Báo Cáo Kết Quả Nghiên Cứu Môn Lý Thuyết Xác Suất Đề Tài Three Prisoners Problem.pdf

ủ Hai là nếu Chitra là người được thả tự do, quản ngục phải nói cho anh ta tên c a Bahanu... Người qu n ngả ục đã đi vào phòng của anh ta, và sau đó một phút anh ta bước đến phòng giam

TRƯỜNG Đ I H C KINH T -LU T Ạ Ọ Ế Ậ

ĐẠI HỌC QU C GIA THÀNH PH H CHÍ MINH Ố Ố Ồ

- 😊😊😊😊😊😊😊😊😊 -

BÁO CÁO

Đề tài:

Three prisoners problem

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Phúc Sơn

SV thực hiện: Trần Hoài Linh_K204051344

Nguyễn Th Kim Anh_K204071504 ị

Trần Phương Anh_K204071505 Hoàng Th Thu L i_K204070350 ị ợ

Trần Thuỵ Trang Đài_K204090482 Dương Khánh Linh_K204090486

Lê H ng C m Nhung_K204091685 ồ ẩ

1

*DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 4:

1 Tr n Hoài Linhầ K204051344

2 Nguy n Th Kim Anhễ ị _K204071504

3 Trần Phương Anh K204071505

4 Hoàng Th Thu Lị ợi _K204070350

5 Tr n Thu ầ ỵ Trang Đài K204090482 (nhóm trưởng)

6 Dương Khánh Linh _K204090486

7 Lê H ng C m Nhungồ ẩ K204091685

*NHẬN XÉT ĐÓNG GÓP CỦA CÁC THÀNH VIÊN:

1 Lê H ng C m Nhung ồ ẩ (Thành viên năng nổ): Edit, t ng h p, ch nh ổ ợ ỉ sửa và b sung n i dung bài báo cáo, n p bài và in file gi y n p cho thổ ộ ộ ấ ộ ầy

2 Hoàng Th Thu L i: ị ợ Giới thi u vệ ấn đề Three prisoners problem, nêu

sự c (problem) ố

3 Nguyễn Th Kim Anh ị và Trầ n Thu ỵ Trang Đài: Giải pháp

(Solution), gi i thi u và cách áp dớ ệ ụngđịnh lý Bayes

4 Trần Phương Anh và Dương Khánh Linh: Giải thích tr c quan (An ự intuitive explanation), so sánh với vấn đề Monty Hall

5 Trần Hoài Linh: Kết luậ ứn, ng d ng th c t và m r ng vụ ự ế ở ộ ấn đề

2

LỜI C ẢM ƠN

Lời đầ u tiên nhóm 4 chúng em xin c ảm ơn thầ y Nhờ sự hướ ng d n, gi ng d y nhi t tình của th ẫ ả ạ ệ ầy đã truyền đạ t cho chúng em nh ng ki n th c b ích c a b môn Lý thuy t xác ữ ế ứ ổ ủ ộ ế suất trong suốt th ời gian qua Chúng em đã có cơ hộ i áp d ụng kiế n th c t môn học vào bài báo cáo này Cùng v i s nổ ứ ừ ớ ự lực c ủa nhóm, chúng em đã hoàn thành bài báo cáo.

Do ki n th c còn h n h p nên không tránh kh i nh ng thi ế ứ ạ ẹ ỏ ữ ếu sót trong cách hi u, l i trình bày ể ỗ Nế u có sai sót v cách th c, ề ứ

hy v ọng đượ c th y b qua Chúng em r t mong nh ầ ỏ ấ ận đượ ự c s đóng góp ý kiến từ thầy sau khi xem qua bài báo cáo của chúng em

Chúng em xin chân thành c ảm ơn!

3

*MỤC LỤC:

I- PHẦ N M Ở ĐẦU:……… …… 5

1.Giớ i thi u v ệ ấn đề và s c ự ố… ….……… 5

2.Nh n xét v ậ ấn đề……….……… 6

II-PHẦ N N I DUNG: Ộ ……… 7

1.Khái quát v ấn đề……… 7

2.Đưa ra giả i pháp ……… 8

3.Áp d ụng đị nh lý Bayes ……… 9

4 Giả i thích v ấn đề trự c quan …… ……… 10

5.So sánh v i v ớ ấn đề Monty Hall ……… 12

6.K t lu ế ận………… ………1 4 III-M Ở RỘNG VÀ NG D Ứ Ụ NG: ……… 15

1 Mở ộng ấn đề……….1 r v 5

2.Ứ ng d ụng……… 1 5

5

THREE PRISONERS PROBLEM

(VẤN ĐỀ BA TÙ NHÂN)

I- PHẦN M Ở ĐẦU

1 Giớ i thi u vệ ấn đề và s c ự ố:

a) Nêu vấn đề và s c : ự ố

Bây gi chúng ta cùng tìm hi u vờ ể ấn đề Những từ ngữ được đề ậ c p có thể không ph i là nh ng t ả ữ ừ chính xác như Gardner đã đề ập nhưng c nội dung và ý tưởng cơ bản của vấn đề không b ị thay đổi

Trong m t phiên bộ ản ở một câu chuyện hư cấu của Ấn Độ, nơi các vị vua chúa v n còn cai trẫ ị Ajay, Bhanu và Chitra là ba điệp viên bị bắt vì cung c p thông tin sai l ch cho vua c a h v Hoàng t cấ ệ ủ ọ ề ử ủa nước láng giềng Giờ đây, nhà vua không muốn hành quyết t t cấ ả h vì lòng trung ọ thành c a h ủ ọ đố ới v i ông ta trong kho ng thả ời gian trước đây Do đó, ông

đã quyết định thả t do cho m t trong s ự ộ ố ba người họ và chỉ tiết lộ tên cho người qu n ngả ục, không tiết l cho b t kộ ấ ỳ m t ai khác Ngoài ra, nhà vua ộ

có một điều ki n rệ ằng người đó sẽ chỉ được trả t do vào ngày hành quy t, ự ế

và cho đến ngày hành quy t c ba tù nhân ph i b ế ả ả ị nhốt trong phòng giam của h Ajay hiọ ểu được mức độ nghiêm tr ng c a s ọ ủ ự việc nên anh ta gđã ọi người qu n ngả ục n c u xin cho anh ta bi t danh tính c a m t trong hai đế để ầ ế ủ ộ người bị hành quy t ế và đưa ra ba điều kiện:

Một là nếu Bhanu là người được thả tự do, quản ngục ph i nói cho anh ta ả tên c a Chitra ủ

Hai là nếu Chitra là người được thả tự do, quản ngục phải nói cho anh ta

tên c a Bahanu ủ

6

Ba là nếu Ajay là người được th t do, qu n ng c ph i tung mả ự ả ụ ả ột đồng xu công b ng Nằ ếu đồng xu cho m t xặ ấp, thì ph i nói tên c a Bhanu, và nả ủ ếu đồng xu cho mặt ng a, thì ử phải đọc tên của Chitra

Người qu n ngả ục đã đi vào phòng của anh ta, và sau đó một phút anh ta bước đến phòng giam c a Ajay, và nói cho anh ta bi t tên c a Bhanu Bây ủ ế ủ giờ, Ajay mỉm cười sau điều này vì anh ta nghĩ mình đã biết được vấn đề,

cụ thể là biết được kh ả năng được th t do cả ự ủa anh ta

Ajay đã bí mật nói cho Chitra bi t tin và Chitra lý gi i rế ả ằng cơ hội được

ân xá của Ajay là không thay đổi, nhưng anh hài lòng vì cơ hội của chính

mình đã đi lên

b) Ngu n g c vồ ố ấn đề:

Vấn đề xuất hiện trong chuyên mục “Mathematical Games” của Martin Gardner (người thường được biết đến với bi t danh là nhà giệ ải đố của Mỹ), trên t p chí Scientific American trong s ạ ố ra tháng 10 năm 1959 “Three prisoners problem” được Martin Gardner đưa ra nhằm gi i thích m t cách ả ộ

cơ bản cho “Nghịch lí Monty Hall” Nó tương đương vớ ấn đềi v Monty Hall nói v ô tô và con dê (v m t toán hề ề ặ ọc) nhưng khác biệt ở đây là nó được thay th b ng s t do và hành quyế ằ ự ự ết tương ứng Gardner (1961) và Mosteller (1965) đã xuất bản rất nhiều vấn đề hấp d n, có báo cáo cho thẫ ấy rằng “Ba tù nhân” mang lại một lượng thư phản hồi của độc giả lớn nh t ấ

Nh n xét v 2. ậ ấn đề:

“Three prisoners problem” là mộ ấn đềt v khá trừu tượng, r c r i ắ ố và phản trực giác, đã được phân tích rõ Nó đại di n cho mệ ột câu đố xác su t, trong ấ

đó lời giải chính xác ph ụ thuộc vào vi c gi i thích các gi thiệ ả ả ết cơ bản và

áp d ng các ki n th c v xác suụ ế ứ ề ất Sự tin tưởng ả x y ra có liên quan đến vấn

đề và phương pháp giải quyết vấn đề b ng tr c giác b phê phán Khuynh ằ ự ị hướng tâm lý c a nhủ ững niềm tin này đã và đang được nghiên cứu M t vài ộ

nỗ l c nh m tìm ra m t tiêu chuự ằ ộ ẩn cơ bản để dự đoán liệu xác suất của mục

7

tiêu s ự kiện có xảy ra hay không và thay đổi như thế nào do k t qu cế ả ủa việc thu th p b ng chậ ằ ứng được ki m tra Tuy nhiên, b t ch p s kháng cáo ể ấ ấ ự

về mặt tâm lý c a nhủ ững nổ l c này, nói chung là không có gì có th ự ể chứng minh là nó h p lýợ Một điều ki n cệ ần và đủ để thay đổi xác suất của mục tiêu s ự kiện, sau khi quan sát d u mữ liệ ới đã được đề xuất Tiêu chí đó là một phần mở rộng c a t lủ ỷ ệ kh năng xảy ra nguyên t c (ả ắ được chắc chắn trong trường hợp ch có hai kh ỉ ả năng loại tr ừ phần bù) cho b t k ấ ỳ phương

án loại tr nào M t vài sai lừ ộ ầm về phép tất suy liên quan đến ý nghĩa của việc thiết lập cơ hội và dựa vào sự tương đồng được th o luả ận

“Three prisoners problem”- một vấn đề dường như là cơ bản, đặt ra một thách thức đau đầ đố ớu i v i người đọc

II- PHẦN NỘI DUNG

1 Khái quát vấn đề:

- G i ba tù nhân Ajay, Bhanu và Chitra lọ ần lượt là A, B và C

- Ba tù nhân A, B và C trong các phòng giam riêng ở biệt và bị k t án t ế ử hình

- Nhà vua đã chọn ng u nhiên m t trong s h ẫ ộ ố ọ để được ân xá

- Quản ngụ biết ai được c ân xá

-Hiện tại cơ hội được th t do cả ự ủa mỗi tù nhân là như nhau đều là 13 Vì vậy, 13+13+13= 1

- Tù nhân A muốn bi t ai bế ị hành quyết nên đưa ra điều kiện với người quản ng c: ụ "Nếu B được ân xá, hãy cho tôi tên C Nếu C được ân xá, hãy cho tôi tên B Và nếu tôi được ân xá, hãy bí mật tung đồng xu để quyết định nói tên B hay C."

- Quản giáo nói v i A rớ ằng B s bị x t ẽ ử ử

-Tù nhân A hài lòng vì anh ta tin r ng xác su t s ng sót cằ ấ ố ủa anh ta đã tăng từ 13 lên 21., có nghĩa là giữa anh ta và C s ẽ có 1 người được ân xá

8

-Tù nhân A t l tin cho C, C lý gi i rtiế ộ ả ằng cơ hội được ân xá c a A là ủ không thay đổi ở mức 13 , nhưng anh hài lòng vì cơ hộ ủa chính mình đã đi i c lên 23

y m

Vậ ai ới thự ực s chính xác?

2 Đưa ra giải pháp

Câu tr l i là tù nhân A không h ả ờ ề thu được b t k thông tin nào v s ấ ỳ ề ố phận của chính mình trước đó ho đế c n khi anh ta nghe người quản ục ng nói cho anh ta biết tên c a mủ ột người khác

Tù nhân A, trước khi nghe thông tin t ừ người quản ngục, ước tính cơ hội của anh ta được ân xá là 13 , giống như tù nhân B và tù nhân C Nếu như người cai ng c nói B s b hành quy t, thì C s ụ ẽ ị ế ẽ được ân xá (13 cơ hội), hoặc

là A s ẽ được ân xá (13 cơ hội) Và đồng xu B/C mà người cai ngục đã tung lên đưa ra kết qu là B (ả 12 cơ hội, cho tổng 12 x 13 =16 cơ hội, B sẽ được gọi tên vì A s ẽ được ân xá)

Vì th , sau khi nghe th y tên cế ấ ủa B sẽ bị hành quyết, ước tính cơ hội được ân xá của tù nhân A là một n a c a tù nhân ử ủ C Điều này cho thấy cơ hội được ân xá c a A (khi biủ ết B không được ân xá) l i là ạ 1

3 , còn C có 23

cơ hội được ân xá

*Bảng giải thích gi i pháp: ả

Lời gi i thích trên có th ả ể được tóm tắt trong bảng sau Như người quản ngục th c hi n yêu c u t tù nhân A, ông ta ch có th l i là B ho c C b ự ệ ầ ừ ỉ ể trả ờ ặ ị hành quyết (hoặc là được ân xá)

9

Bảng 2.1 Gi i thích giả ải pháp

Như người quản ngục đã trả ờ ằng là B không được ân xá, gi i pháp l i r ả

đế ừ ộn t c t th hai “không phải B” ứ Dường như tỷ lệ mà A và C được ân xá

là 1:2

3 Áp dụng định lý Bayes

*Công th c toán hứ ọc:

G i A, B, C lọ ần lượt là các s ự kiện tương ứng với tù nhân A, B, C ba được ân xá, và b là s ự kiện mà người cai ng c nói v i A r ng B s b hành ụ ớ ằ ẽ ị quyết Áp ụng đị d nh lý Bayes, xác suất của A được ân xá là:

Xác su t cấ ủa C được ân xá là:

Được ân xá Quả n ng c: "không ph i B" ụ ả Quả n ng c: "không ph i C" ụ ả T ng ổ

10

Sự khác biệt quan tr ng làm cho A và C không b ng nhau là ọ ằ

nhưng N ếu A được ân xá, quả ngụn c có th nói v i A là B ể ớ hoặc C s b hành quyẽ ị ết, và do đó , trong khi nếu C được ân xá, người quản ục ch có th nói v i A rng ỉ ể ớ ằng B b hành quy t, vì th ị ế ế

4 Giải thích v ấn đề trự c quan

Phạm nhân A ch có ỉ 1

3cơ hội được ân xá, vi c li u B ho c C s b hành ệ ệ ặ ẽ ị quyết không thay i đổ cơ hội được ân xá của anh y Sau khi nghe B s b ấ ẽ ị hành quyết, tù nhân A cho r ng nằ ếu anh ta không được ân xá thì C sẽ được

ân xá Theo suy nghĩ logic của A, thì cơ hội ân xá của anh y s là ấ ẽ 12, nhưng đây là một lập luận sai lầm

Khi nghe th y ấ quản ng c nói tên B, A không nhụ ận được thêm b t c ấ ứ thông tin nào v ề việc được ân xá c a anh y Anh y bi t r ng có ít nhủ ấ ấ ế ằ ất một trong hai người B và C sẽ bị tử hình, do v y khi nghe tên c a mậ ủ ột trong s h , không cho A biố ọ ết thêm được điều gì mới Nhưng tại sao C biết

là C s ẽ có cơ hộ ựi t do gấp đôi?

Tóm t t l i nhắ ạ ững gì chúng ta đã biết, tù nhân A không biết thêm được điều gì mới vềcơ hộ ủa anh y nên xác su t t do c a anh y v n b ng i c ấ ấ ự ủ ấ ẫ ằ 31 Xác su t ân xá c a B b ng 0 Xác su t ân xá cấ ủ ằ ấ ủa C tăng bở ếi n u xác suất được ân xá của A gi nguyên thì xác su t c a C s là: 1- ữ ấ ủ ẽ 1

3 = 32 Nếu chưa thuyết ph c xin hãy c tiụ đọ ếp:

11

*Ban đầu có 4 khả năng có thể xảy ra:

- A được ân xá: 13

+ A được ân xá, qu n ngả ục nói tên B: 16

+ A được ân xá, qu n ngả ục nói tên C: 16

- B được ân xá, qu n ng c nói tên C: ả ụ 13

- C được ân xá, qu n ng c nói tên B: ả ụ 13

=> - Xác su t qu n ng c nói tên B: ấ ả ụ 13 + 61 = 12

- Khi qu n ng c ti t l rả ụ ế ộ ằng B bị hành quyết thì xác suất C được ân xá

sẽ gấp đôi A theo tỉ lệ tương ứng đã cho (31 :16 = 2) => Xác xuất A được ân

xá là 13 và C là 32

*Sau khi qu n ng c ti t l B b hành quy t, thì chúng ta ch ả ụ ế ộ ị ế ỉ còn 2 trường hợp:

- C được ân xá, qu n ng c nói tên B ả ụ

- A được ân xá, qu n ng c nói tên B ả ụ

- Xác su t B b hành quy t là 1 ấ ị ế

=> -Xác su t cấ ủa C được ân xá khi quản ngục gọi tên B = 13 : 12 = 23 -Xác su t cấ ủa A được ân xá khi qu n ng c g i tên B = ả ụ ọ 16 : 12 = 13 Qua đó ta có thể ểu người đã lự hi a ch n câu tr l i ọ ả ờ 1

2 (tù nhân A) đã bỏ qua s ự việc quan trọng đó là việc quản giáo có thể đã tung đồng xu trước khi anh ta đưa ra câu trả lời của mình Qu n giáo có thả ể đã trả lời B vì A sẽ được thả và anh ta đã tung một đồng xu Ho c C s ặ ẽ được th Vì th xác ả ế suất của hai bi n c không b ng nhau ế ố ằ

12

5 So sánh v i vớ ấn đề Monty Hall

- C 2 vả ấn đề này đều áp d ng công th c cụ ứ ủa Bayes để giải quyết:

Về Monty Hall Problem: Vấn đề này có l là vẽ ấn đề xác su t khác ấ thường n i ti ng nh t dổ ế ấ ựa trên 1 chương trình game show trên tivi và được đặt tên theo chính ngườ ẫn chương trình i d

Giả s bử ạn đang ở trong game show và bạn đượ ực l a ch n 1 trong 3 cánh ọ cửa, trong đó có 1 cánh cửa là xe hơi, những cái còn l i là con dê B n chạ ạ ọn cửa s ố và người dẫn chương trình biết sau mỗi cánh cửa là gì đã mở một cánh c a khác và nói r ng c a s ử ằ ử ố 3 là con dê Sau đó anh ta hỏi bạn có muốn ch n c a s ọ ử ố 2 hay không, đó có phải là một l i thợ ế để thay đổ ự ựa i s l chọn c a bủ ạn?

Dưới việc đánh giá một cách tiêu chuẩn, việc thay đổi lựa chọn s ẽ đem lại cho bạn 2/3 cơ hội có được chiếc xe, trong khi nếu vẫn gi s l a ch n ban ữ ự ự ọ

đầu thì b n chỉ có 1/3 cơ hội ạ

Vấn đề này đã được giải thích như sau:

Gọi Ci là vi c chi c xe sau c a th i (i=1, 2, 3) ệ ế ở ử ứ

Xi là l a ch n c a th i cự ọ ử ứ ủa người chơi (i=1, 2, 3)

Hi là l a ch n mự ọ ở c a th i cử ứ ủa ngườ ẫn chương trình (i=1,2,3) i d Người chơi chọn cửa đầu tiên và ngườ ẫn chương trình mởi d cửa số 3 nên i=1 => X1, H3

Lưu ý rằng: Ngườ ẫn chương trình luôn mở ửa không có xe hơi.i d c

Ta ph i tính: P(C2|H3,X1) là xác suả ất trường hợp người chơi đổi lựa chọn và P(C1|H3,X1) là xác suất trường hợp người chơi vẫn giữ nguyên lựa ch n ọ

P(H3|C1,X1)=12 (Do xe c a s ở ử ố 1 mà người chơi chọn cửa số 1 nên cửa

có dê là 2, 3 người dẫn ch có th m 1 trong 2 c a này) ỉ ể ở ử

13

P(H3|C2,X1)=1 (Do xe c a s ở ử ố 2 mà người chơi chọn cửa số 1 nên người dẫn ch có 1 l a chỉ ự ọn để ở c a có dê là c a s m ử ử ố 3)

P(H3|C3,X1)=0 (Do xe c a s ở ử ố 3 mà người chơi chọn cửa số 1 nên người dẫn ph i m c a s 2 xác su t m c a s 3 là 0) ả ở ử ố ấ ở ử ố

P(H3,X1)=12 (Xác su t b ng ½ là do lúc này vi c m c a s 3 không ph ấ ằ ệ ở ử ố ụ thuộc vào chiếc xe đang ở đâu mà phụ thuộc vào cách chọn của người chơi,

do người ch n cọ ửa 1 nên người d n ch có th m c a 2 ho c 3 Hai bi n c ẫ ỉ ể ở ử ặ ế ố

Ci và Xi là độ ập vì người chơi khc l ông biết xe ở đâu để chọn cửa) Sau đó khi áp dụng công thức Bayes ta s ẽ chứng minh được xác suất chiến th ng là ắ 2

3 khi đổi sự lựa chọn P(C2|H3,X1)=23 , P(C1|H3,X1)=13 P(C2|H3,X1) =P( ,P( ,C2 H3,X1H3 X1)) =𝑃(𝐻3|𝐶2,𝑋1).𝑃(𝐶2,𝑋1)𝑃(𝐻3,𝑋1) =𝑃(𝐻3|𝑋1).𝑃(𝑋1)1.𝑃 𝐶2 𝑃(𝑋1)( ) =1/3.11/2.1=23

P(C1|H3,X1) = 𝑃(𝐶1,𝐻3,𝑋1)𝑃(𝐻3,𝑋1) =𝑃(𝐻3|𝐶1,𝑋1).𝑃(𝐶1,𝑋1)𝑃(𝐻3,𝑋1) = 𝑃(𝐻3|𝐶1,𝑋1).𝑃 𝐶1 𝑃(𝑋1)𝑃(𝐻3|𝑋1).𝑃(𝑋1)( ) = (

1

2 ).(13).1 (12).1 =13

- Đến đây ta có thể thấy vấn đề 3 người tù nhân và vấn đề Monty Hall là tương tự nhau, đơn giản là thay 3 người tù nhân thành 3 cánh c a, viử ệc được ân xá giống việc có được chiếc xe hơi, người tù nhân bị hành quyết giống như việc chọn ph i cánh c a có con dê ả ử

Ta có th ể thấy vấn đề ba tù nhân liên quan đến vấn đề Monty Hall được tóm thành bảng dưới đây:

Nghịch lý Monty Hall Vấn đề ba tù nhân