bài tập nhóm giải tích hàm nhiều biến bao đóng phần trong biên và một số bài toán liên quan

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOAN - TIN HOC

BÀI TẬP NHÓM GIẢI TÍCH HAM NHIEU BIEN

BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN VÀ MỘT SO BAI TOAN LIEN QUAN

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Thành Nhân

Hồ Thị Phương Anh - 47.01.101.003

Dương Thị Thùy Dung - 47.01.101.067 Tô Ngọc Hưng - 47.01.101.080

Nguyễn Thái Hưng - 47.01.101.013

Lê Hoài Nam - 47.01.101.098

Võ Thị Phương Thảo - 47.01.101.041

Phạm Xuân Thảo - 47.01.101.040 Nguyễn Ngọc Huy Trường - 47.01.101.049

Thành phô Hỗ Chí Minh, 05/2022

Trang 2

Mục lục

Lời nói đầu

I Sự tốn tại của của bao đóng và phần trong của một tập con của lR* 1 Nhic lai kién thte 2.0 ee

1.3 Bao đóng, phần trong biên 2

Sự tồn tại của bao đóng và phần trong của một tập hop chita trong R”

II Một số bài toán liên quan

Bài toán ÍÏ củ ga ky q và kg ga Bài toán 3 cu ng củ q l k cv q và ga

Tài liệu tham khảo

10 15

Trang 3

Lời nói đâu

Giải tích hàm nhiều biến là một học phần quan trọng đối với những sinh viên theo đuổi chuyên ngành liên quan đến Toán học Học phần này cho ta một góc nhìn rộng hơn, bao quát hơn cho những bài toán hàm một biến đã học ở học kì L Ngoài ra, ta có thể thấy được nhiều kiến thức

của hàm nhiều biến được kế thừa các kết quả đã có ở hàm một biến cũng như những tính chất,

đặc điểm và ứng dụng riêng biệt rất thú vị và độc đáo của nó

Ngay từ chương I, chúng ta đã được làm quen với các khái niệm topo cơ bản là quả cầu mở, qua cầu đóng, tập mở, tập đóng và đặc biệt là các khái niệm bao đóng, phẫn trong và biên Mặc dù các kiến thức này chỉ phát biểu đơn giản để sinh viên có thể tập trung vào các chương sau, nhưng nhóm chúng em đã tự đặt ra những câu hỏi chuyên sâu hơn về các khái niệm bao đóng và phần trong Sau một thời gian tìm hiểu, phân tích và định hướng, chúng em cũng đã

phần nào giải đáp được những thắc mắc của mình, từ đó ứng dụng giải quyết một số bài toán

khác Đó cũng là lý do chúng em chọn “Bao đóng - phần trong - biên và một số bài toán liên quan” làm chủ đề cho bài tập nhóm này

Về phương thức biên soạn, nhóm chúng em chia thành 2 nội dung chính:

@ Sự tồn tại của của bao đóng và phần trong của một tập con của IR“

Vì lượng kiến thức, trình độ chuyên môn cũng như thời gian có hạn, nên khó có thể tránh khỏi những sai sót, nhóm sinh viên chúng em rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và bạn đọc

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

Trang 4

Sự tôn tại của của bao đóng và phần trong I của một tập con của R”

+

Định nghĩa 2 Tập X C IR” được gọi là tập mở trong R” (goi tắt là tập mở, hoặc X mở)

nếu với mọi z thuộc X, tồn tại một quả cầu mở tâm «x chứa trong X, nghĩa là:

Vwz€ X,1r>0: B(x,r)cC X Từ đó, tập X không phải là tập mé trong R” néu

3z€cX:Vr>0,B(x,r) g X

Định nghĩa 3 Tập Y C ]R* được gọi là tập đóng trong R* nếu phần bù của nó (tức là

tập hợp R”\ Y) là tập mổ

Trang 5

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN BAO ĐÓNG - PHẦN TRONG - BIÊN

1.3 Bao đóng, phân trong, biên

Định nghĩa 4 Cho X C R”, ta định nghĩa

@ Bao đóng của X là tập đóng nhỏ nhất chứa X, kí hiệu X ® Phân trong của X là tập mở lớn nhất chứa trong X, kí hiệu X @ Biên của X là hiệu giữa bao đóng và phần trong của X, kí hiệu 0X

Ta có một câu hỏi đặt ra: Khi nào một tập sẽ có bao đóng hoặc phần trong? Và ta có thể biểu diễn bao đóng và phần trong (nếu có) của một tập hợp cụ thể hơn được hay không?

'Ta sẽ trả lời các câu hỏi này trong phần sau

2_ Sự tôn tại của bao đóng và phần trong của một tập hợp chứa trong lR”

2.1 Phân tích ý tưởng và định hướng

22721 BETO

1? DI, 1⁄2222222222⁄⁄⁄⁄2 /222222222////272

(2222/27/22 Ý7Z777⁄⁄7⁄⁄⁄Z⁄Z: ox 122222 222777777772 oN L1 LEE ⁄7⁄⁄⁄⁄7⁄⁄⁄⁄Z⁄/ YA) cu

0000009 22222222

222277222222222222222222/ COLLEEN ACCU CEE Etat Cela Lily 22222222222222“⁄⁄2/2+ CE xe {22222222 222222222 ‹⁄⁄

CLEGG CEE, ⁄⁄⁄⁄2 Nae

Ta thit xét thit trén tp bi chin U nhu hinh trén, cé thé coi tap déng cia U 1a cdc diém thuộc

U hop với phan “dudng bién” 1a tap hop cdc diém v6 cing gan vii U

Giả sử ta dự đoán được một tập V 1A bao đóng của U, ta can ching minh V lA tap déng va V

là tập đóng nhỏ nhất chứa U Y 2 chig minh sé dé dang hon néu ta chttng minh duce ¥ 1

Ta thử sử dụng phương pháp phản chứng để khai thác thêm thông tin, giả sử V không là tập đóng Khi đó JR*\V không là tập mở, do đó, tồn tại # € R*”\V sao cho Vr >0, B(z,r)fV 7⁄8 Từ đây, ta hình dung quả cầu mở tâm z này, dù bán kính có nhỏ tới mức nào đi nữa, thì quả

cấu vấn có thể “cất” miên của U Ta cam gidc nhu x phai tiên cực kì sát tới V và có thể ø € V

Trang 6

Hơn nữa, ta đang giải quyết theo phương pháp phản chứng, ta thấy nếu ta chứng minh được x € V thì điều mâu thuẫn xảy ra và ta suy ra được V là tập đóng

Từ đây, ta đặt câu hỏi làm sao để xây dựng được một tập là bao đóng để từ đó đi theo hướng chứng minh phản chứng này? Tuy nhiên, thay vì tìm cách xây dựng, ta dựa vào thông

tin đã khai thác được ở trên là quả cầu mở tâm z với bán kính bất kì đều có điểm chung với

V, vì ta đã dự đoán z € V nên tại sao ta không thử suy nghĩ theo hướng ngược lại: Liệu tập

hợp những điểm z như vậy chính là bao đóng của U?

Ta thử kiểm chứng trên tập , rõ ràng với mọi # thuộc U hoặc thuộc “đường biên” của U thi với mọi r >0, B(z,r) đều “cắt” miền Ứ Tuy nhiên, với các điểm nằm ngoài “đường biên” thì

rõ ràng luôn có một bán kính zạ > 0 đủ nhỏ để có một quả cầu không “cắt” miền Ù

Ta thấy với định nghĩa trên, không có một sự ràng buộc nào vì tập dé xét moi x € R”; do dé,

ta dự đoán mọi tập con của lR° đều có bao đóng Hơn nữa, nếu định nghĩa (*) đúng, ta cũng

suy ra được định nghĩa mới cho phần trong

Kết quả Mọi tập X C IR” đều có bao đóng và phần trong

2.2 Chứng minh

Trường hợp 1: X” Ø Rõ ràng X” X” Ø Trường hợp 2: X ?⁄Ø Ta xét hai tập sau

Trang 7

@ Chứng minh A4 là bao đóng của X

e Với mọi z € X, ta có z€ Ø(z,r)nX, Vr >0 Dẫn đến B(z,r)fñ\X 7Ø, Vr >0 Suy raz € A Do dé, X CA

Giả sử A không là tập đóng, khi đó IR” \ 4 không là tập mỏ Vì vậy, tồn tại ø € R”\ A sao cho

Vr> 0,3 € R” thỏa y € Bla,r) NA

Mat khac, vi y € A nén véi r,” r— |la—y|| > 0 (do y € Bla,r)) thi

50,m)0X 7Ø Hay 1a tén tai x € X sao cho x € Bly,r1) Khi dé

e Gợi Z là một tập đóng bất kì chứa X, giả sử de€ A sao cho e £ Z

Vì Z là tập đóng nên IR“\ Z là tập mở Khi đó

dro > 0: B(,rọ) CR” \ Z

Trang 6

Trang 8

Tém lai, A4 là bao đóng của X

e Hõ ràng BC X Giả sử B không là tập mở Khi đó

Trang 9

Đặt rị ” ro — ||b — || > 0 (do y € Bib, r9)) Với mọi x € B(0,ri), ta có

llb — z|| < |lb — || + llu — #l| < |Ìb— ø||+ r7 l|b— 9|[ + ro — ||b— 0||” ra Do đó, z € B(b,rạ) C X Dẫn đến z € X

Suy ra Ð(g,r¡) C X, nên € Ö (Vô lí) Vậy B là tập mở chứa trong X

e Gợi W/ là tập mở chứa trong X bất kì Gia stt ton tai d € W nhung d ¢ B

Khi đó,

dry >0: B(drị) CW Mà M C X nên đe X và B(d,rị) C X, suy rad € B (V6 lt) Vay de B, Vd EW hay WC B

e Mọi tập X C R” đều có biên vì ØX” X\ Ä,

e Ta được định nghĩa mới cho bao đóng và phần trong

Trang 10

II Một số bài toán liên quan

một day s6 (*) Cc _X, hon nita, khi & cang lén, x* cang gan x (ao bán kính là E càng nhỏ)

Hinh anh minh hoa:

Trang 11

Tới đây, ta đặt cân hỏi ngược lại: Với các dãy số hội tụ chứa trong X, liệu giới hạn của nó sẽ

nằm trong bao đóng của X? Ta đi đến bài toán tiếp theo

Cho X C ]R* khác rỗng Chứng minh rằng mọi dãy (+!) C X hội tụ thì giới hạn của nó thuộc vào bao đóng của X

B(z,r) CIR"\Ä Ngoài ra, Jim +*” x nén ton tại N € N sao cho

nằm trọn trong bao đóng của X

Hình ảnh minh hoạ:

\ 1 i

227 CU am ⁄222222//⁄⁄⁄22 7222/22

(222222222//////2 XZZ22222222222222% V272

‹⁄⁄⁄222222⁄/⁄//⁄⁄⁄⁄2,

X2222222222222222A 222222222222 GA ⁄222222222222222 777777///////////À VLEs CI; CLE 994444 SOO L22222722222222222 L4 AL, 7777722

(GCE De (Ứ/7/Á4/⁄//////////⁄⁄2\ ⁄77/2/22222222222⁄⁄⁄) (221221222222 222222%⁄2///////////⁄/ (/⁄////25///////////⁄⁄2\ VOC Moto IEEE EG LLL, VOCCCC CCPC TE G De A 11212221412 200

Ứ22222222222222⁄⁄⁄2/2⁄⁄⁄21 (<2 7777777774 ‹⁄⁄⁄2 {2222222222 ‹⁄Z

22222224 VEG ‹⁄⁄⁄ as

Trang 12

(Z Hệ quả

\ Nếu dãy (2°) C X hội tụ và jim re” ag X thir € OX

qua dãy số như sau

Định nghĩa 6 Cho X C R”, bao đóng của X là tập hợp được xác định bởi: x” {2 € IR”: S(x*) CX, lim 2%” x}

k-+00

Trang 11

Trang 13

Bảng phân công nhiệm vụ

2 Hồ Thị Phương Anh 47.01.101.003 | Làm beamer + Thuyết trình 1

8 Phạm Xuân Thao 47.01.101.040 Làm beamer 1 9 Nguyễn Ngọc Huy Trường | 47.01 101.049 Vẽ hình + Thuyết trình 1

12

Trang 14

Tài liệu tham khảo

[1| Nguyễn Thành Nhân, Đài giảng Giải tích hàm nhiều biến (Tài liệu dành cho sinh vién Khoa Toán - Tin hoc), 2022

13