giải tích hàm nhiều biến ứng dụng vào cuộc sống

Ta cần làm gì để có thể tính được sự thay đổi nhiệt độ khi ta di chuyển từ một nơi đến nơi khác Vấn đề trên được giải quyết dễ dàng nhờ vào đạo hàm theo hướng.. Theo như lý thuyết ta đề

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

GIẢI TÍCH HÀM NHIÊU BIÊN ỨNG DỤNG VÀO CUỘC SÔNG

NHÓM THỰC HIỆN: NHÓM 4

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: PGS.TS NGUYÊN THÀNH NHÂN

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 4

@ PHAM VAN GIANG 202220 n ng ng cv vn vn vn vn nh rẻ 47.01.101.071

@ PHẠM NHẬT QUANG 2222022 n nh 47.01.101.118

@® LÊ THà THẢO NGUYÊN 20c nhe na 47.01.101.104

@ TRUONG THANH TOÀN 220022 n nh nh he 47.01.101.1-4

® NGUYÊN PHÚC NGUYÊN 722222 nh nh ng 47.01.101.106

@ CAP NGOC BAO PHUONG 0n nhe nu 47.01.101.0-2

ỨNG DỤNG VÀO CUỘC SONG

A PHÉP TÍNH VI PHÂN

1 Ứng dụng thứ nhết

Ta xét hàm số 2 biến ƒ(z,y) Khi đó ta có các đạo hàm riêng của ƒ theo biến z và g tại

(xo, yo) như sau:

ƒ (#o +, 0) — ƒ (2o, 90)

OF Or (x0, Yo) ¬ m1 yy t

Đ ty Oy gg) — lạ, Ê 9:99 +) = F (0, wo) t30 t

Néu ta dat z= f(x,y) thi cdc dao ham riêng trên biểu thị tỉ lệ thay đổi của z theo hướng của cAc vector don vi 7, 7

Tổng quát, ta muốn xét sự thay đổi của z tại (zo,o) theo 1 hướng bất kì thì phải làm như thế nào?

Để thực hiện vấn đề trên, ta xét mặt (5) : z = ƒ(z,) và phương (a,b) bất kì Khi đó, ta xét

điểm P(zo, go, z0) (trong đó zo = ƒ(zo, wọ)) nằm trên (5) (xem hình vẽ)

Một mặt phẳng thẳng đứng đi qua P cùng phương với ? = (a,b) sẽ cắt Š và tạo ra đường cong C nam trên Š Khi ấy độ dốc của đường thẳng 7 tiếp xúc với Œ tại điểm P chính là tỉ lệ thay đổi của z theo hướng của wu

Cho Q(z,ø,z) là một điểm khác P nằm trên C, goi P’ va @' là hình chiếu của P va @ lên mat phang Oxy Khi đó ta có vector P'@ cùng phương với + = (ø,b) và do đó ta có được:

P'Q) = hủ = h(a,b) = (ha, hb)

Khi đó: z — zọ = ha va y — yo = hb nên suy ra

Az_ z—7Z0_ ƒ(,0)— ƒ(o,0o) _ ƒ(zo + ha, tụ + hb) — ƒ (Zo, 0)

Cho b — 0, nếu giới hạn thu được là hữu hạn thì chúng ta sẽ thu được giá trị đặc trưng cho

sự thay đổi của z theo huéng % = (a,b) tai (x0; yo), goi IA dao ham cia f theo hudéng 7 = (a,b)

tai (20; yo):

T'(œo + ha, hb) — T (x0,

Daf (v0.40) — lim (xo + ha, yo + hb) — T (x0, Yo)

h-0 h

Dựa trên cơ sở lý thuyết trên, ta có thể sử dụng đạo hàm theo hướng để biết được sự thay đổi nhiệt độ Ta xét bài toán thực tế sau

BÀI TOÁN 1 Giả sử ta thiết lập được hàm nhiệt độ 7 {z,) của một vùng tại một thời điểm Các đường mức hoặc đường đẳng nhiệt nối các địa danh có cùng nhiệt độ Ta cần làm gì để có thể tính được sự thay đổi nhiệt độ khi ta di chuyển từ một nơi đến nơi khác

Vấn đề trên được giải quyết dễ dàng nhờ vào đạo hàm theo hướng

Theo như lý thuyết ta đề cập ở trên, sự thay đổi nhiệt độ khi ta di chuyển từ một nơi đến nơi khác theo một hướng cụ thể chính là đạo hàm theo hướng của hàm nhiệt độ theo hướng ấy

Ví dụ cụ thể, theo như hình vẽ dưới đây, đạo hàm riêng theo biến z tại vị trí Reno là

tốc độ biến thiên của nhiệt độ theo khoảng cách nếu chúng ta di chuyển về hướng Đắc, tốc

độ biến thiên của nhiệt độ khi chúng ta đi chuyển theo hướng đông nam (tức theo hướng

gw —/ - ( : Be 5) (hướng dén Las Vegas) 1a

h h

T (2 +, yo - 5] — T (x0, yo)

h—>0 h

2 Ứng dụng thứ hoi

Ngày nay, trong thời buổi hiện đại, các tòa nhà cao tầng mọc lên khắp nơi và vô số người làm

việc trong đấy, và một nơi rộng như thế thì di chuyển như thế nào cho tối ưu về mặt thời gian

Ta xét một bài toán thực tế sau

BÀI TOÁN 2 Việc thiết kế một tòa nhà để giảm thiểu thời gian đi lại có thể tiết kiệm được những khoản tiền khổng lồ cho một công ty cũng như giúp nhân viên không phải mất nhiều thời gian di chuyển giữa các phòng Đối với một tòa nhà nhiều tầng có nền hình vuông, điều cần quan tâm là các kích thước của nó để thời gian di chuyển giữa các phòng

là tối thiểu

Giả sử rằng mỗi tầng có một lưới hành lang hình vuông, như thể hiện trong hình ở phía dưới

Giả sử rằng bạn đang đứng ở điểm P ở góc trên cùng phía đông bắc của tầng mười hai của

tòa nhà này Sẽ mất thời gian ngắn nhất là bao lâu để đi đến điểm xa nhất ở phía tây nam ở tầng đầu tiên — tức là điểm Q

i H ~h “

annie!

nn

a ` ry ie

Goi t 1a thoi gian Ching ta cần tìm công thức tính thời gian mà:

@ Bạn phải đi từ tầng thấp cho đến cao

@ Bạn đi ngang từ chỗ này đến chỗ khác

Thời gian đi thẳng đứng là # (với h là độ cao của P cách mặt đất, ø là tốc độ có thể đi theo

phương thẳng đứng, thường là thang máy)

Thời gian đi ngang là thời gian cần thiết để đi theo lưới ô vuông của hành lang (từ # đến Q

trong hình vẽ) Nếu mỗi tầng là một hình ô vuông với cạnh là k thì khoảng cách từ # đến Q 1a

2k Nêu tôc độ đi bộ là ð thì thời gian đi ngang được tính theo công thức "

Do đó, thời gian cần thiết để đi từ P đến Q là một hàm hai biến, h và k:

h Qk t(h, k) = ita với a,b lần lượt là tốc độ đi thang máy và tốc độ đi bộ (không đổi)

Điều gì xảy ra nếu chúng ta phải chọn giữa hai hoặc nhiều kế hoạch xây dựng giống diện

tích sàn những khác nhan giữa các kích thước? Thời gian di chuyển có giống nhau không? Hay

nó sẽ khác nhau với cac ké hoach khac nhau Gia st toa nha c6 n tầng (m = 1 + —, e là khoảng

Cc

cách giữa các tầng) mỗi hình vuông c6 dé dai canh IA k Tong dién tich là:

h

A= (1+ —)k’ (1+)

Giả sử: tốc độ của thang máy là 10 ft/s; tốc độ đi bộ là 4 ft/s; chiều cao mỗi tầng là e = 15

ft Khi do ta sé dé dàng tìm được h,k thỏa bài toán

3 Ứng dụng thứ ba

Một ứng dụng được sử dụng rộng rãi của hàm nhiều biến trong kinh doanh là ứng dụng cực trị vào tối ưu hóa trong kinh tế

BÀI TOÁN 3 Mot dai lý bán hai loại sản phẩm, loại thứ nhất được bán với giá z đôÌla /đơn

vị và loại thứ hai được bán với giá + đôla/đơn vị Với giá bán này thì sẽ bán được 80—7z-+6 đơn vị loại thứ nhất và 60 — 5y + 4z đơn vị loại thứ hai trong tuần Biết đại lý mua loai thứ nhất với giá 30 đôla/đơn vị và loại thứ hai với giá 20 đôla/đơn vị từ nhà phân phối Hỏi đại lý nên bán hai loại sản phẩm trên với giá bao nhiêu để tổng lợi nhuận hàng tuần lớn nhất?

Ta nhận thấy: Tổng lợi nhuận = (lợi nhuận từ việc bán loại thứ nhất) + (lợi nhuận từ việc

bán loại thứ hai)

Từ đó ta thành lập hàm lợi nhuận hàng tuần của đại lý như sau:

f(x,y) =(œ — 30)(80 — 7z + 6w) + (w — 20)(60 — 5 + 4z)

— — z2 + 10z + 210% — 5ˆ? — 20x — 3600

Tính các đạo hầm riêng

SẼ —14z + 10y + 210; at = 10x — 10y — 20

Ụ

or Hàm ƒ chỉ có một điểm dừng là (47, 5; 45, 5)

Ma tran Hess của hàm ƒ tại điểm dừng (47,5; 45,5) là A = i ; "|=

Of Of 10 —10

Oxdy Oy?

| Of Of

2 “9.2 AY

p, - 24 =-49 Ox? <0; Dp = | 2 0ƒ OF PY?” | 40 50

Oxdy Oy?

Theo dinh ly Sylvester, A4 là dạng toàn phương xác định âm

Do đó hàm ƒ đạt cực đại tại điểm (47,5; 45, 5)

Tức là, để lợi nhuận hàng tuần lớn nhất thì đại lý nên bán loại thứ nhất với giá 47, 5 đôla /đơn

vị và loại thứ hai với giá 45,5 đôla/đơn vi

B TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

1 Ứng dụng thứ nhết

Momen quán tính là một đại lượng vật lý đặc trưng cho mức quán tính của vật thể trong chuyển động quay, tương tự khối lượng trong chuyển động thẳng Momen quán tính có tính chất là momen quấn tính của một hình phức tạp bằng tổng momen quấn tính của từng hình đơn giản Với một vật khối lượng zn có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay (coi vật là chất điểm), momen quán tính được tính bằng:

I = mrỀ

Trong trường hợp cần tính momen quán tính của một hình phức tạp, ta buộc phải chia nhỏ hình ban đầu thành nhiều hình đơn giản hơn để tính từng momen thành phần rồi lấy tổng của chúng Trong nhiều tình huống, ta buộc phải chia hình ban đầu thành vô số hình thành phần,

do đó phép lấy tổng cũng trở thành phép lấy tích phân

VÍ DỤ 1 Xét cung vật chất 4Ø trong không gian, có khối lượng riêng tại điểm (z,y,z) là

p(z,,z) Một đường thăng 7 bất kỳ trong không gian cách cung 4B một khoảng là r(z,, z)

Do cung vật chất 4ð có khối lượng riêng không đồng đều nên để tính momen quán tính của

AB đối với L„, ta sẽ chia nhỏ 4B thành ø cũng không dẫm lên nhau với kích thước đủ nhỏ đến mức có thể xem như khối lượng riêng và khoảng cach tdi L cia các điểm trên từng cung nhỏ

đó bằng nhau

Cách chia 4B thành ø cung nhỏ không dẫm lên nhau như trên cho ta một phân hoạch P gồm ø + 1 điểm chia Ứng với cung thứ ¿ có độ dài cung tương ứng là jj

Đường kính phân hoạch P là d(P) = max{l; :i = 1,n}

Trên cung nhỏ thứ ¿, ta lấy điểm M,(2i, yi, %) tury ý Khoảng cách từ M; đến E là r¡(2¿, tị, z;) Khi đó, momen quán tính của cung nhỏ thứ ¿ đối với 7 là:

2

l¡ — rˆ(¡, tị, #¡)p (¡, ị, %i) Ali

Như vậy:

I= Sol =) (xi, yi %)p (ti, Yi, %i) Ali

i=1 w=1

Cho d(P) > 0, ta được:

n= | (z,, z)p(, 9, z)dL

AB

Đặc biệt, nếu 7 là các trục Óz,Óy,OÓz thì ta có:

n= f (ˆ + 27) plx,y, 2) dl,

B

A

=f (x? + y") play, z)dl

AB

2 Ứng dụng thứ hoi

Trong lĩnh vực may mặc, việc đo đạc chính xác chiều dài của một đường cong như đường cổ

áo, nách áo, đường đũng quần là rất quan trọng để có thể lắp ghép các chỉ tiết như viền cổ, tra tay áo vào thân áo, ghép đũng trước và đũng sau một cách ăn khớp, đảm bảo tính thẩm

my, tiét kiệm nguyên phụ liệu nhất là khi may trên dây chuyền với số lượng lớn Để giải quyết van dé này, chúng ta có thể tính toán chính xác chiều dài của các đường cong trên mẫu ban đầu bằng ứng dụng của tích phân, rồi tiến hành cắt, ráp mẫn với số lượng lớn

VI DU 2 Để viền cổ áo đẹp, không bị bai dão hay dúm, chúng ta cần phải tính chính xác được chiều dài đường cổ áo Mẫu cổ áo hình tim có hình dạng của parabol Ví dụ khi hạ

cổ áo hình tìm với chiều cao là 16cm, chiều rộng là 4em thì đường cổ áo chính là parabol

1 `

y= 17v €l|-4.,4], với đơn vi hé Oxy truc 1a cm

Xét hàm số ƒ(z) — srt € [-4, 4]

Để viền cổ chiếc áo này, ta sẽ tính chiều dài cung đường cổ áo từ điểm A tới điểm Ö

b

lap = Jv 14 [f'(x) Par

1

Vậy chiều dài cổ áo xấp xỉ bằng 18,59 em

Như vậy, ta có thể tính được chiều dài cổ áo các dạng khác bằng các bước sau:

(W Bước 1: Xác định đường cổ áo Với áo cổ tìm đường cổ là Parabol, cổ tròn là nửa dưới đường tròn, cổ elip là nửa dưới đường elip,

( Bước 2: Dùng công thức tính độ dài cung cần tìm

3 Ứng dụng thứ bơ

*Khái niệm

Đường cong Cycloid là quỹ tích của một điểm cố định nằm trên đường tròn khi đường tròn lăn dọc theo một đường thẳng trong cùng một mặt phẳng

*Nguồn gốc

Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli gửi một lời thách thức đến cho toàn giới Toán học thời bấy giờ (chủ yếu là gửi đến ông anh trai James Bernouilli) bằng bài toán được phát biểu một cách dễ hiểu như sau: "Nếu có một quả bóng lăn xuống từ một điểm trên cao đến một điểm thấp hơn thì hình dạng đường đi phải như thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?"

Trực giác của bạn có thể cho rằng đó là một đường thắng những thực ra không phải, mặc

dù đó là đường có độ dài ngắn nhất Câu trả lời ở đây là đường cong Cycloid

Trong một cuốn sách của mình xuất bản 16-8, Galileo cũng đã đề cập đến bài toán này và chứng mỉnh được rằng quỹ đạo là cung tròn thì nhanh hơn quỹ đạo thẳng Tuy vậy sự lựa chọn đường đi là cung tròn của ông không phải là lời giải đúng

Ngày nay, nó được ứng dụng Cơ học Lượng tử và những vấn đề khác Vì vậy, việc giải quyết các bài toán liên quan đến đường Cycloid là vô cùng cần thiết

*Phương trình tham số đường Cycloid:

# ==‡#-sIn£

y=1-cost

VÍ DỤ 3 Một điểm trên đường tròn đơn vị sẽ vạch ra đường Cycloid khi lăn đường tròn

đó theo một đường thắng Hỏi làm sao để tính được một nhịp của Cycloid ấy (độ dài quãng đường đã di chuyển của điểm đó đi được khi đường tròn lăn được 1 vòng)

Lời giải

Độ dài /(C) = la

Cc

Phương trình tham số:

# ==‡#— sin£#

C: (0<#<2m)

y =1-cost

.É

Ke) = | 2(1 = costiat = f 2sin a —s

C TICH PHAN BO!

Tích phân là tổng vô hạn Vì vậy mỗi khi có nhu cầu tính tổng của vô hạn giá trị thì tích phân có thể xuất hiện

Về cơ bản, nếu tại mỗi điểm z;,¿ — T,m, có tương ứng các giá trị ƒ (z;¿) của một đại lượng

th

thì tổng giá trị của đại lượng đó dĩ nhiên là › ƒ(œ;) Nêu tập hợp D các điểm đang xét là vô

m han thi ham ƒ : 2 — IR có thể được gọi là hàm mật của đại lượng, tổng giá trị của đại lượng là

[fee

Định lý gió trị trung binh

Nếu tại các điểm z;,¿ = 1,n CO tương ứng các giá trị ƒ (z;) thì các giá trị trung bình tại các điểm này như ta đã biết là 1s f (x;) Trong truéng hop mién xdc định có vô hạn phần tu, gia su f : D R thì giá trị trung bình của ƒ được cho bằng công thức tương tự, chỉ thay tổng

š , ˆ 1

bang tích phân: sim | fee

"Theo định lí trên ta có ví dụ như sau:

VÍ DỤ 4 Bản đồ đường mức ở hình bên dưới biểu diễn lượng tuyết rơi (tính bằng inch) ở bang Colorado vào ngày 20 và 21 tháng 12 năm 2006 (Bang này có dạng hình chữ nhật với chiều dài đo từ đông sang tây là -88 dặm và chiều rộng từ nam lên bắc là 276 dặm) Hãy

sử dụng bản đồ đường mức để tước tính lương tuyết rơi trung bình của cả bang Colorado

Lời giải

LÌ

Đầu tiên, chúng ta chọn gốc tọa độ nằm ở góc tây nam của bang Colorado

Khi đó, 0 < z < 388,0 < < 276, và ƒ(z,) là lượng tuyết rơi (tính bằng inch) tại một vị trí

cách gốc toa dé x dim về phía đông và dặm về phía bắc

Nếu # là hình chữ nhật tượng trưng cho bang Colorado, thì lượng tuyết rơi trung bình của