bài báo cáo môn lý thuyết xác suất đề tài two envelopes paradox

Trong hơn một thập kỷ lại đây, xu thế toàn cầu hóa tăng mạnh gắn liền với sự phát triển của công nghệ, khoa học kỹ thuận, sự gia tăng hàng loạt các vấn đề toàn cầu mới như môi trường, dâ

2

MỤC LỤC

1 Nguồn gốc “Nghịch lý 2 phong bì”……… 3

2 Đặt vấn đề……… 6

3 Tóm tắt vấn đề bằng 12 lập luận……….6

4 Đi đến vấn đề bằng ví dụ thực tế……… 7

5 Giải quyết vấn đề………9

III - ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG 11

1 Ứng dụng……… 11

2 Mở rộng……… 13

IV- KẾT LUẬN 17

Việt Nam đang trong quá trình đổi mới phát triển nền kinh tế thị trường nhưng giới hạn của Việt Nam hiện đang bị trì trệ bởi sự chậm tiến trong việc tiếp thu kiến thức một cách tạm bợ Chỉ mang tích chất tạm thời chứ không hề biết cách vận dụng vào thực tiễn một cách bài bản và khoa học, bởi vì do sự nhìn nhận của mỗi con người là khác nhau trong cách nhìn nhận cuộc sống

Có thể thấy nhận thức của con người đặc biệt là bậc tri thức trẻ Việt Nam đang là mối quan tâm lớn đối với các vấn đề xã hội Qua đó em có một giải pháp đã được áp dụng bởi rất nhiều quốc gia phát triển trên thế giới, học một cách thực tiễn qua các bài toán thực tế

Từ những thứ đơn giản đến những thứ phức tạp, tất cả được thiết kế và cấu tạo bởi những thuật toán, con người chúng ta chỉ lập trình, thiết lập hoặc chỉ có thể đọc theo và sử dụng như hướng dẫn sử dụng được thiên nhiên trao tặng Từ những nguyên tố, các cách tổ hợp kết hợp một cách logic của những electron với lại những notron và proton đã tạo nên

2

những hạt nguyên tử, khởi đầu cho công việc xây dựng nên các nguyên tố, cấu tạo nên các thành phẩm Điều này trả lời cho câu hỏi : “Con người chúng ta xuất hiện từ đâu” Một thí nghiệm được tiến hành cuối những năm thế kỷ 19 đã chứng minh, con người chúng ta được thực chất được tạo ra từ những tổ hợp xác suất một cách ngẫu nhiên Bằng cách dùng những vật liệu được thiên nhiên ban tặng thời tiền sử như nham thạch, không khí, nito, áp suất… những protein đầu tiên trên thế giới được hình thành, cấu thành những sinh vật đơn bào đến đa bào, từ đơn giản đến phức tạp Vậy con người bởi đâu mà ra? Bởi những bài toán xác suất, những ADN gặp nhau bởi những con số rất nhỏ tỉ lệ thành công, kết hợp lại theo những cách ngẫu nhiên và phát triển theo các chiều hướng khác nhau mà

ta hiện giờ chỉ có thể lý giải bằng hai từ ngẫu nhiên trong bộ môn lý thuyết xác suất Có lẽ chính vì sự ngẫu nhiên đó đã hình thành nên cuộc sống này của chúng ta, không có xác suất, không tồn tại nhân loại

Bài toán xác suất luôn luôn tồn tại trong đời sống chúng ta, chỉ là chúng ta không để ý đến điều đó Năm 1974, ba năm sau sự kiện phát minh ra những ADN tái tổ hợp, một virus SV40 biến đổi gen đã được dùng để gây nhiễm những tế bào phôi nhiễm cho phôi chuột đầu tiên Những tế bào phôi chuột được trộn lẫn với các tế bào phôi bình thường để tạo ra hỗn hợp một tế bào, một “quái vật” phôi học Những phôi này được cấy lên chuột, tất cả

tế bào của phôi đều bắt nguồn từ hỗn hợp phôi ấy Từ đó nhìn nhận được việc tế bào được

“khắc” lên bản thân mình những sự ngẫu nhiên mà làm biến đổi, trở thành những thực thể tiến hóa như hiện nay, tất cả đều là xác suất

Điển hình như trong tình hình dịch bệnh, con người tạo nên những vắc xin để khắc chế được những loại dịch khác nhau, nhưng con người lại không đảm bảo về sự thành công hoàn toàn mà chỉ có thể xác nhận, đánh giá ở những mức độ nhất định, và đặt ra những nguyên tắc, tiêu chuẩn để thỏa mãn mức độ đó thì sẽ được trọng dụng vào thực tế Tất cả bởi xác suất mà ra

Xác suất giúp con người định hình mọi thứ, không có thứ gì hoàn hảo với xác suất tuyệt đối, chỉ có thể ước chừng trong những khoảng tiêu chuẩn được đặt ra Bởi thế các vấn đề

3

về xác suất luôn luôn quan trọng trong những vấn đề gặp phải Học giả phải tường tận nắm rõ qua những vấn đề thực tiễn chứ không thể nào chỉ trên lý thuyết suông Những để học một bộ môn khô khan này trên giấy tờ thật không dễ chút nào, nhất là trong cách giáo dục hiện nay Vì vậy chúng ta phải có cách nhìn khách quan cũng như liên tục đan xen những điều quen thuộc mà chúng ta gặp hàng ngày

Bởi vì lẽ đó, có những nghịch lý được đặt tên dựa theo những bài toán trò chơi trong cuộc sống và “Nghịch lý 2 phong bì” là một trong những bài toán khó nhằn những là những bước đệm đầu trong công cuộc khai phá cuộc sống chỉ toàn xác suất này

Và để hoàn thành bài tiểu luận này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Phúc Sơn – giảng viên bộ môn Lý thuyết xác suất đã cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập Nó không chỉ là nền tảng cho quá trình trình thực hiện tiểu luận mà còn là hành trang quí báu

để tôi bước vào đời một cách vững chắc và tự tin

1 Nguồn gốc “Nghịch lý 2 phong bì”

Giả sử trong một ngày đẹp trời, bạn được đưa hai phong bì hoàn toàn giống hệt nhau, mỗi phong bì chứa một lượng tiền nhất định Và sẽ có một phong bì chứa số tiền gấp

đôi cái còn lại Bạn sẽ bốc một phong bì và giữ lại số tiền đó Việc lựa chọn phong bì là

điều tất yếu phải xảy ra, tuy nhiên nếu như trước khi kiểm tra phong bì đó, bạn được

cho cơ hội để thay đổi phong bì Vậy câu hỏi đặt ra là bạn có nên đổi nó hay không?

Có một sự thật rằng là chẳng có lợi gì nếu ta hoán đổi 2 phong bì khi trong tình huống chúng mang tình huống đối xứng với nhau Tuy nhiên, vì bạn đang đứng trước cơ hội bạn

sẽ được nhận được số tiền gấp đôi và nếu bạn tráo thì bạn chỉ mất một lượng tiền chỉ bằng một nửa số tiền bạn hiện có Do đó có thể tranh luận rằng là nó có lợi hơn nếu ta hoán đổi

2 phong bì với nhau

4

Nghịch lý được đề cập ở tình huống trên được gọi nghịch lý 2 phong bì được xem như là nghịch lý trao đổi, là một trò chơi rèn luyện trí não, một câu giải đố, hay là một nghịch lý trong logic, khả năng xảy ra, và là toán học giải trí

Một câu hỏi được đặt ra rằng là nghịch lý trông có vẻ “nghịch lý” có từ bao giờ?

Nghịch lý này xuất hiện vào năm 1953 khi nhà toán học người Bỉ - Maurice Krait Chik đưa ra 1 bài toán trong cuốn sách Toán học giải trí của ông đề cập đến hai người đàn ông gặp nhau và so sánh cà vạt của mình, những muốn quà đến từ vợ của họ và so sánh chúng với nhau, thắc mắc rằng cái nào mắc hơn Ông còn dùng một đối tượng khác ở bài toán này là cái ví Ông giả định rằng ở mỗi ví chứa nhất định một lượng tiền X nào đó Những người đàn ông đó không nhìn vào ví của mình nhưng vì một vài lý do nào đó mà họ nên đổi với nhau Và ông Maurice không hề nhận ra vấn đề ở lập luận của họ Và nó cũng chắc chắn rằng bài toán này đã xuất hiện vào những năm đầu 1942 ở phiên bản đã chỉnh sửa của cuốn sách ông Nghịch lý này cũng được nói đến trong một cuốn sách được xuất bản vào năm 1953 nói về toán tiểu học và câu đố toán học bởi nhà toán học John Edensor Littlewood đồng tác giả với nhà vật lý học Erwin Schroedinger, tập trung nói về 1 hộp bài , mỗi lá bài gồm 2 con số ghi trên đó, người chơi sẽ chọn một mặt ngẫu nhiên, và câu hỏi được đặt ra người chơi có nên lật mặt còn lại hay không Hộp bài của Littlewood bao gồm nhiều lá bài nên nghịch lý của ông là nghịch lý của phân phối tiên nghiệm không chính xác (nghĩa là nó có giá trị vô hạn)

thì lượng tiền tôi sở hữu sẽ là nhiều 2A Do đó trò chơi có lợi đối với tôi” Tuy nhiên, người đàn ông còn lại cũng lập luận như vậy Sự thật rằng, trò chơi này công bằng Vậy thì lỗi sai trong cách lập luận của họ?

Gardner thổ lộ rằng, giống như Kraitchik, ông có thể đưa ra cách phân tích để đi đến vấn

đề đúng nhưng ông lại không thể chỉ rõ được lỗi sai trong lập luận hoán đổi, và Kraitchik cũng chẳng giúp được trong cách giải quyết này

Vào năm 1988 và 1989, Bary Nalebuff đã đưa ra 2 nghịch lý 2 phong bì hoàn toàn khác nhau, mỗi phong bì sẽ chứa 1 lượng gấp đôi phong bì còn lại, và kỳ vọng được tính toán ở mỗi phong bì sẽ là 𝟓

𝟒A Tờ giấy đầu tiên, ông ghi ra 2 nghịch lý ra, tờ còn lại bao gồm

những phương án khác nhau cho 2 nghịch lý Nghịch lý thứ 2 của ông là nghịch lý rất phổ biến dạo gần đây, được đề cập ở trước đó Theo nghịch lý này, phong bì sẽ được bỏ tiền

vào, sau đó sẽ có 1 phong bì được chọn ngẫu nhiên và gọi là phong bì A Martin Gardner

cũng đã đề cập cái nghịch lý này vào năm 1989 với cuốn sách “Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers” và “Return of Dr Matrix” Với Barry Nalebuff giáo sư quản lý Milton - Steinbach tại trường quản lý Yale và là tác giả chuyên về chiến lược kinh doanh và lý thuyết trò chơi, ông dùng 2 biến thể không đối xứng, thường được biết đến là vấn đề Ali Baba, có 1 phong bì có tiền sẵn, gọi là phong bì A, đưa cho Ali Sau đó tung đồng xu công bằng để quyết định xem lượng tiền trong phong bì B là A hay 𝐴

2 sau đó đưa nó cho Baba

• Trường hợp hai: Bạn chọn ngẫu nhiên một phong bì nhưng trước khi bạn

mở ra để kiểm tra số tiền bạn sẽ có cơ hội để thay đổi sự lựa chọn để đổi lấy cái còn lại

3 Tóm tắt vấn đề bằng 12 lập luận

1 Gọi là số tiền trong phong bì được chọn.A

2 Xác suất số tiền nhỏ hơn làA 𝟏𝟐 và số tiền lớn hơn có xác suất là 𝟏𝟐

3 Phong bì có thể chứa một lượng là 2A hoặc 𝑨𝟐

4 Nếu là lượng tiền ít hơn thì lượng tiền phong bì còn lại là A 2A

5 Ngược lại, nếu A là lượng tiền nhiều hơn thì lượng tiền phong bì còn lại sẽ là 𝑨𝟐

6 Do đó, phong bì còn lại sẽ có xác suất là nếu lượng tiền lའ2A và xác suất cũng là 𝟏

𝟐 khi lượng tiền là 𝑨𝟐

7 Vậy kỳ vọng của phong bì còn lại sẽ được tính như sau:

8 Kỳ vọng này có giá trị lớn hơn , trên trung bình, chúng ta sẽ có lợi bằng cách A

hoán đổi 2 phong bì

9 Và sau khi chuyển đổi, bạn đang trong tay với phong bì với lập luận như trên với B

các bước tương tự khi bạn bốc A

10 Bạn sẽ kết luận rằng là điều hợp lý nhất cần làm là đổi nó lại một lần nữa

11 Và để hợp lý, bạn đã đi đến kết luận là đổi nó ngay lập tức

7

12 Tới đây bạn sẽ nhận ra rằng là sẽ hợp lý hơn nếu bạn mở bất cứ phong bì nào bạn chọn hơn là đổi nó ngay lập tức => Nghịch lý xảy ra Vì khi chọn 1 phong bì và quyết định đổi nó vì giá trị kỳ vọng nó cao hơn số tiền hiện tại của bạn, và cũng với quá trình bạn lại muốn đổi tiếp, đổi không dừng và cuối cùng vẫn chưa mở nó

4 Đi đến vấn đề bằng ví dụ thực tế

Nói không ngoa khi cho rằng toán học sẽ khó hiểu hơn nhiều nếu chúng ta không được đưa một ví dụ cụ thể hay thực tế hóa đó Vì thế, nghịch lý 2 phong bì này có thể dễ hiểu hơn nhiều khi đặt nó trong một tình huống thực tế thay vì những thuật ngữ toán học lằng nhằng (ngôn ngữ người ngoài hành tinh)

Một tình huống được đưa ra như sau:

Hôm nay là sinh nhật lần thứ 41 của anh Sơn, người lớn tuổi nhất hội “202TO0716” Một buổi họp mặt thân mật được tổ chức tại trụ sở “UEL” của hội để mừng anh Sơn Sau khi tất cả nâng ly chúc mừng anh Sơn, anh nhóm trưởng trình ra 2 bao thơ và phát biểu chậm rãi cho tất cả nhóm đều nghe rõ:

“Đây là hai phong bì giống y như nhau Trong mỗi phong bì có

một số tiền, nhưng hai số tiền này không bằng nhau Có một

phong bì đựng gấp đôi tiền trong phong bì kia Anh Sơn sẽ

chọn một phong bì Sau khi chọn một phong bì mà chưa mở

ra, anh có thể đổi ý, đổi phong bì đó lấy phong bì còn lại.”

8

Vậy chúng ta hãy suy nghĩ xem có lý do thuận lý nào giúp được cho anh Sơn không?

Anh Sơn suy nghĩ mãi mà không quyết định được cũng không có gì lạ vì đây là một bài

toán khó, thường được biết dưới tên khác là “Sự nghịch lý của bài toán hai phong bì” Nghịch lý vì một mặt bạn có thể tìm thấy một lời giải mà bạn cho là đúng, là thuận lý của bài toán, nhưng mặt khác, bạn lại thấy lời giải đó lại mâu thuẫn với chính nó!

Để tiện việc giải thích, gọi A là phong bì chọn bởi anh Sơn, và B là phong bì còn lại

Bạn có thể cho là vì chưa phong bì nào được mở ra nên chọn phong bì nào cũng vậy, không cần phải đổi qua đổi lại mất thì giờ! Nghĩ như vậy cũng đúng

Thật vậy, gọi X là 1 số nào đó Có 2 trường hợp về số tiền trong mỗi phong bì: 2X hay

X/2 Xác suất của mỗi trường hợp này là 0.5, do đó, số tiền dự đoán trong 2 phong bì

bằng nhau và bằng:

0.5 x 2X + 0.5 x 𝑿

𝟐 = 𝟓𝑿 𝟒= 1.25 X

Bạn cũng có thể lý luận như thế này:

Gọi X là số tiền trong phong bì A mà anh Sơn đã chọn

Có 2 trường hợp cho số tiền trong phong bì B còn lại: số tiền này có thể là 2X (gấp đôi)hay 𝑿

𝟐 (phân nửa) số tiền trong phong bì A Xác suất để phong bì B có 2X hay 𝑿𝟐 bằng nhau và bằng 0.5

Do đó, số tiền dự đoán trong phong bì B là:

0.5 x 2X + 0.5 x 𝑿

𝟐= 𝟓𝑿

𝟒= 1.25 X

Số tiền dự đoán này lớn hơn số tiền X trong phong bì A

Như vậy: anh Sơn nên trả lại phong bì A và nhận phong bì B

Nhưng ………… Nếu lúc đầu anh Sơn lấy phong bì B, không phải phong bì A, thì sa o? Cũng bằng cách lý luận như trên, bây giờ bạn lại thấy là Anh Sơn nên trả lại phong bì B

và nhận phong bì A! Rõ ràng, hai kết quả trên mâu thuẫn nhau Đó là lý do mà người ta gán nghịch lý cho bài toán hai phong bì

9

Nhưng, thực sự bài toán hai phong bì có nghịch lý không? Thưa không, nói lý luận trên là một ngụy biện thì đúng hơn Thật vậy:

Khi “Gọi X là số tiền trong phong bì A” là ta đã xem như anh Sơn đã mở phong bì A và

đã biết số tiền trong đó là X, trái với giả thiết nói là cà 2 phong bì A và B đều không mở

ra

Nói “Số tiền trong phong bì B là 2X (gấp đôi) hay 𝑿

𝟐 (phân nữa) số tiền trong phong

bì A” cũng sai vì mặc nhiên xem như số tiền X trong phong bì A là biết rồi

Thực sự, số tiền trong phong bì A cũng chưa biết, số tiền nầy có thể bằng gấp đôi hay phân nửa số tiền trong phong bì B Lý luận trên phải sửa lại như sau:

“Gọi X là số tiền nhỏ hơn, 2X là số tiền lớn hơn.

Nếu số tiền trong A là X, thì số tiền trong B là 2X

Nếu số tiền trong A là 2X, thì số tiền trong B là X”

Như vậy thì có 2 trường hợp cho số tiền trong phong bì B: 2X và X với cùng xác suất 0.5

Do đó, số tiền dự đoán trong phong bì B bằng:

0.5 x 2X + 0.5 x X = 1.5X

Tương tự, số tiền dự đoán trong phong bì A cũng bằng 1.5X

Kết luận là anh Sơn không cần thiết phải đổi phong bì A đề lấy phong bì B!

5 Giải quyết vấn đề

Bây giờ, chúng ta sẽ đi sâu hơn về mẫu chốt cũng như cách giải quyết đơn giản nghịch lý qua ví dụ thực tế trên và hướng đi mà ví dụ đề cập đến Kỳ vọng sẽ là yếu tố mấu chốt giúp chúng ta nhận ra vấn đề ở “nghịch lý” này Cụ thể hơn khi ta cho rằng “A” ở bước 7

dự định là giá trị kỳ vọng ở phong bì A và chúng ta sẽ công thức tính toán cho kỳ vọng ở phong bì B

10

Ở bước 7 đã được đề cập ở “Tóm tắt vấn đề bằng 12 lập luận”, kỳ vọng của B sẽ là:E(B)= 12 (2A + 𝐴

2)

Nó được chỉ ra rằng “A” trong phần đầu công thức là giá trị kỳ vọng khi biết rằng phong

bì A có lượng tiền ít hơn phong bì B, nhưng “A” ở phần thứ hai là giá trị kỳ vọng khi phong bì A trong trường hợp này chứa lượng tiền nhiều hơn phong bì B Lỗi mà các nhà toán học đang mắc phải ở đây là cùng một ký hiệu được dùng với 2 ý nghĩa khác nhau trong cùng một công thức tính nhưng lại giả định có cùng giá trị trong 2 trường hợp

Nó sẽ chính xác hơn khi ta tính E(B) (kỳ vọng của B) trực tiếp, cụ thể

E(B) = 𝟏

𝟐 [E(B|A>B) + E(B|A<B)] (kỳ vọng có điều kiện)

Và sau đó chúng ta cho rằng lượng tiền trong một phong bì là x và của cái phong bì còn lại là 2x, khi đó kỳ vọng được tính như sau:

E(B) =𝟏

𝟐.(x+2x) - bằng với kỳ vọng của phong bì A

Việc này đồng nghĩa lặp lại vô tận công thức tính toán kỳ vọng rồi lại tráo nó 1 lần Nhưng điều đó không có nghĩa chúng ta không tìm ra cách giải quyết Chúng ta nhận ra rằng tổng lượng tiền trong 2 phong bì là 3 phần, một phần nhỏ và một phần lớn hơn gồm

2 phần nhỏ (tổng hợp của tất cả các giá trị x) Và nếu bạn nhận phong bì nhỏ hơn thì giá trị là 𝑿

𝟑 và nhận phong bì lớn hơn thì giá trị là 𝟐𝑿

𝟑 Khi bạn hoán đổi từ nhỏ đến lớn, bạn

𝑿 𝟑