Nghiên cứu vai trò của phép biến đổi logarit trong đơn giản hoá các biểu thức phức tạp của môn giải tích 1 và một số ứng dụng đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI PHÂN HIỆU TẠI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN NĂM 2019 NGHIÊN CỨU VAI TRÒ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT TRONG ĐƠN GIẢN HĨA CÁC BIỂU THỨC PHỨC TẠP CỦA MƠN GIẢI TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Sinh viên thực Đặng Thành Tiến Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Khoa: Cơng Trình Trương Minh Tân Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Khoa: Cơng Trình Hà Hồng Long Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Khoa: Công Trình Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Thái Hà TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI PHÂN HIỆU TẠI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN NĂM 2019 NGHIÊN CỨU VAI TRÒ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT TRONG ĐƠN GIẢN HĨA CÁC BIỂU THỨC PHỨC TẠP CỦA MƠN GIẢI TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Sinh viên thực Đặng Thành Tiến Nam, Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Khoa: Cơng Trình Năm thứ: 2/4.5 Ngành học: Kỹ thuật xây dựng công trình giao thơng Trương Minh Tân Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Nam, Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Khoa: Cơng Trình Năm thứ: 2/4.5 Ngành học: Kỹ thuật xây dựng cơng trình giao thơng Hà Hồng Long Nam, Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Khoa: Cơng Trình Năm thứ: 2/4.5 Ngành học: Kỹ thuật xây dựng cơng trình giao thơng Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Thái Hà TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI PHÂN HIỆU TẠI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung - Tên đề tài: Nghiên cứu vai trị phép biến đổi Logarit đơn giản hóa biểu thức phức tạp mơn Giải Tích ứng dụng - Sinh viên thực hiện: Đặng Thành Tiến Năm thứ: Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Số năm đào tạo: 4.5 Khoa: Cơng trình Trương Minh Tân Năm thứ: Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Số năm đào tạo: 4.5 Khoa: Cơng trình Hà Hoàng Long Năm thứ: Lớp: Cầu Đường Bộ – K58 Số năm đào tạo: 4.5 Khoa: Công trình - Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Thái Hà Mục tiêu đề tài Giúp sinh viên hiểu rõ áp dụng phép biến đổi Logarit việc giải biểu thức phức tạp môn Giải Tích tính giới hạn dạng vơ định, chuyển hàm mũ, hàm lũy thừa hàm tuyến tính, tính đạo hàm hàm số hàm số mũ Làm bậc vai trò logarit việc chuyển đại lượng có phạm vi rộng phạm vi dễ kiểm soát Các ứng dụng thực tế logarit Tính sáng tạo So sánh cách giải phương pháp khác so với sử dụng phép biến đổi logarit việc tính giới hạn dạng vô định, chuyển hàm mũ, hàm lũy thừa hàm tuyến tính, tính đại hàm hàm số giải phương trình mũ Ứng dụng logarit việc tính cường độ âm thanh, cường độ biên độ trận động đất Đánh giá vai trò logarit thang độ đo Richter thang độ Decibel Kết nghiên cứu Đưa ưu nhược điểm phép biến đổi Logarit Biết sử dụng phép biến đổi Logarit để đưa tốn tính giới hạn, đạo hàm dạng đơn giản Bản kiến nghị cập nhật vào nội dung giảng dạy mơn Giải tích Phân hiệu trường GTVT TPHCM Đóng góp mặt kinh tế - xã hội, giáo dục đào tạo, an ninh, quốc phòng khả áp dụng đề tài Giải khó khăn hạn chế người học việc giải vấn đề phức tạp mơn Giải tích Áp dụng tính độ pH đất, mức cường độ âm, thang độ richter, Công bố khoa học sinh viên từ kết nghiên cứu đề tài: không Ngày 04 tháng 04 năm 2019 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài Nhận xét người hướng dẫn đóng góp khoa học sinh viên thực đề tài: Đề tài thực mục tiêu ban đầu đề làm bật hai vai trò chủ yếu phép biến đổi logarit, thơng qua tốn tính giới hạn dạng vơ định 1∞ ,00, ∞0 tính đạo hàm hàm số mũ (với số hàm mũ hàm số theo x) Đồng thời đưa ứng dụng logarit sống đo độ chấn động trận động đất, đo độ lớn âm thanh, độ pH Ngày 04 tháng 04 năm 2019 Người hướng dẫn Nguyễn Thị Thái Hà MỤC LỤC PHẦN1: MỞ ĐẦU PHẦN 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ PHÂN TÍCH ( BÀN LUẬN ) KẾT QUẢ CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định nghĩa…… 1.2 Tính chất, quy tắc tính logarit đổi số logarit CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN PHỨC TẠP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT 2.1 Tính giới hạn vơ định 1∞ ,00, ∞0 2.1.1 Khử dạng vô định 00 2.1.2 Khử dạng vô định 1∞ 2.1.3 Khử dạng vô định ∞0 2.2 Tính đạo hàm… 10 2.3 Giải phương trình mũ………… 14 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LOGARIT .18 3.1 Để giải toán liên quan đến lãi suất dân 18 3.1.1 Bài toán tiết kiệm 18 3.1.2 Bài tốn tích lũy 19 3.1.3 Bài tốn trả góp 20 3.2 Logarit cơng thức tính độ pH…………… 20 3.3 Ứng dụng logarit việc tính cường độ, biên độ 21 3.3.1 Thang độ Richter .21 3.3.2 Vai trò logarit xác định độ Richter 24 3.4 Ứng dụng logarit tính mức cường độ âm .25 3.4.1 Mức cường độ âm (Thang đo Deciben) .25 3.4.2 Vai trò logarit thang đo Deciben 28 3.5 Bài tốn phóng xạ tuổi thọ chất .28 3.6 Tính độ tuổi bê tơng (Yếu tố ảnh hưởng đến cường độ bê tông) 31 PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .33 Kết luận 33 Kiến nghị 33 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1: Đồ thị hàm số log a x…………………………………………………….3 Hình 2: Đồ thị hàm số log x…………………………………………………… Hình 1.3: Đồ thị hàm số ln x…………………………………………………… PHẦN 1: MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc đề tài Logarit phát minh toán học vĩ đại John Napier ngày logarit sử dụng rộng rãi đời sống nhân dân ví dụ pH, mức độ âm thanh, hay thang độ richter Tuy nhiên mức độ quan tâm tầm quan trọng chưa quan tâm thỏa đáng Logarit dừng lại vào làm bật ứng dụng giải bất phương trình giải phương trình mũ dạng 𝑎 𝑥 = 𝑏 hay 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) chương trình dạy học tốn phổ thơng hay cấp bậc đại học Lý lựa chọn đề tài Dựa vào ứng dụng áp dụng vào việc giải cơng việc Tốn học biến đổi phép phức tạp Dựa vào ứng dụng rộng rãi logarit sống Đề tài giúp ích cho đề tài nghiên cứu khoa học khác liên quan đến vấn đề Vật Lý, Khoa Học tương lai phép biến đổi đơn giản hóa phép tính Mục tiêu nghiên cứu đề tài Giúp sinh viên hiểu rõ áp dụng phép biến đổi logarit việc giải vấn đề phức tạp mơn Giải Tích tính giới hạn dạng vơ định, tính đạo hàm hàm số hàm số mũ Làm bậc vai trò logarit việc chuyển đại lượng có phạm vi rộng phạm vi dễ kiểm soát Giúp sinh viên hiểu rõ ứng dụng thực tế Logarit Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Dựa kiến thức học học phần Giải tích 1, kết hợp với việc thu thập kiến thức giáo trình có liên quan đến đề tài Tìm hiểu trình bày kết theo hiểu biết Dùng phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá, thu thập số liệu để thực đề tài, hướng dẫn giảng viên phụ trách Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Học sinh trường trung học Phổ Thông Các đề tài nguyên cứu khoa học khác cần phải sử dụng phép biến đổi logarit để phục vụ cơng tác tính tốn đề tài Sinh viên khối Kỹ thuật Trường đại học Giao thơng vận tải Phân hiệu Tp Hồ Chí Minh PHẦN 2: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ PHÂN TÍCH (BÀN LUẬN) KẾT QUẢ CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Định nghĩa Cho hai số dương a x với a ≠ Số α thõa mãn đẳng thức 𝑎∝ = x gọi logarit số a x kí hiệu log 𝑎 𝑏 α = log 𝑎 𝑥  𝑎∝ = x 28 = 256  log 256 = Ví dụ: 273 =  log 27 = Chú ý: Khơng có logarit số âm số Cơ số logarit phải dương khác Hình 1.1: Đồ thị hàm số log a x Logarit số 10 số dương x gọi logarit thập phân x kí hiệu log 𝑥 (hoặc lg 𝑥) Logarit thập phân có đầy đủ tính chất logarit với số lớn Hình 1.2: Đồ thị hàm số log x Logarit tự nhiên (hay logarit Nê-pe) logarit số e số dương x kí hiệu ln 𝑥 Số e = 2.718281828 Số e số hữu tỉ quan trọng không so với 𝑥 số 𝜋 Số e giới hạn lim (1 + ) , xấp xỉ 2.718281828 ; xuất 𝑥→+∞ 𝑥 cách tự nhiên Toán học, đời sống Chính logarit số e cịn gọi logarit tự nhiên Trong máy tính bỏ túi, người ta thiết kế phím bấm cho phép tính giá trị biểu thức 𝑒 𝑥 log 𝑒 𝑥 (cịn kí hiệu ln 𝑥) Logarit tự nhiên có đầy đủ tính chất logarit với số lớn Hình 1.3: Đồ thị hàm số ln x 1.2 Tính chất, quy tắc tính logarit đổi số logarit + Cho số dương a b a ≠ Ta có quy tắc sau: log 𝑎 = log 𝑎 𝑎 = 𝑎log𝑎 𝑏 = b log 𝑎 𝑎∝ = α 20 Tuy nhiên, phải lưu ý sau n tháng người định rút số tiền khỏi ngân hàng ( tức không gửi thêm A đồng vào đầu tháng thứ n + ) số tiền thực nhận là: Tn – a 3.1.3 Bài tốn trả góp Một người vay ngân hàng số tiền N đồng, lãi suất hàng tháng r Tìm số tiền A mà người phải trả hàng tháng để sau n tháng hết nợ Giải: Sau tháng số tiền gốc lãi N + N.r, người A đồng nên nợ: N + N.r –A = N(1+r) – A Sau tháng, số tiền nợ là: A [N(1+r) – A] + [N(1+r) – A] r –A = N(1+r)2 – A [(1+r) +1 ] = N(1+r)2 – [(1 + r)2 – 1] r A Sau tháng, số tiền nợ là: N(1+r)3 – [(1 + r)3 – 1] r 𝐴 Sau n tháng, số tiền nợ là: N(1+r)n – [(1 + r)n – 1] 𝑟 Trả hết nợ sau n tháng số tiền phải Suy ra: A= N(1+r)n r (1+r)n −1 3.2 Logarit cơng thức tính độ pH Trong dung dịch, nồng độ ion hidro [H3O+], đặc trưng cho tính axit, nồng độ hidroxyn [OH-], đặc trưng cho tính bazơ ( kiềm ), nồng độ tính mol/l Nước tinh khiết 25oC có [H3O+] = [OH-] = 10-7 Nếu nồng độ [H3O+] lớn 10-7 dung dịch có tính axit, nồng độ [H3O+] nhỏ 10-7 dung dịch có tính kiềm Vì nồng độ số nhỏ nên để đặc trưng tính axit (tính bazơ) dung dịch, người ta xét số ( hay độ ) pH pH = – log[ H3O+ ] 21 pH < nói lên dung dịch có tính axit pH > nói lên dung dịch có tính bazơ pH = chứng tỏ dung dịch trung tính Ví dụ 1: Bia có [H3O+] = 0,00008, độ pH pH = – log0,00008 = – log8 < Rượu có [H3O+] = 0.00004, độ pH pH = – log0,00004 = – log4 > Trong thực tế ngành thỗ nhưỡng quan tâm đến độ pH số vùng đất để tìm biện pháp cải tạo đất chọn giống trồng thích hợp Ví dụ 2: Trộn 100 ml dung dịch gồm Ba(OH)2 0,1M NaOH 0,1M với 600 ml dung dịch gồm H2SO4 0,0375 M HCl 0,0125 M thu dung dịch X Tính pH dung dịch X ? Giải: H+ + OH- → H2 O Tổng số mol OH- : (0,1.2 + 0,1).0,1 = 0,03 mol Tổng số mol H+ : (0,0375.2 + 0,0125).0, = 0,0525 mol Số mol H+ dư: 0,035 – 0,03 = 0,0225 mol → [H+] = 0,045 M pH = - log[0.045] = 1.35 Vậy pH dung dịch X 1.35 3.3 Ứng dụng logarit việc tính cường độ, biên độ lượng giải tỏa trận động đất 3.3.1 Thang độ Richter Độ chấn động M địa chấn biên độ I đo thang độ Richter (C.F.Richter, nhà địa vật lý học người Mỹ, 1900 – 1985) xác định công thức: I M = log I = logI – logI0 (I0 biên độ dao động bé 1µm máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa chấn 100km, I0 lấy làm chuẩn) Theo thang Richter, biên độ trận động đất có độ Richter mạnh 10 lần biên độ trận động đất có độ Richter Năng lượng phát trận động 22 đất có độ Richter khoảng 31 lần lượng trận động đất có độ Richter Từ ta hiểu tăng cấp độ hậu khó lường Để hiểu rõ cấp độ richter có tác hại tần suất xảy mời bạn đọc xem bảng thang đo độ richter động đất trang Bảng thang đo độ Richter động đất Độ Richter 𝑅28 log 28 Trong đó: 𝑅𝑛 , 𝑅28 : cường độ bê tông tuổi n 28 ngày n : tuổi bê tông (ngày) Lưu ý: Các giá trị R3 , R7 khơng có giá trị pháp lí nghiệm thi tốn, có giá trị để thi công chuyển giai đoạn, R28 không đạt phải đập bỏ, giá trị nội suy tham khảo Ví dụ 1: Cho mẫu bê tơng theo thiết kế có mác bê tơng 30 Mpa Hỏi sau thi cơng 14 ngày bê tơng đạt cường độ ? Giải: Mẫu bê tông có mác bê tơng 30 Mpa ⇒ 𝑅28 = 30 14 ngày n = 14 Ta có công thức 𝑅𝑛 log 𝑛 = 𝑅28 log 28 ⇒ 𝑅14 = log 14 𝑅28 log 28 = 1,15.30 1.45 = 23,8 Vậy sau thi công 14 ngày bê tơng đạt cường độ 23,8 Mpa Ví dụ 2: Thành phần Bê-Tơng chịu lực có cường độ chịu nén 35 Mpa, thi công giới Công trình móng nhà cơng nghiệp, mật độ cốt thép dày Do thay đổi kế hoạch cường độ khai thác Bê-Tơng tính tuổi 70 ngày Hỏi tiết kiệm Xi măng PCB40 cho tồn móng cơng trình 1000m3 này.Biết lượng xi măng không thay đổi kế hoạch 400kg cho m3 cơng trình; N=185 kg/m3; A = 0,65 Giải: 32 𝑅28 𝑅70 = log 28 log 70 ⇒ 𝑅28 = 𝑅70 log 28 log 70 = 35.log 28 log 70 = 27,45 Mpa ⇒ 𝑅𝑦/𝑐 = 1,25.27,45 = 34,31 MPA 𝑅𝑦/𝑐 𝑅𝑦/𝑐 𝑋 27,45 = + 0,5𝑋 = 𝑁 ( + 0,5) = 185 ( + 0,5) = 287,82 𝑘𝑔 𝑁 𝑅𝑥 𝐴 𝑅𝑥 𝐴 40.0,65 Vậy lượng xi măng PCB40 tiết kiệm cho tồn móng cơng trình 1000m3 ∆𝑋 = 1000 (400 − 287,82) = 112180 𝑘𝑔 33 PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Dựa vào ứng dụng tốn học giải tốn tính giới hạn dạng vơ định 1∞ ,00, ∞0 tính đạo hàm hàm số mũ (với số hàm mũ hàm số theo x) ví dụ cụ thể ta thấy ưu điểm áp dụng phép biến đổi logarit giảm bớt khối lượng tính tốn, làm sáng tỏ tốn phức tạp, cách làm đơn giản dễ triển khai, dễ áp dụng tính tốn đảm bảo kết tính tốn xác Nếu khơng trực tiếp giải kết logarit đóng vai trị cơng cụ chuyển đổi đưa biểu thức phức tạp dạng đơn giản mà ta kiểm sốt từ thực mục đích tính tốn ban đầu đề Kiến nghị Dựa vào ưu điểm logarit việc giải toán phức tạp ứng dụng rộng rãi sống Chúng nhận thấy cần thiết phải bổ sung cập nhật logarit vào chương trình dạy học mơn Giải tích trường đại học trường đại học Giao Thơng Vận Tải Phân hiệu TP HCM tính toán giới hạn 00, ∞0 ứng dụng logarit 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] GS.TS Phạm Duy Hữu (chủ biên), TS Ngơ Xn Quảng, Mai Đình Lộc Vật liệu xây dựng, Nhà xuất Giao Thông Vận Tải, Năm xuất 2011 [2] TS Nguyễn Thế Vinh (chủ biên), TS Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, PGS TS Lê Hồng Lan, Giải tích , Nhà xuất giao thông vận tải Hà Nội, Năm xuất 2012