Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đối giữa hai nhà khoa học vĩ đại người Pháp 1a Pascal 1623- 1662 va Fermat 1601- 1665 xung quanh cách giải đáp một số vấn đề
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT
ĐHQG TP HCM
——- t9 ÉÍ] 9 ———-
BAO CAO
LY THUYET XAC SUAT
1 Dé tai bao cáo:
THREE PRISONERS PARADOX (TAM DICH:
NGHICH LY BA KE TU NHAN)
2 Thanh phan tham gia:
Tén thanh vién MSSV Dong gop
Huynh Vu Huong Giang K214100738 100%
Lưu Thị Diễm My K214101924 100%
Trần Kim Thi K214101926 100%
Hoàng Đức Thịnh K214101927 100%
Tp Hồ Chi Minh, ngay 15 thang 04 nam 2022
Trang 2
Lời mở đầu
Lý thuyết xác suất là ngành toán học chuyên nghiên cứu xác suất, có lich sử phát triển lâu đời Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật chí phối
và đưa ra các phương pháp tính toán xác suất của các hiện tượng biến có ngẫu nhiên
Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đối giữa hai nhà khoa học vĩ đại người Pháp 1a Pascal (1623- 1662) va Fermat (1601- 1665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc Pháp đã đặt cho Pascal
Ngày nay lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng cả về phương diện lý thuyết và ứng dụng Các mô hình xác suất thông kê đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong khoa học tự nhiên cũng như khoa học xã hội, thuộc rất nhiều lĩnh vực khác nhau từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thông kê xã hội, từ cơ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế, y học
Nhằm nghiên cứu, tính toân xác suất của nhiều hiện tượng biến cố ngẫu nhiên nên Lý thuyết xác suất cũng cho ra đời nhiều công thức, định lý Chẳng hạn như công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất có điều kiện, công thức Bernoulli, công thức Bayes, Sau đây, hãy cùng nhóm 5 tiến hành tìm hiểu và phân tích về một bài toán rất nôi tiếng về xác suất và đã gây nhiều tranh luận ban đầu trong giới toán học- Bài toán Nghịch lý ba kẻ tù nhân (Three Prisoners Problem) để xem đâu là công thức cho bài toán này, cũng như đưa ra cái nhìn tông quan về bài toán
Do điều kiện và khả năng có hạn, bải thảo luận của nhóm 5 không tránh khỏi những khiếm khuyết Chúng em rất mong nhận được sự chia sẻ và góp ý từ phía giảng viên
đề bài báo cáo của nhóm được hoàn thiện hơn
Trang 3Lời mở đầu
In 1
1 Nguồn gỐc - 52 222 221221227122112211211221121122112122112112221112212212 12a 1
2 Nội dung của nghịch Ìý c2 22111211 1211121112111211101 110111 1110110111011 1 gu l
H Nội dung cChimh 00.00.00 ccc 22122211 11112111211111111101 110110111 111811811 2
1 Phân tích tình huống - 5: S1 9 E12111111E11211211 117112111111 1121111111 1E xe 2
2 Giải quyết bài toán dưới góc độ toán học -s-cs 2+1 122121111111 112112111 xe 3
3 Gia thich true QUAIL oo e 4
4 Tại sao lại có nghịch lý như Vay? 00.0 ccc ccc cece censeetseenseensteneetseenseenseens 6
II Ứng dung và mở rộng S1 22111 11 11211 11 1221111012111 tra rau 7 Tài liệu tham khảo . 2 0201020 12111211121 1121115111111 1111 111118111811 11 ky ray 10
Trang 4L MỞ ĐẦU:
1 Nguồn sốc:
Nghịch lý Ba kẻ tù nhân (Three Prisoners Paradox) xuất hiện vào năm 1959 trong chuyén muc “Mathematical Games” cua nha toan hoc Martin Gardner, trén một tạp chí khoa học nỗi tiếng có tên là “Scientiic American” Nó là một vấn đề liên quan đên xác suât, nó được bàn luận và đã xuât hiện nhiêu cách lý giải khác nhau Nghịch lý Ba kẻ tù nhân có sự tương đồng về mặt toán học với Monty Hall problem (van dé Monty Hall) va Bertrand's box paradox (nghich ly Bertrand)
2 Noi dung cua nghich ly:
Có ba tù nhân lần lượt tên la A, B và C Cả ba người này đều bị kết án tử và bị giam gitt trong 3 phong giam riéng biệt Tuy nhiên, trong thời øian ba tủ nhân nảy bị giam giữ, thống đốc đã quyết định răng sẽ lựa chọn một tù nhân ngẫu nhiên trong ba tù nhân nay va an xa cho người đó, hai người còn lại sẽ vẫn bị xử tử theo đúng như bản
án của họ Người biết chính xác ai đã được chọn và được ân xá là quản ngục, tuy nhiên, ông không được phép nói ra Tù nhân A đã cô gắng thuyết phục người quản ngục tiết lộ tên của một người (ngoại trừ A, nếu trong trường hợp A cũng là một trong hai người không được ân xá) sẽ bị xử tử Theo đó, nêu quản ngục đồng ý với thỉnh cau của A thì sẽ có 3 trường hợp như sau xảy ra:
-._ Nêu B được ân xá, quản ngục sẽ tiết lộ tên của C
- _ Nêu C được ân xá, quản ngục sẽ tiệt lộ tên của B
- Nêu A được ân xá, quản ngục sẽ tiết lộ tên của B hoặc C Theo ba biên cô nay, A sẽ tính toán và dự đoán được xác suât được ân xá của bản
an ~1à 1
than sé la 3:
Quan ngục đã đồng ý, và tiét 16 cho A biét rang B sẽ là một trong hai tù nhân bị xử
+ sack - 1 od ` ~ 2 ; k A: ˆ ro
tử Sau khi biết được di 5: Điều nay, A đã cho rang xác suât cơ hội được ân xá cua
Trang 5minh da tang tir 3 lên z VÌ người giảnh được cơ hội sông sót bây giờ chỉ có thê là A
hoặc C,
A đã bí mật kê chuyện này với C, tuy nhiên khác voi y kien cua A, C cho rắng xác
Â, ak ˆ , xq, 1 ; k ˆ ro 3 ˆ uy
suât đê A được ân xá vần là s2 nhưng xác suât được ân xá của bản thân C lại tăng 2
lén — 3
Cấu hỏi được đặt ra ở đây là: Suy luận của ai dung? A hay C?
II NỘI DUNG CHÍNH:
1 Phân tích tình huống:
Theo giả thiết, tù nhân A hỏi người quản ngục về việc ai là người được ân xá, tuy nhiên người hỏi là A nên đĩ nhiên anh ta sẽ không thê có được thông tin gì về số phận cua minh
Anh ta đã yêu cầu người quản ngục hãy trả lời theo yêu cầu của mình đề giữ nguyên tắc không tiết lộ ai là người được ân xá cho người tù nhân biết Ban đầu, khi biết trong
3 người sẽ có một người được ân xá, A ước tính mình và 2 tù nhân B và C mỗi người
„1 2 oy a , TA R 3 TA CS 2 x
coz khả năng được ân xá Tuy nhiên sau khi nghe được câu trả lời của quản ngục về
` ~ 2 oy a ro 5 ~ yx x | ga 1“ ~
B thi A nghi rang kha nang duoc an x4 cua minh da tang từ 3 lên được 5 vl A nghi rằng giữa mình và C chỉ có một người phải chết Về phần C, sau khi nghe được cuộc nói chuyện giữa A và quản ngục thì lại không nghĩ như vậy, C nghĩ răng cơ hội đã
x R À_ qa 2
được tăng lên 2 lân lên 3
Nhìn một cách trực quan, khi mới nhìn nhận vẫn đề chúng ta cũng thường nghĩ theo cach cua A, tuy nhiên, A đã có một sai lầm trong cách tính và C mới thực sự là người đúng
roe k ^ ; 1x | TÃ nes k cA : x
Ta có xác suat A được ân xá là „ ket hep với xác suât B được gọi tên khi tung đồng
Al oas ` 2 „1 ; kK ˆ ry oon `
xu quyết định từ quản ngục là s Suy ra, xác suât A được ân xá và B được gọi tên (từ
2
Trang 6việc tung đồng xu) là 3X5 Trong khi đó, xác suât C được sông khi có dữ kiện
» „1 ; k k k ne a , A, a
cua B la s Suy ra xác suât C duoc s6ng gap đôi của xác suât của A
Nếu không tung đồng xu, khi A được nói rằng B sẽ bị xử tu, thi co hội được sống của
` ` v Là 1 TA pen aa ah k ok ~ Le gt
A va C là như nhau vả băng s Tuy nhiên, với việc lật đông xu, nêu A biết B sẽ bị tử hình, thì việc A sống và tung đồng xu trúng C sẽ không xảy ra, vì vậy xác suất chỉ là
1 + ay , Ậ Ậ + ^ As A Kk ne
3 trong khi đó, xác xuât được sông của C không đôi và gâp đôi A
2 Giải quyết bài toán dưới góc độ toán học:
Đối với vấn dé này chúng ta sẽ áp dụng Định bp Bayes dé giải quyết bài toán Nhưng trước hết chúng ta cần tìm hiểu Định bp Bayes là gì?
Định Jÿ Bayes được nhà thông kê học Thomas Bayes nghiên cứu và phát triển thành một định lý mang tên ông Định lý này cho phép tính xác suất xảy ra của một sự kiện ngẫu nhiên A khi biết sự kiện liên quan B đã xảy ra Xác suất này được ký hiệu là P(A|B), được gọi là Xác suất có điều kiện
Theo định lý Bayes, xác suất xảy ra A khi B sẽ phụ thuộc vào 3 yếu tố:
- _ Xác suất xảy ra A của riêng nó, không liên quan đến B, ký hiệu 1a P(A) Đây được gọi là xác xuất tiên nghiệm (nghĩa là nó không quan tâm đến bắt kỳ thông tin nao cua B)
- _ Xác suất xảy ra B của riêng nó, không liên quan đến A, ký hiệu là P(B) Đại lượng này còn được gọi là hằng số chuẩn hóa (normalizing constant), vì nó luôn giống nhau, không phụ thuộc vào sự kiện A đang muốn biết
- _ Xác suất xảy ra B khi biết A xảy ra, ký hiệu là P(BỊA), đọc là xác suất của B nếu có A Đại lượng này gọi là Khả năng (likelihood) xảy ra B khi biết A đã xảy ra Lưu ý, không nhằm lẫn giữa khả năng xảy ra B khi biết A và xác suất xảy ra A khi biết B
Từ 3 đại lượng này, ta có công thức tính xác suất của A khi biết B:
Trang 7P(A B) = 7 P(BỊ|A)P(A) " likelihood x prior
Áp dụng công thức Bayes vào bài toán Ba tù nhân:
Lân lượt gọi A, và C là các biên cô mả các tù nhân A, B, C được an xa
Gọi ð là biên cô mà quản ngục nói với A rắng B bị xử tử
Sử dụng định lý Bayes để chứng minh xác suất sông sót của A và C:
P(AIb)
P(C\|b)
P(b|A)x P(A)
P(b|A)x P(A) + P(b|B) x P(B) + PCb|C) x P(C)
1.1 1 13
2xs†0xs†1Xxs
P(b|C)xP(C)
P(b|A)x P(A) + P(b|B)x P(B) + P(bIC) x PCC)
1
_ 1_ 1 X35 1 1 3 s2
2zxs†0Xz†1Xx#
sh 1a R ; ĐAU tw ˆ 3 TY c2 ` ` 1 , kick
Điều làm nên sự khác biệt giữa câu trả lời của A vả C là P(b| A)= z VÌ xác suât biên
cô b xảy ra khi A chắc chắn được sống thì người quản ngục sẽ tung đồng xu lựa chọn gọi tên B và C khi đó xác suất B được gọi tên là s: Trong khi đó P (b | C) = 1 vì biến
cô b xảy ra thì biến cố C chắc chắn xảy ra là 100% bởi nếu C sống thì B chắc chắn phải chết
Trang 83 Giải thích trực quan:
Dù cho người quản ngục gọi tên B hay C thì tù nhân A vẫn có cơ hội được ân xá Nhưng anh ấy lại cho rằng khi B bị xử tử thì giữa mình và C mỗi người có một nửa
cơ hội được sông sót
Điều nảy gân gidng với vân dé Monty Hall
Có 4 khả năng sẽ xảy ra:
1 A được ân xá và người quản ngục gọi tên B sé bi xu tur: xac suat :
ˆ ry xẻ 2 son wt v2 , A, 1
2 A duoc an xa va ngwoi quản ngục gọi tên C sẽ bị xử tử: xác suất ẹ
3 B được ân xá và người quản ngục gọi tên C sẽ bị xử tử: xác suât 3
~ ry xẻ 2 c we te , A, 1
4 C được ân xá và người quản ngục gọi tên B sẽ bị xử tử: xác suât 3 Cho rang điều kiện mà người quản ngục chon 1a ngau nhién, A có xác suât được ân
"' row i ne tn „1 AT spk oe Ao `
xá là ? do đó sẽ có s CƠ hội gọi tên B vả s CƠ hội gọi tên C Vì thê, xác suât của trường
a1 AL, k ~ , 1_, k “oA
hop nay la s G xác suât Á được ân xã X s Xác suât B được gọi tên) khi B được gọi tên và A được ân xá, và kêt quả nảy cũng tương tự với khi A được ân xá và C được
wn LẠ L1 1/1
gọi tên Suy ra xác suat A duoc song la 3 © + 2}:
Điều này có nghĩa ra trong 4 cái trường hợp trên, cơ hội B được gọi tên là trường hợp
` x: ` À coe Aq, 1 1 ae ~ ry + on
1 va 4, mỗi trường hợp đêu có xác suat là 33 CƠ hội C được ân xã và A bị xử tử
` ` > 71 A: ˆ , a `
(trường hợp 4), và chỉ có c CƠ hội A được ân xá khi B được gọi tên (trường hợp l)
, At ca v1, 2v ¿ „1 1_ 1
Do đó, cơ hội của C là - x == = và của A là - X==-= 312 3 612 3
Mau chot cua van dé nay la quản giáo có thê không nói tên người tù nhân sẽ bị xử tử Nêu như vậy thì vân đề sẽ được giải quyêt theo một chiêu hướng hoàn toàn khác Thay đôi chính trong ví dụ là A chỉ yêu câu tiết lộ sô phận của một trong những tủ nhân khác, và quản giáo sẽ lật đồng xu vả chọn một trong hai B va C để tiết lộ số phận của họ Các trường hợp sẽ như sau:
Trang 9s® - A được ân xá, quản ngục nói: B bị xử tử ( z )
ˆ ; 3 rẻ c2 23L
s® - A được ân xá, quản ngục nói: C bị xử tử ( Z )
ny , N nd
e B duoc an xa, quan nguc noi: B được ân xá ( : )
ˆ ; 3 rẻ c2 23L
e B duoc an xa, quan nguc noi: C bị xử tử ( 5 )
¬ , N cà „1
se C được ân xá, quản ngục nói: B bị xử tử ( 5 )
¬ , N ned
e C được ân xá, quản ngục nói: C được ân xá ( : )
Từ những trường hợp trên vẫn đề này có thể được nhìn theo cách sau: người quản ngục trong ví dụ này có 6 tình huống có thể xảy ra, mỗi cái có xác suất là = Tuy nhiên, ở vấn đề ban đầu thì người quản ngục không thê tiết lộ số phận của tên tù nhân được ân xá Cho nên loại những tình huống quản ngục nói trực tiếp tên người được
ân xá
4 Tai sao lại có nghịch lý như vậy?
Theo cách nghĩ của A thi dù cho người quản ngục có gọi tên B hay C thì A cũng cho rằng cơ hội sống của mình là ; Tuy nhiên, khi vẫn để này được tính một cách cần thận thì cách tính của C mới là đúng Vì xác suất còn tùy thuộc vào câu trả lời của người quản ngục, như đã nêu ở trên thì người quản ngục có thể không cần tiết lộ số phận của B
Thật khó đề có thê xác định A sai ở đâu, tuy nhiên nếu chúng ta xem xét một trường
hợp sửa đôi, khi đó: P(A) = 7 , P(B) = : và P(C) = 2 VÀ giữ nguyên các yếu tô khác,
sử dụng lại định lý Bayes ta được:
P(AIb)=
x
à|>l¬ _
tdl¬ x al
Trang 10Một trường hợp khác được đặt ra nữa đó là nếu A chỉ đơn giản hỏi B có bị xử tử hay không, và câu trả lời từ người quản ngục là “Có”, xác suât A được sông sẽ là:
1 P(AIb)=————_—r-=~
1 1 1 3
1x10 xzr1 X5
Kết luận: Do mọi người thường nhìn vào vấn đề theo trực giác, dé đàng cho rằng câu
2 TA 1à ty x o, ak ~ ` pk 2 yA - ok À
trả lời là ; mà không suy xét đên những trường hợp có thê xảy ra Vì vậy, khi vân đề được đưa ra lại gây nên nhiều luồng tranh luận trái chiều Nhưng một khi xét trên phương diện logic, và thực hiện từng bước thì mọi việc điều là có ý nghĩa Từ câu chuyện nghịch lý trên, có thể đễ dàng hiểu được xác suất và cung cấp một cái nhìn sâu sắc hơn về cách tỉ lệ mà người ta thường chỉ nghĩ theo xu hướng trực giác
II ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG:
^xa??
Một vài vấn đề toán học liên quan đến bài toán “Ba tù nhân” có thể kê đến như vấn
đề Monmfy Hall (Morty Haill Problem), nghịch lÿ chiếc hộp của Bertrand (Bertrand's box paradox), nghich ly Trai hay Gai (Boy or Girl Paradox), Dưới đây là sơ lược
vé van dé Monty Hall
Vấn đề Monty Hall (Câu chuyện hai con dê và chiếc xe hơi):
Bài toán xuất phát từ một trò chơi truyền hình ' thực tế ở Mỹ Thí sinh đứng trước 3 cánh cửa,
a Po phía sau | canh cwa la | chiéc xe hoi, phía sau mỗi
cánh cửa còn lại là l con đê Thí sinh phải chon 1 cánh cửa và nhận giải thưởng của mình phía sau cánh cửa Lẽ dĩ nhiên, thí sinh mong muôn chọn được cánh cửa mà phía sau có xe hơi