Toán học Một số kiến thức về hàm số tuần hoàn34663

M t S Ki n Th c V Hàm S Tu n Hoàn Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long Tr n Minh Hi n, THPT chuyên Quang Trung, Bình Phư c Trong chương trình THPT, ki n th c v hàm s tu n hồn (HSTH) đư c đ c p r t ít, ch y u h c sinh ñư c h c v tính ch t c a hàm s lư ng giác l p 11 Tuy nhiên, kì thi h c sinh gi i, v n thư ng hay xu t hi n nh ng tốn liên quan đ n n i dung Bài vi t sau s trình bày m t s ki n th c v lý thuy t toán v HSTH ð nh nghĩa Hàm s y = f ( x ) có t p xác ñ nh D ñư c g i HSTH n u t n t i nh t m t s T ≠ cho v i m i x ∈ D ta có: i) x ± T ∈ D ii) f ( x ± T ) = f ( x ) S th c dương T th a mãn ñi u ki n ñư c g i chu kì (CK) c a HSTH f ( x) N u HSTH f ( x) có CK nh nh t T0 T0 đư c g i chu kì s (CKCS) c a HSTH f ( x) Ta s tìm hi u m t s tính ch t b n c a HSTH M t s tính ch t f ( x) HSTH v i CK T N u x0 ∈ D x0 + nT ∈ D , x0 ∉ D x0 + nT ∉ D , v i m i n∈ℤ 2.1 Gi s 2.2 Gi s f ( x) HSTH v i CK T f ( x0 ) = a , x0 ∈ D , f ( x0 + nT ) = a , v i m i n∈ℤ 2.3 N u T1 , T2 > CK c a HSTH f ( x) t p D th c dương mT1 , nT2 , mT1 + nT , v i m, n ∈ ℤ+ , ñ u CK c a f ( x) t p D 2.4 N u f ( x) HSTH v i CKCS T0 T = nT0 , n ∈ ℤ+ m t CK c a HSTH f ( x) 2.5 N u T1 , T2 CK c a HSTH f ( x), g ( x) T1 s h u t hàm s T2 f ( x) + g( x) , f ( x ) − g ( x), f ( x ).g ( x) HSTH v i chu kì T = mT1 = nT2 , m, n ∈ ℤ+ Vi c ch ng minh tính ch t 2.1 – 2.4 tương đ i ñơn gi n Ta s ch ng minh tính ch t 2.5 Ch ng minh Vì T1 T n s h u t nên t n t i m, n ∈ ℤ+ cho = ð!t T = mT1 = nT2 , T2 T2 m v i m i x ∈ D , ta có • f ( x ) = f ( x + T1 ) = f ( x + 2T1 ) = = f ( x + mT1 ) = f ( x + T ) , • g ( x ) = g ( x + T2 ) = g ( x + 2T2 ) = = g ( x + nT2 ) = g ( x + T ) Do đó, f ( x + T ) ± g ( x + T ) = f ( x) ± g ( x), f ( x + T ).g ( x + T ) = f ( x).g ( x) V y f ( x ) ± g ( x ), f ( x ).g ( x) HSTH v i chu kì T = mT1 = nT2 , m, n ∈ ℤ+ DeThiMau.vn Vi c k t lu n m t hàm s có ph i HSTH hay không ph" thu c r t nhi u vào vi c xác ñ nh CK ho!c CKCS (n u có) c a hàm s Ta ñ c p ñ n CK (CKCS) c a m t s hàm s thư ng g!p Chu kì chu kì s c a m t s hàm s 3.1 Hàm s f ( x) = c ( c h#ng s ) HSTH v i CK s dương b t kì khơng có CKCS 1, x ∈ ℚ  3.2 Hàm Dirichlet f ( x ) =  HSTH v i CK s h u t dương b t kì khơng   0, x ∈ ℝ \ ℚ có CKCS 3.3 Hàm s f ( x) = { x} = x − [ x ] HSTH có CKCS T0 = f ( x) = sin x, f ( x) = cos x HSTH có CKCS T0 = 2π Các hàm s 3.4 Các hàm s f ( x) = tan x, f ( x) = cot x, f ( x) = sin x , f ( x) = cos x HSTH có CKCS T0 = π 3.5 Các hàm s Các hàm s f ( x) = sin ( ax + b), f ( x) = cos(ax + b) , a ≠ HSTH có CKCS T0 = f ( x) = tan (ax + b), f ( x) = cot ( ax + b) , a ≠ HSTH có CKCS T0 = 2π a π a Ch ng minh Ta s ch ng minh cho hàm s f ( x ) = { x} = x − [ x ] f ( x) = sin ( ax + b) , hàm s l i xin dành cho b n ñ c t p t luy n V i m i n ∈ ℤ , ta có f ( x + n) = {n + x} = { x} = f ( x) Do f ( x + 1) = f ( x ) M!t khác, • n u < T0 = t < CKCS c a f ( x) v i x = − t , ta có < x < , f ( x + t ) = f (1) = ≠ f ( x ) = { x} = − t V y hàm s f ( x ) = { x} = x − [ x ] HSTH có CKCS T0 = Trư c h t, ta ch ng minh T0 = 2π a , a ≠ CK c a f ( x) = sin ( ax + b) Th t v y, ta có • f ( x + 2π a ) = sin  a ( x + 2π a ) + b = sin (ax ± 2π + b) = sin (ax + b) = f ( x )   Gi s t n t i s dương t < 2π a cho f ( x + t ) = f ( x ) , v i m i x ∈ ℝ Khi đó, v i x= π 2−b , ta có a  π −b   + t  + b = sin (π + at ) = cos at = cos (t a ) < , f ( x + t ) = sin  a      a   π −b   + b = sin (π 2) = f ( x ) = sin  a      a   Do đó, f ( x + t ) = f ( x ) không x y v i m i x ∈ ℝ , t c T0 = 2π a , a ≠ CKCS c a f ( x) = sin ( ax + b) M t s toán Bài tốn Xét tính tu n hồn tìm CKCS (n u có) c a hàm s sau a) f ( x ) = cos π x b) f ( x ) = cos x DeThiMau.vn c) x 3x f ( x ) = cos cos 2 d) f ( x ) = cos x + cos x e) f ( x ) = sin x L i gi i a) Theo tính ch t 3.5, d$ th y r#ng f ( x ) = cos π x HSTH v i CKCS T = b) T p xác ñ nh c a hàm s D = [0, +∞) Gi s f ( x ) = cos x HSTH v i CK T > N u x0 ∈ D x0 + nT ∈ D , v i m i n ∈ ℤ Tuy nhiên, ñi u không th x y n u cho n < đ bé x0 + nT < Do f ( x ) = cos x khơng HSTH x 3x c) Ta có f ( x ) = cos cos = (cos x + cos x ) = f ( x + 2π ) Ta s ch ng minh T0 = 2π 2 CKCS c a hàm s Th t v y, v i < a < 2π cos a < 1,cos 2a ≤ , suy f (a ) = (cos a + cos 2a ) < = f (0) Do đó, f ( x + a ) = f ( x ) không th x y v i m i x ∈ ℝ , t c T0 = 2π s dương nh nh t cho f ( x + T0 ) = f ( x) v i m i x ∈ ℝ hay T0 = 2π CKCS d) Gi s f ( x ) = cos x + cos x HSTH, t c t n t i T > cho f ( x + T ) = f ( x ) , v i m i x ∈ ℝ , hay cos ( x + T ) + cos ( x + T ) = cos x + cos x V i x = , ta có cos T + cos 2T = , suy cos T = cos 2T = hay T = 2k π, 2T = 2mπ , m ñó k , m ∈ ℤ+ Do ñó = ∈ ℚ (vô lý) V y f ( x ) = cos x + cos x không HSTH k e) Gi s f ( x ) = sin x HSTH, t c t n t i T > cho f ( x + T ) = f ( x ) , v i m i x ∈ ℝ , hay sin ( x + T ) = sin x ( ) V i x = , ta có sin T = hay T = k π , k ∈ ℤ+ hay T = kπ Suy f x + kπ = f ( x) V i x = 2kπ , ta có sin sin ( ( 2k π + k π 2k π + k π ) ) = sin ( 2k π ( ) = sin (2k π ) = , vơ lý ) ( ) = sin 2k π + k π + 2k π = ± sin 2k π ≠ V y f ( x ) = sin x không HSTH Bài toán Ch ng minh r#ng hàm s [ x] f ( x ) = (−1) { x} HSTH L i gi i Ta s ch ng minh T0 = CKCS c a hàm s Th t v y, ta có [ x + 2] f ( x + 2) = (−1) +[ x ] {x + 2} = (−1) [ ] { x} = (−1) { x} = f ( x) x Gi s t n t i < a < cho f ( x + a) = f (a ) , v i m i x ∈ ℝ Ta s xét ba trư ng h p (i) < a < Ch n x = − a < x < Do f ( x ) = −{ x} ≠ ; f ( x + a ) = f (2) = , suy f ( x + a) ≠ f ( x ) DeThiMau.vn (ii) a = Ch n < x < , ta có f ( x ) = { x} = x; f ( x + a) = −{ x} = −x , f ( x + a) ≠ f ( x ) (iii) < a < Ch n x = − a < x < , ta có f ( x ) = { x} = x; f ( x + a) = f (2) = , suy f ( x + a) ≠ f ( x ) V y không t n t i < a < cho f ( x + a) = f (a ) , v i m i x ∈ ℝ hay T0 = CKCS Bài toán [Vi t Nam 1997, b ng B] Cho a, b, c, d s th c khác Ch ng minh r#ng f ( x ) = a sin cx + b cos dx HSTH ⇔ c s h u t d L i gi i (⇒) Gi s f ( x) HSTH, t c t n t i T > cho f ( x + T ) = f ( x) , v i m i x ∈ ℝ V i x = ta có f (T ) = f (0) hay a sin cT + b cos dT = b V i x = −T , ta có f (T ) = f (0) hay −a sin cT + b cos dT = b C ng theo t%ng v ñ&ng th c trên, ta nh n ñư c cos dT = , suy dT = 2k π, k ∈ ℤ \ {0} Tr% theo t%ng v ñ&ng th c trên, ta nh n ñư c sin cT = , suy cT = mπ, m ∈ ℤ \ {0} T% suy c m = ∈ℚ d 2k (⇐) Ngư c l i, gi s dương T = c c m s h u t , t c t n t i m, n ∈ ℤ \ {0} cho = Ta ch n s d d n 2πm 2πn , v i m i x ∈ ℝ , ta có = c d   2πm  2πn  f ( x + T ) = a sin c  x + + b cos d  x +   = a sin cx + b cos dx = f ( x)    c  d  Do đó, f ( x) HSTH v i CK T = 2πm 2πn = c d Bài toán Ch ng minh r#ng n u ñ th hàm s f ( x) có hai tr"c ñ i x ng x = a, x = b(a ≠ b) , f ( x) HSTH L i gi i Trư c h t, ta g i (C ) ñ th c a hàm s Khơng m t tính t'ng qt, ta gi s r#ng a < b T nh ti n (C ) theo vector v = (−a,0) Bài toán tr thành: “Ch ng minh r#ng n u ñ th c a hàm s f ( x) có hai tr"c đ i x ng x = 0, x = c = b − a f ( x) HSTH” Vì đ th c a hàm s hàm s f ( x) ñ i x ng qua x = nên f ( x ) = f (−x) M!t khác, ñ th c a f ( x) ñ i x ng qua x = c nên f ( x ) = f (2c − x ) Suy f (−x ) = f (2c − x ) , v i m i x ∈ ℝ , t c f ( x) HSTH v i CK T = 2c = 2(b − a ) Bài toán Cho hàm s f ( x) xác ñ nh D f ( x + a ) = r#ng f ( x) HSTH L i gi i V i m i x ∈ D, a ≠ , ta có DeThiMau.vn f ( x) −1 , a ≠ Ch ng minh f ( x) + f ( x + a ) −1 ( f ( x) − 1) ( f ( x ) + 1) −1 −1 f ( x + 2a ) = f ( x + a) + a = = = f ( x + a) + ( f ( x) − 1) ( f ( x ) + 1) + f ( x ) Suy ra, f ( x + 4a ) = −1 = f ( x ) Do f ( x) HSTH f ( x + 2a ) Bài toán Cho hàm s f ( x ) xác ñ nh ℝ th a mãn ñi u ki n f ( x + 4) + f ( x − 4) = f ( x) , v i m i x ∈ ℝ Ch ng minh r#ng f ( x ) HSTH L i gi i V i m i x ∈ ℝ , t% ñi u ki n tốn, ta có f ( x + 8) + f ( x ) = f ( x + 4) Suy f ( x + 8) = − f ( x − 4) Do f ( x + 12) = f (( x + 4) + 8) = − f (( x + 4)− 4) = − f ( x ) , f (24) = f (( x + 12) +12) = − f ( x + 12) = f ( x) V y f ( x) HSTH v i CK T = 24 Bài toán Cho hàm s f ( x) xác ñ nh ℝ th a mãn ñi u ki n f ( x) = f ( x − 3) f ( x + 3) , v i m i x ∈ ℝ Ch ng minh r#ng f ( x ) HSTH L i gi i V i m i x ∈ ℝ , t% u ki n tốn, ta có f ( x + 3) = f ( x) f ( x + 6) Suy f ( x + 3) = f ( x − 3) f ( x + 3) f ( x + 6) , t c f ( x + 3) = ho!c f ( x − 3) f ( x + 6) = N u f ( x + 3) = , v i m i x ∈ ℝ , f ( x ) = , v y f ( x) HSTH N u f ( x − 3) f ( x + 6) = f ( x) f ( x + 9) = , f ( x + 9) f ( x +18) = T% suy f ( x) = f ( x +18) hay f ( x ) HSTH CK T = 18 Bài toán Cho hàm s f ( x ) xác ñ nh ℝ th a mãn ñi u ki n f ( x +1) + f ( x −1) = f ( x) , v i m i x ∈ ℝ Ch ng minh r#ng f ( x ) HSTH L i gi i V i m i x ∈ ℝ , t% ñi u ki n tốn, ta có f ( x + 2) + f ( x) = f ( x + 1) =  f ( x ) − f ( x −1) = f ( x) − f ( x −1)   Do ñó f ( x + 2) − f ( x ) = − f ( x −1) T% ñ&ng th c này, suy f ( x + 3) − f ( x +1) = − f ( x ) = − f ( x +1) − f ( x −1) hay f ( x + 3) = − f ( x −1) Suy f ( x ) = − f ( x + 4) = f ( x + 8) V y f ( x ) HSTH v i CK T = Bài toán Cho hàm s f ( x) xác ñ nh ℝ , th a mãn ñi u ki n f ( x + 3) ≤ f ( x) + , f ( x + 2) ≥ f ( x) + , v i m i x ∈ ℝ Ch ng minh r#ng g ( x) = f ( x ) − x HSTH L i gi i Ta s ch ng minh g ( x + 6) = g ( x) , v i m i x ∈ ℝ Th t v y, ta có DeThiMau.vn g ( x + 6) = f ( x + 6) − x − = f ( x + + 3) − x − ≤ ≤ f ( x + 3) + − x − ≤ f ( x ) + + − x − = f ( x ) − x = g ( x) M!t khác, g ( x + 6) = f ( x + 6) − x − = f ( x + + 2) − x − ≥ f ( x + 4) + − x − ≥ ≥ f ( x + 2) + − x − ≥ f ( x) + − x − − x = f ( x) − x = g ( x) Suy g ( x + 6) = g ( x) , v i m i x ∈ ℝ hay g ( x) = f ( x ) − x HSTH v i CK T = Bài toán 10 Ch ng minh r#ng n u HSTH f ( x) th a mãn ñi u ki n kf ( x ) = f (kx), v i m i x ∈ ℝ , k ∈ ℝ , k ≠ 0, k ≠ ±1 f ( x) khơng có CKCS L i gi i Gi s T0 CKCS c a HSTH f ( x) Khi đó, v i m i x ∈ ℝ , k ≠ 1, k ≠ , ta có    T  T  f (kx + T0 ) = f (kx) = kf ( x) f (kx + T0 ) = f  k  x +  = kf  x +       k  k  T  Do đó, f ( x ) = f  x +  Ta s xét hai trư ng h p sau:  k T0 < T0 (vơ lý T0 CKCS) N u k < −1 hay −k > , b#ng cách k  T T  T ñ!t y = x + , ta có f ( y ) = f  y −  (vơ lý − < T0 )  k k k (i) k > N u k >  x  x   x (ii) k < V i m i x ∈ ℝ , ta có f ( x + kT0 ) = f  k  + T0  = kf  + T0  = kf   = f ( x )    k   k    k  T  ð!t k ' = , ta nh n ñư c f ( x ) = f  x +  , v i k ' > Theo (i), ta nh n đư c u vơ lí  k k ' Tóm l i, f ( x) khơng có CKCS f : ℝ+  →ℝ th a ñi u ki n f ( x + a) = + f ( x) − f ( x) , v i m i x > Ch ng minh r#ng f ( x) HSTH Bài toán 11 Cho a > hàm s L i gi i Vì f ( x + a) = + f ( x) − f ( x), v i m i x > nên f ( x + a) ≥ Do đó, f ( x) ≥ Suy f ( x + 2a ) = + f ( x + a) − f ( x + a) = + = + = 1 1 + f ( x) − = + f ( x) − = f ( x) 2 2 1  +  f ( x + a ) 1 − f ( x + a)   1 − f ( x) + f ( x) f ( x) − f ( x) − f ( x) − f ( x) = +    V y t n t i T = 2a > cho f ( x + T ) = f ( x ) , v i m i x ∈ ℝ + nên f ( x) HSTH DeThiMau.vn Bài toán 12 T n t i hay không hàm s f , g : ℝ  → ℝ , v i g HSTH th a mãn ñi u ki n x3 = f ([ x ]) + g ( x ) , v i m i x ∈ ℝ , kí hi u [ i ] ch ph n nguyên L i gi i Gi s t n t i hàm f , g th a mãn yêu c u toán G i T0 CK c a g V i m i x ∈ ℝ , ta có ( x + T0 ) = f ([ x + T0 ]) + g ( x + T0 ) = f ([ x + T0 ]) + g ( x) Suy f ([ x + T0 ]) − f ([ x ]) = ( x + T0 ) − x = 3T0 x + 3T02 x + T03 (*) V i m i x ∈  0,[T0 ] + − T0 ) v trái c a (*) b#ng 0, (*) đa th c b c có vơ s nghi m, suy 3T0 = 3T02 = T03 = hay T0 = (vô lý) V y không th t n t i hàm f , g th a mãn yêu c u toán Bài toán 13 Gi s f ( x) m t HSTH có CKCS T0 T n t i hay không lim f ( 1x ) ? x →0 L i gi i Trư c h t, ta nh n th y r#ng f ( x ) ≠ c ( c h#ng s ), hàm h#ng khơng có CKCS Do ñó, s t n t i hai s th c a, b cho f (a ) ≠ f (b) ð!t an = a + nT0 , bn = b + nT0 Khi đó, ta có n →∞ n →∞  → 0,   → Do an bn    = lim f (an ) = lim f (a + nT0 ) = lim f (a) = f (a) , lim f  n →∞ 1 a  n →∞ n →∞  n→∞ n lim n →∞    = lim f (bn ) = lim f (b + nT0 ) = lim f (b) = f (b) f  n →∞ n →∞ 1 bn  n→∞    ≠ lim Suy ra, lim f  n →∞  1 an  n→∞    hay không t n t i lim f ( 1x ) f  x →0 1 bn  Bài toán 14 Cho f ( x) HSTH liên t"c ℝ , có CK 2T Ch ng minh r#ng t n t i x0 ∈ ℝ cho f ( x0 + T ) = f ( x0 ) L i gi i ð!t g ( x) = f ( x + T ) − f ( x) Ta có g ( x +T ) = f ( x + 2T ) − f ( x +T ) = f ( x) − f ( x +T ) Do ñó, g ( x ).g ( x + T ) = −  f ( x + T ) − f ( x ) ≤ Vì f ( x) hàm s liên t"c nên g ( x ) hàm s liên t"c, đó, theo ñ nh lý Cauchy – Bolzano, t n t i x0 ∈ [ x, x + T ] cho g ( x0 ) = hay f ( x0 + T ) = f ( x0 ) Bài toán 15 Cho hàm s f : ℝ  → ℝ th a mãn ñi u ki n sau: (i) f ( x + y ) + f ( x − y ) = f ( x ) f ( y ) , v i m i x, y ∈ ℝ ; (ii) T n t i s th c x0 cho f ( x0 ) = −1 Ch ng minh r#ng f ( x ) HSTH L i gi i Cho x = y = , ta nh n ñư c f (0) = ( f (0)) Do f (0) = ho!c f (0) = DeThiMau.vn N u f (0) = , v i x = x0 , y = , ta ñư c f ( x0 ) = , mâu thu n ñi u ki n (ii) V y ta ph i có đư c f (0) = , v y x0 ≠ Cho x = y , ta ñư c f (2 x) + f (0) = ( f ( x )) hay f (2 x) = f ( x ) −1 , v i m i x ∈ ℝ Cho x = y = x0 , ta ñư c f (2 x0 ) + f (0) = ( f ( x )) hay f (2 x0 ) = Thay x b i x + x0 y b i x − x0 , ta ñư c f (2 x) + f (4 x0 ) = f ( x + x0 ) f ( x − x0 ) Nhưng f (4 x0 ) = f (2 x0 )−1 , f ( x + x0 ) f ( x − x0 ) = f (2 x ) + f (4 x0 ) = f (2 x ) + = f ( x ) M!t khác, v i x ∈ ℝ y = x0 , ta có f ( x + x0 ) + f ( x − x0 ) = f ( x) Suy  f ( x + x0 ) − f ( x − x0 ) =    f ( x + x0 ) + f ( x − x0 ) − f = ( x + x0 ) + f ( x − x0 ) = f ( x) − f ( x) =   Do đó, v i m i x ∈ ℝ f ( x + x0 ) = f ( x − x0 ) = f ( x ) hay f ( x) HSTH Bài toán 16 Cho hàm s f : ℝ  → ℝ th a mãn ñi u ki n f ( x ) ≤ 2008  13  f  x +  + f ( x) =  42   1 f  x +  +  6  1 f  x +  , v i m i x ∈ ℝ  7 Ch ng minh r#ng f ( x ) HSTH 1 13 L i gi i ð!t a = , b = a + b = Khi đó, m i quan h c a hàm s có th ñư c vi t 42 l i sau f ( x + a + b) + f ( x) = f ( x + a ) + f ( x + b) , v i m i x ∈ ℝ Trong ñ&ng th c trên, ta thay liên ti p x b i x + a, x + 2a, x + 3a, x + 4a, x + 5a , r i c ng l i, ta thu ñư c f ( x +1 + b) + f ( x ) = f ( x + 1) + f ( x + b) , v i m i x ∈ ℝ Trong ñ&ng th c v%a nh n ñư c, ta thay liên ti p x b i x + b, x + 2b, x + 3b, x + 4b, x + 5b , r i c ng l i, ta thu ñư c f ( x + 2) + f ( x) = f ( x + 1) hay f ( x + 2) − f ( x +1) = f ( x +1) − f ( x) , v i m i x ∈ ℝ ð!t f ( x + 1) − f ( x ) = a B#ng phương pháp quy n p, ta ch ng minh ñư c, v i m i s n nguyên dương f ( x + n) − f ( x + n −1) = a Do đó, f ( x + n)− f ( x ) = na Ta s ch ng minh a = , f ( x) HSTH v i CK T = Th t v y, gi s a ≠ , n a = na = f ( x + n) − f ( x ) ≤ 2.2008 , v i m i x ∈ ℝ Nhưng ñi u không x y n > ñ l n Do ñó a = Bài toán 17 Cho hàm s f : ℤ +  → ℤ+ s nguyên dương a th a mãn ñi u ki n sau: (i) f (a) = f (1995) , f (a + 1) = f (1996), f (a + 2) = f (1997) ; DeThiMau.vn (ii) f (n + a ) = f ( n ) −1 , v i m i n ∈ ℤ+ f ( n) + (a) Ch ng minh r#ng f (n + 4a ) = f (n) v i m i n ∈ ℤ+ (b) Xác ñ nh giá tr nh nh t c a a th a mãn toán L i gi i (a) Trư c h t ta nh n th y r#ng, ñ có đư c u ki n (ii), ta ph i có f (n) ≠ −1 , v i m i n ∈ ℤ Hơn n a, n u t n t i n ∈ ℤ cho f (n) = f (n + a) = −1 , suy f (n + 2a ) không xác đ nh Do f (n) ∉ {−1, 0} , v i m i n ∈ ℤ Ta có f ( n + 2a ) = f (n + a ) −1 ( f (n) −1) = f (n + a ) + ( f (n) −1) Do f (n + 4a ) = − ( f (n) + 1) −1 ,v =− f ( n) ( f (n) + 1) +1 i m i n∈ℤ = f ( n) , v i m i n ∈ ℤ f ( n + 2a ) (b) Xét a = , f (1) = f (1995), f (2) = f (1996) , f (3) = f (1997) , f (n +1) = Khi ñó, f (n + 4) = f (n) f (n + 2) = f (n) −1 f ( n) + −1 , v i m i n ∈ ℤ+ B#ng phương pháp quy n p, f ( n) ta ch ng minh ñư c f (n + 4k ) = f (n) , v i m i n, k ∈ ℤ+ Vì 1995 = + 4.498 nên f (1) = f (1995) = f (3) (vơ lý f (3) = −1 ) f (1) Xét a = , f (2) = f (1995) , f (3) = f (1996) , f (4) = f (1997) ; v i m i n ∈ ℤ+ f (n + 8) = f (n) , f (n + 4) = −1 , v i m i n ∈ ℤ+ B#ng phương pháp quy n p, ta ch ng minh f ( n) ñư c f (n + 8k ) = f (n) , v i m i n, k ∈ ℤ + Ta có • 1995 = + 8.249 nên f (2) = f (1995) = f (3) • 1996 = + 8.249 nên f (3) = f (1996) = f (4) • 1997 = + 8.249 nên f (4) = f (1997) = f (5) Suy f (3) = f (5) M!t khác ta có f (5) = − f (5) = f (3) = hay f (5) f (1) = −1 Suy f (1) f (1) −1 hay f (5) f (1) + f (5) = f (1) −1 hay f (5) = f (1) (vô lý) f (1) +1 Ta s ch ng minh a = giá tr nh nh t c n tìm Ta xây d ng hàm f sau: f (1), f (2) , f (3) nh n giá tr tùy ý khác – V i m(i f (n − 3)−1 Ta ch ng minh hàm f v%a ñư c xây d ng s f (n + 3) + th a mãn ñi u ki n c a toán n > , ta xác ñ nh f (n) = DeThiMau.vn Ta có f (n + 3) = f ( n ) −1 f ( n ) −1 Suy f (n + a) = , v i m i n∈ℤ f (n) + f ( n) + M!t khác f (n +12) = f (n) , v i m i n ∈ ℤ B#ng phương pháp quy n p, ta ch ng minh ñư c f (n +12k ) = f (n) , v i m i n, k ∈ ℤ+ Ta có • f (1995) = f (3 +12.166) = f (3) • f (1996) = f (4 +12.166) = f (4) • f (1997) = f (5 + 12.166) = f (5) V y a = giá tr nh nh t c n tìm Bài tốn 18 Dãy s { xn } đư c cho b i cơng th c x1 = 2, xn+1 = + xn , n ∈ Z + Ch ng minh 1− xn r#ng (a) xn ≠ , v i m i n ∈ ℕ* (b) Dãy { xn } khơng tu n hồn L i gi i (a) Trư c h t, d$ nh n th y r#ng s h ng c a dãy ñ u s h u t) Ta ñ!t x1 = tan α = , x2 = + x1 tan α + tan α tan α + tan nα = = tan 2α , …, xn+1 = = tan (n + 1) α 1− x1 1− tan α 1− tan α tan nα N u xn = v i n = 2k + 1, k ∈ ℕ x2 k +1 = tan 2k α = −2 ⇔ + x2 k = , hay x2 k = −2 Khi 1− x2 k x tan k α 1± (vô lý) = −2 ⇔ k = −1 ⇔ xk = 1− tan k α 1− xk 2 tan k α = Do xk = tan kα = , suy 1− tan k α k m t s ch*n (vì xn ≠ , v i m i n s l+) Vì v y k = 2t (2m +1) Ti p t"c lý lu n trên, ta có N u xn = v i n = 2k , k ∈ ℕ tan 2k α = x2t−1(2 m+1) = 0, , x2(2 m+1) = 0, x2 m+1 = (vô lý) V y xn ≠ , v i m i n ∈ ℕ* (b) Gi s dãy { xn } tu n hoàn, t c t n t i m ∈ ℤ+ cho xm+n = xn , n ∈ ℤ+ Suy tan (m + n) α = tan nα ⇔ sin mα = ⇔ sin mα = cos (m + n) α cos nα Do đó, xm = tan mα = (vô lý) V y dãy { xn } khơng tu n hồn 10 DeThiMau.vn M t s t p t luy n Bài Xét tính tu n hồn tìm CKCS (n u có) c a hàm s sau a) f ( x ) = sin x + cos x b) f ( x) = cos π x + sin 2π x c) f ( x ) = x cos x d)  x f ( x) = x − n    n  e)  π x f ( x ) = (−1) cos π x +   3 Bài Ch ng minh r#ng n u ñ th hàm s f ( x) có tâm tr"c đ i x ng E(a, b) có tr"c đ i x ng x = c (c ≠ a ) , f ( x) HSTH Bài Cho f ( x) HSTH liên t"c ℝ , có CKCS T0 Ch ng minh r#ng, v i m i a +T0 a ∈ ℝ ∫ T0 f ( x )dx = ∫ f ( x )dx a Bài Cho f ( x) HSTH, liên t"c ℝ lim f ( x) = a, a ∈ ℝ Ch ng minh r#ng v i x →+∞ m i x ∈ ℝ , ta có f ( x ) = a Bài Cho f ( x), g ( x ) HSTH, liên t"c ℝ lim  f ( x) − g ( x) = a, a ∈ ℝ Ch ng x →+∞ minh r#ng f ( x) = g ( x ) + a , v i m i x ∈ ℝ f : ℝ  → ℝ \ {3} , cho t n t i s th c a > th a mãn ñi u ki n Bài Cho hàm s f ( x + a) = f ( x)− Ch ng minh r#ng f ( x) HSTH f ( x)− Bài Cho hàm s f : ℝ  → ℝ HSTH cho t p h p t Ch ng minh r#ng chu kì c a hàm s Bài Cho hai hàm s { f ( n ) | n ∈ ℕ} ch a vô s ph n f ( x) m t s vô t f ( x ) , g ( x) xác ñ nh ℝ t n t i s th c a ≠ cho (i) f ( x + a) = f ( x) + g ( x ) ;   g ( x), n⋮ ; (ii) g ( x + na ) =    −g ( x ), n ⋮ (iii) f ( x ) = n u ≤ x ≤ a Ch ng minh r#ng n u g ( x) ≤ ≤ f ( x ) ≤ Bài Cho hàm s  π   : x = + kπ   2 ,k ∈ ℤ f ( x) =    π  : x ≠ + kπ     + tan x DeThiMau.vn 11 Ch ng minh r#ng hàm s g ( x) = f ( x ) + f (ax) HSTH ch a s vô t Bài 10 Tìm t t c đa th c f ( x ) v i h s th c cho cos f ( x) , x ∈ ℝ HSTH Bài 11 Cho hàm s f : ℝ  → ℝ th a mãn ñi u ki n sau (i) f ( x) hàm không gi m; (ii) f ( x ) HSTH Ch ng minh r#ng f ( x ) hàm h#ng Bài 12 Dãy s nguyên {un } , n = 1, 2, ñư c xác ñ nh sau: u1 = 1990, u2 = 1989, u3 = 2000 , un+3 = 19un+ + 9un+1 + 1991, n ∈ ℕ* V i m(i n , g i rn s dư phép chia un cho 1992 Ch ng minh r#ng dãy {rn } dãy s tu n hoàn Tài li u tham kh o [1] Doãn Minh Cư ng, Nguy n Huy ðoan, Ngô Xuân Sơn “Nh ng toán sơ c p ch n l c (t p 1)” NXB Giáo D"c, 1986 [2] Nguy n Vũ Thanh “Phương pháp ch n l c gi i toán lư ng giác” NXB Cà Mau, 1993 [3] Nguy n Vũ Thanh “Chuyên ñ b i dư,ng s h c” NXB Ti n Giang, 1993 [4] Nguy n Quý Dy, Nguy n Văn Nho “Tuy n t p 200 toán gi i tích” NXB Giáo D"c, 2000 [5] Phan Huy Kh i “Toán nâng cao cho h c sinh THPT – ð i S (t p 1)” NXB Giáo D"c, 2000 [6] Nguy n Vi t H i “Khai thác ñ nh nghĩa hàm s tu n hoàn” T p chí Tốn H c Tu'i Tr+, s 1/2000 [7] Lê Sáng “Dãy s v n ñ liên quan” NXB ðà N*ng, 1994 [8] Nguy n Tr ng Tu n “Bài tốn hàm s qua kì thi Olympic” NXB Giáo D"c, 2004 12 DeThiMau.vn ... t hàm s có ph i HSTH hay khơng ph" thu c r t nhi u vào vi c xác ñ nh CK ho!c CKCS (n u có) c a hàm s Ta ñ c p ñ n CK (CKCS) c a m t s hàm s thư ng g!p Chu kì chu kì s c a m t s hàm s 3.1 Hàm. .. = cos x HSTH có CKCS T0 = 2π Các hàm s 3.4 Các hàm s f ( x) = tan x, f ( x) = cot x, f ( x) = sin x , f ( x) = cos x HSTH có CKCS T0 = π 3.5 Các hàm s Các hàm s f ( x) = sin ( ax + b), f (... ) theo vector v = (−a,0) Bài toán tr thành: “Ch ng minh r#ng n u ñ th c a hàm s f ( x) có hai tr"c ñ i x ng x = 0, x = c = b − a f ( x) HSTH” Vì đ th c a hàm s hàm s f ( x) ñ i x ng qua x =