TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH KHOA TOAN - TIN HOC BÀI TẬP NHÓM GIẢI TÍCH HAM NHIEU BIEN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN VÀ MỘT SO BAI TOAN LIEN QUAN Giảng viên hướng d
Trang 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOAN - TIN HOC
BÀI TẬP NHÓM GIẢI TÍCH HAM NHIEU BIEN
BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN
VÀ MỘT SO BAI TOAN LIEN QUAN
Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Thành Nhân
Hồ Thị Phương Anh - 47.01.101.003
Dương Thị Thùy Dung - 47.01.101.067
Tô Ngọc Hưng - 47.01.101.080
Nguyễn Thái Hưng - 47.01.101.013
Lê Hoài Nam - 47.01.101.098
Võ Thị Phương Thảo - 47.01.101.041
Phạm Xuân Thảo - 47.01.101.040 Nguyễn Ngọc Huy Trường - 47.01.101.049
Thành phô Hỗ Chí Minh, 05/2022
Trang 2
Mục lục
Lời nói đầu
I Sự tốn tại của của bao đóng và phần trong của một tập con của lR*
1 Nhic lai kién thte 2.0 ee
1.3 Bao đóng, phần trong biên 2
Sự tồn tại của bao đóng và phần trong của một tập hop chita trong R”
II Một số bài toán liên quan
Bài toán ÍÏ củ ga ky q và kg ga
Bài toán 3 cu ng củ q l k cv q và ga
Tài liệu tham khảo
10
15
Trang 3Lời nói đâu
Giải tích hàm nhiều biến là một học phần quan trọng đối với những sinh viên theo đuổi chuyên ngành liên quan đến Toán học Học phần này cho ta một góc nhìn rộng hơn, bao quát hơn cho những bài toán hàm một biến đã học ở học kì L Ngoài ra, ta có thể thấy được nhiều kiến thức
của hàm nhiều biến được kế thừa các kết quả đã có ở hàm một biến cũng như những tính chất,
đặc điểm và ứng dụng riêng biệt rất thú vị và độc đáo của nó
Ngay từ chương I, chúng ta đã được làm quen với các khái niệm topo cơ bản là quả cầu mở, qua cầu đóng, tập mở, tập đóng và đặc biệt là các khái niệm bao đóng, phẫn trong và biên Mặc dù các kiến thức này chỉ phát biểu đơn giản để sinh viên có thể tập trung vào các chương sau, nhưng nhóm chúng em đã tự đặt ra những câu hỏi chuyên sâu hơn về các khái niệm bao đóng và phần trong Sau một thời gian tìm hiểu, phân tích và định hướng, chúng em cũng đã
phần nào giải đáp được những thắc mắc của mình, từ đó ứng dụng giải quyết một số bài toán
khác Đó cũng là lý do chúng em chọn “Bao đóng - phần trong - biên và một số bài toán liên quan” làm chủ đề cho bài tập nhóm này
Về phương thức biên soạn, nhóm chúng em chia thành 2 nội dung chính:
@ Sự tồn tại của của bao đóng và phần trong của một tập con của IR“
© Một số bài toán liên quan
Vì lượng kiến thức, trình độ chuyên môn cũng như thời gian có hạn, nên khó có thể tránh khỏi những sai sót, nhóm sinh viên chúng em rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và bạn đọc
Chúng em xin chân thành cảm ơn!
Trang 4Sự tôn tại của của bao đóng và phần trong
I của một tập con của R”
+
1 Nhắc lại kiến thức
1.1 Quả câu mở
Dinh nghia 1 Cho zp € R” va r > 0, quả cầu mở tâm #¿ bán kính r trong không gian R” là tập hợp được xác định bởi:
BŒg,r) ? {z €]ÑR": |z — zol| < r}
1.2 Tập mở, tập đóng
Định nghĩa 2 Tập X C IR” được gọi là tập mở trong R” (goi tắt là tập mở, hoặc X mở)
nếu với mọi z thuộc X, tồn tại một quả cầu mở tâm «x chứa trong X, nghĩa là:
Vwz€ X,1r>0: B(x,r)cC X
Từ đó, tập X không phải là tập mé trong R” néu
3z€cX:Vr>0,B(x,r) g X
Định nghĩa 3 Tập Y C ]R* được gọi là tập đóng trong R* nếu phần bù của nó (tức là
tập hợp R”\ Y) là tập mổ
Trang 5GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN
1.3 Bao đóng, phân trong, biên
Định nghĩa 4 Cho X C R”, ta định nghĩa
@ Bao đóng của X là tập đóng nhỏ nhất chứa X, kí hiệu X
® Phân trong của X là tập mở lớn nhất chứa trong X, kí hiệu X
@ Biên của X là hiệu giữa bao đóng và phần trong của X, kí hiệu 0X
Ta có một câu hỏi đặt ra: Khi nào một tập sẽ có bao đóng hoặc phần trong? Và ta có thể biểu diễn bao đóng và phần trong (nếu có) của một tập hợp cụ thể hơn được hay không?
'Ta sẽ trả lời các câu hỏi này trong phần sau
2_ Sự tôn tại của bao đóng và phần trong của một tập hợp chứa trong lR”
2.1 Phân tích ý tưởng và định hướng
22721 BETO
1? DI, 1⁄2222222222⁄⁄⁄⁄2 /222222222////272
(2222/27/22 Ý7Z777⁄⁄7⁄⁄⁄Z⁄Z: ox 122222 222777777772 oN L1 LEE ⁄7⁄⁄⁄⁄7⁄⁄⁄⁄Z⁄/ YA) cu
0000009
22222222
SASS LS
ORL WO CAA WOO LLL
222277222222222222222222/
COLLEEN ACCU CEE Etat Cela Lily 22222222222222“⁄⁄2/2+
CE xe {22222222 222222222 ‹⁄⁄
CLEGG CEE,
⁄⁄⁄⁄2 Nae
Ta thit xét thit trén tp bi chin U nhu hinh trén, cé thé coi tap déng cia U 1a cdc diém thuộc
U hop với phan “dudng bién” 1a tap hop cdc diém v6 cing gan vii U
Giả sử ta dự đoán được một tập V 1A bao đóng của U, ta can ching minh V lA tap déng va V
là tập đóng nhỏ nhất chứa U Y 2 chig minh sé dé dang hon néu ta chttng minh duce ¥ 1
Ta thử sử dụng phương pháp phản chứng để khai thác thêm thông tin, giả sử V không là tập đóng Khi đó JR*\V không là tập mở, do đó, tồn tại # € R*”\V sao cho Vr >0, B(z,r)fV 7⁄8
Từ đây, ta hình dung quả cầu mở tâm z này, dù bán kính có nhỏ tới mức nào đi nữa, thì quả
cấu vấn có thể “cất” miên của U Ta cam gidc nhu x phai tiên cực kì sát tới V và có thể ø € V
Trang 6GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN
Hơn nữa, ta đang giải quyết theo phương pháp phản chứng, ta thấy nếu ta chứng minh được
x € V thì điều mâu thuẫn xảy ra và ta suy ra được V là tập đóng
Từ đây, ta đặt câu hỏi làm sao để xây dựng được một tập là bao đóng để từ đó đi theo hướng chứng minh phản chứng này? Tuy nhiên, thay vì tìm cách xây dựng, ta dựa vào thông
tin đã khai thác được ở trên là quả cầu mở tâm z với bán kính bất kì đều có điểm chung với
V, vì ta đã dự đoán z € V nên tại sao ta không thử suy nghĩ theo hướng ngược lại: Liệu tập
hợp những điểm z như vậy chính là bao đóng của U?
Ta thử kiểm chứng trên tập , rõ ràng với mọi # thuộc U hoặc thuộc “đường biên” của U thi với mọi r >0, B(z,r) đều “cắt” miền Ứ Tuy nhiên, với các điểm nằm ngoài “đường biên” thì
rõ ràng luôn có một bán kính zạ > 0 đủ nhỏ để có một quả cầu không “cắt” miền Ù
Ta thấy với định nghĩa trên, không có một sự ràng buộc nào vì tập dé xét moi x € R”; do dé,
ta dự đoán mọi tập con của lR° đều có bao đóng Hơn nữa, nếu định nghĩa (*) đúng, ta cũng
suy ra được định nghĩa mới cho phần trong
Kết quả Mọi tập X C IR” đều có bao đóng và phần trong
2.2 Chứng minh
Trường hợp 1: X” Ø Rõ ràng X” X” Ø
Trường hợp 2: X ?⁄Ø Ta xét hai tập sau
Ta chứng minh A, Ø lần lượt là bao đóng và phần trong của X
Trang 5
Trang 7GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN
@ Chứng minh A4 là bao đóng của X
e Với mọi z € X, ta có z€ Ø(z,r)nX, Vr >0 Dẫn đến B(z,r)fñ\X 7Ø, Vr >0 Suy raz € A Do dé, X CA
Giả sử A không là tập đóng, khi đó IR” \ 4 không là tập mỏ
Vì vậy, tồn tại ø € R”\ A sao cho
Vr> 0,3 € R” thỏa y € Bla,r) NA
Mat khac, vi y € A nén véi r,” r— |la—y|| > 0 (do y € Bla,r)) thi
50,m)0X 7Ø
Hay 1a tén tai x € X sao cho x € Bly,r1)
Khi dé
lz— øl|< rị * r— lle — ||
Mà
la — z|| < lla — || + lly — 21) < llứ — 0| +z — la — 9|” z
nên x € Đí(a,r)
Do dé, Bla,r) NX 7/2, Vr > 0, suy ra a € A (V6 If)
Vậy A là tập đóng chứa X
e Gợi Z là một tập đóng bất kì chứa X, giả sử de€ A sao cho e £ Z
Vì Z là tập đóng nên IR“\ Z là tập mở Khi đó
dro > 0: B(,rọ) CR” \ Z
Trang 6
Trang 8GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN
Mặt khác, c€ A nên Đ(c,rọ)ñX 7Ø
Hay
dr € X sao cho x € Đc, ro)
Dan dén x € R°\ Z, ma X Cc Z nên z £ X (Vô lí)
Nhu vay, c € Z, Vee Ahay AC Z
Tém lai, A4 là bao đóng của X
e Hõ ràng BC X Giả sử B không là tập mở
Khi đó
tbe B:Vr>0, Bib,r) ZB
Mặt khác, b € B nén Srp > 0: B(b, ro) CX
Tuy nhiên, vì B(b,rọ) Ø B nên tồn tại y € B(b,r9) C X sao cho y ¢ B
Trang 7
Trang 9GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN
Đặt rị ” ro — ||b — || > 0 (do y € Bib, r9))
Với mọi x € B(0,ri), ta có
llb — z|| < |lb — || + llu — #l| < |Ìb— ø||+ r7 l|b— 9|[ + ro — ||b— 0||” ra
Do đó, z € B(b,rạ) C X Dẫn đến z € X
Suy ra Ð(g,r¡) C X, nên € Ö (Vô lí)
Vậy B là tập mở chứa trong X
e Gợi W/ là tập mở chứa trong X bất kì Gia stt ton tai d € W nhung d ¢ B
Khi đó,
dry >0: B(drị) CW
Mà M C X nên đe X và B(d,rị) C X, suy rad € B (V6 lt)
Vay de B, Vd EW hay WC B
© Nhận xét
e Mọi tập X C R” đều có biên vì ØX” X\ Ä,
e Ta được định nghĩa mới cho bao đóng và phần trong
Định nghĩa 5 Cho X c R”
@ Bao đóng của X là tập hợp được xác định bởi
© Phan trong của X là tập hợp được xác định bởi
Trang 8
Trang 10II Một số bài toán liên quan
Cho X C R“ khác rỗng, với z € Ä tùy ý, ta thay rang véi k € N, qua cau md B ( a) luôn
giao với X Do đó, với mỗi k € Ñ, tôn tại zÈ € B ( i) ñX Như vậy, ta đã xây dựng được
một day s6 (*) Cc _X, hon nita, khi & cang lén, x* cang gan x (ao bán kính là E càng nhỏ)
Hinh anh minh hoa:
'Từ ý tưởng này, ta có bài toán sau:
Bài toán 1
Cho X C ]R” khác rỗng Chứng minh rằng với mỗi z € X, tồn tại dãy (2°) C X sao cho lim #È#” ø
k->+œo
sor rae => x ` 1
#5 Lời giải Vì z e X nên với mỗi k e Ñ, tồn tại zẺ € B(2.7) nX
Khi đó |z— z*Í< 7, Vk EN, din dén lim xk” z,
k k>+00
Trang 11GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN
© Nhận xét Với định nghĩa mới về bao đóng, ta thấy rất đễ dàng trong việc chỉ ra một dãy
sô như vậy
Tới đây, ta đặt cân hỏi ngược lại: Với các dãy số hội tụ chứa trong X, liệu giới hạn của nó sẽ
nằm trong bao đóng của X? Ta đi đến bài toán tiếp theo
Cho X C ]R* khác rỗng Chứng minh rằng mọi dãy (+!) C X hội tụ thì giới hạn của
nó thuộc vào bao đóng của X
# Lời giải Giả sử tồn tại dãy (z") C X sao cho
k->+œo
Mặt khác, vì ÄÃ là tập đóng nên R*\ Ã là tập mở
Do đó, tồn tại z > 0 sao cho
B(z,r) CIR"\Ä
Ngoài ra, Jim +*” x nén ton tại N € N sao cho
i+ +90
Do dé, x* € B(x,r), Vk > N Diéu nay v6 li vi (v*) C X
Nhu vậy, z € X, ta có điều phải chứng minh
ak — al] <r, VE > N.,
L]
© Nhận xét Về mặt hình ảnh, ta thấy rằng mọi dãy số hội tụ chứa trong X thì chúng chỉ
nằm trọn trong bao đóng của X
Hình ảnh minh hoạ:
\ 1 i
227
CU am
⁄222222//⁄⁄⁄22 7222/22
(222222222//////2 XZZ22222222222222% V272
‹⁄⁄⁄222222⁄/⁄//⁄⁄⁄⁄2,
X2222222222222222A 222222222222
GA
⁄222222222222222 777777///////////À VLEs CI;
CLE 994444 SOO L22222722222222222 L4 AL, 7777722 (GCE De (Ứ/7/Á4/⁄//////////⁄⁄2\ ⁄77/2/22222222222⁄⁄⁄) (221221222222 222222%⁄2///////////⁄/
(/⁄////25///////////⁄⁄2\ VOC Moto IEEE EG LLL, VOCCCC CCPC TE G De
A 11212221412 200
V////////21/////////⁄/
Ú722272227/2//427⁄///(⁄⁄À CECE OOOO MITTENS n1 L22////////////////22⁄⁄⁄1
Í777227227/22/2////@,////⁄1
(Ltt MCLG
(777277222222222/2/⁄⁄⁄//⁄⁄⁄2
L22///////2222////22222 (2222222222222222222222221 CL
Ứ22222222222222⁄⁄⁄2/2⁄⁄⁄21 (<2 7777777774 ‹⁄⁄⁄2 {2222222222 ‹⁄Z
22222224 VEG
‹⁄⁄⁄ as
Trang 12GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN
(Z Hệ quả
\ Nếu dãy (2°) C X hội tụ và jim re” ag X thir € OX
© Từ bài toán 1 và bài toán 2, ta có thể đưa ra một định nghĩa mới cho bao đóng thông
qua dãy số như sau
Định nghĩa 6 Cho X C R”, bao đóng của X là tập hợp được xác định bởi:
x” {2 € IR”: S(x*) CX, lim 2%” x}
k-+00
Trang 11
Trang 13
Bảng phân công nhiệm vụ
2 Hồ Thị Phương Anh 47.01.101.003 | Làm beamer + Thuyết trình 1
8 Phạm Xuân Thao 47.01.101.040 Làm beamer 1
9 Nguyễn Ngọc Huy Trường | 47.01 101.049 Vẽ hình + Thuyết trình 1
12
Trang 14
Tài liệu tham khảo
[1| Nguyễn Thành Nhân, Đài giảng Giải tích hàm nhiều biến (Tài liệu dành cho sinh vién Khoa Toán - Tin hoc), 2022
13