Trường THPT Hậu lộc I Gv: Nguyễn Văn Trình Hàm sè ®a thøc bËc ba I.Mét sè tÝnh chÊt cđa hàm bậc ba Hàm số có cực đại ,cực tiÓu = b 4ac >0 a a Hµm số nghịch biến Hàm số đồng biến Để tìm giá trị điểm cực trị ( Đường thẳng hai điểm cực trị) trường hợp hoành độ cực trị số lẻ ,ta thực phép chia đa thức y cho y ta được: y=y.g(x) +h(x) ta cã: +Gäi xo ; y lµ toạ độ điểm cực trịcủa đồ thi hàm số y’( x0 ) =0 +Do ®ã: y ( x0 ) =y’( x0 ) g( x0 ) + h( x0 ) = h( x0 ) Khi : Đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thịhàm số có dạng: y= h(x) Chú ý: Nếu tìm hai điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) vµ B ( x ; y ) Thì đường thẳng qua hai điểm cực trị cã d¹ng: x x1 y y1 x x1 y y1 Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Thật vậy, thực phép tinh tiến đồ thị theo véc tơ OI b x0 Với I điểm uốn có toạ độ là: 3a y ax bx cx d 0 x X x0 y Y y0 Công thức đổi hệ trục toạ độ Thay x,y vào phương trình hàm số ta được: Y+ y a( X x0 ) b( X x0 ) c( X x0 ) d Y=a X g ( x ) X Hµm số hàm lẻ nên đồ thị nhận điểm I xo ; y làm điểm uốn 6.Tiếp tuyến điểm uốn: Tếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ a>0 vàlớn a0 K NN đạt đượckhi x 3a 3a DeThiMau.vn Trêng THPT HËu léc I Gv: Nguyễn Văn Trình 3ac b b đạt đượckhi x 3a 3a b b Mà y=6ax +b=0 x= nên x hoành độ điểm uốn 3a 3a * a>0 K LN => ĐPCM Đồ thị hàm số cắt trục hoành.( Giao điểm đồ thị với trục hoành) *Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o cã nghiƯm pb) , th«ng thêng ta sử dụng cách sau đây: Cách 1(phương pháp đại số) Hoành độ giao điểm đồ thị trục hoành nghiệm phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = o ®ã: Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0) (x- )( a x ex l ) =0 x g ( x) ax ex l (*) ycbt pt (*) cã nghiÖm pb x * g ( ) Chó ý: Khi điểm A ( ;0) mộtđiểm cố định đồ thị hàm số Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb Có nghiệm pb x1 , x y' y ( x1 ) y ( x ) x2 x1 * Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hoành độ dương( phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o có nghiệm dương pb) Cách1(phương pháp đại số) Hoành độ giao điểm đồ thị trục hoành nghiệm phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = o ®ã: Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0) (x- )( a x ex l ) =0 x g ( x) ax ex l (*) ycbt pt (*) cã nghiƯm d¬ng pb DeThiMau.vn Trêng THPT Hậu lộc I Gv: Nguyễn Văn Trình g s x p g ( ) Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hoành độ dương Có nghiệm pb x1 0, x y' y ( x1 ) y ( x2 ) a y (o) y(c®) y(c®) x2 x1 y(0) * Bài toán3 Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hoành độ âm ( Hoặc phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o có ba nghiệm âm pb) Cách1(Phương pháp đại số) Hoành độ giao điểm đồ thị trục hoành nghiệm phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = o ®ã: Ta cã ax3 + bx2 + cx + d = o (a 0) (x- )( a x ex l ) =0 x g ( x) ax ex l g s0 x p g ( ) (*) ycbt pt (*) có nghiệm âm pb Cách2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hoành độ âm y' y ( x1 ) y ( x2 ) a y (o) Cã nghiÖm pb x1 0, x DeThiMau.vn Trêng THPT Hậu lộc I Gv: Nguyễn Văn Trình Chú ý: Nếu toán yêu cầu: Tìm giá trị tham số để phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*) Cã nghiƯm ph©n biƯt Cã nghiƯm d¬ng pb Cã nghiƯm âm pb Thì ta sử dụng phương pháp hám số : - Đưa phương trình (*) dạng: f(x)= h(m) - Lập bảng biến thiên hàm số y=f(x) ( Trên khoảng ( ;) khoảng (o;) khoảng (;0) ) tuỳ theo yêu cầu toán 1, hay3 - Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm tham số Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai điểm có hoành độ x1 , x , x3 cách nhau.(Lập thành cấp số cộng) Cách1 (PP đại số) *ĐK cần: Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình ax3 + bx2 + cx + d = o (*) Giả sử pt(*) có nghiêm x1 , x , x3 cách ,khi ®ã ta cã x1 x3 x b b x 3a x1 x x3 a b Thay x vào phương trình (*) ta tìm tham số? 3a *ĐK đủ: Thay giá trị tham số vừa tìm vào phương trình (*) , giải pt(*) tìm nghiểmồi kết luận Cách2: Đồ thị cắt trục hoành điểm cáchđều điểm uốn thuộc trục hoành( Vì điểm uốn tâm đối xứng đồ thị) ta cã x =>y(- b lµ hoµnh độ điểm uốn 3a b )=0 => Giá trị tham số 3a Với Đường thẳng (d) qua ®iĨm I( x1 ; y1 ) vµ cã hƯ sè góc m tiếp xúc với đồ thị hàm số y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C) - lập pt đường thẳng (d): y=m(x- x1 ) y1 - Đường thẳng (d) tiếp xúc với ( C ) hÖ pt sau cã nghiÖm ax bx cx d m( x x1 ) y1 3ax 2bx c m - Sử dụng pp để tìm hệ số góc m thay vào phương trình đường thẳng(d) ta đường thẳng cần tìm DeThiMau.vn Trường THPT Hậu lộc I Gv: Nguyễn Văn Trình Chú ý : Đường thẳng (d) trường hợp tiếp tuyến đồ thị hàm số Do sử dụng pp để giải toán viết pt tiếp tuyến với ( C) qua ®iĨm I( x1 ; y1 ) cho tríc §å thị hàm số y=f(x)= ax3 + bx2 + cx + d (C) tiếp xúc với đường thẳng y=kx+m ax bx cx d kx m Khi hệ phương trình sau có nghiÖm: 3ax 2bx c k 10 Đặc biệt, Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành sử dụng cách sau Cách1 Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành hệ phương trình y ( Vì phương trình trục hoành y=0) y' sau cã nghiÖm : Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm nghiệm cña pt: ax3 + bx2 + cx + d =0 x (x- )(ax ex l ) g ( x) ax ex l 0(*) Ycbt pt(*)có nghiêm x có nghiÖm kÐp x g ( ) g g ( ) 11 Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm ( phương tr×nh ax3 + bx2 + cx + d =0) Khi hàm số đồng biến( Nghịch biến) đồ thị hàm số có hai cực trị nằm phía trục hoành y ' 0( y ' 0)x cã hai nghiƯm x1 , x ph©n biƯt y ' y ( x1 ) y ( x ) 12 Đồ thị hàm số có cực trị nằm hai phía đối víi trơc hoµnh vµ chØ y’=0 cã hai nghiƯm x1 , x tr¸i dÊu P