dạy học chuyên đề ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số đa thức theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông

Phương pháp và quy trình dạy học chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số đa thức theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 12 - THPT .... Với nhữn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: GS, TSKH Nguyễn Văn Mậu

HÀ NỘI – 2023

i LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài

Tôi xin cảm ơn tập thể các thầy, cô giáo trong Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, trường Đại học Giáo dục, các thầy, cô giáo đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Bên cạnh đó, trong quá trình hoàn thành luận văn tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ của Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, trường THPT Tứ Kỳ, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Hà Nội, ngày 23 tháng 3 năm 2023

Tác giả luận văn

Nguyễn Đắc Điệp

ii DANH MỤC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

TT Tên viết tắt Ý nghĩa

iii MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6.1 Khách thể nghiên cứu: 2

6.2 Đối tượng nghiên cứu: 2

7 Phương pháp nghiên cứu 3

7.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận: 3

7.2 Phương pháp điều tra, quan sát: 3

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: 3

8 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 1 4

CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 4

1.1 Hoạt động tư duy trong học tập môn Toán 4

1.1.1 Đặc điểm của hoạt động tư duy trong dạy học môn Toán 4

1.1.2 Các thao tác tư duy và hoạt động trí tuệ của học sinh 5

1.2 Năng lực, năng lực toán học, năng lực giải quyết vấn đề Toán học 10

1.2.1 Năng lực 10

1.2.2 Năng lực Toán của học sinh phổ thông 11

1.2.3 Năng lực giải quyết vấn đề Toán học 13

1.3 Dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề 15

1.3.1 Những khái niệm cơ bản 17

1.3.2 Cơ sở lý luận 15

1.3.3 Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh trong dạy học toán ở THPT 19

1.3.4 Cấp độ dạy học phát triển năng lực GQVĐ 20

1.3.5 Các bước dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học 21

1.4 Vai trò, vị trí và nội dung của Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số trong chương trình Toán 12 22

1.4.1 Vai trò, vị trí của Chuyên đề đề Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số trong chương trình toán phổ thông 22

iv 1.4.2 Nội dung và phân phối chương trình bài học tìm cực trị, GTLN,

GTNN của hàm số trong chương trình Toán 12 bậc THPT 23

1.5 Thực trạng dạy học nội dung tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số trong trường phổ thông 23

1.5.1 Mục đích và đối tượng khảo sát 23

1.5.2 Khảo sát và đánh giá thực trạng dạy học chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số tại trường phổ thông 24

2.1 Nguyên tắc xây dựng phương pháp 32

2.2 Phương pháp và quy trình dạy học chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số đa thức theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 12 - THPT 32

2.2.1 Giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản 33

2.2.1.1 Nội dung và những chú ý cần thiết 33

2.2.1.2 Các ví dụ minh họa 34

2.2.1.3 Bài tập có cách giải tương tự dành cho học sinh tự luyện 40

2.2.2 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua việc tích hợp giải toán có yếu tố thực tiễn 40

2.2.2.1 Nội dung và những chú ý cần thiết 40

2.2.2.2 Các ví dụ minh họa 41

2.2.2.3 Bài tập có cách giải tương tự dành cho học sinh tự luyện 46

2.2.3 Nâng cao năng lực và khắc sâu kiến thức thông qua các sai lầm thường gặp 47

2.2.3.1 Nội dung và những chú ý cần thiết 47

2.2.3.2 Các ví dụ minh họa 48

2.2.3.3 Bài tập tương tự dành cho học sinh tự luyện 52

2.2.4 Nâng cao năng lực GQVĐ thông qua hệ thống bài tập vận dụng, vận dụng cao 53

2.2.4.1 Nội dung và những chú ý cần thiết 53

2.2.4.2 Các ví dụ minh họa 53

3.2 Nội dung thực nghiệm 68

3.3 Thời gian, đối tượng, quy trình, phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 69

3.3.1 Thời gian, đối tượng thực nghiệm sư phạm 69

3.3.2 Quy trình triển khai nội dung thực nghiệm 69

3.3.3 Nội dung và phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm 70

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 70

1 MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài

Trong cuộc sống hàng ngày có rất nhiều vấn đề ta cần dùng đến Toán học hay cụ thể hơn là những kiến thức và kĩ năng toán học, đây là một lĩnh vực khoa học giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển

Với môn Toán ở trường phổ thông, một trong các mục tiêu đặt ra trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018 là: Hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Trong các năng lực trên, năng lực giải quyết vấn đề toán học là một năng lực đặc biệt quan trọng đối với học sinh trung học phổ thông, hơn nữa nó không chỉ quan trọng trong toán học mà đối với các mặt của đời sống xã hội đều cần tới năng lực này

Trong chương trình toán học cấp trung học phổ thông, chuyên đề Ứng dụng đạo hàm có vai trò rất quan trọng, dạy học chuyên đề này nếu biết vận dụng các phương pháp phù hợp là một cơ hội rất tốt để nâng cao năng lực cho học sinh Với những lý do đó tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Dạy học chuyên đề ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số đa thức theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 12 – Trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở tìm hiểu, nghiên cứu về lý luận và thực tiễn phát triển năng lực, năng lực giải quyết vấn đề toán học, từ đó đề xuất biện pháp sư phạm để dạy học chuyên đề Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm đa thức trong chương trình Toán 12 – Trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh

2 3 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học nội dung Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số đa thức, nếu xây dựng được quy trình dạy học và phương pháp sư phạm hợp lý theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh có thể phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh trong việc chiếm lĩnh tri thức, góp phần phát triển năng lực học sinh, nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở cấp THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1 Tìm hiểu, phân tích và tổng hợp một số khái niệm, quan điểm và công trình nghiên cứu về năng lực và năng lực toán học

4.2 Tìm hiểu thực trạng dạy học Ứng dụng đạo hàm và năng lực toán học của học sinh phổ thông trong học tập môn Toán

4.3 Trên cơ sở xác định những nguyên tắc, đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học sinh thông qua dạy nội dung Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số đa thức

4.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm định giả thuyết khoa học và bước đầu đánh giá tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã đề xuất 5 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số đa thức trong chương trình Toán 12 - THPT

6.1 Khách thể nghiên cứu: Hoạt động dạy và học môn Giải tích 12 theo định hướng phát triển năng lực toán học của học sinh phổ thông

6.2 Đối tượng nghiên cứu: Một số quan điểm, khái niệm, và đặc trưng của năng lực và năng lực toán học, năng lực GQVĐ toán học Từ đó đưa ra những biện pháp giúp phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học sinh phổ thông

3 7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu một số công trình nghiên cứu, các tài liệu về phương pháp dạy học (PPDH) môn toán, sách giáo khoa Giải tích 12, sách GV, sách bài tập, sách tham khảo và một số tài liệu khác liên quan đến đề tài như khái niệm, quan điểm và công trình nghiên cứu về năng lực và năng lực toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học

7.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành dự giờ một số tiết học thuộc nội dung Giải tích lớp 12, trao đổi với GV dạy toán ở trường THPT Tứ Kỳ Từ đó biết được thực trạng về năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh trung học phổ thông trong học tập môn Giải tích 12

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Làm thực nghiệm sư phạm để kiểm định giả thuyết khoa học và bước đầu đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu

8 Cấu trúc của luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, phần “Kết luận” và "Danh mục tài liệu tham khảo" nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương:

- Chương 1: Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu; - Chương 2: Phương pháp và quy trình dạy học Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm đa thức theo hướng phát triển năng lực học sinh;

- Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Theo tài liệu Tìm hiểu "Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán" (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT, ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) , Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM

Trong chương trình môn Toán năm 2018 đưa ra mục tiêu là hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm: năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Trong phạm vi một đề tài, luận văn xin đề cập chủ yếu đến năng lực GQVĐ toán học và phát triển năng lực này thông qua dạy học chuyên đề ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm đa thức trong chương trình Giải tích 12 - Trung học phổ thông

1.1 Hoạt động tư duy trong học tập môn Toán 1.1.1 Đặc điểm của hoạt động tư duy trong dạy học môn Toán

Tư duy của con người là một hoạt động có nhiều đặc điểm phức tạp như tính có vấn đề, tính trừu tượng, tính khái quát, tính chất lý tính, tính gián tiếp Nhưng đối với hoạt động dạy học thì đặc điểm nổi bật là có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ Vì trong hoạt động tư duy của con người luôn gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện và không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ Mặt khác, ngôn ngữ cũng không thể tồn tại nếu không dựa vào quá trình tư duy của con người Khi con người ta học toán là phải biết vận dụng toán học để giải quyết những bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn, mà muốn giải được những bài

5 toán đó thì đòi hỏi người học phải biết tư duy, biết chuyển từ tình huống cụ thể sang ngôn ngữ toán học bằng những hình ảnh trực quan hay kí hiệu toán học và biết chuyển ngược lại các kết quả toán học có được sang ngôn ngữ của thực tiễn

Ví dụ 1.1: Học sinh có thể dựa vào bất đẳng thức AM-GM để giải quyết bài toán "Bác nông dân có 16m hàng rào hỏi phải rào khu vườn hình chữ nhật có kích thước như thế nào để có được diện tích canh tác lớn nhất ?"

Hoạt động tư duy trong dạy học môn toán còn được thể hiện rõ nét nhờ vào nhiệm vụ nhận thức của người học Cụ thể, khi giáo viên đặt ra cho học sinh một câu hỏi, một bài toán hay yêu cầu học sinh giải quyết một nhiệm vụ đó, tự mình huy động kiến thức, đi tìm sự liên hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết, đưa ra dự đoán và nhận thấy mâu thuẫn khi vận dụng các phương pháp giải khác nhau và tự mình thấy mâu thuẫn

Ví dụ 1.2: Trước khi dạy Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, giáo viên có thể đưa ra bài toán: "Tìm GTLN, GTNN của hàm số

4 2 2 1y x  x  trên đoạn 1; 3  ?", [6;tr.18]

Rõ ràng đây là một bài toán có sự mới lạ với học sinh, trước đây học sinh mới chỉ biết được tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc 2 học từ lớp 10 bằng cách lập bảng biến thiên, nhưng với ví dụ trên giải theo cách lớp 10 sẽ gặp rất nhiều khó khăn, do vậy nảy sinh vấn đề đặt ra là phải làm như thế nào, ngoài kiến thức lớp 10 còn có thể vận dụng mảng kiến thức nào để giải quyết bài toán, học sinh sau khi suy nghĩ có thể dự đoán được là phải dùng đến đạo hàm, xét dấu đạo hàm ta sẽ lập được bảng biến thiên và từ đó kết luận được GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn đã chỉ ra

1.1.2 Các thao tác tư duy và hoạt động trí tuệ của học sinh

Khi giải toán, học sinh phải thực hiện các hoạt động trí tuệ, đó là tập hợp các hành động để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra trong quá trình nhận thức như: hành động cảm giác, hành động trừu tượng, hành động tri giác Do vậy, khi

6 nghiên cứu hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn toán ta đi sâu vào hai vấn đề sau:

* Thao tác tư duy mà học sinh thường vận dụng khi giải toán: - Phân tích - tổng hợp: Phân tích là quá trình phân chia vấn đề cần giải quyết thành các bước, các bộ phận, thuộc tính, các mối quan hệ trong đó để nhận thức dễ dàng hơn, sâu sắc hơn Còn tổng hợp là quá trình hợp nhất hóa các bộ phận, thành phần, thuộc tính, quan hệ của đối tượng nhận thức thành một đối tượng chỉnh thể Tổng hợp và phân tích là các thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng là hai mặt của quá trình thống nhất

- Trừu tượng hóa - khái quát hóa: Trừu tượng hóa là quá trình đơn giản hóa mọi thứ hay nói cách khác là gạt đi những mặt, những thuộc tính, những mối quan hệ không cần thiết mà không làm mất đi bản chất của nó để tư duy Còn khái quát hóa là quá trình tổng hợp một số đối tượng có chung thuộc tính, những mối quan hệ, liên hệ nhất định thành một loại, một nhóm trừu tượng hóa là điều kiện cần để khái quát hóa

- So sánh: là quá trình tư duy nhằm phát hiện được những đặc điểm giống và khác nhau của đối tượng, trong Toán học so sánh nhằm đưa đến sự tương tự hóa và khái quát hóa [15, Tr 16]

Trong quá trình giải toán, các thao tác tư duy trên có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, tương trợ nhau, bổ sung cho nhau mà không phụ thuộc vào nhiệm vụ đó là gì Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần quan tâm rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy này

Ví dụ 1.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 33x trên đoạn 1 1;1 ? Sau khi sử dụng các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, so sánh và trên cơ sở sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ giải được bài toán trên cụ thể như sau:

7 Ta có: y' 3 x2  ;3 ' 0 1 [ 1;1]

1 [ 1;1]x

y

x

      

 1 3y   ; y 1   1Suy ra

1;1min y 1

   Để rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh, người giáo viên có thể mở rộng bài toán trên như sau: "Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

3

y x x " Sau khi học sinh sử dụng thao tác so sánh, khái quát hóa sẽ phát hiện được là phải đưa bài toán có yếu tố lượng giác về bài toán quen thuộc bằng cách đặt

cost x với t [ 1;1]Ví dụ 1.4: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  trên 2;0b, Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f sinx ? 1

Học sinh thực hiện giải câu a không hề khó khăn, vì các em chỉ cần quan sát bảng biến thiên là có thể dễ dàng suy ra được GTLN của hàm số trên đoạn2;0 là 3, đạt được khi x  và GTNN của hàm số là -3 đạt được khi 2

0x Tuy nhiên khi các em đọc đến câu b, sẽ thấy có vấn đề phát sinh: bài toán chỉ cho bảng biến thiên của hàm số y f x  mà lại yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số f sinx ?, học sinh có thể tự tìm phương án để GQVĐ hoặc giáo 1

8 viên có thể gợi ý thêm: "Làm thế nào để chuyển từ bài toán chưa biết cách giải về bài toán quen thuộc ?" Từ đó dẫn đến lời giải như sau:

Đặt sinx  ta có điều kiện 1 t   2 t 0 Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm sốy f t trên đoạn2;0 Từ BBT ta có giá trị lớn nhất của hàm số y f t trên đoạn2;0 là 3 khi

2

2x  k  k Z

Vậy max sinf  x  1 3Ở một cấp độ cao hơn, người giáo viên còn có thể đưa thêm các tình huống mang tính chất vận dụng để học sinh rèn luyện, như ví dụ sau:

Ví dụ 1.5: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x2 y2  Tìm GTLN, GTNN của 2biểu thức: P2(x3 y3) 3 xy ?

Đây là một bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức 2 biến, rõ ràng việc áp dụng đạo hàm ngay là không ổn; hơn nữa việc sử dụng các bất đẳng thức thông thường có thuận lợi và dễ dàng hay không ? Rõ ràng là không dễ

Đây là một vấn đề mới phát sinh, vậy giải quyết như thế nào ? Nhận thấy đây là biểu thức đối xứng, có thể sử dụng giải pháp là đưa về một biến để sử dụng đạo hàm để tìm đáp số của bài toán

Từ đó ta có thể nghĩ tới phương pháp đặt ẩn phụ; lời giải đề xuất như sau: Ta có: P2(x y x )( 2 y2xy) 3 xy2(x y )(2xy) 3 xy Đặt t x y  , do 22 ( )2 2

2x yx  y    x y      t

Do

2

2x y

2P  t t   t

2f t   t t   , với t t  2;2

9 Ta có: f t'( ) 3t2  , 3t 6 '( ) 0 1

2tf t

t    

Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn 2;2 ta được kết quả: max 13

2P khi

P x  y y  ? xLời giải:

Đặt t x y  , do 22 ( )2 2

2x y

P x  y xy x y  xy  x y xySuy ra

MinP     hay ( ; ) ( 1;0)t x y   hoặc ( ; ) (0; 1)x y  

10 Phép tương tự cho ta cách giải một bài toán tổng quát hơn, rộng hơn trên cơ sở đã biết cách giải một bài toán trong phạm vi hẹp, bài toán ở trên là một minh họa cho điều này

* Hoạt động trí tuệ của học sinh trong giải toán Trong quá trình giải toán, học sinh luôn cần đến các hoạt động trí tuệ, trên cơ sở nghiên cứu lý luận và quan sát thực tế ta có thể thấy hoạt động này trải qua các quá trình như sau:

- Dự đoán: đây là hoạt động đầu tiên nhưng có thể thấy nó là hoạt động quan trọng nhất, giữ vai trò chủ đạo, sau khi đọc kỹ bài toán thì người giải phải dự đoán hướng giải cũng như kết quả có thể xảy ra để tìm kiếm lời giải phù hợp Dự đoán được thực hiện liên tục, xuyên suốt trong quá trình giải toán, hơn nữa dự đoán không chỉ là để tìm cách giải bài toán hay kết quả bài toán mà còn là để sáng tạo và phát triển bài toán

- Huy động kiến thức và kết nối: trên cơ sở dự đoán, trí não sẽ thực hiện việc huy động kiến thức, đó là tách ra từ trí nhớ các yếu tố có liên quan đến bài toán Sau đó kết nối các yếu tố có liên quan đến bài toán lại với nhau

- Phân chia và kết hợp: Phân chia là việc chia nhỏ vấn đề để có thể tập trung hơn vào chi tiết của bộ phận này Còn kết hợp là sự liên kết những bộ phận cụ thể thành cái toàn thể và được phản ánh đầy đủ hơn trước [7]

1.2 Năng lực, năng lực toán học, năng lực giải quyết vấn đề Toán học 1.2.1 Năng lực

- Theo tra cứu trong Từ điển Tiếng Việt , năng lực có thể hiểu theo 2 nghĩa:

+ “Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó”

+ “Năng lực là phẩm chất sinh lí và tâm lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”

- Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018: “ Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện,

11 cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” 1.2.2 Năng lực Toán của học sinh phổ thông

* Năng lực chung của học sinh cấp trung học phổ thông

Với đối tượng là học sinh phổ thông, năng lực không chỉ là việc tái hiện tri thức hay thông hiểu mà còn là khả năng vận dụng tri thức để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống, hơn nữa trong quá trình giải quyết vấn đề còn phải thể hiện được sự sáng tạo Trong chương trình giáo dục của các nước phát triển như:

Singapo đã đề ra tám nhóm năng lực của học sinh gồm: (1) Năng lực phát triển tính cách;

(2) Năng lực tự điều khiển bản thân; (3) Năng lực đọc viết;

(4) Năng lực xử lí thông tin; (5) Năng lực giao tiếp; (6) Năng lực xã hội và hợp tác; (7) Năng lực ứng dụng kiến thức; (8) Năng lực suy nghĩ và sáng tạo; [13] Phần Lan cũng đề ra tám năng lực gồm: (1) Năng lực giao tiếp tiếng mẹ đẻ; (2) Năng lực sử dụng công nghệ; (3) Năng lực sáng tạo và lãnh đạo; (4) Năng lực nhận thức và thể hiện văn hóa; (5) Năng lực thực hiện nghĩa vụ công dân và xã hội; (6) Năng lực toán học và khoa học cơ bản;

(7) Năng lực học cách học; (8) Năng lực sử dụng công nghệ số; [13]

12 - Đối với Việt Nam, trong Chương trình tổng thể giáo dục phổ thông của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2018: hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:

+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;

+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất

* Năng lực toán học Theo tâm lí học, năng lực toán học có thể được hiểu theo hai hướng: Hướng thứ nhất: Trong hoạt động nghiên cứu Toán, năng lực toán học là những năng lực sáng tạo; người có năng lực Toán học sẽ có khả năng sáng tạo toán học, cống hiến những công trình toán học có ý nghĩa đối với sự phát triển của khoa học toán học nói riêng, và hoạt động thực tiễn của xã hội nói chung

Hướng thứ hai: Năng lực toán học là những năng lực trong học tập, trong việc nắm vững toán học với tư cách là môn học; người học sinh có năng lực nắm được nhanh chóng và có kết quả những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, tương ứng

Tóm lại, qua nghiên cứu lí luận và thực tiễn, có thể thấy: - Năng lực của con người bao gồm năng lực chung với năng lực đặc thù chuyên môn Các năng lực này có quan hệ mật thiết với nhau, sự phát triển năng lực đặc thù góp phần phát triển năng lực chung và ngược lại

- Năng lực Toán học là khả năng có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, khả năng nhận diện và phân tích vấn đề gặp phải, khả năng tư duy, lập luận để vận dụng những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán nhằm giải quyết vấn đề đặt ra

13 - Năng lực Toán học của học sinh được hình thành, phát triển gắn liền với các hoạt động nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán như: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài Toán…

1.2.3 Năng lực giải quyết vấn đề Toán học

- Vấn đề là điều cần được xem xét, nghiên cứu và tìm cách giải quyết; là một mục tiêu nào đó mà chúng ta chưa tìm ra được cách thực hiện hoặc chưa biết thực hiện theo cách nào là tối ưu nhất cho nó

Cụ thể trong tâm lý giáo dục, vấn đề là một tình huống có tính thu hút và hấp dẫn đối với chủ thể (đứa trẻ, người học, đối tượng tiếp thu…) vì thế chủ thể đó muốn khám phá tình huống đó một cách đầy đủ để tăng thêm hiểu biết

Ví dụ 1.7: Trở lại bài toán đã nêu ở trên: "Bác nông dân có 16m hàng rào hỏi phải rào khu vườn hình chữ nhật có kích thước như thế nào để có được diện tích canh tác lớn nhất"

Học sinh có thể sử dụng bất đẳng thức để giải, tuy nhiên việc sử dụng bất đẳng thức không phải học sinh nào cũng thành thạo

Giáo viên sẽ định hướng giải bài toán này dựa vào ứng dụng đạo hàm Bài toán quy về: "Cho hai số ,x y thỏa mãn x y  Tìm GTLN của tích 8 x y"

Học sinh vẫn chưa thấy hàm số để ứng dụng đạo hàm ? Vậy liệu có thể đưa về hàm số một ẩn đã học hay không ? Nếu đưa về hàm số một ẩn thì điều kiện của ẩn như thế nào ?

Lời giải: Gọi kích thước khu vườn hình chữ nhật là ,x y Theo đề bài 2(x y ) 16      x y 8 y 8 x (0x y,  8)

Diện tích khu vườn là s x y x  (8x)  x2 8x Đến đây học sinh dễ dàng làm được việc tìm GTLN của hàm số

2

f x   x x   Kết quả khu vườn hình chữ nhật có diện tích lớn xnhất phải có hai kích thước bằng nhau và đó là hình vuông

14 - Giải quyết vấn đề ở đây được hiểu theo hướng là xem xét những khó khăn, trở ngại của nhiệm vụ có liên quan gì tới lý luận ta đã được học trước đây hoặc đã từng trải qua, từ đó đưa ra hướng giải quyết phù hợp

- Năng lực giải quyết vấn đề trong môn toán là một hệ thống các kỹ năng của cá nhân con người thể hiện qua tư duy và hành động trong hoạt động học tập nhằm phát hiện và giải quyết có hiệu quả các vấn đề, các nhiệm vụ trong hoạt động đó; là quá trình cũng vừa là phương tiện cá nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm có được trước đó để giải quyết một tình huống mà cá nhân đó có nhu cầu giải quyết Giải quyết vấn đề không chỉ dừng lại ở ý thức mà hơn thế là yêu cầu chủ thể phải hành động, điều đó hoàn toàn nhất quán và phù hợp với định hướng hoạt động hóa người học trong đổi mới phương pháp dạy học nói chung và phương pháp dạy học môn toán nói riêng hiện nay, đó cũng là một trong những định hướng giúp luận văn xây dựng những biện pháp

Ví dụ 1.8: Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng 16, tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất Hoặc giáo viên có thể đưa bài toán gây hứng thú hơn với học sinh: “Xây một căn phòng hình chữ nhật có diện tích 16m2, hỏi kích thước của hình chữ nhật đó như thế nào để chi phí xây tường ít nhất”

Rõ ràng khi đã làm được bài toán ở Ví dụ 1.7 với cách tương tự đưa về hàm số và ứng dụng đạo hàm để giải học sinh sẽ tìm được đáp án

Ở đây tôi đưa ra một số biện pháp nhằm tăng khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh:

- Phân tích kỹ giả thiết để tìm ra bản chất của vấn đề cần giải quyết - Tiếp cận bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, sử dụng các thao tác tư duy để tìm lời giải và lập kế hoạch giải toán

- Phân tích sai lầm có thể gặp phải - Đánh giá, nhận xét sau quá trình GQVĐ

15 Ví dụ 1.9: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin2x6sinx 11Có thể có học sinh sẽ giải như sau:

Ta có ysin2x6sinx 11 (sinx3)2   2 2Kết luận GTNN của hàm số đã cho là 2

Tuy nhiên, một học sinh có kỹ năng và kinh nghiệm tốt sẽ phát hiện ra rằng dấu “=” không thể xảy ra được vì phương trình sinx vô nghiệm 3

Lời giải đúng là: Đặt tsin , x t [ 1;1] bài toán trở thành: Tìm GTNN của y t   với 2 6t 11 t [ 1;1]

Ta có ' 2y  t 6; ' 0y     t 3 [ 1;1]( 1) 18; (1) 6

Vậy GTNN của hàm số đã cho là: 6, đạt được khi:

2x   x  k  k

 1.3 Dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề

Dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học là cách thức người thầy tổ chức cho trò học tập bằng chuỗi các hoạt động, trong đó có các tình huống hấp dẫn gợi lên sự tò mò, hứng thú đối với học sinh, gợi ra vướng mắc mà họ chưa giải đáp ngay được, nhưng có liên hệ với tri thức đã biết, khiến họ thấy có triển vọng tự giải đáp được nếu tích cực suy nghĩ

1.3.1 Những khái niệm cơ bản

* Vấn đề Xét theo nghĩa rộng thì “vấn đề” có nhiều cách hiểu, tuy nhiên trong khuôn khổ luận văn tôi chỉ đề cập tới thuật ngữ “vấn đề” trong toán học, ở đây “vấn đề” có thể hiểu là một bài toán mà người học chưa biết ít nhất một phần nào đó trong đó, và mong muốn tìm phần tử chưa biết đó nhưng trong tay chưa có phương pháp cụ thể

16 Ví dụ 1.10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y x  x trên đoạn [ 2;3]Bài toán trên không phải là một vấn đề khi các em đã được học về cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn, nhưng nó sẽ là vấn đề khi các em mới làm quen với hàm số bậc 2

* Tình huống gợi vấn đề - Tình huống gợi vấn đề được phát biểu theo nhiều cách khác nhau, các nhà giáo dục học [8] đều có những phát biểu thể hiện: tình huống có vấn đề là tình huống có ba điều kiện sau:

+ Thứ nhất: phải tồn tại một vấn đề Vấn đề ở đây phải là một tình huống chứa đựng một mâu thuẫn giữa trình độ hiện tại của học sinh với yêu cầu lĩnh hội kiến thức mới, nói cách khác đó là một tình huống mà học sinh còn có những điểm chưa biết và cũng chưa có phương pháp hay thuật giải nào để tìm cái chưa biết đó

+ Thứ hai: phải gợi được nhu cầu nhận thức Gợi nhu cầu nhận thức được hiểu là: phải tạo ra sự hứng thú, kích thích tính tò mò của học sinh, làm cho học sinh thấy cần thiết phải đi tìm hiểu và giải quyết vấn đề đó

Nếu tình huống đưa ra nhưng không khơi dậy ở học sinh nhu cầu phải tìm hiểu, họ cảm thấy xa lạ và không liên quan gì đến mình thì cũng chưa được gọi là một tình huống có vấn đề

+ Thứ ba: Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân Tình huống có vấn đề phải phù hợp với trình độ hiểu biết của học sinh, vì nếu vượt quá xa tầm hiểu biết của học sinh thì học sinh sẽ thấy hoang mang, bế tắc, không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn đề; còn nếu tình huống quá dễ thì học sinh không cần suy nghĩ mà cũng có thể giải quyết được vấn đề thì yêu cầu của bài học chưa thành công

17 Mặt khác, khi tạo tình huống có vấn đề, người dạy cần tạo cho học sinh có niềm tin rằng tuy chưa có lời giải ngay, nhưng nếu tích cực tìm tòi, suy nghĩ thì chắc chắn sẽ giải quyết được vấn đề Việc tạo cho học sinh có niềm tin vào bản thân như vậy chính là một yêu cầu quan trọng trong tình huống gợi vấn đề 1.3.2 Cơ sở lí luận và thực tiễn

- Cơ sở triết học Dạy học theo hướng phát triển năng lực GQVĐ là một phương pháp dạy học mà ở đó người giáo viên tạo ra cho học sinh những tình huống có vấn đề (những mâu thuẫn) và học sinh sẽ chủ động tích cực suy nghĩ để giải quyết vấn đề Ta đã biết, theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là nguồn gốc, động lực của sự phát triển Trong quá trình tiếp thu tri thức của học sinh luôn luôn cần xuất hiện những mâu thuẫn giữa tri thức sẵn có với yêu cầu giải quyết những nhiệm vụ nhận thức vừa mới đặt ra, người học muốn phát triển bản thân thì cần tích cực hoạt động tư duy Do vậy người giáo viên cần phải có phương pháp bồi dưỡng và phát huy tư duy tích cực của trò trong quá trình dạy học nhằm giải quyết những vấn đề, giải quyết những mâu thuẫn mà người thầy chủ động tạo ra

- Cơ sở tâm lí học Theo các nghiên cứu về tâm lí học thì con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh vấn đề mà người ta quan tâm, muốn giải quyết.Như vậy ta thấy phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực GQVĐ dựa trên cơ sở lí luận của tâm lí học về quá trình tư duy và về đặc điểm tâm lí học lứa tuổi

Quá trình dạy học phát triển năng lực GQVĐ là quá trình mà thầy đưa trò đến một trở ngại nào đó mà trở ngại này gây ra sự ngạc nhiên, hứng thú, có nhu cầu khám phá và chờ đợi kết quả Nếu tích cực hoạt động tư duy thì sẽ vượt qua Do đó mà ta thấy rõ ràng tình huống có vấn đề xuất hiện và được giải quyết thông qua hoạt động tích cực của người học

18 Quá trình nhận thức luôn thực hiện nhờ tư duy mà tư duy về bản chất lại là sự nhận thức dẫn đến việc phát hiện và GQVĐ, nhiệm vụ đặt ra cho mỗi người Vì vậy ở đâu có vấn đề thì ở đó có tư duy

Theo tâm lí học kiến tạo, học tập chủ yếu là quá trình mà trong đó người học xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những nhiệm vụ nhận thức mới với những tri thức đã có Dạy học theo hướng phát triển năng lực GQVĐ phù hợp với quan điểm này

- Cơ sở giáo dục học Theo Điều 2, Luật Giáo dục năm 2019 đã ghi rõ: “Mục tiêu giáo dục nhằm phát triển toàn diện con người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp; có phẩm chất, năng lực và ý thức công dân”

Trong việc phát triển năng lực con người thì năng lực giải quyết vấn đề luôn là một năng lực cần có nhất, năng lực này không chỉ cần trong Toán học mà nó cần có trong mọi mặt của đời sống xã hội Trong cuộc sống con người luôn gặp phải những vấn đề cần giải quyết và thường nó không giống với những gì ta đã trải qua trước đó, một con người có năng lực giải quyết vấn đề là người luôn biết vận dụng sáng tạo những lý luận, kinh nghiệm đã có để giải quyết được vấn đề đặt ra

Từ đó ta có thể thấy rằng đối với cấp THPT, việc dạy học theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề là rất phù hợp với mục tiêu giáo dục nhằm phát triển toàn diện con người của nước ta, nó kích thích được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, phương pháp dạy học này giúp học sinh vừa nắm được kiến thức mới, vừa phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo và vận dụng tri thức giải quyết hợp lí các vấn đề nảy sinh cả trong học tập và trong cuộc sống

19 1.3.3 Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh trong dạy học toán ở THPT

Trên cơ sở tìm hiểu các kết quả nghiên cứu của nhà khoa học [13], tôi thấy rằng, mỗi năng lực đều có cấu trúc riêng gồm nhiều thuộc tính, trong đó các thuộc tính không chỉ tồn tại riêng biệt, mà chúng liên hệ với nhau một cách hữu cơ, tác động với nhau trong một hệ thống nhất định Ở đây tôi phân tích tám năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề Toán như sau:

Thứ nhất: Năng lực phát hiện ra mâu thuẫn trong các tình huống, hay nói cách khác chính là năng lực phát hiện ra vấn đề, từ đó thấy được nhu cầu giải quyết vấn đề và đưa ra phương thức chọn lọc, vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã học để khai thác tình huống và tiếp cận vấn đề

Học sinh phải nhận thấy rằng giữa tình huống mới với vốn tri thức, kỹ năng của bản thân có sự chênh lệch, từ đó gợi nhu cầu tìm tòi, chiễm lĩnh tri thức mới

Thứ hai: Năng lực tìm ra đặc trưng của vấn đề Với đặc điểm tâm, sinh lý của lứa tuổi học sinh THPT tôi nhận thấy có những phù hợp nhất định trong việc nhìn nhận vấn đề đi từ trực quan đến những kết luận mang tính lôgic trên cơ sở tư duy trừu tượng, từ đó có thể tìm được đặc trưng của vấn đề Học sinh có kĩ năng liên tưởng, phát hiện các biểu tượng trực quan mang tính trực giác thực sự là một lợi thế không nhỏ trong việc tìm các lời giải tốt nhất của bài toán

Thứ ba: Năng lực phát hiện những thuộc tính chung, bản chất tạo nên nội hàm của vấn đề thông qua các hoạt động trí tuệ như so sánh, tương tự, khái quát hóa đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa…

Để phát hiện và giải quyết vấn đề, không chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết những thuộc tính bên ngoài của nó, bởi nó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm tính, cần phải chuyển qua một giai đoạn nhận thức lí tính, tức là cần phải tìm hiểu bản chất của vấn đề

Thứ tư: Năng lực tìm ra điểm chốt của vấn đề

20 Thứ năm: Năng lực giải quyết các bài toán thực tế bằng Toán học Ta có thể thấy rằng: Việc đưa ra bài toán hoặc nảy sinh từ đời sống thực tế nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết vận dụng những kiến thức Toán học đã được học để giải quyết, góp phần nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh, giúp học sinh có những vận dụng sáng tạo để giải quyết những tình huống trong cuộc sống sau này

Thứ sáu: Năng lực phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải Qua quá trình giảng dạy thực tế có thể thấy, ở nhiều em năng lực học toán còn chưa tốt, một biểu hiện rõ nét là còn mắc nhiều sai lầm Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh là một trong những việc rất quan trọng để nâng cao chất lượng giảng dạy

Thứ bảy: Năng lực làm chủ vấn đề để đưa ra các phương pháp, lời giải phù hợp dựa trên các kiến thức đã có từ trước

Thứ tám: Năng lực hình thành và diễn đạt các các sự kiện Khi gặp một vấn đề toán học, học sinh cần có kỹ năng nhìn nhận theo các hướng khác nhau, đặc biệt là biết lựa chọn cách giải quyết vấn đề sao cho có lợi nhất, vừa tránh được những sai lầm, vừa tiết kiệm được thời gian

Ví dụ: Khi giải một bài toán Bất đẳng thức, nếu giải theo cách thông thường gặp khó khăn học sinh có thể nghĩ tới phương pháp ứng dụng đạo hàm, nếu ứng dụng đạo hàm trực tiếp thấy khó khăn thì có thể tìm tòi để đưa về dạng quen thuộc rồi mới ứng dụng đạo hàm để giải

1.3.4 Cấp độ dạy học phát triển năng lực GQVĐ

Trên cơ sở phân tích ở trên và thực tiễn, ta có thể chia dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề thành thành 4 mức độ:

Mức độ 1: học sinh có thể nhận biết và giải quyết được vấn đề khi vấn đề được giáo viên đặt ra một cách tương đối quen thuộc và rõ ràng

Mức độ 2: học sinh phát hiện được vấn đề phát sinh từ thực tiễn, chuyển hóa việc giải quyết vấn đề thực tiễn thành việc giải quyết vấn đề trong Toán học

21 và từ việc giải quyết vấn đề trong Toán học có thể đưa ra giải pháp cho vấn đề thực tiễn đặt ra

Mức độ 3: học sinh có khả năng phân tích, nhận xét, đánh giá cách GQVĐ của người khác, nhận ra sai lầm có thể gặp phải khi GQVĐ và từ đó rút ra được kinh nghiệm cho bản thân

Mức độ 4: học sinh tự tìm tòi, phát hiện được vấn đề, vận dụng các kiến thức đã có để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo, linh hoạt, phù hợp với từng điều kiện, hoàn cảnh

1.3.5 Các bước dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học

Bản chất của dạy học theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề là dạy học dựa trên những đặc điểm tâm, sinh lý của con người trong việc sự lĩnh hội tri thức Trong đó, điểm mấu chốt là tạo nên những "tình huống gợi vấn đề" và định hướng học sinh giải quyết những vấn đề học tập đó Từ đó, giúp cho học sinh lĩnh hội vững chắc những tri thức khoa học

Ở đây tôi có thể chia quá trình dạy học này thành bốn bước như sau: Bước 1: Nhận diện, thâm nhập vấn đề

- Nhận diện được vấn đề từ một tình huống giáo viên tạo ra - Phân tích để hiểu rõ vấn đề cần giải quyết

- Chính xác hóa vấn đề - Nêu ra bản chất vấn đề và đặt ra mục tiêu giải quyết Bước 2: Tìm tòi hướng giải quyết vấn đề

- Sử dụng các thao tác tư duy để tìm giải pháp giải quyết vấn đề - Phân tích vấn đề để làm rõ mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm - Đưa ra phương án giải quyết vấn đề

- Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp, điều chỉnh khi thấy cần thiết Có thể tìm thêm nhiều giải pháp khác để so sánh thêm giải pháp nào là hợp lí

Bước 3: Thực hiện trình bày giải pháp GQVĐ

22 Trên cơ sở phương án giải quyết vấn đề đã lập ở bước 2, thực hiện trình bày chi tiết lời giải bài toán

Bước 4: Đánh giá giải pháp và ứng dụng trong tình huống mới

- Đánh giá phương pháp và khả năng ứng dụng kết quả bài toán - Kết luận và đề xuất hướng vận dụng trong các tình huống mới tương tự hoặc có liên quan

1.4 Vai trò, vị trí và nội dung của Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số trong chương trình Toán 12

1.4.1 Vai trò, vị trí của Chuyên đề đề Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số trong chương trình toán phổ thông

Trong chương trình Toán cấp THPT, chuyên đề về ứng dụng đạo hàm là một chuyên đề rất quan trọng, không chỉ đưa đến cho học sinh một đơn vị kiến thức mới và còn mở ra một hướng giải hoàn toàn mới cho rất nhiều bài toán trước đây như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất,… Mặt khác nó còn giúp cho học sinh giải quyết được các bài toán nảy sinh trong thực tiễn một cách nhanh gọn và đơn giản Ngoài ra, đây còn là những kiến thức nền tảng cho các em học lên đại học và đi sâu vào các chuyên ngành nghiên cứu khác sau này

Trong các bài học của chuyên đề ứng dụng đạo hàm, bài học tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số giữ một vị trí quan trọng, nó không chỉ góp phần cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mà còn là một công cụ giúp cho học sinh giải được những bài toán mà trước đây đối với các em là khó khi chưa được học phương pháp này Mặt khác, nội dung này còn tạo hứng thú cho học sinh khi mà phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số đã giúp các em giải được những bài toán trong thực tiễn về tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến sản xuất kinh doanh,…

23 1.4.2 Nội dung và phân phối chương trình bài học tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số trong chương trình Toán 12 bậc THPT

Chương trình Giải tích lớp 12 – THPT được chia làm bốn chương trong đó có Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, được chia làm năm bài học như sau:

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số; Bài 2: Cực trị của hàm số;

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; Bài 4: Đường tiệm cận;

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Cả chương được phân phối 20 tiết học ( mỗi tiết 45 phút) gồm cả các tiết bài tập và ôn tập chương;

Trong đó Bài 2 và Bài 3 mỗi bài được phân phối 3 tiết Bài 2: Tìm hiểu về cực trị của hàm số: theo Hướng dẫn thực hiện Chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành, mục tiêu cần đạt là: giúp học sinh biết được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số; các điều kiện đủ để có điểm cực trị hàm số và biết cách tìm điểm cực trị của hàm số

Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Mục tiêu cần đạt là: giúp học sinh biết được các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một tập hợp số; cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( nếu có) của một hàm số trên một đoạn, một khoảng

1.5 Thực trạng dạy học nội dung tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số trong trường phổ thông

1.5.1 Mục đích và đối tượng khảo sát

Nhằm tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung cực trị, GTLN, GTNN của hàm số trong trường phổ thông để từ đó đưa ra phương án dạy học phát triển

24 năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh, tôi đã tiến hành khảo sát giáo viên và học sinh tại trường THPT Tứ Kỳ, tỉnh Hải Dương

Về học sinh: chất lượng đầu vào khá tốt, cha mẹ chủ yếu là nông dân và công nhân các công ty trên địa bàn huyện

Về giáo viên: có giáo viên đã nhiều năm kinh nghiệm, thuộc đội ngũ cốt cán của Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, tuy nhiên cũng có một số giáo viên trẻ, mới ra trường

Hình thức khảo sát: Bằng phiếu khảo sát và phỏng vấn trực tiếp 1.5.2 Khảo sát và đánh giá thực trạng dạy học chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số tại trường phổ thông

Để tìm hiểu về thực trạng dạy và học chuyên đề Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm đa thức trong trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học sinh, tôi đã tiến hành khảo sát bằng phiếu điều tra và kết quả thu được như sau:

Đối với giáo viên: Câu hỏi 1: Trong quá trình dạy chuyên đề đề ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số đa thức thầy ( cô) có quan tâm đến việc tổ chức các hoạt động nhằm phát triển năng lực GQVĐ cho học sinh hay không ?

12

Câu hỏi 2: Theo thầy (cô) tầm quan trọng của việc tổ chức dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh như thế nào ?

12

Câu hỏi 5: Thầy ( cô) thường cho học sinh phát hiện vấn đề trong khi nào ?

26

Câu hỏi 7: Nội dung bài học tìm cực trị của hàm số là một nội dung có ít ý nghĩa đối với học sinh trong việc phát triển năng lực nói chung, năng lực GQVĐ nói riêng, do vậy giáo viên ít có sự đầu tư về thời gian Quan điểm của thầy, cô như thế nào ?

12

27 Câu hỏi 10: Nhằm giúp học sinh nắm vững các quy tắc có trong bài học ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số, theo thầy (cô) tổ chức dạy học theo phương pháp dạy học nào là hiệu quả nhất ?

Câu hỏi 2: Các quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN rất khó nhớ và rối

85

28 Câu hỏi 3: Trong quá trình học nội dung tìm cực tri hàm đa thức, việc giao tiếp giữa các em và thầy (cô) giáo được diễn ra như thế nào ?

29 Câu hỏi 6: Em thấy học chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số có thiết thực và quan trọng hay không ?

30 Về phía học sinh: Có thể nhận thấy việc tham gia tích cực các hoạt động mà thầy, cô đưa ra chủ yếu là đối tượng học sinh khá, giỏi, ham tìm tòi, khám phá; bên cạnh đó, vẫn còn một bộ phận học sinh chưa hưởng ứng tích cực, còn thụ động trong việc suy nghĩ, mặt khác cũng là do có thể giáo viên chưa đưa được những tình huống phù hợp Một số học sinh do điều kiện về năng lực tư duy nên còn gặp khó khăn trong những bài toán ứng dụng thực tế

Tóm lại: qua việc khảo sát bằng phiếu hỏi cũng như phỏng vấn trực tiếp giáo viên và học sinh lớp 12 trường THPT Tứ Kỳ, Hải Dương có thể thấy rằng việc giáo viên đã nhận thức được việc tổ chức dạy học chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm đa thức theo định hướng phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học sinh là quan trọng, mang lại hiệu quả cao, một bộ phận học sinh khá hứng thú và tham gia tích cực các hoạt động Tuy nhiên, một số giáo viên đưa ra hoạt động chưa phù hợp với đối tượng, dẫn đến học sinh chưa hưởng ứng, từ đó hiệu quả của phương pháp không được phát huy Mặt khác, quy trình dạy học mà các giáo viên sử dụng mang tính kinh nghiệm, chưa nghiên cứu sâu lý luận về dạy học, một số còn mang tính hình thức Việc khảo sát như trên chính là cơ sở để tôi đưa ra quy trình, cũng như giải pháp thực hiện dạy học chuyên đề này một cách hiệu quả nhất

Kết luận Chương 1 Trong chương 1, đề tài đã nghiên cứu và đưa ra những vấn đề chính như sau:

1 Các khái niệm cơ bản về năng lực, năng lực toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học theo chương trình mới

2 Các bước thực hiện dạy học theo định hướng phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học sinh

3 Vị trí, vai trò và mục tiêu dạy học chuyên đề Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số đa thức trong chương trình Toán 12 – THPT

31 4 Khảo sát và đánh giá được thực trạng việc tổ chức dạy học Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số đa thức ở trường THPT Tứ Kỳ, Hải Dương còn có những khó khăn nhất định

Những công việc làm được ở Chương 1 sẽ là cơ sở để tôi đưa ra những giải pháp sư phạm mang tính nghiên cứu lý luận và thực tiễn để giáo viên có thể thực hiện hiệu quả chuyên đề Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm đa thức theo định hướng phát triển năng lực GQVĐ toán học của học sinh ở Chương 2

32 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH 2.1 Nguyên tắc xây dựng phương pháp

Khi thực hiện đề tài tác giả đã đưa ra một số nguyên tắc nhằm thống nhất quan điểm và định hướng cho việc xây dựng và thử nghiệm quy trình dạy học chuyên đề ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm đa thức theo hướng phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học sinh, cụ thể như sau:

- Biện pháp đưa ra phải phù hợp với xu thế đổi mới và mục tiêu dạy học theo yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông 2018

- Những phương pháp đưa ra phải đảm bảo phát huy tính tích cực của học sinh trong việc chiếm lĩnh tri thức mới trên cơ sở vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có

- Phương pháp đưa ra phải từng bước giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực toán học, đặc biệt là năng lực GQVĐ

- Các phương pháp đưa ra phải giúp học sinh nhận thấy rằng toán học rất gần gũi và có ý nghĩa trong thực tiễn cuộc sống hàng ngày, từ đó tạo ra hứng thú học tập, đồng thời phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

2.2 Phương pháp và quy trình dạy học chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số đa thức theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh lớp 12 - THPT

Việc dạy học Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số đa thức theo hướng phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học sinh dựa trên cơ sở:

- Học sinh đã nắm vững các kiến thức về đạo hàm, sử dụng thành thạo các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số thường gặp

- Biết xét dấu đạo hàm của các hàm số đa thức và từ đó biết được sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

33 Sách giáo khoa Giải tích 12 chia nội dung Cực trị và GTLN, GTNN của hàm số thành 2 bài riêng biệt, tuy nhiên khi dạy chuyên đề này cho học sinh tôi đề xuất dạy liền mạch vì hai bài có sự liên quan chặt chẽ, việc tìm cực trị và GTLN, GTNN về quy trình là giống nhau, giáo viên có nhiệm vụ giúp các em phân biệt rõ hai khái niệm này

Phương pháp dạy học chuyên đề này được thực hiện theo trình tự như sau: 2.2.1 Giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản

2.2.1.1 Nội dung và những chú ý cần thiết

Giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về cực trị, cách tìm cực trị, GTLN, GTNN, làm cơ sở cho những phát hiện và cách giải quyết vấn đề toán học tiếp theo;

Trong quá trình thực hiện nội dung này, người giáo viên cần lưu ý một số vấn đề sau:

- Có nhiều cách để hình thành khái niệm về cực trị và GTLN, GTNN cho học sinh tuy nhiên giáo viên có thể tạo hứng thú cho học sinh bằng cách đưa ra những hình ảnh thực tế: ví dụ như quan sát cổng trường Đại học Bách khoa (cổng hình Parabol) nhìn thấy điểm cao nhất, hoặc trình chiếu trên màn hình đồ thị hàm số và yêu cầu tìm điểm cao nhất, thấp nhất trên tập xác định, trên một khoảng, đoạn,…

- Từ đó giáo viên đưa ra định nghĩa cực đại, cực tiểu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, của đồ thị hàm số; GTLN, GTNN của hàm số Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh rõ: Cực đại thì không đồng nhất với GTLN, cực đại là lớn nhất nhưng mang tính chất "địa phương"; tương tự với Cực tiểu và GTNN

- Nhắc lại việc xét dấu đạo hàm để kết luận tính đồng biến, nghịch biến từ đó đưa ra quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số;

- Đưa ra các ví dụ minh họa, chú ý phù hợp đối tượng học sinh Trong quá trình giáo viên đưa ra các ví dụ để học sinh giải cần đặt ra các câu hỏi gợi mở