Ước bội hai số khái niệm số học Tuy nhiên ln ln có thú vị riêng Những người học số học cần phải năm vững vấn đề này, khơng ứng dụng rộng rãi mà cịn tảng xây dựng nên vấn đề phức tạp đa dạng Trước hết điểm qua số khái niệm A Một số khái niệm i) Ước số Một số nguyên d gọi ước số số nguyên a tồn số nguyên b cho a = bd ii)Ước số chung Một số nguyên dương d gọi ước số chung hai số nguyên dương a b d ước số a d ước số b Tương tự ta có định nghĩa uớc số chung n số nguyên dương a1 , a2 , , an iii)Ước chung lớn Một tính chất ước mà bạn nhận là: d ước a d ≤ a , tập hợp ước số số hữu hạn Trong tập hữu hạn ln tồn phần tử bé nhất, nhỏ Do khái niệm ước chung lớn hình thành( ước chung nhỏ đối ước chung lớn , dó ta cần xét ước chung lớn đủ) Số nguyên dương d gọi ước chung lớn hai số nguyên dương a b d ước số chung a b với số nguyên dương d ' ước chung a b d ≥ d' Kí hiệu: d = (a, b) Tương tự ta có định nghĩa uớc số chung lớn n số nguyên dương a1 , a2 , , an , kí hiệu ( a1 , a2 , , an ) iv)Nguyên tố Hai số nguyên a, b gọi nguyên tố ( a, b ) = Tương tự ta định nghĩa số a1 , a2 , , an gọi nguyên tố ( a1 , a2 , , an ) = v)Bội số Một số nguyên k gọi bội số số nguyên a tồn số nguyên b cho k = ab vi)Bội số chung Một số nguyên dương k gọi bội chung hai số nguyên dương a b k bội số a k bội số b Tương tự ta có định nghĩa bội số chung n số nguyên dương a1 , a2 , , an vii)Bội chung nhỏ Số nguyên k gọi bội chung lớn hai số nguyên a b k bội số chung a b với số nguyên k ' bội số chung a b k ≤ k ' Kí hiệu: q = [ a, b ] DeThiMau.vn Tương tự ta có định nghĩa bội số chung nhỏ n số nguyên dương a1 , a2 , , an , kí hiệu [ a1 , a2 , , an ] B Một số tính chất ước bội Cho a, b, c, d số nguyên dương,khi i) (ac, bc ) = c (a, b) a b ( a , b) ii)Cho c ước chung dương a b Khi đó: , = c c c a b Từ suy d = (a, b) ⇔ , = d d iii)Tồn số nguyên x, y cho ( a, b ) = ax + by iv) (a, b) = ac b c b v) (a, b) = , (a, c ) = (a, bc ) = vi) (a, b, c ) = ((a, b), c) = (a, (b, c )) = ((a, c ), b) ab vii) [ a, b ] = ( a, b ) viii)Cho k bội số chung a b k k k = [ a, b ] ⇔ , = a b ix) [ca, cb ] = c [ a, b ] x) [ a, b, c ] = [ a, b ] , c C Phép chia Euclid Trong phần , chúng t Ta thông qua khái niệm uớc chung và số tính chất ước số Thế chưa biết cách làm để tìm ước số chung ước số Qua phần trả lời câu hỏi thơng qua việc tìm hiểu phép chia Euclid Để đơn giản tìm ước chung số nguyên dương, việc số nguyên âm hòan tòan tương tự.Trước hết xem xét ý tưởng phương pháp Euclid bắt đầu với nhận xét sau: (a, b) = (b, a − b) = (b − a, b) = d , a ≠ b(*) Chứng minh nhận xét không khó,xin dành cho bạn đọc Giả sử a ≥ b ,khi từ đẳng thức (a, b) = (a − b, b) ta tốn tìm ước số chung hai số nguyên dương nhỏ a − b, b Tiếp tục tóan với hai số nguyên dương nhỏ a − 2b, b (trong trường hợp a − b > b ) (a − b, 2b − a ) ( trường hợp a − b < b ) Nếu ta tiếp tục làm số nguyên dương cần tìm ước số chung nhỏ dần dần, điều kéo dài vô tận số nguyên dương nhỏ dần vô hạn ? Câu trả lời không số ngun dương bị chặn Như trình lại khơng thể kéo dài vơ hạn được, (*) không nữa, tức đến lúc ta thu hai số nguyên dương Nghía ta có: DeThiMau.vn (a, b) = (c, c) = d Như c = d Từ ta có thuật tóan sau để tìm ước chung lớn hai số nguyên a b Cho a > b > Nếu a = bq ( a, b ) = b Nếu a = bq + r (r ≠ 0) (a, b) = (b, r ) Phép chia Euclid trường hợp thực sau: a = bq + r1 ⇒ (a, b) = (b, r1 ) b = r1q1 + r2 ⇒ (b, r1 ) = (r1 , r2 ) r1 = r2 q2 + r3 ⇒ (r1 , r2 ) = (r2 , r3 ) rn − = rn −1qn −1 ⇒ (rn − , rn −1 ) = (rn −1 , rn ) rn −1 = rn qn ⇒ (rn −1 , rn ) = rn Từ suy (a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = (r2 , r3 ) = = ( rn −2 , rn−1 ) = (rn −1 , rn ) = rn Hay nói cách khác (a, b) số dư cuối khác phép chia Euclid Từ phép chia Euclid, ta suy tính iii), tính chất đẹp quan trọng lý thuyết số Ta dễ dàng chứng minh tính chất phương pháp quy nạp lùi theo n phép chia Euclid Thật vậy, a = bq tính chất iii) hiển nhiên Nếu a / b ta có đẳng thức sau: rn = 0.rn −1 + 1.rn Giả sử ta có: rn = (rk , rk +1 ) = xrk + yrk +1 Khi đó: rk −1 = rk qk + rk +1 ⇒ yrk −1 = ( yqk − x)rk + xrk + yrk +1 ⇒ yrk −1 − ( yqk − x)rk = rn = (rk −1 , rk ) Như theo nguyên lý qui nạp lùi, số (a, b) tồn số nguyên x, y cho xa + yb = rn = ( a, b ) Sau tìm ước chung lớn việc tìm bội chung nhỏ đơn giản, ta có ab thể dung công thức vii) [ a, b ] = ( a, b ) Ta xét qua số ví dụ nhé: Bài tốn: a)Hãy tìm ước chung lớn bội chung nhỏ 34 56 b)Hãy tìm ước chung lớn có 2k − 9k + ( k ∈ N ) Câu a) câu áp dụng phép chia Euclid, ta giải nhanh nào: (34,56) = (22,34) = (12, 22) = (10,12) = (2,10) = 34.56 1904 Suy [34,56] = = = 952 (34, 56) Câu b) áp dụng phép chia Euclid, nhiên phức tạp chút có chứa ẩn số k Các bạn thực phép chia cách bình thường, giống chia đa thức vậy: DeThiMau.vn (2k − 1, 9k + 4) = (9k + − 4(2k − 1), 2k − 1) = (k + 8, 2k − 1) = (2k − − 2(k + 8), k + 8) 1(k ≠ 17m − 8) = (k + 8, −17) = (k + 8,17) = 17(k = 17 m − 8) Vậy (2k − 1, 9k + 4) = 17 k = 17 m − Và (2k − 1,9k + 4) = k ≠ 17 m − Trong tóan ta cịn giải theo cách khác 2(9k + 4) − 9(2k − 1) d Đặt d = (2k − 1, 9k + 4) Ta có: d =1 ⇒ 17 d ⇒ d = 17 Lời giải thật ngắn gọn.tuy nhiên làm ta xác định cụ thể trường hợp mà d = d = 17 Trong trường hợp này, bạn phải giải phương trình nghiệm nguyên sau Tìm k cho: 2k − = 17l , k , l ∈ Z (dạng 2k − ≡ 0(mod17) ) ( Xem thêm phần phương trình nghiệm nguyên) kết tương tự nói cách Ta rút tóan tổng quát sau Cho ac − bd = p số nguyên tố Tìm tất giá trị có của: (ak + c, bk + d ) Bằng ý tưởng cách Ta đặt m = (ak + c, bk + d ) Ta có: m =1 Cả hai trường hợp xảy a(bk + d ) − b(ak + c ) = ad − bc = p m ⇒ m = p lẽ phương trình ak + c ≡ 0(mod p) cho ta nghiệm theo mod p Trong trường hợp (ak + c, bk + d ) = p , trường hợp lại ta thu được: (ak + c, bk + d ) = Sau phần tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài 1: Tìm tất giá trị của: (6k + 5,8k + 3), k ∈ N n(n + 1) Bài 2: Cho A = 2n + 1, B = Tìm ( A, B) D.Ước chung (am-1,an-1) Trong phần này, nghiên cứu ước chung lớn a m − a n − a ∈ Z , a (a − 1) ≠ 0, m, n ∈ N * Đặt (m, n) = d ,ta dễ dàng nhận rằng: a m − a d − 1, a n − a d − Thực vậy, đặt m = dk ta có: a m − = a kd − = (a d ) k − = ( a d − 1) A a d − đó: A = b k −1 + b k − + + b + 1, b = a d Hòan tòan tương tự cho a n − Như ( a m − 1, a n − 1) = A có dạng B ( a d − 1) Việc lại tìm B Ta thử tìm B trường hợp cụ thể xem sao: a m n DeThiMau.vn A 15 B 1 Như ta dự đốn, ta mạnh dạn đưa giả thuyết ( a m − 1, a n − 1) = A = a ( m, n ) − Ta cần chứng minh a ( m ,n ) − A từ suy a ( m,n ) − = A A chia hết cho m,n a ( ) − Ta tạo liên kết (m, n) với m, n kết tồn số nguyên x,y cho xm + yn = (m, n) , hay phát biểu dạng khác, tồn số nguyên không âm x, y cho xm − yn = (m, n) hay − xm + yn = (m, n) Ta xét trường hợp xm − yn = (m, n) , trường hợp hòan tòan tương tự a yn (a xm − yn − 1) = a xm − a yn = (a xm − 1) − (a yn − 1) = ( a m − 1) C − ( a n − 1) D A Mà ( a yn , a n − 1) = ⇒ ( a yn , A ) = Do theo tính chất iv) ta suy a xm − yn − = a ( m ,n ) − A Từ ta suy điều phải chứng minh Tóm lại ta thu kết luận sau: ( a m − 1, a n − 1) = a ( m , n ) − Đây kết quan trọng, bạn thấy “dáng vẻ” giống với định lý Fertmat, Euler phải không J Sau phần tập dành cho bạn đọc: Bài 1: Cho ≤ m < n; m, n ∈ N a) Chứng minh rằng: (22 + 1, 22 + 1) = n m b) Tìm ( 2m − 1, 2n − 1) Bài 2: Cho (a, m, n) số tự nhiên lẻ.Chứng minh rằng: (a m + 1, a n + 1) = a ( m , n ) + Bài 3: Cho ( a, b ) số nguyên dương thỏa ( 2a + 1, 2b + 1) = Tìm giá trị của: (2 a +1 + 2a +1 + 1, 22 b +1 + 2b +1 + 1) Kết thúc viết phần tập tổng hợp, số toán kết đáng nhớ mà bạn nên lưu tâm E Bài tập tổng hợp Bài 1:Chứng minh rằng: am −1 , a − 1 = (m, a − 1) a, m > a −1 Bài 2:Nếu a, b số nguyên dương a > b thì: an − bn , a − b = (n(a, b)n −1 , a − b) a −b Bài 3: Chứng minh rằng: [1, 2, 3, , 2n] = [ n + 1, n + 2, , 2n] ( ) Bài 4: Cho p số nguyên tố Tìm 22 − 2, 2n − n DeThiMau.vn Bài 5:Chứng minh dãy số n(n + 1) a) An = , n ∈ N chứa dãy vô hạn số nguyên tố b) M n = 2n − chứa dãy vô hạn số nguyên tố Dãy M n gọi dãy số Mecxen Mục chuyên đề ước số bội số xin kết thúc Chúc bạn đạt kết tốt học tập J Tài liệu tham khảo • 351 Bài toán số học chọn lọc Nguyễn Đức Tấn Đặng Anh Tuấn-Trần Chí Hiếu • Bài giảng số học Đặng Hùng Thắng DeThiMau.vn ... Mục chuyên đề ước số bội số xin kết thúc Chúc bạn đạt kết tốt học tập J Tài liệu tham khảo • 351 Bài toán số học chọn lọc Nguyễn Đức Tấn Đặng Anh Tuấn-Trần Chí Hiếu • Bài giảng số học Đặng Hùng... tính chất ước số Thế chưa biết cách làm để tìm ước số chung ước số Qua phần trả lời câu hỏi thơng qua việc tìm hiểu phép chia Euclid Để đơn giản tìm ước chung số nguyên dương, việc số nguyên... bội số chung nhỏ n số nguyên dương a1 , a2 , , an , kí hiệu [ a1 , a2 , , an ] B Một số tính chất ước bội Cho a, b, c, d số nguyên dương,khi i) (ac, bc ) = c (a, b) a b ( a , b) ii)Cho c ước