Do đó, để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trênU, ta chß cần so sánh giá trị của hàmf tại các điểm dừng của f và điểm dừng của hàm LagrangeLtrên .U Trang 7... 2.3 MỘT SỐ ỨNG DỤ
Trang 1KHOA TOÁN - TIN HỌC
4444443 * * * 4444443
BÀI TẬP NHÓM GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN
ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG CỰC TRà HÀM NHIỀU BIẾN VÀO CÁC BÀI TOÁN LỢI NHUẬN TỐI ĐA
NHÓM THỰC HIỆN: NHÓM 7 (SÁNG THỨ 5)
GIẢNG VIÊN: PGS.TS NGUYỄN THÀNH NHÂN
Trang 2Mục lục
1.1 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 7 2 1.2 NỘI DUNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC 3
2.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 4 2.2 KIẾN THỨC CỰC TRà HÀM NHIỀU BIẾN 5 2.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỰC TRà VÀO CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ 8
Trang 1
Trang 31 PHẦN GIỚI THIỆU
1.1 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 7
1 NGUYỄN HỮU MINH NHẬT 43.01.101.071
2 LÊ HOÀNG MINH PHƯƠNG 46.01.901.356
3 TRẦN HỒ NHỰT PHÁT 47.01.101.111
4 PHẠM KIỀU ANH THƯ 47.01.101.131
5 NGUYỄN XUÂN PHÚC 47.01.101.030
6 TRẦN QUANG MINH 47.01.101.097
7 LƯƠNG MINH TRIẾT 47.01.101.048
8 VÕ KHÔI NGUYÊN 47.01.101.107
9 LÊ HỮU KHÁNH 47.01.101.087
Trang 41.2 NỘI DUNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC
ĐÓNG GÓP
MINH NHẬT Biên Soạn Ứng Dụng Cực Trị
Soạn Thảo File Trình Chiếu 1.0 MINH PHƯƠNG Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.95 NHỰT PHÁT Biên Soạn Bài Tập Ứng Dụng 0.95 ANH THƯ Biên Soạn Bài Tập Ứng DụngThuyết Trình Nội Dung 1.05 XUÂN PHÚC Biên Soạn Kiến Thức Cực TrịThuyết Trình Nội Dung 1.05 QUANG MINH Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.95 MINH TRIẾT Biên Soạn Kiến Thức Cực Trị 0.95 KHÔI NGUYÊN Biên Soạn Ứng Dụng Cực TrịSoạn Thảo File Nội Dung 1.0 HỮU KHÁNH
Quản Lí Phân Chia Công Việc Biên Soạn Ứng Dụng Cực Trị Soạn Thảo File Trình Chiếu Soạn Thảo File Nội Dung
1.1
Trang 3
Trang 52 PHẦN NỘI DUNG
2.1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Cực trị hàm nhiều biến là một trong những phần kiến thức trọng
tâm và quan trọng trong môn họcGiải tích hàm nhiều biến, những
ứng dụng kiến thức từ cực trị hàm nhiều biến cũng vô cùng được chú tâm, ứng dụng nhiều và phổ biến trên các lĩnh vực khác nhau
<Toán kinh tế= là một cụm từ không còn xa lạ với các sinh viên,
đặt biệt là sinh viên ở các trường kinh tế, một trong những trường đang được quan tâm hiện nay
Khi giải quyết những bài toán về kinh tế, người ta thường gặp các bài toán dạng xác định trị số tối ưu (nhỏ nhất hoặc lớn nhất) của một chß tiêu nào đó trong những điều kiện nhất định (chẳng hạn như: năng suất cao nhất, lợi nhuận cao nhất, chi phí bé nhất ) Trong toán học,
đó cũng chính là dạng bài toán tìm cực trị (cực tiểu / cực đại) của một hàm f (gọi là hàm mục tiêu) xác định trên một tập hợp nào đó trong không gian
⇒ Từ đó, nhóm chúng em đã chọn<Ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến vào các bài toán kinh tế= làm đề tài nghiên cứu cho buổi
thuyết trình sắp tới
Các bài toán về cực trị hàm nhiều biến rất đa dạng và phong phú, trong phần trình bày này, nhóm muốn giới thiệu đến thầy và các bạn một số ứng dụng thông dụng nhất của cực trị của hàm hai biến số trong các bài toán kinh tế, qua đó để mọi người thấy được một phần mạch ứng dụng của toán học cao cấp vào lĩnh vực kinh tế
Trang 62.2 KIẾN THỨC CỰC TRà HÀM NHIỀU BIẾN
2.2.1 Cực trị địa phương không điều kiện
a Định nghĩa
Cho hàm f xác định trên tập mởU ¢ R n Ta nói:
• f đạt cực đại địa phương tạix0thuộcUnếu tồn tạir > 0sao cho
f(x) f (x f 0), với mọix thuộcB (x, r ) ¢ U
• f đạt cực tiểu địa phương tạix0thuộcUnếu tồn tạir > 0sao cho
f(x) g (x f 0), với mọix thuộcB (x, r ) ¢ U
b Điều kiện cần của cực trị địa phương
ChoUmở trongRn, f : U → Rvàx ∈ U Giả sử các đạo hàm riêng củaf tạix tồn tại Nếuf đạt cực trị tạix thì∇f (x) = 0Rn
c Điều kiện đủ của cực trị địa phương
Cho hàm sốf có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừngM0(x0,y0)
XétH =
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
là ma trận Hess của f tại x0
ĐặtH1=∂2f
∂x2;H2=
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
NếuH1(M0)> 0vàH2(M0)> 0thì điểmM0là điểm cực tiểu NếuH1(M0)< 0vàH2(M0)> 0thì điểmM0là điểm cực đại NếuH2(M0)< 0thì điểmM0là không phải là điểm cực trị
NếuH2(M0)= 0thì ta chưa kết luận được gì về điểmM0
Trang 5
Trang 72.2.2 Cực trị địa phương có điều kiện
a Định nghĩa
ChoU mở trongRn,f : U → R,ϕ : U → R Đặt
V = {x ∈ U : ϕ(x) = 0}.
•Ta nói f đạt cực đại địa phương tạix0∈V với ràng buộcϕ(x) = 0
nếu tồn tạir > 0sao cho
f (x)ff (x0),∀x ∈ B ( , r ) ∩ V x
•Ta nóif đạt cực tiểu địa phương tạix0∈V với ràng buộcϕ(x) = 0
nếu tồn tạir > 0sao cho
f (x) g f (x0),∀x ∈ B (x, r ) ∩ V
b Điều kiện cần - Định lý nhân tử Lagrange
Giả sử các đạo hàm riêng củaf tồn tại, đạt cực trị tạif x0với ràng buộcϕ(x) = 0và∇ϕ(x0)= 0Rn Khi đó, tồn tại số thực sao choλ
∇f (x0)=λ∇ϕ(x0)
c Điều kiện đủ
ChoU mở trong Rn,f : U → R,ϕ : U → Rthỏa f , ϕ ∈ C2(U ) Giả
sử(x0,λ0)là điểm dừng của hàm LagrangeL(x, λ)và∇ϕ(x0)= 0 Xét dạng toàn phương
A(u) =
n
i , j =1
∂2L(x, λ0)
∂x j ∂x i
(x0)
u i u j
vớiu = (u1,u2, ,u n)∈ Rn thỏa điều kiện+∇ϕ(x0),u, = 0 Khi đó,
•NếuA(u)là dạng toàn phương xác định dương thì f đạt cực tiểu tạix0với ràng buộcϕ(x) = 0
•NếuA(u)là dạng toàn phương xác định âm thì f đạt cực đại tại
x0với ràng buộcϕ(x) = 0
Trang 8•Nếu A(u)là dạng toàn phương không xác định thì f không đạt cực trị tạix0với ràng buộcϕ(x) = 0
•Nếu A(u)là dạng toàn phương nửa xác định dương hoặc nửa xác định âm thì chưa có kết luận về cực trị của f tại x0 với ràng buộc
ϕ(x) = 0.
2.2.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
ChoU mở, bị chặn trongRn và f : U → R Giả sử biên của tậpU
(ký hiệu là∂U, được định nghĩa bởi ∂U = U \U) xác định bởi mặt cong
ϕ(x) = 0, tức là
∂U = x ∈ R n:ϕ(x) = 0
Ta biết rằngf đạt giá trị lớn nhất trênU Giả sử
f (x0)= max
f (x), x ∈ U
Khi đó, xảy ra một trong hai trường hợp sau đây:
•Nếux0∈U thìf đạt cực trị không điều kiện tại x0
•Nếux0∈∂Uthì f đạt cực trị ràng buộcϕ(x) = 0tạix0
Như vậy hàm f chß có thể đạt giá trị lớn nhất tại các điểm cực trị không điều kiện hoặc cực trị với ràng buộcϕ(x) = 0trênU Do đó,
để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trênU, ta chß cần so
sánh giá trị của hàmf tại các điểm dừng của f và điểm dừng của hàm LagrangeLtrên U
Trang 7
Trang 92.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỰC TRà VÀO CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ 2.3.1 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
Giả sử doanh nghiệp sản xuấtnloại hàng hóa trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giáP P1, 2, ,P n
Hàm chi phíC = C (Q1,Q2, ,Q n)vớiQ i(i = 1, n)là mức sản lượng thứimà doanh nghiệp sản xuất
Tìm các mức sản lượngQ1,Q2, ,Q nmà doanh nghiệp cần sản xuất
để lợi nhuận cực đại
Phương Pháp Giải
GọiQ1,Q2, ,Q nlà các mức sản lượng cần tìm
Doanh thu
R = P1Q1+P2Q2+ +P n Q n=
n
i =1
P i Q i
Chi phí
C = C (Q1,Q2, ,Q n)
Lợi nhuận
π = R − C =
n
i =1
P i Q i−C (Q1,Q2, ,Q n)
Bài toán trở thành tìmQ1,Q2, ,Q nđể hàmπđạt cực đại
Ví dụ cụ thể:
Công ty TNHHMTV Khánh Nguyên đang sản xuất và bán hai mặt hàng chính là áo sơ mi và quần thể thao với giá lần lượt là 150 nghìn đồng và 180 nghìn đồng Trong đó:
•Q1,Q2là sản lượng áo và quần bán ra
•Hàm lợi nhuận của công ty làLN = R − C=P1Q1+P2Q2−C.
•Hàm tổng chi phíC = Q2
1+Q2
2+ 4Q1+ 2Q2+ 100
Trang 10Vậy công ty cần phải bán được bao nhiêu áo và quần để công ty đạt được lợi nhuận cao nhất?
Hướng Dẫn Giải
Ta có:LN = 150Q1+ 180Q2− (Q2
1+Q2
2+ 4Q1+ 2Q2+ 100) = −Q2
1−
Q2
2+ 146Q1+ 178Q2− 100
Suy ra
LN Q′1= −2Q1+ 146 = 0
LN′
Q2= −2Q2+ 178 = 0 ô
Q1= 73
Q2= 89
Ma trận Hess:A =
−2 0
0 −2
Nhận thấy A1= −2 < 0,A2= 4 > 0nên Alà dạng toàn phương xác định âm Do đó hàmLN đạt cực đại tại(Q1,Q2) = (73,89).
Vậy công ty cần bán được 73 cái áo, 89 cái quần để đạt lợi nhuận tối đa
Trang 9
Trang 112.3.2 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán trên nhiều thị trường
Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên
nthị trường tách biệt Giả sử hàm cầu trênnthị trường như sau:
Q D1=D1(P1)
Q D2=D1(P2)
Q D n=D n(P n)
Hàm tổng chi phíC = C (Q)vớiQ = Q1+Q2+ +Q n
Trong đó:
Qlà sản lượng của doanh nghiệp
Q ilà lượng hàng phân phối trên thị trường thứi
P ilà đơn giá trên thị trường thứi,(i = 1, n).
Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại
Phương Pháp Giải
GọiQ Q1, 2, ,Q n là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm
Để doanh nghiệp bán hết hàng thì
Q1=Q D1
Q2=Q D2
Q n=Q D n
⇒
Q1=D1(P1)
Q2=D2(P2)
Q n=D n(P n)
⇒
P1=P1(Q1)
P2=P2(Q2)
P n=P n(Q n)
Doanh thu
R = Q1P1+Q2P2+ +Q n P n=
n
i =1
Q i P i=
n
i =1
Q i P i(Q i)
Chi phí
Trang 12C = C (Q) = C (Q1,Q2, ,Q n)vìQ = Q1+Q2+ +Q n
Lợi nhuận
π = R − C =
n
i =1
Q i P i(Q i)−C (Q Q1, 2, ,Q n)
Bài toán trở thành tìmQ Q1, 2, ,Q nđể hàmπcực đại
Ví dụ cụ thể:
Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên
2 thị trường riêng biệt Giả sử các hàm cầu trên 2 thị trường 1 và 2 lần lượt là:
Q D1= 310 −P1,Q D2= 235 −1
2P2 Hàm tổng chi phí làC (Q) = Q2+ 30Q + 20, với Q = Q1+Q2
Trong đó:
•P i là đơn giá trên thị trường thứi,(i = 1, 2).
•Qlà tổng sản lượng
Hãy tìm khối lượng sản phẩm công ty cung cấp cho các thị trường
để lợi nhuận cao nhất?
Hướng Dẫn Giải Giả sử công ty cung cấp cho thị trườngi làQ i
Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
Q1=Q D1= 310 −P1
Q2=Q D2= 235 −1
2P2
⇒
P1= 310 −Q1
P2= 470 − 2Q2
⇒
R1= (310 −Q1)Q1
R2= (470 − 2Q2)Q2
vớiR i là doanh thu trên thị trường thứi,(i = 1, 2)vàR = R1+R2 Suy raπ = R − C = −2Q2
1− 3Q2+ 280Q1+ 440Q2− 2Q1Q2− 20
Ta có:
−4Q1− 2Q2+ 280 = 0
−6Q2− 2Q1+ 440 = 0ô (Q1,Q2)= (40, 60)
Trang 11
Trang 13Ma trận Hess:H =
−4 −2
−2 −6
Nhận thấyH1= −4 < 0,H2= 20 > 0nênHlà dạng toàn phương xác định âm Do đó hàmπđạt cực đại tại(Q1,Q2) = (40,60).
Vậy công ty cung cấp cho:
• Thị trường thứ 1 là Q1= 40 đơn vị hàng với đơn giá là P1=
310−Q1= 270
• Thị trường thứ 2 là Q2= 60 đơn vị hàng với đơn giá là P2=
470− 2Q2= 350
Trang 142.3.3 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong điều kiện độc quyền
Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên là
Q D1=D1(P1,P2, ,P n)
Q D2=D2(P1,P2, ,P n)
Q D n=D n(P1,P2, ,P n)
Trong đó:
Q D i: Lượng hàng cầu của loại hàng hóa thứi.
P1,P2, ,P n: Giá bán của loại hàng hóa thứi.
Q Q1, 2, ,Q n: Sản lượng của loại hàng hóa thứi.
Hàm tổng chi phíC = C (Q) = C (Q Q1, 2, ,Q n)
Tìm mức sản lượngQ Q1, 2, Q nmà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại
Phương Pháp Giải
GọiQ Q1, 2, ,Q nlà các mức sản lượng cần tìm
Để doanh nghiệp bán hết hàng thì
Q1=Q D1
Q2=Q D2
Q n=Q D n
⇒
Q1=D1(P1,P2, ,P n)
Q2=D2(P1,P2, ,P n)
Q n=D n(P1,P2, ,P n)
⇒
P1=P1(Q1,Q2, ,Q n)
P2=P2(Q1,Q2, ,Q n)
P n=P n(Q1,Q2, ,Q n)
Trang 13
Trang 15Doanh thu
R = Q1P1+Q2P2+ +Q n P n=
n
i =1
Q i P i=
n
i =1
Q i P i(Q1,Q2, ,Q n)
Chi phí
C = C (Q) = C (Q Q1, 2, ,Q n)
Lợi nhuận
π = R − C =
n
i =1
Q i P i(Q Q1, 2, ,Q n)−C (Q Q1, 2, ,Q n)
Bài toán trở thành tìmQ1,Q2, ,Q nđể hàmπcực đại
Ví dụ cụ thể:
Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh 2 loại hàng, biết hàm cầu của 2 của 2 loại hàng hóa đó như sau:
Q D1= 40 − 2P1+P2,Q D2= 15 +P1−P2
Hàm chi phí làC = Q1+ 2Q Q1 2+Q2
Tìm các mức sản lượng từng loại hàng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt cực đại
Hướng Dẫn Giải GọiQ Q1, 2là các mức sản lượng cần tìm
Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng:
Q1=Q D1= 40 −2P1+P2
Q2=Q D2= 15 +P1−P2 ⇒
P1= 55 −Q1−Q2
P2= 70 −Q1− 2Q2
Doanh thu:R = P1Q1+P2Q2=Q1(55−Q1−Q2)+Q2(70−Q1− 2Q2)
= −Q2
1− 2Q2
2− 2Q1Q2+ 55Q1+ 70Q2 Với chi phí:C = Q1+ 2Q1Q2+Q2 Ta được lợi hàm lợi nhuận như sau:
π = R − C = 55Q1+ 70Q2− 2Q2
1− 3Q Q1 2− 3Q2
2
Trang 16Ta có:
−4Q1− 3Q2+ 55 = 0
−6Q2− 3Q1+ 70 = 0ô (Q1,Q2)=
8,23 3
Ma trận Hess:H =
−4 −3
−3 −6
Nhận thấyH1= −4 < 0,H2= 15 > 0nênHlà dạng toàn phương xác định âm Do đó hàmπđạt cực đại tại(Q1,Q2) =
8,23 3
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại nếu sản xuất:
•8 đơn vị hàng thứ nhất
•23
3 đơn vị hàng thứ hai
3 KẾT LUẬN CHUNG
Nhờ có các kiến thức toán học về cực trị hàm nhiều biến số mà ta
có thể giải được một số bài toán liên quan đến việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán kinh tế Sau đây là một số"bài tập vận dụng" mà đọc giả có thể tự giải.
Trang 15
Trang 174 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Xét doanh nghiệp cạnh tranh thuần tuý sản xuất 2 loại sản
phẩm với hàm chi phí kết hợp:
C = 3Q2
1+ 2Q Q1 2+ 2Q2
2+ 10 Với giá thị trường của sản phẩm 1 là 160 đôla và giá của sản phẩm 2
là 120 đôla Hãy chọn một cơ cấu sản lượng(Q Q1, 2)để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa
Bài 2: Cho hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp như sau:
π = −X2+ 80X −2Y2+60Y − 2X Y − 10.
Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận Tìm lợi nhuận tối đa đó?
Bài 3: Cho một doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh
một loại hàng hóa bán trên 2 thị trường tách biệt với các hàm cầu:
Q D1= 840 − 2P1,Q D2= 1230 − 3P2 Hàm chi phíC = Q2+ 150Q + 20vớiQ = Q1+Q2
Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để lợi nhuận cực đại
Bài 4: Cho hàm tổng doanh thu và tổng chi phí của một doanh
nghiệp như sau:
R = −X2+ 26X + 60Y,C = −2X2+ 20X − Y2+ 20Y + X Y + 5.
Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận Tìm lợi nhuận tối đa đó?
Bài 5: Cho hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau:
C = −X2+ 40X − Y2+ 45Y − X Y + 6.
Hãy xác định sản lượngX vàY để doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí Tìm chi phí tối thiểu đó?
Trang 185 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Thành Nhân, Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến, tài liệu dành cho
sinh viên Khoa Toán - Tin học, 2022.
[2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, Tập 3,
NXB Giáo dục, Chương 9, 2008.
[3] Nguyễn Quốc Hưng, Toán cao cấp và một số ứng dụng trong kinh doanh, NXB
ĐHQG TP.HCM, 2009.
[4] Nguyễn Huy Hoàng, Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh
tế, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân, 2010.
[5] Lê Đình Thúy, Nguyễn Thị Quỳnh Lan, Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà
kinh tế, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, chương 9, 2012.
Trang 17