, λ là các hàm của tham biến s u = Ψk(s, u0) = v(s), λ =λk(s, u0) = λ(s), lấy đạo hàm (2.30) theo s ta có λ 0 (s) (v(s)−u 0 ) = A(v(s))−λ(s) v 0 (s) (2.37) Tiếp tục đạo hàm hai vế theo s ta có λ 00 (s) (v(s)−u 0 ) + 2λ 0 (s)v 0 (s)

Cho s → 0 ta được λ(0)−A(u 0 ) v 0 (0) = 0 Ta có λ(0) = λ k (u 0 ) Do đó, v 0 (0)6= 0 và là một bội của r k (u0) Ta có thể chọn v 0 (0) =r k (u0).

+ (A(v(0))−λ k (u0))v 00 (0) Mặt khác, lấy vi phân đẳng thức Ar k = λ k r k ta có

Nguyễn Đức Lễ 21 vì vậy

. (2.39) Nhân (2.39) với vec tơ riêng trái l k (u0) ta suy ra λ 0 (0) = 1

Ngoài ra, v 00 (0) → Dr k (u0)r k (u0) phải là một vec tơ riêng Hay nói một cách khác, với một hằng số b nào đó ta có v 00 (0) = Drk(u0)rk(u0) +brk(u0). Lấy vi phân (2.39) ta thu được

= D 2 Ar k r k (u0) + (DA(Dr k r k ))r k (u0) + 2 (DArk) (u0) (Drkrk) (u0) + (A(u0)−λk(u0))v 000 (0). Mặt khác, lấy vi phân đẳng thức Ar k = r k r k hai lần ta được

D 2 Ar k r k (u 0 ) + (DA(Dr k r k ))r k (u 0 ) + 2 (DAr k ) (u 0 ) (Dr k r k ) (u 0 )

=−(A(u0)−λ k (u0))D(Dr k r k )r k (u0) + 2 (∇λ k ãr k ) (u0) (Dr k r k ) (u0) + (∇(∇λ k ãr k )ãr k ) (u0)r k (u0)

2 (Drkrk) (u0) + (A(u0)−λ k (u0)) v 000 (0)−D(Dr k r k )r k (u0) nhân với vec tơ riêng trái l k ta suy ra (2.32) Điều phải chứng minh.

Chú ý: Một gián đoạn có dạng (2.38) liên kết với một đường đặc trưng suy biến tuyến tính được gọi là một gián đoạn tiếp xúc.

Sóng giãn

Trong phần này, chúng tôi tổng hợp chủ yếu dựa vào tài liệu [1].

Cho u L , u R ∈ Ω Ta khảo sát các hàm liên tục trơn từng mảnh tự đồng dạng u: (x, t)7→u(x, t) là nghiệm của bài toán (2.1) nối u L với u R ut +f(u)x= 0, (2.40) u(x,0) (u L , x < 0 u R , x > 0 Hàm tự đồng dạng u có dạng u(x, t) = v x t

Thay (2.41) vào phương trình đạo hàm riêng của (2.40) ta được

Lấy đạo hàm của λ k (v(xi)) =ξ ta được Dλ k (v(ξ))v 0 (ξ) = 1 Suy ra α(ξ)Dλ k (v(ξ))ãr k (v(ξ)) = 1 (2.42) Nếu k suy biến tuyến tính thì (2.42) không giải được Từ (2.42), ta có α(ξ) = 1

Như vậy, giả sử trường đặc trưng thứk là phi tuyến thực sự và hàmv là nghiệm của (2.43) với v(λ k (uL)) =uL, v(λ k (uR)) =uR.

(2.44) là một nghiệm yếu tự đồng dạng của (2.1). Định nghĩa 2.3.1 ([18]) Nghiệm yếu tự đồng dạng (2.44) được gọi là một sóng k-giãn. Định lý 2.3.1 ([18]) Giả sử trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thật sự với sự chuẩn húa Dλ k (u)ã r k (u) = 1, l k (u) T r k (u) = 1 Cho trước một trạng thỏi uL ∈ Ω, tồn tại một đường cong R k (uL) gồm các trạng thái u ∈ Ω, mà có thể nối u L về bên phải bởi một sóng k-giãn Hơn nữa, tồn tại một phép tham biến hóa của R k (u L ) : s 7→Φ k (s) xác định với 0 ≤s ≤ s0, s0 đủ bé sao cho Φ k (s, uL) =uL +sr k (uL) + s 2

Chứng minh Giả sử v : ξ 7→v(ξ) là nghiệm của phương trình vi phân v 0 (ξ) = r k (v(ξ)), ξ > λ k (u L ) (2.46) với điều kiện ban đầu v(λ k (uL)) =uL (2.47)

Nghiệm v tồn tại trong khoảng λk(uL) ≤ ξ ≤ λk(uL) +s0 với s0 đủ bé Áp dụng (2.46) ta có dλ k (v(ξ)) dξ = Dλ k (v(ξ))ãv 0 (ξ) =Dλ k (v(ξ))ãr k (v(ξ)). Theo điều kiện chuẩn hóa ta có dλ k (v(ξ)) dξ = 1.

Như vậy v thỏa mãn λ k (v(ξ))−λ k (v(λ k (u L ))) = ξ −λ k (u L ). Suy ra λ k (v(ξ)) =ξ.

Vậy hàm v là nghiệm của (2.43) sao cho (2.47) được thỏa mãn.

Như vậy, đường cong Rk(uL)là tập hợp tất cả các trạng thái của Ω mà có thể nối u L về bên phải bởi một k-giãn Đặt Φ k (s, uL) := v(λ k (uL) +s),0≤ s ≤s0 ta có Φ k (0, u L ) =u L

Suy ra Φ 0 k (0, uL) = v 0 (λk(uL)) =rk(v(λk(uL))) =rk(uL). Do v 00 (ξ) = Dr k (v(ξ))ãv 0 (ξ) =Dr k (v(ξ))ãr k (v(ξ))

⇒Φ 00 k (0, uL) =Drk(uL)ãrk(uL). Do đó, (2.46) được chứng minh.

Lưu ý: Đường cong R k (u L ) được gọi là đường cong k-giãn Đường này là một đường cong tích phân của r k , tiếp xúc với r k (u L ) tại u L Định lý 2.3.2 ([18]) Giả sử trường đặc trưng thứ k là suy biến tuyến tính, nghĩa là ∇λ k ã r k ≡ 0 Khi đú, đường cong tớch phõn R k (u 0 ) và đường cong Hugoniot H k (u0) trùng nhau Hơn thế, vận tốc đặc trưng dọc theo đường cong tích phân và vận tốc sốc dọc theo đường cong Hugoniot là hằng số và trùng nhau.

Chứng minh Dọc theo đường cong tích phân s7→ w(s) =w k (s, u 0 ) ta có λ k (w(s)) 0 =∇λ k (w(s))ãr k (w(s)) = 0.

Suy ra vận tốc đặc trưng là hằng số Khi đó, xét h(s) =−λ k (w(s)) (w(s)−u0) +f(w(s))−f(u0). Do w 0 (s) =r k (w(s)) nên ta có h 0 (s) = −λ k (w(s))w 0 (s) +A(w(s))w 0 (s) = 0.

Do h(0) = 0, suy ra h(s) = 0 với tất cả các giá trị thích hợp của s Do đó hệ thức Rankine-Hugoniot dọc theo đường cong tích phân, hai đường trùng nhau và λ k (w(s)) =λ k (u0, w(s)).

2.3.2 Đường đặc trưng và điều kiện Entropy Giả sử u là nghiệm cổ điển của hệ (2.1) trong miền D u t +A(u)u x = 0 trong D hay lk(u) T (ut+λk(u)ux) = 0,1≤ k ≤ p (2.48)

Ta định nghĩa đường đặc trưngC k của hệ là đường cong tích phân của phương trình vi phân dx dt =λ k (u(x, t)) (2.49) và kí hiệu bởi s k 7→(x k (s k ), t(s k )) là một tham số hóa của C k , khi đó (2.48) trở thành l k (u) T du ds k = 0,1 ≤k ≤p.

Các phương trình (2.48) được gọi là các phương trình đặc trưng.

2.4 Bài toán Riemann: Bài toán Riemann cho hệ

Euler tuyến tính trong giới hạn áp suất triệt tiêu

Trong phần này, chúng tôi tự nghiên cứu dựa vào lý thuyết chung ở phần trước.

2.4.1 Các tính chất cơ bản

Hệ phương trình Euler đẳng hướng một chiều của khí động học là

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ trong đóρ > 0, u, plần lượt là mật độ, vận tốc và áp suất của khí Áp suất phụ thuộc vào mật độ và được xác định từ các mối quan hệ thiết lập nhiệt động lực học của khí đang được xem xét.

Giải phương trình vi phân (2.50) ta được:

Chúng ta giới hạn trong các loại khí lý tưởng đẳng nhiệt mà phương trình trạng thái cho áp suất được đưa ra bởi p= p(ρ) = κρ γ , κ > 0, γ > 1 (2.51) Viết ngắn gọn hơn phương trình (2.50)

(2.53) có hai giá trị riêng λ 1 (U) = u−p p 0 (ρ), λ 2 (U) =u+p p 0 (ρ) (2.54) Các vec tơ riêng bên phải tương ứng là r1(U) = ρ

Hệ (2.50) là hyperbolic ngặt khi p 0 (ρ)>0 Đặt c =p p 0 (ρ) Vì

> 0 nên trường đặc trưng thứ nhất và thứ hai là phi tuyến ngặt Dễ thấy λ1(u)< λ2(u) nên (2.50) có nghiệm trơn là

Bài toán Riemann cho các phương trình Euler đẳng hướng gồm các nghiệm của (2.50)–(2.51) với dữ liệu ban đầu

(ρ, u) (x,0) = (ρ±, u±), ±x > 0 (2.55) trong đó ρ − , ρ+ ∈ R + và u − , u+ ∈R là các hằng số.

2.4.2 Đường cong sốc Áp dụng hệ thức Rankine–Hugoniot (2.11) ta có

. Biến đổi tương đương ta được

. Do đó ta có đường cong 1-Hugoniot

H2(U0) :u2 = u0+ r(ρ−ρ 0 ) (p−p 0 ) ρρ 0 Áp dụng bất đẳng thức Sốc – Lax ta được

2.4.3 Đường cong giãn Tại U0 ∈Ω, phương trình (2.50) thỏa mãn hệ thức (2.43) v 0 (ξ) = 1

(2.58) trong đó c = p p 0 (ρ) Gán β = ρc −2c 0 +2c Do (2.58) ta được dρ dξ = βρ 0 là các hàm giảm ngặt và lồi ngặt Và các hàm số u = w2(u∗, ρ), u = w 2 B (u∗, ρ), ρ > 0 là các hàm tăng ngặt và lõm ngặt.

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ Định lý 2.4.1 Đường cong W1(U∗) cắt trục tung u = (0, u) tại điểm u M 1

Z 0 ρ ∗ pp 0 (ω) ω dω và đường cong W2(U ∗ ) cắt trục tung u = (0, u) tại điểm u m 2

Nếu u M 1 > u m 2 thì W 1 (U L ) cắt W 2 (U R ) tại điểm duy nhất U ∗

Chứng minh Ta có W 1 (U L ) và W 2 (U R ) cùng đi qua điểm U ∗ nên W 1 (U L ) và W2(UR) có điểm chung là U∗ Theo Bổ đề 2.4.1, W1(UL) là hàm tăng ngặt và W2(U R ) là hàm giảm ngặt Do đó U∗ là giao điểm duy nhất của W1(U L ) và W2(U R ) Điều phải chứng minh.

2.4.5 Nghiệm của phương trình Riemann (2.50)–(2.51)

Có bốn trường hợp nghiệm cho vấn đề Riemann cho (2.50)–(2.51): hai sốc, hai giãn, 1-sốc kết hợp với 2-giãn hoặc 1-giãn kết hợp với 2-sốc. Để thuận tiện trong việc tính toán, ta áp dụng (2.51) vào đường cong giãn, đường cong sốc ta tính được r(ρ−ρ0) (p−p0) ρρ0

Cấu hình nghiệm: 2 sốc, 2 giãn

Theo [2], hai trường hợp nghiệm hai sốc, hai giãn được mô tả bởi Hình 2.2 và Hình 2.3.

Cấu hình nghiệm: 1 sốc và 2 giãn

Lấy u − > u + , ρ ± >0 Với κ >0, lấy (ρ κ ∗ , ρ κ ∗ u κ ∗ )là trạng thái trung gian của (ρ κ , ρ κ u κ ) là nghiệm của hệ (2.50)–(2.51) với dữ liệu Riemann (2.55), u − , u κ ∗ được kết nối bằng sóng 1-sốc và u κ ∗ , u+ được kết nối bằng sóng 2-giãn Sau đó,

Hình 2.3: Hai giãn trạng thái trung gian này được xác định bởi (2.57a) và (2.59a) từ đó suy ra ρ + > ρ −

Chứng minh Lấy κ > 0 Giả sử u κ ∗ , từ (2.59a) ta có ρ κ ∗ = ρ+ Áp đụng vào (2.57a), ta được u+−u− = − s κ(ρ + γ −ρ − γ ) ρ + ρ − (ρ + −ρ − )(ρ+−ρ−) s κ(ρ + γ −ρ − γ ) (ρ + −ρ − ) ρ κ ∗ ρ −

Suy ra κ =κsr. Ngược lại, giả sử κ =κsr khi đó u − −u + =− s κsr ρ γ + −ρ− γ ρ+ρ−(ρ+−ρ−)(ρ + −ρ − ) (2.62) Giả sử ρ κ ∗ sr < ρ + Áp dụng (2.57a), (2.59a) ta được u − −u+ = − s κsr (ρ κ ∗ sr ) γ −ρ− γ ρ κ ∗ sr ρ−(ρ κ ∗ sr −ρ−) (ρ κ ∗ sr −ρ − )− 2√ κsrγ γ−1 ρ+ γ−1 2 −(ρ κ ∗ sr ) γ−1 2

1− ρ ρ − là hàm đồng biến nên (2.62), (2.63) sai.

Do đó ρ κ ∗ sr =ρ+ Theo (2.57a) ta được u − −u κ ∗ sr s κsr ρ γ + −ρ− γ ρ+ρ−(ρ+−ρ−)(ρ + −ρ − ) (2.64)

Từ (2.62) và (2.64) suy ra u κ ∗ sr =u κ ∗ = u+. Do đó (2.60) đúng.

Giả sử tồn tại κ1 ∈ (0, κsr) sao cho u κ ∗ 1 , u+ được kết nối bởi sóng 2-giãn.

Theo (2.60) ta có u − −u+ > s κ1 ρ γ + −ρ− γ ρ+ρ−(ρ+−ρ−)(ρ+−ρ − ) (2.65) Mặt khác, khi trạng thái trung gian (ρ κ ∗ 1 , u κ ∗ 1 ) thỏa mãn (2.57a), (2.59a) thì u−−u+ =− s κ1 (ρ κ ∗ 1 ) γ −ρ− γ ρ κ ∗ 1 ρ−(ρ κ ∗ 1 −ρ−) (ρ κ ∗ 1 −ρ−)− 2√ κ1γ γ−1 ρ+ γ−1 2 −(ρ κ ∗ 1 ) γ−1 2

1− ρ ρ − là hàm đồng biến nên (2.65), (2.66) sai Vậy u κ ∗ , u + được kết nối bởi sóng 2-sốc với κ ∈ (0, κ sr ) Điều phải chứng minh.

Nguyễn Đức Lễ 33 Định lý 2.4.2 Lấy u− > u+, ρ± > 0 Với κ > 0, giả sử (ρ κ , ρ κ u κ ) là sóng 1-sốc và sóng 2-giãn nghiệm của (2.50)–(2.51) với dữ liệu Riemann (2.55), thì khi κ → 0, nghiệm (ρ κ , ρ κ u κ ) trở thành nghiệm δ-sốc của hệ phương trình khí lý tưởng (2.52) với điều kiện Riemann đã cho.

Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.2, nghiệm biếm đổi từ hai sóng sốc là nghiệm của (2.50)–(2.51) khi κ < κ sr Khi κ → 0, nghiệm trở thành nghiệm δ-sốc của hệ phương trình (2.55) với dữ liệu Riemann tương tự.

Cấu hình nghiệm của 1 giãn và 2 sốc

Lấy u − < u + , ρ ± >0 Với κ >0, lấy (ρ κ ∗ , ρ κ ∗ u κ ∗ )là trạng thái trung gian của (ρ κ , ρ κ u κ ) là nghiệm của hệ (2.50)–(2.51) với dữ liệu Riemann (2.55), u−, u κ ∗ được kết nối bằng sóng 1-giãn và u κ ∗ , u+ được kết nối bằng sóng 2-sốc Sau đó, trạng thái trung gian này được xác định bởi (2.57b) và (2.59b), từ đó suy ra ρ + < ρ −

Chứng minh Lấy κ > 0 Giả sử u κ ∗ = u + , từ (2.57b) ta có ρ κ ∗ = ρ + Áp dụng vào (2.59b), ta được u + =u − + 2√ κγ γ−1 ρ γ−1

Suy ra κ =κrs. Ngược lại, giả sử κ =κ rs , khi đó u+−u−= 2√ κ rs γ γ−1 ρ γ−1

Giả sử ρ κ ∗ rs < ρ+ Áp dụng (2.57b) và (2.59b) ta được u + −u − = 2√ κrsγ γ −1 ρ γ−1

− s κrs (ρ κ ∗ rs ) γ −ρ+ γ ρ κ ∗ rs ρ+(ρ κ ∗ rs −ρ+) (ρ κ ∗ rs −ρ + ), ρ + < ρ κ ∗ rs < ρ − (2.70)

− 2 là hàm đồng biến nên (2.69), (2.70) sai Do đó ρ κ ∗ rs = ρ+ Theo (2.59b) ta được u κ ∗ rs −u− = 2√ κ rs γ γ−1 ρ γ−1

Từ (2.69) và (2.71) suy ra u κ ∗ = u κ ∗ rs = u+. Do đó (2.67) đúng.

Giả sử tồn tại κ2 ∈ (0, κrs) sao cho u κ ∗ 2 , u+ được kết nối bởi sóng 2-sốc.

Mặt khác, khi trạng thái trung gian (ρ κ ∗ 2 , u κ ∗ 2 ) thỏa mãn (2.57b), (2.59b) thì u+−u− = 2√ κ2γ γ −1 ρ− γ−1 2 −(ρ κ ∗ 2 ) γ−1 2

− 2 là hàm đồng biến nên (2.72), (2.73) sai Vậy u κ ∗ , u + được kết nối bởi sóng 2-giãn vớiκ ∈ (0, κ rs ) Điều phải chứng minh. Định lý 2.4.3 Lấy u− < u+, ρ± >0 Với κ > 0, giả sử (ρ κ , ρ κ u κ ) là sóng 1- giãn và sóng 2-sốc của (2.50)–(2.51) với dữ liệu Riemann (2.55), thì khiκ →0, nghiệm (ρ κ , ρ κ u κ ) trở thành nghiệm 2-tiếp xúc-gián đoạn của hệ phương trình khí lý tưởng (2.52) với điều kiện Riemann đã cho.

Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.3, nghiệm biến đổi từ hai sóng giãn là nghiệm của (2.50)–(2.51) khi κ < κrs Khi κ → 0, nghiệm trở thành nghiệm 2-tiếp xúc-gián đoạn của hệ phương trình (2.52) với dữ liệu Riemann tương tự.

Phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ: 1/ Bảo toàn khối lượng, 2/

Bảo toàn động lượng, 3/ Giả thuyết Newton Nếu thay đổi giả thuyết thì ta được các nhánh nghiên cứu khác nhau Như vậy phương trình Navier-Stokes là phương trình có hướng mở và rộng Trong tương lai, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tiếp bài toán này bằng cách thay đổi giả thuyết ban đầu, bổ sung thêm định luật bảo toàn năng lượng để được các phương trình mới, như phương trình Euler.