TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA TOÁN – TIN HỌC... GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN CHƯƠNG 71 PHẦN GIỚI THIỆU1.1 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 71.. TRƯƠNG LINH HẬU.. TRẦN THỊ MAI LINH.
DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 7
NỘI DUNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC
A GIẢI VÀ BIÊN TẬP CÁC BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 7
3 PHẠM NGỌC XUÂN VY BÀI 5
4 TRẦN THỊ MAI LINH BÀI 6 (a,b,c,d)
5 MAI NGUYỄN DUY KHANG BÀI 6(e,f); 7(a;b)
6 LƯƠNG THỊ THU HÒA BÀI 7(c,d); 8(a,b)
8 NGUYỄN VŨ YẾN NHI BÀI 9(c;d);10(a;b)
2 PHẦN CHỨNG MINH CÁC BỔ ĐỀ
BỔ ĐỀ 1
Cho dãyunthỏa lim k→ + ∞u2k= lim k→ + ∞u 2k+1 =Athì lim n→ + ∞un=A(A∈R).
Vì lim k→ + ∞ u 2k =Anên tồn tại một số tự nhiênN1sao cho với mọi số tự nhiên k thỏa k>N 1 thì ta có|u 2k −A|< ε.
Vì lim k→ + ∞u 2k+1 =Anên tồn tại một số tự nhiênN2sao cho với mọi số tự nhiên k thỏa k>N 2 thì ta có|u 2k+1 − |A < ε.
ChọnN= 2N1+ 2N 2 + 2 Lấy một số tự nhiênntùy ý sao chon>N.
Trường hợp 1:n= 2t(t∈N) Vìn>N >2N1nên ta suy rat > N 1 Do đó ta có:
Trường hợp 2:n= 2t+ 1 (t∈N) Vìn>N >2N2+ 2nên ta suy rat > N2+ 1> N2 Do đó ta có:|u2t+1−A|< εhay|un−A|< ε.
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có∀n∈N, n>Nthì|un−A|< ε.
BỔ ĐỀ 2 ( DẤU HIỆU LEIBNIZ)
Cho dãyan là một dãy số giảm vàan tiến về 0 khin tiến tới+∞ Khi đó chuỗi
Xét dãyS2 +1 m Ta có:S 2(m+1)+1 −S2m+1=−a2m+3+a2m+2>0( do dãyanlà dãy số giảm ).
Suy ra dãyS2m+1là dãy tăng.
Mặt khácS2m+1= (−a1+a2) + (−a3+a4) + .+ (−a2m−1+a2m)−a2m+160( do dãy anlà dãy số giảm và dần về 0).
Do đó theo định lý hội tụ đơn điệu Weierstrass ta suy ra dãyS2m+1hội tụ.
Nên ta suy ra lim m→ + ∞S2m= lim m→ + ∞S2m+1=S(S∈R).
CÂU 1
Câu 1: Tìm tổng của các chuỗi số sau: a) P ∞ n=1
Suy ra lim n→ + ∞M= 4 Khi đóP ∞ n=1 n
Từ (1) (2) và (3) ta kết luận P ∞ n=1
CÂU 2
Câu 2: Chứng minh rằng nếu các chuỗi số P ∞ n=1 a 2 n và P ∞ n=1 b 2 n hội tụ thì các chuỗi sau cũng hội tụ: a)P ∞ n=1|anbn|hội tụ b) P ∞ n=1
Bài giải Câu a)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:0≤ |anbn| ≤
Mà ta lại có chuỗiP ∞ n=1 a 2 n và chuỗi ∞ P n=1 b 2 n hội tụ.
Nên theo dấu hiệu so sánh ta có chuỗiP ∞ n=1|anbn|hội tụ.
Câu b)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Mặt khác chuỗiP ∞ n=1 a 2 n và chuỗi P ∞ n=1 1 n 2 hội tụ.
Nên theo dấu hiệu so sánh ta suy ra chuỗiP ∞ n=1
CÂU 3
Câu 3: Chứng minh rằng nếu chuỗi số dương P ∞ n=1 anhội tụ thì P ∞ n=1 a 2 ncũng hội tụ.Chiều ngược lại có đúng không?
Do chuỗiP ∞ n=1 anhội tụ nên lim n→ + ∞an= 0.
Ta cóan>0;a 2 n>0∀n∈N(do chuỗiP ∞ n=1 anlà chuỗi số dương).
Mặt khác lim n→ + ∞ a 2 n an= lim n→ + ∞an= 0và chuỗiP ∞ n=1 anhội tụ.
Nên theo dấu hiệu so sánh giới hạn ta suy ra chuỗiP ∞ n=1 a 2 n hội tụ.
Chiều ngược lại không đúng vì chuỗiP ∞ n=1 1 n phân kỳ mặc dù chuỗiP ∞ n=1 1 n 2 hội tụ.
CÂU 4
Câu 4: Cho ( ) là dãy các số dương giảm, tiến về 0 sao choan
P∞ n=1an hội tụ Chứng minh limnan= 0.
Lấyε >0tùy ý Vì chuỗi số P ∞ n=1 anhội tụ nên tồn tạiN1∈Nsao cho
Xét dãy(bn)sao chobn=nan(n∈N).
Vì k tiến dần tới+∞nên tồn tại một số tự nhiênk1nào đó sao chok1>N1. Khi đó ta có:
|a2k+a2k−1+ +ak+1|< ε(∀k∈N;k>k1) Vì dãy số(an)là dãy các số dương giảm nên ta suy ra:
Chok→+∞ Ta suy ralimka2k= 0 Suy ralim 2ka2k= 0 (1)
Tương tự ta cũng có:lim(k+ 1)a2k+1 = 0 Khi đó ta có: lim(2k+ 1)a2k+1 = lim
Từ (1) và (2) ta suy ralimb2k= limb2k+1 = 0.
CÂU 5
Câu 5: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: a) P ∞ n=1
Câu a)Vì lim n→ + ∞ pn 2 +n−n= lim n→+∞
Câu b)Ta có:0< an=1 nsin π
Mặt khác lim n→ + ∞ an bn = lim n→ + ∞ 1 nsin π
Nên theo dấu hiệu so sánh giới hạn ta suy ra chuỗiP ∞ n=1 1 nsin π
Ta có:0< cn= arctan 1 n+ 1 và0< dn= 1 n+ 1(do 1 n+ 1>0∀n∈N).
Mặt khác lim n→ + ∞ cn dn
Nên theo dấu hiệu so sánh giới hạn ta suy ra chuỗiP ∞ n=1 arctan 1 n+ 1phân kì (2)
Từ (1) và (2) theo dấu hiệu so sánh ta kết luận chuỗiP ∞ n=1 arctann 2 −1 n 3 + 1phân kì. Câu d)Ta có0< en= ln
Mặt khác lim n→ + ∞ en fn
Nên theo dấu hiệu so sánh giới hạn ta có chuỗi P ∞ n=1 ln
CÂU 6
Câu 6: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: a) P ∞ n=1
Nên theo dấu hiệu D’ Alembert ta có: chuỗi P ∞ n=1 ( !)n 2 (2n)!hội tụ.
Câu c)Ta có: n→lim+ ∞ pn
Nên theo dấu hiệu Cauchy ta có: chuỗi P ∞ n=1
Câu d)Ta có: n→lim+ ∞ pn
Nên theo dấu hiệu Cauchy ta có: chuỗi P ∞ n=1 (n+ 1) n 2
Câu e): Trường hợp 1:p >0 Đặtf(x) = 1 x(lnx) p với mọix∈[2; +∞).
Khi đó ta có:f 0 (x) =−1− p lnx x 2 (ln )x p 1.
Vậy ứng với trường hợp 1, chuỗiP ∞ n=2 1 n(ln )n p hội tụ khi và chỉ khip >1 Còn nếu
Nênp= 0thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Nên chuỗi đã cho phân kỳ.
Kết luận:p >1thì chuỗi hội tụ vàp≤1thì chuỗi phân kỳ.
Câu f)Ta có:ln (n!)≤ln (n n ) (∀n∈N, n>2)nên ta suy ra
Mà theo câu e ta có chuỗiP ∞ n=2 1 n(lnn)phân kỳ.
CÂU 7
Câu 7: Xét sự hội tụ của các chuỗi đan dấu sau: a) P ∞ n=1
Câu a)Ta có lim n→ + ∞ n+ 1 n+ 2= 16= 0 Nên(−1) n n+ 1 n+ 2không thể tiến về 0.
Do đó ta kết luận chuỗiP ∞ n=1 ( 1)− n n+ 1 n+ 2phân kỳ.
Câu b)Xét dãy(an)sao choan= n+ 1 n 2 +n+ 2.
(n 2 + 3 + 4)(n n 2 +n+ 2)≤0∀n∈N. Suy ra dãy(an)là dãy số giảm.
Do đó theo dấu hiệu Leibniz thì chuỗiP ∞ n=1 (−1) n n+ 1 n 2 +n+ 2hội tụ.
Câu c)Xét dãy(bn)sao chobn= 1 n p vớip∈R. Trường hợp 1:p >0
(n+ 1) p < 1 n p ∀n∈N Do đó dãy(bn)là dãy số giảm.
Nên theo dấu hiệu Leibniz thì chuỗiP ∞ n=1 ( 1)− n n p hội tụ.
Vì lim n→+∞( 1)− n không tồn tại nên chuỗi đã cho phân kỳ.
Vì lim n→+∞n −p = +∞nên chuỗi đã cho phân kỳ.
Kết luận:p >0thì chuỗi hội tụ vàp≤0thì chuỗi phân kỳ.
P n=2 ( 1)− n n p Áp dụng câu c ta có:
CÂU 8
Câu 8: Tìm miền hội tụ, hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi hàm sau: a) P ∞ n=1 nx n b)P ∞ n=1 ne −nx c) P ∞ n=1
Trường hợp 1:|x|1∨x 1⇔x 0 Khi đó theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi
> 1⇔x