Sách điện tử môn giải tích hàm số một biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Thanh Hiếu SÁCH ĐIỆN TỬ MƠN GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Dãy số chuỗi số 1.1 Dãy số giới hạn dãy số 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Một số tính chất dãy hội tụ 1.1.3 Một số phép toán giới hạn 1.2 Hai nguyên lý giới hạn ứng dụng 1.2.1 Hai nguyên lý giới hạn 1.2.2 Một số giới hạn quan trọng 1.2.3 Sự tồn điểm tụ dãy bị chặn 1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 1.3 Chuỗi số 1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy 1.3.3 Dấu hiệu so sánh 1.3.4 Dấu hiệu hội tụ chuỗi số dương 1.3.5 Chuỗi đan dấu dấu hiệu Leibniz 1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet Abel 1.4 Ứng dụng Maple thực hành tính tốn chương 1.4.1 Giới thiệu phần mềm Maple 1.4.2 Minh họa dãy số lệnh vẽ dãy điểm 1.4.3 Tìm quy luật dãy số 1.4.4 Tính tổng hữu hạn 1.4.5 Tính tổng vơ hạn 1.4.6 Tính tích hữu hạn vơ hạn thừa số 1.4.7 Tính giới hạn dãy số 1.5 Bài tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 19 20 21 22 22 23 23 Hàm số 2.1 Các khái niệm 2.1.1 Khái niệm hàm số 2.1.2 Đồ thị hàm số 2.1.3 Một số hàm có cấu trúc đặc biệt 2.1.4 Các phép toán hàm số 2.2 Các hàm số 2.2.1 Các hàm sơ cấp 2.2.2 Các hàm sơ cấp 2.3 Ứng dụng Maple thực hành tính tốn chương 2.3.1 Định nghĩa hàm số 2.3.2 Tìm tập xác định hàm số 2.3.3 Vẽ đồ thị hàm số không gian hai chiều 2.4 Bài tập 24 24 24 24 25 26 27 27 27 27 27 29 29 30 Giới hạn tính liên tục hàm số 3.1 Một số khái niệm 3.1.1 Giới hạn điểm 3.1.2 Giới hạn phía 3.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn 3.2 Một số tính chất giới hạn 3.2.1 Tiêu chuẩn tồn giới hạn 3.2.2 Định lý tính giới hạn 3.2.3 Định lý tính bảo tồn thứ tự 3.3 Các phép toán giới hạn hàm số 3.3.1 Các phép toán số học 3.3.2 Giới hạn hàm hợp 3.4 Hai nguyên lý giới hạn ứng dụng 3.4.1 Nguyên lý giới hạn hàm đơn điệu bị chặn 3.4.2 Nguyên lý giới hạn hàm bị kẹp 3.4.3 Áp dụng việc tính giới hạn hàm 3.5 Tính liên tục hàm số 3.5.1 Khái niệm liên tục 3.5.2 Khái niệm gián đoạn 3.6 Các định lý hàm liên tục 3.6.1 Các định lý giá trị trung gian 3.6.2 Các phép toán hàm liên tục 3.6.3 Hàm số liên tục 3.6.4 Hàm liên tục tập compact 31 31 31 31 32 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.7 3.8 Ứng dụng Maple thực hành tính tốn chương 3.7.1 Tính giới hạn hàm số 3.7.2 Tìm điểm gián đoạn hàm số 3.7.3 Tính giới hạn hàm số đối số dần đến điểm 3.7.4 Tính giới hạn hàm số theo bước Bài tập Đạo hàm 4.1 Khái niệm đạo hàm 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm 4.2 Các phép toán đạo hàm 4.2.1 Các phép toán số học đạo hàm 4.2.2 Đạo hàm hàm hợp hàm ngược 4.2.3 Đạo hàm hàm số sơ cấp 4.3 Các định lý quan trọng hàm khả vi 4.3.1 Định lý Fermat điều kiện cực trị 4.3.2 Các định lý giá trị trung bình 4.4 Một số ứng dụng đạo hàm 4.4.1 Tính giới hạn dạng khơng xác định 4.4.2 Tìm cực trị hàm số 4.4.3 Khảo sát tính chất hàm số 4.5 Ứng dụng Maple thực hành tính tốn chương 4.5.1 Tính đạo hàm hàm số 4.5.2 Tính đạo hàm hàm số theo bước 4.5.3 Khảo sát hàm số 4.6 Bài tập Phép tính tích phân 5.1 Tích phân bất định 5.1.1 Khái niệm nguyên hàm tích phân bất định 5.1.2 Các tính chất quy tắc 5.1.3 Bảng tích phân bất định 5.2 Tích phân xác định Riemann 5.2.1 Khái niệm tích phân xác định 5.2.2 Một số tính chất 5.2.3 Một số phương pháp tính tích phân xác định 5.2.4 Một số ứng dụng tích phân 5.3 Ứng dụng Maple thực hành tính tốn chương 5.3.1 Minh họa tính tổng Riemann Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 37 38 39 40 42 43 43 43 44 44 45 45 46 46 47 47 47 48 48 49 49 50 52 53 54 54 54 55 55 56 56 57 58 59 61 61 5.4 5.3.2 Tính tích phân xác định 5.3.3 Tính tích phân bước 5.3.4 Tính diện tích thể tích 5.3.5 Tính nguyên hàm Bài tập 64 66 68 71 72 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Phần mềm Maple xây dựng nhóm nhà khoa học thuộc trường Đại học Waterloo – Canada, tiếp tục phát triển phịng thí nghiệm trường đại học, bao gồm: Phịng thí nghiệm Tính tốn hình thức Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính tốn hình thức Ontario Đại học Tây Ontario; phịng thí nghiệm khắp nơi giới Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để tận dụng tối ưu cấu hình máy có trình trợ giúp dễ sử dụng Maple có mơi trường tính toán phong phú, hỗ trợ hầu hết lĩnh vực tốn học với khả tính tốn kí hiệu (symbolic) Từ version 7, Maple cung cấp ngày nhiều cơng cụ trực quan, gói lệnh tự học gắn liền với tốn học phổ thơng đại học Về lập trình tính tốn, Maple vượt xa ngôn ngữ thông thường khác hai phương diện: mạnh đơn giản Ngoài ra, sử dụng Maple, ta dễ dàng biên soạn sách giáo khoa điện tử với chức Hyperlink tạo siêu văn đơn giản mà không cần đến hỗ trợ phần mềm khác Với ưu điểm đó, Maple nhiều người giới lựa chọn phần mềm toán học sử dụng rộng rãi Maple trợ giúp hữu hiệu cho việc dạy học tốn Rất nhiều cơng việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tính đạo hàm, tích phân, vẽ đồ thị thực câu lệnh đơn giản khơng phải lập trình tính tốn phức tạp trước Nếu biết khai thác cách hiệu quả, Maple cơng cụ minh họa hồn hảo, hỗ trợ cho giáo viên việc dạy kiến thức khó trừu tượng (chẳng hạn khái niệm tích phân), giúp giáo viên nâng cao chất lượng giảng dạy giảm thiểu thời gian đứng lớp; giúp học sinh hiểu sâu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn giảng, nâng cao kỹ tính tốn phát triển khả sáng tạo Luận văn ”Sách điện tử mơn giải tích Hàm số biến” có mục đích hệ thống số lệnh thơng dụng bổ trợ cho phần giải tích Hàm số biến Chúng sử dụng Maple version 13 cố gắng tận dụng tính ưu việt Maple chức đóng gói, bookmark, hyperlink để giúp người sử dụng dễ dàng tra cứu; viết câu lệnh thơng dụng thành nhóm lệnh, để người chưa làm quen với Maple thực lệnh thao tác ấn phím Enter, đồng thời cung cấp mẫu cho người sử dụng tự thực với tốn phát triển thêm Hy vọng điều tạo hứng thú giúp người sử dụng làm quen, khai thác Maple để làm toán cách dễ dàng, nhanh chóng Luận văn gồm chương: Chương Dãy số chuỗi số Chương Hàm số Chương Giới hạn tính liên tục hàm số Chương Đạo hàm Chương Phép tính tích phân Cấu trúc chương gồm ba phần - Kiến thức lý thuyết: Các kiến thức (các định nghĩa, định lý .) đưa vào, với khả đóng gói hyperlink Maple giúp người sử dụng dễ dàng tra cứu, tham khảo để ôn lại kiến thức cần thiết - Ứng dụng Maple: Tương ứng với kiến thức nêu chương, giới thiệu lệnh thông dụng Maple dùng để hỗ trợ thực hành tính tốn Ngồi câu lệnh riêng lẻ, cịn có số chương trình (gồm nhiều câu lệnh viết thành nhóm) thực công việc phổ biến khảo sát hàm số, tính tích phân theo bước giúp người sử dụng dùng Maple giải tốn mà khơng phải trực tiếp gõ lệnh, đồng thời có mẫu để tham khảo tự viết chương trình quen với Maple - Bài tập: Chúng đưa vào số tập nhằm giúp người sử dụng nắm cách gõ biểu thức toán học theo quy định Maple, minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn họa cho khả tính tốn Maple Một số tập nêu cách giải ”truyền thống” cách giải Maple để người sử dụng tham khảo so sánh Kèm theo luận văn đĩa CD chứa nội dung sách điện tử biên soạn Maple Luận văn thực hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học - Viện Khoa học Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy tận tình hướng dẫn trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giảng dạy lớp Cao học Toán K3 tạo điều kiện thuận lợi truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo, thầy tổ Tốn - Tin trường Phổ thơng Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên 2011 Vũ Thanh Hiếu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Dãy số chuỗi số 1.1 1.1.1 Dãy số giới hạn dãy số Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 (Dãy số) Dãy số tập đếm số thực, đánh số xếp theo thứ tự số tăng dần Dãy số thường ký hiệu (an ) Ta gọi an số hạng tổng quát dãy số, dãy số hoàn toàn xác định biết công thức biểu diễn số hạng tổng quát an Chú ý 1.1 Có nhiều phương pháp cho dãy số: cho công thức biểu diễn số hạng tổng quát, liệt kê, mơ tả tính chất, truy hồi, Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn - giới nội) Dãy số (an ) gọi bị chặn (bị chặn dưới) tồn số c cho an c (c an ) với n Khi dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn ta nói bị chặn (hay cịn gọi giới nội) Định nghĩa 1.3 (Giới hạn dãy số) Số a gọi giới hạn dãy số (an ) với số dương ε ta tìm số tự nhiên N (phụ thuộc vào ε) cho an ∈ (a − ε; a + ε), (tức |an − a| < ε) với n ≥ N Khi ta viết lim an = a n→∞ hay an → a, n → ∞ nói dãy số (an ) hội tụ (tới a) Dãy không hội tụ gọi dãy phân kỳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Z ax a dx = + c (a > 0, a 6= 1); ex dx = ex + c; ln a Z sin xdx = − cos x + c; Z cos x = sin x + c; Z π dx = tan x + c, x 6= + kπ, k ∈ Z; 2 Z cos x dx = − cot x + c, x 6= kπ, k ∈ Z; sin x  Z dx arcsin x + c = √ − < x < 1; − arccos x + c, − x  Z dx arccotx + c = 10 arctan x + c; + x2 Z dx 1 + x 11 = ln + c, |x| = 1; − x2 − x Z √ dx = |x + x2 + 1| + c; 12 √ x2 + Z p dx 13 √ = ln(x + x2 − 1) + c, |x| > 1; x2 −  x Z  arcsin +c dx a x = a > 14 √ a2 − x2 − arccos + c, a Z 5.2 5.2.1 x Tích phân xác định Riemann Khái niệm tích phân xác định Định nghĩa 5.3 Phân hoạch ΠN đoạn [a; b] ⊂ R dãy hữu hạn số x0 , x1 , , xN thỏa mãn a = x0 < x1 < < xN = b Đường kính phân hoạch ΠN , kí hiệu d(ΠN ), khoảng cách lớn hai điểm chia nhau, tức d(ΠN ) = max{|xi − xi−1 | : i = 1, 2, , N } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Định nghĩa 5.4 Nếu f hàm số xác định [a; b] ΠN phân hoạch [a; b] tổng Riemann f ứng với phân hoạch ΠN , kí hiệu S(ΠN ), xác định sau S(ΠN ) = N X f (ci )(xi − xi−1 ), i=1 ci ∈ [xi−1 ; xi ], i = 1, 2, , N Định nghĩa 5.5 Hàm số f gọi khả tích Riemann [a; b] tồn số A ∈ R cho với số ε > tìm số δ > để tổng Riemann S f ứng với phân hoạch có đường kính nhỏ δ nằm lân cận điểm A với bán kính ε (nghĩa |S − A| < ε, hay S nằm ε−lân cận A) Khi đó, số A gọi tích phân Rb Riemann hàm f đoạn [a; b] ký hiệu f (x)dx Các số a a b gọi cận tích phân (trong a cận b cận trên), f (x) gọi hàm dấu tích phân Như Zb f (x)dx = A a 5.2.2 Một số tính chất Mệnh đề 5.4 (Tính tốn hàm khả tích) Nếu f, g hàm khả tích đoạn [a; b] hàm cf (c ∈ R) f + g khả tích đoạn [a; b] Hơn Zb Zb (f (x) + g(x))dx = a Zb f (x)dx + a Zb g(x)dx a Zb cf (x)dx = c a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên f (x)dx a http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Mệnh đề 5.5 (Tính đơn điệu tính bị chặn tích phân) Nếu f Rb hàm khả tích khơng âm f (x)dx ≥ Suy ra, f (x) ≥ g(x) với a x ∈ [a; b] Zb f (x)dx ≥ Zb a g(x)dx a Mệnh đề 5.6 (Định lý trung bình) Nếu f hàm khả tích đoạn [a; b] m ≤ f (x) ≤ M , với x ∈ [a; b] m(b − a) ≤ Zb f (x)dx ≤ M (b − a) a Định lý 5.3 Hàm số liên tục đoạn [a; b] khả tích đoạn Định lý 5.4 Khi f : U → R hàm liên tục hàm số F (x) xác Rx định theo công thức x 7→ F (x) = f (t)dt khả vi U a nguyên hàm hàm f , nghĩa F (x) = f (x), với x ∈ U Mệnh đề 5.7 Nếu f hàm liên tục khoảng có nguyên hàm F xác định khoảng ngun hàm tính theo cơng thức: Zx F (x) = f (t)dt a 5.2.3 Một số phương pháp tính tích phân xác định Định lý 5.5 (Newton - Leibniz) Nếu F hàm số xác định khoảng U ⊂ R có đạo hàm f Zb f (x)dx = F (b) − F (a) a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Định lý 5.6 (Phương pháp đổi biến) Giả sử g hàm khả vi [a; b] f hàm liên tục miền giá trị g Khi Zb Zg(b) f (g(x))g (x)dx = f (u)du a g(a) Định lý 5.7 (Đổi biến ngược) Giả sử phải tính Rb f (x)dx, ta đổi biến a x = g(t) −1 gZ (b) Zb f (g(t))g (t)dt f (x)dx = a g −1 (a) Định lý 5.8 (Phương pháp tích phân phần) Giả sử u(x) v(x) hai hàm khả vi [a; b] Nếu v(x)u0 (x) có nguyên hàm u(x)v (x) có ngun hàm Zb Zb u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx a 5.2.4 a Một số ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng • Diện tích đường cong Xét miền S giới hạn hai đường cong y = f (x), y = g(x) đường thẳng x = a, x = b, f, g hàm liên tục (xem Hình 5.1) Diện tích miền S là: Zb A = |f (x) − g(x)|dx (5.1) a Nếu f (x) ≥ g(x) với x thuộc [a; b] Zb A= (f (x) − g(x))dx (5.2) a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 Hình 5.1: Diện tích đường cong • Diện tích bị chặn đường cong tham số Ta biết diện tích đường cong y = F (x) từ a tới b A = b R F (x)dx, F (x) ≥ Nếu đường cong tạo vết lần a phương trình tham số x = f (t), y = g(t), α ≤ t ≤ β , ta đưa cơng thức diện tích dựa quy tắc vào định nghĩa tích phân : Zβ Zb A= ydx = a g(t)f (t)dt (hoặc α Zα g(t)f (t)dt) (5.3) β Tính độ dài đường cong Độ dài đường cong y = f (x), a ≤ x ≤ b f (x) liên tục [a; b] : L= Zb q + (f (x))2 dx (5.4) a Tính thể tích • Gọi S vật thể nằm x = a x = b Nếu diện tích lát cắt S mặt phẳng P qua x vng góc với trục hồnh A(x), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 A hàm liên tục thể tích S : Zb n X V = lim A(x∗i )∆x = A(x)dx n→+∞ i=1 (5.5) a Hình 5.2: Thể tích vật thể • Cho f (x) hàm liên tục [a; b] Thể tích khối trịn xoay hình giới hạn đường x = a, x = b, y = 0, y = f (x) quay quanh trục Ox tạo nên tính theo cơng thức Zb V = π f (x)dx (5.6) a quay quanh trục Oy tạo nên tính theo cơng thức Zb V = 2π xf (x)dx (5.7) a 5.3 5.3.1 Ứng dụng Maple thực hành tính tốn chương Minh họa tính tổng Riemann Để minh họa tính tổng Riemann, ta sử dụng hai cách sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 • Gõ câu lệnh: Lệnh mở gói cơng cụ Student [> with[student] : Lệnh minh họa tổng Riemann hàm f (x) đoạn [a; b], với phân hoạch gồm n điểm (cách nhau) điểm trung gian chọn điểm đoạn nhỏ phân hoạch [> middlebox(f (x), x = a b, n); (nếu muốn chọn điểm trung gian điểm mà điểm "biên trái" "biên phải" đoạn nhỏ thay từ khóa middlebox leftbox rightbox ) Khi n lớn hình ảnh minh họa tổng Riemann gần với diện tích hình thang cong (giá trị tích phân) Ví dụ 5.1 Minh họa tổng Riemann hàm f (x) = sin(x2 + x − 1) − cos(x2 − x + 1) + đoạn [−3; 3], với số điểm phân hoạch 20, 50 100 Hình 5.3: Ví dụ minh họa tổng Riemann Để tính tổng Riemann ứng với cách phân hoạch chọn điểm trung gian trên, câu lệnh ta cần thay từ khóa middlebox (leftbox, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn